diferencial Con enfoque en competencias Luis Martínez Vázquez
diferencial Con enfoque en competencias Luis Martínez Vázquez
ISBN: 978-607-489-555-1
Vicepresidencia editorial Araceli Estévez González Dirección editorial Gudelia Matías Silva Editor en jefe Magdalena Morales Luis Editor Aldo Chiquini Zamora Corrector de estilo Marco Antonio Menéndez Casillas Revisor técnico Antonio Michua Camarillo Diseño y formación Joaquín Alfredo García Serrano Producción editorial Rubén Matías Silva
Copyright 2012 por: Book Mart, S.A. de C.V. Marca Registrada® Visite nuestro portal www.bookmart.com.mx 1ra edición Octubre de 2012 Impreso en México
DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Presentación Editorial Book Mart, en el afán de cubrir las necesidades de preparación de los jóvenes, se ha dado a la tarea de contribuir en el modelo de educación basado en competencias y ha orientado su experiencia en elaborar materiales que ayuden a optimizar el desempeño de los docentes; además de ayudar a mejorar el aprovechamiento académico de los estudiantes, creando para ello una estructura didáctica que aporte diversos elementos que hagan el aprendizaje dinámico e integral. El objetivo principal de esta aportación, dentro de la reforma educativa en el nivel medio superior, es el aprovechamiento y la funcionalidad de los programas de estudio, los cuales son el eje rector del aprendizaje significativo. Este enfoque didáctico da sentido a las intenciones de formación que el Sistema Nacional de Educación tiene para el joven, convirtiendo lo que se aprende en una herramienta útil a lo largo de la vida del estudiante. Esto con el fin de que al terminar su bachillerato tecnológico esté capacitado para asumir una postura crítica y reflexiva ante los fenómenos de su entorno, ya sea para continuar su vida escolar o incorporarse al ámbito laboral con seguridad. Un alumno que cursa un bachillerato en este subsistema tiene una formación sólida para tomar decisiones y está altamente calificado en el ámbito profesional. Para lograrlo, el método que Book Mart propone es abordar los conocimientos, a fin de acercar más al estudiante a situaciones problematizadoras; es decir, aquéllas que le permitan desempeñar procesos lógicos, como seleccionar, relacionar y analizar, además de manejar conocimientos pragmáticos: aplicar, interpretar y valorar, lo cual traerá como consecuencia la adquisición y el perfeccionamiento per feccionamiento de las habilidades fundamentales para la vida laboral. Los contenidos programáticos abordados en este material se presentan en tres unidades, cada una cumple con los momentoss de apertura, desarrollo momento desarrollo y cierre, y se encuentran permeadas a través de un proyecto y un tema integrador, que tienen como base los atributos de competencias genéricas mínimos a desarrollar para lograr la transversalidad propuesta por el Marco Curricular Común. Las secuencias didácticas implican la realización de actividades de aprendizaje de tipo diverso, a saber: de descubrimiento, de ejercicio de habilidades del pensamiento, de integración de aspectos y dispositivos de aprendizaje, como la atención, atenci ón, la memoria, etcétera. Éstas se ofrecen previamente diseñadas con la finalidad de optimizar el tiempo clase, logrando un máximo aprovechamiento del maestro y del estudiante. Cada unidad cierra con apartado de evaluación, donde se encontrarán útiles herramientas para la evaluación de las nuevas competencias del joven. Por último, proponemos a nuestros docentes usuarios redescubrir la pasión de verse trascendidos en los estudiantes, marcando de manera profesional, positiva y entusiasta la vida de aquéllos para los que son mentores. Para esto ofrecemos un paquete de sugerencias y recursos adicionales que se les entregarán de manera gratuita, con todo nuestro reconocimiento por su invaluable labor. Gracias por tener este material en sus manos y permitirnos acompañarlos en esta maravillosa labor de aprendizaje. Estamos seguros seguros de que juntos lograremos lograremos hacerla más enriquec enriquecedora. edora.
COMPETENCIAS GENÉRICAS Se autodetermina y cuida de sí 1) Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. Elige alternativas y cursos de acción con base en e n criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida. Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 2) Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. Participa en prácticas relacionadas con el arte. 3) Elige y practica estilos de vida saludables. Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo. Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean. ▪ ▪ ▪ ▪
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▪
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Se expresa y se comunica
4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. Identifica las ideas clave en un texto t exto o discurso di scurso oral e infiere conclusiones conclusiones a partir partir de ellas. ellas. Maneja las Tecnologías de la Información y la Comunicación para obtener información y expresar ideas. ▪ ▪
▪ ▪
III
Piensa crítica y reflexivamente 5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. Utiliza las Tecnologías de la Información y la Comunicación para procesar e interpretar información. 6) Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. ▪
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▪ ▪
▪
Aprende de forma autónoma
7) Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones e ntre ellos y su vida cotidiana. ▪ ▪
Trabaja en forma colaborativa
8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. ▪ ▪ ▪
Participa con responsabilidad en la sociedad
9) Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado. Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente. 10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad, de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación. Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio. Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional. 11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente. ▪ ▪ ▪
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▪
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1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
IV
Números reales
6
El sistema de los números reales
8
Regla de jerarquía o prioridad
17
Regla de asociatividad
17
Sistema de coordenadas lineales y rectangulares
19
Sistema de coordenadas lineales
19
Sistema de coordenadas rectangulares 2D o plano cartesiano
20
Desigualdades
25
Intervalo
27
Solución de desigualdades
29
Funciones
37
Dominio y contradominio
38
Clasificación
39
Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
39
Funciones pares e impares
42
Funciones crecientes y decrecientes
44
Operaciones
50
Comportamiento
52
Límite de una función
70
Límite de funciones polinominales
75
Límite de funciones racionales
76
Límite de funciones irracionales
80
Límite de funciones trigonométricas
82
Propiedades de los límites
86
Continuidad de una función
90
Teorema del valor intermedio
93
V
Razón de cambio promedio e interpretación geométrica
110
Interpretación geométrica de la derivada
113
Derivación de funciones
118
Derivada de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
118
Derivadas de funciones exponencial y logarítmica Derivada de la función exponecial de base a
121
Derivada de la función exponencial base
123
e
122
Derivada de la función logaritmo base
a
125
Derivada de la función logaritmo base
e
126
Regla de la cadena
127
Fórmulas de derivación
131
Regla del producto
136
Regla del cociente
137
Derivadas sucesivas
140
Interpretación gráfica de la primera y segunda derivada
141
VI
A mi esposa, Eva, por su amor, apoyo incondicional y su paciencia ejemplar. A mis hijas, Samantha, Janet y Paulina, quienes son la causa principal de mi vida. A mis padres, Thelma † y Juan, que con su amor y consejos me enseñaron que la honestidad, la constancia y el trabajo son los valores más importantes en la vida. A mis amigos y compañeros docentes, quienes con sus consejos y comentarios han dado forma a esta obra. Finalmente, a todos mis alumnos, que con su trato diario, a través de los años, han propiciado en mí la inmensa satisfacción que representa el ser docente.
VII
Que el estudiante participe articulando conocimientos de diversas disciplinas, identifique sus relaciones, (sistemas y reglas o principios medulares) para estructurar ideas y argumentos, y dé solución a problemas surgidos tanto de la actividad humana: (distribución inequitativa de los recursos económicos, propagación rápida de enfermedades, etcétera) como de los fenómenos naturales (cambio climático, contaminación por emisión de gases, etcétera), aplicando el razonamiento, el análisis y la interpretación de procesos finitos que involucren razones de cambio.
Pre-cálculo. Funciones.
Números reales. Sistema de coordenadas lineales y rectangulares. Desigualdades. Intervalo. Dominio y contradominio. Clasificación. Operaciones. Comportamiento.
Espacio Diversidad
Comprender el comportamiento de fenómenos que se relacionen con las especialidades de cada plantel y su contexto en general, de tal manera que interprete, represente y estime soluciones a través del cálculo diferencial. Reflexionar sobre máximos y mínimos, concavidad y simetría, rapidez de cambios, etcétera.
Competencia disciplinar y extendida Escucha, Expresa ideas Interpreta tablas, interpreta y y conceptos gráficas, mapas, emite mensajes mediante diagramas pertinentes representaciones y textos con en distintos lingüísticas, símbolos contextos matemáticas o matemáticos y mediante la gráficas. científicos. utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Competencia genérica
Atributo
Significado de la relación
Relación fuerte: la relación es procedimental, ya que se refiere, en ambas competencias, al uso de representaciones matemáticas que pueden ser expresiones algebraicas y gráficas para expresar ideas y procedimientos.
Contenidos relacionados Fácticos
Procedimentales
Actitudinales
Notación: representación algebraica de expresiones de lenguaje común
Interpretación de expresiones algebraicas Evaluación numérica de expresiones algebraicas
Perseverar en la búsqueda de solución de problemas algebraicos Trabajar de manera colaborativa con sus compañeros en la solución de problemas
Cálculo
Unidad
1
Introducción El Cálculo Diferencial es una disciplina matemática que permite el estudio de las funciones, con la intención de optimizar recursos financieros, humanos, materiales, etcétera. Para tal efecto, es necesario estudiar las funciones que describen las relaciones entre los valores de dos o más variables, lo cual posibilitará lograr el diseño de modelos matemáticos que serán parte no sólo de una aplicación práctica, sino también de una formación integral en tu vida estudiantil. Como sabes, en el Bachillerato Tecnológico lo que se pretende es que aprendamos juntos actuando sobre la realidad y construyendo conceptos a través de ello. Es por eso que te invitamos a que en tu libreta vayas llevando una bitácora de los conceptos que creas que estás construyendo, para que podamos evaluarnos al final y descubrir si realmente logramos la meta. Responde a la siguiente autoevaluación diagnóstica para que te enteres de cuánto recuerdas e identifiques qué debes revisar en tus libros pasados. Puedes evaluarte con un compañero a fin de tener una coevaluación, o entregar la evaluación a tu maestro para que se vuelva una heteroevaluación.
Actividad diagnóstica Resuelve los siguientes ejercicios escribiendo los procedimientos completos en tu libreta:
1. La expresión 2 significa: ______________ B + E − D + A ) ? _________________ 2. Sea A = 1 , B = 3 , C = 5 , D = 2 y E = 7 , ¿cuál es el valor de la expresión ( C 3. Es la factorización completa del número 30: ______________ 4
45
4. La fracción equivalente más simple de
72
es: ______________
5. La propiedad ____________________ de la multiplicación expresa que “el orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación”, es decir, ab = ba . 6. De la fórmula c 2 = a 2 + b2 , despeja la variable b . Resultado: ______________ 7. Evalúa la expresión 15 − 3 + ( 5 − 1) ( 3 − 2 ) . Resultado: ______________ 8. Es la forma abreviada de la expresión 3 + 3 + 3 + 3 + 3 : ______________ 2
2
9. Encuentra el resultado de la operación: 10. ¿Cuál es el valor de la expresión
5
0
3 5
+
9 15
: ______________
? ______________
Actualmente las condiciones ambientales representan un tema de interés para todos, debido a que nuestros diversos procesos industriales las han deteriorado. La preocupación por mantener un orden ecológico está vigente en todos los ámbitos: industrial, político, social, educacional, etcétera, sobre todo en lo relacionado con aprender a ahorrar y a hacer un uso eficiente y óptimo de los recursos, con la finalidad de generar, no sólo un cambio de conciencia, sino una nueva forma de actuar en nuestras vidas: saber ser. Ante esta condición ambiental, los diversos centros de trabajo y preparación se están involucrando en proyectos ecológicos que sean sustentables y promuevan una nueva visión en tu formación humana y en tu calidad de vida. Es importante que comprendas que la aplicación de los diversos conocimientos contribuye no sólo a tu desarrollo personal e intelectual, sino también al desarrollo comunitario. Específicamente, queremos que para este curso de Cálculo logres desarrollar tus competencias, para aplicarlas en un proyecto que consistirá en diseñar recipientes cilíndricos y rectangulares prácticos y, sobre todo, económicos. Dichos recipientes servirán para sembrar diversas plantas y contribuir a que tu escuela sea parte de esta nueva formación y visión sobre el cuidado ambiental.
4
Pre - cálculo y funciones Es importante recordar que para este proyecto deberás contar con el apoyo tanto de tus compañeros como de la planta docente y administrativa de la institución. Asimismo durante este curso de Cálculo, tendrás que aproximar diversas áreas del conocimiento para que no sólo diseñes los recipientes, sino que puedas planear este proyecto ambiental con todos los recursos necesarios: saber cómo sembrar, conseguir recursos para las plantas, organizarte con tus compañeros para conseguir el material (preferentemente reciclable), realizar diversas compañas de promoción a tu proyecto, etcétera.
A través de una lluvia de ideas, mencionen algunas situaciones problemáticas que recuerden de manera inmediata, en las que el Cálculo pudiera ayudarles a encontrar soluciones.
Para comenzar a planear y construir este proyecto de recipientes que servirán como macetas en tu comunidad escolar, es importante que desarrolles un modelo matemático que garantice que dicho recipiente será el más económico.
El reto: modelo matemático ¿Cuál es el conflicto específico a resolver? ¿En qué situaciones de tu comunidad podrá ser útil este conocimiento? ¿Qué beneficios traerá a la comunidad escolar la solución de dicho conflicto?
Para desarrollar dicho modelo matemático que garantizará que tus recipientes sean lo más económicos posible, es necesario que consideres los siguientes puntos: a) Investiga cómo se construye un recipiente cilíndrico (bote) y una caja rectangular, ambos sin tapa. Observaciones:
b) Encuentren relaciones entre las dimensiones del recipiente y variables que permitan determinar el costo del recipiente. Observaciones:
c) A partir de la información obtenida de los puntos anteriores, formula el modelo matemático del costo de tu recipiente. Observaciones:
5
Cálculo
Unidad
1
d) Una vez obtenido el modelo matemático para el costo del recipiente, determina los costos de varios diseños y repórtalos en una tabla como la siguiente:
Radio de la base: cm. Valores arbitrarios. Ejemplo: 1 1.5 2 …
Recipiente cilíndrico (bote) Área del material requerido: cm2. Valores calculados con la función de tu modelo matemático.
Recipiente rectangular (caja) Longitud de los lados del Área del material requerido: cuadrado que se recorta en cm2. las esquinas: cm. Valores arbitrarios. Ejemplo: 1 1.5 2 …
Costo del cilindro (bote): pesos mexicanos.
Costo de la caja: pesos mexicanos.
Valores calculados con la función de tu modelo matemático.
Reflexiona: ¿Qué información teórica necesitas para afrontar este reto?
Números reales La necesidad del hombre de situar objetos en el espacio dio origen a la construcción de un sistema que ayudara a explicar el lugar espacial de las cosas. Las culturas babilónicas y egipcias (2200 a. C.) fueron las precursoras en la aplicación de la Aritmética en
6
la Geometría, al relacionar el área de una figura plana con su perímetro. Asimismo, conocían métodos para obtener más áreas de triángulos y rectángulos y obtenían buenas aproximaciones del área del pentágono y el hexágono sin hacer comparaciones con el cuadrado.
Pre - cálculo y funciones El siguiente momento en el que se calcularon áreas de figuras planas, como lo refiere Euclides en sus Elemen- tos, se dio con Antifonte (430 a. C.) y Eudoxo (409-356 a. C.). Ellos obtuvieron el área de un círculo mediante una sucesión de polígonos regulares inscritos, de donde se determinaron conceptos en los cuales era necesario hallar los vértices y las longitudes de las figuras desde un origen, para ubicar así todo el elemento en estudio. René Desartes (1596-1650), filósofo, científico y matemático francés, contribuyó a la sistematización de la Geometría Analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar por primera vez las rectas y curvas en un plano conforme al tipo de ecuaciones que las producen. Asimismo, ayudó en la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Otro matemático cuya obra resultó determinante para el estudio de la Geometría Analítica fue el inglés Thomas Simpson, quien es conocido en el mundo de las Matemáticas por sus aportaciones a los métodos numéricos. Fue miembro de la Royal Society de la Real Academia Sueca de Ciencias. En el campo de la educación matemática, sus textos sobre Álgebra, Trigonometría y Geometría se editaron durante el siglo XVIII. Función Todo conocimiento, tecnología y objeto que nos rodea tiene un origen; las Matemáticas no son ajenas a este proceso. El concepto de función es el cimiento para el desarrollo de muchas áreas de las Matemáticas y las ciencias. Los babilonios, los griegos y los pueblos que hicieron matemáticas tenían en mente el concepto de función. Ptolomeo, en su Almagesto , ya no sólo usaba fórmulas, sino que asociaba los elementos entre conjuntos. Galileo, en sus estudios sobre el movimiento, mostró una relación entre variables. Descartes introdujo el Álgebra a la Geometría en La Géometrie (La geometría), donde afirmó que una curva puede dibujarse al permitir que una línea tome, sucesivamente, un número infinito de valores distintos. La palabra función fue usada por Leibniz, quien escribió en agosto de 1673: “… otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.” Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describió una función como: “… una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.” Se puede decir que el concepto de función apareció en la historia de las Matemáticas en 1748, fecha en que Euler publicó Introductio in analysin infinitorum
(Introducción al análisis infinito ), en donde definió a la función de la siguiente manera: “Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.” D’Alembert y Euler entraron en una controversia a raíz de la formulación del problema de la cuerda vibrante. En 1755, Euler publicó otro libro muy importante: Institutiones calculi differentialis (Introdución al cálculo diferencial ), en el que definió a la función de manera general. Junto a estos genios, aparecieron nombres como Lagrange, Fourier, Cauchy, Weierstrass, Leibniz y Newton, los cuales están ligados al desarrollo del concepto antes mencionado. El resultado triunfal del trabajo de estos gigantes, sobre todo los dos primeros, fue la creación de la obra cumbre del intelecto humano, y una de las herramientas más importantes de la Matemática: el Cálculo Diferencial e Integral. Durante el desarrollo histórico de las funciones, numerosos matemáticos y académicos vertieron sus definiciones o conclusiones al respecto. A continuación, se presentan algunas de ellas: “… El concepto más importante de todas las Matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi todas las ramas de la Matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones…” (Spivak) “… Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están orgánicamente relacionados unos con otros; son interdependientes. El género humano conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de esta clase, y este conocimiento se halla expresado en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan un fenómeno dado están tan íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas por los valores de las demás[…] Fueron correspondencias de esta clase las que sirvieron de origen al concepto de función…” (Aleksandrov). “… Una de las ideas más fructíferas y brillantes de la segunda mitad del siglo XVII fue la de la conexión entre el concepto de función y la representación geométrica de una curva. Esta conexión puede realizarse, por ejemplo, por medio de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares…” (Aleksandrov) En cuanto al alumno se refiere: “… hemos constatado, que en el caso de la apropiación de un lenguaje gráfico como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, conciben entonces a la función como objeto y pueden transitar entre los contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad…” (Rosa María Farfán Márquez).
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Cálculo
Unidad
1
El sistema de los números reales Aldo cuenta 38 años, es casado desde hace 5 años y tiene 2 hijos: Jaimito y Anita, de 4 y 1 años de edad, respectivamente. Aldo trabaja como vendedor en una empresa distribuidora de ropa, donde recibe como pago comisiones del 5% sobre sus ventas semanales. Destina 2/3 de su sueldo al mantenimiento familiar, 1/6 a gastos de transporte y el resto lo ahorra. ¿Qué crees que Aldo haga en caso de que lo dispuesto para gastos de transporte no sea suficiente durante la semana? ¿Y en caso contrario? Al final de una semana logró ventas por 45 000 pesos. ¿Cuánto destinó al gasto familiar? ¿Cuánto dinero depositó en la cuenta de ahorros? Según sus cálculos, la siguiente semana visitará clientes en diferentes ciudades y considera que en transporte gastará 5 000 pesos; con el ingreso obtenido, ¿podrá cubrir los gastos de transporte de la siguiente semana? Como puedes darte cuenta, para resolver el problema anterior requerimos del uso de distintos tipos de números. En esta unidad estudiaremos los números reales ( ) , los subconjuntos en y sus propiedades. Números reales Los números reales son el conjunto de todos los números que pueden representarse como puntos en la recta numérica.
Son todos los números que habitualmente utilizamos para referirnos a una cantidad: el número de tu casa en la dirección de tu domicilio, el pago de servicio de luz y energía en el recibo que te entrega la compañía cada mes, el área de terreno que ocupa tu escuela, tu edad, la cantidad de dinero que tienes ahora, el número de compañeros de clase, etcétera. Sin embargo, no todos los números que existen son números reales. Existen números que no es posible ubicar en la recta numérica: los números imaginarios y los números complejos, que son temas de estudio posteriores. De este modo, podemos esquematizar al conjunto de números reales de la siguiente manera: Negativos: − = { , − 3, − 2, − 1} Cero: {0} Positivos o naturales: = {1, 2, 3, } Enteros : No negatiivos: W={0, 1, 2, 3, } Racionales : Pares: { , − 4, − 2, 0, 2, 4, } Primos: {±2, ± 3, ± 5, ± 7, ± 11, ± 13, ± 17, ± 19, } Otros enteros... Positivos. Algunos ejemplos son 34 , 117 , 235 , etc. Frac c cionarios 6 17 Negativos. Algunos ejemplos son − 13 , − 7 , etc. Positivos. Algunos ejemplos sonn 3, π , e, etc. Irracionales: ' Negativos. Algunos ejemplos son − 5, − 3 13, − 5 20 , etc. …
…
…
…
Números Reales :
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Pre - cálculo y funciones Para todos los números reales aplican las propiedades siguientes: Suma: a + b = b + a Conmutativa Multiplicación: ab = ba Suma: a + (b + c ) = ( a + b ) + c Asociativa Multiplicación: a ( bc ) = ( ab ) c
Suma: a + 0 = a Elemento neut ro Multiplicación: a × 1 = a
Puedes profundizar tu conocimiento de los números reales y sus propiedades en la siguiente liga: http://www-old. dim.uchile.cl/~docencia/calculo/ material/tut_calc_2012.pdf
Suma: a + ( −a ) = 0 Inverso 1 Multiplicación: a × a = 1 Distributiva del producto sobre la suma: a ( b + c ) =
ab + ac
Actividad de aprendizaje 1
Esta actividad contribuye a la superación del reto porque te permite conocer las reglas que aplicarás para calcular el costo de los recipientes.
Explica la propiedad que se emplea en cada una de las siguientes expresiones: 1)
9+
2)
6 5
3)
3 + 5 −1
(
( −9) = 0 Respuesta: _______________ −
3
)
=
( )
6 5
−
( )
6 3
=
30
−
18
=
12 Respuesta:
_______________
) = ( 3 + 5) − 1 = 8 − 1 = 7 Respuesta: _______________
(
7 = 1 Respuesta: _______________ 7 2 5) 4 (5 ) 5 ( 4 ) 20 Respuesta: _______________ 4)
2
=
=
A continuación se explican los subconjuntos de los números reales, representados en el esquema anterior, con suficientes ejemplos, con la intención de formalizar conceptos importantes para la aplicación de estos números en la solución de problemas.
Números racionales ( ) Son todos los números que se pueden escribir como fracción de dos enteros; es decir, si a y b son números enteros, entonces un número que se puede expresar en la forma a es racional. b
Imagen 1.1 Los números racionales se expresan como fracciones de enteros.
9
Cálculo
Unidad
1
Por ejemplo, todos los números enteros se pueden expresar como la fracción de ellos entre 1, que también es entero, por lo que todos los enteros son números racionales:
4
−
=
−
4
,
1
17 =
17 1
,
3
3 =
1
, etcétera. Éstas son las formas
racionales más simples para demostrar que un entero es número racional; sin embargo, podemos usar fracciones equivalentes; por ejemplo, para el número 3 tenemos diferentes formas racionales: n = 3 = 3 = 6 = 9 = 12 = = nk 1 2 3 4 k en las que k = ±1, ± 2, ± 3, Los números con parte decimal finita también son números racionales. Por ejemplo, los números 7.5, 19.25 y 9.287 son números que podemos escribir como las fracciones:
75 10
=
15 2
1925
,
100
=
77 4
y
9287 1000
. Como se muestra en
estos ejemplos, el proceso para convertir un número con parte decimal finita a fracción de enteros es sencillo: 1) Se cuentan las cifras de la parte decimal del número n para obtener como resultado el número k . Por ejemplo, si n = 7 .5 , se tiene que k = 1 . 2) Dependiendo del valor k obtenido en el paso anterior, se deberá multiplicar al número n por 10k . Si k = 1 , n se multiplica por 10; si k = 2 , por 100; si k = 3 por 1000, y así sucesivamente. Esto dará como resultado un entero m sin parte decimal: m = n × 10 . Para el ejemplo, m = 7.5 × 10 = 7.5 × 10 = 75 . 1
k
3) Se expresa
como la fracción de
n
m entre
10
k
:
n =
m
10
k
. En el ejemplo:
7.5 =
4) En caso de ser posible, se recomienda simplificar la fracción. Para el ejemplo:
7.5
75 10
.
75 =
10
=
3×5× 5 2× 5
15 =
2
.
Los números con parte decimal infinita pero periódica también son racionales. Por ejemplo, el número 15.333 , que se puede escribir como 15.3 , es racional. Observamos que la parte decimal es infinita (que es lo que indican los puntos suspensivos) y que una cifra es la que se repite periódicamente hasta el i nfinito. Esta cifra es el número 3, por lo que, mediante una resta para esta cifra indicamos que se repite periódicamente hasta el infinito. El proceso para demostrar que es un número racional es el siguiente:
1) Sea n el número que deseamos probar que es racional; entonces, si la parte periódica comienza desde el punto decimal (como en este caso) y el número de cifras periódicas es k , se debe obtener el producto: 10 n . 2) Se realiza la resta de este resultado menos el número original: 10 n − n , que en forma factorizada es: (10 − 1) n . k
k
k
En este paso, tenemos lo siguiente: 10k n n
−
(10
k
−
1) n
número mayor
=
número menor
=
=
número
m
3) Despejamos n , moviendo el valor (10k − 1) de la izquierda del signo de igualdad a la derecha. Dado que en el lado izquierdo se halla multiplicando, pasará al otro lado dividiendo al número m : n
=
número m
(10
k
−
)
1
4) Se simplifica, si es posible, la fracción para presentar el resultado más sencillo.
Usemos el proceso anterior para demostrar que el número 10n
=
153. 3
n
=
15. 3
−
9n
n
10
=
138
9
( ) 3 (3)
3 46
138 =
=
46 =
3
15.3
es racional:
Pre - cálculo y funciones Números irracionales ( ' )
Imagen 1.2 El número áureo está presente en diseños naturales como el de la ilustración.
Son todos los números no racionales, es decir, aquéllos que no se pueden escribir como fracción de dos enteros. Una característica de estos números es que tienen parte decimal infinita no periódica. Por ejemplo, si calculamos el valor de 2 , tenemos 1.414213562373… Este número no puede expresarse con una fracción de enteros. No existen dos enteros a y b tales que 2 = a , por lo que decimos que 2 es un número irracional. Debemos tener b cuidado en adelantarnos y concluir que las raíces son la causa de la irracionalidad de un número, porque no todas las expresiones radicales (con raíces) son irracionales. Por ejemplo, 16 representa un número racional: 16 = 4 = 4 , 1 porque se puede expresar como fracción de dos enteros: el 4 y el 1. Sin embargo, podemos afirmar que muchas expresiones radicales representan números irracionales, por ejemplo, para raíces cuadradas: 2 , 3 , 5 , etcétera; para raíces cúbicas: 2 , 3 , 4 , etcétera, y así sucesivamente. Otro ejemplo de número irracional es el valor de la constante matemática (pi), que se define como el número de veces que el diámetro de un círculo cabe en su perímetro (o circunferencia). El valor de pi aproximado es: 3.1415926535897… que, como vemos, tiene parte decimal infinita no periódica. Para fines prácticos, se usa una aproximación de este valor en los cálculos: 3.1416; no obstante, debe quedar claro que esta aproximación no es el verdadero valor de . Existen otros números definidos matemáticamente, como el número de Euler, que se representa con el símbolo e y cuyo valor aproximado es 2.7182818284590…, que también es irracional. También es irracional el número divino: 1+ 5 Φ = ≈ 1.61803398... , que expresa una proporción presente en muchas formas naturales como los caracoles, las pi2 ñas de los pinos, estrellas de mar, etcétera, así como en la música, la arquitectura y las artes. Este número se relaciona con la belleza y la perfección, por eso se le llama número divino o número de oro. 3
3
3
π
π
Enteros ( ) Estos son números que usamos con mucha frecuencia. Con ellos expresamos distintas cantidades como, por ejemplo, la edad, el número de integrantes de una familia, el número de alumnos en un salón, la cantidad de asientos en un cine, la cantidad de autos que circulan por una avenida, la cantidad de boletos vendidos para una rifa, el número de empleados de una empresa, etcétera. Imagen 1.3 La cantidad de elementos en un conjunto (su cardinalidad) es un ejemplo de número entero.
11
Cálculo
Unidad
1
Nuestro primer contacto con los números fue con números enteros; sin embargo, nuestro conocimiento numérico de éstos fue dosificado. Ahora sabemos que existen diferentes tipos de números enteros. Cuando contamos los elementos de un conjunto, necesitamos de este tipo de números. La mayoría de los números enteros que usamos proviene de procesos de conteo. Si los ubicamos en una recta numérica, podemos localizar números enteros a la izquierda de cero y también a su derecha. Enteros negativos. Los primeros se llaman enteros negativos y su conjunto se representa mediante el símbolo . Este conjunto puede definirse como � {…, 4, 3, 2, 1} , que muestra que el número entero negativo más grande es el −1 y que todos los demás son menores que éste. Enteros positivos o naturales . Los números enteros que se localizan a la derecha de cero se denominan enteros positivos o números naturales . El conjunto de estos enteros se puede representar con los símbolos o . La definición de este conjunto es: � = = {1, 2, 3, 4, …} , donde se puede ver que el número natural menor es el 1 y que todos los demás son mayores que él. Enteros no negativos . Existe otro conjunto de enteros formado por el conjunto de todos los enteros no negativos: W . Este conjunto contiene al cero y a todos los números naturales (porque son todos los enteros que no son negativos), así, la definición de este conjunto es W {0, 1, 2, 3, 4, } . −
−
=
−
−
−
−
+
+
=
Fraccionarios Son números racionales porque se pueden escribir como fracciones de enteros, pero la característica de los números en este conjunto es que tienen parte decimal; es decir, la división de los enteros no es exacta, no produce un valor entero.
Ejemplos de estos números son: 1 , 3 , 8.75 , − 5 , 7 4 2 −109.6587 , etcétera. Con este tipo de números representamos gran cantidad de datos en nuestra vida cotidiana: precios de productos y servicios, promedios de calificaciones en la escuela, impuesto predial, cualquier tipo de pago (agua, teléfono, electricidad, etcétera), porcentajes, saldos de créditos, entre otros.
Imagen 1.4 La estatura de una persona no es necesariamente entera, en cuyo caso se expresa como número fraccionario o decimal.
12
Pre - cálculo y funciones
Imagen 1.5 Los rotores son ejemplos de sistemas en los que se usan números no reales.
Con base en las definiciones anteriores, podemos concluir que los números reales son todos los números que pueden representarse gráficamente como puntos de la recta numérica. De tal suerte, tanto los números racionales como los irracionales, son números reales. Existen números que no pueden graficarse en la recta numérica, denominados números imaginarios, que, por tanto, no son números reales. Los imaginarios son números que, al multiplicarse por sí mismos, producen un resultado negativo. Los números reales no pueden cumplir este requisito porque, por la regla de signos de la multiplicación, sabemos que la multiplicación de signos iguales produce resultados positivos. Los números imaginarios serán estudiados posteriormente. Como un ejemplo de estos números, tenemos el número 2i , donde i 1. Sabemos que la raíz cuadrada de un número es otro que al elevarse al cuadrado, produce el que está dentro de la raíz, lo que confirma la primera definición. i se conoce como “unidad imaginaria”. Así, −4 es 2i , porque ( 2i )( 2i ) 4i 4 ( 1) 4 ( 1) 4 . La combinación de un número real con uno imaginario mediante una operación de suma o resta da lugar a otro tipo de número llamado número complejo. Un ejemplo de número complejo es: 7 − 3i . Los números complejos se usan en el estudio de las vibraciones en rotores, la corriente eléctrica, sistemas electrónicos, en la mecánica cuántica, etcétera. =
2
=
2
=
2
2
−
=
−
=
−
2
−
Una aplicación interesante de los números complejos son algunos fractales, acerca de los cuales puedes consultar información en el sitio web: http://arquimedes.matem.unam.mx/ PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/ html/index.html
13
Cálculo
Unidad
1
Imagen 1.6 El valor absoluto de un número es su distancia al cero sin considerar el sentido o dirección.
Valor absoluto de un número real Cualquier número real está localizado en la recta numérica a cierta distancia del cero. Esta distancia es la magnitud del número y se denomina valor absoluto de ese número. Por ejemplo, el número 3 está a 3 unidades hacia la derecha del cero, por lo que su magnitud o valor absoluto será 3. Asimismo, el número −3 está a 3 unidades hacia la izquierda del cero, por lo que su magnitud o valor absoluto es 3. Para definir el valor absoluto del número x , se usa la expresión x , donde el número x encerrado entre barras verticales, llamadas barras de valor absoluto. A partir de esta definición, el ejemplo anterior se puede expresar de la siguiente manera: 3 3 y 3 = 3 . −
=
En general, para cualquier número real x se tiene que Ejemplo 1: Calcula el valor absoluto de
3
2
−
(
x
− x, si x es negativo ( x < 0 ) = 0, si x es cero ( x = 0 ) x, si x es positivo ( x > 0 )
).
5 2+1
Solución: 3
2
−
(
)
5 2 +1
=
( )
8−5 3
=
8 − 15
(
= −7 = − −7
)=7
Ejemplo 2: 2
Evalúa la expresión:
3
2 −3 −2 −5
2
.
Solución: 2
2
− 33 − 2 5
14
2
=
4 − 27 − 2 5
2
=
−25 5
2 2
2
= −5 = −( −5 ) = 52 = 25
Pre - cálculo y funciones Simétrico de un número real Hemos analizado que 3 3 3 , lo que significa que −3 y 3 están a la misma distancia del cero en la recta numérica. El número −3 se localiza 3 unidades a la izquierda del cero, mientras que 3 está 3 unidades a la derecha del cero. Los números con esta característica se denominan simétricos y podemos definirlos como los números que, al sumarse, producen como resultado al número cero. El simétrico de un número real es otro número que se localiza a la misma distancia del cero, pero en dirección contraria. Así, el simétrico de −100 es 100 , y el simétrico de 28 es −28 . Dos números son simétricos si su suma produce como resultado el elemento neutro de la suma: el cero. Así, −100 y 100 son simétricos porque −100 + 100 = 0 , y 28 y −28 son simétricos porque 28 + ( −28 ) = 0 . −
=
=
Actividad de aprendizaje 2 Organizados en equipos de acuerdo con las instrucciones del profesor, elaboren un juego didáctico (dominó, memorama, lotería, etcétera) que les permita identificar los números reales. (Puede ser un juego diferente por equipo).
Actividad de aprendizaje 3
Esta actividad contribuye a la superación del reto porque te permite conocer las reglas que aplicarás para calcular el costo de los recipientes.
Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procesos completos, a fin de que sirvan de evidencia de la aplicación de las reglas y los conceptos estudiados.
Imagen 1.7 Los simétricos están a la misma distancia del cero, pero hacia diferente lado de éste.
1) Escribe la fracción equivalente del número 49.25: _______________ 2) Demuestra que el número 8 no es racional. 3) Demuestra que el número 8.525252 es racional. 4
4) Del siguiente conjunto de números reales {−2.75, −
4, 0,
3 4
, 1.3,
6,
}, escribe los que son racionales: _______________
π
5) Explica a qué conjuntos de los números reales pertenece el valor 25 : _______________ 6) En los espacios proporcionados, escribe los símbolos < , = o > , según corresponda, para que las expresiones sean verdaderas. a. b. c.
3
2
− 3 ( 2) _____
13 − 9 2 2
3 −3
2
5 −1
2
( )−2
5 2
_____
_____
3 2
2 +2
15
Cálculo
Unidad
7) Del conjunto
−16 , − 12 35 ,
2
5, e , 7.33,
3≠ 4
, − 9 , 4 , 8 .32, 5 − 2i , 3
1
3 5 , , la lista completa de los números irracionales 2 9
en el conjunto es: a.
7.33, − 12 35 , − 9 , 8 .32,
b.
5,
c.
5, e ,
d.
−16, −
−16, −
2
3≠ 4
,
3
9,
4,
3
4,
5 9
3 2
3 2
9, 5 − 2i
8) La expresión fraccionaria del número a. b. c. d.
6.15 es:
203 33 615 100 3
6 20 123 20
9) ¿Qué propiedad de los números reales se aplica en la siguiente expresión: a. Conmutativa. b. Distributiva. c. Asociativa. 10) El número que es simétrico de a. b. c. d.
123 20
−
−
3 4
(
8+ 4
−
2
) = ( 8 + 4) − 2 ? d. Inverso aditivo.
es:
4 3
4 3 3 4
3÷4
−
Te sugerimos observar los siguientes pasos durante el desarrollo del trabajo:
1) Establece la información que necesitarás para el manejo y procesamiento de los datos que se requerirán para la solución del conflicto. 2) Elabora una bitácora en la que registrarás los problemas, soluciones y aspectos más relevantes del desarrollo de tu investigación. 3) Elabora un diagrama en el que representes cronológicamente el avance que realices en tu investigación. 4) Comienza a vaciar la información de tu presupuesto en una hoja de cálculo, para lo cual puedes consultar tu libro de Informática a fin de que conocer los criterios específicos.
Tipos de materiales
16
Costos
Medidas
Primer presupuesto
Pre - cálculo y funciones Reflexiona: Consulta la siguiente teoría para ir completando tu reto. ▪
Regla de jerarquía o prioridad
Cuando llevamos a cabo operaciones con los números, debemos tener claro que sólo podemos realizar una operación a la vez, de modo que es necesario saber cuál es el orden correcto para poder realizar todas las operaciones que aparezcan en una misma expresión. Este orden se denomina “jerarquía de las operaciones” o “regla de prioridad”, la cual indica que:
1) Se deben realizar primero todas las operaciones que aparezcan encerradas entre símbolos de agrupamiento como paréntesis (), llaves { } o corchetes [ ]. Si dentro de un agrupamiento hay otro, se debe evaluar el agrupamiento más interno. 2) Si no hay operaciones agrupadas, se realizarán todas las potencias o raíces en la expresión. 3) Si no hay operaciones agrupadas, ni potencias o raíces, se evaluarán todas las multiplicaciones o divisiones de la expresión. 4) Las últimas operaciones que se deben evaluar, a falta de las demás anteriores, son las sumas o restas que haya en la expresión.
Ejemplo del uso de la jerarquía de las operaciones para evaluar expresiones aritméticas: Evalúa la expresión + 3 ( 5 − 3) − 1 . Solución: Evaluar una expresión significa “hallar el valor” que resulta de las operaciones contenidas en ella. De modo que, aplicando la regla de prioridad, tenemos: 5 + 2 + 3 (5 − 3) − 1 , porque es operación agrupada y después 5 + 2 + 3 ( 2 ) − 1 , 3
5+2
3
3
�
2
porque la potencia tiene la mayor importancia cuando no hay operaciones agrupadas. Nota que en la última expresión los paréntesis no encierran una operación sino un número: el 2, para indicar que éste debe multiplicarse por el 3 que le precede. Enseguida 5 + 8 + 3 ( 2) − 1, porque la multiplicación es de mayor prioridad que la suma o la resta. Se obtiene 1
3
como resultado, hasta este momento, la expresión:
▪
5+8 +6
.
−1
Regla de asociatividad
En la última expresión del ejemplo anterior quedan únicamente sumas y restas, todas ellas de la misma jerarquía o importancia. ¿Cuál de ellas debe realizarse primero? Para resolver este dilema se aplica una regla denominada “regla de asociatividad”, la cual expresa que, “cuando en una expresión existan varias operaciones del mismo nivel de importancia, éstas deberán evaluarse en el orden de aparición en la expresión, es decir, se irán evaluando de izquierda a derecha”, como se ilustra enseguida, continuando la solución del problema del ejemplo anterior: 5 + 8 + 6 − 1 por asociatividad. Luego 13 + 6 −1 = 13 + 6 −1 = 19 − 1 = 18 , también por asociatividad.
4
5
�
�
5
6
Usando una calculadora científica para comprobar, se tiene el siguiente proceso: + 2 ^ 3 + 3 ( 5 − 3 ) − 1 = . Se mostrará en la pantalla: 18 . Nota: las teclas pueden variar de un modelo y marca de calculadora a otro.
Algunas veces puede no ser evidente el orden de las operaciones en una expresión. Así, por ejemplo, en la expresión
7 −1 1+ 2
se expresa que el resultado de 7 − 1 se divida entre el resultado de 1 + 2 , por lo que es equivalente de la expresión ( 7 − 1) ÷ (1 + 2) . Debes considerar esta equivalencia para evaluar expresiones adecuadamente. Ejemplo 1: 15 − 3
2
+ ( 4 − 1) ( 3 + 2 ) utilizando las reglas de prioridad y asociatividad correctaEvalúa la expresión 10 − 2 + 5 +1 mente. Debes escribir el proceso completo para llegar al resultado. 2
17
Cálculo
Unidad
1
Solución: 10 − 22
15 − 32
+
5 +1
+ ( 4 − 1) (3 + 2) = 10 − 22 + 15 − 3 2 ÷ ( 5 + 1) + ( 4 − 1) ( 3 + 2) = 1: por prioridad 2: op. agrupada 3: op. agrupada 4: op. agrupada �
�
�
�
�
operación agrupada =
2
10 − 2
(15 − 9)
+
6 + ( 3) ( 5) = 10 −
÷
�
10 −4 �
=
�
2
+
1 + 15
6 ÷ 6 + ( 3) ( 5)
=
10 − 4 +
6 +1
=
+
�
6÷6
+
�
( 3) ( 5) =
7:asociatividad
15 = 7 + 15 = 22 �
10: asociatividad
9: asociatividad
8: prioridad
+
�
6: prioridad
5: op. agrupada
10 − 4 + 1 + ( 3 )( 5 )
2
11
Comprobación con calculadora: 10
−
2 ^ 2
+
( 15
3 ^ 2 )
−
Se mostrará en la pantalla:
÷
( 5
+
1 )
( 4
+
−
1 ) ( 3
+
2 )
=
.
22
Nota: las teclas pueden variar de un modelo y marca de calculadora a otro. Ejemplo 2: 7
Evalúa la expresión
2
− 3
2
( )
5 7 +
16
+
6
−1
utilizando las reglas de prioridad y asociatividad correctamente. Debes
escribir el proceso completo para llegar al resultado. Solución: 7
− 5 (7) + 2 +6
2
3
16
− 1 = 7 − 5 ( 7 ) ÷ 2 + 6 + 2
3
�
�
�
1
14 ÷ 14 + 4 − 1 = 1 + 4 −1 � �
2
=
5 −1 �
8
7
3
16
− 1 = 49 − 35 ÷ 8 + 6 + � 4
�
5
16
− 1 = 14 ÷ 14 +
16 �
−1 =
6
=4
9
Comprobación con calculadora: ( 7 ^ 2
−
5
×
7 )
( 2 ^ 3 + 6 ) +
÷
Se mostrará en la pantalla:
4
16
−
1 =
.
Actividad de aprendizaje 4
Esta actividad contribuye a la superación del reto porque te permite conocer las reglas que aplicarás para calcular el costo de los recipientes.
Resuelve los siguientes ejercicios, desarrollando procedimientos completos en tu libreta, que evidencien el uso de las reglas de prioridad y asociatividad, así como el uso adecuado de operadores relacionales. Emplea la calculadora para estimar la solución numérica y/o algebraica, a fin de verificar los resultados obtenidos. 1) 2)
18
7−
25
82.75 5
+
+
1+ 2
(
9 +
4
2
4.3 9 . 1− 6.9
−
(
36
−
4
)(
9
)
−1
) = ______________
=
______________
Pre - cálculo y funciones 3)
30 ÷ 15 ÷ 3 + 7
(
64
−
6
)
1
2
+
2
=
______________
4) Con calculadora, evalúa la expresión ( 2.8 ) 5) Coloca los símbolos 17
a.
__________
5
b.
3 .5
3
9 +
3
d.
6−2
+ +… + 3 3 3 �
2
,
<
o
=
+
5.7
−
3 + 4.5 2
2
=
______________
, según corresponda:
12
__________
4+
c.
>
2 .8
+
214 5
(4
+
) (4
1
−
) __________ 58 3
1
__________ 3 (50 )
50 veces
Sistema de coordenadas lineales y rectangulares ▪
Sistema de coordenadas lineales
Este sistema se utiliza para ubicar puntos en una recta. La distancia desde el origen hasta el punto recibe el nombre de coordenada del punto. En la figura, las distancias de los puntos A, B, C, D, E y F al origen son x , x , x , x , x y x , respectivamente. Para referir la localización de un punto, se nombra al punto, entre paréntesis, se escribe la distancia de éste al origen. En la figura, A ( x ) , B ( x ) , C ( x ) , D ( x ) , E ( x ) , F ( x ) son las coordenadas lineales de los puntos A, B, C, D, E y F, respectivamente. Para calcular la distancia entre los dos puntos P ( x ) y P ( x ) en una línea recta, se emplea la fórmula: d PP x x , que se puede obtener de la siguiente figura: A
E
C
D
F
A
C
B
1
=
B
1
2
=
2
−
1
D
2
E
F
2
1
19
Cálculo
Unidad
Ejemplo 3: Mediante el uso de coordenadas lineales, calcula la distancia entre los puntos
1
P 1 ( 5 ) y P 2 ( −2 ) .
Solución:
d
▪
=
x2
−
x 1
=
−
2
−
5
=
−
7
= −
(
−
7
)
=
7
Sistema de coordenadas rectangulares 2D o plano cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos ejes: uno horizontal, llamado eje de las abscisas o eje X; y otro vertical, llamado eje de las ordenadas o eje Y. Ambos ejes se cortan en un punto denominado origen. Los ejes se cortan de modo que se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes. Mediante este sistema podemos ubicar puntos y especificar su posición por medio de un par de números reales, llamados coordenadas cartesianas del punto. La primera coordenada, la abscisa del punto, es la magnitud de la proyección del punto sobre el eje X, es decir, la distancia desde el origen hasta el punto en la dirección horizontal. Dado que hay dos direcciones que se pueden seguir desde el origen en dirección horizontal: hacia la izquierda o hacia la derecha, se usa el signo para la tra yectoria hacia la derecha y el signo − para la trayectoria hacia la izquierda. La segunda coordenada, la ordenada del punto, es la magnitud de la proyección del punto sobre el eje Y, es decir, la distancia desde el origen hasta el punto en la dirección vertical. Se usa el signo para la dirección hacia arriba del origen y el signo − para la dirección hacia abajo del origen. Las coordenadas rectangulares de un punto se escriben dentro de paréntesis y separadas por una coma. Por ejemplo, para representar al punto P localizado 3 unidades a la izquierda del origen y 2 unidades arriba de éste, se usa la notación P ( −3, 2 ) . Así, los cuadrantes contienen puntos que cumplen las mismas condiciones respecto de sus coordenadas. El primer cuadrante contiene todos los puntos cuyas dos coordenadas son ambas positivas; el segundo, los puntos con abscisa negativa y ordenada positiva; el tercero, todos los puntos cuyas dos coordenadas son ambas negativas; y el cuarto cuadrante contiene, todos los puntos de abscisa positiva y ordenada negativa. La siguiente figura muestra el plano cartesiano y sus elementos: +
+
Imagen 1.8 Plano cartesiano.
20
Pre - cálculo y funciones En la asignatura de Geometría Analítica se estudió detalladamente el plano cartesiano y sus aplicaciones a la definición de lugares geométricos. A continuación se exponen solamente algunos elementos importantes para el estudio del Cálculo Diferencial: Distancia entre dos puntos Sean P ( x , y ) y P ( x , y ) dos puntos cualesquiera del plano, como se muestra en la siguiente figura: 1
1
2
1
2
2
Para determinar la distancia entre ellos, es decir, la magnitud del segmento P P , usamos el sistema de coordenadas rectangulares. Observamos que se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia que se desea determinar, y cuyos catetos son las diferencias de las abscisas y las ordenadas de los puntos, respectivamente. Por el teorema de Pitágoras, tenemos que: 1
d2 d
=
=
P1P2
(x
2
2
=
−
(x
x1 )
2
−
2
+
x1 )
(y
2
−
2
+
(y
2
−
2
y1 )
2
, de donde
2
y1 )
Ejemplo 4: Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos A ( −5, − 2 ) , B (3, 4 ) y C ( 6, 0 ) . Solución: El diagrama de los puntos es:
Cálculo de las medidas de los lados: AB
=
( 3 ( 5))
AB
=
64 + 36
−
2
−
=
+
( 4 ( 2)) −
100
=
−
2
=
(3 + 5 )
2
+
(4 + 2)
2
=
(8 )
2
2
+
(6 )
10
21
Cálculo
Unidad 2
BC
=
(6 − 3)
AC
=
( 6 ( 5 ))
AB
=
121 + 4
−
+
−
=
(0 − 4 ) 2
+
2
(3 )
=
(0 ( 2)) −
125
=
−
25
2
+
2
2
=
5 5
9
=
(6 + 5 )
=
5
( −4 )
2
+
≈
+ 16 =
(0 + 2 )
2
=
25
5
=
(11)
1
2
2
+
(2 )
11.18
El perímetro es la suma de los lados, por lo que P
=
AB
+
BC
P = 10 + 5 + 5
P = 15 + 5
5
+
AC
5 ≈
26.18
Pendiente de una recta dados dos puntos de ella La pendiente de una recta es la razón de la distancia vertical a la distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera de ella. Se representa con la variable m . Esta razón expresa de forma indirecta la inclinación de la recta, puesto que la inclinación de la recta se mide con el ángulo θ .
Así: m
=
y2
−
y 1
x2
−
x 1
La pendiente de una recta puede interpretarse geométricamente como la trayectoria que debe seguir un punto de la recta para llegar a la posición de otro punto de ella. Considera que el punto P se mueve y − y unidades hacia arriba y x − x unidades hacia la derecha, entonces la pendiente es positiva y P llegará a la posición del punto P . De aquí se desprenden algunas propiedades de la pendiente: 1
2
1
1
1
2
Pendiente ( ) Ángulo (θ )
Tipo de recta
m < 0
90° < θ < 180°
Decreciente
(negativa)
(obtuso)
22
2
Gráfica
Pre - cálculo y funciones
Pendiente ( ) Ángulo (θ )
Tipo de recta
0
θ
Horizontal
m > 0
0° < θ < 90°
(positiva)
(agudo)
m→∞
θ
(infinita)
(recto)
=
=
0°
90°
Criterio de paralelismo. Sean
Gráfica
Creciente
Vertical
1 y 2 dos rectas del plano y m1 y m2 sus pendientes, entonces 1 � 2 si m1
=
m2 .
23
Cálculo
Unidad
1
Criterio de perpendicularidad. Sean y dos rectas del plano y m y m sus pendientes, entonces ⊥ 1 . Esto implica que dos rectas perpendiculares entre sí tengan pendientes que sean inversas y recíprocas si m m entre sí. 1
1
⋅
2
2
1
1
2
2
= −
Ejemplo: La recta pasa por los puntos ( −5, − 3 ) y (1, 5 ) , mientras que la recta Demuestra que ambas rectas son perpendiculares entre sí. 1
2 pasa
por el origen y el punto ( 4, − 3 ) .
Solución:
m1
( −3 ) 5 + 3 8 = = 1 − ( −5 ) 1+ 5 6
5− =
Dado que
m1 ⋅ m2
4 =
3
m2
3
− =
4
−
−
0
0
3
3
− =
4
=
− =
4
4 3 12 = ⋅ − = − = −1 , podemos afirmar que las rectas son perpendiculares entre sí. 3 4 12
Actividad de aprendizaje 5 Realiza los siguientes ejercicios:
1) Localiza, usando el sistema de coordenadas lineales, los siguientes pares de puntos, y calcula la distancia entre ellos. a. M ( −3 ) , N ( −3 ) b.
A ( 7 ) , B ( 4 )
4 c. Q − , 3 d.
24
R ( −2 )
P 1 ( 8 ) , P 2 (13 )
Pre - cálculo y funciones 2) Localiza los puntos A ( 5, − 5 ) , B ( −3, 11) y C ( −7, 4 ) y: a. Calcula el perímetro del triángulo que se forma tomando los puntos dados como sus vértices. b. Traza la recta perpendicular al lado AB , que pase por el punto C . Esta recta contiene una de las alturas del triángulo ABC. c. Traza la recta paralela al lado BC , que pase por el origen.
Te sugerimos considerar los siguientes aspectos durante el desarrollo del trabajo:
1) Que el costo de un recipiente depende principalmente de la cantidad de material utilizado para construirlo. 2) Que las variables recomendables para determinar la cantidad de material son el área y el volumen.
Reflexiona: En torno a la teoría siguiente, lo que te ayudará a superar el reto.
Desigualdades Regularmente hacemos uso de expresiones que muestran la comparación entre dos valores, por ejemplo: ¿Quién es más grande? Entre hermanos es común una comparación: “Yo tengo mejores calificaciones que tú”. En el supermercado se escucha: “Compare nuestros precios, son mejores que los de la competencia”. En el ámbito futbolístico, es usual escuchar comparaciones como las siguientes: “Este equipo tiene mejor diferencia de goles”, “Tal equipo tiene más juegos ganados de local que de visitante”, etcétera. Y así vamos expresando relaciones entre edades, precios, porcentaje, altura, distancia, tiempo, goles, etcétera. Matemáticamente, podemos representar estas relaciones por medio de las desigualdades.
Actividad de aprendizaje 6
Esta actividad te permitirá empezar a entender las nociones básicas para la determinación de las dimensiones del recipiente más económico.
Organizados en equipos según instrucciones del profesor, resuelvan el siguiente problema: Si una hoja de latón tiene una anchura que corresponde a
3 4
de su altura, ¿para qué valores de altura el área es
menor que 48 cm2? Expliquen claramente el procedimiento empleado para resolver este problema. Definición 1.1 Dos números o expresiones algebraicas, relacionadas por los signos < (menor que), > (mayor que), o ≠ (diferente que), forman una desigualdad.
Por ejemplo, en las siguientes desigualdades: 3 < 4 (tres es menor que cuatro) o 6 > 4 (seis es mayor que cuatro), se está realizando una comparación entre dos entes semejantes o con las mismas unidades. También podemos expresar desigualdades incluyendo la igualdad, por ejemplo: a ≤ b , que significa que a puede ser menor que o igual a b . Además, tenemos que m ≥ n , lo que significa que m es mayor que o igual a n .
25
Cálculo
Unidad
1
En resumen, podemos establecer la relación entre dos cantidades semejantes mediante la siguiente simbología:
Símbolo
Significado
Ejemplo
= ≠ >
Igual Diferente Mayor que
a=3 3 ≠ 3.333
< ≥
Menor que Mayor o igual que
−1<0
≤
Menor o igual que
π > 2
a≥b x
≤ 7
En la vida nos encontramos con expresiones en las que una variable toma diferentes valores, lo que significa que se puede elegir el valor en un intervalo de posibilidades, por ejemplo: “Nos vemos entre las tres y las tres y media para hacer la tarea”. Otra expresión puede ser: “Mi transporte al bachillerato hace entre 15 y 30 minutos”; o en términos de futbol: “La categoría sub-17 (aquellos que tienen menos de 16 años 11 meses) participará en un torneo en España”. En el salón de clase puede existir una regla: “La tolerancia para entrar es de 15 minutos”. Evidentemente, si la clase empieza a las 10:00, entonces la entrada puede ser en cualquier momento después de las 10:00, pero antes de las 10:15 horas. Los números positivos y negativos forman parte del Álgebra elemental. Por medio de desigualdades podemos establecer sus propiedades, que, aunque parecen triviales, es pertinente conocer: 1) Para cada número real a , está definida una y sólo una de las siguientes relaciones: a. a es mayor que cero (es positivo): a > 0 . b. a es igual a cero: a = 0 . c. a es menor que cero (es negativo): a < 0 . 2) Si a y b son números positivos, entonces: a. Su suma es positiva: a + b > 0 . b. Su producto es también positivo: ab > 0 .
Definición 1.2 Dos desigualdades de la forma a < b y c < d , o bien, a > b y c > d , se denominan desigualdades del mismo sentido. Dos desigualdades de la forma a < b y c > d se denominan de sentido contrario.
Por ejemplo, las desigualdades son de sentido contrario.
12 > 10
y
5 >1
son del mismo sentido, mientras que las desigualdades
−9 <
0
3>0
Figura 1.1. En la recta real: a > b.
Al observar la figura 1.1, recordamos una de las propiedades de los números reales, y la cual establece que: Un número real a es mayor que otro b si el primero está a la derecha del segundo en la recta real. En general, para establecer las posibles relaciones de orden entre dos números reales, se tiene la tricotomía de los números reales, la cual indica que:
26
y
Pre - cálculo y funciones Definición 1.3 Tricotomía de los números reales: si a y b pertenecen al conjunto de los números reales, entonces: a > b , a = b o a < b
Intervalo En la figura 1.1 se muestra esta propiedad, en la que se observa que no hay otra opción para comparar dos números reales. A partir de estas propiedades que parecen triviales, se construye uno de los conceptos más importantes en el análisis matemático: el intervalo.
Figura 1.2. Tricotomía de los números reales.
Definición 1.4 El conjunto de todos los números x , que verifican la desigualdad a ≤ x ≤ b , se denomina segmento o intervalo.
También, se permite escribir [a, b ] ; por ejemplo, se escribe [1, 3] en lugar de 1 ≤ ≤ 3 , lo que indica el conjunto de números en la recta real, que llenan totalmente el segmento o intervalo, con extremos en los puntos x = a y x = b . Como el intervalo puede incluir a los extremos, se le denomina intervalo cerrado. En la doble desigualdad a < x < b , se expresa que la variable x puede tomar cualquier valor entre a y b , pero sin ser ninguno de ellos. A este intervalo se le denomina abierto. Se pueden combinar los dos tipos de intervalos, por ejemplo: (1) a ≤ x < b , que en notación de intervalos es [a, b ) ; o (2) a < x ≤ b , que en notación de intervalos es ( a, b] , a los que llamaremos intervalo semiabierto o semicerrado. x
Figura 1.3. Formas de escribir un intervalo.
27
Cálculo
Unidad
1
En la figura 1.3 se observan los cuatro casos más comunes para representar un intervalo. El punto en rojo es la variable x , que se puede mover entre los reales a y b . En cada uno de los casos, se muestran tres formas para representar el mismo intervalo:
La recta real con los tres elementos (puntos): los extremos a y b , que indican el intervalo, y la variable x . Si el punto está lleno, significa que es cerrado (la variable sí lo incluye); de lo contrario, es abierto (la variable no lo incluye); y la variable x . La desigualdad La notación con corchetes redondos y cuadrados (no confundir esta notación con la de un par ordenado)
Así, en la figura 1.4 se muestran cuatro casos en los que se utilizan las tres notaciones indicadas:
Figura 1.4. Formas de escribir un intervalo.
Como podrás darte cuenta, para escribir un intervalo se necesita definir los extremos y la variable a comparar. Recordando la regla para la hora de entrada al salón de clase, podemos escribirla de la manera siguiente: los extremos serán a = 10:00 y b = 10:15, y t, la hora en que está permitido entrar a clase. Así, se tiene que a ≤ t ≤ b o [a, b ] . O bien, se puede escribir dibujando la recta siguiente:
Figura 1.5
¿Qué sucede cuando el valor de la variable puede estar en dos intervalos?
Figuras 1.6 y 1.7
En la figura 1.6 se tiene el caso en que la desigualdad se cumple para x < 4 y para x > 10 , por lo que se necesita una expresión para unir estos dos intervalos, que es ( −∞, 4) ∪ (10,+∞) o x 4 x 10 . En la figura 1.7 se muestra el caso en que los intervalos se empalman, esto es, existe una intersección de dos conjuntos ( −∞,10) ∩ ( 4, +∞) o 4 < x < 10 o (4, 10). A continuación se muestran otras formas de representar un intervalo. Si a y b son números reales tales que a < b , los siguientes son otros posibles tipos de intervalos: <
28
∨
>
Pre - cálculo y funciones (a, b ) = { x ∈ R : a <
} [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} [a, b ) = {x ∈ R : a ≤ x < b} ( a, +∞ ) = { xx ∈ R : x > a} [a, +∞ ) = {x ∈ R : x ≥ a} ( −∞, b ) = {x ∈ R : x < b} ( −∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} ( −∞, +∞ ) = { x ∈ R : −∞ < x < +∞} x< b
Ahora estamos en condiciones de realizar el estudio de las desigualdades y su solución. Definición 1.5 Resolver una desigualdad significa hallar todos los valores de la incógnita o variable que hacen cierta la desigualdad.
Al sustituir las variables de una desigualdad por números, podemos obtener expresiones verdaderas o falsas. Por ejemplo, al sustituir x = 2 en 6 x 2 0 , obtenemos la proposición verdadera 10 > 0 , mientras que, al sustituir x = 0 , lo que obtenemos es la proposición falsa 2 0 . Si al sustituir un número en una desigualdad obtenemos una proposición verdadera, se dice que dicho número es una solución de la desigualdad. Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones. −
>
−
>
Propiedades de las desigualdades Antes de solucionar desigualdades, revisemos algunas de sus propiedades más importantes: 1) Si a > b , entonces b < a . 2) Si a > b y b > c , entonces a > c . 3) Dos desigualdades de la forma: a. (a) a < b y b < c o b. (b) a > b y b > c
pueden ser unidas en una doble desigualdad:
a. (a) a < b < c o b. (b) a > b > c 4) Si a > b y k es un número cualquiera, entonces a + k > b + k . A ambos miembros de la desigualdad se les puede sumar o restar un mismo número, y como resultado se obtendrá una desigualdad del mismo sentido. 5) Si
a
, entonces
1 a
>
1 b
, lo que significa que el inverso multiplicativo en ambos miembros de la desigualdad cambia
el sentido de ésta. 6) Si a < b , entonces −a > −b , lo que significa que tomar el inverso aditivo en ambos miembros de la desigualdad cambia el sentido de ésta.
▪
Solución de desigualdades
Estamos en condiciones de resolver desigualdades o inecuaciones. Lo que hemos hecho en Álgebra es resolver ecuaciones, es decir, calcular el valor de la variable para hacer cierta la igualdad; por ejemplo, sea 2 x + 3 = 0 . Resolver esta ecuación significa encontrar el valor de x de tal forma que la igualdad sea cierta. Sabemos que el único valor para la variable es x 3 . Pero si en lugar de la igualdad se tiene una desigualdad, por ejemplo: 2 x + 3 ≥ 0 , enton2 ces ya no sólo es un valor para la variable, sino un conjunto de valores o un inter valo de éstos en los números reales, esto es: x ≥ − 3 . =
−
2
29
Cálculo
Unidad
Figura 1.8
Ecuación:
2 x + 3
=
1
Figura 1.9 Desigualdad: 2 x + 3 ≥ 0
0
En la figura, al igualar la función f ( x ) = 2x + 3 a cero, tenemos la ecuación que resolvimos, que gráficamente es el punto donde la recta corta al eje horizontal, con coordenadas (−1.5, 0). La desigualdad es el conjunto de valores para los cuales la recta se encuentra arriba del eje horizontal. Así, por ejemplo, cuando x = 0 , su componente en y se encuentra en los positivos, así como cualquier punto en el intervalo x ≥ − 3 . 2 Antes de resolver desigualdades, es conveniente mostrar de forma gráfica lo que sucede cuando se comparan dos funciones. Para esto, se tienen dos funciones f ( x ) y g ( x ) que son: cuadrática y cúbica, respectivamente. Las funciones se cortan en dos puntos: en x = a y x = b , esto es, f ( a ) g (a ) y f ( b ) g ( b) . Para los demás valores de x , sucede que una función está por encima de la otra en ciertos intervalos, y viceversa en otros. Por ejemplo, f ( x ) está por arriba de g ( x ) para x < a y para a < x < b , mientras que f ( x ) esta por debajo de g ( x ) para x b ; esto es f ( x ) ≥ g ( x ) para x ≤ b y f ( x ) ≤ g ( x ) para x ≥ b . =
=
>
Ejemplo 5: Vamos a resolver la desigualdad x + 2 ≤ −3 . Para ello, sumamos −2 a ambos miembros, y se tiene x + 2 − 2 ≤ −3 − 2 , y, finalmente, x ≤ −5 . De forma gráfica, estamos comparando la recta f ( x ) = x + 2 con la constante g ( x ) 3 . =
Figura 1.9b
Después de este ejercicio, podemos desarrollar algunos ejemplos para resolver desigualdades. Figura 1.10 Solución gráfica de x + 2 ≤ −3
30
−
Pre - cálculo y funciones En la figura 1.10 se muestra el intervalo de solución, donde se observa que, en zan, y para x ≤ −5 , la recta f ( x ) queda por debajo de g ( x ) .
x
=
5,
−
las dos funciones se cru-
Ejemplo 6: Resolver 5
3 x − 6 5
≤ −3
. Para ello, realizamos operaciones elementales: multiplicamos ambos miembros por 5:
3 x − 6 ≤ −3 5 5 ( )( ) , que da lugar a
3 x − 6 ≤ −15
.
Sumando 6 a ambos lados de la desigualdad: 3 x − 6 + 6 ≤ −15 + 6 , que da lugar a 3 x ≤ −9 . 1 1 Multiplicamos ambos lados por 1 : ( 3 x ) ≤ ( −9 ) , que finalmente lleva a 3 3 3 x ≤ −3 . Ejemplo 7: Si en la desigualdad 3 ( 2 x − 1) > 4 + 5 ( x − 1) realizamos el producto en ambos miembros: 6 x − 3 > 4 + 5 x − 5 , que se reduce a 6 x − 3 > −1 + 5 x . Agrupamos las variables y las constantes: 6 x − 5 x > −1 + 3 , que finalmente lleva a x > 2 , que es el intervalo de solución. Ejemplo 8: Ahora resolvamos una desigualdad cuadrática:
5 x
( x + 2) + 6 ≥ 3 . Para ello, realizamos las operaciones pertinentes:
.Resolviendolacuadrática,se obtienendosvalores: x1 = −1 − 10 ≈ −1.632 y x 2 = −1+ 10 ≈ − 0.368 . 5 5 Factorizando la expresión original: ( x + 1.632) ( x + 0.368) ≥ 0 . Para que el producto sea positivo, ambos factores deben ser positivos o negativos, por lo que se tiene que (1) x + 1.632 ≥ 0 y x + 0.368 ≥ 0 o (2) x + 1.632 ≤ 0 y x + 0.368 ≤ 0 . Entonces, considerando (1), tenemos: x ≥ −1.632 y x ≥ −0.368 . Como necesitamos el valor en el que ambas desigualdades se cumplan, seleccionamos el mayor valor, esto es, x ≥ −0.368 . Para (2) tenemos: x ≤ −1.632 y x ≤ −0.368 . Con el mismo criterio seleccionamos el menor valor, así x ≤ −1.632 . Finalmente, el intervalo de solución es ( −∞, −1.632] ∪ [−0.368, +∞ ) . Los intervalos incluyen a x 1.632 y x 0.368 , puesto que la desigualdad implica la igualdad. La figura 1.11 muestra los puntos donde la cuadrática corta al eje horizontal. Aquí se cumple la igualdad, mientras que la desigualdad lo hace en el intervalo donde la función queda por encima del mismo eje, esto es, para x ≤ −1.632 y x ≥ −0.368 . 5 x
2
+ 10 x + 3 ≥ 0
=
=
−
−
Figura 1.11. Solución de la desigualdad 3 (2x −1)>4 + 5 (x – 1).
31
Cálculo
Unidad
Ejemplo 9: La respuesta a la doble desigualdad: Empezamos por separarla en dos: A)
2 x + 1 ≤ 4 x − 3
2 x + 1 ≤ 4 x − 3 ≤
, cuya solución es x ≥ 2 ; y B)
1
x + 7 .
4 x − 3 ≤
x + 7 ,
siendo x ≤
10 3
. Como la desigualdad debe cum-
10 3 10 10 cuya solución es 2, se tiene el intervalo: 2, . En la figura 1.12 se muestran las tres funciones lineales: f ( x ) = 2 x + 1,
plirse para A) y B), entonces x ≥ 2 y
( )
g x
=
4 x
−
3
x
3
≤
10
, que da lugar al intervalo que resulta de la intersección [2, +∞ ) ∩ −∞, 3 ,
3
y h ( x ) = x + 7 y la solución gráfica de la desigualdad
2 x + 1 ≤ 4 x − 3 ≤
x + 7 .
Figura 1.12
Ejemplo 10: Resolver desigualdad Tenemos que se obtiene
x + 2 3 − x
x + 2 −2 > 0, 3 − x
3 x − 4 3 − x
>
0
>
2
.
reducimos la expresión y
; por lo tanto, debemos encontrar
los valores de x , tales que al ser sustituidos en la fracción, ésta sea positiva. De lo anterior sabemos que x ≠ 3 ; de lo contrario, la desigualdad no tiene sentido. Por otro lado, tanto el numerador como el denominador deben ser del mismo signo: los dos positivos o los dos negativos, esto es, A) 3 x 4 0 y 3 x 0 , o bien, B) 3 x 4 0 y 3 x 0 . Resolviendo la opción A), se tienen dos desigualdades: x 4 y x 3. Entonces, ambas desigualdades se −
−
>
−
>
−
<
<
>
3
<
cumplen para el intervalo
4 3
< x < 3
. Si optamos por la
opción B), nos damos cuenta de que x 4 y x 3 , lo 3 cual es imposible, pues x no puede ser mayor que tres y, <
>
al mismo tiempo, menor que 3 . En la figura 1.13, se ob4 serva que, en el intervalo calculado, la expresión racional se encuentra por encima de la constante 2.
32
Figura 1.13. Desigualdad racional.
Pre - cálculo y funciones Ejemplo 11: Para resolver la desigualdad
x 2
−
x − 6
1 − x
≥0
( x + 2)( x − 3) ≥ 0 . Al analizar la desigual1 − x 2 y x = 3 , es igual a cero. Para encon x
, factorizamos la expresión
dad, se observa que, para x = 1 , ésta no tiene sentido, mientras que, para trar el intervalo de solución, deseamos que las tres expresiones sean positivas, o que dos sean negativas y, una, positiva. =
−
Figura 1.14. Desigualdad racional.
Expresión
Uno
Dos
Tres
Cuatro
A
x + 2 > 0
−
+
+
+
B
x − 3
0
−
−
−
+
C
1 − x > 0
+
+
−
−
+
−
+
−
D
>
( x + 2)( x − 3) 1 − x
≥
0
Hemos colocado los componentes de la desigualdad en una tabla en cuya primera columna está un identificador (A, B, C y D) de las expresiones que forman la desigualdad (segunda columna). Además, se han designado cuatro regiones (columnas uno, dos, tres y cuatro) para el estudio del signo de cada una de las expresiones. Así, por ejemplo, la desigualdad A es negativa, positiva, positiva y positiva, respectivamente, en estas regiones. El resto de tabla muestra el signo de las demás desigualdades, por lo que, si deseamos que D = AB sea positiva, se C necesita una región donde las tres partes (A, B y C) sean positivas, lo cual no sucede; o dos negativas y una positiva, lo cual sucede en dos intervalos o regiones: la uno y la tres, que finalmente es la solución de la desigualdad.
Figura 1.15. Gráfica de la función racional.
33
Cálculo
Unidad
1
La solución está dada por el conjunto ( , 2] (1,3] . En la figura 1.14 se tienen las tres expresiones que forman la desigualdad. Para x + 2 > 0 , los valores de x para que la desigualdad sea positiva es x 2 y, para las otras, x > 3 y x 1, respectivamente. Por lo tanto, los segmentos en color azul provienen de la intersección de opciones, cuando son los que resultan positivos y satisfacen la desigualdad. En la figura 1.15 se muestra la gráfica de la función −∞ −
∪
> −
< −
racional
f ( x ) x
=
2
x
2
−
x − 6
1 − x − x − 6
=
( x + 2)( x − 3 ) 1 − x
y la desigual-
dad f ( x ) = ≥ 0 . Obtén los valores para los 1 − x cuales la función f ( x ) corta o está por encima del eje horizontal, esto es, por arriba de y = 0 . La solución encontrada ( , 2] (1,3] coincide al interpretar la figura 1.14, donde los puntos con coordenadas (−2, 0) y (3, 0) son raíces de la función. En lo que se refiere a los valores de x dentro de los intervalos en color azul, la función f ( x ) es positiva. −∞ −
∪
Ejemplo 12: Ahora resolvamos una desigualdad que involucra el valor absoluto. Sea la desigualdad | x |< 3 , sobre la recta real se tienen sólo dos puntos −3 y 3, los cuales distan del origen 3 unidades. Resolver la desigualdad significa buscar todos los valores que disten menos de tres unidades del origen. Está claro que el intervalo (−3, 3) es el que cumple la desigualdad. En la figura 1.16 (a), se muestra la solución de la desigualdad usando la recta real, mientras que en la figura 1.16 (b) se representa la que se obtiene usando la comparación de dos funciones f ( x ) =| x | y g( x ) = 3 , con la cual construimos la desigualdad f ( x ) g ( x ) , esto es, buscamos el intervalo donde la función f ( x ) está por debajo de g ( x ) , que es el intervalo (−3,3). Resuelve la desigualdad | x 4 | 2 . Si utilizamos la recta real, a la derecha e izquierda del punto x = 4 marcamos dos puntos que disten dos unidades, y obtenemos el 2 y 6, con lo que todo punto intermedio cumple con la desigualdad. Si aplicamos la definición, suprimimos el símbolo de valor absoluto y obtenemos la doble desigualdad 2 x 4 2 . Entonces sumamos cuatro unidades a los miembros y se tiene −2 + 4 < x − 4 + 4 < 2 + 4 , o bien, 2 < x < 6 . En las figuras 1.16 (a) y 1.17 (b) se muestran las figuras correspondientes a las soluciones en la recta real, así como la comparación de funciones.
Figura 1.16. Gráfica de la desigualdad |x| < 3.
<
−
−
<
−
<
<
Figura 1.17. Gráfica de la desigualdad |x – 4| <2.
34
Pre - cálculo y funciones Ejemplo 13: Resuelve 2 x + 3 < 5 . Esta desigualdad la podemos convertir en la doble desigualdad −5 < 2 x + 3 < 5 . Después sumamos –3 a los miembros, y se tiene −5 − 3 < 2 x + 3 − 3 < 5 − 3 , esto es, 8 2 x 2 . Entonces dividimos por 2, con lo que se obtiene 4 x 1 . En la figura 1.18 se muestra la desigualdad como la comparación de dos funciones: f ( x ) = 2 x + 3 y la recta g ( x ) 5 . La desigualdad equivale a buscar el intervalo donde f ( x ) queda por debajo de g ( x ) . El intervalo que cumple con la condición es el mismo que resolvimos algebraicamente. −
−
<
<
<
<
=
Figura 1.18 Gráfica de la desigualdad |2x +3|< 5.
Ejemplo 14: Resuelve 2 x − 3 > 7 . Para resolver esta desigualdad, vamos a separarla en dos casos: cuando es mayor que 7 y cuando es menor que –7. 1) 2 x − 3 > 7 , por lo que 2 x > 10 . Dividimos por 2, entonces x > 5 . 2)
( 2 x − 3) > 7 , entonces cambiamos el signo tiene que x < −2 . −
2 x − 3
< −7
. Sumamos –3 y dividimos por 2 ambos miembros, con lo que se
Figura 1.19 Gráfica de la desigualdad |2x−3|>7.
35
Cálculo
Unidad
1
Ejemplo 15: Resuelve
x + 4 x − 2
<
2
. Por medio de las propiedades de las desigualdades, podemos escribir
En la primera desigualdad, sumamos 2 a ambos miembros, con lo que se obtiene
0
<
2
x + 4 x − 2
−2 <
x + 4
+
x − 2
x − 2
y 2) x
4
<
2
.
. Entonces podemos es-
cribir 0 3 x , donde vemos que, para x = 2 , la desigualdad no existe. Por otro lado, si deseamos que el cociente x 2 sea positivo, tanto el numerador como el denominador deben ser positivos o negativos. Entonces x > 0 y x > 2 , lo cual se muestra en la figura 1.20. <
−
Figura 1.20 Intervalos que determinan la desigualdad 1):
0
<
3 x
.
x − 2
Por lo tanto, el conjunto de solución para la desigualdad 1) está dado por ( −∞, 0) ∪ (2, +∞ ) . La otra opción es 2) x + 4 < 2 , por lo que x + 4 − 2 < 0 , lo que implica 8 x 0 . Como ocurrió en la primera x − 2 x − 2 x 2 opción, tanto el numerador como el denominador deben ser de signo diferente para tener esta desigualdad, esto es: −
<
−
Figura 1.21 Intervalos que determinan la desigualdad
36
8 − x
x − 2
<
0
.
Pre - cálculo y funciones De manera que el conjunto de solución para la desigualdad 2) está dado por ( −∞, 2) ∪ (2, +∞ ) . La solución de la desigualdad está dada por la unión de ( −∞, 0) ∪ (8, +∞ ) , y en x = 2 se observa la discontinuidad de la función:
Figura 1.22 Intervalos que determinan la desigualdad
x + 4 x − 2
<
2.
Funciones Una función es la relación entre los valores de una variable y los valores de otra, de modo que a cada valor de la primera corresponda uno y solamente uno de la otra.
En esta relación, una variable toma su valor arbitrariamente, generalmente como resultado de una observación o medición, y la denominamos variable independiente. La otra variable toma su valor mediante un cálculo matemático, por medio de una fórmula, por lo que se le llama variable dependiente. Si y es la variable dependiente, f es la representación de la fórmula y x es la variable independiente, entonces la expresión y f ( x ) , que se lee “la variable y es una función de la variable x ”, significa que el valor de y se calcula usando un valor de x como dato en la fórmula f . Las funciones son un recurso muy importante en la solución de problemas, pues casi siempre es necesario calcular un valor a partir de otro(s) para tomar decisiones; por ejemplo: =
1) El área de un círculo depende de la medida de su radio: A ( r ) r . 2) El importe total por comprar n camisas a x pesos cada una: y f ( x ) nx 3) El volumen de un cilindro depende del radio de su base y de su altura: V ( r , h ) =
π
=
Ejemplo 16: Sea y f ( x ) =
=
5 . Calcula f ( −2 ) , f ( 0 ) , f (1) y
2x
−
2
=
=
π r
2
h
( ).
f 2a
Solución: f (
2
−
f ( 0 ) f (1)
)
=
=
=
( )
f 2a
2
( 2) −
( )
2 0
()
2 1 =
−
−
5
5
( )
2 2a
−
5
=
=
−
= −
0
2 5
−
4
5
−
5
=
4a
−
=
=
5
=
9
−
5
−
3
−
−
5
37
Cálculo
Unidad
Ejemplo 17: Sea g ( t ) t
2
=
−
9
g (t
. Determina la expresión
+
h ) − g ( t ) h
1
.
Solución: g (t
+
h ) − g (t ) h
▪
2
=
(t + h )
−9−
h
(t
2
−9
)
=
t2
+
2th + h
2
−
9
−
t 2 +
9 =
h
h
( 2t + h ) h
=
2tt + h
Dominio y contradominio
Definición 1.6 El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales ésta está definida. Por ejemplo, la función y f ( x ) 3 x 2 5 x , figura 1.39 (a), está definida para todo número real (valores que puede tomar x y que se colocan en el eje horizontal de su gráfica). Así, el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales, y el rango o contradominio son los valores que obtenemos al evaluar la función (valores que colocamos en el eje vertical). =
=
−
Figura 1.23 Dominio y rango o imagen de funciones.
Si x = 0, f(0) = 0 como par ordenado (0,0), o si x = 1, f(1) = −2 como par ordenado (1, −2). En este caso, 0 y 1 (valores que toma x ) son parte del dominio, y 0 y −2 (valores que toma f o y ) son parte del contradominio o rango. En la fórmula p = 2(a), que también podemos escribir p = f (a) = 2a, donde a es la variable independiente que corresponde al dominio, en tanto que p es la variable dependiente, es decir, el contradominio, imagen o rango. Con lo anterior, f es lo que se “le hace” a la variable independiente, esto es, multiplicar los valores del dominio por 2. En la función h( x ) = x + 3 , el dominio son todos los números reales mayores o iguales a −3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual a cero para que exista la raíz cuadrada. En las figuras 1.24 (a) y (b) se observa el dominio (línea discontinua en el eje X) y la imagen o contradominio (línea continua en el eje Y). En la primera, y f ( x ) tan x , el dominio está formado por los números reales excepto =
=
los valores encerrados en círculos rojos vacíos ( x a que se lee: “Desde menos infinito hacia más infinito”. =
38
π =
−
2
y x
=
b
π =
2
), y su contradominio o imagen, por (
,
−∞
∞
),
Pre - cálculo y funciones
Figura 1.24 Dominio y rango.
Finalmente, en la función g(x )=cosx , figura 1.24 (b), se puede observar que el dominio son todos los reales: (−∞,+∞), mientras que la imagen es [−1, 1]. Observa que la notación usada para expresar el dominio y el rango es la notación de intervalos explicada antes en esta unidad. Para calcular el dominio y el rango de una función, debes considerar lo siguiente: ▪
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero. Si la función es un polinomio, es decir, una función de la forma f ( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + + a x (donde a0 ,a1,a2 ,...,a son constantes y n es un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales. Si la función es racional, esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango es el conjunto formado por todas las imágenes, es decir, por aquellos valores que puede tomar la variable dependiente. Además, éstos están determinados por el dominio de la función. n
▪
▪
▪
n
n
Clasifcación ▪
Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
Una vez que hemos desarrollado el concepto de función, y detallado algunas de sus propiedades más importantes, llega el momento de clasificar y reconocer los tipos de funciones que existen, así como las operaciones que se pueden realizar con ellas. Función inyectiva Definición 1.7 Una función f es inyectiva, univalente o uno-uno si y sólo si cada f (x ) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. Una función es inyectiva si todos los elementos del dominio tienen imágenes distintas. Matemáticamente, podemos escribir: una función es inyectiva, univalente o uno-uno si y sólo si f ( x1 ) = f ( x2 ) , lo que implica que x = x . 1
2
39
Cálculo
Unidad
1
En la figura 1.25 se muestra el tipo de relación que existe entre dos conjuntos mediante una función inyectiva.
Figura 1.25 Diagrama sagital de dos funciones inyectivas.
Función sobreyectiva Definición 1.8 Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva (también llamada epiyectiva) si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A bajo f ; o, dicho en palabras más sencillas, cuando cada elemento de B es la imagen de como mínimo un elemento de A.
Los diagramas que se muestran en la figura 1.26 corresponden a una función sobreyectiva:
Figura 1.26 Diagrama sagital de dos funciones sobreyectivas.
40
Pre - cálculo y funciones Función biyectiva Definición 1.9 Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva si y sólo si es sobreyectiva e inyectiva a la vez.
Figura 1.27 Diagrama sagital de una función biyectiva.
Una vez que hemos definido formalmente las funciones inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, podemos saber, mediante la gráfica de una función f (x ), a qué clasificación pertenece ésta. Observa las siguientes figuras:
Figura 1.28 Funciones inyectiva y no inyectiva.
En la figura 1.27 se muestran dos funciones: la 1.27 (a), f (x ) = x 2−2 no es inyectiva pues, como se puede observar, la recta horizontal corta a la función en dos puntos, A y B, por lo que, aunque la desplacemos en forma ver tical, siempre sucederá lo mismo. Mientras que en la figura 1.27 ( b ) g(x ) = x 3−1, la recta horizontal corta la gráfica de la función en un solo punto, por lo que, aunque se desplace la recta en forma vertical, siempre cortará a la función en un solo punto, razón por la cual g(x ) sí es inyectiva. Como se puede observar, la definición 4 se cumple en la figura 1.28(b) y no en la 1.28 (a).
41
Cálculo
Unidad
1
Figura 1.29 Funciones sobreyectivas y no sobreyectivas.
La función f (x )= x +1, que se muestra en la figura 1.29 (a) es sobreyectiva, puesto que su dominio y codominio de la función son iguales, esto es, son todos los reales. La función g(x ) = x 2+1, mostrada en la figura 1.29 (b), no es sobreyectiva, ya que dominio y codominio son diferentes: el dominio de g(x ) son todo los reales, mientras que el codominio está en el intervalo [1,+∞), con lo que no se cumple la definición 1.9. Para que una función sea biyectiva, debe cumplir, al mismo tiempo, las definiciones 1.7 y 1.8. Para el análisis gráfico, observemos las figuras 1.28 (a), 1.28 (b), donde se tiene lo siguiente: 1) Es inyectiva, ya que, al trazar una recta horizontal, ésta nunca cruza a g(x ) en dos puntos. 2) Es sobreyectiva, ya que el dominio y el codominio son iguales.
▪
Funciones pares e impares
Otra forma de clasificar las funciones es en pares e impares. Antes de dar una definición formal de ellas, observemos su comportamiento gráfico en un sistema de ejes coordenados:
Figura 1.30 Funciones pares e impares.
En la figura 1.30 (a), vemos que las gráficas de las tres funciones f (x ), g(x ) y h(x ) guardan simetría con respecto del eje vertical (el dominio tiene que ser un conjunto simétrico respecto del origen). A las funciones que tienen esta propiedad se les denomina función par, por lo que f (x ) = x 2, g(x ) = x 4 y h(x ) = cos(x ) son funciones pares.
42
Pre - cálculo y funciones En cuanto a las funciones que tienen un exponente entero (polinomios), es fácil determinar su paridad, puesto que el grado par o impar determina su tipo. Sin embargo, existe una manera más sencilla para determinar la paridad de una función, que es mediante las siguientes definiciones: Una función f : R → R es par si ∀x ∈ R (para todo x en los reales ) , se tiene que
Una función f :
R →R
es impar si
∀x ∈ R
f (−x ) = f ( x )
.
(para todo x en los reales) , se tiene que f ( − x ) = −f ( x ) .
En la figura 1.31 se tienen tres funciones, las cuales vamos a analizar mediante la simetría descrita al inicio de este apartado. La función q(x ) es un polinomio de segundo grado desplazado dos unidades a la izquierda, por lo que su eje de simetría es la recta x = −2, razón por la cual decimos que es una función par. Pero además podemos usar la definición arriba, esto es: q(−X ) = q(X ). Si hacemos X = x + 2, se tiene que q( x ) = ( x + 2)2 = X 2 , entonces, q( X ) = ( x + 2)2 = X 2 y q( − X ) = ( − X )2 = X 2 , por lo que q(x ) es par. Del mismo modo procedemos para la función r (x ), que es la función trigonométrica coseno. Si observamos, esta función es simétrica a la recta x = 3: la función cos (x ) está desplazada tres unidades a la derecha y tres hacia arriba. Usando el argumento gráfico, podemos decir que es una función par, pero ¿también lo será por medio de la definición 1.5? Veamos: si hacemos que X = x −3, entonces: r (x ) = cos (x + 3) + 3 = cos( x ) + 3, con lo que hemos generado una nueva función: r (x ) = cos(x ) + 3, la cual debe cumplir la definición de función par: r (−X ) = r (X ), esto es, r (−X ) = cos(−X ) + 3 = cos( X ) + 3, puesto que sabemos que, para cualquier ángulo a, la función coseno es cos (a) = cos(−a), por lo que la función r (x ) es par.
Figura 1.31 Funciones pares e impares.
La figura 1.31 muestra la función p (x ), que es una recta que cruza el eje horizontal en el punto (1, 0). Se trata de un polinomio de primer grado, esto es, p (x ) = x −1. Por lo indicado anteriormente, la función debe ser impar, puesto que la máxima potencia de las variables x es uno. Podemos probar con la definición 1.6, que indica F (−x ) = − f (x ). Entonces, si p (x ) = x −1, podemos hacer que X = x −1, por lo que p (X ) = X , y p (−X ) = −X . Finalmente, se tiene que p (−X ) = −p (X ), en virtud de lo cual, la función p (x ) es impar. Si observamos la figura 1.31, la gráfica de p (x ) es simétrica al punto (1, 0) y no a una recta vertical.
43
Cálculo ▪
Unidad
1
Funciones crecientes y decrecientes Definición 1.10 Una función y = f (x ) es creciente (ver figura 1.76) en el intervalo [ a, b ] si, al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, por ejemplo, x 1 y x 2, y además x 1 < x 2, se verifica que f (x 1) < f (x 2). En otras palabras, si al considerar dos puntos de su gráfica, (x 1, f (x 1)) y (x 2, f (x 2)), con x 1 < x 2, se tiene que f (x 1) < f (x 2).
Definición 1.11 Una función y = f (x ) es decreciente en el intervalo [ a, b ] si, para cualesquiera dos puntos dentro del mismo, por ejemplo, x 1 y x 2, y además x 1 < x 2, se tiene que f (x 1) > f (x 2).
Figura 1.32 Función creciente.
Figura 1.33 Función decreciente.
Como se puede observar en las figuras 1.32 y 1.33, las definiciones para determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo dado se cumplen. Otro concepto importante a considerar al analizar una función es el de la pendiente de una recta. En la figura 1.34 tenemos tres rectas R 1, R 2, y R 3 (rectas secantes), que unen dos puntos que pertenecen a la gráfica de la función, las cuales tienen pendiente negativa, positiva y cero, respectivamente. En el intervalo cerrado [ x 1, x 2], donde x 1< x 2, y f (x 1) > f (x 2), mediante la definición 1.8, vemos que la función es decreciente; si observamos la recta R 1, ésta se genera al unir los puntos ( x 1, f (x 1)) y (x 2, f (x 2)), cuya pendiente es negativa. De forma semejante, para el intervalo cerrado [ x 3, x 4], donde x 3 < x 4, y f (x 3) > f (x 4), por la definición 1.10 vemos que la función es creciente, y que la recta R 2 que une los puntos (x 3, f (x 3)) y (x 4, f (x 4)) tiene pendiente positiva. Lo anterior muestra una relación entre la pendiente de la recta R 1 y el hecho de que la función sea decreciente en este intervalo, mientras que la recta R 2 y su pendiente positiva corresponden a una función creciente en el intervalo respectivo. Pero al observar la recta R 3 surge una pregunta en el intervalo [ x 1, x 4]: ¿la función es creciente o decreciente? Si seguimos apoyándonos en que la pendiente de la recta que une los puntos ( x 1, f (x 1)) y (x 4, f (x 4)) es cero, podemos decidir que la función en este intervalo es constante, lo cual no es cierto. Esto se debe a que la recta que utilizamos es una secante. Para minimizar el error, podemos hacer el intervalo cada vez más estrecho, es decir, que la recta se acerque a ser una tangente. Este es el principio en el que se basa el Cálculo Diferencial.
44
Pre - cálculo y funciones
Figura 1.34 Función creciente y decreciente en diferentes intervalos.
Figura 1.35 Rectas “casi tangentes”. Intervalos.
En la figura 1.35 observamos que los intervalos están “muy” angostos, lo que hace que la recta secante que une los puntos se aproxime a ser tangente. En resumen, si deseamos saber si una función es creciente o decreciente en un punto de la función, lo que debemos hacer es trazar la recta tangente en dicho punto y averiguar el valor de su pendiente. En la figura 1.36 se muestran cuatro puntos sobre la gráfica de la función y = f (x ), sobre los cuales se trazan rectas tangentes cuya pendiente indica si la función es creciente o decreciente. Así, en los puntos ( x 1, f (x 1)) y (x 4, f (x 4)), las rectas tangentes R 1 y R 4 tienen pendiente positiva, lo que indica que en tales puntos la función es creciente. En el punto (x 2, f (x 2)) la recta tangente R 2 tiene pendiente negativa, por lo que en ese punto la función es decreciente. Finalmente, en el punto (x 3, f (x 3)) la recta tangente R 3 tiene pendiente cero (recta horizontal), caso en el que se dice que la función tiene un máximo o un mínimo. La siguiente clasificación de funciones se basa en la expresión matemática de éstas. Bajo ese criterio, se les divide por lo general en funciones algebraicas y trascendentes.
Figura 1.36 Rectas tangentes.
Definición 1.12 Una función algebraica es aquélla construida por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación). En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinómicas, racionales e irracionales.
45
Cálculo
1
Unidad
Polinómicas: están definidas por un polinomio, por ejemplo, de la forma P ( x ) = a x + a 1x 1 + + a2x 2 + a1x + a0 , donde los coeficientes a 1 son números reales o complejos, x es la variable y n es un número cero o natural. Por ejemplo, P3 ( x ) = −2x 3 + 5 x 2 + 1 x 2 + x − 1 n
n
n−
n
n−
7
Racionales: están definidas por el cociente de dos polinomios de la forma
son polinomios en x de grado m y n, respectivamente. Por ejemplo:
f ( x ) =
−
f ( x ) =
Pm ( x ) Qn ( x )
3x 2
−
x
5
+
4x
4
+
+
, donde ,
Pm ( x )
y
Qn ( x )
−
3 x + 2
6 x − 7
2x3
+
2
x
Irracionales: son aquéllos cuya variable independiente está bajo el signo radical. Por ejemplo,
+
9
f ( x ) =
3
x
3
Definición 1.13 Una función trascendente es aquélla que no es algebraica. Entre ellas se incluye a las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y especiales. Exponenciales: son aquéllas cuya variable independiente está en el exponente. Esta función está definida por una expresión de la forma f (x )=ax, donde a es un número real mayor que cero y diferente de uno. Por ejemplo: f (x )=3x es una función exponencial de base tres. Logarítmicas: son las inversas de las funciones exponenciales. La operación inversa de la función exponencial es la logarítmica. Por ejemplo: f (x ) = log3(x ). Trigonométricas: son las que dan el valor de una razón trigonométrica en función del ángulo. Las funciones coseno, seno y tangentes son ejemplos de esta clasificación de funciones.
Polinomios : f ( x ) = 4x 4 − 3x 3 + 8x − 2 2x 3 − 3x 2 + 1 Algebraicas Racionales : g ( x ) = 5 x 2 − 10 x 5 − 10x + 8 Irracionales : h( x ) = 3 2 x − 3 Trigonométricas: f ( x ) = sen (x ) Funciones Trascendentes Exponenciales: g ( x ) = 2 x Logarítmicas: h( x ) − log x 3 Valor absoluto: f ( x ) =| x | Especiales Máximo entero: g ( x ) = [ x ] Por tramos o po r r trozos
46
Pre - cálculo y funciones Dentro de la clasificación de funciones especiales, están las denominadas valor absoluto, máximo entero o parte entera, y por tramos o por trozos. Función valor absoluto , h(x)=|f(x)|. La definición de esta función se presenta a continuación: Definición 1.14 La función valor absoluto, que denotaremos con ||, es aquélla con dominio R y regla de correspondencia. x, si
x > 0
El valor absoluto de un número real x está dado por | x | 0, si x =
− x, si
=
0
x < 0
Figura 1.37 Gráfica de la función valor absoluto de x.
En la figura 1.37 (a) se muestran las gráficas de funciones f (x ) = x y g(x ) = −x . Ambas se cortan en el punto (0, 0), a partir del cual los valores de x son positivos a la derecha, y negativos a la izquierda. Si deseamos construir la gráfica de la función del valor absoluto de x y seguimos su definición, nos damos cuenta de que se genera la gráfica de la función que se muestra en la figura 1.37 (b). En otras palabras, podemos constituir el valor absoluto de una gráfica de función tomando la parte positiva de ésta, y dibujando su parte negativa de forma simétrica al eje horizontal, a fin de convertirla en po sitiva.
Figura 1.38 Gráfica de la función valor absoluto de una parábola.
En la figura 1.38 (a) se muestra la parábola f (x ) = (x +2) (x −3) con dos raíces reales en x = −2 y x = 3, esto es, f (−2) = f (3) = 0. En el intervalo (−2, 3), la función es negativa (la gráfica está por abajo del eje horizontal o y = 0). Para x > 3 y x < −2 la función es positiva (la gráfica está por arriba del eje horizontal). Para construir el valor absoluto de la función, seleccionamos el intervalo donde la función es negativa y lo dibujamos de forma simétrica al eje horizontal (a espejo). En la figura 1.38 (b) se muestra el resultado.
47
Cálculo
Unidad
1
Figura 1.39 Gráfica de un polinomio cúbico y su valor absoluto.
En la figura 1.39 (a) se muestra el polinomio cúbico f (x ) = x (x −2)(x +3). El valor absoluto de f (x ) se forma dibujando simétricamente al eje horizontal, los segmentos de la función donde ésta es negativa. Función máximo entero , h(x )=[f (x )]: la definición de esta función se presenta a continuación: La función máximo entero denotada por [], es la función con dominio R y regla de correspondencia; f (x ) = [x ] es el máximo entero no mayor que x . Con las siguientes expresiones, ejemplificamos la definición de la función máximo entero de x . [7] = 7, ya que, si consideramos al conjunto de todos los números enteros no mayores a 7: {. . . ,2 ,3 ,4 ,5,6,7} , el máximo entero es 7. [3.5] = 3, ya que, si consideramos al conjunto de todos los números enteros no mayores a 3.5: {..., −2, −1, 0,1, 2,3} , el máximo entero es 3. [−3] = −3, ya que, si consideramos al conjunto de todos los números enteros no mayores a −3: {..., −6, −5, −4, −3} , el máximo entero es −3. [−2.4] = [−2.5] = −3, ya que, si consideramos al conjunto de todos los números enteros no mayores a −2.4 y −2.5:
{..., −6, −5, −4,−3} , el máximo entero es −3.
Para construir la gráfica de f (x ) = [x ], aplicamos la definición de máximo entero y analizamos por intervalos: Para todos los números que pertenecen al intervalo (0, 1), el Para todos los números que pertenecen al intervalo (1, 2), el Para todos los números que pertenecen al intervalo (2, 3), el Para todos los números que pertenecen al intervalo (3, 4), el
máximo entero es 0. máximo entero es 1. máximo entero es 2. máximo entero es 3.
Si continuamos este análisis para el resto de intervalo de números positivos y negativos, obtenemos la gráfica de la función máximo entero, como se ilustra en la figura 1.40. Ahora, podemos extender esta definición para cualquier función. Así, por ejemplo, en la figura 1.41 (a), si f (x ) = x 2 (en color negro), entonces la función máximo entero de la función es h(x) = [x 2] (en rojo); y en la figura 1.41 (b), para la función coseno, f (x ) = cos(x ), por lo que la función máximo entero es h(x ) = [cos(x )].
48
Pre - cálculo y funciones
Figura 1.40 Función máximo valor de x.
Figura 1.41 Función máximo valor de f (x).
Función por tramos o trozos . Estas funciones se construyen por intervalo, en cada uno de los cuales existe una función. Como ejemplo de éstas, tenemos el precio del boleto para un concierto; de las filas 1 a la 5, el precio es de $500.00; y de la sexta en adelante, el costo es de $300.00.
Figura 1.42 Función por tramos.
Otro ejemplo lo tenemos cuando pagamos algunos servicios por hora o por algún periodo, donde la hora o fracción tiene el mismo precio, pero al siguiente entero cambia el costo. Observa la figura 1.42.
49
Cálculo
Unidad
1
En general, para definir una de estas funciones se necesita, primero, definir sus funciones e intervalos. Por ejemplo: f ( x ) =
1 si x < 0 . La figura 1.44 muestra la gráfica de esta función: x si x ≥ 0
Figura 1.43 Costo de un servicio por hora.
Figura 1.44 Función en tramos.
Operaciones Sean las funciones f(x) = 5x + 3 y g(x) = 2x −1, encuentra: 1) f(x) + g(x)
2) f(x) − g(x)
3) f(x) g(x)
4)
f ( x ) g ( x )
Como podrás observar, se te pide que realices las cuatro operaciones elementales con dos funciones:
50
. s e n o i c n u f e d a m u S ) a
. s e n o i c n u f e d a i c n e r e f i D ) b
. s e n o i c n u f e d o t c u d o r P ) c
. s e n o i c n u f e d e t n e i c o C ) d
Figura 1.45 Cuatro operaciones con dos funciones.
Pre - cálculo y funciones Para obtener f (x ) + g(x ), hagamos la operación suma con la regla de correspondencia de f (x ) y g(x ), y llamemos al resultado obtenido h(x ), esto es: h(x ) = f (x ) + g(x ) = (5x + 3) + (2x −1) = 7x + 2. Como el dominio de f (x ) y g(x ) es R, al sumar las funciones se obtiene una expresión cuyo dominio también es R, es decir: dom h(x = R). La figura 1.45 (a) muestra la gráfica de esta operación. Como el dominio de f (x ) y g(x ) es R, al restar las funciones se obtiene una expresión cuyo dominio también es R, es decir: dom h(x ) = R. h(x ) = f (x ) –g(x ) = (5x + 3) –(2x −1) = 5x + 3 −2x + 1 = 3 x + 4. La figura 1.45 (b) muestra la gráfica de esta operación. Para obtener f (x ) g(x ) hagamos la operación con la regla de correspondencia de f(x) y g(x), y llamemos al resultado obtenido h(x ), esto es h(x ) = f (x )g(x ) = (5x + 3) (2x −1) = 10x 2 + x −3. Como se puede observar, el producto es un polinomio de segundo grado. Como el dominio de f (x ) y g(x ) es R, al multiplicar las funciones se obtiene una expresión cuyo dominio también es R, es decir: dom h(x ) = R. La figura 1.45 (c) muestra la gráfica de esta operación. Para obtener el cociente
h( x ) =
f ( x ) g ( x )
, hagamos la operación con la regla de correspondencia de f(x) y g(x), y
llamemos al resultado obtenido h(x). La operación es:
h( x ) =
f ( x ) g ( x )
=
5 x + 3 2 x − 1
. Observa que, a pesar de que el dominio
de f(x) y g(x) es R, al dividir las funciones se obtiene una expresión cuyo dominio no es R, ya que no se puede dividir entre cero, así que primero encontramos el valor de x, para el que 2x −1 = 0. El denominador está compuesto por un polinomio de primer grado, por lo que sólo tiene una raíz. Despejando x, se tiene x = 1 . Entonces, para este valor la función racional h(x ) no existe o no está definida, lo que significa que 2 no pertenece al dominio de la función, por lo que dom h(x ) = R − . En la figura 1.45 (d), se observa que h(x) es 1
2
1
discontinua (se corta o rompe) en x = . Las funciones f(x) y g(x) se pueden combinar y formar nuevas funciones: 2 suma, diferencia, producto y cociente, cambiando sus propiedades, entre ella, las más importante es su dominio y contradominio, de la siguiente manera: (f
+
g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
dom(f
+
g ) = dom f
∩
dom g.
Función y = ƒ(x)
De fin a una
aplicación entre
Expresa
Se asocia
Se representa
Dependencia entre valores
Expresión algebraica
Gráfica
a través
mediante Conjunto Dominio
Conjunto Imagen
formado por
formado por
Elementos X
Elementos Y
definen
definen
Variable independiente
Descripción verbal
Características de variación
Tablas
como Aspectos globales
Gráficas Fórmulas
Variable dependiente se expresa
lím b a
ƒ (b) – ƒ(a) b a
mediante Curvas pueden tener Discontinuidades
Aspectos locales
Simetría
mediante
Asíntotas
Tasa de instantánea de variación
Raíces
permite observar
continuidad
crecimiento
extremos
Figura 1.46
51
Cálculo ▪
Unidad
1
Comportamiento
El aspecto de la gráfica de una función y = f (x ) se puede modificar si los parámetros a, b o c varían. Por ejemplo, ¿cuál sería el aspecto de la función y = 3 cos(x −1) + 2, sabiendo la forma de la función cosenoidal? O la función y = −2(x +4)2 − 1, ¿cambia mucho de la forma original y = x 2? Con las siguientes imágenes podremos llegar a una conclusión respecto de los cambios que los parámetros indicados generan en la forma y posición original del sistema de ejes coordenados de la gráfica de una función. Como reflexión inicial: ¿qué sucede si todos los parámetros son iguales a cero? Definitivamente la función se convierte en y = 0, que es el eje horizontal, este caso resulta trivial. Lo mismo ocurre si todos los parámetros fueran cero excepto C(c≠0) a la función se convierte en y = c, donde la constante, c . La función con la que iniciamos el estudio de esta propiedad es la identidad, que deja de serlo cuando variamos los parámetros. Si a y = f (x ) = x , cuya gráfica es una recta de 45° que pasa por el origen de coordenadas ((a)), ahora la expresamos como f (x ) = a x +c , obtenemos la identidad si hacemos que a = 1 y b = c = 0, lo que nos indica que con variar los parámetros, tenemos una función que pertenece a la misma familia de funciones que la identidad. En las siguientes figuras observamos la variación del parámetro c :
Figura. 1.47 Desplazamiento vertical de las funciones lineal y cuadrática.
Figura 1.48 Desplazamiento vertical del coseno y de una cúbica.
52
Pre - cálculo y funciones Al observar la sesión de figuras anteriores, podemos llegar a la siguiente conclusión: La gráfica de f (x ) + c se obtiene desplazando la gráfica de f (x ) hacia arriba, si c es positivo, o hacia abajo, si c es negativo. Vamos a analizar lo que sucede con la variación del parámetro b , para lo cual utilizaremos una cuadrática y una senoidal:
Figura 1.49 Desplazamiento horizontal de una cuadrática y una senoidal.
En las figuras 1.49 (a) y 1.49 (b), el inciso a) muestra la función básica, haciendo notar el punto A = (0, 0) como referencia. Al modificar el parámetro b , la gráfica correspondiente se recorre a la izquierda o a la derecha, según el valor de b . Por ejemplo, en ambos casos el inciso b) tiene un desplazamiento de 2 unidades a la derecha, y el argumento de la función es x−2, así f5 ( x ) ( x 2)2 y f 6 (0) = 0 . Al desplazarse la función a la derecha dos unidades, se tiene: f 5 (2) = 0 y f 6 (2) = 0 . De las observaciones anteriores, podemos concluir: el parámetro b desplaza la gráfica de la función f (x ) hacia la derecha si b es positivo, o hacia la izquierda si b es negativo. Toca el turno a la influencia del parámetro a sobre f (x ). Para determinarla, utilizaremos también la cuadrática y la función seno. =
−
Figura 1.50 Las gráficas se comprimen hacia el eje vertical, si a > 1.
53
Cálculo
Unidad
1
Observamos que las gráficas a) b), c) y d) están arriba de la función original, lo cual sucede porque a > 1. Pero, ¿qué ocurre si 0 < a < 1? La respuesta la encontramos con las siguientes gráficas:
Figura 1.51 Las gráficas se aplastan sobre el eje horizontal, si 0 < a < 1.
Lo que nos resta es juntar los efectos de los tres parámetros en una sola función, lo que haremos con las mismas funciones:
Figura 1.52 Las gráficas tienen el efecto de los tres parámetros.
En la figura 1.51 (a) se tienen las funciones y = x 2 y g = 3 (x −2)2 + 2; y en la figura 1.51 (b), se tienen y = sen (x ) y g = 3 sen(x −2) + 2. El efecto de los tres parámetros en las figuras 1.52(a) y 1.52 (b) lo podemos resumir en: 1) Desplazamiento a la derecha de dos unidades, b = 2. Si b = −2, el desplazamiento sería a la izquierda. 2) Se recorre hacia arriba dos unidades, c = 2. Si c = –2, el recorrido sería hacia abajo. 3) Se comprime hacia el eje vertical, a = 3. Si
a
1 =
3
, se aplastaría hacia el eje horizontal.
Podemos representar ambas funciones como y = 3 f (x −2) + 2. En general, una función y = f (x ) con sus tres parámetros diferentes de cero se escribe de la siguiente forma: y = af (x –b ) + c
54
Pre - cálculo y funciones Para el parámetro a, falta la posibilidad de que sea negativo: a < 0. Por álgebra elemental, sabemos que, si una expresión matemática es multiplicada por −1, cada sumando de la expresión cambia de signo. Por ejemplo, si P (x) = 3x2 −4x + 3 y se multiplica por −1, se tiene –P (x) = −3x 2 + 4x −3. En la gráfica de una función, lo que determina el signo de ésta es el coeficiente a, por lo que, si el signo de una función en un intervalo dado ( α,β) es positivo (la gráfica de la función está por arriba del eje horizontal), entonces, al cambiar el signo del parámetro a, la función es negativa en el intervalo indicado (por abajo del eje horizontal) y viceversa.
Figura 1.53 Cambiamos el signo a las funciones.
Las figuras 1.53 (a) y 1.53 (b) representan las gráficas de las funciones cuadrática y senoidal con signo negativo, cuyas formas originales se muestra en las figuras 1.53 (a) y 1.53 (b), respectivamente. Si fijamos el punto P (figura 1.53 (c)) y giramos el sistema de ejes coordenados 180°, obtenemos el cambio de signo de la función. En la figura 1.53 (c) se muestra, gráficamente el movimiento y su resultado. Hay que tomar en cuenta que en las funciones anteriores sólo se cambió el signo al coeficiente a, mientras que los demás parámetros no sufrieron cambio alguno.
Actividad de metacognición 1. ¿Qué conceptos construí en esta lección?
2. ¿Por qué y para qué construí estos conceptos?
55
Cálculo
Unidad
1
3. ¿Cómo me puede servir el aprendizaje de estos conceptos?
4. ¿Cómo construí estos conceptos?
5. ¿Qué tipo de actividades me funcionan mejor para aprender?
La siguiente actividad te permitirá realizar un compendio de todos los temas vistos en la unidad y obtener tus propias conclusiones, con el fin de ayudarte a superar el reto planteado. I. Coloca dentro del paréntesis correspondiente una letra V o una letra F según sea Verdadera o Falsa la expresión de cada ejercicio. 1) Los números con parte decimal infinita son irracionales. ( ) 2) El producto de tres números negativos es negativo. ( ) 3) La potencia par de cualquier valor negativo es positiva. ( ) 4) La expresión racional de π es
22 7
.
5) Todas las expresiones radicales son irracionales. 6) El número natural menor es el 1. 7) Todos los números pares son naturales. 8) La suma obedece a la propiedad conmutativa. 9) El número – 100 es mayor que el número +2. 10) Todos los números enteros son racionales.
(
)
( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) )
II. Resuelve los siguientes problemas: 1) Un avión de cierta compañía de paquetería soporta una carga máxima de 3 toneladas. Si el piloto pesa 70 kg y, cada paquete, máximo 10 kg, ¿cuál es la desigualdad que permite analizar la situación del problema? ¿Cuántos paquetes como máximo pueden transportarse en ese avión? 2) Una persona tiene 10 000 pesos que invertirá de la siguiente forma: una parte la invertirá en una cuenta que le paga 8% de interés anual y el resto lo invertirá en una cuenta que paga 12% anual. ¿Cuál es el monto máximo que debe invertir en la cuenta al 8% si desea obtener como mínimo 1000 pesos en intereses? 3) Se desea cercar un terreno rectangular y se dispone de 140 metros de valla para hacerlo. Encuentra las dimensiones del terreno que garanticen que el área delimitada sea de al menos 1000 metros cuadrados. 4) Se cortan cuadrados en las esquinas de una placa de cartón de 15 cm de largo x 15 cm de ancho. Se doblan las pestañas que resultan y se forma una caja rectangular abierta. Si el área de la base no debe ser menor de 80 cm2, ¿cuál es la máxima altura que puede tener la caja?
56
Pre - cálculo y funciones III. Resuelve las siguientes desigualdades: 1) 5 x − 3 ( 2 − x ) < x − (1 − 7x ) + 2 2)
3 − x
x − 5
3) x
2
≥ 10 − 4 x
≤ 6 x − 5
4) 2 x + 3 < 15 5) 6 ≤ 4 − 5 x ≤ 10
Estamos a punto de terminar esta unidad y, seguramente, ya habrás encontrado el modelo matemático para costo de cada recipiente que será usado como maceta en la escuela. Al hacerlo, ¿descubriste que plantear funciones para problemas cotidianos como el diseño de un recipiente y su costo resulta un proceso cognitivo que involucra diversos elementos como el razonamiento, la creatividad, el análisis y la reflexión, etcétera? Antes de que presenten su informe terminado, debes realizar lo siguiente:
Muestren evidencias acerca del funcionamiento de los modelos matemáticos para los recipientes. Expliquen claramente cómo modelar una situación para obtener una función matemática de la relación entre dos o más variables. Redacten definiciones propias de los siguientes conceptos: Números reales Coordenadas Desigualdades Intervalos Funciones Dominio y contradominio Describan el proceso realizado para obtener la función de costo de cada recipiente (bote y caja) con relación a las dimensiones del recipiente o del corte realizado para construirlo. Y por último, escriban qué tiene que ver esto con la utilidad de la funciones matemáticas en la solución de problemas cotidianos.
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
Es momento de presentar a su profesor el reto superado, es decir, el modelo matemático para el costo de cada recipiente. Organicen la información obtenida y determinen qué datos incluirán en su reporte, así como algunos ejemplos de cómo se calcula el costo de cada recipiente para diferentes medidas de sus dimensiones o cortes realizados.
57
Cálculo
Unidad
1
Autoevaluación del desempeño que tengo con respecto a mis competencias Criterio Comprendo todo aquello que tiene que ver con números reales. Puedo explicar qué es el sistema de los números reales. Identifico los números racionales e irracionales. Reconozco qué conforma la regla de jerarquía y de asociatividad. Puedo explicar el sistema de coordenadas lineales y rectangulares. Distingo desigualdades e intervalos. Comprendo qué son las funciones. Reconozco el dominio y el contradominio. Puedo explicar cuáles son las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Puedo explicar qué son las operaciones.
58
Difícilmente
Suficientemente
Bien
Excelente
Pre - cálculo y funciones
La siguiente cartografía cierra de manera específica el concepto fundamental que desde el principio de la unidad se mencionó: pre-cálculo y funciones. Llena los espacios contestando las preguntas planteadas para organizar esquemáticamente tu aprendizaje. De esta manera descubrirás los aspectos que todavía no tienes muy en claro, para poder llevar a cabo su definición.
7.
6.
1.
Ejemplificación ¿En qué casos se manifiesta?
Noción ¿Qué es?
2.
Subdivisión ¿Cómo se clasifica?
u l o
l c
á
c -
y f u
r
P
i o
n e
s
3.
Vinculación ¿Con qué se relaciona?
4.
¿A qué conjunto mayor pertenece?
n c
e
5.
Categorización
Caracterización ¿Cómo es?
Diferenciación ¿Qué no es, pero se parece?
59
Cálculo
Unidad
1
Rúbrica para evaluar la unidad Criterios
Inicial-receptivo
Expreso ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas, considerando los requerimientos comunicativos de cada situación.
Tengo una buena noción de los conceptos subsidiarios de esta unidad pero no me es fácil expresarme haciendo uso de ellos. Tengo dificultades al ordenar los elementos de un problema y, por lo tanto, no puedo relacionarlos con los requerimientos comunicativos de la situación.
Resolutivo
Conozco los conceptos subsidiarios y los identifico cuando se mencionan. Puedo expresar ideas muy simples usando representaciones matemáticas o gráficas, pero no puedo determinar en qué momento son recomendables o necesarias, a menos que cuente con la orientación de un experto. No encuentro la relación entre la resolución del reto y la teoría matemática que estoy estudiando. No puedo ubicar los espacios de aplicación para ella. Comprendo códigos y símbolos Identifico una gran cantidad de Comprendo diversos códigos matemáticos y soy capaz de símbolos matemáticos pero me y símbolos matemáticos e utilizarlos aplicándolos a la confunden y no los comprendo identificoel tipo de situaciones situación correcta. bien, por lo que no sé en qué en que cada uno se utiliza. Me situación utilizar cada uno de ellos. parece un reto interesante ser capaz de emplear cada uno en la situación correcta.
Relaciono la solución de problemas matemáticos con conflictos contextuales de mi comunidad a través de la aplicación del álgebra.
60
Autónomo
Aplico lo que he aprendido y, por lo tanto, he construido los conceptos subsidiarios. Puedo expresar ideas simples y complejas a través de representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas, según el requerimiento comunicativo de la situación contextual. Puedo sugerir ideas que contribuyan a gastar menos utilizando mi capacidad de gestión de la información. Identifico situaciones en las que puedo aplicar lo que estoy aprendiendo. Identifico códigos y símbolos matemáticos y los ubico en cada una de las diversas situaciones en las que pueden utilizarse. Por ejemplo, entiendo el papel que juegan los símbolos de agrupación y puedo relacionarlos con las jerarquías de operaciones en una expresión algebraica. Encuentro una explicación lógica que relaciona los símbolos matemáticos con cierto tipo de situaciones contextuales. Puedo explicar por qué este tipo de símbolos nos orientan hacia un pensamiento lógicamente correcto. Entiendo que debo aprender a Resuelvo problemas Resuelvo problemas resolver problemas matemáticos matemáticos y comprendo, matemáticos de aritmética y para poder estudiar niveles a través de los ejemplos que álgebra utilizando todo lo que subsecuentes del área disciplinar, he conocido, que tienen he aprendido hasta ahora para pero no encuentro posibilidades una forma de aplicación al resolver todos los problemas de aplicación contextual de la contexto, pero no puedo ubicar que puedo a través de estos misma. situaciones de la vida real que enfoques y procedimientos. resolvería a través de estos Ayudo a otros a comprender aprendizajes. la gran relación que existe entre el poder del pensamiento matemático y la resolución de problemas del contexto, y encuentro muy poderosa la ventaja que esto representa en la vida cotidiana.
Pre - cálculo y funciones
Evaluación de evidencias de aprendizaje Es momento de evaluar tu desempeño ante el reto que afrontaste a lo largo de la unidad, utilizando la siguiente rúbrica que te ayudará a valorar tu trabajo:
Aspectos de evaluación
Preformal (0 – 5)
Construye cilindros El cilindro no logró a partir de una hoja ser construido o rectangular. se presenta roto o mal hecho. No hay calidad en el producto. Construye cajas La caja no logró rectangulares a ser construida o partir de cortes en se presenta rota las esquinas de una o mal hecha. No hoja rectangular. hay calidad en el producto. Elabora modelos No se presentó el matemáticos de modelo matemático, área y volumen o bien, no hay para los recipientes procedimientos por construir en el claros que proyecto. justifiquen el modelo entregado. No es evidente el trabajo del alumno en el producto entregado.
Prueba su modelo matemático con diferentes valores.
Niveles de desempeño Receptivo Resolutivo (6 – 7) (8 – 9)
Autónomo (10)
El cilindro luce frágil El cilindro está bien y presenta defectos. construido,aunque presenta algunos La calidad de la defectos y no es construcción es evidente en él la pobre. limpieza.
El cilindro está bien construido y evidencia limpieza en el trabajo.
La caja luce frágil y presenta defectos. La calidad de la construcción es pobre.
La caja está bien construida y evidencia limpieza en el trabajo.
La caja está bien construida aunque presenta algunos defectos y no es evidente en él la limpieza. Presenta Presenta completos modelos pero los todos los procedimientos no procedimientos son claros o están seguidos para incompletos. la obtención de sus modelos No hay seguridad matemáticos. sobre la funcionalidad del El modelo es modelo presentado. adecuado al problema. Las expresiones algebraicas se presentan sin simplificación.
Suma parcial
Presenta completos todos los procedimientos seguidos para la obtención de sus modelos matemáticos. Todas las expresiones algebraicas se presentan simplificadas. El modelo es el adecuado para el problema. No se realizaron Los procedimientos Presenta los Presenta todos los pruebas del modelo y cálculos procedimientos y procedimientos y o éstas estuvieron realizados para cálculos realizados cálculos realizados incompletas probar el modelo para probar para probar y fueron mal están incompletos o su modelo con su modelo con elaboradas. presentan errores. diferentes valores. diferentes valores. No hay seguridad No hay total La mayoría de Todos los resultados sobre la calidad del seguridad de que el los resultados son son correctos. producto. modelo se adapte correctos. La limpieza y el a la situación del orden son evidentes problema. en todo el proyecto. Suma total Puntaje para el reto
61
Cálculo
Unidad
1
Hacia la prueba Enlace Respuestas
1. La forma racional del número 36.5555… es:
1)
73
a)
2
b)
183
c)
329
d)
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
5
9 1642 45
e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
4a 2. Si P ( 2a + 1, a − 1) = 11, , calcula el valor de a y determina las coordenadas 5 del punto P : a)
a
=
4;
P 9, 3
b)
a
=
4;
P 11, 3
c)
a
=
5;
P 11, 2
d)
a
=
5;
P 11, 4
(
2)
)
(
)
(
)
(
)
e) Ninguna respuesta anterior es correcta 3. La pendiente de un segmento rectilíneo es 3.75. Uno de sus extremos es (2, 3) y, el otro (r, 20). ¿Cuál es el valor de r? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
3)
4. El máximo peso que puede soportar el elevador de un edificio es de 400 kg. ¿Cuál es el número máximo de personas que pueden subirse al elevador si el peso promedi o de las personas es de 70 kg? Para resolver el problema, se debe resolver la desigualdad: a) 70 x ≤ 400 b) 7 x − 40 > 0 c) 7 x − 40 ≤ 10 d) 70 x − 400 < 0 e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
4)
5. El dominio de la función f ( x ) =
5)
a) (
−∞ −
b) (
−∞
,
,
∞
1]
∪
2
x
+1
es:
[1, ) ∞
)
c) ( −∞, − 1) ∪ (1, ∞ ) d) [1, ) ∞
e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
62
Pre - cálculo y funciones
6. El dominio de la función f ( x )
=
Respuestas
x 4
−
2
x
es:
a) ( −∞, − 2 ) ∪ ( 2, ∞ )
6)
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
b) ( −∞, − 2 ) ∪ ( −2, 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) c) ( −∞, − 2] ∪ [2, ∞ ) d) ( −∞, − 2] ∪ [ −2, 2] ∪ [2, ∞ ) e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
7. Sean f ( x ) = x + 5 y g ( x ) 4 x . El valor de ( g f ) ( −1) es: a) 8 b) 3 c) – 1 d) Se produce un error. e) Ninguna respuesta anterior es correcta. =
2
f 3 x 8. Sea ( x ) = . Si f ( x ) es el numerador de la expresión, entoncesg ( x ) es: x + 1 g a) 3 x b) c)
7)
8)
3
x + 1
d) 3 x − 1 e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 3
9. Si f ( x ) =
x
y g ( x ) = x + 3 , el dominio de (f g )( x ) es:
9)
a) ( −∞, 0) ∪ (0, ∞) b) (
,
−∞
∞
)
c) ( 3, ) −
∞
d) ( −∞, − 3 ) ∪ ( −3, ∞ ) e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
10.
Sea la función f ( x )
a)
f x
b)
f x
=
3x – 2 .
Entonces la sentencia verdadera es:
( ) representa una recta decreciente.
10)
( ) es discontinua.
c) f ( x ) tiene como dominio al conjunto de los números reales. d) f ( x ) tiene una asíntota. e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
63
Cálculo
64
Unidad
1
Pre - cálculo y funciones
65
Al término de esta unidad el alumno aprenderá a reconocer el límite de una función; sabrá qué son las propiedades y podrá explicar qué es la continuidad de una función. Límites.
Límite de una función. Propiedades. Continuidad de una función.
Espacio. Diversidad.
Libertad. Justicia. Solidaridad.
Competencia genérica
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
Atributo
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Competencia disciplinar extendida
Significado de la relación
Construye e Relación fuerte: interpreta modelos la relación es matemáticos procedimental, mediante la y metódica, ya aplicación de que se refiere, procedimientos en ambas aritméticos, competencias, geométricos y al uso de variacionales, para construcción e la comprensión interpretación y análisis de matemáticas situaciones reales, que contribuyen hipotéticas o a la solución formales. de problemas reales, hipotéticos o formales, con el fin de mostrar la vinculación existente entre la propia teoría matemática y otras áreas del conocimiento.
Contenidos relacionados Fácticos
Procedimentales
Factorización: Productos notables expresar un objeto o número como Fracciones producto algebraicas de otros objetos o números más pequeños.
Actitudinales
Perseverar en la construcción de procedimientos y en la interpretación de modelos para la solución de problemas. Trabajar de manera colaborativa con sus compañeros para la solución de problemas y la creación de modelos propiamente matemáticos y de otras áreas del conocimiento.
Cálculo
Unidad
2
Actividad diagnóstica Resuelve los siguientes problemas. 1. Factoriza completamente la expresión 2 x
2. Factoriza completamente la expresión
5
−
8x
3
5. Racionaliza la expresión
3 x 3
2 4 x
x 2
−
x 2
−
64 .
128 x − 2 x . 7
3. Encuentra el resultado de dividir el polinomio (12 x
4. Racionaliza la expresión
+ 16
5
−
26 x
4
+
41x
3
−
51x
2
+
23 x − 8
.
81
x + 3
.
2
6. Racionaliza la expresión
3 x + 24 3
x 2
+2
.
3
7. Simplifica la fracción
2 x − 2x 4 x
4
− 8x
3
2
− 12x
.
8. Efectúa la suma de fracciones y simplifica el resultado:
68
x 2 2
x
−
4
+
1
x+2
−
2
x − 2
.
) entre el polinomio ( 3 x
3
−
5x
2
+
7 x − 8
).
Límites
9. Efectúa la división de fracciones y simplifica el resultado:
10. Realiza las operaciones indicadas y simplifica:
x 2
x 2 + 8 x + 7 x 2 − 8 x + 15
÷
3 x + 3 2 x − 10
.
2 + 8 x + 16 6 ⋅ − . 8 x − 72 x − 6 x + 4
En esta unidad analizaremos el comportamiento de la funciones de una manera más profunda, estudiando el concepto de límite de una forma intuitiva para deducir sus propiedades y establecer procedimientos prácticos del cálculo de límites. También daremos continuidad al reto de la unidad anterior: elaborar un modelo matemático del costo de producción de un recipiente cilíndrico y uno rectangular.
Determinar de manera intuitiva las dimensiones de los recipientes más económicos a partir del producto obtenido en la unidad anterior.
El reto: Determinar recipientes económicos ¿Cuál es el conflicto específico a resolver? ¿Por qué es importante este reto para la comunidad? ¿En qué situaciones te será útil o podrás poner en práctica este reto? ¿Servirá para la solución de todo el proyecto planteado para el curso?
1. Realiza cálculos del costo de producción de recipientes con diferentes medidas, usando tu modelo matemático. Observaciones:
69
Cálculo
Unidad
2
2. Haz un registro de los resultados obtenidos. Colócalos en una tabla. Observaciones:
3. Elabora un análisis comparativo de los datos de la tabla. Observaciones:
4. Elige de manera intuitiva, con base en el resultado del punto 3, las dimensiones del recipiente más económico. Observaciones:
Límite de una función Sea y f ( x ) una función. En esta expresión y es la variable dependiente porque su valor se obtiene de las operaciones definidas en f , usando como argumento un valor de la variable x , que es la variable independiente. Por ejemplo, si y f ( x ) x 1 , el valor asignado a x debe elevarse al cuadrado y al resultado obtenido se le restará una unidad para obtener el valor de y . Así, si a x le asignamos el valor de 1.9, entonces y f (1.9 ) (1.9) 1 3.61 1 2.61 ; si a x le asignamos el valor de 1.99, entonces y f (1.99 ) (1.99 ) 1 3.9601 1 2 .9601 ; si a x le asignamos el valor de 1.999, entonces y f (1.999 ) (1.999 ) 1 3 .996001 1 2 .996001 ; si a x le asignamos el valor de 1.9999, entonces y f (1.9999 ) (1.9999 ) 1 3. 99960001 1 2 .99960001 ; si a x le asignamos el valor de 1.99999, entonces y f (1.99999 ) (1.99999 ) 1 3 .99996 1 2 .99996 ; lo que podemos resumir en la siguiente tabla: 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 2 … x 2.61 2.9601 2.996001 2.99960001 2.99996 3 … f ( x ) =
=
2
=
−
2
=
=
−
=
−
=
2
=
=
−
=
−
=
2
=
=
−
=
−
=
2
=
=
−
=
−
=
2
=
=
−
=
−
=
De igual forma: x
( )
f x
70
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
3.41
3.0401
3.004001
3.00040001
3.00004
… …
2 3
Límites
Es evidente que hay un comportamiento compor tamiento definido en esta situación: 1) La variable x recibe valores cada vez más cercanos a 2. En la primera tabla, los valores de x se aproximan a 2 por la izquierda, pues son valores menores a 2. En la segunda tabla, los valores de x se aproximan a 2 por la derecha, pues son valores mayores a 2. 2) Los valores que devuelve la función (que son los valores para la variable y ) se aproximan a 3 en ambos casos.
Con la información obtenida para este ejemplo, podemos decir que: Si y f ( x ) x 1 y x toma valores cada vez más cercanos (tiende a) a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, la función produce un valor (para la variable y ) cada vez más cercano (tiende a) a 3. Esto permite definir el concepto intuitivo de “límite de una función” de la siguiente manera: =
2
=
−
El límite de una función f ( x ) existe y es igual a un número real L si los valores de x tienden a un valor a , tanto por la izquierda como por la derecha, y el resultado obtenido por la función es L . La notación matemática de la definición anterior es: lim f ( x ) L si y sólo si lim f ( x ) = lim f ( x ) = L =
x →a
x →a
−
x →a
+
Donde: el símbolo → se lee “tiende a”, la expresión x → a se lee “ x tiende al valor a por la izquierda” y la expresión x → a se lee “ x tiende al valor a por la derecha”, por lo que la expresión anterior se lee: “límite de f ( x ) cuando x tiende al valor a es igual a L si y sólo si el límite, cuando x tiende al valor a por la izquierda, es igual al límite cuando x tiende al valor a por derecha y ambos límites son iguales al valor real L ”. −
+
Los límites
( ) y
lim f x
x → a
−
( ) se denominan límites laterales de la función.
lim f x
x →a
+
Podemos concluir que si los límites laterales de una función son iguales entre sí e i guales a un valor real L , entonces el límite de la función es precisamente ese valor L . Analicemos el límite de la función Usando tablas tenemos que: x
( )
f x
De donde
2 x + 1, x < 4 f ( x ) = cuando x → 4 . 1 2 4 + 8 ( x − 8 ) , x > 4
3.9
3.99
3.999
3.9999
…
4
8.8
8.98
8.998
8.9998
…
9
( ) = 9 , usando la función f ( x ) = 2 x + 1, pues es la que debe usarse para valores menores que 4.
lim f x −
x →4
x
( )
f x
De donde Dado que
4.1
4.01
4.001
4.0001
…
4
5.90125
5.9900125
5.999000125
5.999900001
…
6
1
x → 4
+
( ) = 9 ≠
lim f x
x → 4
2
( ) = 6 , usando la función f ( x ) = 4 + ( x − 8 ) , pues es la que debe usarse para valores mayores que 4.
lim f x
−
8
( ) = 6 , decimos que
lim f x
x → 4
+
( ) no existe.
lim f x
x → 4
71
Cálculo
Unidad
2
La gráfica de la función aclara esta conclusión:
Analicemos ahora el límite
lim x →0
1 x . 2
La función dada en el límite es f ( x ) Usando tablas, tenemos: x
( )
f x
De donde
1 2
x
.
-0.1
-0.01
-0.001
-0.0001
…
0
100
10000
106
108
…
∞
0.1
0.01
0.001
0.0001
…
4
100
10000
106
108
…
∞
( )=∞
lim f x
x →4
x
( )
f x
De donde
=
−
( )=∞
lim f x
x →4
+
Ahora, aunque ambos límites laterales son iguales, el valor obtenido no es un número real. El símbolo significa que la función produce un valor muy grande, tan grande que no se puede definir un número real para expresarlo ∞
cuando x → 0 , de modo que “la función crece sin límite o ilimitadamente”. En conclusión, La gráfica de la función aclara esta conclusión:
72
lim x →0
1 x no existe. 2
Límites
Actividad de aprendizaje 1
Esta actividad contribuye con el reto porque te permite determinar la forma en que el costo de un recipiente varía a medida que varían sus dimensiones.
Por la definición intuitiva de límite de una función (calculando límites laterales), determina los límites de cada ejercicio.
1)
lim
x 2
4 x + 4
2
x
x → 2
x 2
lim
x →2
−
−
−
4 x + 4
2
x
−
=
4
−
=
4
1.9
x
1.99
1.999
1.9999
1.99999
x 2
−
4 x + 4
2
x
x →2+
−
2.1
2
25 − x
lim
2
25 − x
lim x → 5
2.0001
2.00001
…
=
…
2
lim
5
…
( )
x → 5
2
−
f x
25 − x
=
+
…
x
lim
3−
x
=
9 − x
x → 9
lim
5
…
( )
f x
x →9
2.001
=
x
3)
2.01
…
( )
f x
x → 5
=
4
x
2)
2
…
( )
f x
lim
…
3−
−
=
9 − x
x
( )
f x
x
…
9
…
73
Cálculo x 9 − x
+
=
x
…
lim x →−5
x →− 5
x + 5 x 2
−
−
x 2
−
=
25
x + 5
lim
=
25
…
x
lim
x + 5 x 2
−
=
25
…
x
–5
…
( )
f x
x 3 , x < 2 4 f ( x ) = , 2 ( x + 1) , x ≥ 2 3
5)
–5
…
( )
f x
x →−5+
9
…
( )
f x
4)
2
3−
lim x →9
Unidad
( )=
lim f x
x → 2
( )=
lim f x −
x →2
…
x
2
…
( )
f x
( )=
lim f x
x → 2
+
…
x
2
…
( )
f x
Como puedes darte cuenta, el cálculo del límite de una función f ( x ) aplicando la definición intuitiva, es decir, construyendo tablas de valores, resulta un trabajo cansado y hasta tedioso., Sin embargo, los ejercicios anteriores permiten deducir que, si la función es continua, el límite de la función se obtiene por sustitución directa del valor de interés en ella; es decir: Si f ( x ) es continua en , o al menos en un intervalo al que pertenezca x = a , entonces lim f ( x ) f (a ) . Por ejemplo, si f ( x ) 3 x , el siguiente límite se puede calcular como se muestra a continuación: =
x →a
2
=
lim f ( x ) = f ( 2)
x → 2
En efecto: ( ) = lim ( 3 x ) = 3 ( 2 )
lim f x
x → 2
74
2
x → 2
2
=
( )
2
( )
f 2 = 3 2
=
12
Límites
Así que podemos enunciar la siguiente propiedad: Teorema 1.1. Si a es un elemento del dominio de f ( x ) y lim f ( x ) existe, entonces se cumple lo siguiente: x →a
lim f ( x ) = f (a )
x →a
Ejemplo 1.1. Calcula los siguientes límites aplicando el teorema 1.1: a)
2 x + 22
lim x →−3
2
b)
lim
3 x
+ 10
2 − 7 x
x →0
Solución: a) Como se puede ver a continuación, el dominio de 3 ∈ [ −11, ∞ ) .
−
lim
2 x + 22
x →− 3
lim
3 x
f ( −3)
=
2(−3) + 22 =
=
3 x 2
10
f
=
( 0 ) =
+
10
2 − 7 x 2
2 − 7 x
x → 0
▪
+
2 x + 22
es
( ) {
} [
domf x = x ∈ | x ≥ −11 = −11, ∞
) y
Aplicamos el teorema 1.1:
b) Como el dominio de f ( x ) = 2
( ) =
f x
3(0)
+
10
2 − 7 (0)
es
10
=
−
6 + 22 =
16 = 4
domf ( x ) =
2 − y 7
0
2 ∈ − aplicamos el teorema 1.1: 7
5.
=
2
Límite de funciones polinominales
Para comenzar esta sección, recordaremos la definición de función polinómica: Definición 1.1 Una función f es polinominal si es de la forma:
( )=a
f x
n
x
n
+
an −1 x
n −1
+
an −2 x
n −2
+
+ a3 x
3
+
a2 x
2
+
a1 x + a0
Los números a , a 1 , a , a , a , a , a son números reales y son los coeficientes del polinomio. El número n es natural y se llama grado del polinomio. El domino de cualquier polinomio son todos los números reales, es decir, domf = . n
n −2
n−
3
2
1
0
Dado que el dominio de cualquier polinomio son todos los números reales, se puede aplicar el teorema 1.1 para calcular el límite. Ejemplo 1.2. Calcula los siguientes límites: a) lim2 f ( x ) donde f ( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 + 7 x2 − 11x − 4 x →
b) lim1 g ( x ) donde g ( x ) = 11x
5
x →−
+
3x
4
− 13 x
2
+
2x
− 20
Solución: a) Por el teorema 1.1, se tiene que: lim f ( x ) = f ( 2 ) x →2
=
( )
3 2
4
−
3
( )
2 2
+
2
( )
7 2
( 2) − 4 = 34
− 11
75
Cálculo
Unidad
2
b) Por el teorema 1.1, se tiene que: lim g ( x ) = g ( −1) x →1
=
▪
( −1)
11
5
+
3
( − 1)
4
( )
− 13 − 1
2
+
2
( −1) − 20 = −43
Límite de funciones racionales Definición 1.2 Si f ( x )
( ) y
Q ( x )
P x
son polinomios, a la función de la forma:
P ( x )
=
Q ( x )
Se le llama función racional, donde Q ( x ) ≠ 0 . El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales, tal que el denominador sea diferente de cero. Ejemplo 1.3. Las siguientes funciones son de tipo racional: a)
f x
b)
f x
( )=
( )
c)
=
3 x
su dominio es:
x + 8 1 2
x
( )=
f x
−
domf
su domino es:
4
5 x − 1 3 x + 11
domf
su dominio es:
=
=
domf
−
{ 8}
−
−
{
2, 2}
−
11 = − − 3
Para este tipo de funciones no siempre es posible aplicar la propiedad Ejemplo 1.4. Si f ( x ) =
5 x + 1 x − 3
, calcula
( ) = f (a ) , como se muestra a continuación:
lim f x
x →a
( ).
lim f x
x →3
Solución: Si aplicamos la propiedad 2
( )=
lim f x x →−3
lim x →−3
x
−
9 =
x + 3
( ) =
f 3
( ) = f ( a ) , se obtiene:
lim f x
x →a
( −3 )
2
−
9
9−9 =
−3 +
3
0 =
0
=
indefinido
0
La razón de esta catástrofe es que el número a = 3 no pertenece al dominio de la función f ( x ) , es decir, 3 ∉ domf . Una manera de calcular este tipo de límites es encontrar una función g ( x ) que sea igual a f ( x ) , salvo en un punto. Vamos a enunciar y a ilustrar la siguiente propiedad, resolviendo algunos ejemplos. Teorema 1.2 Sea c ∈ y f ( x ) g ( x ) para todo x
en un intervalo abierto que contiene a c . Si existe el límite de g ( x ) cuando x → c , entonces el límite de f ( x ) también existe y es: =
lim f ( x ) = lim g ( x )
x →c
76
x →c
≠ c
Límites
Ejemplo 1.5. Calcula el siguiente límite: x 2
lim
−
9
x + 3
x →−3
Solución: Como x 2
−
−3 ∉ domf
( x − 3 ) ( x + 3 )
9 =
x + 3
, entonces simplificamos la expresión =
x + 3
x 2 − 9 x + 3
por medio de la factorización del numerador:
x − 3 2
Esto significa que la función f ( x ) = x − 9 coincide con g ( x ) x + 3 difiere en x 3 . Por la propiedad, se tiene lo siguiente: =
x 2
lim
−
x
−
3 algebraicamente,
pero como función sólo
−
9
lim
=
x + 3
x →−3
=
x →−3
( x − 3 ) 2
Es claro que nos conviene calcular x lim ( x 3 ) en lugar de x lim x − 9 . En el primer caso, sólo sustituimos x + 3 mientras que en el segundo tenemos que hacer tablas de valores aproximados. Por lo tanto: −
→− 3
x 2
lim x →−3
−
9
lim
=
x + 3
x →−3
→− 3
x
=
3,
−
( x − 3 ) = ( −3 − 3 ) = −6
Observa que fue más fácil sustituir x 3 en g ( x ) que hacer aproximaciones a través de f ( x ) . Cabe aclarar que, al momento de sustituir x 3 en g ( x ) , debemos omitir el símbolo x lim . =
=
−
−
→−3
Ejemplo 1.6. Calcula el siguiente límite: x 2
lim
x − 20
+
x − 4
x → 4
Solución: Dado que x 2
+
4 ∉ domf , entonces
x − 20
x − 4
=
( x + 5 ) ( x − 4 ) x − 4
=
simplificamos la expresión
x 2
+
x − 20
x − 4
, factorizando el numerador:
x + 5
Por la propiedad, se tiene que: lim
x 2
x − 20
+
=
x − 4
x → 4
lim x →− 3
( x + 5 ) =
4+ 5
=
9
Ejemplo 1.7. Obtén el valor del siguiente límite: Solución: x lim x →5
2
x
2
−
3 x − 10
−
x − 20
Si sustituimos directamente lim x →5
x 2 x
2
−
3 x − 10
−
x − 20
x = 5
, la fracción se vuelve indefinida:
2
( 5 ) − 3 ( 5 ) − 10 = ( 5 ) − ( 5 ) − 20 2
25 − 15 − 10 =
0 =
25 − 5 − 20
0
77
Cálculo 2
Entonces buscamos una función equivalente a f ( x ) x x torizamos el numerador y el denominador de la fracción: =
x 2
lim
x
x →5
lim
x
x → 5
−
2
x 2
2
Unidad
3 x − 10
x − 20
−
−
2
=
x →5
3 x − 10
−
lim
( x + 2) ( x − 5 ) ==
( x − 5 ) ( x + 4 )
lim x →5
x + 2 x + 4
−
3 x
2 −
5+2 =
x
−
−
10
20
, que esté definida en
x = 5
. Para lograrlo, fac-
7 =
5+4
9
7 =
x − 20
9
Ejemplo con desarrollo de competencias disciplinares Calcula los siguientes límites: lim
x 3
−
x
x →7
2
2x −
2
−
35 x
8 x + 7
x + 8
lim
2 x − 2
x →−5
Solución: a) Si sustituimos directamente x = 7 , la fracción se vuelve indefinida: x
lim
3
−
x
x →7
2
2x −
2
−
35 x
8 x + 7
3
2
( 7 ) − 2 ( 7 ) − 35 ( 7 ) 343 − 2 ( 499 ) − 245 = = 49 − 56 + 7 (7) − 8 (7) + 7 2
0 =
0
3
2
Debido a esto, buscamos una función equivalente a f ( x ) = x − 2x − 35 x que esté definida en x = 7 . Para lograrlo, x − 8 x + 7 factorizamos el numerador y el denominador de la fracción: 2
x 3
lim
−
x
x →7
lim
x 3
−
x
x → 7
2
2
2x 2 −
35 x
=
8 x + 7
2x −
−
2
−
35 x
lim
x ( x 2 x
x →7
=
x + 8
−5 + =
2 x − 2
x →− 5
2 x − 35 )
− −
8 x + 7
=
lim
x →7
x ( x + 5 ) ( x − 7 ) =
( x − 1) ( x − 7 )
lim
x →7
x ( x + 5 )
( x − 1)
=
7(7 + 5) 7 −1
=
7 (12 ) 6
=
7 ( 2)
14
8 x + 7
b) Si sustituimos directamente x lim
2
2
8
( −5 ) − 2
=
5,
−
3 =
la fracción no se vuelve indefinida: 1
= − −12
4
Por lo tanto: x + 8 5 2 x − 2
lim x →−
1 = −
4
Los siguientes resultados algebraicos son de mucha utilidad para calcular límites. Como tarea, verifícalos aplicando una simple división de polinomios. Si a
n
Si a
n
n ∈ y a , b ∈ ,
se cumple la siguiente identidad:
− bn = ( a − b ) a n −1 + an −2 b + an −3 b2 + an−4 b3 + + bn −1 (1.1) n∈ ,
n par y a b ∈ , se cumple que:
− bn = ( a + b ) an −1 − an −2 b + an −3 b2 − an −4 b3 + − bn −1 (1.4)
Si n ∈ , n impar y a b ∈ , se cumple lo siguiente: a
78
n
+ bn = ( a + b ) an −1 − an −2 b + an −3 b2 − an −4 b3 + + bn −1 (1.5)
Límites
Ejemplo 1.8. Calcula los siguientes límites: a)
lim
x 3 x 4
lim
x →− 1
c)
8
x − 2
x →2
b)
−
−1
x + 1
x 5
lim
x →− 1
+1
x + 1
Solución: 3
a) Como el domino de f ( x )
=
x
−
x
−
8
2
es
domf
=
−
{2} , significa que no podemos aplicar la propiedad
( ) = f ( a ) ,
lim f x
x →a
2 ∉ ( − {2}) .
ya que
En efecto, observa que f ( 2 ) no está definida: f (2)
( 2)
=
3 −
8
8 8
2 2
0
−
=
−
=
2 2 −
0 3
Entonces buscamos una función equivalente a f ( x ) x 8 que esté definida en x = 2 . x 2 Para obtenerla, usamos la igualdad para simplificar la fracción: −
=
−
x 3
lim
lim
=
x − 2
x →2
lim
8
−
x 3
x → 2
=
2
+
2 x + 4
)
=
( x − 2 )
x →2
8
−
( x − 2 ) ( x
lim x →5
( x
2
2 x + 4
+
( −1)
f ( −1) =
4
−1
1− 1
=
−1 + 1
−1 + 1
x
−1
x + 1
, es claro que
domf −1 ∉
+
( )+4
2 5
−
b
a
=
4
=
x
(a + b) (a
y
b
=1
3
−
. Observa que f ( −1) no está definida:
0 =
0
Entonces buscamos una función equivalente a f ( x ) mos lo siguiente: La identidad para n = 4 es: Si
2
39 4
4
=
x − 2
b) Si analizas la función f ( x ) =
a
) ( 5 )
2
2
a b + ab
−
3
b
4
=
x
x
−
−
1
1
que esté definida en x
1.
= −
Para obtenerla, analiza-
)
, un caso particular de esta igualdad es:
4 2 3 x 4 − (1) = ( x + 1) x 3 − x 2 (1) + x (1) − (1)
x 4
−1=
( x + 1) ( x
3
−
x2
+
x − 1)
Usamos esta factorización para calcular el límite: x 4 − 1 lim = x →−1 x + 1 =
[
3
2
3
1
2
3
2
1
1 1 1 1]
−
lim
( x + 1) ( x − x + x − 1) lim = lim ( x − x + x − 1) = ( −1) − ( −1) + ( −1) − 1 x →− x →− ( x + 1)
−
x 4
x →− 1
−
−1
x + 1
−
= −4
79
Cálculo
Unidad
2
Una solución alternativa es: x 4 − 1 lim = x 1 x + 1
lim
((
lim
)
−1
x 4
x →− 1
)(
2
+1
−1
x + 1
) ( x
2
2
+1
)
−1
=
( x + 1)
x →−1
→−
=
( x
( x
lim
2
) ( x 1) ( x x 1)
+1
+
−
=
( x + 1)
x →−1
lim
x →−1
( x
2
) ( x 1)
+1
−
) = (1 + 1) ( −2 ) = (2 ) ( −2 ) = −4
−1 − 1
= −4
5
c) Si analizas la función f ( x ) =
+1
x
x + 1
, es claro que
−1
no pertenece al dominio de la función, ya que
domf
=
−
{ 1} . −
Observa que f ( −1) no está definida: f ( −1) = ( −1)
5
( )
+ 1 −1 + 1 =
−1 + 1 −1 + 1
0 =
0 5
Entonces buscamos una función equivalente a f ( x ) = x + 1 que esté definida en x x + 1 mos lo siguiente: La identidad para n = 5 es: a
5
1.
= −
Para obtenerla, analiza-
+ b5 = ( a + b ) a4 − a3 b + a2 b2 − ab3 + b4
Para
a
=
x
y
b
=1
, la igualdad se transforma en la siguiente expresión:
5 2 3 4 x 5 + (1) = ( x + 1) x 4 − x 3 (1) + x 2 (1) − x (1) + (1)
x 5
+1=
( x + 1) ( x
4
−
x3
+
x2
−
x + 1)
Usamos esta factorización para calcular el límite: x 5 + 1 lim = 1 x x + 1
lim
( x + 1) ( x
−
x3 + x2
−
x + 1)
=
( x + 1)
x →−1
→−
4
lim x →−1
( x
4
−
x 3
+
x 2
−
x + 1)
4 3 2 = ( −1) − ( −1) + ( −1) − ( −1) + 1 = [1 + 1 + 1 + 1 + 1] = 5
Por lo tanto: lim
x 5
x →− 1
▪
+1 =
5
x + 1
Límite de funciones irracionales Definición 1.3 Si
( ) es una función polinómica o racional, la función f ( x )
g x
Ejemplo 1.9. Las siguientes funciones son de tipo irracional: f x
b)
f x
c)
f x
80
x
( ) =
a)
( )
x + 8 3
=
( ) =
2
x
−
1
x − 1 x + 1
(
su dominio es:
domf
su dominio es:
domf =
su dominio es:
domf
=
=
8,
−
∞
( 0, ) ∞
)
=
n
g ( x ) se
llama irracional.
Límites
El método para calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo de una función racional, es decir, se resuelve –en general– con las técnicas expuestas anteriormente. Ejemplo 1.10. Obtén el valor de los siguientes límites: a)
x − 2
lim
x − 4
x →4
b)
x + 2 − 3
lim x →7
x
2
5 x − 14
−
Solución: a) Si sustituimos directamente x = 4 , el límite se vuelve indefinido: x − 2
lim
4
2
2−2
0
=
x − 4
x →4
−
=
=
4−4
4−4
0
Entonces buscamos una función equivalente a f ( x ) Para obtenerla, observamos que la identidad para a
2
b
−
2
=
( x ) x
−
−
4
=
x x
−
−
2
que esté definida en x = 4 .
4
n = 2 es:
(a − b) (a + b)
Si definimos que 2
=
( 2)
(
2
x
=
−
(
2
a
=
x
−2
)(
x
)(
x + 2
y
b
, se obtiene:
= 2
)
x + 2
)
� M
Usaremos la expresión marcada con M para factorizar la fracción, y después calculamos el límite. La técnica que emplearemos se llama racionalizar: lim
x → 4
=
x − 2 x − 4
( lim
x → 4
=
lim
x → 4
lim
x → 4
=
x − 2
lim
x − 4
x → 4
) *( 4) (
x − 2
( x − 1
x − 2 x − 4
=
) 2)
x + 2 x + 1
=
x + 2
*1
4
+
=
=
( lim x → 4
1
x
( x −
2
2
+
=
( x ) lim ( x 4 ) (
x →4
+
−
−
2
2
x + 2
)
=
lim
x → 4
( x − 4 ) ( x − 4 ) (
x + 2
)
1
=
2+2
2
) ( x 2) 4 ) ( x 2 )
−
4
1 4
b) Verifica que f ( x ) =
x + 2 x
2
−
3
− 5 x − 14
se vuelve indefinida para x = 7 . Luego buscaremos una función equivalente que esté
definida en x = 7. Para obtenerla, racionalizamos el numerador y factorizamos el denominador: x + 2 − 3
lim x → 7
x
= lim
x →7
= lim
x → 7
−
=
5 x − 14
(
x
lim x → 7
x + 2
)
2
x + 2 − 3
( x
2
− (3 )
( x − 7 ) ( x + 2 )
( x + 2) 2
−
5 x − 14
)
x + 2 + 3
⋅
x + 2 + 3
2
x + 2 + 3
5 x − 14
−
x + 2 + 3
1
x + 2 − 3
lim x → 7
2
=
= lim x →7
x + 2 − 9
( x − 7 ) ( x + 2 )
1
( 7 + 2)
7+2
+ 3
=
x + 2 + 3
x → 7
1 9 9
= lim
+ 3
=
( x − 7 ) ( x − 7 ) ( x + 2 )
1 9 3+3
[
]
=
1
[ ]
9 6
=
x + 2 + 3
1 54
1 =
54
81
Cálculo
Unidad
2
Ejemplo 1.11. Calcula el límite siguiente: 3
lim x →1
x − 1
x − 1
Solución: Es claro que la función f ( x ) Observa que para a
3
Si
−
b
a
=
3
3
3
( x ) 3
=
(a − b) (a
x
y
(
3
(
3
=1
b
− (1) =
−1=
x
n
3
2
= 3
+
3 =
x
x
−
−
1
1
no está definida en x = 1, por lo que tenemos que encontrar otra que sí lo esté.
, la identidad es:
ab + b
2
)
, un caso particular de esta igualdad es:
x −1
) ( x ) + ( x ) (1) + (1)
− 1
2
3
2
3
+ 3 x + 1 � 2
) ( x)
x
3
N
Usamos la expresión N para racionalizar el numerador de la fracción, y después calculamos el límite: 3
=
lim
x − 1
x − 1
x →1
x →1
x →1
= lim
x →1
3
x →1
▪
( )
2
( x )
2
3
⋅1
x − 1 2 3 3 3 3 x − 1 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 1 x − (1) = lim = 2 2 x →1 + 3 x + 1 ( x − 1) 3 x + 3 x + 1 ( x − 1) 3 x + 3 x + 1
( x − 1) ( x − 1) (
3
lim
x − 1
3 x
x − 1 ⋅ x − 1
3
= lim
3
lim
=
x − 1
x
)
2
+ 3 x + 1
(
)( )
( ) ( )
( )
= lim x →1
1
( x) 3
2
+ 3 x + 1
=
1
( 1) 3
2
+ 3 1+1
=
1 1+ 1+ 1
=
1 3
1 =
x − 1
3
Límite de funciones trigonométricas
Para iniciar esta sección, recordemos la siguiente propiedad: En la figura 2.1, la relación entre el arco u , el ángulo x y el radio r del círculo es la siguiente: u = rx , donde x está en radianes. Como el círculo mostrado es unitario, entonces r = 1. De aquí se deriva que: , donde x está en radianes. (1) Esto significa que el ángulo x coincide con el arco u , si x está en radianes. Por ejemplo: Para ∠ x = 30° = 0.523rad , el arco u mide 0.523 unidades de longitud. Por otra parte, de la figura se deduce lo siguiente: u
=
x
senx =
tan x =
82
=
x
CD
=
CD
r
1
AE
AE
0 A
=
1
= CD
Figura 2.1 Círculo unitario. = AE
Límites
Al analizar el esquema, podemos establecer que la relación de orden entre
u
=
x
,
CD
y AE es:
CD < x < AE
O bien: <
senx
< tan
x
x
Al sustituir la identidad
tan x =
senx
cos x
en la desigualdad, se tiene que:
senx senx < x < cos x
Al considerar los recíprocos de cada parte de la desigualdad, se cambia el sentido de la misma, esto es: 1
>
senx
1
>
x
cos x senx
Multiplicamos por senx
>
senx
senx
senx
:
> cos x
x
Por lo tanto: 1>
senx
> cos x
x
Observamos que, para todo valor del ángulo x , el cociente Aplicamos x lim a cada función de la desigualdad:
senx x
queda acotado (“atrapado”) entre 1 y
x .
cos
→0
lim 1 > lim x →0
senx >
x →0
lim cos x x →0
x
Calculamos los límites correspondientes: 1 > lim
senx
x →0
>
1
x
Esta desigualdad significa que
lim x →0
senx x
queda acotada entre 1 y 1, por lo que se cumple la siguiente propiedad: lim x → 0
senx =
1
x
En las Figuras 2.2 (a) y 2.2 (b), observa que, a medida que senx = CD
son “casi” iguales y, consecuentemente, se tiene que
Figura 2.2 (a) lim
x → 0
senx =
x
0.98792
.
x → 0 , lim x →0
las longitudes del arco
senx =
x
1
x
y el segmento
.
Figura 2.2 (b) lim
x → 0
senx =
0.99624
.
x
83
Cálculo
Unidad
A partir de este límite se pueden calcular otros. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1.12. Calcula los límites siguientes: a) b)
sen7 x
lim x →0
x
1 − cos x
lim
x
x → 0
sen
c)
lim
x →1
(1 − x )
x − 1
Solución: a) Aplicamos algunas equivalencias algebraicas: lim
sen 7 x =
x → 0
u
lim
=
se n7x ⋅
=
7
7 ⋅ lim
se n7 x
7 x
x →0
x
7 ⋅ lim
senu =
u →0
x se n7 x =
x →0
7
u
por lo que si x → 0 entonces
s en 7 x
x →0
lim
x →0
x
= 7 x
lim
u
→
( ) = 0 , de donde
7 0
( 7 ) (1) = 7
7
x
b) Aplicamos algunas equivalencias algebraicas y trigonométricas: lim
1
− cos x
x →0
x
1 − cos x ⋅ (1 + cos x ) = lim x (1 + cos x ) x → 0
(1 − cos x ) (1 + cos x ) sen x x xsen x 1 − cos x = lim = lim ⋅ = lim x (1 + cos x ) x (1 + cos x ) x (1 + cos x ) x x (1 + cos x ) 2
=
lim x →0
2
x →0
2
x → 0
x → 0
2
s en x x senx lim x = lim = lim → x 1 + cos x → x → 1 + cos x 0 = 1 0 = 1 0 = 1 0 = 0 = (1) ( ) 1 + cos 0 1 + 1 2 2
x
2
0
0
x
x
0
2
lim
1 − cos x
=
0
x
x → 0
c) Racionalizamos el denominador: lim
(1 − x )
sen
1
x →
=
lim
x →1
x −
(
=
lim
1
1
x →
)
x + 1 sen
(
sen
)(
x + 1
(1 − x )
x −
(1 − x )
)
x − 1
=
⋅
1
lim
(
( (
x +
x +
) 1) 1
)
x + 1 sen
x →1
( )
2
x
(1 − x ) = 2
−1
Factorizamos el denominador y agrupamos: sen
=
lim
x →1
(1 − x )
x − 1
=
lim
84
x + 1 sen
)
x
+1
(1 − x ) − (1 − x )
x →1
−sen (1 − x ) = lim →1 (1 − x ) x
(
(
)
lim
x →1
(
)
x + 1 sen x − 1
(1 − x )
2
2
Límites
sen (1 − x ) = − lim lim →1 (1 − x ) →1 x
x
(
x
)
+1
Si en el primer límite denotamos con se tiene que: sen
lim x
→1
(1 − x ) −1
x
senu = − lim lim →0 u →1 x
x
(
x
u
=
)
(1
−
x
+ 1 = − (1)
) , se deduce que cuando
(
x → 1 , entonces u → 0 .
Aplicando esto,
) = −2
1+ 1
Por lo tanto: sen
lim
x →1
(1 − x )
x − 1
= −2
Actividad de aprendizaje 2
Esta actividad contribuye con el reto porque te permite determinar la forma en que varía el costo de un recipiente a medida que varían sus dimensiones.
Calcula los siguientes límites:
1) 2)
lim x →−3
( x
( x
lim x →2
3
5
2x
+
− 10
2
−
5 x − 10
x − 2 ) =
)
=
11)
lim
6−3
lim
12)
x → 7
13)
lim
3
4)
(
lim ≠
sen x +
2
cos
)
x =
x + 1 − 2
=
x − 7
≠
2
=
x − 4
x → 4 3
5 3) lim − cos x = x → 2
x
r − x
x → r
=
x − r
x →
6
14)
x = lim 2 − 5) x →− x 7
15)
2
49 − x
lim x →−7
21 − 4 x 3
7) 8) 9)
8 x
lim x →−
lim
2
−1 −1
x → 2
x 2
3 x
≠ x →
1−
senx =
cos x
2
=
sen
27
=
( x
4
2 x
lim
lim
a
lim
16)
x →0
17)
x → 0
(≠ x )
=
x
=
3
lim
−
2 x + 3
3
x
10)
+
x 6
x →1
= x + a −
2
2
6)
3 x
lim x → 0
3
x →−1
− 16
−
x 9
18)
)
8 x
=
19)
lim
lim x →0
lim x →0
+1
x + 1
=
20)
tan 3 x
lim x →0
=
4 x
(
)
1 − cos 2 x
=
5 x 1 − cos
2
x
=
2 x 1 − sen
( mx ) cot (mx )
=
4 x
85
Cálculo
Unidad
2
Actividad de aprendizaje 3 1. Investiga acerca de las formas indeterminadas y elabora una presentación audiovisual sobre el tema. 2. Explica cómo se relaciona la investigación realizada con el tema de límites de funciones y con el reto de la unidad. 3. Redacta una conclusión acerca de tu aprendizaje sobre el cálculo de límites de funciones.
Te sugerimos que durante el desarrollo del reto, sigas estos pasos:
1) La factorización será muy importante para la solución de tu reto, es por ello que te invitamos a que recuerdes un poco acerca de ella, consultando libros de Álgebra. 2) Cada vez que realices un proceso de cálculo recuerda revisarlo minuciosamente, para que al final los resultados no tengan errores y puedas completar tu reto.
Reflexiona: Consulta la teoría siguiente para poder superar el reto.
Propiedades de los límites Para facilitar el cálculo de límites, es vital conocer sus propiedades más impor tantes. A continuación veremos algunos ejemplos, a través de los cuales estableceremos –sin demostración–- dichas propiedades. Ejemplo 1.13. Calculemos el siguiente límite: (
)
lim 3 x x →2
Solución: Aplicamos la definición intuitiva del límite, es decir, realizaremos una tabla para valores cercanos a 2 para encontrar el valor al que se aproxima f ( x ) : x
( )
f x
=
3 x
1.999
1.9999
1.99999
2.000001
2.00001
2.0001
5.997
5.9997
5.99997
6.000003
6.00003
6.0003
Tabla 2.1 f ( x ) 3 x para valores cercanos a x = 2 . =
Al observar los valores de la tabla, deducimos que: (
lim 3 x
x →2
) = 3 ( 2 ) = 6 = 3 lim ( x ) = 3 ( 2) x →2
De esta forma, hemos deducido la siguiente propiedad o teorema: Teorema 1.3 Si
86
1
( ) = k lim f ( x ) = kL si k es un número real
lim kf x
x → a
( ) = L , entonces se cumple lo siguiente:
lim f x
x → a
x →a
1
Límites
Esta propiedad nos permite, por ejemplo, calcular el siguiente límite:
(
lim 7 x x → 6
)
2
2
( ) 7 ( 6 ) 2
7 ⋅ lim
=
x
x → 6
=
( ) = 252
7 36
=
Ejemplo 1.14 Calcula el siguiente límite:
(
lim 5 x
x →1
3
−
)
2 x
Solución: Aplicamos la definición intuitiva de límite, es decir, realizamos una tabla de valores cercanos a 1 para encontrar el valor al que se aproxima f ( x ) : x
( )
f x
5x
=
3 −
2x
0.999
0.9999
0.99999
1.000001
1.00001
1.0001
2.9870
2.9987
2.9998
3.00001
3.0001
3.001
Tabla 2.2 f ( x )
5x
=
3 −
para valores cercanos a x = 1.
2x
Al observar los valores de la tabla, deducimos que:
(
3
lim 5 x
x →1
−
)
2 x
=
3
Es claro que se obtiene el mismo resultado al sustituir
(
lim 5 x
x →1
3
−
)
2 x
=
3
()
5 1
−
x = 1 en
( )
f x
=
5x
3 −
2x
, es decir:
( ) = 5 (1) − 2 (1) = 5 − 2 = 3
2 1
Y también se cumple lo siguiente:
(
lim 5 x
x →1
3
−
2x
)
=
(
lim 5 x x →1
3
)
−
(
lim 2 x x →1
x ) = 5 lim x
3
−
→1
()
2 lim x = 5 1 x →1
3
−
( ) = 5 − 2 = 3
2 1
Así que, por todo lo anterior, deducimos el siguiente teorema o propiedad: Teorema 1.4 Si lim f
x →a
( x ) = L y
lim f
1
x →a
lim g
x →a
( x ) = L entonces se cumple lo siguiente: 2
f ( x ) ± lim g ( x ) = L ± L ( x ) ± g ( x ) = lim x→a x→ a 1
,
2
Esta propiedad nos permite, por ejemplo, calcular los siguientes límites:
(
lim 2 x
x → 3
2
(
lim 7 x
x →−2
+
4
5x
−
)
2x
=
3
x →3
)
(
lim 2 x =
2
)
(
+
lim 7 x
x →−2
4
(
lim 5 x
x →3
)
−
) = 2 xlim x
(
lim 2 x
x →−2
2
+
→3
3
)
=
( )
5 lim x = 2 3 x →3
7 lim x →−2
x 4
−
3
2 lim x x →− 2
2
+
=
( ) = 33
5 3
7
( −2 )
4
−
2
( −2 )
3
=
112 + 16
= 128
Otras propiedades de los límites se enuncian en el siguiente teorema: Teorema 1.5 Si
( ) = L y
lim f x
x → a
1
lim g
x →a
( x ) = L , entonces se cumple lo siguiente: 2
f ( x ) lim g ( x ) = L1L2 ( x ) g ( x ) = lim x →a x →a
lim f
x → a
f ( x ) L f ( x ) xlim = →a = 1 si x → a g ( x ) g ( x ) L2 xlim →a lim
( ) ≠ 0 y
g x
( ) ≠ 0
lim g x x →a
87
Cálculo
Unidad
n
f ( x ) = L con ( ) = lim → n
lim f x
x → a
n
x
( )=
lim n f x
x →a
lim k
=
x →a
2
( )=
lim f x
n
x →a
n∈
1
a
n
L1
si
( )
lim f x ≥ 0 x →a
y
n
es par
k con k ∈
Las propiedades enunciadas anteriormente se utilizan para calcular el límite de una función prescindiendo del cálculo por aproximaciones. Ejemplo1.15. Calcula los siguientes límites aplicando sus propiedades: a)
lim x →2
( x 4
(
lim 5 x
b)
x →1
c)
2x
−
3
3
7x
+
d)
x →−2
) ( 2x 1)
e)
x →7
f)
x →3
)
−
3 x + 5
lim
2 x + 1
x → 3
Solución: lim
a)
x → 2 =
( x
4
2x
−
lim x
4
−
x → 2
( 2)
−
(
lim 5 x
b)
x →1
+
3x
2 lim x
3
)
=
3
( ) 3
2 2
lim x
4
x →2
+
x →2
4
=
3
−
lim 2 x
x →2
c)
d)
( ) = 6
3 2
+
x
( ) lim ( 2 x + 1) x
lim 3 x + 5
=
x →3
→3
( ) = 2 2 (3) + 1
( x →−
lim
+
2
2
5
− 5 x ) = lim ( x 2 − 5 x ) x →−2 3
3
2 = ( −2) − 5 ( −2) = 14
143 = 2744 e)
lim
=
=
f)
88
3
x →7
x + 20
3
7 + 20
3
27 = 3
lim 8 x →3
=
lim 3 x
x →2
x → 2
12
2 x + 1
3 3 =
=
3 x + 5
x →3
+
+ 7 x ) ( 2 x − 1) = lim ( 5 x 3 + 7 x ) lim ( 2 x − 1) x →1 x →1
(12 )(1)
lim
3
3 lim x
3 = 5 (1) + 7 (1) 2 (1) − 1
=
8
lim
3 x
+
=
3
lim x →7
( x + 20 )
3
lim
( x
3
lim 8
2
−
)
5 x
x + 20
3
Límites
Ejemplo 1.16. Calcula los siguientes límites aplicando sus propiedades: 2
( x + 3 )
lim 3
a)
x →5
b)
x → 0
lim
( x + 2) ( x + 8 )
4
Solución: c)
lim 3 x →5
=
3
( x + 3 )
8
2
=
lim
3
x →5
( x + 3 )
2
2
= 4
d)
lim
4
x →0
( x + 2 ) ( x + 8 ) =
4
lim x → 0
( x + 2 ) ( x + 8 )
= 4 lim ( x + 2) lim ( x + 8 ) x →0 x →0 =
4
2 8 ⋅
= 2
Actividad de aprendizaje 4 Esta actividad contribuye con el reto porque te permite determinar la forma en que varía el costo de un recipiente a medida se varían sus dimensiones. 1) Calcula los siguientes límites:
1.
lim 5 3 x − 5
4.
=
1 2 + 2 = lim ( 3 x − 5 ) 2. x → 1 x 2
3.
(
lim 2 x →− 5
)
−1 =
x →3
lim
( x − 4 )
x →9
3 x − 5 − x 3 x − x − 10 ⋅ = ( 3 x + 5) x − 2 2
5.
lim x →− 4
4.
f x
2
2
=
2 x + 7
2) Traza las gráficas de las funciones dadas. 1. 2. 3.
3
( ) = −
f x
4 1
( )=−
f x
( )
f x
=
4
x + 5 x+
x 2
x
−
1 2
x +
( )
2
3 4
5.
( )
f x
1
=
=
−
9
(
2 x
−
2
)
1
2
−
x
9
89
Cálculo
2
Unidad
Continuidad de una función Si dibujamos la gráfica de la función f ( x )
7
3 =
( x
−
) ( x
1
−
5
)
,
podemos observar lo expuesto en la figura 2.3. Es claro que x = 1 y x = 5 , donde se vuelve indefinida la función f ( x ) , su gráfica está rota. Observa también que los límites lim f ( x ) y lim f ( x ) no existen, y que f (1) y f ( 5 ) no están definidas. Si observas que la gráfica de g ( x ) mostrada en la figura 2.4, que se define como:
y
6 5 4 3
x →5
x →1
x + 2 g ( x ) = 4 −2 x + 6 2
si
x < 2
si
x = 2
si
x > 2
2 1 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
-1 -2 -3
Podrás deducir que la función g ( x ) también está rota, y que lim g ( x ) no existe a pesar de que f ( 2 ) 4 .
-4
=
x →2
Es fácil deducir las condiciones de discontinuidad:
Figura 2.3. f ( x )
=
3 ( x 1)( x 5 ) −
Para que una función f ( x ) sea discontinua (no continua) en un punto x , deberá suceder al menos una de las siguientes condiciones:
7
0
a) No existe
−
x → x 0
b) Los límites
( ) ≠
lim f x −
x → x0
c) Existe
( ) o
lim f x
( ) y
lim f x +
x → x 0
5
( ) existen, pero
lim f x −
x →x 0
( )
4
lim f x +
x → x 0
( ) , pero
lim f x
x →x 0
x → x 0
y
6
( )
lim f x +
.
−
( ) ≠ f ( x )
lim f x
x → x 0
3
0
2
x
Ejemplo 1.17 Analiza la posible discontinuidad en 1 para la función f ( x ) definida como:
1
= −
3 x + 6 f ( x ) 3 −3 x
si
x < −1
si
x = −1
si
x > −1
Solución: Verificamos Ve rificamos si se cumplen o no las condiciones de discontinuidad:
x
0 -3
-2
-1
0
1
2
-1 -2 -3
a. Si existen los límites siguientes: ( ) y
lim f x −
x →− 1
90
( )
lim f x +
x →− 1
Figura 2.4. g ( x ) .
3
4
5
Límites
b. Si los límites siguientes coinciden: ( )=3=
lim f x −
x → −1
( )
lim f x +
x → −1
c. El valor de f ( −1) es equivalente al valor de f
( −1) = 3 =
( )
lim f x :
x →−1
( )
lim f x
x →− 1
Por lo tanto, podemos asegurar que f ( x ) no es discontinua en x f ( x ) es continua en x = 1 . En la Figura 2.5 se puede apreciar la gráfica de f ( x ) .
1.
= −
Esta afirmación es equivalente a decir que
y 4 3 2 1
x
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
Figura 2.5. f ( x ) es una función continua.
Como resultado de este ejemplo, se pueden deducir las siguientes condiciones de continuidad de una función. Para que una función f ( x ) sea continua en un punto x , deberá cumplirse cada una de estas condiciones: 0
a) Existen
b) Los límites −
c)
−
−
+
+
( ) coinciden, es decir:
lim f x +
x → x 0
( )=
lim f x
x →x 0
( )
lim f x
x → x 0
( ) y
lim f x
x → x 0
( )=
lim f x
x → x0
( ) y
lim f x
x → x 0
( )
lim f x
x → x 0
( ) está definida y coincide con:
f x 0
( ) = f ( x )
lim f x
x → x 0
0
91
Cálculo
Unidad 11
Ejemplo 1.18. Muestra que la función f ( x ) =
x
2
+
4 x − 12
es continua en x
=
5.
−
Solución: a. Verificamos que existen los límites siguientes: lim f ( x ) y lim f ( x ) x →− 5
−
x →− 5
+
b. En efecto, los límites coinciden:
( ) = −
lim f x
x → −5
−
11 =
7
( )
lim f x
x → −5
+
c. El valor de f ( −5 ) es equivalente al valor de f
( −5 ) =
11
( −5 )
11 = −
2
+
4
12 ( −5 ) − 12
=
7
( ):
lim f x
x →−5
( )
lim f x
x →−5
En la siguiente figura se puede observar la gráfica de f ( x ) : 7
y
6 5 4 3 2 1
x
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
Figura 2.6. f ( x ) es una función continua en x
92
=
5.
−
5
6
2
Límites ▪
Teorema del valor intermedio
Una consecuencia de la continuidad de una función es el siguiente teorema: Teorema 1.6 Si f ( x ) es continua en [a, b ] y k es cualquier número entre f ( a ) y f ( b ) , existe al menos un
número c en [a, b] para el que f ( c )
=
k
.
Por ejemplo, si consideramos la función f ( x ) a)
f x
b)
f a
k
( )
( )
1 =
=
2
x
3
( )
f 0
−
5x
1 =
2
1 =
x
2
3 −
5x
el intervalo [a, b ] [0, 3 ] , se tiene que: en =
continua en el intervalo cerrado [ a, b ] [0, 3 ] es =
3
(0 )
−
( )
5 0
1
=
0
3
y f ( b) = f ( 3) = ( 3)
( )
−5 3 =
2
27
2 7− 30 3 −15 = =− 2 2 2
En el intervalo [0, 3] la función toma valores entre − 3 y 0 , existe al menos un número entre − 3 y 0 , por ejemplo: 2 2 1 . Esto se afirma por la continuidad de la función f ( x ) . 1, existe al menos un c para que f ( c )
=
=
−
−
6
y
5 4 3 2 1
x
0 4
3
2
0
1 -1 -2
1 (c, -1)
2
3
4
[3,-
3 2
[
-3 -4 -5
Figura 2.7. Teorema de valor intermedio aplicado a la f ( x ) .
Como consecuencia de este teorema, tenemos la existencia de ceros de una función. Veamos qué quiere decir esto: Teorema 1.7 Sea f ( x ) una función continua en el intervalo cerrado [a, b ] , tal que f ( a ) y f ( b ) son de signos
contrarios; se afirma que existe al menos un c en [a, b] para el que f (c )
=
0
. Observa la Figura 2.8:
93
Cálculo
Unidad
2
Figura 2.8 Existencia de ceros de una función.
Ejemplo 1.19 Analiza si la función f ( x ) = −2x
3
− 3x
2
+
5x
+ 1
tiene ceros en el intervalo [−2,1] .
Solución: f (x )
= −
2x 3
−
3x 2
+
5 x + 1
3
( −2 )
para el intervalo [−2, 1]. Calculamos f ( −2 ) y f (1) : f
3
( −2) = −2 ( −2 )
f (1) =
−2
(1)
3
−
Como f ( 2) para el que f ( c ) −
94
=
−
2
()
3 1
+
5
( −1) + 1 = −5
( ) +1=1
5 1
y f (1) 1 son de signos contrarios, entonces existe al menos un número c en el intervalo [−2,1] 0 . Observa la Figura 2.9: 5
−
=
+
2
es continua para todo número real, ya que es una función polinómica, en particular
=
Figura 2.9 f ( x ) = −2 x 3
−
3x2
+
5 x + 1 corta al eje X al menos una vez.
Límites
Actividad de metacognición 1. ¿Qué conceptos construí en esta lección?
2. ¿Por qué y para qué construí estos conceptos?
3. ¿Cómo me puede servir el aprendizaje de estos conceptos?
4. ¿Cómo construí estos conceptos?
5. ¿Qué tipo de actividades me funcionan mejor para aprender?
Resuelve los siguientes problemas, escribiendo los procedimientos completos en tu libreta. 1) Dada la gráfica siguiente, determina
( ).
lim f x
x →−2
95
Cálculo
2) Dada la gráfica siguiente, determina
3) Dada la gráfica siguiente, determina
4) Dada la gráfica siguiente, determina
96
Unidad
( ).
lim f x −
x → 0
( ).
lim f x +
x → 0
( ).
lim f x
x →2
2
Límites
5) Calcula
( x + 3 )2 ( x + 2) = lim x →−5 x
6) Calcula
lim
7) Calcula 8) Calcula
9) Calcula
x 2
x →1
2 x − 2
lim
=
2 − x
2 lim 2 x → 0 x
lim
10) Calcula
=
x − 2
x → 2
x →0
4
−
1
⋅
2
Csc
1 2
3 x
lim x →3
2 x
3
⋅
x 4 (
Tan 3 x
) − Sen ( 3x )
=
x
− 10
4 x
=
3
x2
−
+ 12
x
=
36 x
Estamos a punto de terminar esta unidad y, seguramente, ya habrás determinado de manera intuitiva las dimensiones de los recipientes más económicos, a partir de las pruebas realizadas a tu modelo matemático en la unidad anterior. Al hacerlo, ¿descubriste que los límites de las funciones son herramientas útiles en el análisis de las funciones? ¿Consideras importante el estudio de los límites de las funciones? ¿Son tus modelos matemáticos funciones continuas? Es hora de preparar un informe detallado de tus resultados. Para el informe considera los siguientes aspectos: Procedimientos completos de las diferentes pruebas para obtener los costos de varios diseños de recipientes cilíndricos y rectangulares. Cálculo de límites en valores que intuitivamente consideres óptimos para economizar el costo de los recipientes. Incluye una hipótesis acerca de las dimensiones de los recipientes que economicen su producción. Al final incluyan una definición propia acerca de límite de una función y explíquenla con un ejemplo adecuado. Redacten una conclusión acerca del trabajo realizado. Finalmente, redacten una conclusión acerca de la importancia de lo estudiado en esta unidad en la solución de problemas de contexto.
Es momento de presentar a su profesor el reto solucionado, es decir, el reporte que contenga la hipótesis acerca de las dimensiones de los recipientes que puedan reducir al máximo los costos de producción.
97
Cálculo
Unidad
2
Autoevaluación del desempeño que tengo con respecto de mis competencias Para autoevaluar el desarrollo de tus competencias en esta unidad, responde la siguiente lista. Criterio Comprendo qué es el límite de una función. Puedo explicar qué es el límite de funciones polinominales. Explico qué es un límite de funciones racionales. Reconozco el límite de funciones irracionales. Distingo el límite de funciones trigonométricas. Comprendo todo lo que tiene que ver con propiedades de los límites. Reconozco la continuidad de una función. Puedo explicar qué es un teorema del valor intermedio.
98
Difícilmente
Suficientemente
Bien
Excelente
Límites
La siguiente cartografía cierra de manera específica el concepto fundamental que desde el principio de la unidad se mencionó: límites. Completa los espacios contestando las preguntas planteadas para organizar esquemáticamente tu aprendizaje. De esta manera, descubrirás los aspectos que todavía no tienes muy en claro para poder definirlos correctamente.
7.
6.
1.
Ejemplificación ¿En qué casos se manifiesta?
Noción ¿Qué es?
2.
Subdivisión ¿Cómo se clasifica?
it L ím es
5.
3.
Vinculación ¿Con qué se relaciona?
4.
Categorización ¿A qué conjunto mayor pertenece?
Caracterización ¿Cómo es?
Diferenciación ¿Qué no es, pero se parece?
99
Cálculo
Unidad
2
Rúbrica para evaluar la unidad Criterios Sigo instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de los pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Inicial-receptivo Procuro llevar a cabo instrucciones y los debidos procedimientos de manera reflexiva, aunque no cumplo con cada uno de los pasos ni logro alcanzar el objetivo.
Resolutivo Llevo a cabo las instrucciones y procedimientos de manera reflexiva y cumplo medianamente con los pasos para alcanzar el objetivo trazado.
Construyo e interpreto modelos Entiendo que, para la Comienzo a construir y aplicar comprensión de ciertas matemáticos mediante la modelos matemáticos para situaciones, construir aplicación de procedimientos la comprensión y análisis de e interpretar modelos aritméticos, geométricos distintas situaciones, y logro matemáticos es de suma y variacionales para la comprender medianamente la importancia, pero aún no comprensión y análisis de utilidad y la vinculación para la situaciones reales, hipotéticas o comprendo la vinculación entre solución problemas. ambas acciones. formales. Formulo y resuelvo problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
100
Reconozco la importancia de resolver problemas matemáticos con distintos enfoques, pero aún no logro aplicarlos ni mucho menos resolver tales problemas.
Comprendo y aplico distintos enfoques para la solución de problemas matemáticos, aunque aún con cierta dificultad.
Autónomo No sólo llevo a cabo los procedimientos de manera reflexiva, sino también aporto nuevas propuestas, comprendiendo cada uno de los pasos y alcanzando el objetivo trazado. Entiendo y aplico modelos matemáticos para la solución de diversas situaciones, e incluso logro proponer nuevas alternativas de solución.
Resuelvo problemas matemáticos a través de distintos enfoques y consigo entender la relación entre tales alternativas y la solución de problemas.
Límites
Evaluación de evidencias de aprendizaje Es momento de evaluar tu desempeño ante el reto que afrontaste a lo largo de la unidad, utilizando la siguiente rúbrica que te ayudará a valorar tu trabajo. Niveles de desempeño
Aspectos de evaluación
Pre-formal (0 – 5) Explica la pertinencia Tiene una vaga del cálculo de idea o no tiene idea límites en el diseño acerca del uso de de recipientes límites para afrontar económicos. el reto.
Receptivo (6 – 7) Muestra muy pocas aplicaciones de límites en su proyecto.
Analiza el modelo No logró explicar matemático de costo qué tipo de función de producción de es la que define sus recipientes cilíndricos modelos de costo de para determinar los recipientes. si se trata de una función continua o discontinua.
Identifica el tipo de función en su proyecto aunque su justificación no es clara.
Calcula el costo de producción de recipientes cilíndricos y rectangulares.
No hay evidencia de que domine el uso de su modelo matemático para calcular el costo a partir de datos experimentales.
Calcula los costos de sus recipientes pero no hay claridad en los cálculos o en las justificaciones.
Utiliza límites para intuir las dimensiones del recipiente más económico.
El uso de límites es inadecuado o no está presente en su proyecto.
Muestra procedimientos del uso de límites en su proyecto pero no son claros o pertinentes.
Resolutivo Autónomo (8 – 9) (10) Las aplicaciones de Todas las límites en su proyecto aplicaciones de son adecuadas. límites a su proyecto son pertinentes. Requiere apoyo constante del profesor. Ayuda a sus compañeros a entender el tema y aplicarlo a sus proyectos. Identifica, con apoyo Identifica por sí constante del profesor, mismo el tipo de el tipo de funciones en funciones en su su proyecto. proyecto. Ayuda a sus compañeros a comprender el tema y aplicarlo a sus proyectos. Logra, con ayuda Logra, por sí constante del profesor, mismo, el cálculo calcular el costo de efectivo del costo cada recipiente que de producción de elabora durante el recipientes cilíndricos proyecto. y rectangulares. Ayuda a sus compañeros a comprender el tema y aplicarlo a sus proyectos. Aplica el cálculo de Aplica límites en su proyecto, adecuadamente el pero requiere de cálculo de límites apoyo constante del en su proyecto profesor. justificando la pertinencia en cada caso. Ayuda a sus compañeros a comprender el tema y aplicarlo a sus proyectos. Suma total Puntaje para el reto
Suma parcial
101
Cálculo
Unidad
2
Hacia la prueba Enlace Respuestas
1. De las siguientes funciones es la que es continua en x = 3 :
( )
a)
f x
b)
f x
c)
f x
d)
f x
( ) =
( )
2
=
−
5 x
2
x
−
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
2 x − 15
+
2
=
1)
x
9
3 + x, x < 3
( ) =
2 1 − x , x ≥ 3
e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 2. El límite
lim x →− 3
x 3
+
27
x + 3
2)
es igual a:
a) 0 b) 27 c) d) 9 e) Ninguna respuesta anterior es correcta. ∞
3. El límite a)
lim x → 5
x − 1 − 2 x − 5
3)
es igual a:
1 4
b) 0 c) 4 d) e) Ninguna respuesta anterior es correcta. ∞
4. El límite
lim x →0
1 − Co Cos s ( x ) Se Sen n ( x ) ⋅ + 1 es igual a: x x
4)
a) 0 b) 1 c) d) No existe e) Ninguna respuesta anterior es correcta. ∞
5. Dada la gráfica siguiente, calcula
( ).
lim f x
x →3
a) b) c) d) e)
102
5) 2 3 4 No existe. Ninguna respuesta anterior es correcta.
Límites
Respuestas 6. Si f ( x ) tiene una asíntota vertical en x = m , entonces a) 0 b) m c) Un número complejo. d) No existe. e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 7. El límite de una función polinomial f ( x ) = a cuando x → 0 es igual a: a) 0 b) 1 c) a0 d) a e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
n
x
n
+a
( ) es:
lim f x
x →m
n −1
x
n −1
+
a2 x
6)
2
+
a1 x
+
a0
7)
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
n
f ( x + h ) − f ( x ) 8. Sea f ( x ) = 5 x + 3 , entonces lim es igual a: h a) 0 b) 3 c) 5 d) e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
8)
h →0
∞
9. Si f ( x ) es continua en
, entonces , de las siguientes expresiones, la verdadera es:
( ) es creciente
a)
f x
b)
x →a
c)
f x
d)
f x
9)
( ) = f (a )
lim f x
( ) tiene un cero, al menos. ( ) es una función polinomial necesariamente.
e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 10. Para afirmar que una función es continua en el punto
x
=
a
se debe cumplir que:
a) Los límites laterales de la función cuando x → a existen (son iguales a un valor real) y son iguales entre sí. b) lim f ( x ) existe.
10)
x →a
c) lim f ( x ) = f ( a ) = L, L ∈ d) Todas las proposiciones anteriores se deben cumplir. e) Ninguna respuesta anterior es correcta. x →a
103
Cálculo
104
Unidad
2
Límites
105
Al término de esta unidad el alumno aprenderá a reconocer la razón de un cambio promedio de interpretación geométrica, podrá explicar la derivación de funciones, fórmulas de derivación, derivadas sucesivas y comportamiento. Derivada.
Razón de cambio promedio de interpretación geométrica. Derivación de funciones. Fórmulas de derivación. Derivadas sucesivas. Comportamiento.
Espacio. Diversidad.
Libertad. Justicia. Solidaridad.
Competencia genérica
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
Atributo
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.
Competencia disciplinar y extendida
Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.
Significado de la relación
Relación fuerte: la relación es procedimental, metódica y argumentativa, ya que en ambas competencias se refiere a la elección de fuentes de información y la argumentación para propósitos específicos y para la solución de un problema con métodos determinados.
Contenidos relacionados Fácticos
Procedimentales
Actitudinales
Ecuación: Ecuaciones lineales Construir la base igualdad Ecuaciones cuadráticas procedimental entre dos para la elección expresiones de fuentes de algebraicas información denominadas confiables y miembros, efectivas que en las que permita la solución aparecen precisa del valores problema. conocidos y Concientizar sobre desconocidos, la argumentación relacionados de las soluciones mediante obtenidas que operaciones están dadas matemáticas. mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.
Cálculo
Unidad
3
Actividad diagnóstica Resuelve los siguientes ejercicios, escribiendo los procesos completos en tu libreta. 3
1. Desarrolla el producto ( x − h ) . 2. Simplifica la expresión 3. Simplifica la expresión
( x − 4 ) ( x − 7 ) − ( x − 4 ) ( x + 5 ) x 2 2
−
2
1 − x
6 x + 8
−
1
x + 1
.
.
4. Desarrolla el producto ( 2 x + 1) ( 2x − 1) ( 4x + 1) . 5. Un rectángulo tiene perímetro de 100 cm. Si su área es de 621 cm2, ¿cuáles son sus dimensiones? 6. La suma de dos números es 625. Encuentra una función para su producto. Si el producto es de 87756, ¿cuál es el número menor? 2
7. Si f ( x ) = 3 x 8. Si f ( x ) ( x =
9. Sea f ( x )
2
−
+
5 x − 1 ,
2
) , halla
3
x
=
2 x
halla
−
3
−
4
lim
lim
(
f x
(
f x
10. Racionaliza la expresión
u
+
h
) − f ( x )
h =
2 x
x − 9 x − 3
) − f ( x )
h
h →0
h →0
y
+h
−
3
.
.
, transforma la función f ( x ) en una función de u y simplifícala.
.
En esta unidad estudiarás el concepto de derivada para explicar los fenómenos de cambio en las relaciones funcionales, de modo que puedas determinar de una manera eficiente y exacta los valores de una variable para obtener los valores máximos y/o mínimos de la variable dependiente. Entenderás por qué se dice que el Cálculo Diferencial es la herramienta más adecuada para el estudio de problemas de optimización aplicados a la Economía, el Diseño Industrial, la construcción de obras de ingeniería, el diseño de electrocardiogramas, diseño de prótesis, robótica, etcétera. Conocerás y aplicarás los conceptos de derivada, concavidad, puntos de inflexión, puntos críticos, razón de cambio, para comprender los criterios de la primera y la segunda derivadas en la solución de problemas de optimización y estudio del cambio. Finalmente, resolverás problemas de aplicación a situaciones del entorno en diferentes ámbitos: sociales, políticos, científicos, artísticos, etcétera. También podremos culminar el trabajo propuesto desde el inicio del curso, el cual es diseñar macetas a partir de figuras geométricas, como el cilindro y la caja rectangular, con la intención de contribuir al cuidado del medio ambiente y de tu comunidad. A lo largo de las dos unidades hemos visto las partes fundamentales para lograr este cometido, ahora aprenderemos a determinar los recipientes más económicos posibles, de manera exacta.
Determinar las dimensiones de las macetas que garanticen el menor costo posible.
108
Derivada
El reto: Determinar dimensiones ¿Cuál es el conflicto específico a resolver? ¿Por qué es importante este conflicto para tu desarrollo académico-intelectual? ¿En qué beneficiará la solución de este reto a tu comunidad? ¿En qué situaciones de tu desarrollo personal y académico se verá reflejada la resolución de este reto?
Organizados en equipos, realicen lo siguiente: 1) Analicen los elementos descriptivos de su modelo matemático: dominio, rango, asíntotas e intersecciones con los ejes. Observaciones:
2) No olvides presentar el punto anterior en un reporte para que sea evaluado por tu profesor. Observaciones:
3) Consulta páginas de internet acerca de los criterios para determinar los puntos críticos de una función, y presenta un conjunto de ejercicios, resueltos, a partir de la información consultada. Observaciones:
4) Aplica el criterio de la primera derivada o el de la segunda, para determinar los puntos críticos del modelo matemático de tus recipientes. Observaciones:
5) Elabora los recipientes que serán usados como macetas, con material que de preferencia sea reciclado, como cartón, hojalata, madera, etcétera. Observaciones:
109
Cálculo
Unidad
3
Razón de cambio promedio e interpretación geométrica La palabra tangente se deriva de tangentes, término latino que significa “tocando”. Por ejemplo, en el caso del círculo, recordemos que Euclides afirmaba que una tangente es una recta que interseca al círculo una y sólo una vez. Esta definición es inadecuada cuando las curvas son más complicadas. La Figura 3.1 muestra dos rectas: una corta a la función en dos puntos, y la otra la toca en un solo punto. Recta tangente Recta tangente B
1
Recta secante
B
1
Recta secante
∆y
A
0
0 0
1
2
3
∆x
A
0
∆y m= ∆x
1
∆y tanα= ∆x
C 2
3
b. Cociente de incrementos. a. Recta tangente y secante. Figura 3.1
La razón de cambio puede interpretarse a partir de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento AB de la recta secante a la gráfica de la función, y los catetos son los cambios (ahora llamaremos incrementos) de las variables x y y , a los que denominaremos ∆ x y ∆y , respectivamente. La pendiente de la recta secante m=
∆y ∆ x
= tan α
es la razón de cambio en el intervalo de variación de x .
Analicemos la siguiente situación: “Un camión viajó por una de las vías del Arco Norte. Cierto tramo, cuya distancia es de 180 km, lo recorrió en un tiempo de 2 horas. Si mantuvo la misma velocidad, ¿a qué velocidad promedio viajaba el camión?”. La velocidad promedio se define como la razón de la distancia recorrida por un móvil al tiempo invertido en realizar el recorrido, de modo que V
m
=
d t
=
180 km 2 h
= 90 km/h
fue la velocidad promedio del camión.
Conocemos la velocidad promedio pero queremos saber, por ejemplo ¿a qué velocidad se desplazaba al haber transcurrido una hora con treinta minutos?, o ¿cuándo t = 0 .45 horas?
110
Derivada
2
Recta tangente Recta tangente
1
B
B
1
Recta secante
Recta secante ∆y
α
∆x
A
0
C
m=
∆y ∆x
1 tanα=
2
∆y ∆x
3
m=
C
∆x
A
0 0
0
∆y
α
∆y ∆x
1 tanα=
∆y ∆x
2
b. Movemos el punto B hacia el A.
a. ¿De secante a tangente?
Figura 3.2
La interpretación que hemos dado a la razón de cambio no es suficiente, puesto que necesitamos un intervalo para saber la velocidad promedio, por ejemplo, entre t = 1.5 horas y t = 1.55 . Ahora deseamos saber la velocidad en un instante preciso. En la sección anterior se estudió la forma actual del concepto de límite. La figura 3.2 (a) muestra una idea de cómo podemos acercarnos a la noción de razón de cambio instantáneo en forma geométrica. Surge la pregunta: ¿cómo hacer que la recta secante (en los puntos AB sobre la función) se convierta en recta tangente en el punto A? La respuesta está en la figura 3.2 (b): al acercar el punto B al punto A , la recta secante se va aproximando a convertirse en recta tangente. Al mover esos puntos, el triángulo rectángulo, la hipotenusa y los catetos cambian de dimensión: los tres valores se hacen cada vez más pequeños. y
1.80000000 1.60000000 1.40000000 1.20000000 1.00000000 0.80000000 0.60000000 0.50000000 0.40000000 0.39000000 0.37000000 0.36000000 0.35900000 3.35800000 0.35700000 0.35600000 0.35200000 0.35100000 0.35090000 0.35080000 0.35000100 0.35000000
=
sen x
0.97384763 0.99957360 0.98545973 0.93203909 0.84147098 0.71735609 0.56464247 0.47942554 0.38941834 0.38018842 0.36161543 0.35227423 0.35133816 0.35040174 0.34946496 0.34852784 0.34477587 0.34383701 0.34374310 0.34364920 0.34289875 0.34289781
AB
AC = ∆x
1.45000000 1.25000000 1.05000000 0.85000000 0.65000000 0.45000000 0.25000000 0.15000000 0.05000000 0.04000000 0.02000000 0.01000000 0.00900000 0.00800000 0.00700000 0.00600000 0.00200000 0.00100000 0.00090000 0.00080000 0.00000100 0.00000000
= ∆y
0.63094982 0.65667580 0.64255192 0.58914128 0.49857318 0.37445828 0.22174467 0.13652773 0.04652053 0.03729061 0.01871762 0.00937643 0.00844035 0.00750393 0.00656715 0.00563003 0.00187806 0.00093920 0.00084530 0.00075139 0.00000094 0.00000000
Tabla 3.1 Tabla de incrementos y cocientes.
∆y ∆ x
0.43513781 0.52534064 0.61195421 0.69310739 0.76703566 0.83212952 0.88697866 0.91018487 0.93041070 0.93226519 0.93588123 0.93764258 0.93781700 0.93799111 0.93816490 0.93833839 0.93902919 0.93920111 0.93921828 0.93923545 0.93937254
111
Cálculo
Unidad
3
Analicemos estos cambios en una tabla (tabla 3.1) hecha con una hoja de cálculo. Los puntos: A(0.35, 0.34289781), B(1.8, 0.97384763) y C (1.8, 0.34289781) forman el triángulo-razón de cambio. Observa la tabla 3.1. Las dos primeras columnas muestran los valores del punto B , descendiendo hasta los valores del punto A ; la tercera y cuarta, por su parte, contienen los valores de los catetos horizontal (segmento AC ) y vertical (segmento BC ). Los valores de estas columnas van decreciendo hasta aproximarse a cero; en la cuarta columna está el cociente de las variaciones de x y y . Podríamos pensar que el cociente de dos valores muy pequeños también es muy pequeño, pero vemos que no es así. La justificación de este hecho está en la sección anterior: el límite de una función. Haciendo uso de la terminología de límites, podemos establecer que: AC = ∆x y AB = ∆y (incrementos en x y y ) Por lo que, al mover el punto de modo que B → A , los incrementos tienden a cero, esto es: ∆ x → 0 y ∆y → 0 . No olvides que el segmento AB es la hipotenusa del triángulo-razón de cambio, por lo que su pendiente es ∆y
, que es la pendiente de la recta secante. Hemos llegado al punto más importante de este análisis: mientras
ms =
∆ x
tiende a ser igual a la pendiente de la recta tangente: la función y
=
∆ x y ∆y tienden a cero, la
mt
pendiente m = tan . A este cociente lo denominamos: derivada de s
α
f ( x ) .
En resumen: cuando A → B , ∆ x → 0 y m → m . La expresión para calcular la pendiente de la recta tangente, que es la forma de medir la razón de cambio en el punto A , se denomina derivada de la función en A , y, mediante el uso de límites, la podemos calcular con la expresión: s
mt
=
t
derivada de f ( x ) =
lim ∆ x → 0
( ms ) =
lim ∆ x → 0
∆y ∆ x
.
La figura 3.3 es el resultado del proceso del paso al límite de los incrementos infinitamente pequeños de la función. Este resultado lo podemos interpretar como la razón de cambio instantánea, en el sentido físico; y como recta tangente, en el sentido geométrico.
m= 0.94 2
Recta tangente
1 1
A 0 0
1
2 m=
∆y ∆x
3
∆y tanα= ∆x
Figura 3.3 En el límite, la recta ya es tangente.
112
Derivada
Para el desarrollo de tu reto te sugerimos lo siguiente:
Visita el siguiente sitio web: http://canek.uam.mx/ Organízate con tus compañeros para conseguir el material necesario con el que elaborarán las macetas. Investiga el costo del material nuevo para tomarlo como base del cálculo de optimización. Comenta con tus compañeros cada acción realizada para superar el reto, y retroaliméntate con tu profesor.
Reflexiona: Consulta la teoría siguiente para poder superar el reto.
▪
Interpretación geométrica de la derivada
En esta sección trataremos uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, que es el de la derivada. 2
f(x+∆x) B
1
f(x+∆x)−f(x)
f(x) A
α
0 0
x
1
2
x+∆x
3
∆x Figura 3.4 Interpretación geométrica de la derivada.
Este concepto es un límite que está estrechamente ligado a la recta tangente, a la velocidad instantánea y, en general, a la razón de cambio de una variable respecto de otra. Recordemos que la recta tangente a cuya y f ( x ) en el punto x,f ( x ) está definida por el cociente diferencial, como se muestra en la Figura 3.4. Al triángulo lo forman, en el cateto adyacente, ∆ x ; en el opuesto, la diferencia f ( x + ∆x ) − f ( x ) ; y en la hipotenusa, ( ∆ x ) + ( ∆y ) , mientras que la pendiente está dada por: =
2
mt = tanα = lim
(
)
2
( )
f x + ∆x − f x ∆ x
∆ x →0
Si existe el límite de una función, por ejemplo en x = a , se dice que la función es derivable en ese punto. Si no existe, podemos afirmar que la función f no es derivable en x = a , o bien, que la función f no tiene derivada en f ( x ) puede escribirse en alguna de las siguientes formas: x = a . La notación para la derivada de la función y =
y'
=
f '( x)
=
D x f ( x )
=
df ( x ) dx
df =
dx
dy =
dx
=
y '( x)
=
y( ) 1
=
Y
113
Cálculo
Unidad
Con la ecuación para una función y
(
( )
f x + ∆x − f x
, podemos calcular la pendiente de la recta tangente en x = a f ( x ) , o la razón de cambio instantánea; en otras palabras, la derivada de una función. ( )
mt = f ' x = lim =
)
3
∆ x
∆ x →0
La definición de derivada de una función la podemos expresar no solamente en forma matemática, sino también como: ( )
(
)
( )
f x + ∆x − f x
f ' x = lim
∆ x
∆ x →0
La derivada de una función es otra función que nos permite calcular la razón de cambio instantánea, o la pendiente de la recta tangente en un punto dado del dominio de la función original. Ejemplo 1.1 Sea la función f ( x ) 3 x 4x 5 . Determina el valor de la recta tangente a razón de cambio instantánea en x = 2 , y la ecuación de la recta tangente. 2
=
−
−
Solución: Tenemos la función y la recta x = 2 , por lo que el punto sobre la función es f ( 2 ) coordenadas ( 2, −1) . Ahora incrementamos la función: (
)
(
f x + ∆x = 3 x + ∆x
)
2
(
=
1
−
. El punto
A tiene
como
)
− 4 x + ∆x − 5
Y aplicamos la siguiente expresión: Función incrementada
Función original
3 ( x + ∆x ) − 4 ( x + ∆x ) − 5 − 3 x 2− 4x − 5 f ' ( x ) = lim ∆ x →0 ∆ x 2
Si x = 2 , podemos escribir: 3 ( 2 + ∆ x )2 − 4 ( 2 + ∆x ) − 5 − 3 ( 2)2 − 4 ( 2) − 5 f ' ( 2 ) = lim ∆ x → 0 ∆ x
Desarrollando el numerador y simplificando: ( ) = ∆lim →
f ' 2
( )
x
3 4 + 4∆ x
2 + ( ∆x ) −
8
− 4∆x −
− 12 +
5
8
+
5
∆ x
0
f ' 2 == lim
(
)
8∆ x + 3 ∆x
2
∆ x
∆ x →0
[
]
∆ x 8 + 3∆x
= lim
∆ x
∆x → 0
[
=
lim ∆x → 0
12
2
+ 12∆ x + 3 ( ∆x ) − 4∆x −
12
∆ x
]
= lim 8 + 3∆ x ∆x → 0
Finalmente, aplicamos el límite y evaluamos: ( )
[
]
( )
f ' 2 = lim 8 + 3∆x = 8 + 3 0 = 8 ∆ x →0
Por lo tanto, la función es derivable en x = 2 , y la pendiente de la recta tangente o razón de cambio instantánea es: f ' ( 2 )
mos la ecuación
m
recta tangente es:
114
y
−
y 0
x
−
x 0
=
y
=
8 x
−
=
8
, o bien,
17
. Tenemos la pendiente 8
=
y + 1 x − 2
m = 8
de la recta tangente en el punto A ( 2, −1) , aplica-
, desarrollamos la expresión anterior y tenemos que la ecuación de la
(ver la Figura 3.5).
Derivada
Figura 3.5 Pendiente de la recta tangente en x = 2 y su ecuación.
Si f ( x ) 4 x , por medio de la definición de la derivada como razón de cambio, calcula f ' ( −2 ) , f ' (1) y f ' ( 0 ) . Como ahora son tres valores, podemos generalizar calculando para x = a y después sustituir en los puntos deseados. =
−
2
Solución:
Figura 3.6 Pendientes de las rectas tangentes.
Incrementamos la función f ( x ) , por lo que f ( x + h ) = 4 − ( x + h ) , y aplicamos la expresión de límite que define la derivada de la función: 2
Función incrementada
� � ��
Función original � �
4 − ( x + h ) − 4 − x 2 f ' ( x ) = lim 2
h →0
h
115
Cálculo
Unidad
3
Desarrollando el binomio: 4 − x 2 − 2xh − h 2 − 4 − x 2 f ' ( x ) = lim h →0
h
Simplificando y aplicando el límite: ( ) = lim
f ' x
4−x
2
−
2 xh − h
2
−
2
4+ x
=
h
h →0
lim
−2 xh −
h
2
= −
h
h →0
(
lim 2 x + h
h →0
) = −2 x
Por lo tanto, f ' ( x ) 2x para toda x en los reales, lo cual significa que f ( x ) es derivable en todo el dominio de la función, que son todos los reales. Entonces, para x 2 se tiene el punto f ( 2 ) 0 . Las coordenadas son ( −2,0 ) , y por ese punto pasa la recta cuya pendiente es m f ' ( 2) 2 ( 2) 4 , por lo que su ecuación es: y = 4 x + 8 . De la misma forma, para x 2 se tiene el punto f (1) 3 . Las coordenadas son (1, 3 ) , y por este punto pasa la recta cuya pendiente es m f ' (1) 2 , por lo que su ecuación es: y = −2 x + 5 . Finalmente, para x = 0 se tiene el punto f ( 0 ) 4 . Las coordenadas son ( 0, 4 ) , y por este punto pasa la recta cuya pendiente es m f ' ( 0) 0 , por lo que su ecuación es: y = 4 . =
=
−
−
−
=
−
=
−
=
=
−
=
=
=
−
=
−
=
=
=
Nota que en los ejemplos a) y b) se usa en forma indistinta
∆ x o h para
el incremento de x .
En general, para obtener la derivada de una función, aplicamos el proceso indicado en los ejemplos anteriores. Esto es lo que algunos autores llaman la regla de los cuatro pasos: 1) Establecer f ( x ) y f ( x + ∆x ) . 2) Obtener ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) . f ( x + ∆x ) − f ( x ) 3) Establecer el cociente de incrementos o el cociente diferencial, según lo indica la expresión . ∆ x 4) Calcular el límite del cociente diferencial, y obtener la derivada de la función.
Al obtener la derivada de una función y evaluarla en un punto x = a , la pendiente de la recta tangente puede dar lugar a tres posibles casos: que su valor sea positivo, cero o negativo. Lo anterior significa que, al derivar una función, se obtiene información del comportamiento de la función original. Por ejemplo, si la derivada en un intervalo es positiva o negativa, significa que en ese intervalo es creciente o decreciente, respectivamente. Ejemplo con el desarrollo de competencias disciplinares Sea la función f ( x ) ( x 1) 1 , como se muestra en la figura 3.7 (a). Determina el valor de la pendiente y ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos indicados: A ( −0.5, 1.5) , B (1, − 1) y C ( 1.5, − 0.75) . 2
=
−
−
Solución: Como tarea, desarrolla los binomios y aplica la regla de los cuatro pasos para la función ( )
f x
=
x
2
−
2x 1 −
Debes llegar a lo siguiente: y'
=
f '(x )
=
2x
2
−
Si evaluamos esta función en los puntos indicados x 1 f ' − = − 3 , f ' (1) 2
=
3 0 y f ' = 1 2
=
−
1 2
3
, x = 1 , y x = , se tiene que: 2
Los valores de las pendientes en los puntos A , B y C son: m 3 , m = 0 y m = 1 ; negativo, cero y positivo, respectivamente. De tu curso de Geometría Analítica sabes que, para determinar la ecuación de una recta, sólo ne A
=
−
cesitas la pendiente y las coordenadas de un punto por donde ésta pasa: ecuaciones: y A
=
116
−
3 x
1 −
4
, y B
=
1
−
y yC
=
x
9 −
4
C
B
m
y
−
y 0
x
−
x 0
=
, por lo que tenemos las tres
Derivada
La figura 3.7 (b) muestra la función f ( x ) y su derivada f ' ( x ) (la recta discontinua). Ahora analicemos su comportamiento.
Figura 3.7
El punto D (1, 0 ) es la raíz de la función derivada f ' ( x ) 2x 2 , e indica que, en el punto B , la pendiente de la recta tangente es cero. Para el intervalo ( ,1) , la derivada es negativa, por lo que la función f ( x ) es decreciente; para el intervalo (1, +∞ ) , en cambio, la función es creciente. Como ejemplos adicionales, analizaremos el comportamiento de tres rectas tangentes de la función f ( x ) . En la figura 3.8 (a), seleccionamos los puntos A , B y C , y trazamos en ellos las rectas tangentes. Vemos que sus pendientes =
−
−∞
son
m A = 1
,
mB =
1 2
= 0.5
y
mC =
10 3
= 3.333
, respectivamente.
Figura 3.8 La función y su derivada.
La función que estamos analizando es el logaritmo natural f ( x ) In ( x ) que, como podemos observar, tiene entre sus propiedades las siguientes: el dominio son los reales positivos, y su contradominio son todos los reales; sólo tiene una raíz, en x = 1; siempre es creciente, puesto que el comportamiento de la pendiente de sus rectas tangentes siempre es =
117
Cálculo
Unidad
3
positiva. Con esta información podemos estudiar su derivada, que, como ya vimos, es otra función que nos informa del valor de la pendiente de la recta tangente en un punto del dominio de f ( x ) . Así, en la Figura 3.8 (b) se muestran la 1 función original f ( x ) y su derivada f ' ( x ) . Los puntos D , E y F pertenecen a la función f ' ( x ) y, si observamos x , ) y F ( 2, 0.5 ) , notamos que el valor de la pendiente de la recta tangente en cualsus coordenadas: D (0.3, 3.33) , E (11 quier punto ( x , y ) sobre la función f ( x ) ln ( x ) , solamente necesitamos evaluar su derivada en x que pertenezca al dominio de f ( x ) . =
0
0
=
0
Actividad de aprendizaje 1
Esta actividad contribuye con el reto porque te permite conocer un e lemento importante para determinar valores que pueden ser máximos o mínimos en una función, que es la finalidad del reto.
Para las funciones dadas en cada ejercicio: (a) determina la expresión de la derivada, (b) evalúa la derivada en los puntos indicados, y (c) explica el comportamiento de la función dada en cada uno de esos puntos. f ( x ) = 1 + 2 x − x ; x = 0 , x = 1 y x = 2 2
1
( )= x
f x
3
3
( )=−
f x
( )
f x
=
( ) =
f x
2 3
x
x
−
2
5x
2
x + 4
; x
1
−
=
5 x + 1
+
; x
1
2
−
3 x + 1
=
1
10
2
1
; x
−
, x
; x
3
2
=
, x
=0
2
−
=0
2
=0
3
2
10
−
=
2
y x , x
5
, x
3
3
y x
, x
=
5 3
, x
4
=
5+
10 3
y x
5
=3
= 10
3
=2
=
3 2
y x
3
=
3
Derivación de funciones Aplicando los conceptos previos, podemos deducir fórmulas para derivar funciones de acuerdo con su naturaleza, sea algebraica o trascendente. A continuación se describen estos procedimientos para las funciones principales. ▪
Derivada de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
Derivada de la función f ( x ) senx Aplicamos la definición de la derivada a la función seno, y se tiene: =
( )
f ' x = lim ∆ x →0
(
)
( )
f x + ∆x − f x ∆ x
= lim
(
)
∆x → 0
∆ x
Por identidades trigonométricas, sabemos que: u − v cos u + v ( ) − sen (v ) = 2sen 2 2
sen u
118
( )
sen x + ∆x − sen x
Derivada
Si designamos a 2sen
( ) = ∆lim →
f ' x
0
x
u
=
x
+ ∆ x
y
v
=
, podemos escribir:
x
x + ∆x − x cos x + ∆x + x 2 2 = lim ∆ → ∆ x
2sen
0
x
∆x cos 2 x + ∆x 2 2 ∆ x
Distribuimos el límite a los dos factores de la expresión anterior, y se tiene: f ' ( x ) = lim ∆ → x
∆x 2 lim cos 2 x + ∆x 2 ∆ x ∆ →
2sen
x
0
0
Dividimos el primer factor entre 2, tanto en el numerador como en el denominador: f ' ( x ) = lim ∆ → x
2
∆x 2 lim cos 2 x + ∆x 2 ∆ x ∆ → 2
sen
2
x
0
0
( )
s en a
Recordemos un límite importante:
lim x →0
1
=
a
∆ x 2 = 1 ∆ x
sen
Por lo que:
lim ∆ x →0
2
Evaluando el límite nuevamente dentro del paréntesis del coseno, se tiene: 2x + ∆x = cos x cos ( ) = (1) ∆lim ( ) → 2 2
f ' x
x
0
Por lo que: D x sen x
( ) = cos ( x )
Derivada de la función f ( x )
=
cos
x
Aplicamos la definición de la derivada a la función coseno, y procedemos de forma similar a como lo hicimos para la función seno: ( )
(
)
( )
f x + ∆x − f x
f ' x = lim
∆ x
∆ x →0
= lim
(
)
∆ x
Realizamos los cambios de variable cos
( )
cos x + ∆x − cos x
∆x →0
u
=
x
y
+ ∆ x
v
=
x
, y hacemos uso de la identidad trigonométrica
u + v sen u + v (u ) − cos (v ) = −2sen 2 . Entonces: 2
( ) = ∆lim →
f ' x
x
0
2 x + ∆x x + ∆x + x ∆x x + ∆x − x sen −2sen −2sen − sen 2 2 = lim 2 2 ∆ → ∆ x ∆ x x
0
Aplicamos el límite a los dos factores de la expresión anterior, y se tiene: ∆x 2sen 2 x + ∆x lim 2 f ' ( x ) = − lim sen ∆ x 2 ∆ → ∆→ x
0
x
0
2x + ∆x lim f ' ( x ) = − lim sen 2 ∆ → ∆→ x
0
x
0
2 2
∆x 2 ∆ x 2
sen
119
Cálculo
Como
Unidad
( )
a →0
∆ x 2 = 1 ∆ x
sen
s en a
lim
3
=
1
a
, se tiene que:
lim ∆ x →0
2
Por lo que, evaluando el límite nuevamente dentro del paréntesis del coseno, tenemos: 2 x + ∆x = − sen x sen ( ) = − ∆lim ( ) → 2 2
f' x
x
0
D x cos x
( ) = −sen ( x )
Derivada de la función t ( x )
=
tan x
Como lo hemos hecho en las funciones anteriores, aplicamos la definición de la derivada a la función tangente: ( )
t ' x = lim
(
)
( )
t x + ∆x − t x
= lim
∆ x
∆ x →0
(
)
( )
tan x + ∆x − tan x ∆ x
∆x →0
Por identidades trigonométricas, sabemos que
( )
t ' x = lim
Si hacemos f ( x )
( ) y
f ( x + ∆x ) t ' ( x ) =
lim
( )
sen x
=
g ( x + ∆x )
−
g x
=
cos
( x ) , y la sustituimos en la definición: cos ( x ) sen ( x + ∆x ) s en ( x ) − cos ( x + ∆x ) cos ( x )
tan
( x )
s en
=
∆ x
∆ x → 0
( x ) , entonces tenemos el cociente de incrementos:
f ( x ) g ( x )
∆ x
∆ x → 0
Por lo que: t ' ( x )
=
d f ( x ) dx g ( x )
g ( x ) =
d d f ( x ) f ( x ) g ( x ) dx dx g 2 ( x ) −
Reemplazamos f ( x ) y g ( x ) y entonces: ( ) t ' ( x ) dx cos ( x )
( )
cos x
d sen x
=
=
d
( )
sen x
dx
−
cos
2
( )
sen x
d
( )
cos x
dx
( x )
Nuevamente, por identidades trigonométricas se tiene la siguiente relación: ( )=
t ' x
sen
2
2
( x ) + cos ( x ) 1 = cos ( x ) cos ( x ) 2
2
Finalmente, tenemos la derivada de la función tangente: D x tan x
( ) = sec ( x ) 2
Derivadas de las funciones trigonométricas: secante, cosecante y cotangente En el conjunto de los números reales existe un axioma denominado inverso multiplicativo, que sostiene:
(
∀a ∈ � a ≠
120
0 ) ∃b tal que
a × b = 1, b =
1 a
⇒a×
1 a
=1
Derivada
En otras palabras, todo número real
a diferente de cero tiene un único inverso multiplicativo b , tal 1
. Dado que al evaluar las funciones trigonométricas, tanto en grados como en radianes, se obtienen números reales, entonces también las funciones tienen sus inversos multiplicativos. Para el seno, coseno y tangente, se tienen la cosecante, la secante y la tangente, respectivamente, cuya notación es la siguiente: que el producto de ellos
s en
( x )
1 ⋅
s en
( x )
=
a×b
1
cos
es la unidad, e inverso multiplicativo de a es
( x )
1 ⋅
( x )
�
� csc
cos
( x )
sec
( x )
=
1
tan
( x )
1 ⋅
tan
( x )
=
a
1
� cot
( x )
De lo anterior se deduce que también existen las derivadas de las funciones:
csc
( x ) ,
sec
( x ) y
cot
( x ) .
Actividad de aprendizaje 2 Esta actividad contribuye con el reto porque te permite conocer un elemento importante para determinar valores que pueden ser máximos o mínimos en una función, que es la finalidad del reto.
Demuestra que
D x cot x
( ) = − csc ( x ) 2
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x )
=
=
( ) en el punto donde
x
( x ) en el punto donde
x
sen x cos
π =
6 π
=
4
.
.
Sea f ( x ) = sen ( x ) + cos ( x ) . (a) Encuentra la expresión de su derivada, (b) explica cómo se comporta la función en π
x
=
2
,
3π 4
, π ,
Sea f ( x ) en x
▪
=
0,
π
2
5π 3π 7π , , , 2π . 4 2 4
=
, π ,
cos
3π 2
(x)
−
, 2π .
(c) Con la información obtenida, bosqueja la gráfica de la función.
( ) . (a) Encuentra la expresión de su derivada, (b) explica cómo se comporta la función
sen x
(c) Con la información obtenida, bosqueja la gráfica de la función.
Derivadas de funciones exponencial y logarítmica Antes de iniciar esta sección, es importante hacer algunas reflexiones acerca de la función exponencial. Recordemos su definición: Definición 1. La función exponencial está definida por f ( x ) a , donde a es la base de la función y, x , tanto la variable como el exponente de la misma. Para a > 0 y a > 1 . x
=
Por ejemplo, si a = 2 y f ( x ) 2 , o si a = 10 , entonces f ( x ) 10 . La función exponencial se diferencia de la polinomial y algunas irracionales en que su base es la constante, y el exponente, la variable. Por ejemplo, las funciones f ( x ) x , f ( x ) 3 x y f ( x ) x no son funciones exponenciales, y sí lo son, por ejemplo g ( x ) 3 , , g ( x ) e , g ( x ) 2 . En general, la función exponencial se define mediante la expresión g ( x ) abx , g ( x ) 10 donde a > 0 y diferente de la unidad. En Matemáticas y ciencias aplicadas, existe una función exponencial que aparece frecuentemente, y que tiene como base el número e , que es un irracional cuyo valor aproximado es e = 2.7182... La función es f ( x ) e . El nombre de L. Euler y el número e están íntimamente relacionados, por lo que no es casualidad descubrir que la notación para este número se debe a él. La afirmación que se ha hecho algunas veces de que Euler usó la letra e x
=
=
1
4
2 x
−
2
=
3
1 3
=
2
=
=
−
1
=
3
x
x
=
1
x
3 x
−
4
=
=
x
=
121
Cálculo
Unidad
3
porque era la primer letra de su nombre es ridícula. Es probable que e ni siquiera venga de “exponencial”, sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a , la cual Euler ya estaba usando en sus trabajos. Sea cual fuere la razón, la notación e aparece por primera vez en una carta que Euler le escribiera a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respecto del número e en los años siguientes, pero no fue sino hasta 1748, con la publicación de Introductio in analysin infinitorum , cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e . Demostró que: e =
1+
1
1
1!
+
1 +
2!
+
3!
+
1 n!
+
n
e mediante
1 + 1 que, con una aproximación de 18 decimales, el límite: e = lim →∞ n
Mientras que Bernoulli desarrolla da lugar a e = 2.718281828459045235 ... No se sabe con certeza si el valor de e se debe una vez más a Euler, cuando se preguntó: ¿Existirá una función exponencial de base a , de tal forma que su derivada sea ella misma? En notación actual, sería: n
x
da
dx
(a ) ' x
=
a
=
x
Vamos a suponer que fue así. Entonces, a partir de la definición de derivada, se tiene: ( )
(
)
x
a x
a a
f ' x = lim
x + ∆x
−a
x
x
a a
= lim
∆ x
∆x →0
∆x
x
−a
∆ x
∆ x →0
:
∆x
−a
x x
=a
∆ x
∆ x →0
a
= lim
∆ x
∆ x →0
Factorizando ( )
( )
f x + ∆x − f x
f ' x = lim
a
lim ∆ x →0
∆ x
−1
x
= a ×1
∆ x � =1
Por lo que debemos buscar un valor de a = 3 , se tiene que: 0.00001
2
−
1 =
3
0.6931
0.00001 −
1 =
a tal
que
a
∆ x
−1
∆ x
=1
. Si tomamos
∆ x = 0.00001
, y valores de
a = 2
,y
1.0986
y 0.00001 Como se observa para los valores indicados, el cociente no es la unidad, pero está cerca. Entonces debemos seleccionar otro número entre 2 y 3. La Tabla 3.2 muestra los resultados obtenidos en un hoja electrónica, y se concluye que a = 2.7185 y el límite se acerca a la unidad, entonces e es la única base que tiene la propiedad deseada ( a ) ' a , siendo a = e = 2.7182 ... 0.00001
x
x
=
2 2.5 2.6
0.693171204 0.916332713 0.955557097
2.7 2.71 2.718
0.993301102 0.996998332 0.999946307
2.7182 2.7185 2.719
1.000019895 1.000130267 1.000314194
2.75 2.8 2.9 3
Tabla 3.2 Valores de a que se acercan a e .
▪
Derivada de la función exponencial de base a
Vamos a desarrollar la derivada de la función exponencial base Desarrollando la derivada: ( )
f x = lim
(
)
( )
f x + ∆x − f x
x + ∆x
= lim
∆ x
∆ x →0
a
−a
x
∆ x
∆x → 0
Desarrollando y separando: x
( )
f ' x = lim
122
∆ x → 0
a a
∆x
−a
∆ x
x
a
x
= lim ∆ x → 0
(a
∆x
∆ x
)
−1
x
= lim a ∆ x →0
a
∆ x
−1
∆ x
( )
a:f x
x
=
a
.
1.01165208 1.02967242 1.06476742 1.09867264
Derivada
Como
no depende del límite, podemos sacarlo:
x
a
x
( )
f ' x = a
a
lim
∆ x
−1
∆ x
∆ x → 0
Como ∆ x se encuentra como potencia de a , debemos realizar un cambio de variable, con la finalidad de despejar ∆ x de su actual posición. Se nombra la nueva variable v como sigue: v = a − 1 . Despejando a , se tiene: a = v + 1. ∆x
∆x
∆ x
Ahora despejamos
∆ x ,
y se tiene:
ln a
),
(
∆ x
= ln v + 1
∆ x ln a = ln
(v + 1) ,
∆ x =
ln
(v + 1) ln a
.
Para realizar el cambio de variable completamente, se debe tomar en cuenta el límite de la siguiente forma: Cuando ∆ x → 0 , entonces: v = a − 1 = a − 1 = 1− 1 = 0 . Por lo que se dice que v tiende a cero: v → 0 . Con lo anterior, se realiza el cambio de variable como sigue: ∆ x →0
x
( )
f ' x = a
lim
a
∆ x
a
−1
∆ x
∆ x → 0
Sustituyendo
0
∆ x
−1=
v
por
Desarrollando: f ' ( x ) = a
x
ln
∆ x =
lim v → 0
(v + 1)
y
ln a
∆ x →
0 por v → 0 ,
se tiene que:
v
(
)
ln v + 1 ln a
x
( )=a
f' x
v ln a
lim v →0
(
)
=
ln a
x
a lim
ln v + 1
v →0
1
v
Como
x
( ) = a
(
ln a
x
a lim v →0
)
ln v + 1
1
(
)
ln v + 1
v
no depende del límite. Se saca de éste y se desarrolla lo siguiente:
ln a
f' x
=
v →0
lim 1
1
ln a lim
1
(
)
ln v + 1
=
x
v →0
a ln a
1
(
)
limln v + 1
v
v →0
v
lim 1
( )
f' x
=
x
v →0
a ln a
1
(
)
lnlim v + 1 v →0
v
Sabemos que: 1
(
lim 1 + x x →0
)
x
= e
Finalmente, tenemos la derivada de la función exponencial base a:
( ) x
D x a
▪
x
=
a ln a
Derivada de la función exponencial base e
Un tema que es importante en el desarrollo de las derivadas es, precisamente, la derivada de la función exponencial. Para obtenerla, debemos considerar varias reglas y propiedades de los límites definidos en la Unidad 2, por lo que te pedimos que observes detalladamente, paso a paso, el desarrollo de la derivada de la función exponencial. Sea la función a derivar: f ( x ) e . Haciendo uso de la definición de la derivada, tenemos que: x
=
( )
f ' x = lim ∆ x →0
(
)
( )
f x + ∆x − f x ∆ x
x + ∆x
= lim ∆x →0
e
−e
x
∆ x
123
Cálculo
Unidad
3
Desarrollamos el producto y, por las propiedades de los exponentes, se tiene: x
( )
e ×e
f ' x = lim
∆x
(
x
e × e f ' x = lim x
e
x
( )
f ' x = e
∆x
)
−1
∆ x
∆ x →0
Como
x
∆ x
∆ x →0
( )
−e
x
= lim e ×
e
∆ x
−1
∆ x
∆ x → 0
no depende del límite, podemos escribir: lim
e
∆ x → 0
∆ x
−1
∆ x
Debemos tomar en cuenta el límite conocido: x
e
lim ∆ x → 0
−1
=1
x
De aquí, se tiene lo siguiente: lim
e
∆ x
−1
=1
∆ x
∆ x →0
Por lo que la derivada de la función exponencial base
( ) x
D x e
=
e
e
es:
x
Una vez calculadas las fórmulas para las derivadas de las funciones exponenciales en base gráficas, mostramos la reseña del inicio respecto de la base cuya derivada es ella misma:
a y,
por medio de
Figura 3.9 Exponenciales en diferentes bases.
En las figuras 3.9 (a), (b) y (c) se muestran tres funciones exponenciales. Para x = 2 , las intersecciones con la función están indicadas con el punto A ( x, y ) , en el cual trazamos la recta tangente y su pendiente, que es la derivada. En la figura 3.9 (a) se muestra la función f ( x ) 2 , donde f ' ( 2 ) 2.77 ; en la figura 3.9 (b) g ( x ) 10 , donde g ' ( 2 ) 230.23 ; y en la Figura 3.9 (c), h ( x ) e , cuya derivada es h ' ( 2) 7.39 . De los tres casos, el único en el que la abscisa es igual a la pendiente es cuando la base es e para cualquier valor del dominio de la función, por lo que se cumple que h ( x ) h ' ( x ) . Si observamos los valores para las funciones de base 2 y 10, nos damos cuenta de que 4 0.6393 2. 77 , lo que significa que el factor 0.6393 es el logaritmo natural de 2 ( ln ( 2 ) ) para obtener el valor de la pendiente, y que, para la base 10, se tiene que 10 2.3026 230. 26 , donde ln (10) 2.3026 es el factor para obtener la pendiente en x = 2 . Lo anterior confirma las fórmulas para la derivada de funciones exponenciales de base e y cualquier otra base a . =
x
=
=
x
=
=
=
=
×
×
124
=
=
=
x
Derivada ▪
Derivada de la función logaritmo base a
Consideremos ahora la derivada de la función: f ( x ) log x Mediante la definición de la derivada, podemos escribir: =
f
(
)
( )
f x + ∆x − f x
' ( x ) = lim
lim
=
∆ x
∆ x → 0
a
loga ( x + ∆x ) − loga ( x ) ∆ x
∆x →0
Por las propiedades de los logaritmos, sabemos que: m n
log ( m ) − log( n ) = log
Por lo que la expresión anterior toma la forma: f
x + ∆x x = lim 1 log 1 + ∆ x x ∆ →0 ∆x ∆ x
loga
' ( x ) = lim
∆ x →0
a
x
Por las propiedades de los logaritmos sabemos que: Por lo que tenemos: f ' ( x ) = ∆lim → x
Como
1
0
1
m
ln x
( x )
=
+ ∆ x x
ln n
.
ln 1
∆ x
ln a
no es afectado por el límite:
ln a
log
( ) =
f ' x
1
lim ln a ∆ x →0
1
∆x
+ ∆ x x
ln 1
Utilizando la propiedad de los logaritmos: ( )
n ln m
=
ln
( m)
n
Nos conduce a: 1
∆ x ∆ lim ln 1 + f ' ( x ) = ln a ∆ → x 1
x
x
0
x
+ 1 = e x 1 ∆ x ∆ = 1 ln lim 1 + ∆ x ∆ f ' ( x ) = ln lim 1 + x x ln a ∆ → ln a ∆ → 1
Usando los límites conocidos: Tenemos que: x
(
lim 1 + x
∆ x →0
)
x
=
y
e
lim 1 ∆ x →0
1
1
x
x x
0
x
x
0
Evaluando el paso al límite, se tiene: 1
1 ∆ x ∆ ln lim 1 + f ' ( x ) = ln a ∆ → x
x x
x
0
= 1 ln e ln a x
1
x
Por lo que: f ' ( x )
1 1 = ln a x
La relación entre los logaritmos de un número en dos bases diferentes está dada por: logb ( N )
=
loga ( N ) loga ( b )
Si hacemos log
e
x
=
e= b
log
a
log
a
y
N = x
, se obtiene lo siguiente:
x e
Y como log x = ln x , entonces de que x = a , se tiene que: e
ln x =
log
a
log
a
x e
. Despejamos
log
a
e
, y se tiene
log
a
e
=
log
a
x
ln x
. Para el caso particular
125
Cálculo
log
e
a
Unidad log
a
=
a
1
=
ln a
3
ln a
Este resultado podemos sustituirlo en el desarrollo de la derivada: f
' ( x )
1 =
x
1 ⋅
1 =
ln a
x
⋅
loga e
=
loga e x
Por lo que la derivada de la función logaritmo base a está dada por: D x
▪
1
loga ( x ) =
x ln a
loga e
=
x
Derivada de la función logaritmo base e
Sea la función logaritmo a derivar: f ( x ) ln x . Por la definición de la derivada de una función podemos escribir: =
( )
(
)
( )
f x + ∆x − f x
f ' x = lim
∆ x
∆ x →0
= lim
(
)
( )
ln x + ∆x − ln x ∆ x
∆x → 0
Por las propiedades de los logaritmos sabemos que: a ( ) − ln ( b ) = ln b
ln a
Por lo que la expresión queda de la siguiente forma: x + ∆x x ∆ x
ln
( ) = ∆lim →
f ' x
0
x
Desarrollamos el producto y tenemos que: 1
( ) = ∆lim →
f ' x
0
x
∆ x
+ ∆ x x
ln 1
Otra propiedad de los logaritmos nos permite escribir: ( )
a ln b
=
a
( )
ln b
Por lo que: 1
∆x ∆ f ′ ( x ) = lim ln 1 + ∆ → x
x
x
0
Por propiedades de los límites, sabemos que: x
1
(
lim 1 + x ∆ x →0
)
x
=
e
y
+ 1 = e x
lim 1 ∆ x →0
Por lo anterior, podemos establecer que: ∆x ∆ f ′ ( x ) = ln lim 1 + ∆ → x
1 x
x
0
= ln lim 1 + ∆ x ∆ ∆ → x
1 x
x x
x
0
Evaluando el paso al límite, se tiene: 1
∆x ∆ ′ f ( x ) = ln lim 1 + ∆ → x
x x
x
0
= ln e = 1 ln ( e ) x x
1
x
1
Por lo que la derivada de la función logaritmo base e está dada por: D x [ln x ]
=
1 x
Una vez desarrolladas las derivadas de las funciones trigonométricas y su multiplicativa respectiva, así como las reglas de potencia, producto y cociente, vamos a proponer algunos ejercicios a resolver.
126
Derivada
Actividad de aprendizaje 3
▪
Esta actividad contribuye con el reto porque te permite conocer un elemento importante para determinar valores que pueden ser máximos o mínimos en una función, que es la finalidad del reto. Resuelve los ejercicios en tu libreta.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x )
=
3
x
en x = 1 .
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x )
=
e
x
en x = 0 .
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) log5 x en x = 5 .
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x )
=
=
ln x en
x
=
e
.
Regla de la cadena
La función de la forma f ( x ) h ( g ( x ) ) , donde la función f está dada en términos de la función h , que a su vez está definida en términos de una segunda función g , se denomina función compuesta. Otra notación es: ( f g ) ( x ) f ( g ( x ) ) . =
=
La función compuesta h ( g ( x ) ) es aquella formada a partir de las funciones h (u ) y g ( x ) , por sustitución de u por g ( x ) en la función h ( u ) . A continuación se presenta un ejemplo del proceso para realizar cálculos mediante calculadora. Con esto fijamos el concepto de composición de funciones. Ejemplo 1.3 Este proceso lo podemos hacer con calculadora. Por ejemplo, cuando se nos pide calcular
y
( ) , cuando x = 2 . 2
=
cos x
Solución: Elevamos al cuadrado 2, al resultado le calculamos la función coseno, y finalmente el valor absoluto. Si
Entonces
2
g = x
h
=
cos
( g )
=
g x
h
=
h ( g )
f
f = h
( )
g
=
( )
f h
Función
Argumento Argum ento
Elevar al cuadrado
x
Coseno de
g
Valor absoluto de
h
Tabla 3.3 Función de función.
De manera que podemos escribir las funciones “encadenadas” de la siguiente forma: f ( x ) h ( g ( x ) ) . Cuando hacemos uso de la calculadora, siempre empezamos de adentro hacia afuera. Como se muestra en el ejemplo, el argumento de la función va cambiando, esto es, x es argumento de g , éste es el de h , y finalmente, la función principal tiene como argumento a h . Con x = 2 (la calculadora en radianes), se tiene que g = 4 . Entonces, cos ( 4 ) 0.65364 . Ahora el valor abso=
= −
luto
y
=
( )
cos 4
=
0.65364
−
=
0 .65364
.
127
Cálculo
Unidad
3
Realicemos otro ejemplo. Ejemplo 1.4 Sea la función
y
=
(
f ( x ) = sen e
x 2 +1
)
Solución: Verbalmente sería: “Elevar x al cuadrado, sumar la unidad, sacar la raíz cuadrada de la suma, el exponencial del radical, y finalmente utilizar la función seno.” Construimos la “cadena de funciones” o composición de funciones. Si
Entonces
2
g = x
( )
g x
=
h ( g )
Sumar la unidad
g
( )
Raíz cuadrada de
h
( )
Exponencial de
r
( )
Seno de
s
g + 1
h
r
=
h
r
=
r h
s
=e
s
=
s r
=
( )
se n s
x
=
=
f
Argumento Argum ento
g
h
r
Función Elevar al cuadrado
f
=
f s
Tabla 3.4 Cadena de funciones y
=
(
f ( x ) = sen e
x 2 +1
)
En la Tabla 3.4 empezamos de abajo hacia arriba: y f ( s ) y s = e , s está en función de r , y r = h ; r está en función de h , y ahora h = g + 1 ; h está en función de g , donde g = x ; y, finalmente, g está en función de x . Simplificando lo anterior en una tabla, se tiene: r
=
2
( )
y
=
sen s
y
=
sen e
y
=
sen e
y
=
y
= sen e
( ) r
( ) sen ( e ) h
g +1
2 x 1
+
Por lo que y f ( x ) O y f ( s (r ( h (g ( x ) ) ) )) . Ésta es una función de función o función compuesta. Para evitar hacer uso de más letras del alfabeto para designar el nombre de las funciones, utilicemos subíndices: f , f , f ,…, f . Con lo que nuestro ejemplo quedaría así: =
=
1
2
y
k
3
=
( (
f1 f 2 f3 ( f4 (f5 (x ) ) )
)) y en general
y
=
( ( (
f1 f 2 f3 f4 (...fk ( x ) . ..)
)) )
Los subíndices pueden estar en sentido inverso, lo que no altera el significado, por lo que también se puede utilizar la siguiente notación: y f ( f ( f (f (f ( x ) ) ) )) =
5
4
3
2
1
Con estas observaciones, podemos empezar a construir la derivada de una función de función o regla de la cadena.
128
Derivada
Sea la función y = ( x + 1) , donde podemos establecer una nueva variable = + 1 , lo cual nos permite escribir 2 y = u , por lo que ahora la función original depende de u , y u depende de x . Entonces y ' = 2 u y u’=1. En términos de cocientes diferenciales, se tiene: 2
dy dx
=
dy du dy x = = 2u du dx dx
2u
1
=
u
2
( x + 1)
Si cambiamos la notación de la función, la composición se escribe dy
y ′ = f1 ( f2 ( x ) ) f ( x ) =
dx
df 1
=
x
=
f1 ( f2 ( x ) ) ,
y su derivada es:
df 2
×
df 2
y
dx
Con el siguiente ejemplo, podemos empezar a generalizar la regla de la cadena. La expresión y = sen e(
x
3
significa que la función seno tiene como argumento una función exponencial, y que,
+ x −1)
a su vez, tal argumento es un polinomio en x . Si hacemos los cambios de variable adecuados, podemos escribir: Si u = x + x − 1 , entonces y sen ( e ) ; y si t = e , entonces y sen (t ) , por lo que u ′ = 3 x + 1 , t ′ = e y y ′ = cos t . En cocientes diferenciales, se tiene: 3
dy dx
=
dy dt
×
dt du
cos t
eu
du
×
=
dx
cos
( t ) × eu × ( 3 x
2
2
u
u
=
u
=
+
)
1
=
cos
(t
=
eu u
=
x 3 + x −1
)
×
eu
x 3 +x −1
=
×
(3 x
2
+
)
1
2
3 x
+1
Finalmente, podemos escribir: y ' =
dy dx
=
co s
(e
x 3 + x −1
)
×
ex
3
+
x −1
( 2x
2
×
)
+1
Podemos simplificar el proceso si cambiamos la notación a la forma f ( x ) . En la siguiente tabla se muestra con detalle lo realizado anteriormente. k
f k
Función Polinomio
( )=x
f1 x
Exponencial
( )
f2 f1
Seno
( )
y
=
( )
f1 x
x + 1
+
=
( )
f2 f1 x
e1
( )
( (
sen f2
f2 ' ( f 1 )
( )) )
f3 f2 f1 x
f 3
y
=
Derivada f1′ x =
( ( ))
f
=
f3 f2
y
3
Composición
(
f3 f2 ( f1 ( x ) )
=
f3′ f 2
( )=
)
y ′ ( f 3 ) =
( )
df1 x dx df 2 df 1 df 3 df 2
2
= 3 x + 1
f 1
=
e
=
cos f 2
( )
dy df 3
Tabla 3.5 Regla de la cadena.
La primera columna de la tabla 3.5 puede ser expresada de la siguiente forma: y seno ( expon exponencial encial(polinomi polinomio o ( x ) ) ) Por lo que su derivada se expresa como: =
y ′ =
dy dx
=
dy df 3
×
df 3 d 2
×
df 2 df 1
×
df 1 dx
Con la notación f , se tiene: y ′ = f ' ( f (f ( x ) )) × f ′ (f ( x ) ) × f ′ ( x ) . Con lo anterior, podemos generalizar la regla de la cadena para la función y f ( f (f ( f (...fk ( x ) ) ))) k
=
1
2
3
4
3
2
1
2
1
1
=
129
Cálculo
Unidad
Su derivada está dada por: y ′ = f ( f (f (f (...fk ( x ) ...) ) )) × f 1
2
3
4
2
(f (f (...f 3
4
k
(x ) ... ) ) ) × f
3
(f (...f ( x )...) ) × ... × ( ( x ) f k
4
3
k
Por ejemplo, para una función compuesta por cinco funciones k = 5 , se tiene que: y ′ = f ( f (f (f (f ( x ) ) ) )) × f (f (f (f (x )) )) × f (f (f (x )) ) ×f ( f ( x ) ) × f ( x ) 5
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
2 2
1
1
O también:
( (
y ′ = f1 f2 f3 (f4 (f5 ( x )) )
)) × f (f (f (f 2
3
Vamos a derivar la función que la derivada es:
( (
2
x +1
y ′ = sen e
)) (
'× e
2
x +1
4
=
y
) ( × '
( x )) ) ) × f
5
(
2
sen e
x
2
)
+1
x
(
3
(f (f (x )) ) ×f ( f ( x )) × f ( x ) 4
5
4 4
5
5
) de la Tabla 3.5, por medio de las expresiones anteriores. Es fácil ver )
2
+ 1 × ' x + 1 '
Aplicamos las reglas correspondientes para cada factor y reducimos. Entonces:
( (
′
y = cos e
x
2
+1
)) × (
2
e
x
+1
) × 2
xe × ( 2 x ) = + 1
1 2
x
x
2
+1
(
cos e 2
x
2
x
+1
)
+1
Ejemplo 1.5 Deriva la siguiente función mediante la regla de la cadena: f (x)
=
y
=
e
( se n( in ( x )))
Solución: f k
Función Raíz cuadrada
( )
f1 x
Logaritmo natural
f2 ( f1 )
Seno
( )
f3 f2
Exponencial
( )
f4 f3
y
y
=
ln
=
( )
(f ) 1
( )
sen f2
=
f
=
Derivada
f1 x
x
=
Composición
e3
f 4
( ( ))
f2 f1 x
( (
( )
f2 f 1
( )))
f3 f2 f1 x
( ( ( =
(
Tabla 3.6 Regla de cadena para derivar y
Por lo que su derivada se expresa como: y ' =
130
dy dx
=
dy df 4
×
df 4 df 3
×
df 3 df 2
×
df 2 df 1
×
df 1 dx
df 2 df1
( ) =
f4′ f 3
)
y ' ( f 4 )
( ( ( ) )) sen ln
=
e
x
.
La primera columna de la tabla 3.6 la podemos expresar de la siguiente forma: y ( exponecial(seno (logaritmo natural (raiz cuadrada ( x ) )) )) =
=
( ) =
( ) ) ))
f4 f3 ( f2 ( f1 ( x ) ) )
dx
f3′ f 2
f4 f3 f2 f1 x
y
( )
df1 x
( ) =
f1′ x
=
df 3 df 2
df 4 df 3
dy =
df 4
=
1 2 x
1
f 1
=
=
( )
cos f 2
f
e3
Derivada
Con la notación
, se tiene:
f k
(
y ' = f4 f3 (f2 ( f1 ( x ) ) )
)
(f ( f ( x ) ) ) f ( f ( x ) ) Finalmente, sustituimos y simplificamos: y'
=
e
f 3
× cos
f
× 3
1
( f ) × 2
f 1
2
× 2
1
e
1 ×
2
x
1
( ( x ))
s en l n
=
f ( x )
× 1
( ( x ))
cos ln
2
x
Actividad de aprendizaje 4
Esta actividad contribuye con el reto porque te permite conocer un elemento importante para determinar valores que pueden ser máximos o mínimos en una función, que es la finalidad del reto.
Usando la regla de la cadena, deriva la función dada en cada uno de los siguientes ejercicios, en tu libreta. ( )
f x
(
2
sen 3 x
)
1
f x
( ) = cos ( 2x + 3)
f x
2 x +5
f x
=
−
( )
( )=e
( )
=
( )
=
f x f x
x
( )=2
f x
f x
2
2 x
=
9
−
(
cos e
5 + x
)
( ) = l n t a n( 2 x ) 2
3 cos
log3 (1 7 x ) −
(
( )
f x
)
ln sen x
=
( ) =
f x
5
(1
−
)
3 x
5
(
sen e
2 x +1
)
−
(
cos e
2 x +1
)
Fórmulas de derivación Una vez comprendida la definición de la derivada como razón de cambio instantáneo y como la pendiente de la recta tangente, nos centraremos en calcular la derivada de diferentes tipos de funciones derivables. Iniciaremos con una función constante. Se tiene la función f ( x ) k , donde k es una constante. Lo que sigue es obtener la derivada de la función por medio de la definición de derivada (ecuaciones 1.11, 1.12, 1.13 y 1.14), por lo que: =
( )
f ' x = lim
( )
f ' x =
(
)
( )
f x + ∆x − f x ∆ x
Dx →fi
0
lim Dx →fi 0
= lim
( k ) − ( k )
∆x →fi
∆ x
=0
∆ x
Lo anterior significa que la derivada de una constante k es cero, ya que ésta no varía, puesto que la recta tangente, en cualquier punto del intervalo, es la misma función, por lo que su expresión es: ( )
D x k
=
0
Lo anterior significa que la derivada de una constante k es cero, ya que ésta no varía, puesto que la recta tangente en cualquier punto del intervalo es la misma función. Ahora calculemos la derivada de la función identidad: f ( x ) x . Procedemos de la misma forma, esto es, haciendo uso de la definición: =
( )
f ' x =
( )
D x x
lim Dx →fi 0
=
(
)
( )
f x + ∆x − f x ∆ x
=
lim
( x + ∆x ) − ( x )
∆x →fi 0
∆ x
1
131
Cálculo
Unidad
3
Como sabemos, tanto la función constante como la identidad pertenecen a la familia de funciones polinomiales de la forma f ( x ) a x , donde a es el coeficiente de la n-ésima potencia de x . Para las funciones indicadas, se tiene que n = 0 y n = 1 con coeficientes a = 1 y a = 1 , respectivamente, por lo que, con algunos elementos algebraicos, podemos extender el cálculo de derivadas para las funciones polinomiales. Así, por ejemplo, para derivar la función f ( x ) kx , donde k es una constante y coeficiente de x , se tiene: n
=
n
n
0
1
=
( )
f ' x =
(
( )
( )
∆ x
Dx →fi 0
f ' x =
)
f x + ∆x − f x
lim
lim
(
)
=
∆ x
k ∆
lim
∆ x
∆x →fi 0
( )
k x + ∆x − k x ∆ x
∆x →fi 0
kx + k ∆x − kx
lim Dx → fi 0
=
= k
Su expresión es: (
D x k
⋅
x
)
=
k
Figura 3.10 Derivada de f ( x ) = k y f ( x ) = x .
En la figura 3.10 (a) se muestra la derivada de una función constante f ( x ) k . Si en cualquier punto sobre la función, por ejemplo en a o en b , trazamos la recta tangente en esos puntos, observamos que se tiene una recta que está sobre la misma función, lo cual significa que, en ambos casos, la pendiente de estas rectas tangentes es cero: m = 0 . Si procedemos de la misma manera para la derivada de la función identidad f ( x ) x (figura 3.10 (b)), nos damos cuenta de que las rectas tangentes también están sobre la función lineal, la cual tiene como pendiente la unidad, esto es, m = 1, y, en consecuencia, la derivada de ( x ) ' 1 para cualquier punto en el dominio de la función. La expresión muestra este hecho. Podemos generalizar para cualquier función lineal de la forma f ( x ) kx , siendo k ε , donde la pendiente de esta recta es k , por lo que la expresión se confirma. =
=
=
=
Si ahora n = 2 y, en consecuencia, f ( x ) x , vamos a calcular su derivada. Como en los casos anteriores, hacemos uso de la definición de la derivada: =
( )
f ' x = lim
(
)
( )
f x + ∆x − f x ∆ x
Dx →0
132
2
=
2
2x
∆ x
2
( )
− x
2
∆ x
2
x + 2 x ∆x + ∆ x + x
Dx → 0
( )
D x x
= lim ∆x →0
2
( )
f ' x = lim
( x + ∆x )
2
2
= lim ∆x → 0
2 x ∆x + ∆ x ∆ x
Derivada
Ahora la función es el polinomio cúbico ( n = 3 ) de la forma: f ( x ) ( )
f ' x = lim
= lim
(
)
3
2
+ 3 x ∆ x + 3 x∆
2
x + ∆ 3 x − x 3
( )
f ' x lim
(
∆ x 3 x
2
)
+ 3 x ∆x + ∆ x ∆ x
∆ x →0
. Obtenemos su derivada:
3
=
2
= lim
3 x ∆x + 3 x ∆
= lim 3 x ∆x → 0
2
x + ∆ 3 x
∆ x
∆x →0 2
( )
− x
3
x
∆ x
∆x →0
∆ x
∆ x → 0
( x + ∆x )
= lim
∆ x
∆ x → 0
x 3
( )
f x + ∆x − f x
=
2
2
2
+ 3x ∆x + ∆ x = 3x
Por lo que, finalmente, se tiene:
( )
D x x
3
2
=
3 x
2
3
Figura 3.11 Derivada de f ( x ) = x y f ( x ) = x .
Figura 3.12 Calculamos la pendiente por medio de la derivada de f ( x ) .
133
Cálculo
3
Unidad
En las figuras 3.11 (a) y 3.11 (b) se muestran las derivadas de las funciones cuadráticas y cúbicas: ( x ) ' 2x y ( x ) ' 3 x , respectivamente, que permiten evaluar la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la función. Por ejemplo, para la cuadrática f ' ( 3) 2 3 6 , lo cual significa que, para x = 3 , la pendiente de la recta tangente en el punto ( 3, 9 ) es m = 6 , y, para la cúbica, f ' ( 2) 3 ( 2 ) 12. Del mismo modo, para x 2 , la pendiente 2
3
=
2
=
=
⋅
=
2
−
=
⋅
−
=
=
−
m en
el punto ( −2, −8 ) es 12 . En las figuras 3.12 (a) y 3.12 (b) se muestran gráficamente los cálculos realizados. Para calcular la derivada de la función f ( x ) x para n ∈ , utilizaremos el binomio de Newton, que conoces de tus cursos de Álgebra: n
=
(a + b )
n
=
a
n
n +
a
(
b+
1
)
n n
n −1
−1
a
n −2
b
1⋅ 2
2
(
) ( n − 2)
n n +
−1
a
n −3
3
b
1⋅ 2 ⋅ 3
+
+ bn
Utilizaremos la notación y = x para facilitar el desarrollo a partir de su definición. Si tenemos un incremento en x , lo denotamos con ∆ x ; y si tenemos un incremento en y , lo escribimos como ∆y . Aplicamos la definición de la derivada para y = x , por lo que tenemos: 2
n
n
(
)
y + ∆y = x + ∆x
Despejando a ∆y =
( x + ∆x )
Sustituyendo ∆y =
∆y :
n
−y
y la expresión del binomio de Newton en ( x + ∆x ) , se tiene lo siguiente:
n
y = x
( x + ∆ x)
n
−x
n
= x
n
n
+
1
x
n −1
∆x +
(
)
n n −1 1⋅ 2
x
n−2
( ∆x )
2
(
+ + ∆x
)
n
n
− x
n n ( n − 1) n − 2 n −1 ∆y = ∆x x n −1 + ∆x + + ( ∆x ) x 1⋅ 2 1
Si despejamos, encontramos la razón de cambio que a continuación se muestra: ∆y ∆ x
=
n 1
n −1
x
(
)
n n −1
+
1⋅ 2
x
n−2
(
)
∆x + + ∆x
n −1
Al aplicar el límite en la expresión, tenemos lo siguiente: y' = f
'
( x ) =
n
x
0
∆ x
∆ x →0
( ) = ∆lim →
f ' x
∆y
lim
1
n −1
x
+
n n −1
(
)
1⋅ 2
x
n −2
∆x + + ( ∆x )
n −1
Evaluando el límite: ( )
f' x
=
n 1
nx
−
La expresión general para la derivada de una función f ( x )
( )
D x x
n
=
n
nx
=
1
−
Como ejemplo, derivemos la función f ( x ) 7 x . Aplicamos el procedimiento descrito anteriormente y se tiene: 2
=
( )
f ' x = lim
( )
∆ x → 0
( )
= lim
∆ x
(
(
7 x − ∆x
)
2
2
7 x + 2x ∆x + ∆ x − 7x
= lim
∆ x
(
7 ∆ x x + 2x + ∆x ∆ x
2
( )
− 7 x
2
(
2
∆ x
(
)
(
)
= lim 7 2 x + ∆x = 7 2x ∆x →0
)
7 2 x ∆x + ∆ x
∆x → 0
)
2
)
∆ x
∆x →0
2
∆ x →0
f ' x = lim
134
)
∆ x → 0
f ' x = lim
( )
(
f x + ∆x − f x
n
x
es:
Derivada
De lo anterior, si sustituimos de la siguiente manera: D x k ⋅ x
=
n
(
k nx
n −1
k ∈ en
lugar de 7 como el coeficiente de
n
x
, entonces la expresión general queda
) = ( k ⋅ n ) ⋅ x − n
1
Ahora ya podemos usar libremente la expresión, el valor de
n
NO necesariamente tiene que ser un número natural 1
o entero: puede ser un número racional positivo o negativo, por ejemplo n = ; o también un número irracional positi2 vo o negativo, por ejemplo n π , n = e o n = 2 , que son algunos de los números irracionales más conocidos. Para =
derivar la función irracional f ( x ) Si g ( x )
=
π
x
2
1/ 3
=
x
, se observa que
, entonces su derivada es
g '(x)
=
2π x
n
=
2 1
.
1 3
−
y n
−
1
2 =
−
3
, por lo que su derivada es f ' ( x )
p =
2
x p
1
−
.
Actividad de aprendizaje 5 Esta actividad contribuye con el reto porque te permite conocer un elemento importante para determinar valores que pueden ser máximos o mínimos en una función, que es la finalidad del reto. Calcula la derivada solicitada en cada ejercicio. Realiza el ejercicio en tu libreta. 1) D ( 4 x − 5x − 3 x + 5 )
3
2
x
2
2) D ( 3 ) π
x
3)
D x 4sen
4)
D x ln
5)
D x 3sen x
3
2
( 5x
− 7 x + 1)
3
( 2 − cos x )
(
2
− ≠ 2 ) + tan x
Después de realizar la actividad, podemos establecer la siguiente expresión para un número p ' ( x ) =
d
d
d
n
de sumandos:
d
f1 ( x ) + f2 ( x ) + + fn ( x ) = x ) f1 ( x ) + f2 ( x ) + + f n ( x dx dx dx dx
Podemos derivar cualquier polinomio de la forma: ( )=a
Pn x
n
x
n
+
an −1 x
n −1
+
+ a2 x
2
+
a1 x
+
a0
Donde los coeficientes a para k = 0,1, 2,...,n pueden ser cualquier número real, y Por lo tanto, la derivada de P ( x ) está dada por: k
n = 0,1, 2,...
n
( ) = na
Pn x
n
x
n −1
+
( n − 1) a
n −1
x
n−2
+
+ 2a2 x + a1
En caso de que n NO sea un número entero, la expresión NO es un polinomio entero; de lo contrario, se denomina función irracional. Sin embargo, en ambos casos la derivada se realiza. Ejemplo 1.6 Deriva las expresiones indicadas en cada inciso. Deriva el polinomio de cuarto grado P ( x ) = 3 x
4
4
−
5x
3
+
4x
2
−
x + 2
.
Solución: Aplicamos la expresión P ( x ) , por lo que debemos calcular la derivada de cada sumando, la cual se obtiene por medio de la expresión 1.19. 4
3 2 P4 ( x ) ' = (3 x 4 ) + ' ( −5x ) + ' (4x ) + ' ( −x ) '+ (2 ) ' � � 3
12 x
�
−15 x 2
8 x
�
−1
�
0
135
Cálculo
Unidad
Por lo que finalmente tenemos: P ( x ) = 12x
3
− 15 x
4
Deriva la función irracional f ( x ) = −
π x
3
2x
+
2
−
2
+
8x
x 3
+
e
− 1
3
.
.
Solución: Como en el inciso anterior, aplicamos en cada sumando la expresión. Nota que los coeficientes de las potencias de x pertenecen al conjunto de los números reales. d
d
f ( x ) = ( − dx dx
3
π x
d
) + dx (
2
2 x
d x d ) − dx 3 + dx ( e)
Por lo que la derivada de la función indicada es: f ' ( x ) = −3 Calculemos una derivada más, sea la función g ( x ) = ( 2 x
2
2
π x
)
+1
+
1 2 2x − 3 1
3
2
+
5
.
−
x
3
.
Solución: Como se puede observar, el primer sumando es un binomio al cuadrado, el cual desarrollamos y procedemos a derivar la función g ( x ) = 4 x ( ) = ( 4 x
g ' x
4
) ' + ( 4x
� 16 x
2
8x
+
4x
) ' + (1) ' +
�
3
4
�
0
2
+
1+
3
− x
5
1
3 5
−
x
3
.
'
1 3
�
−
−
3 15
x
4 3
La derivada de la función g ( x ) es: g ' ( x) = 16x
3
▪
+8x−
3 15
−
x
4 3
.
Regla del producto
Vamos a calcular la derivada de un producto de funciones p ( x ) f ( x ) g ( x ). Para la demostración, hacemos los cambios de variable: p ( x ) y , f ( x ) u y g ( x ) v , por lo que el producto resultante es y = uv , donde y,u y v son funciones de x. Sea y = uv , y sus incrementos correspondientes: ∆y ∆u y ∆v , por lo que y + ∆y = (u + ∆u ) (v + ∆v ) , si despejamos ∆y , obtenemos el incremento de y en términos de las variables u y v : =
=
=
=
,
(
∆y = u + ∆ u
) ( v + ∆v ) − y = ( u + ∆ u ) ( v + ∆ v ) − uv = uv + u∆ v + v∆ u + ∆ u∆ v − uv
Si reducimos términos y dividimos por ∆y ∆ x
=
u ∆v + v ∆u + ∆u ∆v
∆v
∆ x
∆ x
= u
+ v
∆ x
∆u ∆ x
+
, se obtiene:
∆u ∆v ∆ x
Si recordamos la expresión, que es la definición para el cálculo de la derivada de una función, se tiene que: ( )
y ' x = lim
∆ x →0
∆y ∆ x
= lim
(
)
( )
y x + ∆x − y x
∆x →0
∆ x
En forma análoga, para los cocientes diferenciales de u y v
( x ) ' =
lim ∆ x → 0
∆v ∆ x
, y u ( x ) ' =
lim ∆ x → 0
∆u ∆ x
mientras que para
Por lo que podemos concluir que la derivada de variable indicados al inicio, se tiene que: p ' ( x ) = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' (x )
136
lim ∆ x → 0
y = uv
v
respecto de x , se tiene que:
∆v ∆u
=0
∆ x
es igual a
y'
=
uv '+ vu '
, y deshaciendo los cambios de
Derivada
La expresión general para calcular la derivada del producto de dos funciones está dada por: D x f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ( x )
d d g ( x ) + g (x ) f ( x ) dx dx
que suele expresarse comúnmente como dv du D x [u ⋅ v ] = u + v dx dx
, donde u y v son funciones de x .
Por ejemplo, para calcular la derivada de la función p ( x ) = ( x
2
+
x + 1) ( −3x 5 ) ,
� �
f (x)
se tiene que
p ' ( x ) = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x )f ' (x ) .
Por lo tanto, se requiere de las
derivadas de f ( x ) y g ( x ) , que son f ' ( x ) = 2 x + 1 y g ' ( x ) vamente, de manera que la derivada del producto es: ( ) = (x
p ' x
▪
2
+
)(
+1
x
−15x
4
) ( +
−3x
5
) ( 2x
g ( x)
)
+ 1 = −21x
6
4
15 x
= −
− 18x
5
respecti4
− 15x
Regla del cociente f ( x )
Vamos a calcular la derivada del cociente de funciones p ( x ) , donde g ( x ) g ( x ) ≠ 0 . Para la demostración, hacemos los cambios de variable: p ( x ) y , =
=
y g ( x ) = v ≠ 0 , por lo que el producto resultante es y , u y v son funciones de x . ( )
f x
=
u
y =
u v
, donde
Sea y = u , donde sus incrementos correspondientes son: ∆y , ∆u y ∆v , v u + ∆u por lo que y + ∆y = . Si despejamos ∆y , obtenemos el incremento de v + ∆v y en términos de las variables u y v : ∆y =
u + ∆u v + ∆v
−
u v
Si reducimos términos y dividimos por u + ∆u ∆y ∆ x
=
v + ∆v
−
(
∆ x
(
, se obtiene:
)
v u + ∆u − u v + ∆v
u v
)
∆ x
(
)
v v + ∆v
=
=
∆ x
(
)
( v (v + ∆v ) ∆x
)
v u + ∆u − u v + ∆v
Agrupamos la expresión de manera conveniente: ∆y ∆ x
=
uv + v ∆ u − uv − u ∆v
(
)
v v + ∆v ∆x
Si hacemos que podemos escribir: y '
= ∆lim →
0
x
y '
(
1
1 ∆u ∆v v − u ∆ x v v + ∆v ∆ x v v + ∆v
(
)
0 , en consecuencia,
(
∆u →
)
0 y
∆v →
0 , por lo que
1 1 ∆y ∆u ∆v = − v lim u lim ∆ → ∆ → ∆ x v (v + ∆v ) ∆ x v (v + ∆v ) ∆ x x
1 =
∆ x →
=
v v + 0
)
vu '−
1
(
v v + 0
)
uv '
=
0
x
0
vu '− uv ' 2
v
137
Cálculo
Unidad
Recordemos que p ( x )
y
=
, f (x)
d
u
=
3
y g ( x ) = v ≠ 0 , por lo que se tiene:
d
f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) − f ( x ) dx g ( x ) D x = g 2 ( x ) g ( x )
que suele expresarse comúnmente como u = v
D x
v ⋅ D x u
( ) − u ⋅ D (v ) x
2
v
donde u y v son funciones de
x
.
Ejemplo 1.7 Deriva las funciones racionales en cada inciso. x + 1
Obtén la derivada de la función f ( x ) = . x − 1 Solución: Aplicamos la expresión f ( x ) , por lo que debemos calcular la derivada de numerador y denominador: 1
2
1
f ( x ) ′ 1
( x − 1) ( x + 1)′ − ( x + 1) ( x − 1)′ ( xx − 1) (1) − ( x + 1)( 2x ) x + 1 = = = x − 1 ( x − 1) ( x − 1) 2
2
2
2
2
2
2
2
Y, finalmente, tenemos: 2
'
( )
f1 x =
'
( )
2
x −1 − 2x − 2x
( x +1) ( x − 1)
f1 x = −
2
2
=
2
− x − 2 x − 1 2
( x +1) ( x − 1)
2
=−
x + 2 x + 1 2
( x +1) ( x − 1)
2
=−
( x +1) 2
2
( x +1) ( x − 1)
2
1
( x −1)
2
Deriva la función f ( x ) 2
ax =
2
bx
−
.
a
2 x
Solución: Procedemos del mismo modo, y la aplicamos a f ( x ) . Entonces debemos calcular las derivadas del numerador y del denominador, donde u ( x ) = ax − bx + v ( x ) = 2 x , siendo sus derivadas u ' ( x ) 2ax b y v ' ( x ) 2ax . De forma que la derivada del cociente queda: 2
2
a
=
−
=
a −1
′ ′ 2 2 ax 2 − bx ( 2 x ) ( ax − bx ) − ( ax − bx )( 2 x ) ′ f2 ( x ) = = 2 2 x ( 2 x ) a
a
a
a
Derivando y simplificando, tenemos: ( )
f2 x
ax =
−
a 1 −
−
(ax
2
−
2x
2
−
)
bx
2
Encuentra la derivada de la función. f3 ( x ) = −6 x 3
+
px 4 ( 6 x 2 + 2x ) +
x + 1 x
r
+
2
2 x
Solución: Para calcular la derivada de la función f ( x ) , observemos las reglas de derivación que se involucran: primero vemos que la función está compuesta por tres sumandos, por lo que la derivada de f ( x ) se compone de la suma de tres derivadas. Cada sumando representa una de las reglas demostradas con anterioridad: la de la potencias, la del producto y la del cociente. Para realizar el cálculo de la derivada, se propone que cada sumando sea resuelto indicando su respectiva derivada o mediante cambios de variable. 3
3
138
Derivada f3 ( x ) ′ = u ′ ( x ) + v ′ ( x ) + r ′ ( x ) , donde es evidente que:
En este ejemplo podemos escribir: u
3
(x)
=
6 x
−
, v (x)
=
px
4
( 6x
2
+
) y ( )
2x
r
x + 1
x = x
r
+
2
2x
En consecuencia, debemos calcular las derivadas correspondientes: La derivada de una potencia:
( kx )′ = knx
n −1
n
( ) ( −6 x )′ 3
u ′ x =
= −18 x
2
La derivada de un producto:
( g ( x ) h ( x ) )′ = g ( x ) h ′ ( x ) + h (x )g ′ (x ) , donde p es una constante: ( ) = ( px
v' x
4
( 6x
2
+
2x
)) '
=
4 px
3
(6 x
2
+ 2x
)
+
px
4
(12x + 2 )
g ( x ) ′ h ( x ) g ' ( x ) − g ( x )h ' (x ) La derivada de un cociente: = ( h ( x ) ) h ( x ) 2
x + 1 r ′ ( x ) = x + 2 x r
2
′ =
x
r
( x + 1) ( rx − + 4 x ) 1
r
1
+ 2 x
2
−
( +2 ) x
2
r
2
x
Por lo que, para obtener la derivada de f ( x ) , simplemente sumamos la derivada de cada función, y se tiene: 3
f3′ ( x ) =
2
−18 x + 4 px
( 6x
3
)
2
+ 2x + px
4
(12x + 2) +
1
x
r
2
+ 2x
−
( x + 1) ( rx r
( x
r
−1
2
+ 2x
)
+ 4 x
)
2
Deriva la función compuesta por una suma de funciones, producto y cociente. Usa las reglas correspondientes. 4
( ) = −4 x
f4 x
+
−x
4
2 x
2
+
3 x − 1
−
x + 7
+
( x + 6 ) ( x
3
)
+1
Solución: El primer sumando es un polinomio, por lo que aplicaremos la expresión ( kx )′ = knx ; el segundo es un cociente, por lo que ′ su derivada está dada por u = vu ′ − uv ′ ; y el tercero es un producto, por lo que su derivada es (uv )′ = uv ′ + vu ′ . v v La derivada del primer sumando es: n
n −1
2
( −4 x )′ = −16 x 4
3
Del cociente: ( 4 x − 1) ( − x + 3 x − 1) − x + 3 x − 1 ′ 3 − 4 x 2 x − x + 7 = 2 x − x + 7 − ( 2 x − x + 7 ) 4
4
3
2
2
2
2
Y del producto: ( x + 6 ) ( x 3 + 1) ′ = x 3 + 3 x 2 ( x + 6 ) + 1
Por lo que la derivada de la función f ( x ) es: 4
( )
f4′ x = −
( 4 x − 1) ( − x
(
2
4
)
+ 3 x − 1
2 x − x + 7
)
2
3
3
− 15 x +
3 − 4 x 2
2 x − x + 7
+ 3 x
2
( x + 6 ) + 1
139
Cálculo
Unidad
3
Derivadas sucesivas Si a su vez derivamos la expresión obtenida, se tiene: y ′′ = f ′′ ( x ) =
2 d d d = d 2 y = d f ( x ) f ′ ( x ) = f x ( ) ) ( dx dx dx dx 2 dx 2
De lo anterior establecemos que es posible seguir derivando la expresión obtenida; de este modo se tiene la tercera derivada: d d y d f ( x ) y ′′′ = f ′′′ ( x ) = f ′′ ( x ) = = 3
3
dx 3
dx
dx 3
En general, de manera simbólica la n-ésima derivada de una función se expresa como: y
(n) =
f
(n)
( x )
d n f ( x )
d n y =
dx n
=
dx n
No debemos confundir el superíndice n con la potencia n, esto es d y dx NO son potencias, sino indicadores de las veces que se deriva la función respecto de x . Por ejemplo, si y f ( x ) 3 x , su primera y segunda derivada son respectivamente y ′ = f ′ ( x ) = (3 x )′ = 6 x y y ′′ = f ′′ ( x ) = (3 x )′′ = ( 6 x )′ = 6 , ¿y si volvemos a derivar, esto es, obtener la tercera derivada? Entonces y ′′′ = f ′′′ ( x ) = (3 x )′′′ = ( 6 x )′′ = ( 6 )′ = 0 , como se puede observar, no tiene sentido seguir calculando las derivadas siguientes, porque siempre serán cero. n
n
2
=
=
2
2
2
Otro ejemplo interesante lo tenemos con la función exponencial, esto es y f ( x ) e x . Como sabemos, ésta es la única función que tiene la propiedad de que su derivada es la propia función, por lo que ( ) f ( x ) = f ′ ( x ) = f ′′ ( x ) = f ′′′ ( x ) = =f (x ) = e sin embargo, si el coeficiente del exponente es diferente de la unidad y positivo, por ejemplo k , entonces: f ( x ) e su primera derivada es f ' ( x ) ke , y la segunda ′ f ′′ ( x ) = ( ke ) = k e , y así sucesivamente. Ahora, si es negativo, lo que va a suceder es que, según el grado de k , el grado de la derivada alternará entre positivo y negativo. Por ejemplo, si y e , su primera derivada es y ′ = −2e , la segunda =
=
n
x
...
,
kx
kx
=
kx
=
2
kx
=
y ′′ =
( −2e )′ = 4e , la tercera −2 x
−2 x
−2 x
2 x
−
(
y ′′′ = 4e
−2 x
)′ = −8e
−2 x
=
( −2 )
3
e
−2 x
, y de
este modo tenemos su n -ésima derivada y ( ) ( 2 ) e . No debemos olvidar que las reglas y propiedades de la derivada se siguen manteniendo sin importar el orden de la derivada a calcular, por ejemplo, sabemos que si y = f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) , entonces su derivada es y ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) + h′ ( x ) , por lo que si deseamos calcular la cuarta derivada, se tiene y iv = f iv ( x ) + g iv ( x ) + hiv ( x ) , o que si y kf ( x ) , en consecuencia y ′ = kf ′ ( x ) , y su quinta derivada es y v kf v ( x ) . Se debe hacer notar que, por comodidad, después de la tercera derivada se utilizan los números romanos para indicar el orden de la derivada (no grado). n
n
=
−
2 x
−
=
=
140
Derivada
Otras funciones que tienen un comportamiento interesante son las dos trigonométricas, seno y coseno, puesto que sus respectivas derivadas están entre ellas dos sólo con algún cambio de signo. Sabemos que y cos ( x ) , su derivada es y ′ = −sen ( x ) , y que si y sen ( x ) , entonces y ′ = cos ( x ) . Por ejemplo, calcular la tercera derivada de la función coseno. Se tiene y cos ( x ) , entonces: Primera derivada: y ′ = ( cos ( x ) )′ = −sen ( x ) =
=
=
Segunda: Tercera:
y ′′ =
y ′′′ =
(
( cos ( x ) )′′ = ( −sen ( x ) )′ = − cos ( x ) cos
( x ) )′′′ = ( −sen ( x ) )′′ = ( − cos ( x ) )′
=
( )
sen x
Actividad de aprendizaje 6
Esta actividad contribuye con el reto porque te permite calcular la segunda derivada de una función para relacionarla con la curvatura o concavidad de la gráfica de la función y, así, determinar de manera más sencilla los puntos máximos o mínimos, como en el caso del reto.
Determina la primera, segunda y tercera derivada de las funciones dadas en cada ejercicio. Realiza esta actividad en tu libreta. ( ) = 4x
f x
5
+ 3x
4
−
x
3
+ 10 x
2
− 11x + 8
( ) = sen ( 2 x − 1) + cos ( 2x − 1)
f x
x
( ) = 2e
f x
( ) =
f x
+ 3 x − 2
2 cos x x + 1
( ) = ln (
f x
▪
2
π x +
tan x
)
Interpretación gráfca de la primera y segunda derivada
La función f ( x ) la graficamos en sistema de ejes coordenados. En la figura 3.13 se observa en color negro, f ( x ) = x + 3 x − 3 ; su derivada está en color rojo, f ′ ( x ) = 3 x + 6 x y, finalmente, su segunda derivada está en color azul, f ′′ ( x ) = 6 x − 6 . Como puedes observar, estas gráficas nos dan información de la relación entre ellas; por ejemplo, recuerda que en el apartado de máximos y mínimos los obteníamos derivando la función, igualando a cero, y al calcular las raíces de f ′ ( x ) = 0 encontramos los valores de x , donde se encuentran los máximos y mínimos de f ( x ) . Y para los puntos de inflexión, se iguala a cero la segunda derivada, se calculan las raíces de ésta y así obtenemos dicho punto. Si f ( x ) es una función que tiene un valor crítico en x = a , tal que f ′ ( a ) = 0 y f ( a ) existe 3
2
2
′′
Figura 3.13 Gráfica de una función, su primera y segunda derivada.
141
Cálculo
Unidad
3
f ″ ( a ) < 0 → f ( x ) tiene un máximo local o relativo en x = a ″ f ( a ) > 0 → f ( x ) tiene un mínimo local o relativo en x = a ″ f ( a ) = 0 → f ( x ) tiene un punto de inflexión en x = a
Efectivamente, se puede observar que
, entonces en ( a, f (a ) ) y ( b, f ( b ) ) existe un máximo o un mínimo, y como f ′ ( a ) < 0 en x = a existe un máximo, y f ′′ ( b ) > 0 existe un mínimo local. x
=
a
y
x = b
son raíces de
( )
f ′ x = 0
Actividad de aprendizaje 7
Esta actividad, sin duda, es la más valiosa para ayudarte a resolver el reto, pues aquí encontrarás ejercicios semejantes a partir de los cuales podrás terminar el reto del curso. ¡Felicidades y que tengas mucho éxito!
Determina los puntos críticos y de inflexión de la función f ( x ) = x + 5 x + 5 x − 1. Bosqueja la gráfica. Para construir un bote cilíndrico sin tapa, partimos de un rectángulo y un círculo, como se muestra en la figura. 3
2
Si se necesita que el volumen del bote cilíndrico sea de 500 ml, ¿cuáles son las dimensiones que permiten el diseño más económico? (Nota: El diseño más económico es el que requiere de área mínima). Se desea construir una caja rectangular cortando cuadrados en las esquinas de una lámina de dimensiones w cm de ancho por h cm de altura, y doblando las pestañas resultantes después del corte, como se muestra en la figura:
142
Derivada
Determina la longitud x cm de los cuadrados que se deben cortar para obtener la caja de capacidad máxima. Determina las dimensiones del cono de mayor capacidad, que se puede inscribir en una esfera de radio r . Si dispones de dos números tales que el doble de uno de ellos es igual al otro número incrementado una unidad, determina los números cuyo producto es mínimo. Como resultado de la Actividad inicial, y de haber estudiado las derivadas de orden superior o sucesivas, podemos concluir que, si la posición de un cuerpo está dada por una función del tiempo, t , esto es s f (t ) , entonces la =
velocidad está dada por la primera derivada de s , velocidad y el tiempo, entonces
a=
dv dt
v =
ds
; en consecuencia
dt a
, y como la aceleración es la razón de cambio entre la =
dv dt
ración es la segunda derivada del espacio respecto del tiempo.
=
ds = d 2s = s ′′ . En otras palabras, la acele dt 2 dt dt d
Por ejemplo, si se tiene que un automóvil se desplaza en línea recta por una función que está dada por determinar: La distancia recorrida en t 10seg . La velocidad del automóvil cuando t 30seg . La aceleración cuando t 30seg .
s
=
3e
t
+
t
,
=
=
=
Solución: Como la función es s = 3e + t , entonces s (10 ) = 3e + t , la velocidad está dada por su derivada, entonces s ′ ( t ) = 3e , por lo que s ′ ( 30 ) = 3e , y finalmente la aceleración s ′′ ( t ) = 3e = 3e . 10
t
t
30
t
30
143
Cálculo
Unidad
3
Actividad de metacognición 1. ¿Qué conceptos construí en esta lección?
2. ¿Por qué y para qué construí estos conceptos?
3. ¿Cómo me puede servir el aprendizaje de este conceptos?
4. ¿Cómo construí estos conceptos?
5. ¿Qué tipo de actividades me funcionan mejor para aprender?
144
Derivada
Resuelve los siguientes ejercicios, escribiendo los procesos completos en tu libreta.
Determina la derivada de la función f ( x ) = 5 x
Determina la derivada de f ( x ) ( 3 x
Determina la derivada de f ( x )
Determina la derivada de f ( x ) = 3cos
Determina la derivada de f ( x ) =
=
−
5
4
) (4
2
4 x
=
−
−
3 x + 7 2 x − 5 x + 2
7
+
9
−
+
3 x − 7 mediante
7x
la definición de la derivada como razón de cambio.
5
) .
.
log2
(
x + 2
−
).
1
. 7
x − 3
. ( x − 3 ) Halla la tercera derivada de la función f ( x ) = e
Determina la derivada de f ( x ) =
x
2
7
2
3 x
+2
.
Halla la quinta derivada de f ( x ) = sen x + cos x .
Dos aviones parten del aeropuerto de la Ciudad de México al mismo tiempo. El primero se dirige al Norte con una velocidad de 850 km/h y el otro vuela hacia el Este con una velocidad de 900 km/h. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre ellos después de 30 minutos de vuelo? Se dispone de 300 m de valla para delimitar un terreno rectangular. Determina las dimensiones del terreno de modo que el área cercada sea máxima.
Estamos al final de la unidad, y seguramente ya habrás determinado las dimensiones de los recipientes más económicos que usarán en tu escuela como macetas. Al fabricarlas, ¿pudiste valorar la importancia del cálculo en la solución de problemas de optimización? ¿Consideras importante que los estudiantes de bachillerato estudien esta disciplina matemática? ¿Pudiste relacionar el Cálculo Diferencial con otras disciplinas? Es momento de presentar el producto final de tu proyecto: las macetas para la escuela, elaboradas con todos los recursos asimilados durante el curso. Organiza los reportes finales, de modo que sea clara y evidente la aplicación del Cálculo en el diseño óptimo de las macetas más económicas. Elabora una presentación acerca del desarrollo del proyecto durante el curso y no olvides citar fuentes confiables. De acuerdo con las instrucciones del profesor, participa en una sesión plenaria donde todos muestran sus presentaciones y conclusiones finales. Participa de manera activa en la sesión de cierre de la unidad. ¡Que tengas éxito en tu formación integral!
145
Cálculo
Unidad
3
Autoevaluación del desempeño que tengo respecto de mis competencias Para autoevaluar el desarrollo de tus competencias en esta unidad, responde la siguiente lista. Criterio Comprendo qué es la razón de cambio promedio e interpretación geométrica. Puedo explicar qué es la interpretación geométrica de la derivada. Reconozco qué es la derivación de funciones. Distingo la derivada de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Reconozco qué son las derivadas de funciones exponencial y logarítmica. Puedo explicar qué es la derivada de la función exponencial de base a. Puedo explicar qué es la derivada de la función exponencial base e. Explico qué es la derivada de la función logaritmo base a. Distingo la derivada de la función logaritmo base e. Comprendo y explico la Regla de la cadena. Comprendo qué son las fórmulas de derivación. Distingo la regla del producto. Comprendo la regla del cociente. Explico qué son las derivadas sucesivas. Sé cómo realizar la interpretación gráfica de la primera y segunda derivada.
146
Difícilmente
Suficientemente
Bien
Excelente
Derivada
La siguiente cartografía cierra de manera específica el concepto fundamental que desde el principio de la unidad se mencionó: Derivada. Llena los espacios contestando las preguntas planteadas para organizar esquemáticamente tu aprendizaje. De esta manera, descubrirás los aspectos que todavía no tienes muy en claro para poder llevar a cabo su definición.
7.
6.
1.
Ejemplificación ¿En qué casos se manifiesta?
Noción ¿Qué es?
2.
Subdivisión ¿Cómo se clasifica?
riv a d a
D e
5.
3.
Vinculación ¿Con qué se relaciona?
4.
Categorización ¿A qué conjunto mayor pertenece?
Caracterización ¿Cómo es?
Diferenciación ¿Qué no es, pero se parece?
147
Cálculo
Unidad
3
Rúbrica para evaluar la unidad
Criterios
Inicial-receptivo
Resolutivo
Elijo las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimino entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.
Comprendo que elegir las fuentes de información más relevantes es importante pero no escojo las adecuadas, por lo que entrego tantas como encuentro, sin discriminar entre ellas. Desconozco la argumentación porque no pude dar solución a un problema a través de métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales.
Elijo fuentes de información aunque no todas, son relevantes para el propósito específico, ya que sólo puedo discriminar medianamente entre ellas.
Argumento la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.
Formulo y resuelvo problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
148
Reconozco la importancia de resolver problemas matemáticos con distintos enfonques, pero aún no logro aplicarlos, y mucho menos resolver tales problemas.
Autónomo
Obtengo fuentes de información relevantes, significativas y confiables para el propósito específico, cuyo contenido permite realizar un proceso más reflexivo y con cierta interdisciplinariedad. Puedo argumentar medianamente la Consigo argumentar solución obtenida de un problema con adecuadamente sobre la métodos numéricos, gráficos, analíticos o solución de un problema variacionales, a través del lenguaje verbal, obtenido con métodos matemático y un uso de las Tecnologías de numéricos, gráficos, la Información y la Comunicación. analíticos o variacionales y mediante un buen uso del lenguaje verbal, matemático y el manejo de las Tecnologías de la Información y la Comunicación de forma excelente. Comprendo y aplico distintos enfoques Resuelvo problemas para la solución de problemas matemáticos a través matemáticos, aunque aún con cierta de distintos enfoques, dificultad. y consigo entender la relación entre tales alternativas y la solución de problemas.
Derivada
Evaluación de evidencias de aprendizaje Es momento de evaluar tu desempeño ante el reto que afrontaste a lo largo de la unidad, utilizando la siguiente rúbrica que te ayudará a valorar tu trabajo. Aspectos de evaluación Explica la pertinencia del cálculo de límites en el diseño de recipientes económicos.
Presenta el producto final del proyecto
Niveles de desempeño
Pre-formal Receptivo Resolutivo (0 – 5) (6 – 7) (8 – 9) Tiene una vaga Muestra muy pocas Las aplicaciones de idea o no tiene idea aplicaciones de límites en su proyecto acerca del uso de límites en su proyecto. son adecuadas. límites para afrontar Requiere apoyo el reto. constante del profesor.
No presenta los recipientes o presenta productos de mala calidad.
El producto es de poca calidad pero está sustentado en cálculos adecuados.
Aplica los No hay evidencia procedimientos del clara del uso del Cálculo Diferencial en Cálculo en el su proyecto. producto presentado.
Los cálculos presentados no se relacionan adecuadamente con el proyecto.
Valora el aprendizaje No explica adquirido durante claramente la utilidad el curso como una de su trabajo, ni herramienta para logra argumentar resolver problemas de la importancia del la comunidad, el país Cálculo Diferencial a y el mundo. partir de su proyecto.
Sus explicaciones son principalmente de aplicaciones generales, pero no hay un vínculo fuerte con su entorno, el país o el mundo.
Autónomo (10)
Suma parcial
Todas las aplicaciones de límites a su proyecto son pertinentes. Ayuda a sus compañeros a entender el tema y a aplicarlo a sus proyectos. El producto es de El producto es de buena calidad y excelente calidad y los cálculos son todos los cálculos se adecuados. presentan de forma adecuada. El alumno requiere apoyo constante del El alumno ayuda a profesor. otros en su proceso de aprendizaje. Es evidente que Todos los cálculos conoce las reglas están relacionados del Cálculo pero con el producto su vínculo con el presentado y proyecto no es muy se justifican adecuado. adecuadamente los resultados obtenidos. El alumno muestra una actitud colaborativa y de tolerancia. Concluye Explica clara, adecuadamente adecuada y acerca de la utilidad pertinentemente del Cálculo para la importancia del resolver problemas Cálculo en la solución de contexto, pero de problemas de su relación con el contexto, teniendo proyecto no es clara como apoyo de sus cuando detalla sus argumentos el trabajo ejemplos. realizado en el proyecto. Aporta ideas y propone nuevos proyectos donde el Cálculo Diferencial es una herramienta importante para la solución. Suma total Puntaje del reto
149
Cálculo
Unidad
3
Hacia la prueba Enlace 1. La derivada de f ( x ) a) b) c)
( )
f ' x
( )
f ' x
( )
f ' x
x
−
x
=
2
−
a
Respuestas
donde a es una constante real es:
2
1)
a
=
x
2
−
a
2
a
2
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
x =
x
2
2x
=
x
−
−
2
2a
−
a
2
d) f ' ( x ) x x a e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 2
=
2
−
2. La segunda derivada de a) y " = e sen ( e ) + 1 2 x
2 x
b)
y"
=
c)
y"
= −e
e
y
=
( ) es: x
2)
sen e
x
( )
sen e
x
x
−
( )
sen e
x
e
+
2x
( )
cos e
x
( )
x
e cos e
x
d) y " = −e sen ( e ) + e cos ( e ) e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 2 x
x
x
3. El punto mínimo de f ( x ) =
x
1 6
x
3
1 −
2
x +
1 3
es:
3)
a) (1, 0 )
2 b) −1, 3 2 c) 1, − 3 d) ( 0, 0 ) e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 4. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función punto donde x 1 es: a) 2 x + y − 7 = 0 =
y
=
x
2
+
4 x + 8 en
el
4)
−
b) 2 x − y + 7 = 0 c) 6 x − y + 11 = 0 d) 6 x + y − 11 = 0 e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 5. La tercera derivada de a) y "' 60 x 18
y
=
x
5
−
3x
3
+
5 x − 2
2
=
−
2
b)
y "' = 60 x
c)
y "'
+ 18
2
=
18 x
2
−
60
d) y "' = 18 x + 60 e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
150
es:
5)
Derivada
6. La derivada de a)
x y ' =
c)
y ' =
d)
y '
=
(
ln 3 x
2
+
2
+
Respuestas
) es:
6 x
x + 1
y ' =
b)
y
6)
x
2
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
x
( ) x ( x + 2 ) 2 x + 1
= −
2 x + 2
(
x x + 2
)
e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 7. Intervalo donde f ( x )
=
x
3
−
x es
creciente:
7)
3 3 a) − , 3 3
3 3 b) −∞, − ∪ , ∞ 3 3 3 c) −∞, − 3 3 d) 3 , ∞ e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 8. Intervalo donde f ( x )
a) −
3
3
b) −∞, −
3
3
c) −∞, −
x
3
−
x es
decreciente:
3
,
=
3
∪
3 3
8)
, ∞
3 3
3 d) 3 , ∞ e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 9. Encuentra el mayor de dos números de modo que la suma de uno de ellos con el doble del otro sea 56 y su multiplicación sea máxima. a) 14 b) 16 c) 20 d) 28 e) Ninguna respuesta anterior es correcta. 10. Calcula las dimensiones de un rectángulo de 20 cm de perímetro, de modo que su área sea máxima. a) 5 × 5 cm b) 4 × 6 cm c) 5.5 × 4.5 cm d) 2 × 8 cm e) Ninguna respuesta anterior es correcta.
9)
10)
151
Cálculo
152
Unidad
3
Derivada
153