diferencial Con enfoque en competencias Luis Martínez Vázquez
diferencial Con enfoque en competencias Luis Martínez Vázquez
ISBN: 978-607-489-555-1
Vicepresidencia editorial Araceli Estévez González Dirección editorial Gudelia Matías Silva Editor en jefe Magdalena Morales Luis Editor Aldo Chiquini Zamora Corrector de estilo Marco Antonio Menéndez Casillas Revisor técnico Antonio Michua Camarillo Diseño y formación Joaquín Alfredo García Serrano Producción editorial Rubén Matías Silva
Copyright 2012 por: Book Mart, S.A. de C.V. Marca Registrada® Visite nuestro portal www.bookmart.com.mx 1ra edición Octubre de 2012 Impreso en México
DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Presentación Editorial Book Mart, en el afán de cubrir las necesidades de preparación de los jóvenes, se ha dado a la tarea de contribuir en el modelo de educación basado en competencias y ha orientado su experiencia en elaborar materiales que ayuden a optimizar el desempeño de los docentes; además de ayudar a mejorar el aprovechamiento académico de los estudiantes, creando para ello una estructura didáctica que aporte diversos elementos que hagan el aprendizaje dinámico e integral. El objetivo principal de esta aportación, dentro de la reforma educativa en el nivel medio superior, es el aprovechamiento y la funcionalidad de los programas de estudio, los cuales son el eje rector del aprendizaje significativo. Este enfoque didáctico da sentido a las intenciones de formación que el Sistema Nacional de Educación tiene para el joven, convirtiendo lo que se aprende en una herramienta útil a lo largo de la vida del estudiante. Esto con el fin de que al terminar su bachillerato tecnológico esté capacitado para asumir una postura crítica y reflexiva ante los fenómenos de su entorno, ya sea para continuar su vida escolar o incorporarse al ámbito laboral con seguridad. Un alumno que cursa un bachillerato en este subsistema tiene una formación sólida para tomar decisiones y está altamente calificado en el ámbito profesional. Para lograrlo, el método que Book Mart propone es abordar los conocimientos, a fin de acercar más al estudiante a situaciones problematizadoras; es decir, aquéllas que le permitan desempeñar procesos lógicos, como seleccionar, relacionar y analizar, además de manejar conocimientos pragmáticos: aplicar, interpretar y valorar, lo cual traerá como consecuencia la adquisición y el perfeccionamiento per feccionamiento de las habilidades fundamentales para la vida laboral. Los contenidos programáticos abordados en este material se presentan en tres unidades, cada una cumple con los momentoss de apertura, desarrollo momento desarrollo y cierre, y se encuentran permeadas a través de un proyecto y un tema integrador, que tienen como base los atributos de competencias genéricas mínimos a desarrollar para lograr la transversalidad propuesta por el Marco Curricular Común. Las secuencias didácticas implican la realización de actividades de aprendizaje de tipo diverso, a saber: de descubrimiento, de ejercicio de habilidades del pensamiento, de integración de aspectos y dispositivos de aprendizaje, como la atención, atenci ón, la memoria, etcétera. Éstas se ofrecen previamente diseñadas con la finalidad de optimizar el tiempo clase, logrando un máximo aprovechamiento del maestro y del estudiante. Cada unidad cierra con apartado de evaluación, donde se encontrarán útiles herramientas para la evaluación de las nuevas competencias del joven. Por último, proponemos a nuestros docentes usuarios redescubrir la pasión de verse trascendidos en los estudiantes, marcando de manera profesional, positiva y entusiasta la vida de aquéllos para los que son mentores. Para esto ofrecemos un paquete de sugerencias y recursos adicionales que se les entregarán de manera gratuita, con todo nuestro reconocimiento por su invaluable labor. Gracias por tener este material en sus manos y permitirnos acompañarlos en esta maravillosa labor de aprendizaje. Estamos seguros seguros de que juntos lograremos lograremos hacerla más enriquec enriquecedora. edora.
COMPETENCIAS GENÉRICAS Se autodetermina y cuida de sí 1) Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. Elige alternativas y cursos de acción con base en e n criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida. Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 2) Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. Participa en prácticas relacionadas con el arte. 3) Elige y practica estilos de vida saludables. Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo. Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean. ▪ ▪ ▪ ▪
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Se expresa y se comunica
4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. Identifica las ideas clave en un texto t exto o discurso di scurso oral e infiere conclusiones conclusiones a partir partir de ellas. ellas. Maneja las Tecnologías de la Información y la Comunicación para obtener información y expresar ideas. ▪ ▪
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III
Piensa crítica y reflexivamente 5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. Utiliza las Tecnologías de la Información y la Comunicación para procesar e interpretar información. 6) Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. ▪
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Aprende de forma autónoma
7) Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones e ntre ellos y su vida cotidiana. ▪ ▪
Trabaja en forma colaborativa
8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. ▪ ▪ ▪
Participa con responsabilidad en la sociedad
9) Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado. Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente. 10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad, de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación. Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio. Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional. 11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente. ▪ ▪ ▪
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1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
IV
Números reales
6
El sistema de los números reales
8
Regla de jerarquía o prioridad
17
Regla de asociatividad
17
Sistema de coordenadas lineales y rectangulares
19
Sistema de coordenadas lineales
19
Sistema de coordenadas rectangulares 2D o plano cartesiano
20
Desigualdades
25
Intervalo
27
Solución de desigualdades
29
Funciones
37
Dominio y contradominio
38
Clasificación
39
Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
39
Funciones pares e impares
42
Funciones crecientes y decrecientes
44
Operaciones
50
Comportamiento
52
Límite de una función
70
Límite de funciones polinominales
75
Límite de funciones racionales
76
Límite de funciones irracionales
80
Límite de funciones trigonométricas
82
Propiedades de los límites
86
Continuidad de una función
90
Teorema del valor intermedio
93
V
Razón de cambio promedio e interpretación geométrica
110
Interpretación geométrica de la derivada
113
Derivación de funciones
118
Derivada de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
118
Derivadas de funciones exponencial y logarítmica Derivada de la función exponecial de base a
121
Derivada de la función exponencial base
123
e
122
Derivada de la función logaritmo base
a
125
Derivada de la función logaritmo base
e
126
Regla de la cadena
127
Fórmulas de derivación
131
Regla del producto
136
Regla del cociente
137
Derivadas sucesivas
140
Interpretación gráfica de la primera y segunda derivada
141
VI
A mi esposa, Eva, por su amor, apoyo incondicional y su paciencia ejemplar. A mis hijas, Samantha, Janet y Paulina, quienes son la causa principal de mi vida. A mis padres, Thelma † y Juan, que con su amor y consejos me enseñaron que la honestidad, la constancia y el trabajo son los valores más importantes en la vida. A mis amigos y compañeros docentes, quienes con sus consejos y comentarios han dado forma a esta obra. Finalmente, a todos mis alumnos, que con su trato diario, a través de los años, han propiciado en mí la inmensa satisfacción que representa el ser docente.
VII
Que el estudiante participe articulando conocimientos de diversas disciplinas, identifique sus relaciones, (sistemas y reglas o principios medulares) para estructurar ideas y argumentos, y dé solución a problemas surgidos tanto de la actividad humana: (distribución inequitativa de los recursos económicos, propagación rápida de enfermedades, etcétera) como de los fenómenos naturales (cambio climático, contaminación por emisión de gases, etcétera), aplicando el razonamiento, el análisis y la interpretación de procesos finitos que involucren razones de cambio.
Pre-cálculo. Funciones.
Números reales. Sistema de coordenadas lineales y rectangulares. Desigualdades. Intervalo. Dominio y contradominio. Clasificación. Operaciones. Comportamiento.
Espacio Diversidad
Comprender el comportamiento de fenómenos que se relacionen con las especialidades de cada plantel y su contexto en general, de tal manera que interprete, represente y estime soluciones a través del cálculo diferencial. Reflexionar sobre máximos y mínimos, concavidad y simetría, rapidez de cambios, etcétera.
Competencia disciplinar y extendida Escucha, Expresa ideas Interpreta tablas, interpreta y y conceptos gráficas, mapas, emite mensajes mediante diagramas pertinentes representaciones y textos con en distintos lingüísticas, símbolos contextos matemáticas o matemáticos y mediante la gráficas. científicos. utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Competencia genérica
Atributo
Significado de la relación
Relación fuerte: la relación es procedimental, ya que se refiere, en ambas competencias, al uso de representaciones matemáticas que pueden ser expresiones algebraicas y gráficas para expresar ideas y procedimientos.
Contenidos relacionados Fácticos
Procedimentales
Actitudinales
Notación: representación algebraica de expresiones de lenguaje común
Interpretación de expresiones algebraicas Evaluación numérica de expresiones algebraicas
Perseverar en la búsqueda de solución de problemas algebraicos Trabajar de manera colaborativa con sus compañeros en la solución de problemas
Cálculo
Unidad
1
Introducción El Cálculo Diferencial es una disciplina matemática que permite el estudio de las funciones, con la intención de optimizar recursos financieros, humanos, materiales, etcétera. Para tal efecto, es necesario estudiar las funciones que describen las relaciones entre los valores de dos o más variables, lo cual posibilitará lograr el diseño de modelos matemáticos que serán parte no sólo de una aplicación práctica, sino también de una formación integral en tu vida estudiantil. Como sabes, en el Bachillerato Tecnológico lo que se pretende es que aprendamos juntos actuando sobre la realidad y construyendo conceptos a través de ello. Es por eso que te invitamos a que en tu libreta vayas llevando una bitácora de los conceptos que creas que estás construyendo, para que podamos evaluarnos al final y descubrir si realmente logramos la meta. Responde a la siguiente autoevaluación diagnóstica para que te enteres de cuánto recuerdas e identifiques qué debes revisar en tus libros pasados. Puedes evaluarte con un compañero a fin de tener una coevaluación, o entregar la evaluación a tu maestro para que se vuelva una heteroevaluación.
Actividad diagnóstica Resuelve los siguientes ejercicios escribiendo los procedimientos completos en tu libreta:
1. La expresión 2 significa: ______________ B + E − D + A ) ? _________________ 2. Sea A = 1 , B = 3 , C = 5 , D = 2 y E = 7 , ¿cuál es el valor de la expresión ( C 3. Es la factorización completa del número 30: ______________ 4
45
4. La fracción equivalente más simple de
72
es: ______________
5. La propiedad ____________________ de la multiplicación expresa que “el orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación”, es decir, ab = ba . 6. De la fórmula c 2 = a 2 + b2 , despeja la variable b . Resultado: ______________ 7. Evalúa la expresión 15 − 3 + ( 5 − 1) ( 3 − 2 ) . Resultado: ______________ 8. Es la forma abreviada de la expresión 3 + 3 + 3 + 3 + 3 : ______________ 2
2
9. Encuentra el resultado de la operación: 10. ¿Cuál es el valor de la expresión
5
0
3 5
+
9 15
: ______________
? ______________
Actualmente las condiciones ambientales representan un tema de interés para todos, debido a que nuestros diversos procesos industriales las han deteriorado. La preocupación por mantener un orden ecológico está vigente en todos los ámbitos: industrial, político, social, educacional, etcétera, sobre todo en lo relacionado con aprender a ahorrar y a hacer un uso eficiente y óptimo de los recursos, con la finalidad de generar, no sólo un cambio de conciencia, sino una nueva forma de actuar en nuestras vidas: saber ser. Ante esta condición ambiental, los diversos centros de trabajo y preparación se están involucrando en proyectos ecológicos que sean sustentables y promuevan una nueva visión en tu formación humana y en tu calidad de vida. Es importante que comprendas que la aplicación de los diversos conocimientos contribuye no sólo a tu desarrollo personal e intelectual, sino también al desarrollo comunitario. Específicamente, queremos que para este curso de Cálculo logres desarrollar tus competencias, para aplicarlas en un proyecto que consistirá en diseñar recipientes cilíndricos y rectangulares prácticos y, sobre todo, económicos. Dichos recipientes servirán para sembrar diversas plantas y contribuir a que tu escuela sea parte de esta nueva formación y visión sobre el cuidado ambiental.
4
Pre - cálculo y funciones Es importante recordar que para este proyecto deberás contar con el apoyo tanto de tus compañeros como de la planta docente y administrativa de la institución. Asimismo durante este curso de Cálculo, tendrás que aproximar diversas áreas del conocimiento para que no sólo diseñes los recipientes, sino que puedas planear este proyecto ambiental con todos los recursos necesarios: saber cómo sembrar, conseguir recursos para las plantas, organizarte con tus compañeros para conseguir el material (preferentemente reciclable), realizar diversas compañas de promoción a tu proyecto, etcétera.
A través de una lluvia de ideas, mencionen algunas situaciones problemáticas que recuerden de manera inmediata, en las que el Cálculo pudiera ayudarles a encontrar soluciones.
Para comenzar a planear y construir este proyecto de recipientes que servirán como macetas en tu comunidad escolar, es importante que desarrolles un modelo matemático que garantice que dicho recipiente será el más económico.
El reto: modelo matemático ¿Cuál es el conflicto específico a resolver? ¿En qué situaciones de tu comunidad podrá ser útil este conocimiento? ¿Qué beneficios traerá a la comunidad escolar la solución de dicho conflicto?
Para desarrollar dicho modelo matemático que garantizará que tus recipientes sean lo más económicos posible, es necesario que consideres los siguientes puntos: a) Investiga cómo se construye un recipiente cilíndrico (bote) y una caja rectangular, ambos sin tapa. Observaciones:
b) Encuentren relaciones entre las dimensiones del recipiente y variables que permitan determinar el costo del recipiente. Observaciones:
c) A partir de la información obtenida de los puntos anteriores, formula el modelo matemático del costo de tu recipiente. Observaciones:
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