TEKNIK PENGOLAHAN ISYARAT DIGITAL
Kuliah 9 – Filter Digital
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
Kuliah 9 Teknik Pengolahan Isyarat Digital Teknik Elektro UMBY
FILTER DIGITAL Filter merupakan nama umum yang mengacu pada sistem LTI untuk melakukan seleksi frekuensi. Dengan demikian sistem LTI waktu-diskret juga disebut filter digital. Ada dua jenis filter digital: 1. Filter FIR ( Finite-duration Impulse Response = Tanggapan Impulse Durasiberhingga) Yaitu jika tanggapan impuls dari sistem LTI mempunyai durasi yang berhingga. Dengan demikian untuk filter FIR maka h[n] = 0 untuk n < n 1 dan untuk n > n 2. Filter FIR juga sering disebut filter non-rekursif atau moving average (MA) filter. 2. Filter IIR ( Infinite-duration Impulse Response = Tanggapan Impulse Durasi-takberhingga) Yaitu jika tanggapan impuls dari sistem LTI mempunyai durasi yang tak berhingga. Filter IIR juga sering disebut filter-rekursif atau autoregresif (AR) filter. Matlab mempunyai fungsi untuk implementasi filter FIR dan IIR yaitu filter.m
Tiga Elemen Dasar
Oleh karena filter yang akan dibahas adalah sistem LTI, maka diperlukan tiga elemen dasar untuk menggambarkan struktur filter digital, seperti yang diperlihatkan pada gambar-gambar berikut. 1. Adder (Penjumlah) Elemen ini mempunyai dua input dan satu output. Penjumlahan tiga atau lebih isyarat dapat dilakukan dua penjumlah ( adder ) secara berturutan. Elemen penjumlah digambarkan sbb:
1
2. Multiplier (Gain) atau Pengali Pengali merupakan elemen dengan satu input dan satu output. Perkalian dengan 1 biasanya tidak dituliskan secara eksplisit. Elemen pengali dengan gain = a digambarkan sbb:
3. Elemen Tunda ( Delay Element ) Elemen ini akan menunda isyarat yang melaluinya sebanyak satu sampel. Biasanya diimplementasikan menggunakan register geser. Elemen tunda dengan digambarkan sbb:
Struktur Filter IIR
Fungsi sistem filter IIR dinyatakan sbb: M
H ( z ) =
B ( z ) A( z )
∑ b z
−n
=
n =0 N
∑ a z
+ ... + b M z − M = 1 + a1 z −1 + ... + a N z − N b0 + b1 z
n
−n
−1
(1)
n
n =0
Dengan bn dan an adalah koefisien filter, dan a 0 = 1.Orde filter IIR adalah sama dengan N jika aN ≠ 0. Persamaan diferensial (persamaan beda) untuk filter IIR dapat dinyatakan sbb:
y ( n) =
M
N
∑ b x(n − m) − ∑ a y(n − m) m
m =0
m
(2)
n =1
Terdapat beberapa cara implementasi filter IIR pada persamaan (2), yaitu cara atau bentuk langsung, bentuk kaskade, dan bentuk paralel. Dengan cara langsung, persamaan beda pada persamaan (2) diimplementasikan menggunalan elemen-elemen tunda, pengali,
2
dan elemen penjumlah. Misalkan bahwa M = N = 4, maka persamaan beda dapat diuraikan sbb:
y(n) = b0 x(n) + b1 x(n – 1) + b2 x(n – 2) + b 3 x(n – 3) + b 4 x(n – 4) – a1 y(n – 1) – a2 y(n – 2) – a 3 y(n – 3) – a 4 y(n – 4)
(3)
Dan dapat diimplementasikan menggunakan elemen-elemen dasar pengali, penjumlah, dan elemen tunda seperti digambarkan pada gambar berikut.
direct form I structure
Tampak bahwa terdapat dua garis tunda yang berdekatan satu sama lain dan dihubungkan oleh pengali dengan gain = 1. Dengan demikian satu garis tunda dapat dihilangkan dan penghilangan ini mengarahkan pada struktur kanonis yang disebut struktur bentuk langsung II ( direct form II structure).
direct form II structure
3
Contoh 1 Filter IIR dinyatakan dengan fungsi sbb:
⎛ 1 + 0 z −1 + z −2 ⎞⎛ 2 − z −1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ H ( z ) = ⎜⎜ −1 − 2 ⎟⎜ −1 ⎟ 1 0 . 8 0 . 6 1 0 . 75 − + − z z z ⎝ ⎠⎝ ⎠ Gambarkan struktur bentuk langsung I dan II.
Penyelesaian
⎛ 1 + 0 z −1 + z −2 ⎞⎛ 2 − z −1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ H ( z ) = ⎜⎜ −1 −2 ⎟⎜ −1 ⎟ − + − 1 0 . 8 z 0 . 6 z 1 0 . 75 z ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 + 2 z −2 − z −1 − z −3 ⎟ = ⎜⎜ −1 −2 −1 −2 −3 ⎟ z z z z z − + − + + 1 0 . 8 0 . 6 0 . 75 0 . 6 0 . 45 ⎝ ⎠ =
2 + z −1 + 2 z −2 − z −3 1 − 1.55 z −1 + 1.2 z −2 + 0.45 z −3
2
1
x(n)
y(n) z-1 z-1
1
1.55
z
2
-1,2
z-1
-1
-0,45
-1
-1
z
-1
z
DirectformIstructure
1
2
x(n) 1,55
z-1
1
-1,2
z-1
2
-0,45
z-1
-1
y(n)
DirectformIIstructure
4
Struktur Filter FIR
Fungsi sistem filter FIR dinyatakan sbb:
H ( z ) = b0 + b1 z
−1
+ ... + b M −1 z
1− M
M −1
= ∑ bn z − n
(4)
n =0
Sehingga tanggapan impuls h(n) adalah
⎧bn h( n) = ⎨ ⎩0
untuk 0 ≤ n ≤ M − 1 untuk yang lain
(5)
Dan persamaan diferensialnya menjadi: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n -1) + ... + bM-1 x(n – M +1)
(6)
yang merupakan konvolusi linier berhingga. Orde filter FIR adalah (M – 1) sedangkan panjang filter adalah M (yaitu sama dengan jumlah koefisien yang ada). Struktur filter FIR selalu bersifat stabil dan relatif sederhana jika dibandingkan dengan struktur IIR. Lebih jauh, filter FIR dapat dirancang supaya mempunyai tanggapan fase linier yang sangat bermanfaat dalam beberapa aplikasi tertentu. Terdapat beberapa struktur filter FIR, yaitu: 1. Bentuk langsung, 2. Bentuk kaskade, 3. Bentuk fase linier, dan 4. Bentuk sampling frekuensi. Dalam pembahasan ini hanya akan dijelaskan bentuk yang pertama. Misalkan panjang filter M = 5 (yaitu filter FIR orde 4), maka persamaan (6) menjadi y(n) = b0 x(n) + b1 x(n – 1) + b2 x(n – 2) + b3 x(n – 3) + b4 x(n – 4)
(7)
dan struktur bentuk langsungnya diilustrasikan pada gambar berikut.
5
Tampak bahwa persamaan (7) diimplementasikan sebagai garis tunda sadapan ( tapped delay lines) karena tidak terdapat jalur umpan balik atau feed back .
Contoh 2 Filter FIR dinyatakan dengan persamaan diferensial sbb:
⎛ 1 ⎞ y (n) = ∑ ⎜ ⎟ k =0 ⎝ 2 ⎠ 10
5 − k
x(n − k )
Tentukan diagram blok struktur bentuk langsung-nya.
Penyelesaian
⎛ 1 ⎞ y (n) = ∑ ⎜ ⎟ k =0 ⎝ 2 ⎠ 10
5
5−k
x (n − k ) 4
3
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ y (n) = ⎜ ⎟ x(n) + ⎜ ⎟ x (n − 1) + ⎜ ⎟ x (n − 2) + ⎜ ⎟ x (n − 3) + ⎜ ⎟ x(n − 4) + x(n − 5) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2
3
4
5
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ + ⎜ ⎟ x(n − 6) + ⎜ ⎟ x(n − 7) + ⎜ ⎟ x(n − 8) + ⎜ ⎟ x(n − 9) + ⎜ ⎟ x(n − 10) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Atau y(n) = 0,03125 x(n) + 0,0625 x(n – 1) + 0,125 x(n – 2) + 0,25 x(n – 3) + 0,5 x(n – 4) + x(n – 5) + 0,5 x(n – 6) + 0,25 x(n – 7) + 0,125 x(n – 8) + 0,0625 x(n – 9) + 0.03125 x(n – 10)
b0 = 0,03125
b6 = 0,5
b1 = 0,0625
b7 = 0,25
b2 = 0,125
b8 = 0,125
b3 = 0,25
b9 = 0,0625
b4 = 0,5
b10 = 0,03125
b5 = 1 Anda dapat mencoba menggambarkan diagram blok struktur bentuk langsung-nya sendiri.
6
Soal 1
⎛ 1 + 0 z −1 + z −2 ⎞⎛ 2 − z −1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ H ( z ) = 2⎜⎜ −1 − 2 ⎟⎜ −1 ⎟ 1 0 . 8 0 . 6 1 0 . 75 z z z − + − ⎠⎝ ⎠ ⎝ Gambarkan struktur bentuk langsung I dan II.
7
