LA GEOMETRIA EN LA ANTIGUA GRECIA El descubrimiento de los inconmensurables El origen del término Geometría, es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras que se interesaban interesaba n en problemas problema s como la medida del tamaño de los campos entre otros. Este tipo de Geometría empírica que floreció en el antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. NIGMALISEN CARRILLO GODINEZ Marzo de 2011
INTRODUCCIÓN
La matemática es una ciencia que por muchos ha sido considerada como perfecta, como exacta, que nos ha llevado a la firme idea de que una ciencia sin matemática no es ciencia, incluso se ha tenido la idea de que la matemática está por encima de las demás ciencias. Sin embargo, la historia de la matemática revela que esta, ha experimentado momentos de crisis, que incluso ha buscado la supervivencia dentro de la misma naturaleza. La matemática griega, parte de los conceptos concretos y prácticos de las civilizaciones Egipcia y mesopotámicas. Aparece por primera vez, la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones de mostraciones formales. Aparece la figura de Pitágoras y se asienta definitivamente el concepto de demostración formal, como la única vía de establecimiento de la verdad. Es en el seno de los pitagóricos que surge la primera crisis de la matemática: la aparición de los inconmensurables, aunque esta crisis es de carácter más filosófico y aritmético, que geométrico.
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LA
GEOMETRÍA EN LA ANTIGUA GRECIA
Sin tener conciencia clara de ello, a diario manejamos muchísimos conceptos de la Geometría, establecemos líneas entre un punto y otro, asociamos distancias y direcciones a los objetos que nos rodean, intuimos tamaños y formas. Con solo mirar cualquier parte del mundo encontraremos ahí aspectos geométricos, las figuras han jugado un papel fundamental en la historia de las matemáticas; puntos, líneas, cuadrados, círculos, triángulos y demás figuras, constituyen la base de la geometría griega, sus propiedades se siguen estudiando, se siguen aplicando y se siguen admirando en el arte y la arquitectura. Se cuenta que antiguamente en Egipto, las aguas del rio Nilo crecían y subían de nivel, borrando los límites de los terrenos, era necesario que cada año los dueños de las tierras volvieran a medir y a marcar sus terrenos. Los egipcios habían desarrollado una gran habilidad en el arte de medir la tierra, inventaron procedimientos y técnicas que se fueron transmitiendo de generación en generación. Estos conocimientos desarrollados por los egipcios llegaron a otros pueblos en particular a los griegos, quienes estudiaron este arte de medir la tierra y se dieron cuenta de que en las técnicas egipcias había principios generales que iban mas allá de sus terrenos y sus medidas, eran principios que tenían que ver con las relaciones y propiedades que existen e xisten entre ciertas formas y figuras. Entre los siglos VI y IV a. C., floreció en Grecia la escuela científica y filosófica más importante de su época, de entre sus muchos representantes hay que mencionar a Euclides, Pitágoras y Tales de Mileto. Los griegos no se limitaron a observar algunas relaciones interesantes entre los números y las figuras geométricas o a usarlas en sus mediciones y construcciones para resolver problemas de cálculo, fueron los primeros en darse cuenta de la importancia de encontrar enunciados generales y demostrarlos. Elaboraron así con el paso del tiempo, una geometría independiente de los casos concretos, construyeron el primer sistema de matemáticas puras. La geometría fue la primera rama de las matemáticas y se consolido gracias, fundamentalmente al trabajo de Euclides, quien en su obra titulada ³ Los Elementos´ Elementos´ reunió todo el conocimiento matemático de su época, lo organizo, y lo más importante, lo formalizo.
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La geometría se conformo así como un sistema de enunciados que se demuestran a partir de cinco postulados considerados como verdades evidentes y que se llaman axiomas. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos es la siguiente afirmación: ³Una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos´. Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas ángulos y planos, se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas, entre esos teoremas se encuentran: ³La suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es igual a la suma de dos ángulos rectos´ y ³El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados´ (conocido como el Teorema de Pitágoras).
PRIMEROS PROBLEMAS
GEOMETRICOS
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando solo una regla y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado, en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: La duplicación del cubo, La cuadratura del círculo y La trisección del ángulo. Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada, hasta 1882. Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría, invento formas de medir el área de ciertas figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboro un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre
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EL DESCUBRIMIENTO DE LOS INCONMENSUR ABLES. PRIMER A
CRISIS DE LA MATEMÁTICA
La aparición de las magnitudes inconmensurables, marco una inflexión radical en la evolución histórica de la geometría griega, ya que puso fin al sueño filosófico pitagórico acerca del número como esencia del universo, eliminó de la geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Los inconmensurables condicen a un trastorno lógico que estremece los cimientos de la geometría griega, ya que al invalidar todas las pruebas pitagóricas de los teoremas que utilizaban proporciones, producen la primera crisis de fundamentos en la historia de la mate mática. La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras y la mágica belleza del Pentagrama místico pitagórico, fueron dos de los tópicos más relevantes de la escuela pitagórica, pero se convirtieron en dos caballos de Troya para la geometría griega, porque llevaban en su interior la crisis de la comunidad pitagórica. Los pitagóricos, que como filósofos presocráticos, habían considerado como núcleo dogmatico de su filosofía que , universo>, encuentran que las consecuencias de su principal teorema atentan contra los fundamentos de su principal doctrina. En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona un terrible ente geométrico, en el que hay un segmento, la diagonal, que no es conmensurable con otro segmento, el lado. Igualmente sucede en el pentágono regular, la diagonal y el lado del pentágono, son segmentos que no pueden ser medidos por una unidad común. El descubrimiento de los inconmensurables marca un hito en la historia de la geometría, porque no es algo empírico, sino puramente teórico. La imposibilidad de calcular de forma aritmética exacta la diagonal del cuadrado en función del lado, implicaría que había que hacer algo distinto, ya que los inconmensurables aparecían en otros muchos campos de la geometría, por ejemplo, en la relación entre el lado y la altura del triangulo equilátero, o entre la circunferencia y el diámetro. Pero fue la cuna de la geometría griega a través de la emergencia de la demostración, uno de los componentes esenciales del milagro griego en matemáticas.
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A partir del descubrimiento de los inconmensurables, la demostración deductiva, con base en los principios, se considero necesaria. Para disolver la crisis de fundamentos había que pasar por alto el concepto infinitesimal de número irracional. Los griegos del siglo IV a. C. eran consientes de la existencia de magnitudes geométricas que nosotros llamamos irraciona irracionales, les, pero no las concebían co mo números. Eudoxo de Cnido, es uno de los matemáticos más importantes de la academia platónica, que al introducir la idea de <>, quiera>>, encuentra una escapatoria a los problemas planteados, por el infinito y lo inconmensurable, mediante un recurso genial que desarrolla en tres estadios: 1. Una definición: Igualdad de razones 2. Un axioma: Axioma de Eudoxo-Arquímedes o Axioma de continuidad 3. Un método: Al método de exahución Como lo inexpresable era la razón entre dos cantidades inconmensurables, Eudoxo elimina la dificultad definiendo no la razón misma, sino la igualdad de razones de la siguiente forma: ³S e
dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda magnitud,
que una tercera magnitud con una cuarta magnitud, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera exceden a la par, sean iguales a la par, o sean inferiores a la par, que cuales quiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente.´ Es decir si a, b son dos magnitudes geométricas del mismo tipo y c, d son también del mismo tipo, Eudoxo define que las razones
, son proporcionales, cuando para
cualquier par de enteros positiv pos itivos os n y m, se tiene:
Con base en esta definición, Eudoxo diseña una nueva Teoría de la Proporción. Prescindiendo del número irracional, Eudoxo opera con magnitudes que se pueden hacer menores que otras arbitrariamente prefijadas para lo que introduce lo que hoy llamamos el Axioma de continuidad: NIGMALISEN
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³ se
dice que dos magnitudes tienen razón, cuando se pueden multiplicar una de ellas de
modo que supere a la otra.´ En la geometría griega, dada una figura curvilínea, para determinar su área, se busca una sucesión de polígonos que aproximen progresivamente el área de dicha figura. Este resultado que es conocido como el Principio de Eudoxo, abre las puertas al Método de Exahución, con el que Eudoxo demuestra rigurosamente los teoremas sobre el área del círculo, así como los volúmenes de la pirámide y el cono. La solución de la crisis de los irracionales con la Teoría de la Proporción de Eudoxo, que quedo plasmada en el libro V de los Elementos de Euclides y constituyo a partir de entonces la medula de la geometría griega, fue un magnifico éxito científico, pero tomo una forma forma geométrico-deductiva de acuerdo con la filosofía filosofía platónica. Cierto que en ese momento la crisis no podía solventarse con la definición de número irracional, ya que ello hubiera precisado un desarrollo considerable de las técnicas de la aritmética de la computación.
LOS ELEMENTOS DE
EUCLIDES
³ Los Elementos´ Elementos´ de Euclides de Alejandría es una obra escrita alrededor del año 300 a. C., que recopila en 13 libros, los conocimientos matemáticos que se habían generado en más de 2000 años. Una parte sustancial de esta obra es de naturaleza geométrica, los libros del I al VI, tratan con geometría plana en los libros VII al IX se hace una exposición de la teoría de números, el libro X es un estudio sobre los números irracionales y los libros XI al XIII son un tratado de geometría tridimensional. tridimensional. La importancia que los Elementos de Euclides han tenido en el desarrollo matemático y científico en general, puede apreciarse casi desde que fueron escritos y hasta nuestros días, los elementos han ejercido una influencia continua y creciente sobre el pensamiento científico. Fueron la primera fuente de razonamiento, teoremas y métodos geométricos, por lo menos hasta el siglo XIX, en que aparecieron las geometrías no
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euclidianas. A veces se afirma que, después de la biblia, es posible que los elementos sean la obra más traducida, publicada y estudiada de la civilizaci c ivilización ón occidental. o ccidental. Los elementos empiezan con una serie de definiciones y cinco postulados en los que se basan todas las demostraciones de los teoremas presentados por Euclides. Los primeros tres postulados, se refieren a construcciones geométricas, el cuarto establece que todos los ángulos rectos. Esta idea implica que todas las propiedades geométricas de una figura son independientes de la posición en que se coloque en el espacio. El famoso quinto postulado, llamado ³postulado de las paralelas´ dice: ³S i
una recta que intersecta a dos rectas hace que los ángulos interiores de un mismo lado
sumen menos de dos rectos, entonces, si las rectas se prolongan indefinidamente, se intersectarán en el lado en que la suma de los ángulos interiores es menos de dos rectos´. La decisión de Euclides de tomar esta idea como un postulado, dio origen a la geometría euclidiana. Aparentemente, este postulado no satisfacía del todo a Euclides y trato de evitar usarlo tanto como le fuera posible, de hecho las primeras 28 proposiciones de los elementos se demuestran sin recurrir al quinto postulado. Su veracidad esta fuera de toda duda pero tal y como aparece expresado en la obra muchos consideran que seguramente puede deducirse del de l resto de los postulados.
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CONCLUSIONES La geometría es un área de fundamental importancia en las matemáticas, parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones, egipcia y mesopotámica, sin embargo, es la geometría griega la que se considera como la primera en ser formal, la escuela pitagórica juega un papel muy importante dentro de la geometría griega, ellos consideraban a los números como la esencia del universo, asentándose así el concepto de demostración formal como la única vía de establecimiento de la verdad en geometría, sin embargo esta firme idea del número como esencia del universo se ve seriamente afectada con la aparición de las magnitudes inconmensurables, eliminando de la geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud, produciéndose así la primera crisis en los fundamentos de la matemática. El descubrimiento de la inconmensurabilidad, debió provocar una enorme impresión en los círculos pitagóricos, porque destruía la creencia de que todo podía ser expresado con números enteros. Esta impresión es claramente reflejada en algunas leyendas que aseguran que Hipasos fue castigado por los dioses, por haber hecho público el terrible descubrimiento. Este descubrimiento invalidaba las pruebas de todos los teoremas que utilizaban proporciones, y es precisamente, la necesidad de reconstruir las pruebas geométricas de los pitagóricos a base de fundamentarlas en un nuevo rigor, lo que produce, como reacción ante la crisis, la aparición de los Elementos los Elementos de Euclides, donde la matemática elemental de los griegos queda rígidamente estructurada, con el rigor que impone el método axiomático. Así pues uno de los objetivos principales, de los Elementos los Elementos de Euclides debió ser la plasmación enciclopédica de la geometría griega elemental, organizado de forma lógico-deductiva y que normativizaba definitivamente el conocimiento matemático después de la aparición de los inconmensurbles.
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