L Algebra DGETI 300612

a r b e g l Á

s i a z c z n p e e e t ó u e L q p z z á m o á e V c B z n a e e i í n t e n r u e a q g u M f o E n i s e i z u n t r L o a C e

B

a

b

Álgebra a

b

Con enfoque en competencias

Beatriz Eugenia Báez López Luis Martínez Vázquez

ISBN: 978-607-489-441-7

Vicepresidencia editorial

Araceli Estévez González Director editorial

Gudelia Matías Silva Editor en jefe

Magdalena Morales Luis Editor

Dedicatoria:

Aldo Chiquini Zamora

Para Agustín Celorio, que en este proyecto me hubiera apoyado incondicionalmente como siempre lo hizo durante su vida.

Revisor técnico

Para Tito, Ale y Beto, principales motores de mi existencia.

Luis Martínez Vázquez

Beatriz Eugenia Báez López

Diseño y formación

Francisco Javier Martínez García Dirección de producción

Rubén Matías Silva Copyright 2011 por: Book Mart, S.A. de C.V. ® Marca Registrada

3a edición Mayo de 2012 Impreso en México

A mis padres ThelmaV y Juan, porque encendieron en mí el amor por la verdad. Su ejemplo modela mis acciones y su amor guía mi vida. A mi esposa Eva y mis hijas Samy, Janet y Pawis, quienes conforman el motivo principal de mi vida. A mis hermanos Arturo, Johnny y Érika, de quienes estoy orgulloso porque con su lucha modelan ejemplos de vida. A Lalo, por compartir conmigo su experiencia, sabios consejos y amistad verdadera. A mis grandes amigos: Marcos y Pepe, por su amistad sincera y desinteresada. A todos mis compañeros por sus consejos, recomendaciones y ánimo. A mis alumnos, porque sin ellos no tendría valor esta obra. Mis más sinceros deseos de éxito para todos ellos. Luis Martínez Vázque Vázquezz

DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

II

Álgebra Presentación Editorial Book Mart, en el afán de cubrir las necesidades de preparación de los jóvenes, se ha dado a la tarea de contribuir en el modelo de educación basado en competencias y ha orientado su experiencia en elaborar materiales que ayuden a optimizar el desempeño de los docentes; además de ayudar a mejorar el aprovechamiento académico de los estudiantes, creando para ello una estructura didáctica que aporte diversos elementos que hagan el aprendizaje dinámico e integral. El objetivo principal de esta aportación, dentro de la reforma educativa en el nivel medio superior, es el aprovechamiento y la funcionalidad de los programas de estudio, los cuales son el eje rector del aprendizaje signicativo. Este enfoque en foque didácti didáctico co da sentido a las intenciones de de formación que el el Sistema Nacional de Educación tiene para el joven, convirtiendo lo que se aprende en una herramienta útil a lo largo de la vida de los estudiantes. Esto con el n de que al terminar su bachillerato tecnológico esté capacitado para asumir una postura crítica y reexiva ante los fenómenos de su entorno, ya sea para continuar su vida escolar o incorporarse al ámbito laboral con seguridad. Un alumno que cursa un bachillerato en este subsistema tiene una formación sólida para tomar decisiones y está altamente calicado en el ámbito profesional. Para lograrlo, el método que Book Mart propone es abordar los conocimientos, a n de acercar más al estudiante a situaciones problematizadoras; es decir, aquéllas que le permitan desempeñar procesos lógicos, como seleccionar, relacionar y analizar, además de manejar conocimientos pragmáticos: aplicar, interpretar y valorar, lo cual traerá como consecuencia la adquisición y el perfeccionamiento de las habilidades fundamentales para la vida laboral. Los contenidos programáticos abordados en este material se presentan en tres unidades, cada una cumple con los momentos de apertura, desarrollo y cierre, y se encuentran permeadas a través de un reto, que tienen como base los atributos de las competencias genéricas mínimos a desarrollar para lograr la transversalidad propuesta por el Marco Curricular Común.

III

Las secuencias didácticas implican la realización de actividades de aprendizaje de tipo diverso, a saber: de descubrimiento, de ejercicio de habilidades del pensamiento, de integración de aspectos y dispositivos de aprendizaje, como la atención, la memoria, etcétera. Éstas se ofrecen previamente diseñadas con la nalidad de optimizar el tiempo clase, logrando un máximo aprovechamiento del maestro y del estudiante. Cada unidad cierra con un apartado de evaluación, donde se encontrarán útiles herramientas para vericar las nuevas competencias del joven. Por último, proponemos a nuestros docentes usuarios redescubrir la pasión de verse trascendidos en los estudiantes, marcando de manera profesional, positiva y entusiasta la vida de aquéllos para los que son mentores. Por Por lo que ofrecemos un paquete de sugerencias y recursos adicionales que se les entregarán de manera gratuita, con todo nuestro reconocimiento por su invaluable labor. labor. Gracias por tener este material en sus manos y permitirnos acompañarlos en esta maravillosa labor de aprendizaje. Estamos seguros que juntos lograremos hacerla más enriquecedora.

Competencias genéricas Se autodetermina y cuida de sí 1.

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2.

Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3.

Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y comunica 4.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reexiva reexivamente mente 5.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6.

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reexiva.

Aprende de forma autónoma 7.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa 8.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad 9.

Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

IV

Álgebra Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas 1.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, grácos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6.

Cuantica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7.

Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8.

Interpreta tablas, grácas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y cientícos.

V

Contenido Unidad I Introducción al Álgebra Expresión algebraica Término algebraico o monomio Términos semejantes

Clasificación de expresiones algebraicas Monomio Polinomio

2 9 13 15

16 16 17

Notación algebraica 28 Evaluación numérica de expresiones algebraicas 33

Unidad II Operaciones fundamentales Operaciones fundamentales Suma de polinomios Resta de polinomios Suma y resta combinadas Multiplicación de polinomios Multiplicación de monomios Multiplicación de un monomio por un polinomio Multiplicación de polinomios Multiplicación con suma y resta División de polinomios División de monomios Dividir un polinomio entre un monomio Dividir dos polinomios Razón y proporción Proporción

Productos notables Binomios al cuadrado Producto de dos binomios con un término común

Factorización

VI

Factor común (máximo común divisor: MCD) Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x 2 + bx + c Trinomio de la forma ax 2 + bx +c Diferencia de cuadrados perfectos Cubo perfecto de binomios Suma o diferencia de dos potencias iguales

48 56 56 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 79 87 88

91 92 94

100 101 104 106 107 109 110 113

Álgebra Fracciones algebraicas

114

Simplificación de fracciones Multiplicación de fracciones División de fracciones Suma y resta de fracciones Operaciones combinadas

114 117 119 121 125

Unidad III Ecuaciones

138

Ecuaciones lineales

145

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Igualdad Identidades Ecuaciones Resolución y evaluación de ecuaciones de primer grado con una incógnita Gráfica de una ecuación lineal (o de primer grado) Sistemas de ecuaciones lineales (o de primer grado) con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones sin solución Sistemas de tres ecuaciones lineales (o de primer grado) con tres incógnitas (sistemas de tercer orden)

145 146 146 146 148 152 161 167 173

Ecuaciones cuadráticas (o de segundo grado) 178 Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado Solución por factorización Solución de ecuaciones cuadráticas por complemento al trinomio cuadrado perfecto Solución por fórmula general Gráfica de una ecuación de segundo grado Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método gráfico Bibliografía

179 180 181 182 187 189 200

VII

Unidad I Introducción al Álgebra

Propósito ♦

Desarrollar la capacidad del razonamiento matemático haciendo uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, en un clima de colaboración y respeto.

Concepto fundamental ♦

Expresión algebraica

Conceptos subsidiarios ♦

Notación y clasicación

♦

Representación algebraica de expresiones en lenguaje común

♦

Interpretación de expresiones algebraicas

♦

Evaluación numérica de expresiones algebraicas

Categorías ♦

Espacio

♦

Diversidad

Valores que promueven ♦

Valorar de qué forma ha inuido el álgebra en la modicación del entorno.

♦

Reexionar sobre la responsabilidad de la entrega puntual de trabajos escolares.

♦

Mostrar solidaridad en el trabajo de equipo, aportando experiencias y aceptando las de otros compañeros.

♦

Comprobar el valor del trabajo y del ahorro en la comunidad escolar y familiar a través de la solución algebraica.

Competencia Genérica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Atributo

Competencia Disciplinar y Extendida

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas.

8. Interpreta tablas, grácas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y cientícos.

Significado de la relación Relación fuerte:

La relación es procedimental, ya que se reere, en ambas competencias, al uso de representaciones matemáticas que pueden ser expresiones algebraicas y grácas para expresar ideas y procedimientos.

Contenidos relacionados Fácticos Notación: representación algebraica de expresiones de lenguaje común

Procedimentales Interpretación de expresiones algebraicas

Actitudinales •

Perseverar en la búsqueda de solución de problemas algebraicos

•

Trabajar de manera colaborativa con sus compañeros en la solución de problemas

Evaluación numérica de expresiones algebraicas

Álgebra

Introducción El álgebra es una disciplina matemática que nos permite resolver diversas situaciones, como por ejemplo, acertijos, adivinanzas o situaciones problemáticas en las que i gnoramos uno o más datos, a los que se les denomina incógnitas o variables. Es por ello que cada vez que aparecen en un problema, este tipo de datos, cuyo valor desconocemos, podemos recurrir al álgebra y darle solución, razón por la cual se trata de una de las disciplinas matemáticas con más aplicaciones en nuestro contexto, y esto es precisamente lo que estás por descubrir. Como tú sabes, en el Bachillerato Tecnológico lo que se pretende es que aprendamos juntos actuando sobre la realidad y construyendo conceptos a través de ello. Es por eso que te invitamos a que en tu libreta vayas llevando una bitácora de los conceptos que creas que estás construyendo, para que podamos evaluarnos al nal y descubrir si realmente logramos la meta. Hablar de álgebra es hablar de un sistema de lenguaje, ya que en él se utiliza una serie de símbolos que son capaces de expresar un problema situacional, cuyo uso permite que conozcamos una situación problemática de manera breve y objetiva. Tú ya estudiaste parte de esto en tu educación secundaria, ¿te acuerdas cómo se llama la clase de números que utiliza el álgebra? Responde a la siguiente autoevaluación diagnóstica para que te enteres de cuánto recuerdas e identiques qué debes revisar en tus libros pasados. Puedes evaluarte con un compañero a n de tener una coevaluación, o entregar la evaluación a tu maestro para que se vuelva una heteroevaluación.

Activación diagnóstica 1.

Completa los siguientes enunciados: a) Los números reales se dividen en:

y

.

b) Los números racionales son aquéllos que se pueden representar por . c)

Los números enteros pueden ser

d) Los números naturales abarcan los números e) Una fracción es el forma que en f) 2.

a b

. .

de dos números enteros, de tal y, b el de

Se dice que dos fracciones que representan al mismo número racional se .

Representa en la recta numérica: a) 5 + 8 − 3 b) −4 + 2 + 6 − 5

4

, a recibe el nombre de .

y

Unidad I Introducción al Álgebra 3.

Representa en los círculos las siguientes fracciones: 2

a)

b)

3

4.

2

3 5

Realiza las siguientes operaciones en una hoja y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas. a) b) c) d) e) f)

3.25 + 12.42 + 8.3

Respuestas

65.4 − 16.81

a)

3.12 × 5.2 2 3 3 5

3 +

×

4

b)

5 −

c)

6

d)

7 6

Convierte a fracción impropia

g) Convierte a número mixto h) Convierte a decimales 5.

c)

1

12 5

i) Convierte a fracción 0.75 Resuelve el siguiente problema.

23 4

3

2

e)

7

f) g) h) i)

Luis, Jorge y Rosy fueron a la papelería a comprar un material que necesitan. Luis adquiere una libreta, un bolígrafo rojo y otro negro, un lápiz y una goma; Jorge pide dos libretas, una regla, un lápiz y un bolígrafo azul; y Rosy solicita una libreta, un bolígrafo rojo, un lápiz, una goma y una regla. Si en la papelería las libretas cuestan 23 pesos, los bolígrafos 12 pesos, los lápices 9 pesos, las reglas 7 pesos y las gomas 3 pesos... a) ¿Cuánto pagaron en total?

b) Si Jorge pagó con un billete de 100 pesos, ¿cuánto le dieron de cambio? c)

Luis sólo llevaba 50 pesos, por lo que Jorge tuvo que prestarle dinero para completar su pago. ¿Cuánto dinero tuvo que prestarle Jorge?

d) ¿Cuánto dinero le quedó a Jorge cuando regresaban de la papelería?

5

Álgebra Hecho social “El presupuesto de la escuela es el resultado de un proceso que comienza desde que la escuela elabora su plan de trabajo y su estudio de necesidades, que no es otra cosa, que la manera de llevar a cabo dicho plan. Una vez realizadas las dos actividades anteriores, se deben cuantificar las asignaciones que se requerirán para poner en acción el plan de trabajo”. http://www.de.gobierno.pr/desarrollo-del-presupuestode-escuelas-para-el-plan-comprensivo-escolar

En efecto, las escuelas requieren de cierto presupuesto para funcionar. Y como se señala en el párrafo anterior, este presupuesto debe estar basado en las necesidades que generen las metas especícas de cada comunidad escolar. Esta comunidad requiere de una cantidad de recursos para pagos de salarios de todo el personal laboral, para servicios como luz, agua, teléfono, también para la cobertura de consumibles como papelería, cartuchos de impresoras, gises o marcadores, pizarrones, borradores, etcétera. Y todo esto implica que casi siempre el presupuesto no es suciente para mantenimiento, mejora de instalaciones y mobiliario, programas de capacitación docente y administrativa, atención y vigilancia a las cooperativas, entre otras cosas. Para lograr avances en estos aspectos, las comunidades escolares deben integrar a todos sus elementos (estudiantes, docentes, directivos, padres de familia, intendentes, administrativos). Las escuelas que consiguen más avances son aquéllas que apoyan las propuestas de estos participantes dándole prioridad a sus estudiantes, cuyas iniciativas son especialmente enriquecedoras porque permiten oportunidades no sólo de cooperación con las metas de la comunidad, sino de aprendizaje contextualizado por competencias. Este es el hecho social que nos preocupa tratar en todo el curso de Álgebra: la necesidad de optimizar el aprovechamiento de los recursos en una comunidad escolar. Las matemáticas representan un área disciplinar de altísima aplicación en nuestra vida cotidiana, razón por la cual en este curso de Álgebra te vamos a pedir que te involucres en la reexión sobre el hecho social, mencionado a través de un conjunto de retos que nos permitirán la aplicación de lo aprendido en nuestro día a día. La actividad que nos ocupará en el transcurso de este curso será preparar un plan de ahorro para el gasto escolar, haciendo uso de nuestros conocimientos algebraicos, de lo aprendido en otras asignaturas e inclu so de lo que se vaya sugiriendo durante las clases con el n de proponerlo a nuestras autoridades y padres de familia. Vamos a suponer que la escuela quiere calcular su presupuesto de gastos, así que hay que comenzar por elaborar una lista de las necesidades que se deben cubrir, que incluya las cantidades exactas que se requieren para ello. Para organizar la planeación del presupuesto, se debe abrir una tabla a partir de la lista inicial con una columna paralela para el costo mensual, el cual se basará en el cálculo de las cantidades de producto requeridas por el costo unitario del mismo. La suma de estas cantidades constituirá el presupuesto de gastos escolares. Sin embargo, no contamos con toda la información necesaria, por ejemplo; necesitaremos paquetes de papel higiénico. Como somos una escuela pequeña, gastamos 21 rollos a la semana, según los datos del intendente. Así que si tengo la cantidad exacta de y semanas que comprenderán nuestro ciclo escolar x, y la multiplico por 21, tendré la cantidad de rollos que necesito, y si el resultado lo multiplico por el costo del rollo z , obtendremos el presupuesto para este rubro.

6

Unidad I Introducción al Álgebra Al realizar un razonamiento creativo como estudiantes de Álgebra, tal vez podamos encontrar una forma de ahorrar. Un razonamiento tal sería, por ejemplo, el siguiente: si utilizo rollos más voluminosos que los convencionales, ¿el presupuesto bajará? Ahora bien, si emprendemos una campaña de buena utilización del papel higiénico y les pedimos a los compañeros ahorrar para ajustarnos a un presupuesto dado, podemos utilizar el razonamiento inverso, es decir: tenemos este presupuesto x para cubrir y semanas, lo que signica que de hoy en adelante tendremos que arreglarnos para gastar 16 rollos a la semana y no 21, ¿habrá un ahorro? Ejemplos como los anteriores los podemos encontrar en la vida cotidiana. Estas sugerencias de ahorro en la comunidad escolar se realizarán en tres rubros en todo tu libro: cálculo de presupuesto para colocación de piso al patio escolar (Unidad 1), sugerencias para el ahorro en consumibles escolares (Unidad 2) y, por último, opciones novedosas y creativas para realizar un pago motivador y digno a los trabajadores escolares (Unidad 3). Además de permitirnos realizar un ejercicio de reexión sobre lo que nuestra educación cuesta a los ciudadanos, esta situación didáctica nos brindará la oportunidad de apreciar el valor del álgebra para poder superar retos y situaciones de vida como estas y encontrar soluciones de manera casi mágica, por lo que esta disciplina también resulta divertida. ¿Comprendes ahora la utilidad que el álgebra puede tener en nuestra vida? Ahora que conozcas más, se te ocurrirán muchas nuevas ideas.

Actividad detonadora de ideas A través de una lluvia de ideas, mencionen todas situaciones problemáticas que recuerden de manera inmediata en las que el álgebra pudiera ayudarles a encontrar situaciones.

El reto Tu grupo fue seleccionado para presentar el presupuesto de un nuevo piso para el patio de tu escuela. Este piso deberá ser de tipo adoquín cuadrado. La razón por la que se les eleigió a ustedes es que la comunidad escolar confía en su capacidad para encontrar un piso con precio accesible y material resistente para uso rudo, que genere un ahorro significativo. Este reto lo desarrollarás a lo largo de todo la unidad, con la ayuda de los diversos temas y actividades pensados para que te resulten de utilidad en la búsqueda de su solución.

Delimitando el reto El reto: Calcular y aplicar

¿Cuál es el conicto especíco a resolver? ¿En qué situaciones de tu comunidad puede ser útil este conocimiento? ¿Qué benecios traería a la comunidad escolar la solución de dicho conicto? 7

Álgebra Planeación de actividades Para organizar mejor el trabajo que debes realizar para solucionar el reto planteado, es importante que consideres los siguiente puntos: a) Trazar un plano del patio donde se indiquen sus medidas. Pueden elaborarlo con un editor de grácos (como Paint). Como no tienen un sistema de medición profesional, deben implementar alguno que sea lo más conable posible. Observaciones:

b) Escribir las expresiones algebraicas necesarias para hallar el área del patio. Pueden dividir el patio en diferentes cuadrados y rectángulos a n de que las medidas sean exactas. A esto se le llama un levantamiento de datos. Observaciones:

c)

Investigar cuánto cuesta el metro cuadrado de diferentes materiales para adoquinar, y de qué manera lo venden (recuerda que debe ser adoquín cuadrado). Qué otros materiales se necesitan para colocar el adoquín y cuánto cuestan. También investiga cuánto se cobra aproximadamente de mano de obra por colocar el piso. Observaciones:

d) Al nal debes entregar con tu equipo los siguientes productos: 







8

El plano del patio de tu escuela, donde se indiquen las medidas de cada uno de sus lados; marca los rectángulos o cuadrados en que dividieron el área. Una maqueta a escala del patio de tu escuela, donde se simule la colocación de adoquín. Indica qué escala utilizaste. Reporte en una hoja electrónica (Excel) donde en forma de presupuesto, se indique:  Cuántos metros cuadrados de adoquín se deben comprar.  Cuál sería el importe del adoquín.  Qué otro material se requiere y su importe.  Precio de mano de obra.  Gastos adicionales.  Total del importe para la colocación del adoquín. Reporte en un editor de textos (Word) que incluya los siguientes puntos:  Descripción de la manera cómo resolvieron la medición del área del patio.

Unidad I Introducción al Álgebra Sugerencias concretas para generar ahorro en la colocación del adoquín para el patio escolar. Aprendizajes aprendidos acerca de la colocación de adoquín. Hoja anexa con las expresiones algebraicas necesarias para calcular el área del patio, donde se indique qué sistema de medición se empleó y su equivalencia en metros. Observaciones: 

 

Reexiona: ¿Qué información teórica necesitas para afrontar este reto?

Expresión algebraica Para comenzar, te proponemos la siguiente lectura:

¿Cómo se calculaba la distancia en la Antigüedad?1 En la época en que se construyó el templo de Amón ––entre 1524 y 1212 a. C.—, el codo real era en Egipto la medida estándar […] La mayoría de los pueblos que comerciaba con Egipto, desde los nubios en el sur hasta los babilonios en el noreste, adoptó el mismo sistema. Aunque la unidad de medida variaba de una región a otra, siempre se basaba en las dimensiones del cuerpo humano. […] […] Como señal de respeto hacia el más poderoso de los dioses del panteón egipcio, las esnges de piedra que anqueaban la amplia avenida que conducía hacia el templo de Amón, en Tebas, se colocaron de manera equidistante. Armado de una vara de palma de un codo de largo, el maestro constructor se encargó de medir las distancias con toda precisión. […] […] El codo real equivalía a la distancia del codo hasta la punta de los dedos extendidos, unos 53 cm. El codo se dividía a su vez en 28 djebas (dígitos), equivalentes al ancho de un dedo. Cuatro dígitos sumaban un shesep, el ancho de la palma. Un codo real constaba de siete palmas y un codo corto de seis (unos 45 cm). Para medir distancias más largas, los egipcios empleaban la khet (vara), que equivalía a 100 codos (52 m) y el iteru (río), equivalente a 20 000 codos (10 km). […]

Templo de Amón, en Tebas.

[…] Hacia el 1 000 a. C., los griegos empleaban un sistema de medición basado en el codo corto egipcio (46 cm). El codo se subdividía en 24 daktyloi (dígitos), 16 de los cuales equivalían a la longitud de un “pie” (30 cm). El sistema griego se transmitió a los romanos, quienes subdividían el pie en 12 unciae (pulgadas). Un paso equivalía a cinco pies y mil pasos a una milla (del latín, mille o mil). […] Los soldados de la antigua Roma calculaban sus marchas, cada uno con su alcance de un paso doble, cerca de cinco pies (un metro y medio). Hoy una zancada es el equivalente a un paso o, aproximadamente, 90 centímetros. […]

1

http://mx.selecciones.com/contenido/a1901_como-se-calculaba-la-distancia-en-la-antigedad

9

Álgebra En el norte de Europa también se empleaba el codo —longitud del antebrazo y la mano, equivalente a unos 18 dígitos egipcios— para medir la tierra. Los romanos encontraron su uso tan arraigado que se vieron obligados a adoptarlo. Desde el 3 000 a. C. hasta mediados del siglo XIX, el codo fue la unidad básica de medida en toda Europa, si bien en las diferentes regiones se le otorgaban distintos nombres. El problema de usar el cuerpo humano como base del sistema de medidas es la dicultad de establecer una medida uniforme. En el siglo XII, los ingleses resolvieron el problema deniendo la yarda en función de la longitud del brazo del rey Enrique I. Sin embargo, los sucesivos monarcas impusieron su propio brazo como unidad de medida, hasta que en el siglo XVI, Isabel I logró unicar el sistema para siempre, al establecer la yarda compuesta de 36 pulgadas. […] La profundidad de los fondos marinos se medía con una sonda de cuerda. Los marinos griegos del siglo V a. C. la dividieron en brazas: longitud que separa la punta de los dedos de una mano de los de la otra mano con los brazos extendidos […].

Como puedes observar en la lectura, el hombre ha tenido la necesidad de crear diferentes sistemas de medición que aun cuando variaban de un lugar a otro, poco a poco se tuvieron que ir unicando hasta llegar a los sistemas de medición actuales. Cada unidad de medida era representada por un símbolo o un nombre; al igual que en el álgebra, se representan las cantidades conocidas y desconocidas.

Actividad de aprendizaje 1 Actuando sobre la realidad Para ayudarte a superar el reto, te proponemos que realices los ejercicios que se te presentan a continuación: 

Utiliza diferentes sistemas de medición para contestar lo siguiente.

10 zancadas

s o d o c 7

Fig. 1.1 Se pueden utilizar diferentes sistemas de medición.

10


¿Cómo expresarías el perímetro del rectángulo de la gura 1.1?

2.

¿Cuánto miden una zancada y un codo tuyos en centímetros?

3.

Con las medidas dadas en la pregunta 2, ¿cuál sería el perímetro de la gura 1.1?

Realiza lo siguiente:

Unidad de medida



Traza un plano de tu casa y de cada una de sus habitaciones utilizando algún tipo de medida como las que usaban en la Antigüedad.



Realiza una maqueta de tu casa y de sus habitaciones, indicando las medidas de cada parte en el sistema de medición que utilizaste.



Toma una fotografía aérea de tu casa (puedes utilizar Google Earth), imprímela y escribe las dimensiones que tienes de acuerdo con tus mediciones. Agrégala a tu maqueta.



Al nalizar la unidad, en plenaria presenta tu maqueta con la siguiente información.

Largo de tu casa

Ancho de tu casa

Perímetro en las unidades dadas

Equivalencia de unidad de medida en metros

Perímetro en metros

Codo

Zancada

Nudo

Otra medida

¿Qué pasaría si extendieras este ejercicio y tu reto a otros contextos, como por ejemplo a tu casa?

¿Qué aspectos cambiarían si trasladas este reto a otro lugar?

11

Álgebra Afrontando el reto En Álgebra se realizan las mismas operaciones que en la Aritmética: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.

En aritmética se utilizan números concretos, representados por los dígitos. En álgebra se emplean números concretos para representar cantidades conocidas y determinadas, y letras que representan todo tipo de cantidades, tanto conocidas como desconocidas.

Atributos a b

desarrollar:

Perímetro = 2 a + 2b Cantidades no conocidas: a y b Cantidad conocida: 2

a

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas.

Cuando se combinan cantidades numéricas y letras relacionadas entre sí por los signos de operaciones aritméticas, se forma un a expresión algebraica.

6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identica prejuicios y falacias.

Una expresión algebraica incluye una o más operaciones algebraicas. En la expresión algebraica intervienen números concretos y letras del alfabeto para representar números.

Actividad de aprendizaje 2 Actividad de construcción de soluciones ¤

Fig. 1.2 Jardín.

Esta actividad te ayudará a afrontar tu reto porque te permite representar dimensiones, cálculos de área y supercie.

Se desea colocar pasto en rollo en un jardín que tiene la forma que se muestra en la g. 1.2 y se necesita saber cuántos metros cuadrados de pasto se deben adquirir. Sólo se colocará pasto en las áreas que aparecen en color verde. Se sabe que cada parte del jardín en donde se instalará el pasto es similar a las demás y sus lados miden lo mismo. Forma pareja con alguno de tus compañeros y analicen la información que se les ha proporcionado para responder las siguientes preguntas. Después de contestar, comenten sus respuestas con el grupo. Consigue información inicial indispensable para resolver el problema.

12

1.

¿En cuántas partes está dividido el jardín en donde se colocará el pasto?

2.

¿Qué forma tiene cada parte del jardín en donde hay que colocar el pasto?

3.

Para una sola parte del jardín, ¿cómo podrías calcular el número de metros cuadrados de pasto en rollo que se necesitan colocar?

4.

¿Qué fórmula podrías utilizar para hallar el total de metros cuadrados de pasto que se necesitan para todas las partes del jardín?


¿Qué información conoces, y cuál desconoces?

6.

En la fórmula área = lado 2, ¿con qué nombre se le conoce al número 2?

Desarrollo del reto Te sugerimos que durante el desarrollo del trabajo, sigas estos pasos: 1.

Establece la información que necesitarás para el manejo y procesamiento de los datos que se requerirán para la solución del conicto.

2.

Durante el desarrollo de tu trabajo redacta una bitácora en la que registrarás los problemas, soluciones y aspectos más relevantes del desarrollo de tu i nvestigación.

3.

Elabora un diagrama en donde representes cronológicamente el avance que realices en tu investigación.

4.

Comienza a vaciar la información de tu presupuesto en una hoja de cálculo, para lo cual puedes consultar tu libro de Informática para conocer los criterios especícos. Tipos de materiales

Costos

Medidas

Primer presupuesto

Reexiona: Consulta la teoría siguiente para solucionar el reto.

Término algebraico o monomio Es una expresión algebraica formada por números concretos y literales no separados entre sí por el signo + o ‒, es decir, son expresiones formadas por números, símbolos y letras que expresan operaciones, excepto la suma o la resta. Sus elementos son: signo, coeciente, literal y exponente. Elementos de un término

Signo

Coeficiente

2

‒3 x

Exponente

Literal

13

Álgebra Signo. Indica que un término es positivo, si va precedido por el signo +. El

término es negativo si lo precede el signo −. Cuando se omite el signo de un término, signica que el término es positivo. Términos positivos y negativos -5

ab

4

wz

Términos positivos y negativos +2

xy

Coeficientes

Generalmente se utilizan las primeras letras del alfabeto para representar cantidades conocidas (a, b, c) y las últimas para cantidades desconocidas ( x , y , z ), aunque pueden utilizarse indistintamente letras como (m, n, p).

-5

ab

wz

4

+2

xy

Literales

Coeficiente. Son los números concretos que aparecen multiplicando a las lite-

rales. Éstos siempre anteceden a las literales, aunque esto es más bien una costumbre, ya que la conmutatividad del producto permite escribir los factores en cualquier orden. Términos positivos y negativos: 4

+2 xy

2

6w z

Términos positivos

3

2

‒4 xyz

Término negativo

Parte literal. Está formada por las letras o símbolos que aparecen en el término con sus exponentes correspondientes.

Grado de un término Grado. El grado de un término está dado por los exponentes de sus literales y puede ser

absoluto o en relación con una letra.

Grado absoluto de un término

Es la suma de los exponentes de sus factores literales

5a³b² su grado absoluto es 5

‒7mn⁶ Su grado absoluto es 7

14

Grado en relación a una letra

Es el exponente de dicha letra

8 xy ³ z ² x es de grado 1 y es de grado 3 z es de grado 2


Términos semejantes Términos semejantes son dos o más términos que tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras y, cada una de las cuales con el mismo exponente. Términos semejantes

Términos no semejantes

ab2, −3ab2

− x 2y 3, 5 xy 3z

15m2n3, −8m2n3

14 xy , 3 x

Términos no semejantes son dos o más términos en los que no coincide completamente la parte literal, ni en las letras ni en los exponentes. Atributos a

Ejercicio 1 Aplicación de soluciones Esta actividad te ayudará a afrontar tu reto porque más adelante calcularás áreas, las cuales son expresiones que contienen monomios. Esta actividad tiene como n el que puedas, de primera instancia, describir todo lo que hay en un término, ya que necesitarás convertir unidades de longitud y área usando fórmulas algebraicas.

¤

I. De acuerdo con el término indicado, completa la siguiente

desarrollar:

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

tabla: Término 3

2

3 x y

Signo

Coeficiente

Parte literal

+

3

x y

3

2

Grado absoluto

5

Grado de cada letra

x grado 3 y grado 2

−12 x 2 y 4

abc

15

Álgebra Término

Signo

Coeficiente

Parte literal

−

5

ab c

Grado absoluto

Grado de cada letra

−8

+25 xyz 1 2

3

4

2

w x y

−

2

2

3

a b c

3

2

3

x grado 1 +

y grado 3

1

z grado 1 −

8

mn

4

Clasificación de expresiones algebraicas Afrontando el reto De acuerdo con el número de términos que contenga una expresión algebraica, ésta se puede clasicar como monomio o como polinomio.

Monomio Es una expresión algebraica formada por un solo término

5

, − x , 8ab . Como cualquier término algebraico, está compuesto por un signo, un coe ciente, parte literal y exponentes. →

3

2

xy

2

Cuando existen dos o más letras en la parte literal, indica que éstas se están multiplicando y que, a su vez, se multiplican con el coeciente. El exponente de cada literal indica a qué potencia está elevada dicha letra. Una característica importante de los monomios es que no expresan sumas ni restas. 16


Polinomio Es una expresión algebraica que indica la suma o resta de dos o más términos no seme jantes; es decir, se suman o restan términos con partes literales diferentes.→ 3 x + 2 x − 4 2

, a 2 − b2 ,

3 5

x

3

− 2x

2

y

+

xy

2

+

3

y

.

Los polinomios más comunes son los binomios y los trinomios. Binomio. Polinomio formado por dos términos

→

Trinomio. Polinomio formado por tres términos

x

→

2

− 9 y 2 , x 3 + 1 .

a − b + 1, x

2

+ 10 x + 25.


Puede ser

Más comunes Polinomio

Monomio

Uno solo

Más de uno

Binomio

Trinomio

Término Contiene dos

Contiene tres

Grado de un polinomio El grado de un polinomio, con respecto a una letra, es el mayor exponente que tiene la letra en el polinomio. Ejemplo 4

2 x y

2

3

− 3 xy

+5

El polinomio es de grado 4 con respecto a x , y de grado 3

→

con respecto a y . Un polinomio también tiene grado absoluto, que es el mayor grado absoluto de sus términos. Ejemplo

Para el polinomio

5

4 x y �

−5x

4

y

8

+ 3x

3

y

5

− 10 x

2

7

y

�  

�  

�   

12

8

9

6

, el grado absoluto es 12, el

grado con respecto a x es 5 y el grado con respecto a y es 8.

Ordenar un polinomio

Consiste en ordenar todos los términos de un polinomio con respecto a los exponentes de una letra, de manera que los exponentes de la letra queden ordenados de forma ascendente o descendente. Ejemplo

x − 54 x + 36x − 8x respecto a los exponentes de x. 2

27

12 y

4

−

3xy

3

3

+

2

7x y

4

2

Polinomio ordenado de manera ascendente con

→

− 15 x

3

y

+

4

8 x

Polinomio ordenado de manera descen-

→

dente con respecto a los exponentes de y.

17

Álgebra

Ejercicio 2

Atributos a desarrollar:

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Construcción de soluciones Construcción de expresiones algebraicas I.

6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

Utiliza los signos, coecientes y literales de los renglones del recuadro para formar monomios, binomios y polinomios. Escribe cada ejemplo en la columna que corresponda. Ordena los polinomios de acuerdo con su grado de manera ascendente o descendente. Escribe por lo menos cuatro ejemplos de cada tipo. x 4 , x 3 , x 2 , x , − + , y , y 2 , y 3 , y 4

6,

23

12

,

,

45

32

3

,

5

,

5

,

7

4 9

,

1 4

,

7 8

, 4 , 1, 5

, a 4 , a3

a2 , a , c , c , c3 2

c 4 , c 5 , b 4 , b3 , b 2 b , m , n , p , q , r Polinomio Monomio

Binomio

Trinomio

Más de tres términos

Reexiona: ¿Qué parte del planteamiento del reto puede expresarse en términos matemáticos? ¿Se le podría expresar con monomios o polinomios, binomios o trinomios? ¿Por qué? Atributos a desarrollar:

4.3 Identica las ideas clave en un texto o discurso oral e inere conclusiones a partir de ellas. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

18

Actividad de aprendizaje 3 Actuando sobre la realidad Esta actividad te ayudará a afrontar tu reto porque tendrás que dividir el patio que deseas adoquinar en formas geométricas tales como: rectángulos, cuadros, etcétera, cuyas áreas deberás calcular para obtener una suma total al nal. ¤

Los alumnos de bachillerato, como servicio social, tuvieron que separar los materiales reciclables de los contenedores. Cada grupo reportó de la siguiente forma los productos que recolectó:

Unidad I Introducción al Álgebra Semestre

Producto

Primer Semestre

135 latas de aluminio

28 cajas de cartón

112 botellas de PET

Tercer Semestre

18 cajas de cartón

57 botellas de PET

157 latas de aluminio

Quinto Semestre

14 cajas de cartón

136 latas de aluminio 137 botellas de PET

Responde y desarrolla las siguientes preguntas en tu cuaderno y en la siguiente tabla. Al terminar, compara tus respuestas con las de algún compañero y comenten sus resultados con el grupo. 

¿Cuántos productos de cada tipo se reunieron en total?



¿Explica con tus palabras qué procedimiento utilizaste para calcular el total recolectado de cada producto?



¿Cómo se llaman los productos que comparten características similares?

PET (polietileno tereftalato) es un material fuerte, de peso ligero, de poliéster claro. Se usa para fabricar recipientes para bebidas suaves, jugos, agua, bebidas alcohólicas, aceites comestibles, limpiadores caseros, etcétera. Los recipientes son 100% reciclables, sin embargo, no sólo es su cualidad de reciclaje lo que lo hace amistoso para el medio ambiente, sino su ligereza, la cual, ayuda a disminuir la formación de desechos de empaque, al tiempo que reduce la emisión de contaminantes durante su transporte. Fuente: www.eumed.net

Semestre

Producto

Primero Tercero Quinto Total

Desarrollo del reto Te sugerimos que durante el desarrollo del trabajo sigas estos pasos: 1.

Investiga cuál es el costo de la mano de obra.

2.

Consulta diversos presupuestos y realiza un cálculo sobre el tiempo de trabajo, ya que entre menos tiempo, más ahorro.

3.

Por último, elabora un presupuesto que vincule mano de obra y horas aproximadas de trabajo. Mano de obra

Costos

Tiempo de trabajo

Presupuesto por horas de trabajo


19

Álgebra

Reducción de términos semejantes Esta operación consiste en simplicar o reducir la suma o resta de dos o más términos semejantes a un solo término.

Términos semejantes con el mismo signo

Se suman los coeficientes y se coloca el mismo grado

2 xy + 3 xy

‒3 x ² ‒ 5 x ² ‒ 8 x ²

5 xy

‒16 x ²

Actividad de aprendizaje 4


4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Construcción de soluciones Reduce las siguientes expresiones algebraicas. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

I.

Respuestas

1.

9.

2.

10.

3.

11.

4.

12.

5.

13.

6.

14.

7.

15.

8.

16.

1.

3.

20

5mn

2

3

+ 12mn2

13 x yz

2

− 43x 3 yz 2

2.

4.

5ab + 3ab

2 3

3

x y

4

+

1 3

3

4

x y


5.

3 2

2

2

x y

+

1 2

2

2

2

x y

3

7.

−

9.

8a b + 5a b + 2a b

5

xy

−

2

2

11. −9 xy

xy

2

2

z

4

2

− 11 xy 2 z 4 − 7 xy 2 z 4

13. −4rs − rs − 9rs − 2rs − 3rs

6.

1

8.

2

10.

5 xyz

12.

6mn + 13mn + 4mn + 5mn

2

ab c

2

3

+

2

2

3

3

w + w 2

2

5

+ 9 xyz + 6 xyz

14. x + 3x + 2 x + 1 x 3

15. − 3 xy − 1 xy − 1 xy − 3 xy 2

4

2

2

2

4

3

ab c

3

3

3

5

10

16. −2w − w −

2

2

w

Términos semejantes con signo distinto Dos términos semejantes con signo distinto

Varios términos con signos distintos

Se restan los coeficientes y se coloca el signo del mayor

‒5 x ² y ³ + 8 x ² y ³

4 x ² y ³ ‒ 13 x ² y ³

3 x ² y ³

‒9 x ² y ³

Se suman los coeficientes del mismo signo y se procede como en el caso anterior 3 xy ‒ 5 xy + 14 xy ‒ xy ‒ 6 xy + 2 xy

19 xy ‒ 12 xy

= 7 xy

21

Álgebra




Construcción de soluciones I.

Reduce los siguientes polinomios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

22

20.

1.

−5m n

3.

3

5.

−28ab

7.

+

9.

−

2

3

2

+ 12m n

3

x − 8 x 2

2

2

c

3

1 3

2

3

ab c

2 wz −

3 4

+

xy

+

5

wz

2 xy

14ab c

4.

12mp − 25mp

6.

13 xy

− 13xy

8.

4

2

10.

3

2

3

2

3 xy

13.

−15ab +

15.

+21mn − 12mn − 3mn −

12.

+ 18 xy − 15 xy

+

4ab

8mn

14.

16.

− 23ab 2c

x y z

2

5

−

5 6

2

2

2

x y z

z − z 2

8

11.

12ab − 9ab

2.

2

6

2

7 x y

2

− 9x

2

y

2

+ 12 x

−12 xyz − 9 xyz +

3

15 x y

2

−

3

45 x y

2

2

9 xyz

−

3

2

y

+

x y

2

4 xyz

+

3

24 x y

2

+

3

x y

2


17.

12 5

19. y

x

2

2

−3

1 −

y

7

x

2

3

2

−

10

3 −

+

14

y

2

2x

+

2

4y

6 +

2

5

18.

x

2

−2

20.

y

2

2 −

3

1 −

3

5

4

6

a − a − 2a + 8a + a

z

2

3

2 −

5

z

2

3 +

2

z

2

5 −

6

z

2

+

z

2

En un polinomio puede haber diferentes clases de términos semejantes, los cuales se agruparán de acuerdo con sus literales, haciendo coincidir tanto las literales como sus exponentes correspondientes. Reducir términos semejantes de distinta clase en un polinomio

Se agrupan los términos que coincidan en literal y exponente y se reduce cada grupo

2 x ‒ 3 y + 7 z + 4 y ‒ 5 x + 6 z ‒ x ‒ 2 y + 8 x + z 2 x ‒ 5 x ‒ x + 8 x ‒ 3 y + 4 y ‒ 2 y + 7 z + 6 z + z 4 x ‒ y + 14 z

Actividad de aprendizaje 6 Construcción de soluciones Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas.

I.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

1.

2n + 3mn

2.

13 x

3.

c

2

3

2

+

− 15

x

2 − 8a

2

− 5m n

2

+

+3

2

b

x

3

3

+

−

− 5c

8mn

4x 3

+

2

+5

a

−

− 5n + 6mn

x

2

− 11

2

4b

+

x +x

2c

3

+



2

− 12m n

2

2

+9

x

−

3

+n −6

4 x

2

4

23

Álgebra 4.

−15a −

5.

x

6.

+12 x

1

8.

12

3

{ } Llaves [ ] Corchetes

2

y

2

y

−

2

b

+

4x

3

x

2

5

2

4 x y

3

+

7y

4

+ 2b +

− 2x

2

2

xy

10

1 −

1 −

+

7

5

3

+

2 x −

x−

9 − 2 xy

3

+

6x

4 xyz

2

6

10

+

3 14

5

y

3 +

2

1 z −

3

y −8 +

4a − 7b + 21b

4y

+

9 xyz

1

5 −

2

9a

+ 13 +

w +

x + 3x

y + 3y

2

3

1 x +

−5

−2

+ 12a −

9 xyz

−

2 z +

5

10.

( ) Paréntesis

−

7.

9. y

Símbolos de agrupación

3

c

4

2

x y

4x

−

− 7x

2

y

3

+

2

y

2

3

+ 5x

8c

−

2

y

− 15 − 12xyz − 9 x

2

y

2

+5

4 w +

z

3

x − 2x

3

3

− 12c − 3a −

3 −

2

7

y

2

7 +

+

−5 −

5

4y

5 2

2

6 +

2

x y

5

x

−2

2

2

y

3

1 +

8

xy

Símbolos de agrupación Los símbolos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades contenidas en ellos deben ser consideradas como un todo. Los signos de agrupación se emplean también para alterar el orden de las operaciones. Cuando existen operaciones dentro de los signos de agrupación, éstas deben efectuarse primero. 3 × 5 +2

3 × (5 + 2)

12 ‒ 4

+7

12 ‒ (4 + 7)

3×5 +2

3 × (5 + 2)

12 ‒ 4

+7

12 ‒ (4 + 7)

15

+2 17

3 ×

7

8

21

+7 15

12 ‒

11

1

Suprimir símbolos de agrupación Para simplicar expresiones algebraicas en donde existen símbolos de agrupación, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

24



el signo que precede al símbolo de agrupación;



el orden en que se suprimirán los signos de agrupación, cuando existe más de una pareja.


Símbolo de agrupación precedido por signo ‒

Símbolo de agrupación precedido por signo +

Cada una de las cantidades contenidas en el símbolo de agrupación cambia de signo

Las cantidades contenidas en el símbolo de agrupación quedan con el mismo signo

‒(3a² ‒ 2b² + 5c ) ‒3a² + 2b² ‒ 5c

+(3a² ‒ 2b² + 5c ) 3a² ‒ 2b² + 5c Ejemplo

x 2 + 3 + ( 4 x 2 − x + 5) − 3x 2 + 4 x − 1 x 2 + 3 + 4 x 2 − x + 5 − 3x 2 + 4 x − 1 2 x 2 + 3x + 7

Elimina los paréntesis, y deja los términos con el mismo signo y reduce los términos semejantes.

Cuando existen términos semejantes dentro de los símbolos de agrupación, es preferible que los reduzcas antes de suprimir los signos. Esto te permitirá simplifcar tus operaciones.

Ejemplo

Elimina los corchetes, y camba el signo de los términos que se encuentran adentro de ellos. Después reduce los términos semejantes.

−12 y + 4 x − 3 y − 5 y − x 2 + 2 x  − 3x 2   2 −12 y + 4 x − 3 y + 5 y + x − 2 x − 3x 2 2

2

2

2

2

−2 x 2 − 7 y + 2 x − 3 y

Algunas veces los signos de agrupación se encuentran en el mismo nivel, por lo que se eliminan al mismo tiempo. Ejemplo 9a − 3b − ( −2c

+

9a − 3b + 2c

4b + a + 8c

−

4b

− a ) + 8c + +

(3b − 6 a + b )

3b − 6a

− 3c

+ b − 3c

4a − 3b + 7c


Actividad de aprendizaje 7 Construcción de soluciones Elimina los símbolos de agrupación de acuerdo con el signo que los precede y reduce. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas. Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.


25

Álgebra 1.

a + 2b + (5a − 4 b)

2.

2 xy

3.

8n −

4.

−

5.

−4w +

6.

3a + 2b − c

7.

1 3   1  3 −  x − y  + 2 x − y  − y + x 4   2  2 2

− [5 xy − 3] +

{−4

m −

(7 x

2

−3

{8

(

2

8.

3

9.

x + 4) + 6 x

2

m−

−

7

x

} − {−3

z − 3w + 5

− 5a

1 2

2

2 5

}+

2n + 12

3

) ( −

}−

w + z −1

−4b +

 

2a

1

−

4c

)

z +w −5

−a

 

 

5

y − 1 −  + y − y  + y +  − y + 4 

−(6m +

10.

4

x

2

2

2

6

6

2n − p) + ( −m − p) − ( −7n − 2 p + 5m)

1  3 6 3  1  1  3 −  x − y  + y −  x + y  + y +  − y + 4 x   5 10  5  5 5  10  2 

Si hay símbolos de agrupación dentro de otros signos de agrupación, se procede a suprimir de adentro hacia afuera, es decir, primero se suprimen los signos de agrupación más internos y después los que continúan.

3 x

−

2y

{−5 x − 4 − [ −5 y + 6 − (8 x + 4 y −1)] + y }

+

←

3 x

−

2y

−

2y

−

2y

←

→ →

←

→ →

{− 5 x − 4 + 8 x + 9 y − 7 + y }

+

←

3 x

−

2y

+

→

{ 3x + 10 y − 11} →

←

3 x

−

2y

+

3x

6 x + 8 y −11 26

→→ →

{− 5 x − 4 − [ −8 x − 9 y + 7] + y }

+

←

3 x

←

{−5 x − 4 − [ −5 y + 6 − 8 x − 4 y + 1] + y }

+

←

3 x

←

+ 10 y − 11

Los símbolos de agrupación más internos son los paréntesis; por lo tanto, son los primeros en eliminarse. Se eliminan los paréntesis y se cambian de signo los términos incluidos en ellos. Se reducen los términos seme jantes que se encuentran en los corchetes. Los siguientes símbolos de agrupación que se eliminarán son los corchetes. Se cambian los signos de los términos que se encuentran adentro de los corchetes. Reduce los términos semejantes que se encuentran contenidos en las llaves. Elimina las llaves, que fueron los símbolos de agrupación más externos. No se cambian los signos de los términos incluidos en las llaves. Simplica los términos semejantes.


Actividad de aprendizaje 8 Aplicación de soluciones I.

II.

Organizados en equipos, redacten una denición para cada uno de los siguientes conceptos: 

término algebraico



polinomio



expresión algebraica



monomio



clasicación de expresiones algebraicas



signos de agrupación



eliminación de signos de agrupación



términos semejantes



binomio


Intégrate en equipo con algunos de tus compañeros y, en una hoja de rotafolio, dibujen un mapa mental en el que representen los siguientes conceptos: término algebraico, expresión algebraica, clasicación de expresiones algebraicas, térmi nos semejantes, símbolos de agrupación, eliminación de signos de agrupación. Al terminar expongan frente al grupo su mapa.

6.3 Reconoce los propios prejuicios, modica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, deniendo un curso de acción con pasos especícos.

III. En las siguientes expresiones, remarca con rojo los signos de agrupación más

internos, de azul los que continúan y de verde los más externos. Después simplica el polinomio eliminando los signos de agrupación y reduciendo los términos semejantes. Presenten su procedimiento y sus resultados. Respuestas

1.

4.

2.

5.

3.

2.

{−3a + 2b −  4b − 3 + 5a + ( b − a + 1 ) − 3c  + 5} − c − 2b − {−  − (5 x − 2 y + 4 )}

3.

3m + 2n −  4 m − 2n

4.

−3ab − {−2bc + 8ac − (3bc − 2ac ) − 4ab + ( 2ac − 4bc − 2ab )}

5.

−5 xy − 3x 2 − 5 y 2 + ( y 2 − 7 xy ) − 4 xy − ( − x 2 + y 2 − xy ) + 6x 2   

1.

4−

{



− (5n + 6m − 4 ) − 8 + m} − 4n + 5

IV. A continuación, con el mismo equipo, comiencen a trazar un mapa conceptual que

ubique los conceptos anteriores y que demuestre grácamente las relaciones que entre ellos existen. Irán anando este cuadro en las secciones siguientes del libro, de manera que puedan tenerlo listo al nal de la unidad.

Desarrollo del reto Te sugerimos que durante el desarrollo del trabajo sigas estos pasos: 1.

Ordena la información de opciones de adoquín con las que cuentas y sus características como datos especícos de forma y tamaño.

2.

Colócala en un cuadro que te permita realizar una comparación visual fácil y práctica.

27

Álgebra 3.

Ubica un espacio en el que vayas a registrar este dato: “Piezas necesarias para cubrir un metro cuadrado”.

4.

Reexiona entorno a la importancia importancia de la forma y el tamaño del adoquín para nuestra nalidad, que es lograr el ahorro en este gasto necesario, y explica claramente tus conclusiones.

Opciones de adoquín

Piezas necesarias para cubrir un metro cuadrado

Importancia del tamaño y la forma



4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reexiva.

Representación algebraica de expresiones en lenguaje común Actividad de aprendizaje 9 Construcción de soluciones I.

Intégrense en equipos y elaboren un juego de adivinanza de números. Uno de los integrantes de cada equipo dará a conocer la adivinanza ante sus compañeros de equipo:

1.

Piensa en un número, súmale 3, multiplica el resultado por 10, réstale 20 y divide entre 5. Al resultado réstale el doble del número que pensaste.

2.

¿Qué número les dio como resultado?

3.

Si piensan en otra cantidad, ¿les da el mismo resultado?

4.

Reexiona y explica por qué obtienes estos resultados. ¿Pueden escribir la adivi nanza como una expresión algebraica? Hazlo a continuación.

Notación algebraica Afrontando el reto Las expresiones algebraicas constituyen relaciones matemáticas que permiten representar situaciones especiales o fenómenos físicos de manera concisa y clara. El motivo de utilizarlas es simplificar la transferencia de información.

28

Unidad I Introducción al Álgebra El matemático, astrónomo y geógrafo musulmán Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi se dedicó a tratados de álgebra y astronomía, entre otros estudios. Su tratado de álgebra es una introducción compacta al c álculo, usando reglas para completar y reducir ecuaciones. Además de sistematizar la resolución de ecuaciones cuadráticas, también trata de geometría, cálculos comerciales y de herencias. Quizá éste es el libro árabe más antiguo conocido, y parte de su título Kitab al-jabr wa’l-muqabala da origen a la palabra álgebra. 2 En el siglo IX el matemático-astrónomo Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi planteó el siguiente problema:

Encontrar un número cuyo cuadrado es igual a 40 veces el número menos 4 veces el número al cuadrado. Esta expresión se puede traducir a la siguiente expresión algebraica: n

2 =

40

n

−

4

Fig. 1.3 Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi (780-850).

n , en donde n es el número buscado. 2

Para resolver un problema matemático utilizando el álgebra, es necesario traducir el problema que se encuentra en un lenguaje cotidiano a un lenguaje algebraico. Para esto, es necesario identificar expresiones comunes que permitan la traducción del problema a una expresión algebraica y viceversa. Ejemplos

Lenguaje cotidiano


Un número cualquiera

x

Dos números iguales

x

y

2a

El doble de un número La diferencia de dos números

=

x

−

y

El producto de dos números

xy

El cuadrado de un número

x 2

La raíz cuadrada de un número

a

Dos números consecutivos enteros

x , x + 1

Un número par donde x es entero

2 x

Un número impar donde x es entero

x − 1

2

1 y

El inverso multiplicativo de un número diferente de cero El cuadrado de la suma de dos cantidades La mitad del producto de dos cantidades

(x

+

y

)

2

xy

2

Boyer, Carl B. (1992). Historia de la matemática. Alianza Universidad.

2

29

Álgebra De igual manera, una expresión algebraica puede traducirse a lenguaje cotidiano. Ejemplos


Lenguaje cotidiano

n 2

La mitad de un número

a+b

La suma de dos números

a

El cociente de dos números

b

y 3

El cubo de un número

2 x , 2 x + 2

Dos números pares consecutivos donde x es un número entero

a

2

La diferencia de los cuadrados de dos números

− b2

Una cantidad disminuida en 1

x − 1

Las letras de las cantidades desconocidas pueden escogerse indistintamente, pero se recomienda seleccionar letras que tengan que ver con el contenido del problema para acordarse de los datos que simbolizan. Ejemplos

Lenguaje cotidiano


El área del triángulo es el semi o la mitad del producto de su base y su altura. La edad de Carlos es el doble de la edad de Beto más 5 años.

C

La tercera parte de los alumnos son mujeres. M

Mario comió 3 ciruelas más que Laura y entre los dos comieron 12 ciruelas.


4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

30

=

a

bh

2

=

2B

m

=

=

+5

a

3

L + 3,

L+M

=

12,

L+L +3

=

2L + 3

12

=

12 o

Actividad de aprendizaje 10 Construcción de soluciones I.

En trabajo colaborativo, escriban al menos dos sinónimos de cada una de las siguientes expresiones verbales. Comenten sus resultados con el grupo y agreguen a su tabla aquellas palabras que no habían considerado.

Unidad I Introducción al Álgebra Expresión verbal

Sinónimos

Adición

Resta

Producto

Cociente

Cantidad

Equivale a

II.

Escribe la expresión algebraica que corresponde a cada enunci ado: Enunciado

1.

La suma de tres números

2.

La suma del cubo de dos cantidades

3.

La cuarta parte de la suma de dos cantidades

4.

La edad de Juan equivale a la edad de Luis disminuida en 5

5.

La diferencia del cubo de a y del cuadrado de b

6.

El producto de dos números consecutivos

7.

El doble de un número disminuido en 3


31

Álgebra Enunciado

8.

El cuadrado de una cantidad más su doble

9.

La mitad de un número al cubo


10. La raíz cuadrada de la mitad de la suma de dos cantidades 11. Se compraron cinco jícamas a $ p. ¿Cuánto costó cada jícama? 12. La diferencia de las edades entre tu papá y la tuya es de 28 años. 13. Juan tiene 14 canicas más que Pedro, y entre los dos tienen 67 canicas. 14. Si a Marcos le pagan a $17 cada metro cuadrado de pared que pinta, ¿cuánto le pagarán por una pared cuadrada que mide z metros de lado? III. Piensen en tres situaciones reales que puedan traducir a lenguaje algebraico y expón-

ganlas ante sus compañeros. Formulen el ejemplo como una expresión algebraica. Situación

32

Enunciado



Evaluación numérica de expresiones algebraicas Afrontando el reto Evaluar una expresión algebraica signica asignarle valores numéricos a las literales y, después, efectuar las operaciones indicadas. Ejemplos Evaluar la expresión si

m

y

=8

n

4 mn

=3

Sustituir m y n por los valores indicados 4 mn

4 × 8 ×3

=

Evaluar =

4 mn

96

Evaluar la expresión (a − b)( c + 2d ) si a =9

,

b =7

,

c = 5

y

d = 3

Sustituir a, b, c y d por los valores indicados (a − b )(c + 2d ) = (9 − 7)× (5 + 2 × 3)

Evaluar cada paréntesis por separado

(5 + 2 × 3) =

(9 −7) =2

(5 + 6) = 11

Multiplicar resultados de los paréntesis

2 × 11 = 22

33

Álgebra 5 xy + 3 xy 4 si x =2 y y =6 3

Evaluar la expresión: 2 x ‒

Sustuir x y y por sus valores

3

2 x −

5 xy + 3 xy 4

=

3 5 ×2 × 6 2 × (2) − + 4

3× 2× 6

Realizar operaciones de cada término

3

2 × (2) = 2 × (2 × 2× 2)= 2 × (8) = 16

5×2×6 4 =15

=

60

3 × 2 × 6 = 36 =6

4

Sumar y restar los tres términos

3 × 2 × 6 = 36 =7


Atributo a desarrollar:

4.3 Identica las ideas clave en un texto o discurso oral e inere conclusiones a partir de ellas.

Actividad de construcción de soluciones ¤

Esta actividad te ayudará a afrontar tu reto porque utilizarás fórmulas: área y perímtero, y realizarás cálculos: áreas totales y costos.

Leticia atiende la cafetería de la escuela y se almacenan los refrescos en cajas de plástico con cuatro espacios. Ella representa las cajas de acuerdo con el número de botellas que contienen cada una, conforme a la siguiente tabla: Número de refrescos por caja

34

Letra que lo representa

4

a

3

b

2

c

1

d

0

e

Unidad I Introducción al Álgebra El n de semana saca un inventario y obtiene la siguiente relación: Cajas llenas

4

Cajas con 3 refrescos

2

Cajas con 2 refrescos

1

Cajas con 1 refresco

3

Cajas vacías

6

I.

Organizados en equipos, reexionen en torno a las siguientes cuestiones, para después contestarlas en sus respectivos cuadernos:

1.

De acuerdo con la notación que dio Leticia a las cajas de refrescos, escriban una expresión algebraica que represente el inventario nal de refrescos.

2.

¿Cuántas botellas de refresco hay en existencia?

3.

Si al inicio de la semana todas las cajas estaban llenas, ¿cuántas botellas de refresco se vendieron?

4.

Como los refrescos son de diferentes sabores, ¿creen que exista algún motivo por el cual no rellena las cajas que tienen algún lugar vacío?

5.

¿Es válido que Leticia le entregue a su jefe el importe correspondiente a 35 botellas de refresco?

6.

Si Leticia sacó correctamente sus cuentas, entonces ¿qué informe debió darle a su jefe? ¿Y qué opinas de su actitud?

7.

En una hoja de rotafolio y con plumones de colores, representen sus respuestas y explíquenlas ante el grupo.

Ejercicio 3

desarrollar:

Construcción de soluciones ¤

Esta actividad te ayudará a afrontar tu reto porque los datos que obtengas de las mediciones del patio tendrás que sustituirlos en las fórmulas correspondientes.

Evalúa las siguientes expresiones para los valores de: a

=

5, b

=

3, c

1 =

Atributos a

2

, x

1 =

3

, y

1

=

4

Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10. 35

Álgebra 1.

5ab − 2ab

2.

3a

3.

−

2

ab 4

a b

+

− 3 y 2

6.

2 x

7.

a+b

2

2b −

2

2

6x +

3

b

c

2

8.

ab + 2a c

4. 5.

3 

 

( 2a − b )  2 − c 

9.

12 xy

 4a b   3 − 6  ( 2 x + 3 y )  

10.

4(1 − y ) 3

4.3 Identica las ideas clave en un texto o discurso oral e inere conclusiones a partir de ellas.

6( x

+

+

b2

y ) − c

−

2

x

−

x − y 4



+


Forma equipo con algunos de tus compañeros y reexionen y comenten sobre cómo pueden expresar algebraicamente el área de las siguientes guras. Tomen como unidad de medida los cuadrados que se muestran a continuación.

lado

= x

lado = y

área

2

área = y 2

= x

Sugerencia. Utilicen su compás para medir y comparar los lados de las guras.

área =

área = x 2 + 2 y 2

área =

área =

área =

área =

36

área =

área =


Actividad de metacognición 1.

¿Qué conceptos construí en esta lección?

2.

¿Por qué y para qué construí este concepto (estos conceptos)?

3.

¿Cómo me puede servir el aprendizaje de este concepto (estos conceptos)?

4.

¿Cómo construí este concepto (estos conceptos)?

5.

¿Qué tipo de actividades me funcionan mejor para aprender?

Análisis de resultados La siguiente actividad te permitirá realizar un compendio de todos los temas vistos en la unidad y obtener tus propias conclusiones con el n de ayudarte a superar el reto planteado. I.

Investiga lo que se te solicita y escribe ordenadamente tus respuestas en un editor de textos. Al terminar, imprime tu reporte. 

Encuentra diversos contextos en los que se utilizan expresiones algebraicas.



Elige algunas fórmulas de química y física y explica por qué son expresiones algebraicas. Identica cada una de sus partes.



Reexiona sobre el siguiente enunciado: “El álgebra es una parte de las matemáticas que formaliza la aritmética”. Interpreta con tus palabras dicha oración.



Organizados en parejas pregunten a alumnos de cursos superiores en qué situaciones aplican el álgebra. 37

Álgebra Para rearmar el conocimiento de los conceptos básicos del álgebra, resuelve el siguiente crucigrama:

II.

Lenguaje algebraico (conceptos básicos) 1

2

3

4 6

5 7 8

9

10

11

12

13 14 15

16 17 18

19

20

Vertical

1.

Acción de convertir un lenguaje a otro distinto

2.

Número concreto que antecede a las literales

3.

Letra que aparece en los términos y que representa valores

4.

Dos o más términos que tienen la misma parte literal y los mismos exponentes

5.

Expresión algebraica que contiene dos o más términos

6.

Convierte varios términos semejantes en uno solo

11. Expresión algebraica que contiene un solo término 13. Si a un término lo precede el signo de menos, el término es... 14. Expresión algebraica formada por números y literales 15. Conjunto de sonidos articulados con que el hombre maniesta lo que piensa y siente 17. Expresión algebraica que tiene tres términos 38

Unidad I Introducción al Álgebra Horizontal

7.

Indica si un término es positivo o negativo.

8.

Está dado por los exponentes de una letra.

9.

Se le asignan valores numéricos a las literales de una expresión algebraica y se resuelve por medio de una...

10. El matemático Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi era de origen... 12. Expresión algebraica que contiene dos términos 16. Se utilizan para alterar el orden de las operaciones. 18. Permite representar situaciones especiales o fenómenos físicos. 19. Si a un término lo precede el signo de más, el término es... 20. Nos permite comunicarnos diariamente a través del...

Construcción de conclusiones Estamos a punto de terminar este bloque y seguramente ya habrás concluido el informe que se te propuso como reto. Al hacerlo, ¿descubriste que el álgebra forma parte de más actividades de las que habías imaginado? ¿Consideraste que es importante estudiar esta disciplina matemática? ¿Estableciste vínculos entre el álgebra y otras disciplinas? Señalen que éste será el primer paquete de sugerencias que forme parte de su propuesta de Ahorro en el Gasto Escolar que realizarán durante todo el curso. Antes de que presenten su informe terminado, debes realizar lo sigui ente: 

Revisen que sus esquemas estén debidamente trazados y contengan las acotaciones necesarias para su lectura.



Veriquen que la tarjeta de presentación incluya los datos de todos los integrantes del equipo y que éstos sean los correctos. Con el resto de los equipos, orga nicen las exposiciones ante el grupo. Consideren el tiempo y espacio que le asignarán a cada equipo.



Al nal incluyan una denición propia para el concepto de expresión algebraica, y una reexión sobre las aplicaciones que ésta puede tener en diversos ámbitos de su contexto.



Redacten una conclusión que explique cómo un procedimiento matemático puede ofrecer una fórmula que permita, cambiando datos variables, resolver muchos problemas similares mediante el uso del álgebra.



Expliquen claramente cómo modelar una situación matemática puede ofrecer fórmulas cuya aplicación puede exportarse a otros espacios.



Y por último, escriban qué tiene que ver esto con la utilidad del álgebra en la solución de problemas de la vida cotidiana.

Presentación de conclusiones Es momento de presentar a su profesor el reto solucionado, es decir, el presupuesto. Organicen la información obtenida, determinen qué datos incluirán en su reporte, así como algunos ejemplos de cómo pueden colocar el material propuesto para adoquinar el patio de la escuela.

39

Álgebra Autoevaluación del desempeño que tengo con respecto a mis competencias Para autoevaluar el desarrollo de tus competencias en esta unidad, responde la siguiente lista de cotejo: Criterio

Comprendo una expresión algebraica cuando la escucho. Puedo explicar lo que es una incógnita con claridad. Puedo traducir datos e información de lenguaje coloquial a algebraico a fn de plantear y resolver un problema. Puedo explicar lo que es un término algebraico. Identifco y comprendo el grado de un término. Distingo un grado absoluto de uno relativo y puedo explicar la diferencia entre ambos Reconozco un monomio y un polinomio. Reconozco los elementos integrantes de un monomio. Puedo explicar lo que son los términos semejantes y dar ejemplos de situaciones en las que se encuentran. Interpreto símbolos algebraicos de agrupación, comprendiendo las jerarquías de las operaciones matemáticas en una expresión algebraica. Puedo modelar matemáticamente una situación problemática simple.

40

Difícilmente

Suficientemente

Bien

Excelente

Álgebra Superando el reto Rúbrica para evaluar la unidad Criterios

Inicial-receptivio

Resolutivo

Autónomo

Expreso ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas, considerando los requerimientos comunicativos de cada situación.

Tengo una buena noción de los conceptos subsidiarios de esta unidad pero no me es fácil expresarme haciendo uso de ellos.

Conozco los conceptos subsidiarios y los identico cuando se mencionan.

Aplico lo que he aprendido y, por lo tanto, he construido los conceptos subsidiarios.

Tengo dicultades al ordenar los elementos de un problema y, por lo tanto, no puedo relacionarlos con los requerimientos comunicativos de la situación.

Puedo expresar ideas muy simples usando representaciones matemáticas o grácas, pero no puedo determinar en qúe momento son recomendables o necesarias, a menos que cuente con la orientación de un experto. No encuentro la relación entre la resolución del reto y la teoría matemática que estoy estudiando. No puedo ubicar los espacios de aplicación para ella.

Comprendo códigos y símbolos matemáticos y soy capaz de utilizarlos aplicándolos a la situación correcta.

Identico una gran cantidad de símbolos matemáticos pero me confunden y no los comprendo bien, por lo que no sé en qué situación utilizar cada uno de ellos.

Comprendo diversos códigos y símbolos matemáticos e identico el tipo de situaciones en que cada uno se utiliza. Me parece un reto interesante ser capaz de emplear cada uno en la situación correcta.

Puedo expresar ideas simples y complejas a través de representaciones lingüísticas, matemáticas o grá cas, según el requerimiento comunicativo de la situación contextual. Puedo sugerir ideas que contribuyan a gastar menos utilizando mi capacidad de gestión de la información. Identico situaciones en las que puedo aplicar lo que estoy aprendiendo.

Identico códigos y símbolos mate máticos y los ubico en cada una de las diversas situaciones en las que pueden utilizarse. Por ejemplo, entiendo el papel que juegan los símbolos de agrupación y puedo relacionarlos con las jerarquías de operaciones en una expresión algebraica. Encuentro una explicación lógica que relaciona los símbolos matemáticos con cierto tipo de situaciones contextuales. Puedo explicar por qué este tipo de símbolos nos orientan a un pensamiento lógicamente correcto.

Relaciono la solución de problemas matemáticos con conictos contextuales de mi comunidad a través de la aplicación del álgebra.

42

Entiendo que debo aprender a resolver problemas matemáticos para poder estudiar niveles subsecuentes del área disciplinar, pero no encuentro posibilidades de aplicación contextual de la misma.

Resuelvo problemas matemáticos y comprendo, a través de los ejemplos que he conocido, que tienen una forma de aplicación al contexto, pero no puedo ubicar situaciones de la vida real que resolvería a través de estos aprendizajes.

Resuelvo problemas matemáticos de aritmética y álgebra utilizando todo lo que he aprendido hasta ahora para resolver todos los problemas que puedo a través de estos enfoques y procedimientos. Ayudo a otros a comprender la gran relación que existe entre el poder del pensamiento matemático y la resolución de problemas del contexto, y encuentro muy poderosa la competencia que esto representa en la vida cotidiana.

Unidad I Introducción al Álgebra Evaluación de evidencias de aprendizaje Es momento de evaluar tu desempeño ante el reto que afrontaste a lo largo de la unidad, utilizando la siguiente rúbrica que te ayudará a valorar tu trabajo. Aspectos a evaluar

Niveles de desempeño Inical-receptivo (6-7)

Resolutivo (8-9)

Autónomo (10)

Plano del patio de la escuela

El plano carece de diseño y los datos que presenta son falsos.

El plano presenta los datos solicitados, aunque con algunas inconsistencias. El diseño es aceptable.

El plano contiene los datos solicitados, con los cuales justica el proyecto; asimismo está presentado en la escala apropiada y tiene un diseño original.

Maqueta del patio de la escuela

La maqueta carece de diseño y no presenta los datos señalados.

La maqueta presenta algunas fallas en su escala, pero contiene información suciente.

La maqueta es presentada con los datos señalados y en un diseño original, y aporta nuevos conocimientos en su explicación.

Reporte del presupuesto (Excel)

El reporte carece de datos del presupuesto o son falsos.

El reporte presenta datos de manera dispersa evidencia un manejo inadecuado de las TIC.

El reporte presenta los datos del presupuesto y demuestra un uso adecuado de las TIC.

Reporte de conclusiones (Word)

El reporte no justica los conocimientos que llevaron a realizar el producto.

El reporte carece de información y de un orden lógico. Los datos se presentan de manera dispersa y nevidencian un manejo inadecuado de las TIC.

El reporte cuenta con una secuencia lógica del proceso, justica con argumentos, incluye una hipótesis para sustentar el proyecto y evidencia un buen empleo de las TIC.

Redacción del reporte

El reporte tiene faltas de ortografía, presenta una redacción descuidada y carece de formato.

El reporte cuenta con cuidados mínimos de formato, así como una con buena redacción y ortografía, aunque no resulta del todo adecuado para ser uno reporte académico.

El reporte es muy bueno y se entrega en forma y tiempo, con excelente ortografía y sintaxis.

Suma parcial

Suma total Puntaje del proyecto

43

Álgebra Hacia la prueba Enlace 1.

¿Cuál de las siguientes expresiones en lenguaje natural, expresa el sentido correcto de

1.

la expresión (2a + 1 − b)2 ? a) El cuadrado de la diferencia de un número impar y otro

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

b) Dos veces a mas uno menos b al cuadrado c)

El doble de un numero menos uno más una unidad al cuadrado

d) El cuadrado de un binomio disminuido en una unidad 2.

Si a es un número positivo y b un número negativo, ¿cuál de las siguientes expresiones es válida?:

2.

a) a es menor que b b) El simétrico de b es mayor que a c)

La razón de a entre b es menor que a

d) El simétrico de a es mayor que el simétrico de b 3.

Si a la diferencia de dos números, le adicionamos la suma de ambos, obtenemos siempre:

3.

a) El doble de la diferencia de ambos b) El doble del número mayor c)

El doble de ellos

d) No puede establecerse un resultado invariable

4.

Al efectuar

a − b − 2a + 3b − a

a)

−

d)

2a − 4 b − 1



(

+ b ) − 3 se obtiene:

4.

3b + 3 b) a − 3b + 3 c) a + b + 2

5.

En una reunión sucede que en cada grupo de 4 personas, al menos una es mujer. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión? a) 10 b) 15 c)

20

d) 28 Los presentes reactivos pertenecen al l ibro Preparación para Pruebas de Logro Académico, capítulo: La Prueba ENLACE . Mtro. Lorenzo Escalante Pérez, Ed. Book Mart 2 012.

44

5.

Unidad I Introducción al Álgebra Notas

45

Álgebra Notas

46

Unidad I Introducción al Álgebra Notas

47

Unidad II Operaciones fundamentales

Propósito ♦

Al término de esta unidad, el alumno resolverá problemas que involucren las operaciones fundamentales, productos notables y factorización. Asimismo, interpretará los problemas numérica y geométricamente, aportará puntos de vista ante diversas situaciones problemáticas, y escuchará las soluciones propuestas por sus compañeros.


Operaciones fundamentales

Conceptos subsidiarios ♦

Productos notables

♦

Factorización

♦

Fracciones algebraicas

Categorías ♦

Espacio

♦

Diversidad

Valores que promueven ♦

Libertad

♦

Justicia

♦

Solidaridad

Competencia genérica 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

Atributo Sigue instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Competencia disciplinar y extendida Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Significado de la relación Relación fuerte:

La relación es procedimental, y metódica, ya que se reere en ambas competencias al uso de construcción e interpretación matemáticas que contribuye a la solución de problemas reales, hipotéticos o formales, con el n de mostrar la vinculación existente entre las propia teoría matemática y otras áreas del conocimiento.

Contenidos relacionados Fácticos Factorización: expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños.

Procedimentales Productos notables

Actitudinales •

Perseverar en la construcción de procedimientos y en la interpretación de modelos para la solución de problemas

•

Trabajar de manera colaborativa con sus compañeros para la solución de problemas y la creación de modelos propiamente matemáticos y de otras áreas del conocimiento

Fracciones algebraicas

Álgebra Activación diagnóstica 1.

Completa los siguientes enunciados. a) Un número primo es aquel que: b) La suma es la operación aritmética que: c)

La resta es la operación aritmética que:

d) La multiplicación es la operación aritmética que: e) La división es la operación aritmética que: f)

Elevar un número a una potencia dada consiste en:

g) Los factores de un número son aquellos números que: 2.

Indica cuál es la operación contraria a cada una de las siguientes operaciones: a) Suma b) Resta c)

Multiplicación

d) División e) Potencia f) 3.

Escribe los factores primos de los siguientes números: 35

50

Raíz

48

54

100

102

Unidad II Operaciones fundamentales 4.

5.

6.

Escribe el mínimo común múltiplo de los siguientes conjuntos de números: 36, 30, 42

24, 50, 12

25, 50, 10

15, 60, 20

Escribe el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de números: 36, 30, 42

24, 50, 12

25, 50, 10

15, 60, 20

Escribe las fórmulas que se te piden para cada gura:

Área =

Área =

Perímetro =

Perímetro =

Área de la base =

Perímetro =

Perímetro =

Área lateral =

Área =

Área =

Área de cada cara = Volumen =

Volumen =

51

Álgebra 7.

Pepe quiere poner piso a un terreno que tiene la siguiente forma:

8 metros

12 metros 14 metros

a) ¿A cuántos metros cuadrados se les pondrá piso?

b) Si a Pepe le cobran $55 por cada metro cuadrado de loseta colocada, ¿cuánto tendrá que pagar por la colocación de todo el piso?

c)

Si el metro cuadrado de loseta cuesta $70, ¿cuánto gastará en total, tanto en mano de obra como en material?

Introducción En la búsqueda de la generación de ahorro en el gasto escolar, hay una parte indispensable: reducir el consumo de todo lo posible, de todo lo que nos cuesta. Gastamos mucho porque las cosas se hacen ahora desechables, reemplazables fácilmente, y también porque hemos perdido la cultura del aprovechamiento, del reciclaje. Actualmente el poder adquisitivo es tan bajo que casi no queremos pensar en él. Muchas veces gastamos cantidades de las que ni siquiera tenemos conciencia. Por ejemplo, muchos jóvenes ni siquiera saben cuánto gastan en su refrigerio o almuerzo escolar al mes, como tampoco se han puesto a pensar en que tal vez comprando los alimentos en volumen para todos, el ahorro podría ser mayor y la dieta más nutritiva. Lo que vamos a hacer ahora es un análisis de los consumos escolares y las propuestas de ahorro respectivas.

El reto Hacer sugerencias para lograr un ahorro en el gasto escolar de consumibles.

52


Delimitando el reto El reto: diseñar y fabricar

¿Cuál es el conicto especíco a resolver? ¿Por qué es importante este reto para la comunidad escolar? ¿En qué situaciones te será útil o podrás poner en práctica este reto? ¿Qué impacto social tendrá el superar este reto? ¿Qué benecios a tu comunidad escolar traería si logras superarlo?

Planeación de actividades Organizados en equipos de acuerdo con las instrucciones de su profesor, cumplan las siguientes tareas, anotando los resultados en sus cuadernos: a)

Realicen una investigación para determinar el gasto actual de los consumibles que se indican en el cuadro correspondiente. Válganse de entrevistas, soliciten información escrita o realicen un cálculo aproximado basado en observaciones empíricas, y acuerden una cantidad hipotética.

Producto

Piezas

Volumen de la pieza

Costo unitario

Costo total

Rollos de papel higiénico Jabón para manos Detergente para pisos y baños Hojas blancas de papel bond para impresión Pintura vinílica blanca para mantenimiento de paredes y bardas b)

Analicen la información y procésenla algebraica y aritméticamente para obtener el cálculo del gasto escolar total mensual en la actualidad. Observaciones:

53

Álgebra c)

Lleven a cabo un registro comparativo de los precios que manejan diferentes opciones comerciales e incluso de presentaciones por mayoreo, ofertas por volumen y negociaciones especícas. Observaciones:

d) Comparen los precios investigados con los datos que se tienen del gasto actual y determinen los porcentajes de ahorro que pudieran obtenerse con otra opción alternativa. Observaciones:

e) Diseñen y realicen una campaña en la que sugieran ciertas acciones formadoras de hábitos para una cultura del ahorro y el aprovechamiento de los recursos, con base en las evidencias de lo que podría ahorrarse en el presente curso escolar, obtenidos de acuerdo con los datos obtenidos en su investigación. Observaciones:

f)

Escriban un reporte de valoración de la experiencia y una reexión acerca de la utilidad del álgebra en todas estas acciones. Observaciones:

Actividad de aprendizaje 1 Actuando sobre la realidad A manera de ejercicio, realiza los siguientes cálculos con la información hipotética que te damos. En esta escuela se consume lo siguiente: a) 21 rollos de papel higiénico semanales que se compran en paquetes de 18 c/u a un costo de $75.00 b) 6 jabones semanales que se compran individualmente a un costo unitario de 4 pesos c)

3 galones de detergente desinfectante para pisos por semana, que se compran por galón a un costo de $45.00

d) 1/2 millar de hojas blancas de papel bond de 75 g por semana, que se compran por millar a un costo de $260.00 e) 1/2 galón mensual que se compra por galón a un precio de $375.00 Gasto mensual escolar correspondiente a los siguientes productos.

54


Producto

Piezas

Volumen de la pieza

Costo unitario

Costo total

Rollos de papel higiénico Jabón para manos Detergente para pisos y baños Hojas blancas de papel bond para impresión Pintura vinílica blanca para mantenimiento de paredes y bardas

Realiza las operaciones que necesites para construir una expresión algebraica que te permita calcular el gasto total en dinero de estos consumibles durante todo el semestre. 

¿Qué operaciones tendrás que hacer?



¿Cuáles primero y cuáles después?



Plantea tu problema con toda claridad y procede a diseñar una secuencia de acciones que te lleven a lograr lo que buscas. Observaciones:

Ejercicio 1 Construcción de soluciones Para que puedas plantear tu problema utilizando expresiones algebraicas, realiza el siguiente ejercicio como entrenamiento, a fn de aplicar lo que aprendiste en la unidad pasada. Construye una expresión algebraica que represente el número de rollos de papel higiénico por mes, donde el mes se represente con una x y, la semana, con una y :

Construye una expresión algebraica que represente el total de artículos de higiene y limpieza consumidos en una semana (no su costo):

55

Álgebra Ahora encuentra el costo semanal de dichos artículos.

Para obtener el resultado correcto tendrás que realizar multiplicaciones, sumas y divisiones, así como utilizar lenguaje matemático. Ahora aprenderemos sobre las operaciones algebraicas fundamentales. Reexiona: ¿Qué información teórica necesitas para afrontar este reto?

Operaciones fundamentales Afrontando el reto Se recomienda que los términos de los polinomios que se han de sumar estén ordenados descendentemente con respecto a su grado; es decir, de mayor a menor

Suma de polinomios La suma algebraica consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola. 318 + 124 512

Sumandos

954

Suma o total

Para sumar dos o más polinomios, se coloca u n polinomio debajo del otro ordenadamente. El segundo polinomio se acomoda de manera que cada término sea semejante al término del primer polinomio que se encuentra encima. Al ordenar los polinomios de esta manera, será posible reducir los términos semejantes fácilmente. Los términos que se van a unir se conocen como sumandos, y el resultado es la suma o total.

Ejemplo

Sumar

3a + 5b − 4c

con

−8a − 3c +

4b

3a + 5b − 4c −8a +

4b − 3c

−5a +

9b − 7c

Cuando no existen términos semejantes, puedes dejar vacío el espacio correspondiente. Ejemplo

Sumar 2 x y con 2 x

4

3

−5

−

6x

3

2 x − 5 x 3 x

4

2 x 5 x

56

4

4

x

2

3

2

+

+

+

2

− 2 x − 6 x −

4x

−

7x

x + 6 con 3 x

2 x − 1

4 x + 6 +

3

3

4

2

3

+

2 x − 1

+

6 x + 8

4

−

2

x

2

+

3


Actividad de aprendizaje 2 Actuando sobre la realidad ¤

Esta actividad te ayudará a superar tu reto, porque te familiarizará con los productos necesarios para calcular costos.

Julia es cajera en una estación de gasolina y tiene que recolectar el dinero de cada uno de los despachadores, contarlo y determinar cuánto entregó cada uno de ellos. Como Julia maneja billetes y monedas de diferentes denominaciones, ideó un cuadro que le permite anotar cuántas monedas y billetes, de cada denominación, le entrega cada despachador. El pasado viernes llenó el cuadro que se presenta a continuación: Pedro

Billetes y monedas

Juan

Luis

Pesos

Cantidad

Pesos

Cantidad

Pesos

Cantidad

50 centavos

5

2.50

4

2

4

1 peso

15

15

21

17

32

5 pesos

10

50

25

18

5

10 pesos

17

170

21

35

17

20 pesos

5

4

9

2

50 pesos

8

7

12

5

100 pesos

10

12

7

19

200 pesos

10

8

7

12

500 pesos

6

9

6

5

1000 pesos

1

3

0

1


Importe total

Mario

Cantidad


Pesos

Total

1.

Utiliza una hoja electrónica o una hoja tabular para copiar los datos de la tabla de arriba y escribe en ella las operaciones necesarias para responder lo siguiente: a) ¿Cuántas monedas y billetes de cada denominación se recaudaron en total?

b) ¿Cuánto dinero recolectó en monedas y billetes?

c)

¿Cuánto dinero le entregó cada uno de los despachadores?

57

Álgebra Desarrollo del reto Te sugerimos que durante el desarrollo del reto, sigas estos pasos: 1.

Establece la información que necesitarás para el manejo y procesamiento de los datos que se requerirán para la solución del conicto.

2.

Registra en una bitácora los problemas, soluciones y aspectos más relevantes del desarrollo de tu investigación.

3.

Elabora un diagrama en donde representes cronológicamente el avance que realices en tu investigación para la superación del reto.

4.

Comienza a vaciar tu información del presupuesto en una hoja de cálculo. Puedes consultar tu libro de TIC 1 para conocer los criterios especícos. Tipos de materiales

Costos

Unidades de medidas

Primer presupuesto

Reexiona: Consulta la teoría siguiente para poder superar el reto.

Actividad detonadora de ideas Organícense en equipos y ayúdense a resolver el problema. El fenómeno del grati afecta con mucha frecuencia la imagen de los centros escolares, cuyas bardas casi siempre son blancas, razón por la cual las paredes se tienen que estar pintando constantemente, normalmente por fragmentos, según se requiere. 

Investiga cuántos metros cuadrados de supercie se pueden cubrir con un galón de pintura de buena calidad.



¿Cuánta pintura se necesitará para cubrir una porción de barda que mide 8 x 2.20 m?



¿Qué costo tendrá esta pintura? Básate en los datos hipotéticos, como en la Actividad de Aprendizaje 1.



¿Qué supercie de las paredes se pinta mensualmente, si cada litro de pintura sirve para pintar 6 metros cuadrados?



Si consideras que se requieren dos manos para tener una cobertura de calidad, deberás contar cada metro por dos.



Plantea tu problema de manera correcta y anota tus resultados en el cuadro que aparece a continuación:

Metros cuadrados a cubrir

58

Pintura necesaria para cubrir la barda de 8 x 2.20m

Costo hipotético

Superficie que se pintaría mensualmente

Consideración para dos manos de pintura


Propiedades de la suma Posee cuatro propiedades básicas, que son:

Conmutativa

Elemento neutro aditivo

Inverso aditivo

La suma de cualquier número y cero es igual al original

La suma de un número con el mismo número pero de signo contrario, da como resultado cero

Asociativa

Al sumar tres o más El resultado es números, el resultado es independiente del orden el mismo sin importar el de los sumandos orden en que se sumen

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c )

a +

0=a

8+3=3+8 11 = 11

(2 + 6) + 4 = 2 + (6 + 4 ) 8 + 4 = 2 +10 12 = 12

7+0=7

a ‒ a =

0

15 ‒15 = 0

Ejercicio 2 Construcción de soluciones I.


Suma las siguientes expresiones algebraicas. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

9.

2.

10.

3.

11.

4.

12.

5.

13.

6.

14.

7.

15.


8. 1.

3 x

2.

a − b + c;

3.

7 x

4.

x

5.

2a − 3b + c − 4d ;

6.

6m

2

−2

2

+

+

x + 7; 5 x 2 + 8 x − 2; x 2 − x − 3

2 xy

y; x

2

−

+

−

2a + 5b ; 5a − b − 3c 2

y ; x

z; y

− 3mn +

+

2

2

+

2

2y ;

z; x −

a

−

−

z;

− 6x −

b+c

y

+ 2

2n ; 4mn − 5n ;

2

− 3 xy −

−

z

2

4 y ; xy

+

2

2 y

d ; 4a − d ; 2

m

2

−n

;

−

2

2m

2

− 5mn + n

59

Álgebra 7. x 4

x4

− 1;

x 3 − x 2 + 6x ;

−2

8.

15a − 13b + 12c − 14 d ;

9.

3mn − 2 m

10.

5 p − 12 + 4 r

11.

2

12.

a−

13.

1

2

3

x

2

1

−

3 5

b+

3

5 8

3

− 6m

4

2

r;

4x

2

2

8n ; 5mn − n

−

+

4

+8

x 3 − 2 x 2

a − 7 b − 13c

−5

+

4d

y

− 6 .4

2

4m

1 6

a−

−

x

2

2

2

4

5

5

3

3 2

2

y

2b +

+

2q + s;

3

c

8 +

q

2r

−

1

3.25 x

− 2.11 y +

15.

0.012a − 0.19b − 0.5c ;

II.

Suma las siguientes expresiones algebraicas, y determina el valor numérico cuando =

2; y

=

3; z

1 =

2

− 0.8 a +

2

s

14.

− 0.8 x + 3.4

10

7

5

4.15 z ;

6

a

2

+

r

+

xy

b − c;

p−

5

3

+

10

x

3

1

−

23 − 5 p − 3 q − 4 r + 8 s; 2 p + 3 q + 4 r + 5 s

2

−

x 3 − 4 x + 7;

− 5a + 8 b − 14 c −11d ; 2

;

y ;

2

c;

q−

2

+ 3s;

+

xy

2

p +

+ 5n

−3

+ 2.07 z ; + 1.6 x − 0.3

y

b − 0.12 c;

− 0.02 a +

b − 0.34 c

z

.

Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas. Respuestas

1.

4.

2.

5.

3.

6.

1.

3 x

−

2y + z;

2.

1

2

− 3 xy +

3.

3 xy

−

2 xz

4.

4 z

−

2z

5.

0.5 x

2

x

2

+

+

−

2 3

2

y ; x

4 yz ;

+ 5;

4.2 y

4x + 3y

3z

2

− 3z ;

2

− 3z ; +

+

xy

− 2 xy + −

8;

−

1.3 x

−

1 3

4 yz

2x

−

2

y

y ; 2x −

2

+

4 z

+ 5 xy +

2 xz ; xy

2

y

− 5 xz +

z 2 + 4z − 9; 5z 2 + 3z +

yz

4

− 2. 3 y + 4 z ; − 2.03 x − 1 .09

y

− 3 z

III. Calcula el perímetro de las siguientes guras y escribe tus resultados.

a

a x

n

n

x

x

n

a

P=

P=

P=

3 a+5

5 x -2

2 x - 1

3 x +2 2 x P= P=

60

m

m

a x

x

Unidad II Operaciones fundamentales IV. Luis y David son dos chicos grateros. En la primera semana pintaron las bardas de

un terreno con las medidas de la gura 1; en la segunda semana, las de un terreno con las medidas de la gura 2. 5

x

7

x

5 x

2

x

x

2

10

2 x

7 x

2

x

x

3 x

6

Figura 2

Figura 1

1)

Expresa algebraicamente el área total que pintaron Luis y David en la primera semana.

2)

Expresa algebraicamente el área total que pintaron Luis y David en la segunda semana.

3)

¿Cuál es el polinomio A que representa el área que pintaron Luis y David en las dos semanas?

4)

Si Luis y David desean pintar en tres semanas un área total de 4x 2 + 20x + 13, ¿cuál es la expresión algebraica que representa representa el área que deben pintar en la tercera semana?

5)

¿Cuánto va a costar a la comunidad escolar, de la que tú formas parte, repintar esas bardas?

Resta de polinomios ‒ 325 174

Minuendo Sustraendo

151

Resta o diferencia

Para restar dos polinomios se escribe el minuendo y después el sustraendo, cambiándole los signos a cada uno de sus términos. Posteriormente se reducen los términos semejantes. La resta es la operación que tiene por objeto encontrar la diferencia entre dos valores. Ejemplo

De 5 x

2

−

2

x + 4 restar 2 x

2

+

4

x − 3

Delante del minuendo se coloca un signo de menos y, entre paréntesis, el sustraendo.

5 x 2

Se procede a eliminar los paréntesis, cambiando los signos de todos los términos del sustraendo.

5

x

2

x 3 x

2

Se agrupan los términos semejantes y, después, se reducen.

5

2

−

2x

−2

+ 4 − (2

x 2 + 4 x − 3)

x + 4 − 2x

2

−

4

x − 2x − 4x + − 6 x + 7

−

2

2

Al polinomio que va a disminuir, se le conoce como minuendo ; y al que indica cuánto va a disminuir éste, como sustraendo. Al resultado, resultad o, por su parte, se le denomina resta o diferencia.

x + 3 4+3

Otro método consiste en escribir el minuendo y debajo de éste el sustraendo con los signos cambiados, de manera que los términos semejantes se coloquen en la misma columna, y puedas reducirlos. 61

Álgebra Ejemplo

De

2 x

2 x

+ 5 y − 6 z

x 3 x

+ 5y −

− 8y −

6 z

restar

8y

− x +

+

4 z

4 z

− 3 y − 10 z

Ejemplo

Restar 2a

3

a

−3

2

+

a de a

6

2

+

6

a −8

a2 + 6a − 8 − (2a3 − 3a 2 + 6a ) a2 + 6a − 8 − 2a3 + 3a 2 − 6a 3 2 2 −2a + a + 3a + 6a − 6a − 8 3 2 −2a + 4a − 8



5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Actuando sobre la realidad I.


II.

Realiza la siguiente actividad. Te recomendamos llevarla a cabo en casa. 

A las siete de la mañana, coloca una jarra con agua a la intemperie.



Cada hora mide la temperatura del agua y anótala en una libreta.



Al atardecer, dibuja una gráca que muestre cómo fue variando la temperatura a lo largo del día.



Marca qué variación hubo entre una hora h ora y otra. Si la temperatura aumentó, indícalo con un signo positivo (+); y si disminuyó, con uno negativo (−).



Presenta tus observaciones y resultados a tu profesor profesor..

Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

62

1.

10.

2.

11.

3.

12.

4.

13.

5.

14.

6.

15.

7.

16.

8.

17.

9.

18.

1.

8a − 5b + c

2.

3 x 2

3.

8m − 4n + 2 p − (5

4.

De

+

2 xy

7 x

2

−

+

3 − (7a − 10b + 4c + 1)

7y2

− (x −

2

−

2

y )

p + m)

− 3 xy − 2 y 2 restar

9 x

2

+ 2 xy + 4 y 2


5.

De 3 y

6.

De

2 x

7.

De

−2a + 5b − 3c

8.

De

12a

9.

Restar

2

−

+

2

y + 7 restar 7 y

− 3 z

y

− 13b + 2

2m

10. Restar x

5

restar

− 15mn +

x

−

4

−

2

4a

+ 5d

x

2

8n

+

6

de

2

2

−6m

13. Restar

p − q − 6r

14. De

1

a

+

6

3

16. Restar

3q +

5

8s

3

ab +

b

2

4 2

1

r

−

y

+

5

3 −

2

de

3

−

y

2

−

5

+

2

4

a

2

5

4

+

restar

3

x

2

−5

− 10d

2

8

ab +

5

p −

− 12

2

3 −

8

+ 14 d

+ 5n

7

7 y

c

8b − 4c

+ 3s −

3 −

+

4x

−13a +

−2m

3

z de

+

de

4b

+ 7mn + 4n2 4

5 p + 4 q

restar

3.25m − 3.25n + 2. 8 p

18. Restar 5 − 0.12 y

x

−7

de

s + p de

7

4

x

+ 5mn

+

8

15. Restar

17. De

2

2

6m

x de

12. Restar

8n

− b − 8c −a −

8a − 17b − 11 c + 14 d −

y − 3

restar

11. Restar

2

8

+

− 4 y − 5 z

x

restar

2c

2

1

b

2

4

4

r

+

3

6

q+

7

s

1 z

−

2

x

2.14 p + 0.17n − 2.6m

4.34 y de 2.49 y

+

0. 5

y

2

−

0. 8

y

3

−

3 .22

Suma y resta combinadas En ocasiones resulta necesario resolver sumas y restas de expresiones algebraicas. Para estos casos, es necesario identicar qué operación se debe resolver primero, lo que depende de la lógica de la operación. Ejemplo De la suma de 2 x + + 3 y ‒ ‒ 4

Restar la suma de 3c + 4d ‒ ‒ 2

con 6 x ‒ ‒ y ‒ ‒ 1 restar

con 2c ‒ d ‒ ‒ 5 de la suma de

3 x ‒ ‒ 5 y + + 6

+ 5 con 2c ‒ 5d + + 8 c ‒ d +

Se debe resolver primero la suma y al resultado restar 3 x ‒ ‒ 5 y + + 6

Se procede primero a realizar las dos sumas por separado y después se realiza la resta

3c + 4d ‒ 2 + 2c ‒ d ‒ 5= 8 x + 2 y ‒ 5 ‒ (3 x ‒ 5 y + 6)

5c + 3d ‒ 7 c ‒ d + 5 + 2c ‒ 5d + 8

3c ‒ 6d + 13

3c ‒ 6d + 13 ‒ (5c + 3d ‒ 7)

5c + 3d ‒ 7 ‒ (3c ‒ 6d + 13)

3c ‒ 6d + 13 ‒ 5c ‒ 3d + 7

5c + 3d ‒ 7 ‒ 3c + 6d ‒ 13

‒2c ‒ 9d + 20

2c + 9d ‒ 20

63

Álgebra



5.1 Sigue instrucc instrucciones iones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.


Esta actividad te ayudará a superar tu reto porque las multiplicaciones algebraicas que realizarás tendrán que simplicarse de manera semejante a como se hace en esta actividad.

Resolución de problemas utilizando suma y resta algebraica I.

Realiza lo que se te pide con los siguientes polinomios:

7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

A :

2x

B:

4x

C

si x

=

2,

: 4

2

y

−

−

−3

xy 2

2y

+

6 y

x

+

+

8x

2

2

3 xy

y

Lleva a cabo las siguientes operaciones y, al término, encuentra su valor numérico y 5. =

1. A + C − − B 2. C − − ( A + B) 3. B − C − − A II.

Traduce los siguientes enunciados a lenguaje algebraico y simplica la expresión algebraica obtenida. Al terminar, terminar, compara tus resultados con los de alguno de tus tu s compañeros,, y anótalos en tu cuaderno. compañeros

1.

Sumar el doble de un número más cinco con el triple producto de ese número menos ocho.

2.

Restar la mitad de un número más seis de la suma del doble del número disminuido en ocho con la tercera parte del número disminuido en cuatro.

3.

A la quinta parte de un número aumentado en siete, restar la cuarta parte del número disminuido en dos.

III. Forma equipo con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas en sus

cuadernos: 1.

Si el perímetro de un rectángulo es ¿cuánto mide el otro lado?

10 x − 8 ,

y uno de sus lados mide 2 x + 3 ,

2.

El perímetro de un triángulo isósceles es 5a − 2a + 4 . Si uno de los lados iguales mide 2a2 − a + 2 , ¿cuánto mide el lado restante?

3.

En un torneo de futbol, el equipo de Jorge anotó x anotó x goles goles en el primer partido, x − 5 goles en el segundo y x + 3 en el tercer partido. ¿Cuántos goles anotó el equipo de Jorge en el cuarto partido, si en total anotaron 4 x x goles? goles?

4.

En la clase de Matemáticas, Ramón tuvo que resolver 3a − 2b ejercicios, de los cuales 2a − b estuvieron correctos. ¿Cuántos ejercicios estuvieron incorrectos?

2

IV. Junto con tus compañeros de equipo, escojan dos de los problemas que acaban de

resolver y represéntenlos represéntenlos mediante imágenes en una hoja de rotafolio, escribiendo el desarrollo de la resolución de cada uno. Al terminar, discutan sus resultados con el resto del grupo y lleguen a un resultado común.

64


Multiplicación de polinomios La multiplicación es la operación que consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda cantidad: 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3×5

1

2

3

4

5

A las cantidades que se multiplican, se les conocen como factores; y al resultado de multiplicar éstos, como producto.

1

2

3

245 × 13 735 245 3185

Factores Productos parciales Producto

Para expresar una multiplicación entre dos cantidades, normalmente utilizamos el signo de x , pero en álgebra un producto se puede indicar de diversas maneras, como serían: 

Escribiendo dos literales juntas: xy



Encerrando los factores entre paréntesis: (2 x ) (3 y )



Colocando un punto medio entre los factores: 5a • 3c

Propiedades de la multiplicación En la multiplicación podemos observar cuatro propiedades básicas:

Conmutativa

Asociativa

Al multiplicar tres o más El resultado es factores, el producto es independiente del orden el mismo sin importar el de los factores orden en que se multipliquen

a

∙ b = b ∙ a

(a · b) · c = a · (b · c )

Elemento neutro multiplicativo

La mutiplicación de cualquier número por uno es igual al original

a

∙1=

a

Distributiva

La suma de dos o más números multiplicada por un número es igual a la suma del producto del número con cada sumando

a(b

+ c ) = ab + ac

65

Álgebra




Actuando sobre la realidad David le encargó a Marcos pintar tres bardas. La primera mide 3 metros de largo por 2 metros de alto. La segunda mide el doble de largo que la primera y es 1.5 veces más alta. Y la tercera barda mide 2 metros más de largo que la segunda, y es medio metro menos alta que la primera barda. La pintura viene en las siguientes presentaciones:


66

Presentación

Precio

Rendimiento

Bote de 1 litro

$55

7-9 m 2 /lt

Garrafa de 4 litros

$203

31-33 m 2 /lt

Cubeta de 19 litros

$958

151-153 m 2 /lt

I.

Forma un equipo con algunos de tus compañeros y contesten las siguientes preguntas:

1.

¿Cuál es el área de cada pared que va a pintar Marcos?

2.

¿Cuántos metros cuadrados va a pintar en total?

3.

¿Cuántos litros va a necesitar, aproximadamente, para pintar las tres bardas?

4.

¿En qué presentación le conviene comprar la pintura?

5.

Si le pagan $15 por cada metro cuadrado que pinta, ¿cuánto recibirá al terminar de pintar las tres bardas?

6.

Si David le entrega a Marcos $1000 pesos para comprar el material como pago por pintar las bardas, ¿tiene Marcos saldo a favor o en contra? ¿Le falta a David pagarle más dinero a Marcos, o éste le tiene que regresar dinero a David?

7.

¿Quién paga la mano de obra a los pintores en tu escuela? ¿Crees que se estén midiendo de manera correcta los metros que se están pagando de mano de obra por pintura de paredes y bardas en tu comunidad escolar? ¿De qué manera te sir ve lo que acabas de aprender para ayudar a pagar de manera correcta esta mano de obra? Da respuesta a estas preguntas en tu cuaderno de trabajo.


Reglas para multiplicar Para multiplicar expresiones algebraicas se deben tomar en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes.

Ley de los signos

Ley de los exponentes

Signos iguales dan más (+)/(+) = + (–)/(–) = +

Los exponentes de las mismas literales se restan

Signos distintos dan menos

⁷

x

³

(+)/(–) = – (–)/(+) = –

= x ⁷·³ = x ⁴

x

En la multiplicación de expresiones algebraicas, se pueden distinguir tres casos: 

Multiplicación de monomios



Multiplicación de un monomio por un polinomio



Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

Multiplicación de monomios Para multiplicar dos o más monomios, debes tener en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes, y multiplicar los coecientes. Ejemplos

(3b2 )( 4b5 ) 3 × 4b

2 +5

= =

12b7

−

5 x 4 y 3  2 xy 3

( −) (+ )5 × 2 x

4 +1

5

6

−

= 3 +3

=

y

En cada ejemplo:

10 x y

Se aplica la ley de los signos. Se multiplican los coecientes.

( −12ab 4 )( −5ab) ( −) (−)12 × 5a1 1 b4 +

+

2

+

Se aplica la ley de los exponentes a las literales que se repiten.

=

1

=

5

60a b

6mn3 p5 ( −3m4 n2 ) = ( +) (−)6 × 3m1 4 n3 2 p5 +

−

5

5

+

=

5

18m n p

67

Álgebra Para el caso de multiplicar más de dos monomios, debe aplicarse la ley de los signos de la misma manera, pero en orden sucesivo:

(3 x )( −2 xy )(5 y ) = ( +) (−) (+)3 × 2 × 5 x 1+1 y 1 +1 2

=

2

− 30 x y

( −) (−) (−)

( −4b2 c )( −2a 4 b3 c 2 )(3ab4 ) ( −) (−) (+) 4 × 2 × 3a 4 1b2 +

+

(( −)( −))( −)

=

3+ 4 1 +2

c

( +) (−) =

=

=

−

24a5 b9 c 3

+

Para multiplicar coecientes racionales, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, se colocan en el lugar que les corresponde y se simplica la fracción:

 2 5 2   4 3 2   3   3 m n   − 5 m n   − 4 mn  =       ( +) (−) (−)

+

2

3 24 60

4

3

5

4 2

× ×

9 5 m n

( −2a )( −3a 2 ) m

=

5 + 3 +1 2 + 2+1 m n

5

=

9 5 m n

2 4 ⋅

3 5

3 ⋅

4

=

2× 4 ×3 3×5 × 4

24 =

60

12 =

30

6 =

15

2 =

5

= 6a m +2 Cuando existen exponentes literales, éstos también se suman, siguiendo las reglas de la suma algebraica.

x x x x x ( 4a +1 b)( −5 a b + 2 ) = − 20a2 +1 b +3

 1 m −1 2n +1   2 n−1  1 m 3n  − 2 x y   − 3 xy  = 3 x y     Atributos a

Ejercicio 3

desarrollar:

7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, deniendo un curso de acción con pasos especícos.


Investiga lo que se te pide a continuación y regístralo en tu cuaderno: ¿Cuál es el resultado de elevar una cantidad a la potencia cero? x

0

0

=

15

=

7

0

0

=

a

=

¿Por qué? II.

Resuelve las siguientes multiplicaciones. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

68

1.

9.

2.

10.

3.

11.

4.

12.

5.

13.

6.

14.

7.

15.

8.


1.

(9 x )( −4 x )

2.

( −5m2 n3 )(8mn2 )

3.

(5 x 2 )( −11 x )( x 2 )

4.

(2n )(3mn2 )

5.

( −5n)(6 mn2 )( −12m2 n3 )

6.

(13 x 2 )( −15 x 2 )(3x 3 )( −4 x )

7.

(12 x 3 y 2 )( −7 xy 4 )( −9 x 3 y )

8.

( −15 xy 2 z )( −9 x 2 y 2 z 3 )(13xy 3 z 4 )( 4 xyz )

9.

( −4 x

2

10.  3 a

2

4

11. 12. 13.

 5  2       5  1  b   − a b   ab    2   8 

2

2

y

)  − 4 xy   − 3 xy 

2

3

5

(3m n p) ( 6m ( x y z )( 4 x ( 5abc ) ( 2a b 2

x

m+1

n −1

−

14.  5 x 6

p

−

a

 15.  5 m 3

y

x

2 x +3

−

+

x

m+2

x +3

3 x

x

n p

c

y

x −5

1− p

)

−4a

2

n +1

)(

)

z

2x

2 x +1

5− x

c

)

 3  +   − 10 xy  ( −2 x y )     3  +  1 +  3 +   − 4 m n   − 4 mn   − 5 m n        

a 2

n

b

2

2x

a 1

3x 1

x

2

x

4

Multiplicación de un monomio por un polinomio La multiplicación de un monomio por un polinomio corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación. Se debe multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio, aplicando en cada término la ley de signos y la ley de exponentes. Ejemplo 3a 2 b3 (5ab − 4a2 b2

−

+

3a 2 b3 × 5ab − 3a2 b3

−

3

15a b

−

4

+

4

12a b

4

−

6a3 b3 ) = ( 4a2 b ) − 3a2 b3

× − 5

×

6a3 b3

=

6

18a b

También puede colocarse la multiplicación en forma de columnas. Ejemplo

Multiplicar 5 x

3

−

2

x

2

+

x − 8 por 4 x

2

x

x − 8 4 x 20 x − 8 x x + 4 x − 32 x 5

3

−2

x

2

+

2

5

4

3

2

69

Álgebra

Supresión de símbolos de agrupación Cuando son precedidos por monomios, es necesario suprimir los símbolos de agrupación. En estos casos, se aplican las mismas reglas para multiplicar un monomio por un polinomio, junto con la regla para suprimir signos de agrupación. Ejemplo

Se eliminan primero los paréntesis.

2 x ( x − 3) + x 3x 2 − 2 x 3 − 2  x − 3x ( 4 x − 2 ) + 3x 2 + 5x

Se reducen los términos semejantes.

2 x

Se eliminan los corchetes.

2

2


2 x

2

−6

x + x {3x

Se eliminan las llaves.

2 x

2

−6

x + x {−12 x


2 x

2

−6

x − 12 x

Resultado

−12

{

2

( x − 1) − 3 − 4}



− 6 x + x {3x 2 − 2x 3 − 2  x − 12x 2 + 6 x + 3x 2 + 5x 3 − 5x − 3 − 4}

x − 6 x + x {3x − 2x − 2 5 x − 9 x + 2x − 3 − 4} 2

x

4

+ 21

x

3

4

−

2

3

−2

+

3

x

+

21 x

2x

2

−

3

3

− 10

21 x

3

−

2

x

−

4x

2

3

2

+ 18

x

2

−

4 x + 6

+2

x

4 x

Ejercicio 4 Construcción de soluciones I.

Simplica las siguientes expresiones algebraicas. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1. 2. 3. 4. 5.

70

}

4

}

Atributos a

8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, deniendo un curso de acción con pasos especícos.

−

4 x + 2

desarrollar:


2

{4 x

}

− x − 5x 2  x − 3x ( 4x 2 − 2x + 1) − 4x  + 6x 3  

1.

3 x

2.

−2

3.

5ab 3a 2ab − 4b + 5 ab

4.

2m n − 5m + n

5.

− x

2

− 5x

2

x (5x − 1) + 3x ( 4 x + 2 ) − 6x (3 − x ) 2

{



1

3

3

(



(

) − 4

n

+ 6b ) − 2a + 7b}

2m + ( 3m − n )  

{2x −6x (3 + x ) − 9x 2

2

( x + 1 ) − 6}


Multiplicación de polinomios Al multiplicar dos polinomios se pueden llevar a cabo los siguientes pasos: Cada término del segundo miembro multiplica a todos los términos del primer miembro. Ejemplo

Multiplicar 3 x Los productos parciales se ordenan de tal manera que los términos semejantes queden en la misma columna.

3 x

2

2

+

+

6

x − 5 por 2 x − 3

6 x − 5

2 x − 3

x + 15 6 x + 12 x − 10 x 6 x + 3x − 28 x + 15 −

9 x

2

3


− 18

2

3

2

Ejercicio 5 Aplicación de soluciones I.


Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10. por

− 4b

1.

6a + 2b

2.

8 x

2

− 3 xy + 5

3.

6 x

2

+ 4 y 2 por

4.

6

a

3

5.

m + n − p por m − n + p

6.

2 x

n

−

a

2

2

+

5a

por 6 x

3 x 2

− 2 y

− 4 y 2

+ 3 y n por x n −

m+ 2

x

8.

3a

9.

1

x

x

2

10.


7.

a − 8 por a2 − 2a


3 −

8

+ x

+

2

2a 2

−

a

2

m +1

3

x −1

− 5a

por x

x−2

2

−

x − 3

− a

x + 1

por a2 + a

3 x + por 2 x − 3 5

1 +

m

− x

4

3 a + por 2

2 3

1

a + a +1 2

6

n

y

71

Álgebra Resuelve los siguientes productos. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

II.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10. 3 2 4 (7 ) (3 ( ab − 6a b − 7a b ) (a − 8b ) ( x 3x ) (5 13x 15x 11x ) ( 9 xy 7 x y x y 12) ( 2x y

1.

2

m n −

2.

2

3.

2

−

+

2

−

2

3

2

+

2

m n

)

6.

 1 1  4 1  5 3  − 3 x − 2 y + 3 xy   5 x + 3 y + 10 xy     

7.

(

8.

(5 x 3

−

9.

(3 x

− 2 x 4 )

2

2

+

2

+

mn

2

+

2

2

m n

3

3

3

−

2

−

2

−1

)

 1  5 7 ( 4 x + y )  − 2 x + 4 xy − 2 y    2

5.

En este tipo de productos se aplica la propiedad asociativa.

4

−

4.

mn

2

x

a

− 5a

2

) (8

x +1

3x 2

+

a

4x

2

−

−

2a

2 x +1

9 )(5 x

1

a+

−

4a a

− x

x + 2

)

)

2

10. ( a − b + c )

2

Productos continuos Cuando se multiplican más de dos polinomios, se deben realizar las multiplicaciones en el orden en que se van presentando, siguiendo la regla de multiplicación de polinomios. Es decir, se multiplican los dos primeros factores, a continuación, el resultado por el tercer factor, y así sucesivamente, si es que hubiera más factores. Ejemplo

(

2 x 3x

2

−5

x + 1 ) ( x + 4 )

Multiplicar 2 x (3 x 2 − 5 x + 1) Observa que este producto parcial se coloca entre paréntesis.


El primer producto se multiplica por

8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, deniendo un curso de acción con pasos especícos. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

72

( x 4 ) . +

( 6 x

3

− 10

x

6 x

2

+

2x

) ( x 4 ) +

x + 2x x + 4 24 x − 40 x + 8 x 6 x − 10 x + 2 x 6 x + 14 x − 38 x + 8 x 3

− 10

2

3

4

3

4

3

2

2

2

Actividad de aprendizaje 6 Construcción de soluciones ¤

Esta actividad te ayudará a superar tu reto porque el cálculo de volumen requiere de multiplicaciones algebraicas.

I.

Resuelve las siguientes multiplicaciones. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.


Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10. a ( a − 4 ) ( a + 3)

1.

2

2.

5 x

3.

−6

(a 5. ( 4.

2

( 2x

(m +

3

2

) (3x 2 )

7.

(3 x 3(

m + 6 ) (5m − 2 )

8.

y

9.

( 2a

−1

6.

+

−2

) ( a 2 ) ( a 5) ) (2 ) (3

n m+n

−

+

m−n

m+

4n

)

2

x

m

−

x + 5 ) ( x + 2 ) ( x − 1)

− 5) ( x

n

(y −

m −1

3b

+

n

− 3) ( x

−1

2y

) ( 2a

n

)( y 3b) ( 4a

m

+

+1

− 2)

−1

m+ 1

2

+

)

− 3 y

9b

2

)

3

10. ( x + y + z )

Multiplicación con suma y resta Cuando en una expresión algebraica se combinan la suma y la resta con la multiplicación, primero se realizarán los productos y, después, las sumas y restas correspondientes. Ejemplo

Simplicar 3 ( a − 5 ) ( a + 1 ) + 2a ( a − 4 ) ( a + 2) − 4a ( 2a − 3) (a + 1) 3 ( a − 5 ) ( a + 1 ) = (3a − 15)(a + 1) 3a2 2a

Se realiza cada producto por separado.

−

(a

( 2a 2a

2

3

12a − 15

) ( a 2) 8a ) ( a 2 )

−

−

−

=

4

=

+

4a

(

+

=

a

2

− 16

) ( a 1) ( 8a 12a ) ( a 1) 4a 2a 2

8a

Se suman los resultados de los dos primeros productos y se resta el tercer producto. Se cambia el signo a todos los términos del tercer producto, por tratarse de una resta. Se pueden colocar en columnas, para reducir los términos semejantes.

3

(3a

−3

+

−

−

+

4a

2

= =

a

− 12

a − 15) + ( 2a

2

− 12

3a

3

−

4a

2

a ) − ( 8a

− 16

3

−

4a

2

a)

− 12

a − 15 2a − 4a − 16a −8a + 4a + 12a −6a + 3a − 16a − 15 3

2

− 12

2

3

2

3

2

73

Álgebra




Aplicación de soluciones ¤

Esta actividad te ayudará a superar tu reto porque, para la cobertura de las pinturas y los detergentes, tendrás que hacer cálculos de áreas y perímetros. Aunque seguramente ya lo has hecho antes, aquí practicarás tus habilidades y las aplicarás a problemas determinados.

I.

Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas.

1.

Calculen el área y el perímetro del siguiente cuadrado: 2 x ‒ 6

2.

Calculen el área y el perímetro del siguiente rectángulo:

x

2

x +

3.

‒4

4 x ‒ 5

De la siguiente gura: a) Calculen el área de color claro de la región sombreada. b) Calculen el área de color oscuro de la región que no está sombreada. 4 x + 3 3 x

x

6 x + 4

4.

Para el siguiente cubo: a) Calculen el área de una de sus caras. b) Calculen el área total de todas sus caras. c) Determinen su volumen.

5 x ‒ 1

74


5.

En el siguiente prisma rectangular: a) Calculen el área de su base. b) Calculen el área lateral. c) Calculen su volumen.

4 x ‒ 3

2 x 5 x + 1

6.

Si x = 4, ¿cuáles serían sus medidas reales en el ejercicio anterior? Junto con tus compañeros de equipo, tracen en una cartulina la plantilla para armar el prisma anterior, tomando como medidas las que existen cuando x = 4 centímetros. Presenten ante el grupo su prisma.

7.

Para armar una caja, se puede utilizar el siguiente plano:

5 x x

x

7 x

a) ¿Cuál sería el área de la caja? b) ¿Qué volumen ocuparía? 8.

Junto con tus compañeros de equipo, tracen en una cartulina el plano para obtener la caja anterior, cuando x = 5. Ármenla, decórenla y preséntenla ante el resto del grupo.

División de polinomios La división es la operación inversa a la multiplicación. Consiste en averiguar cuántas veces cabe un número, llamado divisor, en otro número, denominado dividendo. Al resultado de la división se le conoce como cociente . Cuando la división no es exacta, quedará un residuo .

Dividendo

Cociente × divisor

=

+ residuo

75

Álgebra

Reglas para dividir Al igual que en la multiplicación, en la división se deben tomar en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes.

Ley de los signos

Ley de los exponentes

Signos iguales dan más (+)/(+) = + (–)/(–) = +

Una cantidad con exponente negativo pasa al denominador con exponente positivo: x

4

−

=

Signos distintos dan menos

4

76

x



División de monomios



División de un polinomio por un monomio



División de dos polinomios


desarrollar:


= x ⁷·³ = x ⁴

En la división de expresiones algebraicas, se pueden distinguir tres casos:

Atributos a


⁷

x

³

(+)/(–) = – (–)/(+) = –

1 x

Los exponentes de las mismas literales se restan


Un jardinero debe sembrar unos arbustos de arrayán alrededor de un jardín que tiene forma rectangular, y debe colocarlos cada 40 cm. El jardín tiene 4 metros de largo y 2 metros de ancho.

1.

¿Cuántos arbustos tendrá que sembrar en total?

2.

¿Qué operaciones tuviste que realizar para obtener tu respuesta?

3.

Si planta un rosal cada tres arrayanes, ¿cuántos rosales plantará en total?

4.

En papel milimétrico, dibuja cómo quedará el jardín con los arbustos y los rosales plantados en el lugar indicado.

5.

¿Qué escala utilizaste?


División de monomios Para dividir dos o más monomios, se deben tener en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes, y dividir los coecientes. Ejemplos 12 x

7

= 12 ÷ 4

4 x

5

− 5 x −5 +2

4

4 −1

x

y

3

x

7 −5

3

÷ 2 xy

= 3

= −

5 −

2

2

=

5

3− 3

y

x

3

0

x y

2

=

3

x

En cada ejemplo: Se aplica la ley de los signos.

4

2

1 −2

5

( −15ab ) ÷ ( −6a b) 15

−

a

b

4 −1

=

6

−

Se dividen los coecientes.

=

1

3

a b −

Se aplica la ley de los exponentes a las literales que se repiten.

=

2

5b3 2a 3

5

4

2

6mn p

=

3m n

−

1 4

2m

−

−

3 2 −

n

5

p

= −

3

5

2m np −

=

5

2np

−

3

m

Para dividir coecientes racionales, se multiplica el numerador de la primera cantidad por el denominador de la segunda, y se coloca en el numerador.

2   4   3 m n  ÷  − 5 m n  =     +2 4 − − ÷ m n = −3 5 5

2

3

5 3

2

− ×

5

3

4

2

m n

0

2

Posteriormente, se multiplica el denominador de la primera cantidad por el numerador de la segunda cantidad, y se coloca en el lugar del denominador:

2 2

=−

10 12

m

2

=−

5 6

m

2

3 4

2a m

−

3a

−

x +1

( 4a −

4 5

=

2

2

a

x

− x −

1

6

=

3× 6 4×5

18 =

20

9 =

10

m− 2

3

b) ÷ ( −5a b

ab

5 ÷

= −

x +2

4a 5b x

+

)

= −

4 5

a

x +1 − x

1 − x − 2

b

Cuando existen exponentes literales, también se restan, siguiendo las reglas de la resta algebraica.

1

77

Álgebra

Ejercicio 6



Aplicación de soluciones I.

Divide los siguientes monomios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10. 1.

(12 x) ÷ ( −4 x 2 )

2.

( −5m4 n5 ) ÷ (15m2 n3 )

3.

(33 x ) ÷ ( −11 x )

4.

(21mn) √ (14mn )

5. 6. 7. 8. 9.

5

12. 13.

4

2

(6

7

2 m n

2 3 m n

) ÷ ( −12

)

14.

(

2 x +3

−6m

−4 x

m+ 2

−2 x

m +1

−45a

2

n+ 1 n −1

y

2 x + 1

) (3m n p) x

÷

2

p

z

p

z

5− x

c

−15abc

2

26 x y

−13 x

2

15.

y

2

17.

y

10.  − 5 xy  ÷  − 2 xy 

3 

4

11.  a 4

 

2

3



  5   ÷  − 2 a b    

6

b

x +3

x −5

c

a 2

a

−4 x 2 y 2



2 x

a

−14 xy 4 −20 x

x

b c

5 +   6 x y   16.   3   − 10 x y   

12 x y

3

x

20a b

−32 x 3 y 2 −48 xy 3

x + 2

−5a

−18 xy −2 x 2 y 4

18.  5 m

x

78

y

b

3x

x

n p

3

5

n

3

 19.  − 3 m  4

  3 +   ÷  − m n    5  +   1 +  n  ÷  − 4 mn    

2x

2 x

x

3x 1

4

x

2


Dividir un polinomio entre un monomio La división de un polinomio entre un monomio corresponde a la propiedad distributiva de la división. Se debe dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, aplicando en cada cociente parcial la ley de los signos y la ley de los exponentes. Ejemplo (12 x 4 y 4 12 x 4 y 4 3 x 2 y 3

−

−

−

4 x 2 y

−

+

15 x 2 y 5

6 x 3 y 3 ) ÷ −3 x 2 y 3

+

15 x 2 y 5

6 x 3 y 3

+

3 x 2 y 3

5y2

−

=

3 x 2 y 3

−

=

−

2 x

Ejemplo

Dividir

16 x

3

−2

x

2

+ 12

x − 8 entre 4 x . 2

(16 x 3 16 x 3

x 2 + 12 x − 8 ) ÷ 4 x 2

x 2 + 12 x − 8 4 x 2

−2

16 x 3

2 x 2

−

4 x

2

4 x −

−2

1 2

4 x

2

+

3

+

12 x 4 x

2

−

=

8 4 x 2

=

2

−

x x 2

Dividir dos polinomios La división algebraica se realiza de manera similar a la división aritmética, y se puede resolver de la siguiente manera: Ejemplo

Dividir 8 x − 2x − 15 entre 2 x − 3 2

Se ordenan el dividendo y el divisor de manera decreciente en relación con la misma letra. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente. Se anota como cociente, se multiplica por todos los términos del divisor, colocándose en orden debajo del dividendo, y se restan.

(8 x 2 2 x

−

2x

−

15) ÷ (2 x − 3 )

− 3 8 x 2 − 2 x − 15

4 x x = 4 x 2 x à 2 x − 3 8 x − 2 x − 15

8

2

2

4 x 2 x

−3

8x

x

−8

/

2

2

−

2 x − 15

x 10 x

+ 12

79

Álgebra Se baja el siguiente término del dividendo y se coloca junto al residuo, que es el resultado de la resta.

Se divide el primer término del residuo entre el primer término del cociente, y se coloca como segundo término del cociente: Cociente 4 x + 5 Residuo 0

4 x + 5 2 x

x −8 x

−38

2

2

−

2 x − 15

x 10 x − 15

+ 12

4 x + 5 10 x 2 x

=5

2 x

−3

à

8x

2

x

2

−8

−

2 x − 15

x 10 x − 15

+ 12

4 x + 5

Se repite el proceso anterior, multiplicando el segundo término del cociente por el divisor, y restándolo al dividendo.

2 x

x −8 x

−38

2

2

−

2 x − 15

+ 12

x

10 x − 15

x + 15

− 10

0

Ejemplo

Dividir 9 x 3 x 3 x

3

9x

4

−9 x

4

−1

/

+ x

2

3

−

4

x

2

+

7

x − 2 entre 3 x − 1 .

2

− x + −

+

4

4x

2

+

7 x − 2

3 x

3 x

3 3

−3 x

/

−

Al ordenar el dividendo en orden decreciente, se deja un espacio para cada potencia faltante.

2

4 x

2

+ x − 3 x

2

+3 x

2

/

+

7 x

Cociente 3 x

− x

6 x − 2

+

−6 x +

3

+ x

2

− x +

2

Residuo 0

2

0

Ejemplo

Dividir 3a

5

a

+5

2

a + 15 entre a2 + 2 .

− 12

a3 − 6a + 5

3

2 + 5a − 12a + 15 a2 + 2 3a5 5 3 −3a − 6a 3 2 − 6a + 5a / 3 +6a + 12a 2 / + 5a / + 15 2 −5a − 10

/

80

−5

Cociente 3a Residuo 5

3

−6

a+5




Actuando sobre la realidad Aplicaciones de la división I.

Forma un equipo con algunos de tus compañeros para resolver los siguientes problemas en sus cuadernos. Al terminar, comenten con el resto del grupo sus resultados, señalando cómo resolvieron los problemas.

1.

Si el área del rectángulo es 12 x 2 + 22 x − 20 y de largo mide 6 x − 4, ¿cuánto mide de ancho?


6 x ‒ 4

2.

Agustín tiene que recorrer 6 x 3 + 13 x 2 + 5 x +25 kilómetros en 2 x + 5 horas. Indica, la expresión algebraica y a qué velocidad debe viajar : a) Si x = 6 , ¿cuántos kilómetros recorrió en total? b) Investiguen qué precio tiene el litro de gasolina Magna. Si el auto de Agustín consume 6.5 km/litro, ¿cuánto gastará en el recorrido? c)

3.

Durante cuatro horas tuvo que utilizar el aire acondicionado, por lo que el rendimiento del combustible bajó a 4.8 km/litro. ¿Cuánto gastó en gasolina al utilizar el aire acondicionado?

Un granjero tiene que colocar tres hilos de alambre de púas alrededor de una parcela, dejando sólo un espacio para la puerta. La parcela tiene un área de 24 x 2 + 10 x − 6, y la forma de la siguiente gura:

4 x + 3

2 x

a) ¿Cuántos metros de alambre debe instalar?

Potencias y radicales Actividad de aprendizaje 10 Actuando sobre la realidad En el jardín de la escuela hay 3 árboles de ciruelas. Cada árbol produce muchos frutos y actualmente tienen 3 ramas. Cada dos meses le crecen a cada rama 2 ramas nuevas. Cada rama da en promedio 3 ciruelas cada dos meses, por lo que cada curso escolar (semestre) se pueden obtener una buena cantidad de frutos. 81

Álgebra ¿Con cuántos frutos se puede contar al semestre? 

(3



(3 × 3 × 3 × 3) = 3



(3 × 3 × 3 × 3 × 3) = 35

×3×3

)

=

3

3

=

27 ciruelas en el primer bimestre 4

81 ciruelas en el segundo bimestre

=

=

243 ciruelas en el tercer bimestre

Propongan una idea creativa para aprovechar estas ciruelas convirtiéndolas en recursos para la escuela. Anoten sus conclusiones en su cuaderno de trabajo. La potencia de un número es el resultado de multiplicarlo tantas veces como lo indica su exponente. Exponente

n

Base

a n

a

=

... × a

a × a × a × a

{

Se multiplica a n veces

Ejemplos 8

2

3

5

3

4

5

2

a7

Ocho al cuadrado

=

8×8

=

5 × 5 × 5 = 1 25

Cinco al cubo

=

3×3×3×3

Tres a la cuarta potencia

=

2 × 2 × 2× 2 × 2 = 3 2

6

10

Se lee

=

=

=

64

=

81

10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

Dos a la quinta potencia =

Diez a la sexta potencia

1000000

a × a × a × a × a × a × a = a7

a a la séptima potencia

Cuando se eleva una cantidad positiva a cualquier potencia, el resultado siempre será positivo. Pero cuando se eleva una cantidad negativa a una potencia, su signo dependerá del exponente:

82

Una cantidad negativa con exponente par:

Da como resultado una cantidad positiva:

( 5)

Una cantidad negativa con exponente impar:

Da como resultado una cantidad negativa:

( 3)

4

−

=

( 5) ( 5) ( 5) ( 5)

=

( 3 ) ( 3 ) ( 3) ( 3) ( 3)

5

−

−

−

×

×

−

−

×

×

−

−

× −

×

−

= +6 25

×

−

= −243


Actividad de aprendizaje 11 Actuando sobre la realidad Imagina que tienes un negocio de cría de conejos y compras una pareja de estos animales, los cuales durante el primer semestre procrean tres parejas de crías. Vendes la pareja original y te quedas con las tres parejas de crías. Al pasar otro semestre, cada pareja tiene tres parejas de conejitos. Si los conejos se siguen reproduciendo de la misma forma y siempre vendes la pareja de los conejos adultos y te quedas con los recién nacidos, ¿cuántos parejas de conejos nacerán en el quinto semestre?

Recuerda: Una expresión de la forma 3 5 al número 3 se le llama base, y al número 5 se le llama exponente.

Si los conejos se reproducen de la misma forma, se tiene que en el primer semestre nacen tres parejas; en el segundo semestre, de cada pareja nacen tres es decir 3 x 3 = 32 = 9 parejas; en el tercer semestre, nacerán 9 x 3 parejas o, dicho de otra forma, 3 x 3 x 3 = 3 3 = 27 parejas, etc. La cantidad de parejas de conejos que nacen cada semestre en el criadero se pueden representar en la siguiente tabla:

Semestre

Cantidad de parejas de conejos que nacen

1

3

2

3 x 3 = 32

3

3 x 3 x 3 = 33

4

3 x 3 x 3 x 3 = 34

5

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35

Reúnete en pareja con algún compañero y completen la siguiente tabla, imaginando que ahora nacen b parejas de conejos.

Semestre

Cantidad de conejos que nacen

1

b

2

bxb=b2

3

b x b x b = b 2 x b = b 3

4

b2 x b2 = ____

5

___ x ____ = b 5

6

___ x b2 = ____

7

b x b x ___ x b2 = b7

83

Álgebra

Propiedades de las potencias Como ocurre con otras operaciones, las potencias poseen distintas propiedades, algunas de las cuales ya se han mencionado anteriormente. Producto de potencias

División de potencias am = am-n

am an = am+n •

an

Potencia de potencias

Potencia de un producto

(am)n = am n

(a b)m = ambm

•

•

Potencia de una fracción a

Potencia cero

= am

m

( ) b

a0 =

bm

Potencia negativa a-m

= 1 , 1 = a

Potencia fraccionaria

am

am / n =

-m

m

1

a

n

√am

Ejemplos

= 23+ 4 = 27 = 128

23  24 56 5

= 56− 4 = 52 = 25

4

3

(4 ) 2

= 42×3 = 46 = 4096 2

2

( 2 × 3) = 2 × 3 = 4 × 9 = 36 ο ( 2 × 3) = 6 = 36 2

2

3

2

3

3  −6  (−6)3 −216  −6   2  = 3 = 8 = −27 ο  2  = ( −3) = −2 2    

34 3

4

= 34 − 4 = 30 = 1 ο

2− 3

=

1 3

1 3

2

=

34 3

4

=

81 81

=1

1 8

= 32 = 9

−2

= 2 43 = 43 = 64 = 8 Es posible combinar algunas propiedades para simplicar cantidades que tienen que ver con potencias: 43 / 2

((

−2

5

) ( 2) −

3

(( ) ) −2

84

2

2

)

5+ 2

( 2) ( 2)

7

−

=

−

( 2) ( 2) −

2×3

=

6

−

7 −6

=

( 2) −

1

=

( 2) −

= −2


Radicales La radicación es la operación contraria a la potenciación. 1

Una raíz se puede expresar como una potencia fraccionaria: x = x

2

A su vez, un exponente fraccionario se puede expresar como radical: y = y 1

3

3

Radical

Índice del radical

3

64

Radicando

Si el índice del radical es par, el radicando siempre debe ser positivo: Si el índice del radical es impar, el radicando puede ser positivo: negativo:

3

64

−

81

32

=3.

= 2 o

.

4

=

5

4

−

Los exponentes fraccionarios tienen las mismas propiedades que los exponentes enteros. Ejemplos

( )( ) ( ) 2

4

3

x

3

x

4

3

3

5

a

= a

2

2 =

3

2

2 2

4

2

3

= x

= x

4



5

6 3

3

= a

5

1 2

1

=

1

22

−

1 3

=

2

1 6

=

6

2

= x

5

+

4 5

−

8 5

= x

−2

5

1 =

5

x 2

2

3

5

x 8

(

3

+4

3

4 5

x

2

= x

5

x

m n

3

)

1 2

= m

2 1

2

n

3  1

2

2

= m

1 =

2

5

2

x

3 2

n

3 2

= mn

2

= m

n

3

Las potencias con exponentes fraccionarios pueden simplicarse, sacando del radical las cantidades que tienen raíz y dejándolas indicadas como producto. Ejemplo 3

5

=

2

20

1

5

2

5

3

=

=

20

2

2

3 3 3

=

4 5

= 3 3

=2

3

=9

3

5

x = x = x x = x x 3

3

5

3

3

2

3

2


Aplicación de soluciones Completa la siguiente tabla con las potencias que ahí se indican:

I.

Número/ Potencia

n2

n3

n4

n5



1 2 3 4 5 85

Álgebra II.


Respuestas

1.

10.

2.

11.

3.

12.

4.

13.

5.

14.

6.

15.

7.

16.

8.

17.

9.

18. x x x 7

1.

2

11.  x   x  2

4

5

2

2

3 x y

2.

3

6 x y 4

3

5

2

4

2

x y z

3.

0

12.

( x

13.

( −5 x

3

1 4

2

8

4

5

4

  14.  x   y    2

2

2a b c 3

2

3

5

3

3

2

1

(16 x

9.

( −3abc ) ( −2a b c )

3

2

)

 16.  3 x  2 x 

8.

3

4

y

2

)

10.

4

2

y

2

2

4

2

2

  

  y  2

4

2

4

2

3

3

2

2

3

( −10 x y )

3

3

2

( 4 x

2

2

4

3

y z

) ( 3xyz )

5

3

3

4

2

2

3

3

2

4

(5a b c ) ( 2ab c ) (10a bc ) ( 6a b c ) 3

18.

2

3

4

  17.  x y z   2 xy z    2

3

 x y     6 x y 

y

4

)

2

3

3

1

5

2

(5 x

3

4

(

2

3

1 5

3

7.

m n

)

−3

2

3

( 2 x y )

3

y

) (2xyz )

2

y z

 15.  x  x  x 

( −6 xy )

6.

2 6

3

( −4a b c )

5.

1

5

6a b c 3

)( x

( −10 xyz )

x y z

4.

2

y

2

III. Expresa como exponente fraccionario lo siguiente. Realiza el procedimiento en tu

cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas. Respuestas

86

1.

5.

2.

6.

3.

7.

4.

8.


x

4.

2.

y 3

5.

y

6.

3.

4

3

3

x

7.

x

8.

2

2

5

3

2

5

3

2

2

27a b

5mnp

3

x y z

IV. Expresa como radicales lo siguiente. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y

escribe tus resultados en la pantalla de respuestas. Respuestas

1.

5.

2.

6.

3.

7.

4.

8. 3

1. x

5

3

2.

y

3.

( 2 y )

5

5 6

4.

a

5.

( x

6.

3

5 2

2

3

y

)

7.

(16 x )

8.

( x )

2

1 4

1 4

2

5

2

5 4


Razón y proporción El concepto de razón es muy importante en las matemáticas. La razón matemática es la relación comparativa entre dos mediciones de cualquier cosa que se representan con una cantidad: un cociente o división, por ejemplo: ¿Qué auto de los que aquí te mostramos es más veloz?

El Porsche Boxster S 2012, de origen alemán, recorrió 524 km en 2 horas.

El AEGT Quimera 2012,originario de España, recorrió 396 km en 1.32 horas.

Porsche Boxster S 2012. Como aprendiste en la secundaria, la fórmula para calcular la velocidad de un objeto en movimiento es v =d / t, así que si sustituimos 524/2 = 262, sabremos que este auto viajó a 262 km/h. AEGT Quimera 2012. Si utilizamos la fórmula nuevamente y sustituimos sus incógnitas, tenemos que 396/1.32 = 300, por lo que este auto viajó a 300 km/hr. Por tanto, al AEGT Quimera 2012, que va de los 0 a los 100 km en 3 segundos, se le considera actualmente el auto eléctrico más rápido del mundo. Sí, leíste bien, es eléctrico, por lo que además es ecológico, ¿qué te parece? 87

Álgebra Es importante que nos demos cuenta de que, cuando hablamos de la velocidad que alcanza un auto, estamos estableciendo una razón entre una cantidad de tiempo y la distancia que recorre, es decir, la cantidad de kilómetros que son recorridos por cada hora. Esto es una razón matemática que todos entendemos cuando hablamos de autos, y se representa así: km/h.

Proporción Existen casos en los que debemos relacionar más de dos cantidades. Por ejemplo: El paquete de 18 rollos de papel higiénico se estaba comprando inicialmente en $95.00 pesos, pero tus compañeros y tú han conseguido un descuento de $19.00 pesos por paquete con un mayorista, aunque con otro consiguen un descuento del 18%. ¿Cuál les conviene más comprar? Respuesta:

El presupuesto que han conseguido para desinfectante de pisos y baños es de $10.00 pesos el litro. Si antes se conseguía en $45.00 pesos el galón, ¿es conveniente esta oferta? Respuesta:

La manera más fácil de resolver estos problemas es usando una regla de tres, que ya has aprendido. Esta regla es un ejemplo de proporción, ya que se establece una relación de igualdad entre dos razones y se aplica el concepto de razón para más de dos cantidades cuando normalmente se desconoce una. La regla de tres sigue el siguiente formato: Si 95 es el 100% ¿qué porcentaje será 19 ( x )? Ejemplicando algebraicamente, tendríamos que 95 19

×

100

x

Por lo tanto, para sacar x multiplicaremos 19 por 100, y este resul-

tado lo dividiremos entre 95, con lo que obtenemos que 19 es el 20% del total. Ahora bien, ¿qué oferta conviene más? Si utilizas esta regla de tres para resolver los problemas que aparecen arriba, obtendrás una forma práctica y ágil de encontrar los resultados. Necesitarán mucho de esta habilidad para comparar precios y determinar ahorros posibles para la comunidad escolar.

Actividad de aprendizaje 13 Actividad de indagación Organizados en equipos, investiguen en el internet cuáles son las propiedades de las proporciones para poder explicarlas frente al grupo. Participen aportando información y comentarios en la siguiente parte de la actividad. Realicen una lluvia de ideas donde todos vayan presentando la información, y llenen el cuadro inferior con la explicación correspondiente a cada una. Conforme lo vayan entendiendo, conrmen con su profesor que sea correcto el aprendizaje. 88

Unidad II Operaciones fundamentales Propiedad 1 ¿Cómo se explica?

Propiedad 2 ¿Cómo se explica?

Propiedad 3 ¿Cómo se explica? Un ejemplo de proporción de reconocimiento universal es la proporción aurea.

El número áureo 1.6180339887498948482041 8

13 2

1

3 5

La sección áurea es en matemáticas, una proporción que se obtiene al dividir un segmento en dos partes, de manera que el cociente entre la longitud del segmento mayor y la longitud del segmento menor será igual al cociente entre la longitud del segmento inicial y la del segmento mayor. Es decir, conocida con la letra griega φ ().

a b

=

a+b a

. Esta proporción tiene el valor numérico 1.618...

a

b

a+b

Esta proporción se puede calcular de la siguiente manera: si a + b = 1 y la longitud x 1 de a = x, entonces a = a + b se convierte en . Despejando ambos lados de la 1 x x b a ecuación y multiplicando, se tiene que x 2 = 1 − x; por tanto, x2 + x – 1 = 0. Esta ecua ción de segundo grado se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática, que da x = =

−

0.6180339…, que nos da la proporción

1

x

= 1.6180339...

89

Álgebra Ciertos historiadores arman que las propiedades de las secciones áureas ayudaron a los discípulos del matemático y lósofo griego Pitágoras a descubrir las rectas inconmen surables, que son el equivalente geométrico de los números irracionales; lo que es cierto es que, desde la Antigüedad, muchos lósofos, artistas y matemáticos se han interesado por la sección áurea, que los escritores del Renacimiento llamaron proporción divina.

La Gioconda de Leonardo da Vinci.

La denominación , la propuso en 1900 el matemático Mark Barr, en honor al griego Fidias.

Leonardo da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la Literatura a otro de sus nombres, el de Divina proporción. Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de fguras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la Antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C. En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que “la división de un segmento en media extrema y razón” era conocida generalmente como “la sección”. En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. Platón (circa 428-347 a. C.) consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos. La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Para que un rectángulo se pueda considerar como “rectángulo áureo”, debe existir una proporción áurea entre su base y su altura. Euclides obtuvo un rectángulo áureo a partir de un cuadrado, tomando el punto medio de uno de sus lados y considerando la distancia que existe entre el punto medio y uno de sus vértices. A

C

E Punto medio

B

A

D

C

B

E

D

F Distancia EB = EF

entre CD

Utiliza tu regla y compás para generar rectángulos áureos a partir de los siguientes cuadrados. Mide sus lados y comprueba que existe la proporción áurea.

90

Unidad II Operaciones fundamentales Para complementar la lectura anterior, te proponemos que realices la siguiente actividad: 

Investigar cómo se generan rectángulos áureos a partir de otro ya existente.



Investigar en dónde se puede observar la proporción áurea, tanto en la naturaleza como en las creaciones del ser humano:

Te sugerimos, para comprender mejor sobre el número aúreo, ver la película Pi el orden del caos del director Darren Aronofsky.

En la naturaleza  En el cuerpo humano  En la arquitectura  En las artes Realiza una presentación electrónica, en donde : 



Expongas la proporción áurea en la naturaleza y en la cultura.  Añade una animación que muestre cómo se genera un rectángulo áureo a partir de un cuadrado y de otro rectángulo áureo. Elabora un díptico con la información de tu presentación electrónica y difúndelo en tu comunidad escolar. 



¿Qué pasaría si extendieras este ejercicio y tu reto a otros contextos, por ejemplo, a tu casa?

¿Qué aspectos cambiarían si trasladas este reto a otro lugar?

Si quieres saber más acerca de las proporciones, puedes acceder a la información enriquecedora para estudiantes que se encuentra en la página de la editorial: www.bookmart.com.mx

Productos notables Afrontando el reto Los productos notables son productos que se pueden calcular mediante fórmulas preestablecidas, es decir, se resuelven por simple inspección, sin necesidad de que sean desarrollados en su totalidad. Entre los productos notables más comunes, encontramos los siguientes:

(a + b)2 Binomios al cuadrado

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Producto de dos binomios con un término común

(a ‒ b)2

(a + b)(a ‒ b)

(a + b)(a + c )

(a + b)3

Productos notables Binomios al cubo

(a ‒ b)3

(a + b)n Binomios elevados a la potencia n (a ‒ b)n

91

Álgebra Binomios al cuadrado Si desarrollamos como producto (a + b)2 , obtenemos:

(a

+

b

)(a

+

b

)

=

a

2

+ ab + ab + b

2

=

a

2

+

2ab + b 2

De la misma manera se desarrolla el producto ( a − b)2 y obtenemos:

{ (a

−b

)(a

−b

)

=

a

2

− ab − ab + b

a+b

a + b

{

a

=

a

2

a

b

a a b

2

b

a ‒ b

{

{ −

2ab + b 2

b

a‒b

b

Se encima dos veces

b

b

(a ‒ b)2 = a2 ‒ 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplos 2

( a 3) a ( x 5) x (3 x 2 y ) +

=

2

−

=

2

2

2

−

(5a

3

+

=

4b2

)

+

2(3)a + 9

−

2(5) x

9 x 2

2

=

−

+

=

25

a2 =

+

x2

6a

−

+

10 x + 25

2(3 x )(2 y ) + 4 y 2

25a6

+

9

=

2(5a3 )(4 4b2 ) + 16b 4

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

=

12 xy

+

4 y 2

25a6

+

40a3 b2

+

16b4

Construyendo soluciones Practica tus habilidades y construye destrezas para acrecentar competencias. I.

Escribe el resultado del producto por simple inspección. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

92

−

Ejercicio 7


9x2

1.

9.

2.

10.

3.

11.

4.

12.

5.

13.

6.

14.

7.

15.

8.

16.


2

1.

( a 2)

2.

( x − 3)

3.

( a − 7 )

4.

( y 6 )

5.

( x )

2

(3a − b )

2

6.

+

2

2

7.

( x − 6 y )

8.

(4

9.

( x

2

10.

(a

3

11.

(3 x

2

+

2

+5

2

13.

(

14.

( 2 x

2

m

− 5n )

− 9 y ) b

+ 4

+

2

2

a

x

− 3)

2

m

 x 

15.  + 2

2

)

3

4 y

12. ( 2ab − 6c )

)

2

y

n

− 8 xy ) 2

  3 

2 y

 3a 10b  16.  −  3   5 2

2

2

2

Productos de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados) Sea el producto

(a + b)(a − b) = a 2

� �

− ab +

ab

Por lo que podemos deducir que

−b

2

=

a

2

−b

2

.

(a + b)(a − b ) = a 2

−b

2

a

b

a‒b

a+b

a

b

(a + b)(a ‒ b) = a2 ‒ b2

Ejemplos

( x 2) ( x 2) x (3 z 4 ) (3z 4 ) +

−

+

(5a

m

−

+

b

n

2

=

) (5a

=

m

−

−

4 2

9 z

b

n

)

− 16

=

25a

2m

−

2n

b


Este ejercicio te servirá para afrontar tu reto porque permitirá mejorar las competencias que facilitan realizar mediciones correctas de áreas de supercie y volúmenes.

I.




93

Álgebra Respuestas

1.

9.

2.

10.

3.

11.

4.

12.

5.

13.

6.

14.

7.

15.

8.

16.

1.

( a 3) ( a 3 )

9.

( 8 x

2.

( x 5) ( x 5 )

10.

( x

3.

(3a

11.

(10 x

4.

( 4 xy

12.

( 7a b

5.

( 6a

+5

6.

(3a

+

+

−

+

+

7.

(12 x

8.

(13

−

7

) (3a

+

6

) ( 4 xy

) ( 6a

4b

7

−

−5

) ( 3a

+ 11 yz

m + 15n

−

) −

6

)

)

3

2

+

+

9 yz

y

4

3

4

) (8 x

)(x

3

+ 12 y

+

6c

2

3

)

2

− 9 yz

4

−

y

)

) (10 x

) ( 7a b 3

4

−

)

) (12 x

) (13

m

)

− 11 yz

m − 15n

2

)

)

6c

 x a   x a  b 13.  + 3 y   − 3 y b  5   5  14. ( 7 x y + 9 ) ( 7 x y − 9 ) 2

4b

3

− 12 y

2

n

m

n

15.  5 x + 2 y   5 x − 2 y 

 2 3   2 3     16.  m + 4n   m − 4n   5 3   5 3 

)

2

2

Producto de dos binomios con un término común Hay multiplicaciones de dos binomios que tienen un término en común, como en el siguiente caso: (a + b)( a + c )

Si desarrollamos el producto (a + b )(a + c ) = a 2 + ab + ac + bc y aplicamos la propiedad distributiva, obtenemos que: (a + b)(a + c ) = a 2 + (b + c )a + bc . Ejemplos

( ( (2

x +

2 ) ( x + 3)

= x

x +

5) ( x − 4 )

= x

a+

94

4 ) ( 2a + 6 )

2

+ (2 + 3) x + (2 )(3) = x

2

+ (5 −

=

4 a2

4 ) x + (5)( −4 )

+ (4 +

2

= x

+ 5 x + 2

6)2a + ( 4)(6)

6

+ x − 20

=

4a2

+

20a + 24


Ejercicio 8





Respuestas

1.

9.

2.

10.

3.

11.

4.

12.

5.

13.

6.

14.

7.

15.

8.

16.

8.

( m 3) ( m 4 ) (a 8) (a 5) ( x − 3) ( x − 7 ) ( 4ab 6 ) ( 4ab 3) ( 2a 5) ( 2a 4 ) (3 4 x ) ( 3 8 x ) ( 7 x yz ) ( 7 x 11 yz ) (3a 5b ) (3a 15b )

9.

( 6 x

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

+

10. ( x

+

+

−

+

+

2

9

) ( 6 x

2

+

8

n

+

4

3

m

+

a

−

−

m

+

−

−

−

n

−

 2 4   2 3     15.  x + 1   x − 3   4   4     16.  m − n   m − n   6 2   6 

+

+

3

14.  3 x + 5 y   3 x − 2 y 

−

+

3

13.

−

+

4

12.

) ( x 4 ) 2 ) (11 x 12 ) 6 ) ( 3a b 9 ) 2) ( a b 9)

+ 11

(11 x (3a b (a b

11.

+

3

a

2

)

Binomios al cubo

2

Un binomio al cubo como (a + b)3 se puede representar como: ( a + b)3 = (a + b)2 (a + b), el cual, una vez desarrollado su primer término, quedaría como: ( a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b). Al realizar nuevamente este producto, obtendríamos a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, por lo que podemos deducir que:

(a

+

b

3

)

=

a

3

+ 3a

2

b + 3ab

2

3

+b

De igual manera podemos resolver la diferencia de dos cantidades al cubo:

(a

−

b

3

)

a

=

3

− 3a

2

b + 3ab

2

3

−b

Ejemplos

( x

3

+

2)

3a − 4b

=

x

3

3

=

−

3 x 2 (2) + 3 x ( 2 )

(3a )3

−

2

−

23

=

x

3

−

6 x2

3(3a )2 ( 4b) + 3(3a)( 4b)2

−

+

12 x − 8

( 4b)3

=

27a3

−

108a2 b + 144ab2

−

6

95

Álgebra

Ejercicio 9


5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.



Respuestas

1.

9.

2.

10.

3.

11.

4.

12.

5.

13.

6.

14.

7.

15.

8.

16. 3

1.

( x 5)

2.

(c

3.

( a − 3)

4.

( x 7 )

+

+

6

3

)

3

3

+

3

5.

( 2 x

6.

(3 x − 2 y )

+

4

)

(a

8.

( 4 x − 5 y )

9.

(a

2

10.

( x

2

11. 3

3

7.

+

4b

)

3

(2a

3

− 8b ) + 5

3

y

+

3

3

(

14.

( x

a

m

− 5)

3

m

n

y

− 8)

  15.  x + 3 y   3 2 

)

3b

3

13.

)

3

  16.  4 x − 5 y  2   5 2

3

3

3

12. ( 2ab − 6c )

Desarrollo del reto Te sugerimos que durante el desarrollo del reto consideres lo siguiente:

96

1.

¿Cuántos estudiantes utilizan los baños escolares por semana?

2.

¿Qué consumo de papel higiénico por semana corresponde a cada estudiante? ¿Qué consumo diario corresponde a cada estudiante? Considera el número de días hábiles para tu cálculo.

3.

Supongamos que son 300 los estudiantes que utilizan los baños, ¿qué procedimiento seguirás para encontrar la respuesta?

4.

¿Cómo interpretas el resultado? ¿Realmente crees que un estudiante consuma esa cantidad de papel higiénico semanal? ¿Es suciente esa cantidad por estudiante? ¿Es más que suciente esta cantidad por estudiante?

5.

Algunas veces en un presupuesto se calcula menos de lo que realmente se requiere. Considera la posibilidad de que se esté gastando incluso menos de lo que se requiere, y esto es simplemente porque no hay recursos para gastar en forma siquiera suciente.

6.

Cuántas conclusiones podemos obtener de nuestra interpretación de resultados. Acostúmbrate a buscar el panorama mayor, a ver más allá, para encontrar la verdad. Tal vez haya que ahorrar en unas cosas para poder gastar más en otras.


Estudiantes que utilizan el baño por semana

Consumo de papel por semana

Procedimiento por 300 estudiantes

Consumo diario

Blaise Pascal

Importante lósofo y matemático francés que vivió en el siglo XVII y contribuyó notablemente al desarrollo de las matemáticas. Entre otras contribuciones, creó la teoría de la probabilidad, describió las propiedades del triángulo aritmético, mejor conocido como triángulo de Pascal, realizó estudios sobre los uidos, inventó las calculadoras mecánicas y fue precursor del existencialismo. Junto con Charles Babbage, es considerado el padre de las computadoras.


Binomios elevados a la potencia n Si tenemos un binomio elevado a una potencia n cualquiera, éste puede expresarse de la siguiente manera:

(a

+

b

)

n

=

(a

+

b

) (a ⋅

+

b

)

⋅… ⋅

(a

+

b

)

�   

n veces

Para simplicar su desarrollo, se puede resolver utilizando el triángulo de Pascal.

Triángulo de Pascal1 El triángulo de Pascal está formado por una serie de números, y es utilizado principalmente para calcular los coecientes de un binomio elevado a una potencia. Debe su nombre a Blaise Pascal, quien en 1653 dio a conocer varias de sus propiedades mediante un tratado, aunque en realidad su invención es obra de los chinos, que ya lo habían desarrollado varios siglos antes. Para realizar un triángulo de Pascal, se utiliza el siguiente algoritmo:   







Fig. 2.2 Blaise Pascal (1623-1662). Se coloca el número 1 en el medio de la primera la. El primero y el último número de cada la es 1. Se suman dos números continuos y el resultado se coloca en medio de ambos, en la hilera de abajo. 1 Los números de cada hilera son los factores por los que se multiplicarán 1 1 los coecientes binomiales. 1 2 1 Se deben desarrollar tantas las como lo indique la potencia del binomio. 1 3 3 1 El segundo número de cada hilera indica a qué potencia está elevado 1 4 6 4 el binomio. 1

1

5

6

10

15

10

20

1

5

15

1 6

www.portalplanetasedna.com

1

97

1

Álgebra Desplegar todos los términos de un binomio elevado a la potencia n, utilizando el triángulo de Pascal, se puede realizar de la siguiente manera:

(a

5

)

b

+

a) Se desarrolla el triángulo de Pascal hasta la hilera que indique Su potencia es 5, por lo que el triángulo se desarrollará hasta la hilera 6. la potencia del binomio. 1 5 10 10 5 1 b) Se escribe el primer término del binomio, elevado a la potencia de éste. c)

a

5

a

a

5

a b

4

a

3

a

2

1

Va decreciendo el exponente en cada término.

d) El segundo término del binomio, con exponente 1, se asigna en el segundo término del polinomio desarrollado. e) Va creciendo el exponente en cada término, hasta llegar a la potencia del binomio. Se colocan los coecientes en cada término, de acuerdo con el triángulo de Pascal. g) Si el binomio es una suma, todos los términos son positivos. h) Si el binomio es una resta, los signos se alternan: positivo y negativo.

4

a

1

3

a b

2

2

a b

3

1

a b

4

b

5

f)

a5 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5 a55 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b

Ejemplo

( x

− 3y

6

)

=

x

6

= x = x

98

6

6x

−

6x

5

(3 y ) (3 y )

− 18 x

5

y

+ 15 x

(3y )

4

(9y )

+ 15 x

+ 135 x

2

4

4

y

2

2

− −

20 x

20 x 3

− 540 x

3

y y

3

( 3y )

3

3

+

15x

( 27 y ) 3

+ 1215 x

+ 2

2

( 3y ) 2

15x

y

4

4

−

y ) ( 81 y 4

− 1458 xy

5

6

( ) ( 3 y )

6x 3 y

5

−

+

(

6 x 243 y

+

5

)

+

6

729 y

6

729 y




6

5

−


Otra forma de ahorro que pudiera sugerirse sería elaborar nuestras propias cajas organizadoras u ordenadoras de materiales. Esta elaboración, además, se te va a facilitar mucho con los que ahora estamos aprendiendo.

Unidad II Operaciones fundamentales Aplicación de productos notables I.

Organizados en parejas, encuentren la solución para cada uno de los siguientes problemas, determinando cuál es el producto notable que mejor se aplica en cada caso: Problema

Fórmulas y desarrollo

Producto notable que se aplicó

3 x - 5

3 x - 5

Hallar el volumen del cubo

2

x

x – x +

– 9

3

3

Hallar el área de la base Hallar el volumen del prisma rectangular

x +

4

x –

3

Calcular el área del triángulo II.

Investiga lo siguiente y escribe un reporte al respecto en tu cuaderno.

1.

¿Cuáles fueron las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas?

2.

¿Qué es el binomio de Newton y cómo se desarrolla?

3.

Explica a tus compañeros el método para desarrollar el binomio de Newton. Reexiona: Consulta la teoría siguiente para solucionar el reto.

99

Álgebra

Factorización Afrontando el reto El producto de una multiplicación puede obtenerse de diferentes conjuntos de factores. Ejemplo

Algunos factores de 40 pueden ser: 10× 4 = 40 20×2= 40 2×5×4 = 40

Un número puede tener por lo menos dos factores: la unidad y el número. Cuando sólo presenta estos dos factores, se dice que es un número primo. Algunos números primos son: 2 = 2 ×1

11 =11 ×1

3 = 3 ×1

13 =13 ×1

5 = 5 ×1

17 = 17 ×1

7 =7 ×1

19 = 19 × 1

En un término algebraico, sus factores son el coeciente y cada una de sus literales. Un polinomio puede tener varios factores que, al multiplicarse, dan como resultado al propio polinomio. Hasta aquí se utilizaron los productos notables para simplicar el producto entre dos o más factores. Ahora, en la factorización, realizaremos el proceso contrario, es decir, obtendremos los factores que forman un polinomio. Muchos tipos de polinomios siguen un patrón, por lo que podemos hallar sus factores utilizando los casos que a continuación se muestran: Factor común monomio Factor común

Agrupación de términos semejantes

Factor común polinomio

a2 +

2ab + b2

a2 ‒

2ab + b2

Trinomio cuadrado per fecto

Trinomio de la forma x 2 + bx + c

Casos de factorización

Trinomio de la forma ax 2 + bx + c Diferencia de cuadrados perfectos

a2 ‒ b2 a3 + b3

Cubo perfecto de binomio

Suma y diferencia de cubos perfectos a3 ‒ b3

Suma o diferencia de dos potencias iguales

100

an ‒ bn





Escribe todos los números primos que existen entre el 1 y el 100. Para ello, puedes utilizar el siguiente algoritmo:

1.

Escribe todos los números del 1 al 100.

2.

Tacha los números pares, excepto el 2.

3.

Tacha todos los múltiplos de 3, excepto el 3.

4.

Tacha todos los múltiplos de los siguientes números primos.

5.

Los números primos son aquéllos que no quedaron tachados.

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, dentro de distintos equipos de trabajo.

a) ¿Cuál fue el último número primo cuyos múltiplos tuviste que tachar? b) Investiga qué nombre recibe el algoritmo anterior. c)

Forma un equipo con algunos de tus compañeros, y juntos piensen en otro procedimiento para determinar los números primos.

Recuerda que los términos de una multiplicación son los factores y el producto, y que éste es el resultado de multiplicar aquéllos.

Factor común (máximo común divisor: MCD) El factor común de un polinomio es la expresión algebraica mayor que puede dividir con exactitud cada uno de los términos del polinomio, por lo cual se le denomina usualmente máximo común divisor (MCD).

Factor común monomio Para obtener el factor común monomio de un polinomio, se deben llevar a cabo las siguientes acciones: 

Determinar el máximo factor común de cada uno de los coecientes, que es el máximo común divisor, es decir, el mayor número que divide a todos los coecientes.



Encontrar el factor común de las literales, escribiendo todas aquéllas que se repiten, y tomando el menor exponente de cada una de ellas.



Dividir cada término del polinomio entre el factor común.



Expresar los factores como el producto del factor común por el resultado de la división. Ejemplo

Factorizar

2

5 x y

3

− 15 x

3

y

2

+ 30 x

4

y



El factor común es



Cada término del polinomio se divide entre el factor común: 2

3

5 x y 2

5 x y 

3

−

2

15 x y 2

5 x y

2

5 x y

.

4

+

30 x y 2

5 x y

=

y

2

Se expresan los dos factores

2

− 3 xy + 6 x

2

(

5 x y y

2

−

3 xy

+

2

6 x

). 101

Álgebra Ejemplo

Factorizar

2

3

12a b c

+

42a b

4

6

2

.

+

5

4

24a b c

2

− 36a

3

5

3

b c



El factor común es



Cada término del polinomio se divide entre el factor común: 2

3

4

12a b c 2

42a b +

3

6a b

2

6a b

3

6a b

6

5

4

2

3

2

6a b

5

3

36a b c −

3




3

24a b c +

2

2

3

6a b

(2c

2c

=

3

6a b

+

2

+ 7a

3

7a b

2

3

b

+

3

2

4a bc

+


2

− 6ab

2

3

6ab c

−

2

c . 3

).

Ejercicio 10


3

4a bc


Factorizar los siguientes polinomios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

1.

4 x

2.

10w

3.

26wz

4.

14a b

5.

6 x y z

4

− 12 4

2

4

x

3

w

− 15

6x

+

2

+

x

6

+ 30

2

− 28a

−8

w

3

− 39w z 3

2

3

3

b

3

3

2

+ 52w z 4

−

3

9x y z

2

5

42ab − 5x

2

+ 4

4

70a b

y z

3

2

+ 12 xyz

6.

a

7.

36 x y z

8.

x + x + x + x

9.

50m

10.

11a b

8

a

−

3

6

+

3

2

a

4

3

2

4

−

a

3

− 54 x 4

+

2

2

+

3

+ 18 xyz −

4

3

4

4

2

+ 150mn

4

22a b

3

−

55a b

5

2

−

3

− 200m n 6

33a b

5

+

En algunas ocasiones los términos del polinomio tienen como factor común a un polinomio. Ejemplo x (w

+

y

− 2) −

w

−

y + 2



Se puede expresar el polinomio como



El factor común es el binomio

(w

+

x (w

+

y

−

2) − (w

+

y − 2) .

y − 2) .

Cada término del polinomio se divide entre el factor común: x (w

(w 

102

+

+

y − 2) y − 2)

−

(w

+

y − 2)

(w

+

y − 2)

=

x − 1


( x

−

1)(w

+

y − 2) .

7

44a b

Factor común polinomio Factorizar

2

90 x y z

5

3

4

2

y z

n − 100m n

3

a

2

Unidad II Operaciones fundamentales Ejemplo

Factorizar

4 x

(a

−

b ) + 8ay − 8by



La expresión dada se escribe como:



El factor común es: 4 ( a − b ) .



Ahora se divide cada término del polinomio entre 4 ( a − b ) :

( a b) 4 (a b)

4 x

( ) y ( a b ) 4 (a b)

2 4

−

+

−

4 x

(a

−

b ) + 8 y ( a − b) .

−

=

x + 2 y

−

Expresamos el producto de ambos factores 4 ( a − b ) ( x − 2 y ) .




desarrollar:

Descompón en dos factores las siguientes expresiones algebraicas. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

1. 2.

3( x

3.

4m( x − y ) − 3n (x − y ) − 2( x − y )

−

a(2 x

2

4 ) + y ( x − 4 ) −

1) − b(2 x

−

2

1) + 5(2 x

2

−

1)

4.

x ( x

5.

2(a + b + c ) − 3 x ( a + b + c ) − y (a + b + c )

+ 3) − 8 y ( x

+ 3) − ( x

+ 3)

Atributos a


6.

an( x

−

y) + x

7.

5 − x

+

y (5 − x ) − z (5 − x )

8.

x (a + b) − a

9.

−3 x −

−

−

y

b

4 + a(3 x

+

4 ) − 5 x(3 x + 4 )

10. ( x + 1)( x − 7) − 3( x − 7) + x − 7

Factor común por agrupación de términos Existen polinomios en los que no todos los términos tienen un factor común, no obstante lo cual, si aplicamos la propiedad asociativa y agrupamos los términos por semejanzas, podemos obtener sus factores. Ejemplo

Factorizar 4 x + 6 x + 2x + 3 3

2

( 4 x

x

) (2x 3).



Se aplica la propiedad asociativa:



A cada paréntesis, se le saca factor común: 2 x 2 (2 x + 3 ) + (2x + 3 ).



Se obtiene el factor común polinomio : (2 x + 3)(2 x 2 + 1).

3

+

6

2

+

+

Ejemplo

Factorizar 8bx − 5ay − 2ax + 20by 

Se aplica la propiedad asociativa:



A cada paréntesis, se le saca factor común: 2 x( 4b − a) + 5 y ( −a + 4b ).



Se acomodan los términos del segundo binomio: 2 x ( 4b − a ) + 5 y ( 4b − a ).



Se obtiene el factor común polinomio:

(8bx

−

2ax ) + ( −5ay

( 4b − a )(2 x

+

+5

20by ) .

y ).

103

Álgebra

Ejercicio 12




Factoriza agrupando términos semejantes. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

1.

x + 5 x + x + 5

2.

12a

3.

2

4.

x + x + x + 1

5.

21ax

3

a

2

2

4

a

−3

4

+

3

3

+

8a

a − 6a

3

−

2

a

−3

4

2

− 14bx +

6b − 9a

+ 1 + 6my + 3m

6.

2 y

7.

15ax

8.

2a xy

−

9.

2a

−

x

+

10.

3mx

−

2ny

−

2

5b

2

x

6 xy

y

2

y

−3+

a

+

2b

ay

−6 2

− 1 + 2ax − 2ay +

3my

−

2nx

− 6m +

4n

Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es el que resulta de elevar un binomio al cuadrado, de tal manera que: 2

( x

+

y)

( x

−

y)

2

=

x

=

x

2 2

+

2 xy

2

+

y

− 2 xy +

y

2

son trinomios cuadrados perfectos.

Para identicar un trinomio cuadrado perfecto, se debe vericar que presente las siguientes características: 

Tener tres términos.



Estar ordenado con respecto de una literal, ya sea en orden decreciente o creciente.



Que tanto su primero como su último término sean positivos y tengan raíz cuadrada perfecta.



Que el segundo término, que puede ser positivo o negativo, sea el doble del producto de las raíces del primero y del último.



Una vez que identicaste el trinomio cuadrado perfecto, sus factores serán un binomio al cuadrado, compuesto por las raíces del primero y del tercer término, separadas por el mismo signo que el segundo término. Ejemplo x

2

+ 10 xy + 25 y 2

Comprobar si es trinomio cuadrado perfecto. x

2 =

x

25 y

2 =

5 y

Tanto el primero como el último término tienen raíz

cuadrada perfecta. 2( x )(5 y ) = 10 xy El

104

anteriores.

segundo término es igual al doble producto de las raíces


( x + 5 y )

2

Binomio resultante.

Ejemplo 9a

2

−

2

42ab

+

49b

4

Comprobar si es trinomio cuadrado perfecto. 9a

2 =

3a

49b

4

2

=

7b

El primero y el último término tienen raíz cuadrada

perfecta. 2(3a )(7 b2 ) = 42ab2 El segundo término es igual al doble producto de las raíces

anteriores.

(3a − 7 b2)2 Binomio resultante.

Ejercicio 13

desarrollar:


Marca con TCP los polinomios que sean trinomios cuadrados perfectos y obtén sus factores. Tacha los polinomios que no sean TCP e indica por qué no lo son. Escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

20.

1. x

2

−6

x + 9

11.

x

+ 6 x + 9 y 2

2

a + 8a + 16

12.

4 x y

3.

y

y + 25

13.

169a

4. x + 14 x + 49

14.

36m

2

15.

36m

2

16.

x

2

− 15

2

5.

2

x

− 16 xy +

2

64 y

6. x − 12x − 36 2

7.

a

8.

y

2

2

− 18ab +

22wy

−

10.

2

−

9

2

2

4 xyz

−

+

2

z

+ 52ab + 4b2 − 24mn + 16n −

2

48mn + 16n

2 xyz 15

2

2

2

y z

+

25

2

2

+ 121w

17.

x

5a

36

+ xy + 9 y 2

a +1

2

1

5

25

19.

25 x

20.

144 x y

2

25m

2

2

18.

9. x + x + 2

81b


2.

2

Atributos a

+ 30mn + 9n2

2

− 10 4

− 10 4

2

x

2

+1

− 72 x

2

yz

2

+

4

9 z

105

Álgebra Trinomio de la forma x 2 + bx + c Los trinomios que tienen la forma x + bx + c no son trinomios cuadrados perfectos, sino el resultado de los productos notables de binomios que tienen un término en común. De tal manera que ( x + m) ( x + n) = x + (m + n) x +mn, donde (m + n) es el coeciente del término bx y, mn, el término c. 

Para resolver este tipo de trinomios, se deben cumplir los siguientes pasos: Encontrar dos factores cuyo producto sea igual al tercer término. Los factores pueden ser: 

Los dos positivos.



Los dos negativos.



Uno positivo y otro negativo.



La suma de los valores anteriores debe ser igual al segundo término.



Aplicar la ley de los signos de la adición al sumar los dos valores, para que el signo coincida con el del segundo término.

Ejemplo

x + 6 x + 8 2

Factores de 8 à 4 y 2 Como todos los términos del trinomio son positivos, los factores serán positivos. Sumando 4 y 2 obtenemos el coeciente del segundo término: 4 + 2 = 6. ( x + 2)( x + 4 ) Factores resultantes. Ejemplo

a

2

+

2a

− 15

Factores de 15 à 5 y 3 Como el tercer término del trinomio es negativo, uno de los factores es positivo y, el otro, negativo. La suma debe dar 2, por lo que los factores serán 5 y −3. ( x

+ 5)(

x − 3) Factores resultantes.

Ejemplo

x − x − 56 Factores de 56 à 8 y 7 Como el tercer término del trinomio es negativo, uno de los factores es positivo y, el otro, negativo. La suma debe dar −1, por lo que los factores serán −8 y 7. 2

( x

− 8 )(

x + 7) Factores resultantes.

Ejemplo

y − 7 y + 12 Factores de 12 à 4 y 3 Como la suma de los factores debe ser negativa y el tercer término es positivo, los dos factores son negativos: −4 y −3. 2

( y − 4 )( y − 3)

106

Factores resultantes.



Descompón en dos factores los siguientes trinomios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

20.

1. x + 3x + 2 2

12.

a

2

+

9ab − 52b

13. x + 20 x + 75

3.

a − 2a − 63

14. y − 16 y − 80

4.

x

2

5. x

2

6.

2

a

7. x 8.

+ 5 xy − −8

4

2

2

24 y

x + 15

− 16ab + 55b

a

10.

x

15. a

2

16.

6

x

−

+

2

18.

+

2

− 2ab − 120b2

19. y

2

+ 5 xy − 50 y

2

− 18

+3

2

x − 28 a

2

25a + 100

− 6 x 3 y 2 − 72 y 4

2

y − 7 y − 30

9.

2

17. x

2


2

y + 11 y + 30 2

desarrollar:


2.

2

Atributos a

x 20

5ab 6

2

1 −

+ 10

20

+

b

2

6

y − 600

20. a + 35a + 300 2

11. x

2

x + 72

Trinomio de la forma

ax 2 + bx +c

Un trinomio de la forma ax 2 + bx + c se diferencia de los trinomios anteriores, en que el coeciente del primer término es diferente de 1, y no necesariamente tiene raíz cuadrad a. Este trinomio es el resultado de multiplicar dos binomios que ti enen en común las literales, pero cuyos coecientes son diferentes. (3 x

−

4 )(2 x

+ 5) =

6x 2

+

7 x − 20

107

Álgebra El procedimiento a seguir para factorizar este tipo de trinomios es: Factorizar un trinomio de la forma

ax 2 + bx + c

8 x 2 + 26 x +15

Se descomponen en dos factores el primer y tercer término. 4 x 2 x

Tomando en cuenta el signo del tercer término, sus factores pueden ser positivos o negativos.

+3 +5

Se colocan los factores de manera que la suma de los productos cruzados sea igual al segundo término del trinomio. 8 x 2 + 26 x + 15 6 x (4 x +3) 20 x 26 x (2 x +5)

Posiblemente antes de obtener los factores correctos se debe probar con diferentes combinaciones.

El resultado se forma con ambos factores. (4 x + 3)(2 x + 5)

Ejemplo

Factorizar

12 x

2

− x − 6

Descomponer en dos factores el primer y el tercer término, tomando en cuenta el signo de este último.

12 x 2 − x −6 ( 4 x

−3) − 9 x

(3 x

+ 2)

Multiplicar en forma cruzada y sumar productos.

8 x

Probar con diferentes alternativas, hasta que la suma coincida con el segundo término.

− x ( 4 x

− 3)(3

x + 2)

El resultado se forma con ambos factores.

Ejemplo

Factorizar

15 x

+ 16

x − 15

(3 x

+ 5)

25 x

Descomponer en dos factores el primer y el tercer término, tomando en cuenta el signo de este último.

(5 x

− 3)

− 9 x

Multiplicar en forma cruzada y sumar productos.

16 x

Probar con diferentes alternativas, hasta que l a suma coincida con el segundo término.

2

15 x +16 x −15

(3 x

108

2

+ 5)(5

x − 3)

El resultado se forma con ambos factores.



Descompón en dos factores los siguientes trinomios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

20. x + 7 x + 2

1.

6

2.

4 y

3.

10 z

2

4.

20 x

2

5.

9 x

+ 10 x + 1

6.

15a

7.

4

x

2

2

2

2

y − 7 y − 40 2

15.

18 p

2

− 44ab − 35b2

16.

2 x

2

− 5 xy − 2 y 2

17.

6m

18.

2r

− 7ab − 4b 2

19.

8 y

x

20.

10a

8.

20

9.

7a

+ 11 z + 3

10.

3 x

x − 1

11.

6

12.

2a

2

13. 3 x

4

+ 10

+ 15 y + 9

2

+

+

+

ab − 6b

2

x − 33

14.

a − 5a − 6 2

5w

2


2

−8

− 5x

6

3

y

2

+

4

2 y

− 23mn − 4n2

2

4

− 23p − 6

2

6

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, dentro de distintos equipos de trabajo.

+

7r

2

s−

4s

2

+ 26 y 3 + 15 2

a − 30

+ 13

w − 4

+ 19

Diferencia de cuadrados perfectos En el producto notable de la suma por la diferencia de dos cantidades, se obtuvo una diferencia de cuadrados perfectos: ( a + b)(a − b ) = a2

−

b

2

Por lo que se puede deducir que, si se tiene una diferencia de dos cantidades, que tienen raíz cuadrada perfecta, sus factores serán la suma por la diferencia de dichas raíces. Ejemplos

x 2 − 9 = ( x + 3)( x − 3) 36 x 2

−

25 = ( 6 x

+ 5)( 6

x − 5)

a6 − 81 = (a3 + 9)(a3 − 9)

109

Álgebra

Ejercicio 16


5.1 Sigue instrucc instrucciones iones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5. 2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.


Factoriza los siguientes binomios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

20.

1. x − 49

9.

9 x

2.

y − 64

10.

25 y

3. x − 36

11.

x y

4.

a

−4

12.

a b

5.

m − 16

13.

16m

− 121 y

14.

1−

− 1 69

15.

81a

16.

x

2

2

2

2

2

6.

x

7.

4a

8.

64 x

2

2

2

2

− 49 y 2

− 1 44

2

2

2

2

17.

2

x

2

−

49

y

64

2

− 1 21

2

− 100

18. x − 1

− 49c 2

y

2

2

4

19.

2

−1

x

−1

2

2

20.

y

2

2

2

x y

−

1 169

− 16

2

−

4

y

Cubo perfecto de binomios Cuando se observó que un binomio al cubo es un producto notable, se llegó a la conclusión de que estos binomios se pueden desarrollar de la siguiente manera: (a + b)3

=

a

(a − b)3

=

a

3

3

+

3a 2b + 3ab2

− 3a

2

2

b + 3ab

+

3

b

3

−b

Por lo que se deduce que, con expresiones como las anteriores, sus factores siempre serán binomios al cubo. Para identicar un cubo perfecto de binomios, se debe comprobar que presente las siguientes características:  Tener cuatro términos ordenados respecto de una literal, en orden creciente o decreciente.

110



Que todos los signos del polinomio sean positivos, o vayan alternados como positivos y negativos.



Que el primero y el cuarto término sean cubos perfectos.

Unidad II Operaciones fundamentales 

Que el segundo término sea el triple producto de la raíz cúbica del primer término al cuadrado por la raíz cúbica del último término.



Que el tercer término sea el triple producto de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término al cuadrado.



Que los factores del polinomio sean el cubo de la suma, o diferencia, de las raíces cúbicas del primero y del último término. Ejemplos

Factorizar x + 6 x + 12 x + 8 3

3

x

3 =

x

3

8

2

El primero y el cuarto término son cubos perfectos.

2

=

3( x ) (2) = 6 x

El segundo término es el triple producto de la raíz cúbica del primer término al cuadrado, por la raíz cúbica del último término.

3( x) (2)2 = 12 x

El tercer término es el triple producto de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término al cuadrado.

( x + 2)3

Los factores del polinomio son el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primero y del último término.

2

2

Factorizar

3

8 x

3 =

2

3

2x

3(2 x ) ( 4 y ) −

3(2 x )( 4 y )2 −

(2 x − 4 y )3

=

=

8 x

3

64 y

3

−

2

48 x y

−

96 xy 2

−

2

48 x y

=

−

4 y

+

96 xy

2

−

3

64 y

El primero y el cuarto término son cubos perfectos. El segundo término es el triple producto de la raíz cúbica del primer término al cuadrado, por la raíz cúbica del último término. El tercer término es el triple producto de la raíz cúbica del primer término, por la raíz cúbica del último término al cuadrado. Los factores del polinomio son el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primero y del último término.

111

Álgebra

Ejercicio 17




Comprueba que los siguientes polinomios sean cubos perfectos de binomios y factorízalos.

Respuestas


1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

1. x

3

−3

x

2

+

3x − 1

2. x + 9 x + 27 x + 27 3

2

3.

y + 15 y + 75 y + 125

4.

27

y

3

5.

64 x

3

3

2

− 54 −

y

2

2 40 x

+ 2

36

y − 8

+ 30 0

x − 125

3

+ 60 x 2 y + 150 xy 2 + 125 y 3

6.

8 x

7.

64 a

8.

343 y

9. x

6

3

+ 144a 2 + 108a + 27 3

−3

−

x

4

88 2 y +3

x

2

2

+

756 y − 216

−1

10. x + 12x + 48 x + 64 9

6

3

Desarrollando el reto Organizados con su equipo, llenen el siguiente cuadro con la información de productos consumibles en los que puedan ahorrar, y establezcan el ahorro semestral que se tendría. Tienen un ejemplo hipotético en la primera la. La idea es que llenen los espaespa cios con los productos consumibles que realmente estarán usando para superar su reto. Producto

Desinfectante/detergente para pisos

Ahorro en pesos por unidad

$5 pesos por galón

Ahorro en la compra de 10 unidades

$50.00 pe pesos

Ahorro en la compra de todas las las unidades requeridas para el semestre

$90.00 pe pesos

Papel higiénico Jabón para manos Pintura Papel para impresió iónn


112


Suma o diferencia de dos potencias iguales Si se tiene una suma o diferencia de potencias iguales: ( an + bn) o (an − bn), uno de sus factores será la suma o diferencia de las raíces exactas ( a + b) o (a ( a − b), siempre y cuando se cumplan las siguientes reglas: Si n es impar:





(an + bn) uno de sus factores será (a ( a + b).



(an − bn) uno de sus factores será (a ( a − b).

Si n es par:





(an − bn) uno de sus factores será ( a − b), aunque puede descomponerse por el método de diferencia de cuadrados perfectos.



(an + bn) no se puede descomponer en factores.

Para factorizar binomios del tipo (a ( an + bn) o (a (an − bn): 

Se coloca el primer factor, factor, que será la suma o diferencia de las raíces exactas: (a + b) o (a (a − b).



El segundo factor llevará la siguiente secuencia: 

an−1 − an−2b + an−3b2 − an−4b3 + ... − abn−2 + bn−1 cuando el binomio es una suma.



an−1 + an−2b + an−3b2 + an−4b3 + ... + abn−2 + bn−1 cuando el binomio es una diferencia.

Ejemplos

Factorizar x + 64 3

3

x

3 =

x

3

64

=

Los dos términos tienen raíces cúbicas y constituyen una suma.

4

( x + 4 )

El primer factor será la suma de sus raíces cúbicas.

x

Segundo factor:

−

4 x + 16

+

4)( x 2

2

( x

4 x + 16)

−

Factores de x + 64 3

Factorizar x − 729 6

6

x

6 =

x

6

729

=

Los dos términos tienen raíces sextas y constituyen una diferencia.

3

El primer factor será la diferencia de sus raíces sextas.

( x − 3)

x 5 + x 4 (3) + x 3 (3)2 + x 2 (3)3 + x (3)4

+

(3)5

=

Segundo factor. x

5

( x

+

3x

−

3)( x 5

4

+

9x

+

3

+

3x 4

27 x

+

2

9x 3

+

81 x +24 2 43

+

27 x 2

+

81x + 243)

Factores de x + 64 . 3

113

Álgebra

Ejercicio 18


4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, deniendo un curso de acción con pasos especícos.


Factoriza los siguientes binomios. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5. 1.

y − 1

2.

x

3.

m − 32

4.

243 x

5.

256 −

7

8

−

8

y

5

5

+ 1024 y 5

a

− y 6

6.

729

7.

x − 1000000

8.

a + 128

9.

m

6

7

10

− n10

8


Fracciones algebraicas Afrontando el reto Una fracción es el cociente de dos cantidades. Su expresión general es:

a b

, donde a

recibe el nombre de numerador y, b el de denominador. Si la fracción es algebraica, a y b son expresiones algebraicas, es decir, monomios o polinomios. Ejemplos de fracciones algebraicas son:

8

4

7

4

96 x y

48 x y

3

,

60 x y

4

+ 12 x 2

5

12 x y

2

2

3

y

4 x

y x

2

− 25

− 10 x +

25

.

El primer ejemplo es la fracción de dos monomios y expresa la división de 96 x 8 y 4 entre 48 x 7 y 4. El segundo ejemplo es la división del polinomio 60 x 3 y 4 + 12 x 2 y 3 entre el monomio 12 x 2 y 5. Las divisiones de monomio entre monomio y polinomio entre monomio fueron estudiadas antes, en el tema “División” de esta misma unidad. Ahora centraremos nuestro estudio en las fracciones algebraicas de polinomio entre polinomio, y analizaremos las operaciones fundamentales que se pueden realizar con ellas: simplicación, multiplicación, división, suma y resta.

Simplificación de fracciones Una expresión racional es la fracción de dos cantidades algebraicas. Tanto numerador como denominador son polinomios algebraicos. Una fracción es susceptible de ser simplicada cuando simplicamos factores del numerador con factores iguales del denominador. La simplicación de una fracción se realiza cumpliendo los siguientes pasos: 114


Factorizar completamente numerador y denominador.

2.

Simplicar factores del numerador y del denominador que sean iguales.

3.

Presentar la fracción simplicada como resultado. Los siguientes ejemplos muestran la aplicación de este proceso: Ejemplo

Simplicar hasta donde sea posible la fracción

42 63

Solución 42 =

63

( 2 ) (3) ( 7 ) ( 3) ( 3) ( 7 )

2 =

3

Ejemplo

Simplicar la expresión racional Solución

24 x 8 x

2

2

− 6 x − 3 − 2 x − 1

Factorizando el numerador por factor común: 24 x

2 −

6x

−

3

=

(

3 8x

2 −

2 x 1 −

)

Por lo tanto: 24 x 8 x

2 −

2 −

6 x 3

(

3 8 x

−

2 x 1 −

=

8 x

2 −

2 −

2 x 1 −

)

2 x 1 −

3 =

1

=

3

Ejemplo

Simplicar la fracción Solución

x − 5 9 x − 25 3

2

Factorizando el denominador como diferencia de cuadrados: 3 x − 5 3 x − 5 1 = = 9 x − 25 (3 x + 5 ) (3x − 5) 3x + 5 2

Ejemplo

Simplicar la expresión Solución

x x

2

2

x − 6 + 3 x − 18 +5

Factorizando el numerador (6) (−1) suman 5, por lo que: x + 5x − 6 = ( x + 6 ) ( x − 1 ) 2

Factorizando el denominador (6) (−3) suman 3, por lo que : x + 3x − 18 = ( x + 6 ) ( x − 3) 2

De aquí tenemos que: x + 5x − 6 ( x + 6 ) ( x − 1) x − 1 = = x + 3x − 18 ( x + 6 ) ( x − 3) x − 3 2

2

115

Álgebra

Ejercicio 19




Simplica las fracciones de monomio. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

6.

1.

7.

2.

8.

3.

9.

4.

10.

5. 1.

2

2

6 x y

5.

=

4 xy

3.

30 x y 2

6.

=

3

15 x y 2

2

2

8 x y z 3

2

2

II.

60ab

3

70 a

2

42mnp

7

8

m

=

5

m

100amx

10.

=

2

4

2

66 xy 2

2

=

55 x y

5

8.

=

4

3

2

2

3

100a b c

−

75ab c

=

Factoriza los polinomios y simplica las expresiones racionales. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10. 11.

1. 2. 3. 4.

2

6 x y

6. 116

+ 12 x

3

2

y

=

4 xy

6ax

− 12

2

4 y

x

2ax

x 6 x

−

8ay

−

75

2

3

a

3

a

4

y 2

9.

2

−

30

10.

a b−a

−

a b+a

y

3

−

2

24

+

+

−b

y + 36 2

6 y

b

=

=

=

a − 96 x − 15x = 20 x − 60 x + 45 x 6 10

3

2

3

2

2mr

+

mp − 4 nr

− 2np

mr

−

4 m − 2nr

+

x

3

− 3x

2

y

x

11.

a + 48

2

=

−

3

a

3

=

2

− 12

7. 8.

ay = 10bx + 20by

−

5.

=

75amx

−

−

36a b −

3

28m n p

7.

=

6 x y z

4.

2

35a

9.

=

24 x y z 4

3

2.

18 xyz

a

4

−

a

6

3

3

+

3xy

−

y

a b−a +

a

3

2

−

3

+b

−2

8n

=

=

3

y

=

Unidad II Operaciones fundamentales III. Factoriza los polinomios y, donde sea necesario, realiza un cambio de signo para

simplicar las expresiones racionales. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas. Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5. 1.

2 x

2

x − 3

+

3

1 − x

2. 3.

a b

2

x

2

4

−

a

−

4

x

−

2 −

b

2

2ab + a 2

16

4. 5.

−

2

−

a

x

6.

=

2

− 3x 2

6a y

(a

2

− 3

a2 −

5a

12

2

+

y

2

2

− 3x

2ax

2

a

=

−

1)

=

10a

=

2

−

3

4a )

−

5

−

3

2 x

9.

=

y

8a + 16)(a 2

90a b

8.

=

2

(1 − a 2 )(a2

7.

=

4

15a b

2

−

2 xy

− 12ax

2

2

− 12 y

y

+ 18axy

2

=

m = 2m − 22m + 60 2

75 − 3

2

Multiplicación de fracciones a

Para multiplicar dos fracciones, se usa la expresión

b

m •

n

a =

b

• •

m n

, que indica una multi-

plicación directa. El numerador de la fracción resultante es el producto de los numeradores de las fracciones que se multiplican, mientras que su denominador es el producto de los denominadores de éstas. Para efectuar la multiplicación algebraica, se debe realizar el siguiente proceso: 1.

Factorizar todos los numeradores y denominadores de las fracciones en la multiplicación.

2.

Indicar el producto de todos los factores de los nu meradores como numerador del resultado. También se debe escribir el producto de todos los factores de los denominadores como denominador del resultado.

3.

Simplica todos los factores del numerador con los del denominador que sean iguales.

4.

Presenta el resultado simplicado de la multiplicación. Ejemplo

Efectúa la multiplicación

x

2

+ x − 6 2

x

Solución

−

4

x

2

•

+

4 x + 4

2

x

−9

Factoricemos primero todos los numeradores y denominadores: x

2

+

forma x 2

x

x − 6 2

+ bx + c

−

4

Diferencia de cuadrados

2

x •

+

4 x + 4 TCP

2

x

−9

=

( x ( x

− −

) ( x 2 ) ( x 2

+

) ( x 2) ( x

3

+

•

+

−

) ( x 3 ) ( x

2

+ +

) 3) 2


117

Álgebra Multipliquemos todos los factores del numerador y del denominador para obtener el resultado: x

2

+ x − 6 2

x

−

x

2

•

4

+

4 x + 4

2

x

=

−9

( (

x − x −

)( 2) (

2

x + x +

)( 2) (

3

)( 3) (

2

x + x −

x + x x +

) 3) 2

Simpliquemos los factores iguales del numerador con los del denominador: x

2

+ x − 6 2

x

−

x

2

•

4

+

4 x + 4

2

x

( (

=

−9

x −

x −

)( 2) ( 2

x +

x +

)( 2) ( 3

x +

x −

)( 3) ( 2

x +

x +

) 3) 2

Finalmente, presentemos el resultado simplicado: x

2

+ x − 6 2

x

−

x

2

•

4

+

4 x + 4

2

x

=

−9

x +

2

x −

3

Ejemplo

Realiza el producto de las fracciones siguientes: 4 x

3

− 16 x

2 x

3

2

84 x

−

2 x •

2

− 14 x

2 x

2

2

− 5 x

+ x − 15

Solución

Factoricemos numeradores y denominadores, sustituyendo al mismo tiempo en la expresión de la multiplicación, y simpliquemos: 4 x

3

− 16 x − 84 x

2 x

Factor común

Factor común

2

2 x

3

•

− 14 x

2

Factor común

2 x

2

=

+ x − 15

Forma ax

2

  

 − 4 x − 21  ( x ) ( 2 x − 5 ) + +  = ( x − 7 ) (2 x − 5 ) ( x + 3)

4 x  x

− 5 x

2

2 x

2

Forma x 2

2

( ) ( x − 7 ) ( x + 3) 4 x 4 = = =2 2 2 x ( x − 7 ) ( x + 3 ) 2 x

4 x x

bx c

2

2

2

+ bx + c

El resultado nal es: 4 x

3

− 16 x

2 x

Atributos a

3

2

84 x

−

2

− 14 x

2 x •

2 x

2

2

− 5 x

+ x − 15

=

2

Ejercicio 20

desarrollar:



Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

1. 2.

118

Realiza las siguientes multiplicaciones y simplica el resultado. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

4 x 2

6 y

×

4

5 x

14 z

3 y 2

2 x

3

×

7 y

2

5 x

3

×

7 x

2

4 y

3.

2ab + 6b

4.

a

2

a − 3b 2

+

a

a

2ab + b2 2

+

ab

2

×

−

2

9b

4

×

ab − 2b a

2

−

2

2ab


5. 6.

15 x

2

− 15 y

2 x

2

9a

2

x

×

5

2

−

x

− 3 xy −

4 x

7.

2

− x

2

2

−

+

4x

2

+

+ 6 y

2

9 y

2x

−1

2

+

xy

x

−

y

5 x − 25

8.

5 x + 15

2 xy + 1 6 ×

(a (a

9.

2 x − 4

4a ×

6a

2

+

2ax

+ −

x

2

) 2 b) x

×

− −

2

+

9 x + 18

x − 5 b

2 2

x

a ×

2

(a

+

ab − ax

+

b

)

2 −

2

x

− 2a

División de fracciones Para dividir dos fracciones, se puede usar cualquiera de las siguientes expresiones: 1.

m

a ÷

b

2.

a

•

n

b

•

m

=

n

a

m

, que indica una multiplicación cruzada.

a

÷

n •

=

b

n

b

, que indica la conversión de división a

m

producto por el inverso multiplicativo de la segunda fracción. a

3.

a b

m ÷

n

a⋅n

b

=

=

m

b⋅m

Producto de extremos =

, que indica una fracción compleja,

Producto de medios

n

es decir, la fracción de dos fracciones. De estas formas de división, la más común es la primera, en la cual se efectúan el producto cruzado del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, para obtener el numerador del resultado; y el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, para obtener su denominador. Para realizar la división algebraica, se debe llevar a cabo el siguiente proceso: 1.

Factorizar todos los numeradores y denominadores de las fracciones en la división.

2.

Indicar el producto de todos los factores, de acuerdo con la forma de división preferida.

3.

Simplicar todos los factores del numerador con los del denominador que sean iguales.

4.

Presentar el resultado simplicado de la multiplicación.

A continuación se presentan dos ejemplos en los que se aplican las tres formas de división: Ejemplo

Efectúa la división Solución

4a 5a

2

2

−9

− 14

a −3

÷

2a

+3

5a + 1

Forma de producto cruzado: 4a

2

−

9

�   

Diferencia de cuadrados 2

a − 14 a − 3 5 �    Forma ax

2

+ bx + c

÷

2a + 3 5a + 1

( 2a 3) ( 2a 3) (5a 1 ) (5a 1 ) ( a 3) (2a 3 ) −

=

+

+

−

+

+

=

2a − 3 a −3

119

Álgebra Forma de multiplicación por el inverso multiplicativo: 4a 5a

2

2

−

− 14

2a

9

a −3

÷

+3

5a

+1

=

4a 5a

2

2

−9

− 14

a −3

5a + 1

⋅

( 2a 3) ( 2a 3) (5a 1) (5a 1 ) ( a 3) (2a 3) −

2a + 3

=

+

+

+

−

=

+

2a

−3

a−3

Forma de fracción compleja: 4a 4a 5a

2

2

−

− 14

9

a −3

÷

2a + 3

=

5a + 1

5a

2

2

−

9

a −3

− 14

2a

+3

5a

+1

( 4a

=

(5a

2

−

) (5a 1 ) 14a 3) ( 2a 3 ) 2

−

9

( 2a 3) ( 2a 3) (5a 1 ) (5a 1) ( a 3) ( 2a 3) −

+

−

==

+

+

+

+

−

+

Ejemplo

Realiza la división de fracciones: 4 x

2

2 x

2

−

− 13

9 ÷

x + 15 x

4 x

2

2

2 x − 35

+

+

6 x

Solución

Forma de producto cruzado: 4 x

2

2 x

2

−9

− 13

4 x

÷

x + 15 x

2

+

2

+

6 x

(2 x 3) ( 2x ( 2 x 3) ( x

2 x − 35

) ( x 7 ) ( x 5 ) x 7 2 x 5 ) ( 2 x ) ( 2 x 3 )

+3

−

=

+

−

+

=

−

−

+

Producto por el inverso multiplicativo: 4 x

2

2 x

2

−9

− 13

4 x

÷

x + 15 x

2

+

2

+

6 x

(2 x 3) ( 2x 3) ( x 7 ) ( x 5) x 7 2 x ( 2 x 3) ( x 5) (2 x ) ( 2x 3) −

2 x − 35

=

+

+

−

⋅

−

=

−

+

+

Fracción compleja:

(2 x 3) ( 2x 3) ( 2 x 3) ( x 5 ) 2 x ( 2 x 3) ( x 7 ) ( x 5) −

4 x

2

2 x

2

−

− 13

9 ÷

x + 15 x

4 x

2

2

2 x − 35

+

+

6 x

+

−

=

=

+

+


120

+

+

−

=

−

−

+

+

−

Ejercicio 21


(2 x 3) ( 2x 3) ( x 7 ) ( x 5 ) x 7 2 x (2 x 3) ( x 5 ) 2x ( 2x 3) −

−


Factoriza, divide y simplica las siguientes fracciones. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

=

2a − 3

a −3


2

2

3

12 x z

1.

÷

2

10 y 4

10 y ÷

7 y + 35

a

2

+

6ab

3a

2

−

+

6 x

2

5 y + 25

− 3 xy − 2

9b

2

3a ÷

2

− 6 y

÷

x

2

+

9ab

ab − 2b

−

2 x

2

+

xy

2

−

x

2

− x

2

6 x − 12 8 x + 24 8a

10. x x

y

4 xy + 2

+

9a

9.

2

4x

+ 6 y

2

− 18 y

÷

2 x − 4 12

8

8.

14

6ab

3 x

5.

2

8 x

7.

2

10 y + 50

4.

2

5 y

7 x

÷

5 z

3.

2 x

6.

3

14 x

2.

3 x z

2

+

÷

2 x − 1

9a

2

+

3ax

− 3a

x − 2 x

2

+

2ax

4b ÷

+

2

4a ÷

9 x + 18

ay + bx − by 3 x − 3 y

−2

x + 1 x + 1 ÷ x − 27 + 3 x + 9 3

−

3

Suma y resta de fracciones

Denominadores iguales (fracciones homogéneas) Las fracciones homogéneas son las que tienen el mismo denominador. Cuando las sumamos, el resultado es una fracción con el mismo denominador, mientras que su numerador es la suma o resta de los numeradores de las fracciones que sumamos o restamos. a

Esto puede representarse mediante la expresión

±

m

b m

± =

a ± b ± m

.

Para realizar la suma o resta de fracciones homogéneas, es conveniente, y lo recomendamos ampliamente, factorizar el denominador para simplicar el resultado, si ello es posible. Ejemplo

Realiza las operaciones indicadas en la expresión: 4 x

28 x

2

4 x

2

− 49

−

4 x

49

−

− 49

2

4 x

2

− 49

Y simplica el resultado hasta donde sea posible. Solución 4 x

28 x

2

4 x

2

49

−

−

4 x

2

−

49

4 x x 2 − 28 x + 49 �  

49

+

=

4 x − 49 �   2

Trinomio cuadrado perfecto

(2 x

−

7 ) ( 2 x + 7 )

( 2 x 7 ) ( 2 x 7 ) (2 x 7 ) (2 x 7 ) −

=

−

−

+

=

2 x − 7 2 x + 7


Ejemplo

Efectúa las operaciones necesarias para simplicar. 4 x

2

2 x

2

+ 10

+ 13

x − 45

−

2 x 2 x

2

2

+

20 x

+ 13

x − 45

−

3 x − 35 2 x

2

+ 13

x − 45

Solución 2

4 x 2 x

2

2 x

+ 10

+ 13 x −

45

−

2 x

2

2

+

20 x

+ 13 x −

45

−

4 x

3 x − 35 2

x + 13 x − 45 2 �   2

Forma ax

2

+ 10 −

=

(2 x

( 2 x

2

+ 20 x

−5

) ( x

+

) (3 x −

9

−

35

)

)

+ bx + c

2

4 x =

2

+ 10 − 2 x

( 2 x

2

−5

x − 23 x + 45 2 �  

− 20 x − 3 x + 35

) ( x

+

9

)

=

Forma ax

( 2 x

−5

2

+ bx + c

) ( x

+

9

)

=

( 2 x ( 2 x

) ( x 5 ) ( x

−5 −

) 9)

−9 +

=

x − 9 x + 9

121

Álgebra

Ejercicio 22




Realiza las operaciones indicadas. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

4.

2.

5.

3.

6. 2

1.

4 x

2.

9

3.

3 x

+

2 x

2

x + 1 2 x + 5 + 3 x 3 x +

7

m

5

−

m

5

3 x − 1 2 x

2

−8

+

3 +

m

4.

5a + 3

5.

9 x − 5

6.

5a − 2

a +1 x − 1

5

2 x − 3 x − 6 − 2 x − 8 2 x − 8 2

a−b

2

−

−

+

3a + 2

a +1 7 x − 2

x

−1

a − 2b a−b

+

a−2 a +1 1

+

−

x − 1 2a + 2b − 2

a−b

Distintos denominadores (fracciones heterogéneas) Las fracciones heterogéneas son las que tienen diferente denominador. Para sumarlas, tenemos que hacerlas semejantes mediante el cálculo de una cantidad conocida como mínimo común múltiplo de los denominadores. Por ejemplo, si tenemos las fracciones

3

y

4

5 12

podemos volverlas homogéneas, haciendo que ambas tengan el mismo denominador: 12 en este caso. Este denominador común es el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y de 12. Para obtener el mcm de números, basta con factorizarlos simultáneamente hasta obtener 1 en cada denominador, como se ilustra en el siguiente proceso: 4 − 12 2 2−6 1−3 1 −1

Así, la primera fracción

3 4

  ( 2) ( 2) (3 ) = 12 3  2

se puede escribir con denominador 12, si multi-

plicamos por 3 el numerador y el denominador:

3 4

3 =

4

3 •

3

9 =

12

. Este factor se obtuvo

dividiendo el mcm = 12 entre el denominador 4, lo que dio como resultado 3. Ahora es necesario entender cómo se obtiene el mcm de expresiones algebraicas. El proceso es el siguiente:

122

1.

Se factorizan todos los denominadores.

2.

El mcm se forma con todos los factores distintos obtenidos, tomados con sus exponentes mayores.

Unidad II Operaciones fundamentales Aplicando este proceso para calcular mcm = (4, 12) tenemos que: 4 = 22 y 12 = 22 · 3, por lo que mcm (4, 12) = 22 • 3 = 4 • 3 = 12. Dado que el mcm se calcula para obtener el denominador que hace homogéneas todas las fracciones de una suma o resta, también se conoce como común denominador. Para sumar o restar fracciones heterogéneas, se emplea el proceso indicado por la siguiente expresión: a

±

m

b

f1 ⋅ a ± f2 ⋅ b ± 

± =

n

M

, donde M = mcm (m, n) y

f 1 =

M m

,

f 2 =

M n

.

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de este proceso: Ejemplo

Encuentra el resultado de la expresión x resultado.

2

x + 1 x − 3 − y simplica el − 5 x + 6 x − 6 x + 9 2

Solución

Factoricemos todos los denominadores: 2

x − 5x + 6 �   Forma x

2

=

( x

−

2

) ( x

−3

) , x

2

−

6

2

x + 9 = ( x − 3 )

� 

+ bx + c

TCP

Obtengamos el común denominador:

M

=

(x

−

2

) ( x

−

3

2

)

Obtengamos los factores f , dividiendo el común denominador entre cada denominador: f 1

f 2

=

( x ( x ( x

−

−

2

) ( x 3) 2 ) ( x 3 )

2

−

2

−

=

x 3 −

−

) ( x 3)

2

−

=

=

( x 3)

2

x

−

2

−

Sustituyendo en la expresión de suma o resta de fracciones, obtenemos: ( x − 3) ( x + 1 ) − ( x − 2) ( x − 3) x + 1 x − 3 − = x − 5x + 6 x − 6 x + 9 ( x − 2) ( x − 3) 2

x

2

2

−2

=

2

x − 3 − (x

( x

−

2

2

−5

x + 6 ) x

2

=

2

) ( x 3)

−2

x −3 − x

( x

−

−2

2

+5

) ( x 3)

x − 6

2

x − 9

3 =

−

( x

−2

) ( x 3)

3

( x 3)

−

2

−

=

2

( x

−

) ( x 3)

2

−

3 =

( x

−

2

) ( x 3) −

Ejemplo

Simplica el resultado de: 3 9 x

2

−

6x

2 +1

+

3x

2

5

+5

−

x −2 x

2

+

4 x + 4

.

Solución

Factoricemos todos los denominadores: 2

9 x  − 6x + 1 �   TCP

=

(3x

−1

2

),

2

3 x  + 5x − 2 �   Forma ax

2

+ bx + c

=

(3 x

−1

) ( x

+

2

) , x

2

+

4

2

x + 4 = ( x + 2 )

�  TCP

123

Álgebra Obtengamos el común denominador: M

( 3x

=

−1

2

) ( x

+

2

)

2

Dividamos el común denominador entre cada denominador:

(3 x

f 1

−1

2

) ( x

=

(3 x 1)

+

2

)

2

2

( x

=

(3 x

=

(3 x 1)

+

2

)

2

=

=

x2

4 x + 4

+

−

2

2

(3 x 1 ) ( x 2) (3 x 1 ) ( x 2) −

f 2

=

+

−

(3 x

f 3

−1

) ( x

2

+

)

3x

=

2

+5

x − 2

+

−1

2

) ( x

=

( x

+

2

+

)

2

2

2

)

2

−

=

9x

2

−6

x + 1

Apliquemos la fórmula de suma o resta de fracciones: 3 9 x

2

2

−6

3 x

x +1

2

+

+ 12

3x

2

+5

−

x −2 x

x + 12 + 6 x

=

3

5

(3 x

2

−1

2

+ 10

+

4 x + 4

x − 4 − 9x

2

) ( x 2)

=

2

( x

2

+

4x

+

4

)

+

(

2 3x

(3 x +

6 x − 1 =

2

−1

+5

x − 2 ) − 1 ( 9x

2

2

−1

) (x

+1

(x

+1

x x + 1)

−6

2

) ( x 2 ) +

(

7 4 x + 1

28 x + 7

(3 x

+

2

2

2

) ( x 2 ) +

=

(3 x

−1

)

2

2

) ( x 2 ) +

Ejemplo

Simplica el resultado de la expresión: 7 x − 5

x

3

+

x

2

−

6 −

x −1 x

2

+

2x + 1

.

Solución

Factorizamos los denominadores: x

3

+

x

2

−

x − 1 = x ( x + 1 ) − ( x + 1) = ( x + 1) ( x 2

x

2

+

2x

+1 =

�  

( x 1)

2

−1

=

) (x

+1

)(x

−1

2

x 1) ) ( x 1 ) ( x =

2

+

TCP

Obtenemos el común denominador:

M

=

2

) ( x

−1

)

Dividimos el común denominador entre todos los denominadores: f 1

f 2

=

( x ( x ( x

2

) ( x 1 ) 1 ) ( x 1 )

+1

−

2

+

+1

1

2

) ( x 1) −

=

2

( x 1 ) +

124

=

−

=

x − 1

+

−

Unidad II Operaciones fundamentales Sustitución en la suma de fracciones: 7 x − 5

x

3

+

x

2

−

x −1 x

2

+

(

) 6 ( x 1) 7 x 5 6 x 1 x 4 x 1) ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1) ( x 1 ) ( x 1) ( x

1 7 x − 5

6 −

2x + 1

=

−

−

−

=

2

+

−

+

−

+

−

=

2

2

−

+

−

Operaciones combinadas Cuando existen operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división, se realizan las operaciones tomando en cuenta la precedencia de tales operaciones: 

Primero → multiplicación y división



Segundo → suma y resta Para alterar la precedencia se hace uso de l os signos de agrupación. Ejemplo

  ax + x   x  a + x −  1 +  a + 2 x    a + x   ( a + x ) (a + 2 x ) − ax − x 2   a + x + x       a + 2 x    a + x  2

 a + 3ax + 2 x − ax − x   a + 2 x     a + 2 x    a + x   a2 + 2ax + x 2   a + 2 x      a + 2 x   a + x   (a + x )2   a + 2 x      a + 2 x   a + x  2

2

a

2

+ x Atributos a

Ejercicio 23

desarrollar:



Reduce las siguientes expresiones algebraicas. Realiza el procedimiento en tu cuaderno y escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

5.

2.

6.

3.

7.


4.

 a + 5 x  14 x    a + 2 x −   a − x +  a + 4 x 2a + x      5  5   x + 3 − x − 1   x − 2 + x + 4       2  6  1  2 + x + 1   3 − x + 2   1 + x        2

1. 2. 3.

2

  y   x   x 1 −   1 + y   1 +    x − y   x 

2

5. 6. 7.

 2 x − 1   x − 1   x −  ÷  x + 1 − x   x + 2     x − 18 x + 81 64 x − 81 y  8 x + 9 xy   ÷ x − 81  x + 18 x + 81  8 x − 9 y 2

2

2

2



x

4

− 6x

3

+ 2

9 − x

2

2

2

2

9 x

27 •

x

2

+

2

3

− x

3x + 9

x

÷ x

4

+

4

−

6x

2

9 x 3

+

2

9 x

2

4.

2

2

125

Álgebra Cerrando este avance del reto Verica que tengas hasta ahora las siguientes evidencias de avance en la superación del reto que nos pusimos al principio. 

Cuadro de gasto actual de consumibles en nuestra escuela.



Registro comparativo de precios manejados por diferentes opciones comerciales (incluidos mayoristas y productores, en caso de ser posible, para eliminar intermediarios que incrementen el costo) en un “Cuadro de gasto actual de consumibles en nuestra escuela”, donde se agreguen los porcentajes de descuentos en cada caso. Este cuadro reejará el trabajo realizado y los avan ces conseguidos a lo largo de la unidad.



Nueva versión del cuadro anterior pero con el cálculo del ahorro que se puede lograr tanto en pinturas, como en mano de obra, el cual se puede obtener midiendo correctamente las supercies pintadas, y vigilando que la pintura rinda lo correcto.



Diseño de una campaña sobre la cultura del aprovechamiento, en la que se puedan incluir ideas para la explotación de los recursos con los que cuenta la escuela, como el caso de las ciruelas que vimos en el curso.

Actividad de metacognición

126

1.

¿Qué concepto (o conceptos) construí en esta lección?

2.

¿Por qué y para qué construí este concepto (estos conceptos)?

3.

¿Cómo me puede servir el aprendizaje de este concepto (estos conceptos)?

4.

¿Cómo construí este concepto (estos conceptos)?

5.

¿Qué tipo de actividades te funcionan mejor para aprender?


Análisis de resultados La siguiente actividad te permitirá desarrollar tu creatividad y expresar tu capacidad de análisis mediante los conceptos aprendidos en esta unidad, así como obtener tus propias conclusione, con el propósito de ayudarte a superar el reto planteado. Para realizarla, debes integrar un equipo con algunos de tus compañeros, a n de analizar las posi bles soluciones a los cuestionamientos planteados. En sus libretas pueden resolver los problemas, y al terminar deberán integrar sus resultados a sus respectivos portafolios de evidencias. I.

El triángulo de Pascal no sólo sirve para extraer los coecientes de un binomio elevado a una potencia n; tiene, además muchas otras relaciones numéricas, las cuales descubrirás en esta actividad. 

Desarrolla el triángulo de Pascal y resuelve los siguientes ejercicios, anotando tus resultados en tu cuaderno. 2

1.

Si sumas cada una de las hileras del triángulo de Pascal, ¿qué característica tiene el resultado de cada suma?

2.

Dibuja una pirámide de círculos semejante a la que se muestra en la gura que se muestra a continuación. Desarrolla por lo menos 15 niveles de círculos.

a) En cada círculo debe ir un número correspondiente al triángulo de Pascal. Pinta de negro cada uno de los círculos que corresponde a un número impar. b) ¿Qué gura obtuviste?

II.

La gura resultante se conoce como triángulo de Sierpinski. Investiga cuáles son los triángulos de Sierpinski y sus características. Realiza una cha de trabajo con la información obtenida.

1.

¿Qué ocurre si los círculos se vuelven cada vez más pequeños?

III. Otra relación que podemos encontrar con respecto al triángulo de Pascal es la serie

de Fibonacci. 1.

Encuentra esta relación, sumando en diagonal los nú meros del triángulo de Pascal, como se muestra en la siguiente gura:

www.goldennumber.net

2

127

Álgebra 1

1

1

1

1

6

7

1

6

5

1

10

15

13

21

1

1

4

10

20

21

8

1

3

3

4

5

1

2

1

3

2

1

35

1

5

15

6

7

21

40

1

1

Cada número que resulta de estas sumas pertenece a la serie de Fibonacci. 2.

Analízalos y piensa de qué otra manera podríamos obtener dicha serie si no contáramos con el triángulo de Pascal.

3.

Comenta con tus compañeros las posibles respuestas y anota los 20 primeros números de la serie de Fibonacci.

4.

Investiga quién fue Fibonacci y cuáles fueron algunas de sus principales aportaciones. Realiza una cha de trabajo con esta información.

5.

Une los números de cada la para formar nuevos números. Por ejemplo, de la hilera de la potencia 4, el número formado sería 14641. Escribe los números que se obtienen en las primeras 6 hileras. ¿Qué características en común tiene cada uno de ellos?

Sugerencia. Obtén sus factores primos.

6.

Toma los números de la diagonal 1, 3, 6, 10, 15... y suma dos de ellos que sean consecutivos. ¿Qué característica presenta la suma de cada u no de ellos?

Reto. ¿Puedes encontrar más de una característica? IV. Realiza las siguientes operaciones y simplica el resultado hasta donde sea posible.

En una hoja escribe el procedimiento y, en plenaria, discute tus resultados con tus compañeros x + 5x − 13  x − 2 1  ÷ + = x + 4  3 x − 11 x + 10  3 x − 5 2

2

x

2

x

128

2

+

2 x − 15

−

4 x − 5

x

2

•

x

− 3 x − 10 2

− x −

6

4 −

x + 1

=


Construcción de conclusiones Por último, realiza junto con tu equipo un ejercicio de reexión y escriban unas líneas que expresen sus ideas acerca de la utilidad de l as matemáticas, y del álgebra en especial, para resolver problemas de la vida que n os retan a diario, como en el caso del ejercicio que estamos realizando en este curso. Analicen cuál es la razón por la que decimos que esta unidad está dedicada al estudio de operaciones fundamentales. Mencionen en su conclusión cuáles serán estas operaciones y por qué se les llama así. Agreguen esa evidencia a sus portafolios para que completen el avance logrado en el reto correspondiente a esta unidad.

129

Álgebra Autoevaluación del desempeño que tengo con respecto a mis competencias Para autoevaluar el desarrollo de tus competencias en esta unidad, responde la siguiente lista de cotejo: Criterio

Difícilmente

Comprendo las operaciones fundamentales cuando escucho hablar de ellas. Puedo explicar lo que es la suma de polinomios. Puedo explicar las propiedades de la suma, así como realizar cualquier ejercicio al respecto. Puedo explicar lo que es una resta de polinomios. Identico y comprendo la multiplicación de polinomios, y puedo explicar las propiedades de la multiplicación. Distingo la multiplicación de un monomio por un polinomio. Reconozco la multiplicación con suma y resta. Reconozco los elementos para realizar una división de polinomios, así como las reglas para dividir. Puedo explicar la división entre un polinomio y un monomio. Explico la diferencia entre potencias y radicales, así como sus propiedades. Comprendo lo que son los productos notables y explico el producto de dos binomios con un término común. Reconozco los binomios elevados a la potencia

n

Puedo realizar factorizaciones reconociendo: factor común, factor común monomio, factor común polinomio y factor común por agrupación de términos. Identico lo que es el trinomio cuadrado perfecto. Realizo la diferencia de cuadrados perfectos y del cubo perfecto de binomios. Comprendo lo que son las fracciones algebraicas, y puedo realizar simplicaciones de fracciones, multiplicación de fracciones, división de fracciones y suma y resta de fracciones.

130

Suficientemente

Bien

Excelente

Álgebra Superando el reto Rúbrica para evaluar la unidad

132

Criterios

Inicial-receptivo

Resolutivo

Autónomo

Sigo instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Procuro llevar a cabo instrucciones y los debidos procedimientos de manera reexiva, aunque no cumplo con cada uno de sus pasos ni logro alcanzar el objetivo.

Llevo a cabo las instrucciones y procedimientos de manera reexiva y cumplo medianamente con los pasos para alcanzar el objetivo trazado.

No sólo llevo a cabo los procedimientos de manera reexiva, sino también aporto nuevas propuestas, comprendiendo cada uno de los pasos y alcanzando el objetivo trazado.

Construyo e interpreto modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Entiendo que, para la comprensión de ciertas situaciones, construir e interpretar modelos matemáticos es de suma importancia, pero aún no comprendo la vinculación entre ambas acciones.

Comienzo a construir y aplicar modelos matemáticos para la comprensión y análisis de distintas situaciones, y logro comprender medianamente la utilidad y la vinculación para la solución problemas.

Entiendo y aplico modelos matemáticos para la solución de diversas situaciones, e incluso logro proponer nuevas alternativas de solución.

Formulo y resuelvo problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Reconozco la importancias de resolver problemas matemáticos con distintos enfoques, pero aún no logro aplicarlos ni mucho menos resolver tales problemas.

Comprendo y aplico distintos enfoques para la solución de problemas matemáticos, aunque aún con cierta dicultad.

Resuelvo problemas matemáticos a través de distintos enfoques y consigo entender la relación entre tales alternativas y la solución de problemas.


Evaluación de evidencias de aprendizaje Es momento de presentar el reto que realizaste a lo largo de la unidad, utilizando la siguiente rúbrica para valorar tu trabajo.

Aspectos a evaluar

Niveles de desempeño Inicial-receptivo (6-7)

Resolutivo (8-9)

Autónomo (10)

Sugerencias para el ahorro

Las sugerencias para el ahorro son entregadas pero no resuelven todas las necesidades requeridas.

Las sugerencias para el ahorro tienen mejores y más claros planteamientos fundados en el aprendizaje adquirido a través de la unidad, aunque resuelven parcialmente el reto planteado.

Las sugerencias para el ahorro presentan satisfactoriamente planteamientos para la solución del reto, ya que muestran un dominio del tema algebraico visto en la unidad.

Tabla de soluciones de problemas

La tabla no integra todos los datos necesarios y las soluciones que contiene no resuelven todos los problemas planteados.

La tabla integra todos los datos necesarios, pero los resultados no son todos correctos.

La tabla integra todos los datos para resolver los problemas planteados y los resultados son correctos.

Reporte del proyecto que explica las aportaciones de cada integrante del equipo a la solución del problema

El reporte del proyecto tiene una redacción descuidada, es poco claro, carece de orden y no explica las aportaciones de cada integrante del equipo a la solución del problema.

El reporte del proyecto tiene una redacción descuidada, pero explica las aportaciones de cada integrante del equipo a la solución del problema y las dicultades que se enfrentaron al resolverlo.

El reporte del proyecto está excelentemente redactado, además de que explica no sólo las aportaciones de cada integrante del equipo a la solución del problema, sino las dicultades que se presentaron al resolverlo y la forma en que se solventaron dichas dicultades.

Presentación del proyecto a través de un medio audiovisual

El proyecto se presenta a través de un medio audiovisual, aunque con resultados parciales y sin cumplir todos los requisitos establecidos por el profesor.

El proyecto se presenta a través de un medio audiovisual y cumple con todos los requisitos establecidos por el profesor, aunque la información resulta un poco confusa.

El proyecto se presenta a través de un medio audiovisual, cumple con todos los requisitos establecidos por el profesor, ofrecen resultados completos y aporta nuevos conocimientos al grupo.

Suma parcial

Suma total Puntaja del proyecto

133

Álgebra Hacia la prueba Enlace 1.

La altura de un rectángulo está dada por la expresión ( 2a − 3b ) , y su base está dada por ( 7b + 4a ) . La expresión algebraica para el área del rectángulo es: a)

8a

2

b)

8a

2

c)

−7ab

d)

2ab

+

1.

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

2

2ab − 21b

− 2ab +

2

21b

e) Ninguna de las anteriores 2.

El resultado del producto (5 x − 9 ) (5x + 9) es: a)

10 x

− 18

b)

25 x

2

− 81

c)

25 x

+ 81

d)

10 x

2

2

2.

2

e) Ninguno de los anteriores 3.

 x + 2  2 x + 3

El resultado de la expresión  a)

− 5  x + 2 es:  ÷ 2 x + 3 x + 5  x

•

3.

x + 5 x − 5

b) c)

−

1

x − 5 x + 5 2

( x 5) ( x 2 ) d) ( x 5) (2 x 3 ) −

+

2

+

+

e) Ninguno de los anteriores 4.

Área de la siguiente gura.

4.

2 x −5

2 x −5 x −2

4 x −8

a) 2 x 2 – 13 x + 19 b) 6 x 2 – 27 x + 31 c)

4 x 2 + 27 x + 31

d) 6 x 2 – 27 x + 31 134


5.

El área de un cuadrado es 9 x 2 + 30 x + 25. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

5.

a) 3 x + 5

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

b) 3 x – 5 c) x + 15 d) x + 5 6.

El área de un rectángulo mide x 2 – 16 cm2. Si su lado mayor excede en 8 centímetros al lado menor, ¿cuál es la medida de éste?

6.

a) x + 8 b) x – 8 c) x + 4 d) x – 4 7.

Existen x 3 + 27 dulces que serán repartidos entre x + 3 niños. ¿Cuántos dulces se le dará a cada niño? a) x 2 – 6 x + 9

7.

b) x 2 – 6 x + 3 c) x 2 + 3 x + 9 d) x 2 – 3 x + 9

135

Álgebra Notas

136


Notas

137


Propósito ♦

Al término de esta unidad el alumno resolverá problemas que involucren ecuaciones de primero y segundo grados y sistemas de ecuaciones de primer grado con dos y tres variables, aplicando métodos grácos y algebraicos. Asimismo, aportará puntos de vista ante diversas situaciones problemáticas y considerará los puntos de vista propuestos por sus compañeros de manera crítica y reexiva.


Ecuaciones

Conceptos subsidiarios ♦ ♦

Ecuaciones lineales Ecuaciones cuadráticas

Categorías ♦ ♦

Espacio Diversidad

Valores que promueven ♦ ♦ ♦

Competencia genérica

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reexiva.

Libertad Justicia Solidaridad

Atributo

Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito especíco y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y conabilidad.

Competencia disciplinar y extendida Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, grácos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

Contenidos relacionados Significado de la relación Fácticos Relación fuerte: La relación es procedimental, metódica y argumentativa, ya que en ambas competencias se reere a la elección de fuentes de información y la argumentación para propósitos especícos y para la solución de un problema con métodos determinados.

Ecuación: igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos y desconocidos, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Procedimentales Ecuaciones lineales

Actitudinales •

Ecuaciones cuadráticas

•

Construir la base procedimental para la elección de fuentes de información conables y efectivas que permita la solución precisa del problema. Concientizar sobre la argumentación de las soluciones obtenidas que están dadas mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

Álgebra Activación diagnóstica Resuelve los siguientes ejercicios y señala cuál de los incisos corresponde a lo que se indica en el enunciado. Escribe los procesos completos en tu libreta, para entregárselos a tu profesor. Al terminar, comenta con tus compañeros tus conclusiones sobre la actividad. 1.

Evalúa la expresión

3.

4.

2

+

para x

17 x − 15

=

5:

−

a) −200

d) −30

b) 170

e) 30

c) 2.

4 x

0

Factoriza completamente la expresión a)

2 x 16 x

b)

9) ( 2 x (16 x − 9 ) 2

c)

2

d)

2

e)

2

2

32 x

3

− 18 x :

+

x ( 4 x − 3)

2

x ( 4 x + 3) ( 4 x − 3) 2

x ( 4 x + 3)

Realiza el producto ( 2 x + 3) ( 2x − 5): a)

4 x

b)

4 x

− 15

c)

4 x

+

d)

4 x

2

+ 15

e)

4 x

2

+ 4 x + 15

2

2

2

− 4 x − 15

4 x − 15

Escribe una expresión algebraica para la expresión verbal “La diferencia entre el cuadrado de una cantidad y su doble es igual a 20”: a) x 2 + 2x = 20 b) x 2 c)

x

d)

x

e) 5.

2

−

+

2 −

( 2 x

2 x

=

2 y

=

2 y

=

20 20 20

2

−

y

)

=

20

Escribe una expresión verbal para la expresión algebraica

x

2

x

2

−

y

+

y

:

a) “El cociente de la diferencia de cuadrados de dos cantidades entre su suma”. b) “El cociente de la diferencia de los dobles de dos cantidades entre la suma de ellas”. c)

“La resta de cuadrados de dos cantidades entre la suma de otras dos cantidades distintas a ellas”.

d) “El cociente de la resta de dos cantidades entre la suma de ellas”. e) “La resta de dos cantidades entre la suma de otras dos”. 140


6.

7.

8.

9.

Realiza la suma de a)

3 x

b)

−3

c)

−6 x 3 − 17

Resta

2

(10 x

2

−

2

+5

x − 8 ) con ( 6 x − 7 x − 9 ) . 2

x + 1

− 8 x − 29 ) de

a)

5 x

b)

−5 x 2 − 17 x − 59

2

x

−10

+ x + 1

2

x

(

(15 x

− x − 1

2

x

d)

17

e)

−17

2

x

+ 11 2

x − 17

+ 11

x − 17

− 9 x − 30 ) .

d) 5 x 2 − 17 x − 59 e) Ninguno de los anteriores

c) −5 x 2 + x + 1 Encuentra una expresión algebraica para calcular el área de un rectángulo de base (7 x − 6) y altura (7 x + 6). a)

14 x − 36

d)

14

b)

49 x

e)

49 x

c)

49 x

2

− 12

2

− 36

x 2

Si el área de un cuadrado está dada por la expresión 25 x 2 + 10 x + 1 , ¿cuál es la expresión algebraica que representa la medida de cada uno de sus lados? a)

5 x

b)

5 x + 1

c)

5 x

+

−

10 x + 1

10 x + 1

d) 5 x − 1 e) Ninguna de las anteriores 10. Si una fotocopiadora produce 90 copias en 5 minutos, ¿cuántas copias producirá en 8 minutos? a) 150

d) 160

b) 170

e) 100

c)

144

141

Álgebra Introducción La función cuadrática1 Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la matemática en la época llamada “La Edad de Oro” del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1200 d. C. aproximadamente. Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y, asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al álgebra y la trigonometría. El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, quien escribió varios libros de geografía, astronomía y matemáticas. En su tratado sobre álgebra, Al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento como la solución de las ecuaciones eran dados en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día. Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor inuencia tuvo en este cambio favo rable para el desarrollo del álgebra fue François Viète

Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi

(1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coecientes de

una ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4. François Viète.

Así como el desplazamiento de un ciclista que viaja a velocidad constante, a través del tiempo, se puede describir mediante una función lineal, existen otros fenómenos que se describen matemáticamente a través de las funciones cuadráticas. Éstas son todas las funciones que tienen la forma siguiente:

f ( x ) = ax 2

bx + c

+

donde a , b y c son números reales y a ≠ 0 . Por ejemplo, las siguientes son todas funciones cuadráticas: f ( x ) = 3 x 2 − x + 2 g( x ) = h( x )

=

2 − x +

x

4

2 1 2 x (a −

j ( x ) = x 2

(a

(a

=

(a

= −

2, b

= −

=

3, b

= −

1, b

=

1, c

1 =

4

=

, c

2)

=

0)

0, c 1) =

1 , b = 0, c = 0)

Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el siguiente: se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por la pelota en cada segundo contado a partir del momento en que fue lanzada. La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento, de acuerdo a ciertas leyes de la Física.

1

142

http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA27/funcionCuadratica.html


Si se obtiene, en un caso especíco, la función f ( x ) = −2 x 2

+

8x

entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir, tiene altura igual a cero:

f (0) = −2(0)2 + 8( 0) = 0 Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se hace x = 1 y se calcula f (1) = −2(1)2 + 8(1) = − 2 + 8 = 6 y cuando han transcurrido 2 segundos: f (2) = −2(2)2 + 8( 2) = −8 + 16 = 8 Puede elaborarse una tabla como la que se muestra a continuación:

x

f ( x )

0

0

1

6

2

8

3

6

4

0

Con base en la lectura anterior, contesta las siguientes preguntas: 1.

¿En qué tiempo alcanza la pelota su altura máxima?

2.

¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

3.

¿Cuánto tiempo le lleva a la pelota regresar al punto de partida?

4.

¿Qué signicado tiene la expresión f ( 2.5 ) ?

5.

¿Qué signica la expresión f ( x ) = −2 x 2 + 8 x = 0 ?

6.

¿Qué importancia tiene la solución de este problema en situaciones de tu entorno?

El reto Para completar la propuesta de ahorro del gasto escolar, la cual se ha ido desarrollando desde el inicio del curso, es importante realizar una propuesta que presente opciones novedosas y creativas para hacer un pago motivador y digno a los trabajadores de la escuela. 143

Álgebra Delimitando el reto El reto: ¿Qué plan conviene más?

¿Cuál es el conicto especíco a resolver? ¿Por qué es importante este conicto para tu desarrollo académico-intelectual? ¿En qué beneciarás a tu comunidad escolar al proponer estas opciones de salarios? ¿En qué situaciones de tu desarrollo personal y académico se verá reejada la resolución de este reto? ¿Quiénes están involucrados en este problema?

Planeación de actividades Organizados en equipos, conformados de acuerdo con la s instrucciones de su profesor, realicen lo siguiente: a)

Realicen una investigación de las formas más comunes en que se paga a un trabajador.

b)

Analicen matemáticamente cuál es la razón bajo la cual se calculan los salarios normalmente.

c)

Concluyan de qué manera se establecen fórmulas o ecuaciones que permitan calcular el salario de un trabajador. Señalen qué método de solución de sistemas de ecuaciones se podría elegir para hacer propuestas distintas, explicando la razón de su respuesta con base en los conocimientos adquiridos en clase. Investiguen en qué otros casos de su contexto se utilizan ecuaciones para analizar aspectos salariales, nancieros, económicos (laborales o domésticos) e incluso scales, como: bolsas de valores, administración pública, cobranzas de impuestos, mecánica automotriz, programación de datos, compras de despensa familiar, juegos de azar, etcétera. Elaboren un reporte en el que se explique de qué ma nera todas las formas de ecuaciones encuentran aplicación en distintos nichos del desempeño social. Al nal, vinculen este reporte a una propuesta formal sobre distintas mane ras creativas, motivadoras e innovadoras de realizar el pago a los empleados escolares. Esto coadyuvará al ahorro del gasto escolar, promoviendo el desempeño efectivo de trabajadores satisfechos y comprometidos con sus funciones.

d)

e)

f) g)

144


Actividad de aprendizaje 1 Actuando sobre la realidad Jorge solicitó un empleo de ventas en cierta compañía de la ciudad. Se ha acercado a ti para que le ayudes, porque después de pasar por todo el proceso de selección, le avisan que será contratado. El problema radica en las diversas propuestas de sueldo que le hacen cuando se presenta a firmar su contrato:   

Plan A. Sueldo base de

4 500 pesos mensuales más 5% de comisión sobre las ventas realizadas en el mes. Plan B. Sueldo base de 2 500 pesos mensuales más 10% de comisión sobre las ventas del mes. Plan C. Sueldo base de 8 000 pesos mensuales sin comisiones. Cada artículo del producto que debe vender tiene un precio de 7 500 pesos.

¿Qué plan le conviene elegir? ¿Bajo qué circunstancias es mejor el plan C que los otros dos? ¿Puede ser mejor el plan B que los otros dos? ¿En qué circunstancias? ¿De qué depende que una opción sea mejor que otra? Escribe tus conclusiones y procedimientos en tu cuaderno, ya que esta te llevará varios temas poder resolver esta actividad.

Ecuaciones lineales Afrontando el reto Las ecuaciones son el fundamento del álgebra. Los árabes fueron los primeros no sólo en usar variables en el planteamiento de la solución de problemas, sino en sistematizar la búsqueda de los valores de estas variables, de modo que se verifique la igualdad de expresiones con ellas. Investigaciones realizadas han dado lugar al descubrimiento de escritos en los que se describen procesos de solución de ecuaciones. El fundamento de las ecuaciones son la igualdad y sus propiedades. Cuando resolvemos ecuaciones, buscamos mantener la igualdad entre dos cantidades, evitando desbalancear este equilibrio.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Actividad de aprendizaje 2 Actuando sobre la realidad Piensa un número positivo. Multiplícalo por dos. Al resultado réstale uno. Lo que obtuviste multiplícalo por cinco. Al resultado súmale cinco. Después del proceso, ¿obtuviste tu número multiplicado por 10? Explica por qué ocurre esto. Comenta tu respuesta con tus compañeros.


4.3 Identica las ideas clave en un texto o discurso oral e inere conclusiones a partir de ellas. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

145

Álgebra Desarrollo del reto Para la superación del reto, te sugerimos que durante su desarrollo, sigas estos pasos: 

Como parte de tus análisis iniciales, y aún basados en la actividad de aprendizaje 1, llena el cuadro que aparece abajo reexionando sobre las opciones.



Determina qué ecuaciones matemáticas te podrían ayudar a entenderlo.

Ecuaciones matemáticas

Distintas formas de pago

¿En qué varían estas formas (salario, honorarios, horas, mes, tiempo indenido, etcétera)?


Igualdad La igualdad es una operación de comparación entre dos cantidades. Produce valor verdadero si ambas son iguales, y valor falso sin son diferentes. Así, 13 ― 7 = 2 + 4 produce valor verdadero porque la cantidad a la izquierda es 6 , lo mismo que la cantidad a la derecha. Cuando la igualdad compara cantidades algebraicas, se denen dos tipos de expresiones: las identidades y las ecuaciones.

Identidades Una identidad es una expresión de igualdad que se cumple para todo valor que asignemos a sus variables, por ejemplo: ( x + 5) (x − 5) = x 2 − 25. No importa qué valor asignemos a la variable x , la igualdad siempre producirá valor verdadero. Por ejemplo, tomemos x = 7, la igualdad entonces será (7 + 5) (7 − 5) = 7 2 −25, que lleva a (12) (2) = 49 −25. Realizando las operaciones en ambos miembros de la igualdad, tenemos que 24 = 24, que es una expresión verdadera. Si ahora usamos x = 1, el proceso nos llevará a la expresión (6) (−4) = 1 − 25, que es equivalente de −24 = −24, que también es verda dero. No importa qué valor demos a la variable x , la expresión ( x + 5) ( x − 5) = x 2 − 25 siempre será verdadera.

Ecuaciones Una ecuación, por el contrario, no es verdadera para cualquier valor de sus variables; es más, puede ocurrir que no existan valores reales que permitan que la i gualdad produzca un valor verdadero. Por ejemplo, la expresión 4 x − 7 = 13 es una ecuación que se cumple para el valor de x = 5, pero sólo para este valor, pues deja de cumplirse para cualquier otro. Comprobemos esto: para x = 5, la expresión es 4(5) − 7 = 13. Realizando las opera ciones del lado izquierdo, tenemos: 20 − 7 = 13, y nalmente 13 = 13, que es verdadero. Pero si tomamos x = 8, la expresión nos llevará a 32 − 7 = 13, y nalmente a 25 = 13, que evidentemente es falso. Esto ocurrirá para cualquier valor diferente de 5. Resolver una ecuación es buscar y encontrar, en su caso, todos los valores de sus variables que satisfacen la igualdad, es decir, que hacen que se produzca un valor verdadero. Estos valores, si existen, se denominan raíces o soluciones de la ecuación. Así, la única solución de la ecuación 4 x − 7 = 13 es x = 5.

146


Existen diferentes tipos de ecuaciones, dependiendo de las expresiones que se comparan con la igualdad. Hay ecuaciones algebraicas y no algebraicas. Las primeras son las que nos interesan en nuestro curso. Las ecuaciones no algebraicas serán tema de estudio de otras asignaturas, como Geometría Analítica o Cálculo. Las ecuaciones algebraicas se clasican en: polinomiales, racionales, radicales y de valor absoluto. Polinomiales x 5 x 3x 7 0 x 2 x Racionales 9 Algebraicas x 5 3 x 5 Radicales 2 x 5 4 x 30 Valor absoluto 2 x 8 10 3

−

2

+

−

=

+

−

Ecuaciones Trascendentes (No algebraicas)

+

+

−

−

=

Trigonométricas Exponenciales Logarítmicas Diferenciales Otras funciones

=

=

2

4 Sen 2 x −1

3

2 ln 2 x

x + 1 = 0

=

( x

d 2 y dx 2

13

)

− 3 = −5

y

x + 2

dy = dx

3

Una ecuación es polinomial si se puede reducir a la expresión de un polinomio igualado con cero. Su forma algebraica es: P( x ) = 0. Como ya lo estudiamos en la unidad II, un polinomio es la suma o resta de términos no semejantes que se pueden ordenar por su grado, de manera descendente. Así, una ecuación polinomial de grado n se ajusta a la forma a x + a x +  + a x + a x + a = 0, donde los coecientes son representados por las letras ai. Por ejemplo, una ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) se representa en su forma general por la expresión: n −1

n

n

n −1

2

2

a x 3

1

3

+ a x

0

2

2

+ a x +a 1

0

=

0

Un ejemplo particular de ecuación cúbica es 3 x − 5x + 8 x − 10 = 0. Las ecuaciones polinomiales que estudiaremos en esta unidad son las ecuaciones de primer grado (ecuaciones lineales) y de segundo grado (ecuaciones cuadráticas), respectivamente. 3

2

Una ecuación racional es la que relaciona fracciones algebraicas por medio de la igualdad. Es importante señalar que una fracción algebraica tiene variables tanto en su numerador como en su denominador, de modo que la forma general de una ecuación racional es: P ( x ) Q ( x )

=

M ( x ) N ( x )

Un ejemplo particular de este tipo de ecuación es 2 x + 3 − x = 9 . Las ecua x + 5 x − 5 ciones racionales pueden dar lugar a ecuaciones de primero o de segundo grado, por lo que en esta unidad encontraremos algunos ejemplos de ellas. Una ecuación radical es la que tiene radicales en su expresión, es decir, raíces de cualquier índice. También encontramos algunas de estas ecuaciones que llevan a ecuaciones de primero o de segundo grado, por lo que, igualmente, algunos ejemplos de ellas están incluidos en esta unidad. Un ejemplo particular de este tipo de ecuación es 9 x + 1 = 8 − x − 5 .

147

Álgebra Resolución y evaluación de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Ecuaciones de primer grado Como acabamos de estudiar, las ecuaciones de primer grado (también conocidas como ecuaciones lineales porque, al representarlas en el plano cartesiano, su gráca es la de una línea recta) se pueden expresar en la forma general ax + b = 0, que es una expresión donde la variable tiene como máximo exponente a la unidad. El proceso por el cual estas ecuaciones se pueden resolver se denomina despeje y consiste en agrupar, en un lado de la igualdad, todos los términos que contengan variables y, en el otro lado, las cantidades sin variables.

Fig. 3.2 Las ecuaciones de primer grado también son conocidas como ecuaciones lineales.

Este proceso de mover términos de un lado de la igualdad al otro se realiza respetando las denominadas reglas de despeje , para que la igualdad continúe siendo verdadera. Estas reglas tienen su base en las propiedades de la igualdad, que analizaremos a continuación: 1.

Propiedad de identidad x = x : “Una cantidad es igual a sí misma”.

2.

Propiedad de simetría si a = b, entonces b = a: “Si una cantidad es igual a una segunda, entonces la segunda es igual a la primera”. Un ejemplo, para que la recuerdes, es: “Si Clark Kent es Superman, entonces Superman es Clark Kent”.

3.

Propiedad transitiva si a = b y b = c, entonces a = c: “Si una cantidad es igual a una segunda, y ésta es igual a una tercera, entonces la primera y la tercera son iguales”. Si a = b, entonces a ± c = b ± c: “Cuando se suma o se resta una cantidad a ambos lados, la igualdad permanece”. a b Si a = b, entonces a • c = b • c y = : “Cuando se multiplica o se divide cada lado

4. Fig. 3.3 Si a = b entonces b = a: Propiedad de simetría.

c

c

de la igualdad por una misma cantidad, la igualdad permanece”. 5.

Si a = b, entonces an = bn: “Si ambos lados de la igualdad se elevan a la misma potencia, la igualdad no se altera”. Esta propiedad permite decir que también se cumple que, al extraer la misma raíz a los dos lados de la igualdad, ésta se mantiene”:

6.

n

a

=

n

b.

Si a = b, entonces logna = lognb: “Si extraemos logaritmos iguales a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene inalterada”.

La correcta aplicación de estas propiedades permitirá despejar la incógnita de la ecuación y, consecuentemente, resolverla. Podemos expresar dos reglas prácticas que implican todas las propiedades anteriores: 1.

148

Sólo se puede mover al otro lado de la igualdad una cantidad que afecte a todas las que le acompañan en su lado. Si no afecta totalmente a todas sus compañeras, no se puede mover.


2.

Si una cantidad se mueve de un lado al otro de la igualdad (porque cumple la condición anterior), pasará al otro lado realizando la operación inversa a toda la expresión que se localice al otro lado de la igualdad; es decir, si está sumando, pasa al otro lado restando; si está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo; si está como potencia, pasa al otro lado como raíz, etcétera. Ejemplo

Resuelve la ecuación 4 x

−

7

=

13 .

Solución usando las propiedades

Queremos que el término que tiene la variable x quede solo. Sumemos 7 a ambos lados de la igualdad: 4 x − 7 + 7

=

x − 7

7

4

+

13 + 7 =

20

x = 20

4

Para que la variable x quede sola, debemos dividir ambos lados entre 4: x

4

=

20

4

4

, que lleva a la expresión

x

4

4

= 5, de donde nalmente se tiene que:

x = 5 . Solución usando las reglas prácticas

Queremos que el término de x quede solo en el lado izquierdo. ¿Podemos mover el 7? Sí, porque afecta a todo lo que le acompaña, que es 4 x . Por lo tanto, pasará haciendo la operación contraria. Dado que, en el lado izquierdo, el 7 está restando, pasará al lado derecho sumando: 4 x = 13 + 7 ,

que simplicado es 4 x = 20. Ahora movamos el 4, que afecta a

todo lo que le acompaña, que en este caso es la variable x . Como en el lado izquierdo está multiplicando, pasará dividiendo a todo lo que está del otro lado, que en este caso

es el número 20: x =

20 4

, de donde nalmente se tiene que x = 5

Una vez que se han practicado lo suciente, estas reglas se aplican “mentalmente” con rapidez, pero te recomendamos hacerlo con precaución.

En las ecuaciones racionales conviene multiplicar ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo (o común denominador) de los denominadores para evitar operaciones con fracciones

Ejemplo

Resuelve la ecuación

2 x

−

5

3

−

1

3x 10 −

=

5

.

Solución

Dado que hay fracciones, podemos multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores 3 y 5, que es 15. Esto siempre ayudará a simplicar ecuaciones con fracciones. Así:  2 x − 5

(15)  

15

3

  3x − 10  − 1 =   (15 )   5 

(2 x − 5 ) − (15 )(1 ) = 3 (

5 2 x

15 5

(3x − 10 )

− 5 ) − 15 = 3 ( 3x − 10 )

− 25 − 15 = 9 x − 30 10 x − 40 = 9 x − 30 10 x

149

Álgebra Ahora movamos el término 9 x de derecha a izquierda. Como está sumando, pasará restando: 10 x

−

40

−

9 x

=

−

10 x

−

9 x

−

40

=

−

x

−

40

30

30

30

=

Ahora pasemos el 40 de la izquierda a la derecha. Como está restando, pasará sumando: x = −30 + 40 De donde nalmente tenemos que x = 10 Ejemplo

Resuelve la ecuación 3 + 2 ( x − 5) = 3 ( 2x − 11) − 2. Solución

Primero, realizamos las operaciones indicadas en cada miembro de la ecuación: 3+2

( x

3 + 2 x 2 x

−5

)

=

− 10 =

−7 =

(

3 2 x − 11

6 x − 33

)

−

2

−2

6 x − 35

Ahora conviene mover el término 2 x de izquierda a derecha, y también podemos mover el 35 de derecha a izquierda: −7 + 35 = 6 x − 2 x 28 = 4 x Ahora pasemos el 4 de derecha a izquierda. Como está multiplicando, pasará dividiendo: 28 4 7

= x

= x

Finalmente, apliquemos la propiedad de simetría: Si 7 = x , entonces x = 7 Ejemplo


−

7

3 =

x

−

1.

Solución

Pasemos el 7 al otro lado: 9 x 9 x

−

3

=

−

3

=

7

( x 1) −

7 x

−

7

Ahora movamos el 3 de izquierda a derecha y el 7 x de derecha a izquierda: 9 x − 7 x = −7 + 3 2 x = −4 Ahora pasemos el 2 de izquierda a derecha. Como está multiplicando, pasa dividiendo: x

150

4

− =

2

, de donde nalmente tenemos que x

=

2

−


Ejemplo


x + 7

3

=

.

5

Solución

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

(

x + 7 )

2

3

2

(5 )

=

x + 7 = 25 Pasamos el 7 de izquierda a derecha. Como está sumando, pasa restando: 3 x 25 7 3 x 18 Pasamos el 3 de izquierda a derecha. Como está multiplicando, pasa dividiendo: 3

=

−

=

x =

18

, nalmente se tiene que x = 6

3

Ejemplo

Hace 4 años, la edad de una madre era el triple de la de su hija. Dentro de 6 años, sus edades sumarán 60. ¿Qué edad tienen madre e hija actualmente? Solución

Sea x la edad de la hija actualmente, entonces, hace 4 años: la hija tenía x − 4 años y, la madre, el triple de esa edad; es dec ir, la madre tenía 3 ( x 4 ) 3x 12 años. Podemos armar que actualmente la madre tiene 3 x − 12 + 4 = 3x − 8 años. −

=

−

Dentro de 6 años, la hija tendrá x + 6 años, pero la madre tendrá:

Fig. 3.4 Actualmente la madre tiene 3 x – 12 + 4= 3 x – 8 años.

x − 8 + 6 = 3x − 2 años.

3

Si dentro de 6 años sumarán 60, entonces:

(

x +

6

) (3 +

x −

2

)

=

60

x + 6 + 3x − 2 = 60 4 x + 4 = 60 4 x 60 4 4 x = 56 =

x =

−

5 6 4

x = 14 3 x 8 −

=

( )

3 14

−

8

=

42

−

8

=

34

Por lo tanto, la hija tiene 14 años y, la madre, 34. Esto signica que la madre tuvo a su hija a los 20 años de edad.

151

Álgebra



5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, deniendo un curso de acción con pasos especícos.


Organizados en equipos y de acuerdo con las instrucciones de su profesor, resuelvan los siguientes problemas, anotando en su libreta los procedimientos completos. Al nal de la actividad, deberán elaborar y entregar a su profesor un reporte de su trabajo, sus conclusiones sobre el mismo y una autoevaluación del desempeño de su equipo.

1.

Encuentren tres números enteros positivos consecutivos cuyo promedio sea igual a 9.

2.

Se sabe que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Si el ángulo mayor es el triple del menor y, el ángulo medio, igual al doble del menor, ¿cuánto miden los tres ángulos?

3.

Dos hermanos han ahorrado y el menor tiene el doble de dinero que el mayor. Juntaron sus ahorros y acumularon 600 pesos. ¿Cuánto ahorró cada uno?

4.

Hace cuatro años, la edad de Janet era la quinta parte de la edad de su padre. Si ahora sus edades suman 56, ¿qué edad tiene Janet?

5.

Se dispone de un número. Con él se calcula el doble del cociente del número incrementado tres unidades entre el número disminuido tres unidades. El resultado obtenido es 5. ¿Cuál es el número?

Gráfica de una ecuación lineal (o de primer grado) Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones lineales porque representan líneas rectas en el plano cartesiano. A continuación se describe el procedimiento para obtener la gráca de una ecuación de primer grado.

Sistema de coordenadas cartesianas Fig. 3.5 Las grácas de ecuaciones lineales son útiles en la publicación de informes económicos.

Primero necesitas recordar que el plano cartesiano está formado por dos ejes: uno horizontal, llamado eje de las abscisas o eje X; y otro vertical, llamado eje de las ordenadas o eje Y. Ambos se cortan en un punto denominado origen, de modo que se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes. Mediante este sistema podemos ubicar puntos y especicar su posición por medio de un par de números reales, llamados coordenadas cartesianas del punto. La primera coordenada, la abscisa del punto, indica la distancia desde el origen hasta el punto en la dirección horizontal. Dado que hay dos direcciones que se pueden seguir desde el origen en dirección horizontal: hacia la izquierda o hacia la derecha, se usa el signo + para la trayectoria hacia la derecha, y el signo − para la trayectoria hacia la izquierda.

Fig. 3.6 El plano cartesiano es el sistema de referencia para localizar puntos que ayuden a entender las relaciones entre variables implicadas en la solución de problemas.

152

La segunda coordenada, la ordenada del punto, es la distancia desde el origen hasta el punto en la dirección vertical. Se usa el signo + para la dirección hacia arriba del origen, y el signo − para la dirección hacia abajo del origen. Las coordenadas de un punto se escriben dentro de paréntesis y separadas por una coma. Por ejemplo, para representar al punto P localizado 3 unidades a la izquierda del origen y 2 unidades arriba de éste, se usa la notación P(−3, 2).


Así, los cuadrantes contienen puntos que cumplen las mismas condiciones respecto de sus coordenadas. El primer cuadrante contiene todos los puntos cuyas dos coordenadas son positivas. El segundo cuadrante contiene los puntos con abscisa negativa y ordenada positiva. El tercer cuadrante está formado por todos los puntos cuyas dos coordenadas son ambas negativas, y el cuarto cuadrante contiene todos los puntos de abscisa positiva y ordenada negativa. La siguiente gura muestra el plano cartesiano y sus elementos: Y 3

Cuadrante II (–,+)

Cuadrante I (+,+)

2 1

X

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

–1 Cuadrante III (–,–)

–2

Cuadrante IV (+,–)

–3

Relación de una ecuación de primer grado con una función lineal Una ecuación de primer grado es toda igualdad algebraica que puede reducirse a la forma ax + b = 0, llamada forma general de las ecuaciones de primer grado. Si hacemos que la parte algebraica de esta forma general sea igual a una variable y , entonces tenemos: y = ax + b. Aquí se expresa una relación entre los valores de la variable x y los valores de la variable y . Si damos un valor arbitrario a la variable x , podemos calcular el correspondiente valor de y por sustitución en la fórmula anterior. Cuando se tiene una relación de dos variables, como en el caso de la fórmula anterior, se dice que hay una función matemática. Así, podemos decir que y es función de x porque los valores de y se obtienen a partir de los valores que se asignen a x . El estudio formal de las funciones es tema de un curso de matemáticas siguiente; por el momento, esta denición simple bastará para entender el concepto de función y su utilidad en la construcción de grácas de líneas rectas. La forma de expresar que una variable es función de otra es y = f ( x ), donde la letra f se usa para indicar la serie de operaciones que se deben realizar con el valor de x para obtener el correspondiente valor de y ; es decir, f representa la fórmula para obtener valores de y . De este modo, podemos concluir que, dada la ecuación general de una ecuación de primer grado, se obtiene la función y = f ( x ) = ax + b, que, como veremos en seguida, representa una línea recta en el plano cartesiano.

153

Álgebra

Gráfica de una función lineal (o de primer grado) Para gracar una ecuación en el plano cartesiano, se elabora una tabla en la que, dando valores arbitrarios a la variable x, se pueden calcular los valores correspondientes de la variable y , mediante la expresión y = ax + b. Una vez localizados en el plano cartesiano todos los puntos, se traza la línea que pase por todos y se prolongue más allá de ellos. Ejemplo 3

Traza la gráca de la ecuación

y

=

1 x

2

Solución

−

2

.

Elaboramos una tabla que sirva para obtener cinco puntos de la gráca: 3

x −2

y

3

y

−1

=

y

−

( 1) 2 −

y

y

2

y

=

=

y

y

y

=

−

2

1 −

2

( 2) 2

2

1 −

2

2

−

2

2

−

2

B ( −1, − 2 )

−

2

2 =

1 2

C ( 0, − 0.5 )

2

1 −

−

=

2

A ( −2, − 3.5 )

1 =

2

6 =

=

3.5

−

4

3 =

=

2

1 −

1 −

−

1 −

(0 ) 2

(1 ) 2

7 =

2

3 =

3 =

−

P ( x , y )

2

3 =

3 =

2

1 −

−

6 =

2

3

0

1

−

1 x

2

1

( 2) 2

=

=

2

5 =

2

1

D (1 , 1 )

2.5

E ( 2, 2.5 )

=

=

Ahora localicemos todos los puntos y construyamos la siguiente gráca de ecuaciones de primer grado: 9

Y

8 7 6 5 4 3

E

2 1 ‒9

‒8

‒7

‒6

‒5

‒4 ‒3

C 0 ‒1 ‒1

‒2

B A

D X 1

2

3

4

5

‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7 ‒8 ‒9

Gráca de la ecuación

154

3 y

=

2

1 x

−

2

.

6

7

8

9


Ejemplo


= −2 x + 1

.

Solución

Elaboramos una tabla que sirva para obtener cinco puntos de la gráca: x

y

P ( x , y )

= −2 x + 1

−2

y = −2 ( −2) + 1 = 4 + 1 = 5

−1

y = −2 ( −1) + 1 = 2 + 1 = 3

0

y = −2 ( 0 ) + 1 = 0 + 1 = 1

1

y = −2 (1 ) + 1 = −2 + 1 = −1

2

y = −2 ( 2) + 1 = −4 + 1 = −3

9

A ( −2, 5 ) B ( −1, 3) C ( 0, 1 ) D (1, − 1 ) E ( 2, − 3 )

Y

8 7 6

A 5 4

B 3 2

C

1

‒9

‒8

‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

‒1

X 0

‒1

1D

2

3

4

5

6

7

8

9

‒2

E ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7 ‒8 ‒9


y

= −2 x +

1

.

Podemos observar que las grácas resultantes de ambos ejemplos son líneas rectas. Todas las ecuaciones de primer grado dan lugar a líneas rectas en el plano cartesiano cuando se gracan.

155

Álgebra

Resolución de ecuaciones de primer grado mediante graficación Sea ax + b = 0 una ecuación de primer grado. Si hacemos que y = ax + b , tenemos que y = ax + b = 0. Resolver la ecuación es buscar el valor de x que iguale y a cero. Esto ocurre solamente para puntos del eje X, donde la ordenada es cero. Por lo tanto, la solución de la ecuación consiste en buscar el punto donde la recta que representa a la ecuación intersecta al eje X. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo

Resuelve por el método gráco la ecuación Solución

30

x + 3

2

=

.

2

En primer lugar, realicemos movimientos de modo que la ecuación adquiera la forma general ax + b = 0: Pasemos la expresión 2 x + 3 del lado izquierdo donde está dividiendo hacia el lado derecho donde estará multiplicando: 30

=

( x 3)

2 2

+

Realizando la multiplicación tenemos: 30

=

x + 6

4

Ahora, pasemos el 30 de la izquierda a la derecha (restando): 0 = 4 x + 6 − 30 0 = 4 x − 24 Aplicando la propiedad de simetría de la igualdad, tenemos: x

4

−

24

=

0

Ahora que tenemos la forma general, introduzcamos la variable y para obtener la fórmula con la cual calculemos los valores de y para obtener dos puntos de la recta: y

=

4 x

−

24

En seguida, elaboremos una tabla para obtener dos puntos con los cuales gracar la recta: x

y

4

y

5

y

=

4 x

−

P ( x , y )

24

( )

−

24

=

16

−

24

=

−

( )

−

24

=

20

−

24

=

−

=

4 4

=

4 4

8

A ( 4, − 8 )

4

B (5, − 4 )

Localicemos los puntos en el plano y tracemos la recta que pasa por ambos puntos, prolongándola más allá de ellos:

156


Ejemplo

Resolución de ecuaciones de primer grado. Y 4 3 2 1

C ‒4

‒5

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

X 6

7

8

9

10

11

12 12

13 13

14 14

15 15

‒1 ‒2 ‒3

B

‒4 ‒5 ‒6 ‒7 ‒8

A

‒9 ‒10 ‒11

Como muestra la gráca, la recta corta al eje X en el punto C (6, (6, 0), de donde obtenemos que x que x = = 6 sea la solución de la ecuación dada. Comprobación: 30

2

=

x + 3

2

30

( )

2 6

=

3

+

30

30

2

=

12 + 3

2

=2

15

2 = 2 , que es una u na proposición verdadera que comprueba la solución buscada. Ejemplo

Resuelve grácamente la ecuación

x

4

−

3

=

5

.

Solución

Elevando al cuadrado ambas expresiones tienes:

(

x

4

2

−

3

)

2

(5 )

=

Se elimina la raíz cuadrada con la potencia, de donde: x

4

−

3

=

25 25

Pasa el 25 de la derecha a la izquierda para igualar a cero y obtener la forma general de las ecuaciones de primer grado: x

4

x

4

−

3

−

28

−

25 =

=

0

0

157

Álgebra Ahora introduce la variable y variable y para para obtener la función lineal que gracarás en el plano cartesiano: y

=

f ( x)

4 x

=

−

28

Realiza la tabulación para obtener dos puntos que te permitan gracar la recta de esta función: x

y

5

f (5 )

8

f (5 )

=

=

f (x)

( )

4 5

−

( )

4 8

=

=

28

−

4x

=

28

20

=

P ( x , y )

28

−

−

32

28 28

−

=

28 28

=

−

M (5, − 8 )

8

N ( 8, 4 )

4

Traza la gráca en el plano cartesiano: Y 7 6 5

N 4 3 2 1

X ‒4

‒5

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 12

13 13

14 14

15 15

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

M ‒8 ‒9 ‒10 ‒11

Es evidente que la recta corta al eje X en el punto P(7, 0), es decir, la variable es igual a cero cuando x cuando x = = 7, por lo que 4 x 4 x – – 28 = 0 sólo para el valor de x = = 7, que es la solución de la ecuación. Comprobación: x

4

−

( )

4 7

28 25

−

3

−

3

=

5

3

=

=

5

5

=5

5 5 (V ) =

Que comprueba que la solución es correcta.

158




Esta actividad te ayudará a superar tu reto no sólo porque las alternativas que tienes que analizar para la propuesta de salario implican ecuaciones de primer grado, y una forma de entenderlas es a través de su gráca; sino porque en las institucio nes laborales se realizan grácas para registrar el desempeño profesional, como por ejemplo de la puntualidad o la asistencia, relacionándola con la producción de determinado periodo.

I.

Resuelve los siguientes ejercicios. Realiza el procedimiento en tu libreta.

1.

Localiza los puntos siguientes en el plano cartesiano: A A(−4, (−4, 1), B(0, 3), C (−3, (−3, −4), D(5, −3) y E (2, (2, 5).


Y 7 6 5 4 3 2 1

‒7

‒6

‒5

‒4

‒3 ‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6

2.

Graca la ecuación y

= − x +

3.

Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3 ‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒

159

Álgebra 3.

Graca la ecuación y

=

5 x

−

4

. 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3 ‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5

4.

Resuelve la ecuación x

1

−

=

3

x

−

3 y

graca.

5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3 ‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5

5.


−

7

=

y graca.

0

Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3 ‒3

‒2

0

‒1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

160

1

2

3

4

5

6

7


Sistemas de ecuaciones lineales (o de primer grado) con dos incógnitas Las ecuaciones de primer grado con una variable se pueden resolver por medio de las reglas de despeje explicadas anteriormente. Sin embargo, ocurre que, en muchos problemas, se relacionan dos o más variables que dan lugar a dos o más ecuaciones de primer grado. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas variables, y las mismas soluciones. En ese sentido, resolver un sistema de ecuaciones signica buscar y encontrar, si ello es posible, los valores de todas las variables que resuelven todas las ecuaciones del sistema. En este proceso pueden presentarse tres casos: (I) que el sistema no tiene solución, porque no es posible hallar valores de las variables que satisfagan todas las ecuaciones del sistema; (II) que el sistema tenga una única solución o (III) que el sistema tenga un número innito de soluciones. Para que un sistema de ecuaciones se pueda resolver, es condición que existan al menos, tantas ecuaciones como variables haya en él. Por ejemplo, si en el sistema hay tres variables, deben existir tres o más ecuaciones para resolverlo. Generalmente se proporcionan tantas ecuaciones como incógnitas haya en él. Así, si éste tiene dos variables, se proporcionarán dos ecuaciones, y si el sistema tiene cinco variables, se darán cinco ecuaciones. El número de variables en un sistema (y, generalmente, el número de ecuaciones en él) determina el orden de éste. Un sistema de ecuaciones de dos variables con dos ecuaciones es un sistema de segundo orden; uno de tres variables con tres ecuaciones, de tercer orden; y así, sucesivamente. A continuación se presentan dos ejemplos de sistemas de segundo y tercer orden:

a x + b y = c    d x + e y = f  �  

Sistema de 2do. orden

 a1 ,1 x + a1 ,2 y + a1 ,3 z = b1     a2 ,1 x + a 2,2 y + a 2 ,3 z = b2    y  a3,1 x + a3,2 y + a3 ,3 z = bb3  �   

Sistema de 3er orden

donde las variables son x , y , y z . Las demás literales representan coecientes numéricos.

Resolución por el método de igualación Este método consiste en despejar una cantidad igual de variables de todas las ecuaciones del sistema, una cantidad. Si no es posible, se despejan dos cantidades de l a misma variable y se multiplican por constantes numéricas, de modo que se dé la igualdad. Analicemos este método con el sistema: Ecuación 1: 3 x + 2 y = 45 Ecuación 2: x + y = 20 De la ecuación 1, despejemos el término 2 y . Tenemos la expresión 3: 2 y

= −3 x +

45

De la ecuación 2, despejemos y . Tenemos la expresión y

= − x +

20

.

Ahora multipliquemos por 2 esta expresión y tenemos la expresión 4: 2 y

= −2 x +

40

161

Álgebra De las expresiones 3 y 4, que tienen el término 2 y , podemos realizar la siguiente igualdad: x + 45 = −2x + 40 , que es una ecuación de primer grado en la variable x , por lo que, aplicando las reglas de despeje, obtenemos que: −40 + 45 = −2 x + 3x −3

5 = x , que por la propiedad de simetría es: x = 5 Ahora podemos sustituir este resultado en cualquiera de las expresiones, de preferencia en las ecuaciones 3 o 4. Eligiendo la expresión 4, tenemos que:

(5 )

2 y =

−2

2 y =

−10 +

+

40

40

2 y = 30

y =

30

, de donde, nalmente tenemos que: y = 15

2

Otro ejemplo para mostrar este método es la solución del sistema: 9 x

4 y

−

11 x

4 y

−

=

=

103 117

Para resolver este sistema por el método de igualación, despejemos la expresión –4 y de ambas ecuaciones: Expresión 3:

−4 y

= −9 x +

Expresión 4:

−4 y

= −11 x + 117

103

Realizando la igualdad entre estas expresiones, tenemos: x + 103 = −11x + 117

−9

Despejando, tenemos que: 11 x 9 x 117 103 2 x 14 −

=

−

=

x =

14 2

, de donde x = 7

Ahora se sustituye este resultado en la expresión 3 o en la 4. Escogiendo la expresión 3, tenemos: y = −9 ( 7 ) + 103 −4 y = −63 + 103 −4 y = 40 −4

y

40 =

4

, de donde nalmente tenemos que y

=

10

−

−

Soluciones

( 7, − 10 ) o bien x = 7 y y

=

10

−

Resolución por el método de sustitución Consiste en despejar alguna variable, elegida arbitrariamente, de una ecuación. Después, se sustituye en las demás ecuaciones hasta llegar a una ecuación de primer grado que se resuelva por despejes. Analicemos el siguiente ejemplo: 162


Ecuación 1:

2 x

−

Ecuación 2:

3 x

+

y

=

13

7 y = 62

De la ecuación 1, despejemos la variable y . Expresión 3:

y

=

2 x

−

13

Ahora se sustituye este resultado en la ecuación 2:

(

3 x + 7 2 x − 13 3 x

+ 14

)

=

62,

de donde, por despeje:

x − 91 = 62

17 x = 62 + 91 17 x = 153

x =

153 17

, de donde se tiene que: x = 9

Ahora se sustituye este resultado en la expresión 3: y y

( )

=

2 9

=

18

−

−

13

13 ,

de donde nalmente tenemos que: y = 5

Solución

(9, 5 ) o bien x = 9 y y = 5

Resolución por el método de reducción o eliminación por suma y resta Consiste en lograr que dos términos variables sean iguales en magnitud pero diferentes en signos, a n de que, al sumar ambas ecuaciones, se puedan eliminar. Este proceso se logra multiplicando las ecuaciones por valores numéricos que permitan la igualdad en magnitud y diferencia de signo, como se ilustra en el siguiente ejemplo: Ecuación 1:

7 x

−

2 y

=

Ecuación 2:

5 x

+

4 y

=

16 6

Observamos que la variable y tiene signos contrarios en las ecuaciones 1 y 2, por lo que la elegimos para la eliminación. También nos damos cuenta de que si multiplicamos la primera ecuación por 2 los términos, serán iguales en magnitud. Así:

(

2 7 x 14 x

−

−

2 y

4 y

)

=

=

( )

16 2

32

Ahora el sistema es: 14 x − 4 y = 32 5 x + 4 y

6

=

Sumando ambas ecuaciones, tenemos que: 14 x

−

4 y

=

32

5 x

+

4 y

=

6

19 x

=

38

163

Álgebra De donde se tiene que x =

38

, que lleva a x = 2 Ahora se sustituye este resultado en la ecuación 1 o en la 2. Escogiendo la ecuación 2, tenemos:

( ) 4 y

5 2

+

=

19

6

10 + 4 y = 6 4 y

4 y y

=

6

=

−

10

−

4

4 , de donde nalmente tenemos que y 4

− =

=

1

−

Solución

( 2, − 1 ) , o bien: x = 2 y y

=

1

−

Ejemplo

Usando el sistema con el cual se explicó el método de sustitución, tenemos: Ecuación 1:

2 x

−

Ecuación 2:

3 x

+

y

=

13

7 y = 62

Puedes darte cuenta de que, multiplicando la primera ecuación por 7, los términos de la variable y de ambas ecuaciones se hacen iguales en magnitud y diferentes en signo, por lo que: Ecuación 1: 7 ( 2 x Ecuación 1: 14 x

−

13

)

y

=

7 y

=

91

=

91

−

Ahora el sistema es: Ecuación 1:

14 x

Ecuación 2:

3 x

+

−

7 y

7 y = 62

Sumando ambas ecuaciones, tenemos: 14 x

−

7 y

=

91

3 x

+

7 y

=

62

=

153

17 x

De donde: x =

153 ,

que da como resultado x = 9

17

Sustituyendo este valor en la ecuación 1 original se tiene que:

( ) y

2 9 18

−

−

y

=

=

13

13

Pasando y hacia la derecha, tenemos que: 18

=

13 + y

Pasamos ahora el 13 a la izquierda: 18

164

−

13

=

y


5 = y , que por la propiedad de simetría da lugar a la solución y = 5 Comprobación: Ecuación 1: 2 x

−

y

=

13

( ) (5 )

2 9 18

−

13

=

−

5

=

=

13

13

(V )

13

Ecuación 2: 3 x

+

( )

3 9

7 y = 62 +

27 + 35 62

=

( )

7 5 =

62

=

62

62

(V )

Solución

P ( 9, 5 ) o bien x = 9 y

y

=

5

Resolución por el método gráfico Desde el punto de vista gráco, la solución del sistema de ecuaciones es el punto común por el que todas las rectas pasan, es decir, es el punto de intersección de todas ellas. Esto se debe al hecho de que el punto de intersección satisface todas las ecuaciones del sistema. Para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables, se realiza el siguiente proceso: 1.

Se reescriben todas las ecuaciones en la forma general

2.

Se trazan las grácas de las rectas para cada ecuación.

3.

Se buscan las coordenadas del punto de intersección de las rectas de las ecuaciones del sistema.

4.

Se expresa el resultado con notación de punto cartesiano.

=

ax + b .

Ejemplo

Resuelve por el método gráco el sistema: Ecuación 1:

2 x

−

y

=

1

Ecuación 2: x + 2 y = 13 Solución

1.

Reescribir las ecuaciones en la forma general y Ecuación 1: y Ecuación 2: y

=

2 x

−

2

ax + b :

1

1 = −

=

13 x +

2

165

Álgebra 2.

Tracemos las rectas por el procedimiento estudiado anteriormente. Para la ecuación 1: x

y

=

0

y

1

y

2 x

=

−

( )

2 0

=

Punto

1

−

( )

2 1

1

−

=

1

0

2

=

1

−

=

1

−

A ( 0, − 1 )

1

−

B (1 , 1 )

1

=

Para la ecuación 2:

x

1 y

= −

3.

Punto

2

1

0

1

2

13 x +

y = − ( 0 ) + 2

1

y = − (1) + 2

13 2

13 2

13 =

2

1 = −

2

13 +

2

C ( 0, 6.5 )

6.5

=

12 =

2

=

D (1 , 6 )

6

Gráca del sistema de ecuaciones lineales. Y 7

C

6

D 5

E 4 3 2 1

‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

166

B

A

1

X 2

3

4

5

6

7


4.

Localizamos el punto de intersección entre ambas rectas. En la gráca es el punto E (3, 5).

5.

La solución del sistema es: (3, 5) Comprobación: Ecuación 1:

2 x

y

−

=

1

Ecuación 2: x + 2 y = 13 Sustituyendo, se tiene que: Ecuación 1: 2 ( 3)

−

Ecuación 2:

( )

5

3+2 5

=

=

6

−

5

=

3 + 10

1

=

13

Esto verica que la solución encontrada es correcta.

Sistemas de ecuaciones sin solución Consideremos el sistema: Ecuación 1:

2 x

−

3 y

=

−

12

Ecuación 2:

6 x

−

9 y

=

18

Usando el método de eliminación por suma y resta, buscamos que los términos en x o y sean de la misma magnitud pero de signos contrarios. Eligiendo la variable x , vemos que esto se logra al multiplicar la primera ecuación por −3. Así, el sistema será: −6 x +

9 y

=

36

6 x

9 y

=

18

−

0

=

54

Esta última proposición es falsa: cero no es igual a 54. Por lo tanto, concluimos que el sistema no tiene solución, pues se trata de un sistema de dos líneas paralelas que nunca se cortan en un punto. El método gráco permite ver que esto ocurre cuando las rectas del sistema son paralelas, no colineales. Siempre que obtengamos una expresión cuya proposición resultante sea falsa, concluiremos que el sistema dado no tiene solución.

Fig. 3.7 Sistema sin solución. Rectas paralelas.

Sistemas con un número infinito de soluciones Y 7

Consideremos el sistema:

C

6 5

7 x

−

3 y

=

8

4 3

35 x

−

15 y

=

40

2 1

X

Usando el método de eliminación, multiplicamos la primera ecuación por –5, con lo que tenemos:

‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4

− 35 x +

15 y

= −

35 x

15 y

=

−

0

40

‒5 ‒6

=

40 0

‒7

Fig. 3.8 Innitas soluciones. Rectas colineales.

167

Álgebra Esta última proposición es verdadera porque cero es igual a cero. Cuando esto ocurre, decimos que el sistema tiene un número innito de soluciones. Si analizamos con más detenimiento las ecuaciones del sistema, podemos notar que una ecuación es múltiplo escalar de la otra: la segunda ecuación se obtiene de multiplicar la primera por 5:

( ) ( Ecuación 1 )

Ecuación 2 = 5

=

(

5 7 x

−

3y

=

8

)

=

35 x

−

15 y

=

40

Podemos concluir que, si en un sistema una ecuación es múltiplo escalar de otra, entonces tal sistema tiene un número innito de soluciones; es decir, si el sistema tiene una ecuación ax + by = c, y otra igual a k (ax + by = c), donde k es cualquier número real, generalmente un valor entero, aunque puede ser decimal o fraccionario, entonces tal sistema tiene dos rectas colineales y, por tanto, un número innito de soluciones. El método gráco permite saber que esto ocurre cuando las rectas del sistema son coli neales.

Resolución por determinantes (Regla de Cramer) Esta regla consiste en calcular las soluciones de un sistema de ecuaciones mediante el cálculo de números llamados determinantes, que se obtienen a partir de los coeficientes del sistema. El arreglo de coeficientes del sistema se conoce con el nombre de matriz del sistema. Sea el sistema: Ecuación 1: a x + b y

=

c

Ecuación 2: d x + e y

=

f

a b c  La matriz del sistema es: d e f 

A partir de la matriz anterior, podemos calcular los determinantes que ayuden a encontrar la solución del sistema de ecuaciones. El primer determinante que se puede encontrar es el que utiliza los coecientes de la parte variable. A este determinante se le llama determinante del sistema. Estos coecientes se encierran entre dos verticales. Para representar un determinante, se usan la letra griega delta y una letra que indique la naturaleza del determinante. Así, ∆ S representa al determinante del sistema; ∆ x , al determinante de la variable x; y ∆ y al determinante de la variable y . Si el determinante tiene dos renglones y dos columnas, se dice que es de segundo orden, si tiene 3 renglones por tres columnas, es de tercer orden; y así sucesivamente. De este modo: ∆S =

a

b

d

e

−

+

Para calcular un determinante de segundo orden, se multiplican diagonalmente los coecientes, de modo que el producto diagonal hacia abajo sea multiplicado por +1 y, el producto diagonal hacia arriba, por −1, dando lugar a la siguiente expresión: ∆S =

a

b

d

e

−

( 1) + db ( −1 ) = ae − db

= ae + +

El segundo determinante que debemos calcular es el de la variable x. En este determinante se sustituye la columna de coecientes de la variable x por la columna de resultados y se calculan los productos diagonales, dando lugar a: 168


∆ x =

−

c

b

f

e+

ec − fb

=

Del mismo modo, el determinante de la variable y usa los coecientes de x en la primera columna, y los de resultados en la segunda: ∆ y =

−

a c d

f +

=

af

− dc

Finalmente, la regla de Cramer establece que las soluciones del sistema están dadas por las expresiones: x =

∆x ∆S

y =

y

∆y ∆S

Ejemplo

Resuelve, por la regla de Cramer el siguiente sistema: Ecuación 1:

3 x

+

2 y = 45

Ecuación 2: x + y = 20 Solución

La matriz del sistema es: 3  1

2 45 



1 20  

Obtenemos los determinantes del sistema, de la variable x y de la variable y : ∆

S=

x =

∆

y =

∆

3

2

1

1

−

( ) ( ) (2) = 3 − 2 = 1

=3 1 − 1 +

45

2

20

1

3

45

1

20

−

( ) ( )( 2 ) = 45 − 40 = 5

= 45 1 − 20 +

−

( ) ( )( 45 ) = 60 − 45 = 15

= 3 20 − 1 +

Ahora encontremos la solución: ∆x

5

15

∆y

y y = ∆S = 1 = 15 1 ∆S La solución es (5, 15), que es la obtenida en el ejemplo usado para explicar el método de igualación. x =

=

=5

Ejemplo

Ecuación 1: 2 x − y = 1 Ecuación 2: x + 2 y = 13

Resuelve por la regla de Cramer el sistema  Solución

 La matriz del sistema es: 2 −1 1

2

  13  1

169

Álgebra El determinante del sistema es: S=

∆

2

−1

1

2

−

( ) ( ) ( −1 ) = 4 + 1 = 5

=2 2 − 1 +

El determinante de la variable x es: x =

∆

1

−1

13

2

−

( ) ( ) ( −1 ) = 2 + 13 = 15

= 1 2 − 13 +

El determinante de la variable y es: S=

∆

2

1

1

13

−

( ) ( ) (1) = 26 − 1 = 25

= 2 13 − 1 +

Por la regla de Cramer, las soluciones son: x =

15

=3

5

y y =

25

=5

5

Comprobación: Ecuación 1: 2 x

−

( )

2 3 6

−

1

=

5 1

y −

5

=

1

=

=

1

1

(V )

Solución P (3, 5) o

bien x = 3 y

y

=

5

Solución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Si, al plantear la solución de un problema enunciado con palabras, se obtiene un sistema de ecuaciones, puedes emplear alguno de los métodos analizados en este libro para encontrar la solución. Ejemplo

Si se compran 3 camisas y 2 pantalones en una tienda, se deben pagar 1 210 pesos. Si se compran 5 camisas y un pantalón, se deben pagar 1 130 pesos. ¿Cuánto cuesta una camisa y cuál es el precio de un pantalón? Solución

Si consideramos que el precio de una camisa es x y, el de un pantalón es y , entonces las ecuaciones del problema son: Ecuación 1:

3 x

+

2 y = 1210

Ecuación 2:

5 x

+

y = 1130

Usando la regla de Cramer, tenemos: 3

2 1210 

5

1 1130  

Matriz del sistema: 

170




Los determinantes del sistema y de las variables son: ∆

S=

x =

∆

3

2

5

1

−

( )

+

1210

2

1130

1

y =

∆

( )

= 3 1 − 5 2 = 3 − 10 = −7

3

1210

5

1130

−

( )

( )

= 1210 1 − 1130 2 = 1210 − 2260 = −1050 +

−

(

)

(

= 150

y y =

)

= 3 1130 − 5 1210 = 3390 − 6050 = −2660 +

De donde: x =

∆x ∆S

−1050

=

−7

∆y ∆S

=

−2660 −7

= 380

El precio de una camisa es de 150 pesos y, el de un pantalón es 380 pesos. Ejemplo

Resuelve el siguiente problema. Una nota indica que 4 lapiceros y 3 gomas para borrar costaron 47 pesos. Otra nota indica que un lapicero y 5 gomas para borrar costaron 33 pesos. ¿Cuál es el precio de un lapicero y, el de una goma para borrar? Solución

Sea a el precio de cada lapicero y b el precio de cada goma para borrar, entonces: De la primera nota se tiene:

4a

De la segunda nota se tiene:

a

+

+

3b

5b

=

=

47

33

Usando el método de eliminación por suma y resta, tenemos que, al multiplicar la segunda ecuación por –4, los términos de la variable a de ambas ecuaciones se anulan. Así: Ecuación 1: 4a Ecuación 2:

−

+

3b

4a

−

=

47

20a

=

132

−

Sumando ambas ecuaciones, tenemos: 4a −

4a

3b

+ −

20b

=

47

= −132

− 17b = −

85

De donde: b

85

− =

17

=

5

−

Sustituyendo este valor en la ecuación 2 original: a + 5b

=

a + 5 (5 )

33

=

33

a + 25 = 33 a

=

33

−

25

a=8 171

Álgebra Solución

Un lapicero cuesta 8 pesos y una goma para borrar cuesta 5 pesos. Comprobación: Nota 1: 4 ( 8 ) + 3 (5 ) = 32 + 15 = Nota 2:

desarrollar:


=

8 + 25

=

33

pesos, que es correcto.

pesos, que también es correcto.


Atributos a


( )

8 +5 5

47


Esta actividad te ayudará a superar tu reto porque las distintas alternativas de pago que tu escuela puede usar con la persona que está contratando, implican sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

I.

Resuelve los siguientes ejercicios escribiendo los procesos completos en tu libreta. Al nal de la actividad comenta tus resultados con tus compañeros y escribe en l a pantalla de respuestas una conclusión sobre los procesos de solución de sistemas de ecuaciones de primer grado.

Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10. Resuelve por el método de igualación.



1. 2.

5 x

− 3 y =

1

4 x

+ 3 y =

17

8 x

− 5 y =

29

4 x

+

Resuelve por el método de sustitución.



3. 4. 5.

5 x

+

2 x

=

x

172

3 y

=

= −3

2 x

− 5 y =

6 x

=

x

+

13 x 9 x

29

y + 27

7 y

+



6.

7 y = 5

13

5 y − 2

2 y

=

28

Resuelve por el método de eliminación por suma y resta. − 3 y =

31

+ 3 y = −9


7. 8.

x

+

9 x

− 8 y =

2 x

=

7 y + 24

9 y

=

3 x − 33

5 x

+

2 x

=

6 x

x

+

3 y

=

29

y + 27

Resuelve por la regla de Cramer.



10.

125

Resuelve por el método gráco.



9.

−5

y =

=

5 y − 2

2 y = 28

Sistemas de tres ecuaciones lineales (o de primer grado) con tres incógnitas (sistemas de tercer orden) Un sistema de tercer orden, como ya se explicó, es el que consta de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se puede resolver usando cualquiera de los métodos estudiados anteriormente, aunque el de igualación ofrece mayores ventajas. A continuación se analizan algunos ejemplos:

Método de igualación Ejemplo

Resuelve el sistema de ecuaciones dado: Ecuación 1:

3 x

−5 y +

Ecuación 2:

2 x

+

3y

−

2 z = 21 4 z

= −19

Ecuación 3: x − 2 y + z = 9 Solución

De la ecuación 1:

2 z

. Si multiplicamos por 2, tenemos:

= −3 x + 5 y + 21

Expresión 3: 4 z = −6 x + 10 y + 42 De la ecuación 2: Expresión 4: 4 z = 2 x + 3 y + 19 De la ecuación 3: z

= −x +

2 y + 9

, que multiplicada por 4 es:

Expresión 5: 4 z = −4 x + 8 y + 36 Ahora igualamos las expresiones 3 y 4: −6 x + 10 y +

42

=

2x

+ 3 y + 19

, y simplicamos:

42 − 19

=

2 x

+

3y

+

6x

− 10 y

173

Álgebra Expresión 6:

8 x

−

7 y

=

23

Ahora igualamos las expresiones 4 y 5 y simplicamos: 2 x

+ 3 y + 19 = −4 x + 8 y + 36

2 x

+

4x

+ 3 y − 8 y =

Expresión 7:

6 x

−

36 − 19

5 y

=

17

Las expresiones 6 y 7 forman un sistema de segundo orden: 8 x

−

7 y

=

6 x

−

5 y

=

23 17

Resolvemos este sistema por eliminación:

( 7 ( 6 x

5 8 x

−

−

−

7 y

=

5 y

=

) 17 ) 23

−40 x +

35 y

= −115

42 x

35 y

=

119

=

4

−

2 x

De donde x = 2 Sustituimos este resultado en la expresión 7:

( ) 5 y

6 2

−

12

−

12

−

5 y

5 y 17

=

=

=

17

17 5 y

5

=

−

5 , de donde y 1 y 5 Ahora sustituimos ambos resultados en las ecuaciones 1, 2 o 3. Si elegimos la ecuación 3, tenemos: −

=

=

2−2

( 1) z −

+

=

−

9

2 + 2 + z = 9 4 + z = 9

z

=

9

−

4

, de donde nalmente obtenemos: z = 5 .

Solución

( 2, − 1, 5 ) o bien: x = 2 , y

=

1 y z = 5 .

−

Método de determinantes: regla de Cramer Como se estudió en el caso de sistemas lineales de dos variables con dos ecuaciones, el método de la regla de Cramer consiste en calcular el determinante de cada variable y dividir cada uno entre el determinante del sistema para obtener el valor de cada variable que soluciona el sistema. Ahora, sólo es necesario saber el procedimiento para calcular un determinante de tercer orden. Explicaremos aquí el método de Sarrus, desarrollado por el matemático francés Pierre Frédéric Sarrus. 174


a1

b1

c 1

a2

b2

c 2

a3

b3

c 3

Sea el determinante que se desea calcular, entonces copia las dos primeras columnas después de las que ya tiene el determinante. Se obtiene: a1

b1

c1

a1

b1

a2

b2

c2

a2

b2

a3

b3

c3

a3

b3

−

+

Este determinante se calcula multiplicando diagonalmente, recordando que los productos diagonales hacia abajo se multiplican por +1 y, los productos diagonales hacia arriba, por −1. De este modo se obtiene que: a1

b1

c 1

a1

b1

a2

b2

c 2

a2

b2

a3

b3

c3

a3

b3

−

a1 b2 c3

=

( 1)

b1 c2 a3

+

+

=

a1 b2 c3

( 1)

+

c1a2 b3

( 1)

+

c1a2b3

−

+

+

+

a3 b2 c1

( 1) −

+

b3c 2a1

( 1) −

+

c3a2b1

( 1) −

+

Y, nalmente: a1

b1

c 1

a2

b2

c 2

a3

b3

c 3

b1c 2a3

+

a3b2c 1

−

b3c 2a 1

−

c 3a 2b1

Ejemplo

Aplica la regla de Cramer con el sistema: Ecuación 1:

3 x

−5 y +

Ecuación 2:

2 x

+

3y

−

2 z = 21 4 z

= −19

Ecuación 3: x − 2 y + z = 9 Solución

Matriz del sistema: 3 −5 2 21    2 3 −4 −19 1 −2 1 9   

S=

∆

3

−5

2

3

1

−2

2

3

−5

2

3

−5

3

−4

2

3

−2

1

1

−2

−4 = 2

1

1

−

( )(3)(1 ) + ( −5 ) ( −4 ) (1 ) + ( 2) (2) ( −2 ) − (1) (3) (2 )

= 3 +

( ) ( 4 )(3) (1) (2) ( 5 )

− −2

−

−

−

=

9 + 20 − 8 − 6 − 24

+ 10 =

39

− 38 = 1

Cambiando la columna de la variable x por la columna de resultados, tenemos: x =

∆

21

−5

−19

3

9

−2

2

21

−4 = −19

1

9

−5

2

21

−5

3

−4

−19

3

−2

1

9

−2

−

= 63 + 180 + 76 − 54 − 168 − 95 = 2 +

Cambiando la columna de la variable y por la columna de resultados, tenemos: y =

∆

3

21

2

−19

1

9

2

3

−4 = 2

1

1

21

2

3

21

−19

−4

2

−19

9

1

1

9

−

38 + 108 − 42 = −1 = −57 − 84 + 36 + +

175

Álgebra Cambiando la columna de la variable z por la columna de resultados, tenemos: 3

−5

∆ z = 2

1

3

21

3

−5

21

3

−5

3

−19

2

3

−2

9

1

−2

−19 = 2

−2

9

1

−

6 3 − 114 + = 81 + 95 − 84 − + 90 = 5 +

Hallemos ahora los valores de las variables que dan solución al sistema: x =

∆x ∆S

=

2

=2

1

∆y

y =

,

1 z = = −1 1 y

−

=

∆S

∆z ∆S

=

5 1

=5

Solución

(2, −1, 5) Ejemplo

El triple del precio de un helado menos el doble del precio de un caramelo más cinco veces el precio de un chocolate es igual a 41 pesos. El precio de un helado más cinco veces el de un caramelo menos el doble del precio de un chocolate es de un peso. El costo de nueve helados menos el costo de siete caramelos más el costo de ocho chocolates es de 87 pesos. ¿Cuál es el precio de un helado, un caramelo y un chocolate? Solución

Sea x el precio de un helado, y el de un caramelo y z el de un chocolate, entonces: Ecuación 1:

3 x

Ecuación 2:

x

Ecuación 3:

9 x

−

2y

+

+ 5y −

−

7y

5 z = 41

2 z = 1 +

8 z = 87

La matriz del sistema es: 3 −2 5  1 5 −2 9 −7 8 

41

  87   1

De donde: S=

∆

3

−2

5

3

−2

1

5

−2

1

5

9

−7

8

9

−7

−

+

( ) (8 ) + ( −2) ( −2 )(9 ) + (5)(1) ( −7 ) − 9 (5) (5) − ( −7 ) ( −2)(3 ) − 8 (1) ( −2 ) =

=3 5

= 120 + 36 − 35 − 225 − 42 + 16 = 172 − 302 = − −130

∆ x =

41

−2

5

41

−2

1

5

−2

1

5

87

−7

8

87

−7

−

+

( ) (8 ) + ( −2 ) ( −2 )(87 ) + (5)(1 ) ( −7 ) − 87 ( 5)( 5) − ( −7 ) ( −2 )( 41 ) − 8 (1 ) ( −2 ) =

= 41 5

= 1640 + 348 − 35 − 2175 − 574 + + 16 = 2004 − 2784 = −780

176


3

41

5

3

41

1

−2

1

1

87

8

9

87

∆ y = 1

9

−

+

( )( 8) + ( 41 ) ( −2 )(9 ) + (5 )(1 )(87 ) − 9 (1 )(5) − (87 ) ( −2 )(3) − 8 (1 )( 41 ) =

=3 1

= 24 − 738 + 435 − 45 + 522 − 328 = 981 − 11 11 = −130

3

−2

41

3

−2

5

1

1

5

−7

87

9

−7

∆ z = 1

9

−

+

( )( 87 ) + ( −2 )(1 )(9 ) + ( 41 )(1 ) ( −7 ) − 9 (5 )( 41 ) − ( −7 )(1 )(3 ) − 87 (1 ) ( −2 ) =

=3 5

= 1305 − 18 − 287 − 1845 + 21 + 174 = 15 500 − 2150 = −650

Aplicando la regla de Cramer, se tiene que: ∆x

x =

∆S

=

−780 −130

=

78 13

=6

, y =

∆y ∆S

=

−130 −130

=

13 13

=1

y

z =

∆z ∆S

=

−650 −130

=

65 13

=5

De donde la respuesta nal al problema es: Un helado cuesta 6 pesos; un caramelo, 1 peso; y un chocolate, 5 pesos.


Esta actividad te ayudará a superar tu reto porque en la realidad muchas de las alternativas que puedas proponer pueden ser muy complejas y, en tal caso, pueden ser analizadas a través de los siguientes ejemplos.

I.

Resuelve los siguientes sistemas, anotando los procedimientos completos en tu libreta. Anota tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.


4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

2. 3. 4. 5. x

1.

− 2 y + 3 z =

4 x

+

6 x

− 5y +

3 x

+

4y

2 x

+

y

36

x

− 5 z = −37

y

z

=

4.

45

5 x x

2.

x

3.

=

( z 1 ) 6 ( z 3 )

2 y

+ 14 =

2 x

+

x

+

z

y =

=

y

+

+

+ 3 z =

3y

2y

+

0

2z =

−17

+

z = 0

z

=

y + 14

2y

=

3 z − 7

z − 3

−5

− 3y +

+

x

−

=

0

+

=

0

3 x

5.

x

+

+

4 x

− 2 y + 3 z =

22

+ 3 z

5 z + 1

y + 9

177

Álgebra Desarrollo del reto Seguramente ya habrán analizado diferentes opciones económicas de tipo salarial lo cual es muy importante porque lo podrán utilizar en el futuro para analizar opciones de empleo que les sean ofertadas (como en la actividad de aprendizaje 1 de esta unidad). Para avanzar en tu reto, te proponemos que integres un equipo con algunos de tus compañeros y realicen lo siguiente:  

En equipo construyan al menos tres ejemplos de situaciones contextuales en las que se pueden utilizar las ecuaciones que has aprendido hasta ahora. Conserven esto para la entrega de su reporte nal.

Primera situación

Segunda situación

Tercera situación


Ecuaciones cuadráticas (o de segundo grado) Afrontando el reto Las ecuaciones que pueden simplificarse hasta la expresión ax + bx + c = 0 se denominan ecuaciones de segundo grado o “ecuaciones cuadráticas”. Los valores a , b y c se denominan coeficientes de la ecuación, y el coeficiente a debe ser diferente de cero. 2

Existen muchas y muy diversas aplicaciones de estas ecuaciones, entre ellas el estudio de la trayectoria de proyectiles, la resolución de triángulos en geometría, la acción de fuerzas aplicadas en vigas, el diseño de estructuras como puentes o edicios, algunos modelos económicos, etcétera. De ahí que su estudio sea tan importante para el álgebra. El origen algebraico de estas ecuaciones es diverso. Las expresiones racionales y radicales pueden dar lugar a ecuaciones cuadráticas, como se ilustra en los siguientes ejemplos:

Fig. 3.9 Movimiento de proyectiles.

Ejemplo

Sea la ecuación x + 5 = 3x − 19. Escribe la forma cuadrática equivalente de 2 x − 8 esta ecuación. 178


Solución

x + 5 = 3 x − 19 2 x − 8 Pasamos el denominador de la fracción hacia el lado derecho de la ecuación: x + 5 = (3x − 19 ) ( 2x − 8 ) Realizamos las operaciones de la derecha: x + 5 = 6 x

2

− 62

x + 152

Trasladamos todos los términos de la izquierda hacia la derecha: x − 5 Reducimos los términos semejantes: 0

=

6 x

2

62 x

−

+ 1 52 −

x + 147 Aplicamos la propiedad de simetría de la igualdad: 6 x 2 − 63 x + 147 = 0. Se redujo a la forma cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, donde los coecientes de la ecuación son a = 6, b = −63 y c = 147. 0

=

6 x

2

− 63

Ejemplo

Dada la ecuación una ecuación cuadrática.

x

7

−

1

=

2

( x 2 ), demuestra que se puede expresar como −

Solución

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, y realizamos las operaciones indicadas:

(

7 x

−1

2

)

= 2 ( x − 2 )

2

2

7 x

− 1 = 4 ( x − 2 )

7 x

− 1 = 4 ( x 2 − 4 x +

7 x

− 1 = 4 x − 16 x + 16

)

4

2

Pasamos todos los términos de la izquierda hacia la derecha y simplicamos términos semejantes: x + 16 − 7 x + 1 0 = 4 x − 23x + 17 0

=

4 x

2

− 16

2

Aplicamos la propiedad de simetría de la igualdad: 4 x − 23x + 17 = 0 y encontramos que tiene la forma cuadrática: ax + bx + c = 0, con coecientes a = 4, b 23 y c = 17. 2

2

=

−

Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado Este par de ejemplos muestra que, a partir de expresiones racionales o radicales, es posible llegar a la forma cuadrática. También es posible partir de otro tipo de expresiones y obtener ecuaciones cuadráticas. Esto es particularmente importante porque los procedimientos para resolver ecuaciones de segundo grado pueden desarrollarse a partir de esta forma general: ax + bx + c = 0 . En ella, la expresión del lado izquierdo es un trinomio cuadrático, el cual se estudió en el tema de factorización, proceso que ayuda a denir, precisamente, los primeros procedimientos de solución de las ecuaciones cuadráticas. En efecto, la factorización proporciona recursos muy útiles para la solución de ecuaciones cuadráticas, pero no es la única manera de encontrar las raíces de éstas. A continuación se describen diversas formas de solución de ecuaciones de segundo grado. 2

179

Álgebra Solución por factorización Si recordamos la factorización de trinomios, con los coecientes de éstos se puede calcular el discriminante de la ecuación: d b 4ac , elemento muy importante para los siguientes métodos de solución de ecuaciones cuadráticas. =

2

−

En la factorización de trinomios, el discriminante proporciona información suciente para saber si el trinomio es factorizable o requiere de casos especiales, que serán estudiados en cursos posteriores de matemáticas. Este método funciona cuando el valor del discriminante es cero o positivo con raíz cuadrada exacta. En cualquiera de estos casos, la factorización del trinomio producirá dos factores binomiales, cuyo producto, en la ecuación, es igual a cero. Es decir, si llamamos A al primer factor y B al segundo, entonces la ecuación factorizada estará dada por la expresión: A • B = 0. Analicemos cuidadosamente esta expresión: se trata de la multiplicación de dos cantidades y su resultado es cero. Para que el resultado de una multiplicación sea cero, ¿cómo deben ser los valores que se multiplican? ¿Qué número tiene la propiedad de que, al multiplicarse por otro, provoque que el resultado de la multiplicación sea cero? La respuesta es: el número cero. En efecto, una de las dos cantidades debe ser cero para que la igualdad se cumpla de ahí que tengamos dos expresiones que resuelven la ecuación cuadrática: A = 0 y B = 0. Dado que A y B son binomios de primer grado, es posible hallar sus soluciones. Ejemplo


2

− 17

x + 21 = 0

Solución

Primero, calculemos el discriminante de la ecuación: d

=

b

2

−

4ac 2

d ( 17 ) 4 ( 2)(21 ) 289 1 68 121, de donde d = 121 = 11 El discriminante es positivo y tiene raíz cuadrada exacta, por lo que el trinomio se puede factorizar. Usando el método de tijera, tenemos: =

x

2

2

−

−

− 17

=

−

=

x + 21

2 x

−

3

=

x

−

7

=

−

−

3x

14 x

−

17 x

De aquí tenemos que:

( x

−

7

) ( 2x

−

3

)

=

0

� �    A

B

De donde: x

−

7

=

x

0

2

y x

180

=

7

−

3

x = 3

2

x =

3 2

=

0


Comprobación: 2 x

2

− 17

2

( ) 2 ( 49 ) 2 7

x + 21 = 0

( )

− 17 7

+ 21

=

− 119 +

21

0

98 + 21 − 119 119 − 119 0

=

=

=

0

y

0

0

=

2

( ) 9 2( ) 4 2 3 2

0

− 17

−

51 2

( 32 )

+

9 51 42 − + 2 2 2 51 51 − = 0 2 2 0

=

+

21 =

21

=

=

0

0

0

0

Solución de ecuaciones cuadráticas por complemento al trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto tiene discriminante igual a cero. Por lo tanto, para un trinomio cuadrado perfecto: b

2

b

2

−

4ac

=

b

=

c

0

4ac

=

b

=

4ac 2 a

c

b =

2 a 2

 b  c =    2 a  , llamando t a este término, podemos convertir el trinomio dado en una ecuación cuadrática, sumando y restando el término t .  b  t =    2 a 

2

2

ax + bx + t � 

−

t + c = 0

T .C . P .

Ejemplo

Resolver la ecuación x cuadrado perfecto.

2

+

4 x − 21

=

0 por el método de complemento al trinomio

Solución 2

2

 4   4  t =   =   = (2) = 4, por lo que, la ecuación se escribe de la siguiente  2 1   2  2

manera:

x

2

+

4 x + 4 4 − 21 − � � t

=

0

t

�  TCP

Como lo estudiamos anteriormente, un trinomio cuadrado perfecto se factoriza sacando la raíz cuadrada del primer término, colocando el signo del segundo término y escribiendo la raíz cuadrada del tercer término, de donde: 2

( x 2 ) +

−

25

=

0

181

Álgebra Despejamos y resolvemos la ecuación: 2

( x + 2 )

= 25

( x + 2)

2

25

=

x + 2 = ±5 x = −2 ± 5 De donde las raíces de la ecuación son: x soluciones son −7 y 3.

1

=

2

−

−

5

=

7 y x 2

−

= −2 + 5 =

3

. Las

Comprobación: x

2

4 x − 21

+

2

( 7) −

+

( 7)

4

0

=

− 21 =

−

49 − 28 − 21 49 − 49

=

0

=

2

(3 )

0

0

=

( )

4 3

9 + 12 − 21

y

0

+

21 − 21

0

0

=

=

− 21 = =

0

0

0

0

Solución por fórmula general Se desea encontrar una fórmula general para resolver una ecuación cuadrática: ax

2

+

bx

+ c =

0

Empleando el método de complemento al trinomio cuadrático, tenemos que: 2

ax

2

2

 b   b  + bx +   + c −   =0  2 a   2 a 

�   

TCP

2

2

  b  b   ax 2 +  =  − c 2 a   2 a    b  b  ax +  = − c 4a 2 a    2 a ax + b  b − 4ac   = 4a 2 a   2

2

2

( 2ax

(

+

b

)

2

b

( 2ax

+

)

b

)

2ax

+

+

b

b

)

=

2ax = −b ±

−b ± x =

ciones cuadráticas. 182

b

2

−

=

2

=

4ac

4a

2

4a

( 2ax

−

=

2

2 a

2

2

4ac

4a

b

b

2

2

−

−

4ac

4ac

2

b − 4ac 2

b − 4ac 2a

, que es la conocida fórmula general para resolver ecua-


Para usar esta fórmula se debe cumplir que la expresión de la raíz cuadrada (que es el discriminante de la ecuación, d ) sea positiva o cero, a n de obtener raíces reales. El siguiente proceso te facilitará el uso de la fórmula general: 1.

Calcula el discriminante de la ecuación: d

2.

Analiza el valor obtenido del discriminante.

=

b

2

−

.

4ac

Si es negativo, la ecuación tendrá raíces imaginarias. Si es cero, la ecuación tendrá una sola raíz: x

− =

( b ).

2a

Si es mayor que cero, la ecuación tendrá dos raíces reales: x 2

− =

( b)

d

+

x 1

− =

( b)

−

2a

d

y

.

2a

Los siguientes ejemplos muestran el uso de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas: Ejemplo


2

−

20

x + 26 = 0

Solución

Calculamos el discriminante de la ecuación: d

=

b

2

4ac

−

=

(

20

−

)

2 −

( )( 26 )

4 4

=

400

−

( )

16 26

=

400

−

416

=

16

−

Como resultó ser negativo, la ecuación tiene raíces imaginarias, es decir, no tiene raíces reales. Las raíces imaginarias serán estudiadas en cursos posteriores de matemáticas. Ejemplo


2

− 12

x + 4 = 0

Solución 2

d ( 12 ) 4 ( 9) ( 4 ) 144 144 0 Dado que el discriminante es cero, se tiene la única solución real: =

x

−

− =

−

(b)

=

(

− =

2a

12

−

)

( )

−

12 =

2 9

18

=

6 =

9

2 =

3

Comprobación: 9

( )

9

2

2

− 12

3

( ) 4

9

−

24

4 − 8+ 4 8−8 0

=

=

3

( ) 2 3

+

=

4

+ =

4

=

0

0

0

0

0

Ejemplo

Resolver la ecuación 3 x

2

−

23

x + 30 = 0

183

Álgebra Solución 2

d ( 23) 4 ( 3)(30 ) 529 4 ( 90 ) 529 360 169 Dado que el discriminante es mayor que cero, se tienen dos raíces reales: =

−

−

x 1

=

x 2

=

−

(b)

=

d

−

(b)

(

d

+

=

2a

) 2 ( 3)

23

−

=

2a

−

−

−

6

169

−

23 + 13

=

23 =

36 =

6

=

−

−

13

=

10 =

6

5 =

6

3

6

Comprobación: x

3

2

−

23

2

( ) 3 ( 25 ) 9 3 5 3

−

x + 30 = 0

( )

23 5 3

115 − 3

+

25 90 115 + − 3 3 3 115 115 − = 0 3 3 0

=

+ 30 =

90 3 =

=

0

0

y

0

2

( ) 3 ( 36 ) 3 6

− 23

− 138 +

+

0

=

=

30

30

108 − 138 + 30 138 − 138

0

(6)

=

=

=

0

0

0

0

0

Ejercicio 1




Resuelve las siguientes ecuaciones, anotando en tu libreta los procedimientos completos. Al nal de la actividad, comenta tus resultados con tus compañeros.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. Respuestas

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

1. x

2

2. x

2

3. 4. 184

−

x

3

5

x

−6 2

3 x

24

=

0

x + 12 = 0

+5

+

−

x − 2 = 0

7

=

x − 1

5. 6. 7.

2 x

+1 +

3x + 4

x + 7 = 2 x − 2 x − 2 2 x − 5 x + 5 −1 = 9 x − 1 7

=

7

8. 9. 10.

x − 5 = x + 2 2 x x + 2 4 x − 7 =

3

2

x ( x − 5 ) + 8 2

2

=

1


Problemas de aplicación de las ecuaciones cuadráticas Ejemplo

Si el doble de la base de un cuadrado se incrementa una unidad y, su altura, 3 unidades, el área del rectángulo obtenido es 88 unidades de supercie. Halla la medida de los lados del cuadrado original. Solución

( 2 x 2 x

2

2 x

2

2 x

2

+

1 x + 3

)(

)

+

7 x + 3

88

+

7 x + 3 − 88

+

7 x − 85 2

( )

d = 7

=

=

=

=

0

0

( )(

4 2

−

88

−85

)

=

49 + 680

729 ,

=

729

=

27

Dado que el discriminante es mayor que cero, se tienen dos soluciones: x 1

− =

(b)

d

−

− =

2a

x

1

=

−

17 2

( 7 ) 27 2 (2)

34

−

17

− =

=

4

−

x 2

2

− =

(b)

d

+

− =

2a

( 7 ) 27 2 (2) +

20 =

4

=

5

no tiene signicado para el problema.

De las soluciones obtenidas, sólo la positiva tiene signicado para el problema, ya que los lados de un cuadrado no pueden ser negativos. Por lo tanto, el cuadrado original tiene lados de cinco unidades. Ejemplo

Si un número se incrementa tres unidades y el resultado se multiplica por el número disminuido en cinco unidades, el producto es 20. Hallar el número, si se sabe que debe ser positivo. Solución

Sea x el número buscado. Entonces:

( x

+3

) ( x

−5

)

=

20

x

2

− 2 x − 15 − 20 =

x

2

− 2 x − 35 =

d =

2

( 2) −

−

0

0

( )(

4 1

−35

)

=

4

+ 14 0 =

d

144 ,

=

12

Como resultó que el discriminante es positivo, se tienen dos raíces: x 1

− =

( b)

−

d

− =

2a

( 2 ) 12 2 (1 ) −

2

−

=

−

12

2

10

− =

2

=

5

−

No puede ser solución del problema. x 2

− =

( b)

+

2a

d =

2 + 12 2

=

14 2

=

7

Dado que el número buscado tiene que ser positivo, entonces se trata del 7.

185

Álgebra Ejemplo

Una persona pintó un salón y cobró 120 pesos. El trabajo le llevó dos horas más de lo habitual y, en consecuencia, ganó cinco pesos por hora menos de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se supone debía de haber realizado el trabajo? Solución

Sea x el tiempo que normalmente hubiera invertido para realizar el trabajo, entonces: 120

es lo que él cobra por hora, pero como le llevó 2 horas más el trabajo y x ganó 5 pesos menos por hora, entonces:

120

x

−

5

120 x + 2

=

�   

�

Costo por hora normalmente menos 5 pesos

Costo por hora cobrado al retrasarse 2 horas en el trabajo

120 − 5 x

x

( x

+

2

120 x 240 5 x

2

−

120 =

x + 2

) (120 −5

x

10 x

+ 10

d = (10 )

x ) = 120 ( x )

−5

2

+

240 − 10 x

5 x

2

−

=

=

120 x

0

x − 240 = 0 2

−

( )(

4 5

−240

)

=

100 + 4800

=

4900 ,

d = 70

Dado que el discriminante resultó mayor que cero, se tienen dos soluciones: x 1

− =

( b)

−

d

10

− =

2a

−

70

( )

80

− =

2 5

10

=

8

−

No puede ser solución del problema porque el tiempo de realización de un trabajo no puede ser negativo. x 2

− =

( b)

+

2a

d =

−10 +

10

70

60 =

10

=

6


4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o grácas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

186

El trabajo debió terminarlo en seis horas, para cobrar 20 pesos por hora (total 120 pesos en total). Como invirtió dos horas más, cobró 120 pesos por ocho horas de trabajo, lo que equivale a 15 pesos por hora (perdió cinco pesos por hora de trabajo).

Actividad de aprendizaje 7 Actuando sobre la realidad I.

Organizados en equipos y de acuerdo con las instrucciones del profesor, resuelvan los siguientes problemas, anotando en su libreta los procedimientos completos. Al nal de la actividad deberán elaborar y entregar a su profesor un reporte de su trabajo, sus conclusiones sobre el mismo y una autoevaluación del desempeño de su equipo.


1.

El producto de dos números enteros positivos consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?

2.

Hace cuatro años el producto de las edades de un padre y su hija fue 480. Si el triple de la edad de la hija menos cuatro años es igual a la edad del padre, ¿qué edad tienen padre e hija?

3.

El costo de un viaje desde Puebla hasta Cancún para cierto número de estudiantes estaba presupuestado en 7000 pesos. Si viajan cinco estudiantes más, el costo por persona disminuye 25 pesos. ¿Cuántos estudiantes viajaron a Cancún?

4.

La base de un rectángulo mide 5 metros más que su altura. Si el área del rectángulo es de 126 metros cuadrados, ¿cuáles son sus dimensiones?

5.

Una alberca tiene dos tomas para ser llenada. Si la alberca está vacía y se abren al mismo tiempo ambas tomas, la alberca se llena en 4.8 horas. Se sabe que una toma tarda cuatro horas más en llenar la alberca vacía que la otra, si trabaja únicamente esta toma de agua. ¿Cuánto tarda en llenar la alberca vacía una toma si la otra está cerrada?

Gráfica de una ecuación de segundo grado Para gracar una ecuación cuadrática ax + bx + c = 0 se efectúa el mismo proceso que para gracar ecuaciones de primer grado. 2

Hagamos y = ax 2 + bx + c . Dando valores arbitrarios a la variable x, se calculan los valores correspondientes de y . Esto puede ordenarse en una tabla, de la que se obtengan puntos para gracar en el plano cartesiano. Finalmente se unen los puntos con líneas, que generalmente son curvas, y se obtiene la gráca extendiendo la cur va más allá de los extremos. Algo que es importante mencionar es que la forma de estas ecuaciones es la de una parábola, por lo que el comportamiento de los valores de la variable y tiende a repetirse. Elabora la tabla de valores hasta que ocurra este comportamiento, como se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo


y

=

x

2

− 5 x +

6

.

Solución

x −2

y

2

y = ( −2 )

=

x

2

( )

− 5 −2

2

−1

y = ( −1 )

0

y = (0 )

1

y = (1)

2

2

− 5 x +

+

( )

6

− 5 −1 +

=

6

4

=

Puntos

6

+ 10 + 6 =

1+ 5

+6 =

−5

(0)

+

6

=

0+0+6

−5

(1 )

+

6

=

1−5

=

+6 =

20

12

A ( −2, 20 )

B ( −1, 12 )

6

C ( 0, 6 )

2

D (1 , 2 ) 187

Álgebra x

=

y

y = (2)

2

y = (2.5)

2.5

2

−5

2

−5

( 2)

(2.5) 2

3

y = (3)

4

y = ( 4 )

2

−5

−5

x

+

2

− 5 x +

+

6

6

( 3)

( 4)

=

+

+

=

− 10 +

6

=

9 − 15 + 6

= 16 −

F ( 2.5, − 0.25 )

= −0.25

0

G (3, 0 )

=2

H ( 4, 2 )

=

20 + 6

E ( 2, 0 )

0

=

6.25 − 12.5 + 6

6

6

4

Puntos

6

Dado que ya se observa la repetición de valores de y, podemos trazar la gráca de ecuaciones cuadráticas. A

Y

19

=

y

18

2

5 x + 6

−

x

17 16 15 14 13

B

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

D

2

H

1

‒9

‒8

‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

G

E 0

‒1 ‒1

1

2

3

X 4

5

6

7

8

9

F

‒2 ‒3 ‒4


2

y

=

−

x

5 x + 6.

Ejemplo


= −

y

1 2

x

2

+

2 x

Solución

x −1

0 188

y

y = − ( −1) 1

2

2

+

2

= −

( 1) −

y = − ( 0 ) 1

2

1 2

= −

2

+

x

1 2

2

+

(1 )

( )

2 0

Puntos

2 x

− 2 = −0.5 − 2 = −2.5

=

0 −0

=

0

A ( −1, − 2.5 ) B ( 0, 0 )


x

= −

y

y = − (1)

1

1

2

+

2

2

y = − ( 2 )

2

1

+

2

3

y = − ( 3) 1

2

2

y = − ( 4 )

4

1

2

+

( )

2 2

( )

2 3

2

+

x

2

2

( )

2 1

+

Puntos

2 x

= −0.5 +

= −0.5

= −0.5

( )

2 4

1

( 4)

(9 )

= −0.5

+

2

C (1, 1.5 )

= 1 .5

D ( 2, 2 )

4

= −2 + 4 =

2

6=

−4.5 + 6 =

1.5

E (3, 1.5 )

0

F ( 4, 0 )

+

(16 )

8

+

= −8 +

8

=

Dado que ya se observa la repetición de valores de y, podemos trazar la gráca de ecuaciones cuadráticas. Y 4

y

= −

3

1 2

x

2

+

2 x

D 2

C

E

1

F

B ‒9

‒8

‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

X 5

6

7

8

9

‒1

A

‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7 ‒8 ‒9

Gráca de la ecuación y

= −

1 2

x

2

+

2 x .

Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método gráfico Para resolver una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, se traza la gráca de y = ax 2 + bx + c y se buscan los puntos que sean intersecciones con el eje X. Sus abscisas son las soluciones de la ecuación dada. En el ejemplo anterior, podemos decir que la ecuación − x + 2x = 0 tiene intersecciones con el eje X en los puntos B(0, 0) y F (4, 0), por lo que las soluciones de la ecuación son x 1 = 0 y x 2 = 4. 1

2

2

189

Álgebra Ejemplo

Resuelve la ecuación x

2

−5

x + 6 = 0 grácamente.

Solución

La gráca de esta ecuación es la de la página 184. Podemos obser var en ella que las intersecciones con el eje X son E (2, 0) y G(3, 0), por lo que concluimos que las soluciones de la ecuación x 2 − 5 x + 6 = 0 son x 1 = 2 y x 2 = 3.

Desarrollo del reto Para avanzar en tu reto, te proponemos que integres un equipo con algunos de tus compañeros y realicen lo siguiente: Redacten un reporte sobre las distintas formas en que las ecuaciones algebraicas tiene una aplicación en su contexto. Expliquen por qué creen que el pensamiento matemático les aporta destrezas intelectuales diferentes, y por qué tienden a resolver problemas de otra forma. Concluyan anotando cuál fue su experiencia con los diversos estilos de aprendizaje que han utilizado.








Ejercicio 2




Construye la gráca de la ecuación dada en cada ejercicio. Escribe los procesos completos en tu libreta.

1.

y

=

x

2 −

5 x

−

24

Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

190

1

2

3

4

5

6

7


2.

y

=

x

2

− 6 x + 12

Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

3.

y

=

3x

2

+ 5 x − 2

Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

4.

y

=

x

2 −

5 x

−

6

Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

191

Álgebra 5.

y

=

x

2 −

4 x

−

5

6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6

II.

Resuelve las ecuaciones siguientes por el método gráco. Escribe los procesos completos en tu libreta. Utiliza las grácas de los ejercicios anteriores.

1. x

2

2. x

2

3.

x

3

5

x

−6 2

3 x

4. 5.

−

24

=

0

x + 12 = 0

+5

+

−

x − 2 = 0

7

=

x − 1

x − 5 = x + 2 2 x

3

2

Actividad de metacognición ¿Qué concepto construí en esta lección? ¿Para qué y por qué construí este concepto?

¿Cómo me podrá servir el aprendizaje de este concepto?

¿Cómo construí este concepto?

Observaciones:

192


Recapitulación y análisis de resultados Las siguientes actividades te permitirán realizar un compendio de todos los temas vistos en la unidad y obtener tus propias conclusiones, con el n de ayudarte a superar el reto planteado. I.

Resuelve los siguientes ejercicios o problemas, anotando los procedimientos completos en tu libreta. Al nal de la actividad, comenta con tus compañeros los resultados obtenidos. Escribe tus resultados en la pantalla de respuestas.

Respuestas

1.

3.

2.

4.

1.

Resuelve la ecuación 4 x − 1 = x + 1 3

2.


3.

Resuelve el sistema de ecuaciones:

4.

Resuelve el sistema de ecuaciones:

x

35 −

=

x + 7 2 x

+

2 x

− 3 y =

x

+

2 x x

y

+

=

y

+

=

y

z

=

13 1

z + 6

=

3 z + 5

3 y − 10

II.

Resuelve los siguientes problemas:

1.

El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Si la razón de su base a la altura es 3:2, ¿cuáles son sus dimensiones?

2.

La suma de dos números enteros y positivos es 100 y su producto es 2451. ¿Cuáles son los números?

3.

Construye la gráca de las ecuaciones dadas. y

= − x +

5 Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

193

Álgebra = −

y

3 4

x

2

+

3 2

x +

9 4

Y 7 6 5 4 3 2 1

X ‒7

‒6

‒5

‒4

‒3

‒2

0

‒1

1

2

3

4

5

6

7

‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 ‒6 ‒7

194

4.

En un examen de Matemáticas, 4 ejercicios y 3 problemas dan 20 puntos. Si en el mismo examen 5 ejercicios y 7 problemas dan 38 puntos, ¿cuántos puntos vale cada ejercicio y, cuántos, cada problema?

5.

La siguiente tabla muestra las cantidades, en gramos, de 3 ingredientes necesarios para elaborar un postre, así como el costo total invertido, en pesos. Ingrediente

Ingrediente

Ingrediente

Costo

A

B

C

(Pesos)

6

2

3

74

7

1

4

77

10

2

1

78


¿Cuál es el precio de 100 gramos de cada ingrediente?

Construcción de conclusiones Es momento de presentar la propuesta general de ahorro en el gasto escolar que se ha preparado durante todo el curso: 1.

Organicen los reportes nales de cada unidad, a n de redactar y estructurar a su trabajo.

2.

Este reporte contendrá: portada, tabla de contenidos, introducción, desarrollo, propuestas, objetivos, metas y conclusión.

3.

De igual forma, realizarán una presentación de la propuesta con ayuda de las TIC.

4.

Organizarán una sesión para su presentación en plenaria.

5.

Al nalizar las presentaciones de todos los proyectos, el profesor hará un cierre de esta actividad para concluir la unidad III.

195

Álgebra Superando el reto Rúbrica para evaluar la unidad Criterios

Inicial-receptivo

Resolutivo

Autónomo

Elijo las fuentes de información más relevantes para un propósito especíco y discrimino entre ellas de acuerdo a su relevancia y conabilidad.

Comprendo que elegir las fuentes de información más relevantes es importante pero no escojo las adecuadas, por lo que entrego tantas como encuentro, sin discriminar entre ellas.

Escojo fuentes de información aunque no todas son relevantes para el propósito especíco, ya que sólo puedo discriminar medianamente entre ellas.

Obtengo fuentes de información relevantes, signicativas y conables para el propósito especíco, cuyo contenido, permite realizar un proceso más reexivo y con cierta interdisciplinariedad.

Argumento la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, grácos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

Desconozco la argumentación porque no pude dar solución a un problema a través de métdos numéricos, grácos, analíticos o variacionales.

Consigo argumentar adecuadamente sobre la Puedo argumentar mediasolución de un problema namente la solución obteobtenido con métodos nida de un problema con numéricos, grácos, analímétodos numéricos, grácos, ticos o variacionales y analíticos o variacionales, a mediante un buen uso del través del lenguaje verbal, lenguaje verbal, matemámatemático y un uso de las tico y el manejo de las Tecnologías de la Información Tecnologías de la Informay la Comunicación. ción y la Comunicación de forma excelente.

Formulo y resuelvo problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Reconozco la importancia de resolver problemas matemáticos con distintos enfonques, pero aún no logro aplicarlos y, mucho menos, resolver tales problemas.

Comprendo y aplico distintos enfoques para la solución de problemas matemáticos, aunque aún con cierta dicultad.

196

Resuelvo problemas matemáticos a través de distintos enfoques, y consigo entender la relación entre tales alternativas y la solución de problemas.


Evaluación de evidencias de aprendizaje Es momento de presentar el proyecto que realizaste a lo largo de la unidad, utilizando la siguiente rúbrica para valorar tu trabajo.

Aspectos a evaluar

Niveles de desempeño Inicial-receptivo (6-7)

Resolutivo (8-9)

Autónomo (10)

Propuestas innovadoras y creativas para el pago de salarios

Las propuestas no son innovadoras ni creativas, mucho menos se plantearon a través de formas algebraicas.

Las propuestas son parcialmente innovadoras, aunque sí son creativas y se construyen a través de expresiones algebraicas.

Las propuestas son innovadoras y creativas y están correctamentecorrectamenteplanteadas a través de expresiones algebraicas.

Tabla de soluciones de problemas

La tabla de soluciones de problemas integra todos los datos necesarios, pero los resultados son incorrectos.

La tabla de soluciones de problemas integra todos los datos necesarios, pero resuelve sólo parcialmente los problemas planteados.

La tabla de soluciones de problemas integra todos los datos necesarios, y resuelve todos los problemas de manera correcta.

Reporte del proyecto

El reporte carece de información y de un orden lógico. El tema se presenta de manera dispersa.

El reporte no justica los conocimientos que llevaron a realizar el producto.

El reporte cuenta con una secuencia lógica del proceso, justica con argumentos e incluye una hipótesis para sustentar el proyecto.

Presentación del proyecto a través de un medio audiovisual

El proyecto se presenta a través de un medio audiovisual, aunque con resultados parciales y sin todos los requisitos establecidos por el profesor.

El proyecto se presenta a través de un medio audiovisual y con todos los requisitos establecidos por el profesor, aunque la información resulta un poco confusa.

El proyecto se presenta a través de un medio audiovisual, cumple con todos los requisitos establecidos por el profesor profesor,, y cuenta con resultados completos.

Suma parcial

Suma total Puntaje del proyecto

197


Hacia la prueba Enlace 1.

La única solución real de la ecuación a)

−5

b)

−3

c)

3 5

d) 2.

3 x + 1

=

4

es:

La ecuación ( 2 x − 1 ) ( x + 2) = 0 tiene las soluciones reales:

1.

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

2.

a) –2, 2

3.

a

1

b)

− ,2

c)

−2,

d)

− ,

2

1 2

1 1 2 2

2 x + 5 y = 1

El sistema de ecuaciones 3 x − 2 y = 11 tiene la solución: 

a)

3.

( −1, 3)

(1, − 3) c) (3, − 1 ) d) ( −3, 1 ) b)

4. x = 2 y x = 7 son soluciones de la ecuación:

4.

( x 2 ) ( x 7 ) 0 b) ( x 2 ) ( x 7 ) 0 c) ( 2 x 1 ) ( 7 x 1) 0 d) ( 2 x 1) ( 7 x 1 ) 0 a)

5.

−

−

=

+

+

=

+

+

=

−

−

=

Por tres lápices y cinco sacapuntas se pagan 57 pesos y, por un lápiz y siete sacapuntas, 67 pesos. ¿Cuál es el precio de un sacapuntas?

5.

a) 4 pesos b) 5 pesos c)

8 pesos

d) 9 pesos

199

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200


Notas

201

L Algebra DGETI 300612

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