Facultad: Ingeniería
Algebra Lineal Fernando González Ortega Matrices y la Ing. Eléctrica Hernández Torres Jesús Manuel
Mexicali Baja California a 30 de mayo de 2011
La aplicación de las matrices en electricidad
Que es la ingeniería eléctrica? La ingeniería eléctrica es el campo de la ingeniería que se ocupa del estudio y la aplicación de la electricidad, la electrónica y el electromagnetismo. Aplica conocimientos de ciencias como la física y las matemáticas para generar, transportar, distribuir y utilizar la energía eléctrica.
¿Que es un matriz? Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales .
En base a la investigación que lleve a cabo, destaca mucho una ley en Ing. Eléctrica la cual es llamada ´Ley de Kirchhoff ´ la cual es aplicada para circuitos eléctricos y a continuación se explicara un poco este teorema. .
R3
e
R1
2
R2 3
1
R6
Figura 1.0 R4
R5
Antes de empezar tenemos que tener bien definidos unos conceptos imprescindibles ya que son muy utilizados en los circuitos y hay que familiarizarnos con estos: * Un nudo es cualquier punto del circuito donde se conectan tres terminales o más de diferentes componentes. * Una rama es el conjunto de elementos conectados entre dos nudos. * Una malla es un circuito que se puede recorrer sin pasar dos veces por el mismo punto. En el circuito de la Figura 1, se han indicado los cuatro nodos y se utilizaran los subíndices de las seis resistencias para denominar las respectivas ramas. La matriz de incidencia para el circuito 1, es la siguiente : 1
2
3 4 1
5
Nodo 1
-1
0
Nodo 2
1
-1
M = Nodo 3
0
1
-1 0
1
Nodo 4
0
0
0
-1
0
6
-1 0 0 0
1
0 -1 0 1
¿Que es la ley de Kirchhoff? Son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, la suma de la corriente que entra en ese nodo es igual a la suma de la corriente que sale. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero
Expresión de la ley de corrientes de Kirchhoff para el circuito de Figura1.
Nodo
i Entrantes
I Salientes
1
i3
i1, i4
Expresión de la ley i3 = i1 + i4
2
i1
i2, i6
i1 = i2 + i6
3 4
i2, i5 i4, i6
i3 i5
i2 + i5 = i3 i4 + i6 = i5
Este tipo de ley y aplicación de matrices se puede utilizar en circuitos de serie y paralelo. Circuito en serie: Para este modo de conexiones se escoge un circuito de corriente continua y así se podrá ver si caída de tensiones y pasos de corriente. En el gráfico, se puede disponer de un circuito en serie es disponer una resistencia detrás de otra, con lo cual se obtendrá puntos muy concretos donde se puede hacer diversos estudios de la caída de tensión y corriente.
El voltaje total del circuito será la suma total de los voltajes, encontrados en los puntos A,B,C y D; la corriente total es igual en todos los puntos que atraviese, por lo tanto la intensidad total será igual en A,B,C y D. VT = Voltaje Total VT = V1 +V2 +V3 IT = Intensidad Total o Corriente Total IT = I1 + I2 + I3 Ejemplo: conexión en serie
Figura 2.
El circuito en paralelo: Un circuito paralelo es aquel que está formado por dos o más pequeños circuitos por los cuales pueden circular la corriente. Para comprobar se puede observar el gráfico como conectamos tres resistencias en paralelo. Aquí se puede apreciar la intensidad total o corriente total, se divide en i1, i2 e i3, la suma de cada una de éstas nos dará el valor total de la corriente. Ejemplo de conexión en paralelo:
Figura 3 .
Teoría de Grafos. Puede definirse de la siguiente manera: Se V un conjunto no vacio , cuyos elementos llamaremos vértices o nodos; a un conjunto de aristas o ramas φ una función – función de incidencia – que asigna a cada arista de A un par de vértices de V, no necesariamente distintos. Si los vértices son iguales a la arista que los une la llamaremos lazo . La terna G = (V, A, φ) es un grafo sobre V.
A5
V1
A1
V2
A3
A4
V3 V4 A2
Cualquier arista se dice incidente con los vértices que une, mientras que los vértices que son extremos de una misma arista se llaman adyacentes. Así, por ejemplo la arista a5 de la figura 1 es incidente con los vértices V1 y V2. Los vértices a su vez se dicen adyacentes porque son extremos de una misma arista: en este caso a5. Si bien la representación de un grafo suele ser visualmente útil y pone de manifiesto las funciones que relacionan vértices y aristas, en muchas cuestiones, como en el tratamiento computacional de los grafos, esta no es adecuada. Se recurre entonces a una representación matricial. En las representaciones matriciales usuales se puede destacar la cantidad de aristas que unen vértices adyacentes – matriz de adyacencia – o la relación de incidencia entre aristas y vértices en Las matrices de incidencia .
Ejemplo, la matriz de incidencia del grafo: a1 a2 a3 a4 a5
Mi
=
v 1 -1 0 1 v2 0 0 0 v 3 1 -1 0 v 4 0 1 -1
0 -1 0 1 0 0 -1 0
La matriz es de formato 4×5. Estos temas, juntos con otros que conforman la llamada Matemática Discreta , en general no están incorporados a los ciclos básicos de las carreras, sino que se encuentran dispersos en distintas materias a lo largo del plan de estudios y en función de las necesidades de las cátedras.
