Kuliah 9 Arima Non Musiman Contoh 1 Dan 2

AGUSTINI TRIPENA

ARIMA non-musiman : contoh 1

1

Contoh :

Berikut ini adalah data harian tentang jumlah koran yang terjual di suatu toko selama 49 hari pengamatan. pengamatan. Lakukan Lakukan peramalan peramalan untuk 3 hari ke depan. depan.

Minggu 1

2

3

4

5

6

7

Senin

50

53

50

51

50

50

50

Selasa

49

53

50

51

50

52

51

Rabu

51

52

49

52

51

52

50

Kamis

50

52

49

51

50

51

51

Jumat

51

51

50

51

51

51

52

Sabtu

52

51

51

51

52

50

53

Minggu

53

51

51

51

49

50

52

Tahap 1

Data dibagi menjadi dua bagian yaitu initialization set dan test set . Karena prediksi akan dilakukan untuk 3 hari ke depan (3 periode data), maka test set juga juga akan melibatkan 3 periode data. Jadi, initialization set terdiri terdiri dari 46 data awal, dan test set terdiri terdiri dari 3 data terakhir. Perintah MINITAB : 1. Masukkan data pada kolom C1 mulai dari periode 1 sampai periode 46 (minggu ke-1 sampai mimggu ke-7 hari Kamis). Kolom ini memuat data Initialization data Initialization set . 2. Masukkan data sisanya di kolom C2 (periode 47 sampai 49). Kolom ini memuat memuat test set .

Tahap 2

Untuk dapat menentukan metode peramalan mana yang sesuai dengan kondisi data, maka langkah awal adalah melakukan identifikasi terhadap kestasioneran kestasioneran data. Perintah MINITAB :

AGUSTINI TRIPENA


1. Buka menu Graph, Graph, lalu klik Time Series Plot

2. Masukkan C1 pada kotak Graph Variables

3. Tekan OK, dan MINITAB akan mengeluarkan gambar berikut : 53

52 n o i t a z i l a i t i

51

n i

50

49 Index

10

20

30

40

2

AGUSTINI TRIPENA


1. Buka menu Graph, Graph, lalu klik Time Series Plot



52 n o i t a z i l a i t i

51

n i

50

49 Index

10

20

30

40

2

AGUSTINI TRIPENA


3

Dari gambar plot time series diatas, dapat dilihat bahwa pada data penjualan ini tidak terdapat efek tren, terlihat dari fluktuasi data yang cenderung stasioner waktu ke waktu. Dengan demikian, model ARIMA dapat diterapkan pada data ini. Setelah kestasioneran data dipenuhi, identifikasi selanjutnya adalah melihat pada ACF dan PACF dari data. Bantuk ACF dan PACF berguna dalam menentukan orde dari model ARIMA. Perintah MINITAB : 1. Buka menu stat menu stat , lalu Time Series, Series, lalui Autocorre lalui Autocorrelations lations

2. Masukkan C1 pada kotak Series.

3. Tekan OK

AGUSTINI TRIPENA


4

4. Lakukan langkah yang sama untuk menampilkan Partial Autocorrelation

Autocorrelation Function for initializati 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

n oi t la e r r o c ot u A

1

2

Lag

3

Corr

4

5

6

7

8

T

LBQ

Lag

Corr

T

LBQ

1

0.56

3.65

14.28

8

-0.46

-1.94

43.99

2

0.28

1.44

18.00

9

-0.38

-1.48

52.10

3

0.19

0.94

19.80

10

-0.23

-0.85

55.13

4

-0.05

-0.22

19.90

5

-0.23

-1.07

22.48

6

-0.23

-1.08

25.28

7

-0.37

-1.66

32.52

9

10

9

10

Partial Autocorrelation Function for initializati n iot

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

la e r r o c ot u A l ai t r a P

1

2

3

Lag

4

5

PAC

T

1 0.56 2 -0.05

6

Lag

7

PAC

T

3.65

8 -0.18

-1.15

-0.31

9 -0.10

-0.66

3 0.08

0.52

10 0.06

0.36

4 -0.27

-1.72

5 -0.15

-0.96

6 -0.03

-0.18

7 -0.26

-1.68

8

Dari ACF dan PACF diatas terlihat bahwa nilai ACF menurun secara eksponensial, dan nilai PACF terjadi cut off setelah lag 1. Dengan demikian, model yang diduga sesuai adalah ARIMA(1,0,0). Namun demikian, bentuk ACF yang menurun eksponensial juga mengindikasikan kemungkinan model ARIMA (1,0,1) juga berlaku. Untuk itu, dalam langkah selanjutnya, dua buah model ARIMA akan ditampilkan, yaitu ARIMA (1,0,0) dan ARIMA(1,0,1), dan akan dicari model yang terbaik.

Tahap 3 dan 4

Melakukan pemodelan pada initialization set dan menerapkannya pada test set menggunakan model yang telah teridentifikasi pada tahap sebelumnya.

a. ARIMA (1,0,0)

AGUSTINI TRIPENA


5

Perintah MINITAB

1. Panggil menu Stat , pilih Time Series, pilih ARIMA

2. Masukkan C1 pada kotak Variable 3. Model yang akan dibuat adalah ARIMA (1,0,0). Masukkan angka 1 pada kotak Autoregressive. Pilih Include constant term in model

AGUSTINI TRIPENA


6

4. Prediksi akan dilakukan sebanyak 3 periode ke depan. Klik Forecast , lalu masukkan angka 3. Hasil ramalan akan disimpan pada kolom C3. Masukkan C3 pada kotak Forecast . Klik OK.

5. Klik Storage, pilih Residual untuk mengeluarkan Error dari model

Hasil output MINITAB adalah sebagai berikut :

ARIMA Model ARIMA model for initialization Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 42.3033 0.100 45.833 1 36.8018 0.250 38.182 2 33.4235 0.400 30.530 3 32.1736 0.547 23.050 4 32.1565 0.559 22.384 5 32.1562 0.561 22.305 6 32.1562 0.561 22.296 Relative change in each estimate less than

0.0010

AGUSTINI TRIPENA


Final Estimates of Parameters Type Coef StDev AR 1 0.5612 0.1247 Constant 22.2959 0.1258 Mean 50.8089 0.2866

T 4.50 177.28

7

P 0.000 0.000

Number of observations: 46 Residuals: SS = 32.0150 (backforecasts excluded) MS = 0.7276 DF = 44 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 12.2 21.4 36.9 * DF 10 22 34 * P-Value 0.270 0.496 0.335 * Forecasts from period 46 Period 47 48 49

Forecast 50.9162 50.8691 50.8427

95 Percent Limits Lower Upper 49.2439 52.5884 48.9516 52.7867 48.8542 52.8312

Actual

Kolom C3 menyimpan hasil ramalan sebanyak 3 periode ke depan, dan C4 menyimpan error dari model ARIMA yang telah diestimasi. Dalam tahap ini, akan dilihat hasil beberapa pengujian. a.

Pengujian Asumsi Terdapat dua buah pengujian asumsi, yaitu apakah error mengikuti proses White Noise, dan apakah error berdistribusi normal. 

White Noise Error Pengujian ini dapat mengacu pada output MINITAB diata, pada hasil Modified Box-Pierce (Ljung-Box). Hipotesis yang digunakan : H0 :

error memenuhi proses white noise

H1 :

Error tidak white noise

Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa untuk setiap lag (lag 12, 24, 36) dimana pengujian ini dilakukan, semua p-value (0.270, 0.496, dan 0.335) bernilai diatas 0.05. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa error yang t erjadi telah mengikuti proses white noise



Error berdistribusi Normal Pengujian distribusi Normal dapat menggunakan pengujian Normality Test Kolmogorov-Smirnov yang telah disediakan oleh MINITAB. Hipotesis yang digunakan adalah :

AGUSTINI TRIPENA


H0 :

error mengikuti distribusi normal

H1 :

error tidak mengikuti distribusi normal

8

Perintah MINITAB : 1. Menu Stat , lalu pilih Normality Test

2. Masukkan C4 (error) ke dalam kotak Variable. Pilih prosedur Kolmogorov-Smirnov untuk menguji kenormalan data.

3. Klik OK

Normal Probability Plot

.999 .99 .95 y t i l i b a b o r P

.80 .50 .20 .05 .01 .001 -2

-1

0

1

RESI1 Average: 0.015 3926 StDev: 0.843329 N: 46

Kolmogo rov-Smirnov Normality T est D+: 0.052 D-: 0.083 D : 0.083 Approxi mate P-Valu e > 0. 15

AGUSTINI TRIPENA


9

Kriteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (> 0.15) bernilai diatas 0.05 sehingga H0 gagal ditolak. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa error yang terjadi telah mengikuti distirbusi normal

b. Pengujian Signifikansi parameter Pada model ARIMA(1,0,0) ini, terdapat dua parameter yang akan diuji kesignifikanannya, yaitu konstanta dan Koefisien AR(1). Sehingga bentuk matematisnya adalah :

 Z t



   1Z t

1

 at

dimana  adalah konstanta, dan  adalah koefisien AR(1) 

Pengujian Konstanta Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kriteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.000) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.



Pengujian Koefisien AR(1) Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kriteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.000) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.

Hasil pengujian Asumsi dan pengujian parameter menunjukkan bahwa model ARIMA(1,0,0) layak digunakan untuk memodelkan data penjualan ini.

6. Menghitung informasi AIC untuk model ARIMA(1,0,0) yang akan digunakan sebagai kriteria dalam menentukan model terbaik. MINITAB tidak memberikan output perhitungan AIC, sehingga harus dihitung secara manual dengan cara mengetikkan perintah pada session window. Terlebih dahulu, command language pada session

AGUSTINI TRIPENA


10

window harus diaktifkan. Cara mengaktifkan command language MINITAB adalah dengan memanggil menu editor lalu pilih Enable Command .

Rumus AIC adalah : AIC = n Ln (MSE) + 2M

Dimana dari output MINITAB telah memberikan nilai MSE yaitu 0.7276. Pada model ARIMA(1,0,0), banyak parameter yang diestimasi (selain konstanta) hanya satu parameter, sehingga nilai M adalah 1. Jumlah sampel dalam Initialization set sebanyak 46 data (n).

MTB > let k1=46*loge(0.7276)+2*1 MTB > prin k1

Hasilnya adalah :

Data Display K1

-12.6282

Maka AIC untuk ARIMA(1,0,0) ini = -12. 6282

Menghitung MSD untuk test set Kolom C2 berisi test set , dan kolom C3 berisi hasil ramalan. Rumus MSD adalah sebagai berikut :

AGUSTINI TRIPENA


n

  y t  y t 

11

2

ˆ

MSD 

t 1

n

dimana n adalah banyaknya data yang akan dihitung kesalahannya. Ketikkan perintah berikut pada Session Window. MTB > let c5=(c2-c3)**2 MTB > let k1=sum(c4)/ 3 MTB > prin k1

Hasil MINITAB adalah :

Data Display K1

0.236020

Ini adalah nilai MSD untuk test set berdasarkan model ARIMA(1,0,0)

b. ARIMA(1,0,1)

Sebelum memodelkan ARIMA(1,0,1), terlebih dahulu kolom C3, C4, dan C5 dihapus untuk lebih memudahkan dalam menggunakan MINITAB Perintah MINITAB


AGUSTINI TRIPENA


12

2. Masukkan C1 pada kotak Variable 3. Model yang akan dibuat adalah ARIMA (1,0,1). Masukkan angka 1 pada kotak Autoregressive. Pilih Include constant term in model

AGUSTINI TRIPENA


13




ARIMA Model ARIMA model for initialization Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 47.0687 0.100 0.100 45.833 1 35.6485 0.250 -0.050 38.175 2 33.1102 0.400 -0.029 30.525 3 32.1696 0.550 0.004 22.876 4 32.1451 0.578 0.027 21.434 5 32.1437 0.585 0.035 21.065 6 32.1436 0.587 0.037 20.973 7 32.1436 0.588 0.038 20.951 8 32.1436 0.588 0.038 20.946 9 32.1436 0.588 0.038 20.945 Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters

AGUSTINI TRIPENA

Type AR 1 MA 1 Constant Mean


Coef 0.5877 0.0378 20.9447 50.8055

StDev 0.2205 0.2736 0.1224 0.2968

T 2.67 0.14 171.16

14

P 0.011 0.891 0.000

Number of observations: 46 Residuals: SS = 31.9856 (backforecasts excluded) MS = 0.7439 DF = 43 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 12.1 21.5 36.8 * DF 9 21 33 * P-Value 0.208 0.432 0.298 * Forecasts from period 46 Period 47 48 49

Forecast 50.8958 50.8586 50.8367


Actual

Kolom C3 menyimpan hasil ramalan sebanayk 3 periode ke depan, dan C4 menyimpan error dari model ARIMA yang telah diestimasi. Dalam tahap ini, akan dilihat hasil beberapa pengujian. a.

Pengujian Asumsi Terdapat dua buah pengujian asumsi, yaitu apakah error mengikuti proses White Noise, dan apakah error berdistirbusi normal. 

White Noise Error Pengujian ini dapat menacu pada output MINITAB diata, pada hasil Modified Box-Pierce (Ljung-Box). Hipotesis yang digunakan : H0 :


H1 :


Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa untuk setiap lag (lag 12, 24, 36) dimana pengujian ini dilakukan, semua p-value (0.208, 0.432, dan 0.298) bernilai diatas 0.05. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa error yang terjadi telah mengikuti proses white noise



Error berdistribusi Normal Pengujian distirbusi Normal dapat menggunakan pengujian Normality Test Kolmogorov-Smirnov yang telah disediakan oleh MINITAB. Hipotesis yang digunakan adalah :

AGUSTINI TRIPENA


H0 :


H1 :


15



3. Klik OK Normal Probability Plot

.999 .99 .95 y t i l i b a b o r P

.80 .50 .20 .05 .01 .001 -2

-1

0

1

RESI1 Average: 0.015 3926 StDev: 0.843329 N: 46

Kolmogorov-Smirnov Normality Test D+: 0.052 D-: 0.083 D : 0.083 Approxi mate P-Valu e > 0.1 5

AGUSTINI TRIPENA


16

Kriteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (> 0.15) bernilai diatas 0.05 sehingga H0 gagal ditolak. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa error yang terjadi telah mengikuti distribusi normal

b. Pengujian Signifikansi parameter Pada model ARIMA(1,0,1) ini, terdapat tiga parameter yang akan diuji kesignifikanannya, yaitu konstanta dan Koefisien AR(1). Sehingga bentuk matematisnya adalah :

t Z



t 1  at   1 at 1  1 Z

dimana  adalah konstanta,  adalah koefisien AR(1), dan  adalah koefisien MA(1)



Pengujian Konstanta Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.000) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.



Pengujian Koefisien AR(1) Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.011) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.



Pengujian Koefisien MA(1) Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.891) bernilai lebih dari 0.05. sehingga H0 gagal ditolak.

AGUSTINI TRIPENA


17

Hasil pengujian Asumsi dan pengujian parameter menunjukkan bahwa model ARIMA(1,0,1) tidak layak digunakan untuk memodelkan data penjualan ini karena salah satu parameternya tidak signifikan. Langkah untuk mengatasinya adalah dengan mengeluarkan koefisien MA(1) dari model. Bila koefisien MA(1) dikeluarkan, maka model ARIMA(1,0,1) akan menjadi model ARIMA(1,0,0) sebagimana yang telah dilakukan analisanya diatas.

Tahap 5

Dari hasil tahap 3 dan 4, diperoleh hasil bahwa dianta kedua model yakni ARIMA(1,0,0) dan ARIMA(1,0,1), ternyata hanya ARIMA(1,0,0) yang layak dipakai untuk memodelkan data penjualan ini. Dengan demikian, dalam tahap ke-5 ini tidak ada pembandingan antara kedua model tersebut.

Tahap 6

Prediksi ke depan sebanyak 3 periode, dilakukan dengan menggunakan metode terbaik yang diperoleh pada tahap 5, dan melibatkan seluruh pengamatan. Dengan demikian, data time series yang sebelumnya telah dibagi menjadi dua bagian, akan digabungkan kembali untuk kemudian dibuat prediksi ke depannya.

Perintah MINITAB 1. Data di kolom C1 adalah Initialization Set, dan di kolom 2 adalah test set. Cara penggabungan data adalah dengan menggunakan perintah berikut :

MTB > stack c1 c2 c5 Perintah ini digunakan untuk menggabungkan data dari C1 dan C2, yang diletakkan pada kolom C5. 2. Melakukan pemodelan ARIMA(1,0,0) untuk keseluruhan data (kolom C5), dan melakukan prediksi sebanyak 3 periode ke depan.

Output MINITAB

ARIMA Model ARIMA model for C5 Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 48.4525 0.100 45.917

AGUSTINI TRIPENA


1 41.7837 0.250 2 37.4934 0.400 3 35.5814 0.550 4 35.4704 0.589 5 35.4687 0.593 6 35.4687 0.594 Relative change in each estimate

38.255 30.594 22.932 20.932 20.723 20.697 less than

0.0010

T 4.98 167.12

P 0.000 0.000

Final Estimates of Parameters Type Coef StDev AR 1 0.5936 0.1193 Constant 20.6968 0.1238 Mean 50.9231 0.3047

18

Number of observations: 49 Residuals: SS = 35.2742 (backforecasts excluded) MS = 0.7505 DF = 47 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 12.4 20.8 35.0 54.7 DF 10 22 34 46 P-Value 0.260 0.536 0.420 0.179 Forecasts from period 49 Period 50 51 52


Forecast 51.5623 51.3025 51.1483

Actual

Menggunakan prosedur yang sama seperti sebelumnya, model akhir ini juga harus diuji beberapa asumsi dan kesignifikanan parameternya, dan secara umum semua asumsi terpenuhi dan semua parameter signifikan.

Hasil ramalah ke depan adalah (minggu ke-8):

Minggu 1

2

3

4

5

6

7

8

Senin

50

53

50

51

50

50

50

51.5623

Selasa

49

53

50

51

50

52

51

51.3025

Rabu

51

52

49

52

51

52

50

51.1483

Kamis

50

52

49

51

50

51

51

Jumat

51

51

50

51

51

51

52

Sabtu

52

51

51

51

52

50

53

Minggu

53

51

51

51

49

50

52

AGUSTINI TRIPENA


19

Sehingga bila data ramalan digabungkan dengan data asli, maka plot time series yang diperoleh adalah sebagai berikut :

53

52

5 C

51

50

49 Index

10

20

30

40

50

Contoh :

Berikut ini adalah data harian tentang jumlah penumpang yang menggunakan jasa pelayaran selama 60 hari pengamatan. Lakukan peramalan untuk 3 hari ke depan.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Senin

466

511

573

645

678

808

871

893

916

Selasa

491

571

609

595

696

797

824

900

957

Rabu

524

501

605

684

712

830

871

975

972

Kamis

488

517

642

671

746

838

902

945

993

Jumat

498

525

604

650

806

831

859

910

Sabtu

466

564

595

679

785

843

913

925

Minggu

535

547

622

698

766

834

870

905

Tahap 1

Data dibagi menjadi dua bagian yaitu initialization set dan test set . Karena prediksi akan dilakukan untuk 3 hari ke depan (3 periode data), maka test set juga akan melibatkan 3 periode data. Jadi, initialization set terdiri dari 57 data awal, dan test set terdiri dari 3 data terakhir.

AGUSTINI TRIPENA


20

Perintah MINITAB : 3. Masukkan data pada kolom C1 mulai dari periode 1 sampai periode 57 (minggu ke-1 sampai mimggu ke-9 hari Senin). Kolom ini memuat data Initialization set . 4. Masukkan data sisanya di kolom C2 (periode 58 sampai 60). Kolom ini memuat test set .

Tahap 2

Untuk dapat menentukan metode peramalan mana yang sesuai dengan kondisi data, maka langkah awal adalah melakukan identifikasi terhadap kestasioneran data. Perintah MINITAB :

4. Buka menu Graph, lalu klik Time Series Plot


AGUSTINI TRIPENA


21


900

n o i t a z i l a i t i

800

700

n i

600

500

Index

10

20

30

40

50

Dari gambar plot time series diatas, dapat dilihat bahwa pada data penjualan ini terdapat efek tren, terlihat dari fluktuasi data yang cenderung naik dari waktu ke waktu (tidak stasioner dalam mean). Langkah awal dalam menangani adanya ketidakstasioneran dalam mean pada data adalah melakukan differencing. Differencing dilakukan pada lag 1 lebih dahulu, kemudian dilihat lagi apakah telah stasioner, bila stasioneritas terpenuhi maka tidak perlu ada lagi differencing untuk lag yang lebih tinggi. Perintah MINITAB 1. Menu Stat , lalu Time Series, lalu pilih Differences

AGUSTINI TRIPENA


22

2. Masukkan C1 pada kotak Series, dan letakkan hasil differencing pada kolom C3. Lag yang dipilh adalah lag ke-1.

3. Klik OK 4. Buat Time Series Plot untuk data yang telah di-differencing, yaitu data yang telah disimpan pada kolom C3

AGUSTINI TRIPENA


23

100

50

3 C

0

-50

Index

10

20

30

40

50

Dari plot time series diatas, terlihat bahwa dengan differencing pada lag ke-1, data telah manjadi stasioner dalam mean. Dengan demikian, model ARIMA yang akan dibangun pada data ini, akan melibatkan orde differencing pada lag ke-1 (Orde d=1)

Setelah kestasioneran data dipenuhi, identifikasi selanjutnya adalah melihat pada ACF dan PACF dari data yang telah distasionerkan , yaitu data pada kolom C3. Bantuk ACF dan PACF berguna dalam menentukan orde dari model ARIMA. Perintah MINITAB : 5. Buka menu stat , lalu Time Series, lalu Autocorrelations

6. Masukkan C3 pada kotak Series.

AGUSTINI TRIPENA


7. Tekan OK 8. Lakukan langkah yang sama untuk menampilkan Partial Autocorrelation Autocorrelation Function for C3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

A

u

ot

c

o

r

r

e

la

t

oi

n

4

9

14

Lag

Corr

T

LBQ

Lag

Corr

T

LBQ

1

-0.51

-3.79

15.14

8

-0.20

-1.18

20.77

2

0.10

0.63

15.78

9

0.26

1.48

25.33

3

-0.09

-0.56

16.29

10

-0.11

-0.60

26.15

4

0.03

0.17

16.35

11

-0.09

-0.48

26.69

5

-0.09

-0.52

16.82

12

0.08

0.43

27.14

6

0.14

0.81

18.02

13

-0.02

-0.12

27.18

7

0.02

0.13

18.05

14

-0.10

-0.54

27.92

Partial Autocorrelation Function for C3 oi

n 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

a

r

iat

l

A

u

to

c

o

r

r

e

al

t

P 4

Lag

9

PAC

T

1 -0.51

-3.79

2 -0.21 3 -0.19

Lag

14

PAC

T

8 -0.18

-1.37

-1.54

9 0.11

0.80

-1.40

10 0.13

0.96

4 -0.14

-1.01

11 -0.10

-0.78

5 -0.21

-1.56

12 -0.02

-0.17

6 -0.03

-0.25

13 -0.04

-0.27

7 0.11

0.83

14 -0.16

-1.17

24

AGUSTINI TRIPENA


25

Dari gambar diatas terlihat bahwa nilai ACF dan PACF terjadi cut off setelah lag 1. Dengan demikian, berdasarkan bantuk ACF model yang diduga sesuai dengan data asli adalah ARIMA(0,1,1). Namun demikian, bentuk PACF yang cut off pada lag-1 juga mengindikasikan kemungkinan model ARIMA (1,1,0) juga berlaku. Untuk itu, dalam langkah selanjutnya, dua buah model ARIMA akan ditampilkan, yaitu ARIMA (1,1,0) dan ARIMA(0,1,1), dan akan dicari model yang terbaik. Adanya orde differencing disini (d=1) mengacu pada identifikasi yang telah dilakukan sebelumnya dimana data membutuhkan differencing orde ke-1 agar menjadi stasioner

Tahap 3 dan 4

Melakukan pemodelan pada initialization set dan menerapkannya pada test set menggunakan model yang telah teridentifikasi pada tahap sebelumnya.

c.

ARIMA (1,1,0)

Perintah MINITAB


8. Masukkan C1 pada kotak Variable 9. Model yang akan dibuat adalah ARIMA (1,1,0). Masukkan angka 1 pada kotak Autoregressive dan Difference, Pilih Include constant term in model

AGUSTINI TRIPENA


26



AGUSTINI TRIPENA


27


ARIMA Model ARIMA model for initialization Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 74611.0 0.100 7.322 1 63912.2 -0.050 8.506 2 56221.1 -0.200 9.666 3 51537.5 -0.350 10.801 4 49862.7 -0.499 11.895 5 49856.7 -0.508 11.938 6 49856.7 -0.509 11.939 7 49856.7 -0.509 11.939 Relative change in each estimate less than

0.0010

Final Estimates of Parameters Type Coef StDev AR 1 -0.5086 0.1171 Constant 11.939 4.058

P 0.000 0.005

T -4.34 2.94

Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 57, after differencing 56 Residuals: SS = 49800.7 (backforecasts excluded) MS = 922.2 DF = 54 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 14.4 30.3 42.3 61.7 DF 10 22 34 46 P-Value 0.157 0.110 0.156 0.060 Forecasts from period 57 Period 58 59 60

Forecast 922.35 931.06 938.57


Actual

Kolom C3 menyimpan hasil ramalan sebanyak 3 periode ke depan, dan C4 menyimpan error dari model ARIMA yang telah diestimasi. Dalam tahap ini, akan dilihat hasil beberapa pengujian. c.

Pengujian Asumsi Terdapat dua buah pengujian asumsi, yaitu apakah error mengikuti proses White Noise, dan apakah error berdistribusi normal. 

White Noise Error Pengujian ini dapat mengacu pada output MINITAB diata, pada hasil Modified Box-Pierce (Ljung-Box). Hipotesis yang digunakan :

AGUSTINI TRIPENA


H0 :


H1 :


28

Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa untuk setiap lag (lag 12, 24, 36) dimana pengujian ini dilakukan, semua p-value (0.157, 0.110, 0.156, dan 0.06) bernilai diatas 0.05. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa error yang terjadi telah mengikuti proses white noise



Error berdistribusi Normal Pengujian distribusi Normal dapat menggunakan pengujian Normality Test Kolmogorov-Smirnov yang telah disediakan oleh MINITAB. Hipotesis yang digunakan adalah : H0 :


H1 :




AGUSTINI TRIPENA


29

6. Klik OK


.999 .99 .95 y t i l i b a b o r P

.80 .50 .20 .05 .01 .001 -50

0

50

RESI1 Average : 0.0 762 333 StDev: 30.0909 N: 56

Kolmogorov-Smirnov Normality Test D+: 0.064 D-: 0.052 D : 0.064 App roxim ate P-Val ue > 0.15

Kriteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (> 0.15) bernilai diatas 0.05 sehingga H0 gagal ditolak. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa error yang terjadi telah mengikuti distirbusi normal

d. Pengujian Signifikansi parameter Pada model ARIMA(1,1,0) ini, terdapat dua parameter yang akan diuji kesignifikanannya, yaitu konstanta dan Koefisien AR(1). Sehingga bentuk matematisnya adalah : W t



   1W t 1  at dimana Wt = Zt – Zt-1 karena adanya d = 1 

dimana  adalah konstanta, dan  adalah koefisien AR(1) 

Pengujian Konstanta Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kriteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.000) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.



Pengujian Koefisien AR(1) Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0

AGUSTINI TRIPENA


30

Kriteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.005) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.

Hasil pengujian Asumsi dan pengujian parameter menunjukkan bahwa model ARIMA(1,1,0) layak digunakan untuk memodelkan data penjualan ini.

12. Menghitung informasi AIC untuk model ARIMA(1,0,0) yang akan digunakan sebagai kriteria dalam menentukan model terbaik. MINITAB tidak memberikan output perhitungan AIC, sehingga harus dihitung secara manual dengan cara mengetikkan perintah pada session window. Terlebih dahulu, command language pada session window harus diaktifkan. Cara mengaktifkan command language MINITAB adalah dengan memanggil menu editor lalu pilih Enable Command .

Rumus AIC adalah : AIC = n Ln (MSE) + 2M

Dimana dari output MINITAB telah memberikan nilai MSE yaitu 922.2. Pada model ARIMA(1,1,0), banyak parameter yang diestimasi (selain konstanta) hanya satu parameter, sehingga nilai M adalah 1. Jumlah sampel dalam Initialization set sebanyak 57 data (n).

MTB > let k1=57*loge(922.2)+2*1 MTB > prin k1

Hasilnya adalah :

AGUSTINI TRIPENA


31

Data Display K1

391.125

Maka AIC untuk ARIMA(1,1,0) ini = 391.125

Menghitung MSD untuk test set Kolom C2 berisi test set , dan kolom C3 berisi hasil ramalan. Rumus MSD adalah sebagai berikut : n

  y t  y t 

2

ˆ

MSD 

t 1

n



Data Display K1

1.42302


d. ARIMA(0,1,1)

Sebelum memodelkan ARIMA(1,0,1), terlebih dahulu kolom C3, C4, dan C5 dihapus untuk lebih memudahkan dalam menggunakan MINITAB. Dengan menerapkan urutan yang sama

sebagaimana

model

ARIMA(1,1,0)

ARIMA(0,1,1) sebagai berikut :

ARIMA Model ARIMA model for initialization Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters

diatas,

diperoleh

output

pemodelan

AGUSTINI TRIPENA


0 61080.2 0.100 8.136 1 54188.7 0.250 8.078 2 49222.5 0.400 8.048 3 45758.5 0.550 8.066 4 43868.1 0.700 8.183 5 43729.1 0.741 8.313 6 43727.3 0.745 8.338 7 43727.2 0.746 8.342 Relative change in each estimate less than

0.0010

Final Estimates of Parameters Type Coef StDev MA 1 0.7456 0.0997 Constant 8.342 1.006

P 0.000 0.000

T 7.48 8.30

32


Forecast 947.35 955.69 964.03


Actual

Kolom C3 menyimpan hasil ramalan sebanayk 3 periode ke depan, dan C4 menyimpan error dari model ARIMA yang telah diestimasi. Dalam tahap ini, akan dilihat hasil beberapa pengujian.

a.

Pengujian Asumsi Terdapat dua buah pengujian asumsi, yaitu apakah error mengikuti proses White Noise, dan apakah error berdistirbusi normal. 

White Noise Error Berdasarkan nilai Ljung-Box, dapat disimpulkan bahwa error yang t erjadi telah mengikuti proses white noise



Error berdistribusi Normal Berdasarkan uji Komogorov Smirnov dapat disimpulkan bahwa error yang terjadi telah mengikuti distribusi normal

AGUSTINI TRIPENA


33


.999 .99 .95 y t i l i b a b o r P

.80 .50 .20 .05 .01 .001 -50

0

50

RESI1 Average : 0.1 058 37 StDev: 28.1854 N: 56

Kolmogorov-Smirnov Normality Test D+: 0.053 D-: 0.050 D : 0.053 App roxim ate P-Val ue > 0.1 5

b. Pengujian Signifikansi parameter Pada model ARIMA(0,1,1) ini, terdapat dua parameter yang akan diuji kesignifikanannya, yaitu konstanta dan Koefisien MA(1). Sehingga bentuk matematisnya adalah : W t



at



 1 at

1



dimana

Wt = Zt – Zt-1 karena adanya d = 1

dimana  adalah konstanta,  adalah koefisien MA(1) 

Pengujian Konstanta Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.000) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.



Pengujian Koefisien MA(1) Hipotesis yang digunakan H0 :  = 0 H1 :   0 Kroteria penolakan adalah : Tolak H 0 bila p-value < 0.05. Dari output MINITAB dapat dilihat bahwa p-value (0.000) bernilai kurang dari 0.05. sehingga H0 ditolak.

Hasil pengujian Asumsi dan pengujian parameter menunjukkan bahwa model ARIMA(0,1,1) layak digunakan untuk memodelkan data penjualan

AGUSTINI TRIPENA


34

informasi AIC untuk model ARIMA(1,0,0) digunakan sebagai kriteria dalam menentukan model terbaik. MINITAB tidak memberikan output perhitungan AIC, sehingga harus dihitung secara manual dengan cara mengetikkan perintah pada session window. AIC = n Ln (MSE) + 2M

Dimana dari output MINITAB telah memberikan nilai MSE yaitu 809.1. Pada model

ARIMA(0,1,1), banyak parameter yang diestimasi (selain konstanta) hanya satu parameter, sehingga nilai M adalah 1. Jumlah sampel dalam Initialization set sebanyak 57 data (n). MTB > let k1=57*loge(809.1)+2*1 MTB > prin k1

Hasilnya adalah :

Data Display K1

383.668

Maka AIC untuk ARIMA(1,1,0) ini = 383.668

Menghitung MSD untuk test set Kolom C2 berisi test set , dan kolom C3 berisi hasil ramalan. Rumus MSD adalah sebagai berikut : n

  y t  y t 

2

ˆ

MSD 

t 1

n



Data Display K1

1.97563

AGUSTINI TRIPENA


35


Tahap 5

Berikut ini adalah tabel perbandingan antara kedua model ARIMA yang telah dilakukan diatas. Ukuran kesalahan

ARIMA(1,1,0)

ARIMA(0,1,1)

MSE

922.2

809.1

AIC

391.125

383.668

MSD

1.42303

1.97563

In-sample

Out-of-sample

Bila kriteria kesalahan in-sample digunakan, maka ARIMA(0,1,1) akan memberikan hasil lebih baik, namun bila kriteria kesalahan out-of sample digunakan, maka ARIMA(1,1,0) akan memberikan hasil yang lebih bagus. Subyektifitas pemakai sangat berperan di dalam mengambil keputusan, baik berdasarkan kriteria in-sample maupun out-of-sample. Kali ini, pedoman yang lebih sesuai adalah MSD, karena prediksi yang dilakukan hanya 3 periode (jangka pendek). Demikian model ARIMA t erbaik adalah ARIMA(1,1,0)

Tahap 6

Prediksi ke depan sebanyak 3 periode, dilakukan dengan menggunakan metode terbaik yang diperoleh pada tahap 5, dan melibatkan seluruh pengamatan. Dengan demikian, data time series yang sebelumnya telah dibagi menjadi dua bagian, akan digabungkan kembali untuk kemudian dibuat prediksi ke depannya.

Perintah MINITAB 3. Data di kolom C1 adalah Initialization Set, dan di kolom 2 adalah test set. Cara penggabungan data adalah dengan menggunakan perintah berikut :

MTB > stack c1 c2 c5 Perintah ini digunakan untuk menggabungkan data dari C1 dan C2, yang diletakkan pada kolom C5. 4. Melakukan pemodelan ARIMA(1,1,0) untuk keseluruhan data (kolom C5), dan melakukan prediksi sebanyak 3 periode ke depan.

AGUSTINI TRIPENA


36

Output MINITAB

ARIMA Model ARIMA model for C5 Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 75798.9 0.100 8.129 1 65210.3 -0.050 9.424 2 57680.9 -0.200 10.699 3 53210.5 -0.350 11.952 4 51801.7 -0.486 13.059 5 51796.9 -0.494 13.106 6 51796.8 -0.494 13.108 Relative change in each estimate less than

0.0010

Final Estimates of Parameters Type Coef StDev AR 1 -0.4942 0.1153 Constant 13.108 3.923

P 0.000 0.001

T -4.29 3.34


Forecast 995.73 1007.49 1014.79


Actual

Menggunakan prosedur yang sama seperti sebelumnya, model akhir ini juga harus diuji beberapa asumsi dan kesignifikanan parameternya, dan secara umum semua asumsi terpenuhi dan semua parameter signifikan.

AGUSTINI TRIPENA


37

Hasil ramalah 3 periode ke depan adalah :

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Senin

466

511

573

645

678

808

871

893

916

Selasa

491

571

609

595

696

797

824

900

957

Rabu

524

501

605

684

712

830

871

975

972

Kamis

488

517

642

671

746

838

902

945

993

Jumat

498

525

604

650

806

831

859

910

995.73

Sabtu

466

564

595

679

785

843

913

925

1007.49

Minggu

535

547

622

698

766

834

870

905

1014.79

Sehingga bila data ramalan digabungkan dengan data asli, maka plot time series yang diperoleh adalah sebagai berikut :

1050

950

850 5 C

750

650

550

450 Index

10

20

30

40

50

60

Kuliah 9 Arima Non Musiman Contoh 1 Dan 2

Recommend Documents