Konseptual dan prosedural

BELAJAR DAN MENGAJAR MATEMATIKA : SUATU PENGEMBANGAN PEMIKIRAN

MATA KULIAH SEMINAR MATEMATIKA

DISUSUN OLEH :

HAIRUL ANAM

201010060311026 201010060311026

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU KEPENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2013

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

















BAB 2 BELAJAR DAN MENGAJAR MATEMATIKA : SUATU PENGEMBANGAN PEMIKIRAN A. PEMAHAMAN RELASIONAL

Dalam bab ini, sebuah kerangka kerja

yang dikembangkan adalah

bagaimana anak-anak belajar matematika dan hubungannya dengan itu, bagaimana kita secara efektif membantu anak-anak belajar matematika. Pertama-tama, hal penting yang patut dipertanyakan adalah, mengapa kita ingin anak-anak belajar ; apakah tujuan kita dalam mengembangkan pendekatan untuk matematika? mat ematika? Sebagaimana yang kami ringkas pada gambar 2.1, tujuannya adalah untuk membantu anak-anak mengembangkan : 1. Pengetahuan konseptual matematika 2. Pengetahuan prosedural matematika 3. Hubungan antara pengetahuan konseptual dan prosedural Tiga bagian tujuan pembelajaran matematika akan dibahas dalam buku ini sebagai pemahaman

relasi relasi :

suatu

pemahaman

pemikiran

matematika

(pengetahuan konseptual), fasilitas dengan simbol dan metode proses kinerja matematika (pengetahuan prosedural), dan hubungan jelas antar metode dan simbol dan konsep yang saling berhubungan. Contohnya, misalkan pernyataan berikut beri kut ini : ―pembagian

⁄ dan ⁄  

adalah sebanding‖ Konsep dalam memahami pernyataan ini meliputi pengetahuan terhadap masing-masing pembagian yang menunjukkan jumlah yang sama – bahwa

⁄ dan ⁄ adalah dua simbol untuk bilangan yang sama. Pemahaman  

mekanis atau prosedural melibatkan pengetahuan bahwa proses dapat digunakan untuk pembagian satu sama lain, atau dengan nama lain, mengkalikan bagian atas dan bawah bilangan 3 4

3 x3 

4 x3

9 

12

⁄ dengan 3 sebagaimana yang ditunjukkan di bawah ini : 









menyeluruh terhadap makna konsep tersebut. Juga dimungkinkan bagi anak untuk memahami dua pecahan dapat memiliki jumlah yang sama dan terdapat prosedur yang simbolis. Ini mewakili dua tipe pengetahuan mengenai topik yang sama. Sebagai tambahan, adanya pembatasan antara pengetahuan konseptual dan prosedural, menjadikan bagaimana keduanya dikenal dengan atau tanpa mengetahui bagaimana kedua pemikiran tersebut berhubungan. Hubungan antara pengetahuan konsep dan prosedur adalah bagian yang spesifik dalam tujuan kita mempelajari matematika. 1. PENGETAHUAN KONSEPTUAL DALAM MATEMATIKA MATEMATIKA

Pengetahuan konseptual matematika terdiri dari relasi(hubungan) yang terkait atau terhubung dengan gagasan dan pemahaman matematika lainnya. Ada 2 gagasan penting dalam definisi tersebut: konsep matematika adalah berhubungan(memiliki relasi) dan hubungan-hubunga hubungan-hubunga ini terkait dengan konsep lainnya. 1.1.Konsep Matematika adalah Hubungan

Bayangkan balok dan batang yang ditunjukkan pada gambar 2.2. Kita bisa menggambarkan beberapa atribut dari obyek yang dapat kita bayangkan atau rasakan dengan perasaan kita : keras, terbuat dari kayu, memiliki warna; satu kelompok dan yang lain tidak; gaduh bila jatuh, dan sebagainya. Pada gambar, balok tersebut berada di atas batang. Batang tersebut lebih panjang dari pada balok. Dua bentuk tersebut berbeda. Perlengkapan kata seperti di atas, lebih panjang, dan berbeda tidak secara fisik mengacu pada batang. Kita pasti melihatnya di atas, misalnya, dan kemudian kita menyentuhnya atau meletakkannya di atas jari-jari untuk menunjukkan kepada seseorang dimana dia. Anda dapat melihat warna pada balok, mendengarnya jatuh dan menggelinding, merasakan kekerasannya. Tapi perasaan kita tidak dapat menempatkannya di atas. Ada apa dengan benda di atas? atas? Ia bukanlah benda secara fisik, tapi sebuah hubungan. Hubungan antara posisinya saat ini dengan balok adalah hubungan apa yang diciptakan oleh tongkat tersebut dalam pikiran kita. Kita tidak dapat membuat









sendiri. Jika potongan tersebut dipindahkan, maka ia tidak akan berubah, tetapi hubungan antara keduanya berubah. Hubungan tersebut dikatakan di atas (juga lebih panjang, lebih keras, dan berbeda) berbeda) merupakan konsep dalam

PEMAHAMAN RELASIONAL

pikiran kita. Pemikiran ini tidak terikat pada materi. PENGETAHUAN KONSEPTUAL konsep matematika atau hubungan, masing-masing terintegrasi dengan baik dengan hubungan hubungan lain

Koneksi

PENGETAHUAN PROCEDURAL Simbolisme, aturan, dan prosedur yang digunakan untuk mewakili dan bekerja dengan matematika

Gambar 2.1 Pemahaman Pemahaman Relasional : 1) Pengetahuan konseptual konseptual terintegrasi dengan baik, 2)Pengetahuan 2)Pengetahuan prosedural prosedural berkembang dengan baik, dan 3) Hubungan antara konsep dan prosedur berkembang secara jelas









Piaget menyebut hubungan ini sebagai konsep logico-mathematical dan membedakannya dengan konsep fisik dan sosial (Labinowicz, 1985). Pada matematika dasar, pemikiran semacam tujuh, persegi panjang, persen, jumlah produk, ekivalen, rasio, dan negatif merupakan pemikiran yang memiliki hubungan serupa. Jika seorang anak mengidentifikasi batang kayu yang panjang dalam gambar 2.3. sebagai ― puluhan‖ puluhan‖ dan kubus kecil sebagai ―satuan ―satuan‖, ‖, maka ini tidak berarti bahwa konsep matematika ― puluhan‖ puluhan‖ sama dengan 10 satuan. Nama

Model

Hubungan

―Satuan‖ Sepuluh ―satuan‖ sama seperti satu ―puluhan‖ ―Puluhan‖ Sepuluh ―puluhan‖ sama seperti satu ―ratusan‖

―Ratusan‖

Gambar 2.3 Nama dan bahan tidak tidak memiliki hubungan hubungan satu satu sama lain

Ia akan mengenali batang dan menyebutnya. Hubungan antara batang dan 10 kubus kecil adalah hubungan dari potongan fisik. Hubungan tersebut bukan berkaitan dengan batang dan bukan juga kubus kecil, akan tetapi diciptakan dalam pikiran sang anak. Ketika hubungan tersebut terbentuk, batang fisik











anda memahami konsep di atas tanpa melihat obyek fisik dalam hubungan tersebut.

A

B

C

Gambar 2.4 Tiga bentuk – berbeda berbeda hubungan

Kita mengacu pada bentuk yang kita beri nama A (gambar 2.4) sebagai persegi panjang. Tetapi bila kita menyebut B ―satu‖ atau ―keseluruhan‖, maka kita mungkin akan menyebut A sebagai ―setengah‖. Pemikiran ―setengah‖ adalah hubungan antara bentuk A dan B yang terkonstruksi dalam pikiran kita. Jika kita menganggap bentuk be ntuk C sebagai ―satu‖ atau ―keseluruhan‖, A akan menjadi ―seperempat‖. Ia masih persegi panjang yang sama. Konsep ―separuh‖ dan ―seperempat‖ bukanlah pada bentuk A, tetapi hubungannya. Kita membentuk hubungan ini. Persegi panjang membantu kita ―melihat‖ (membentuk secara mental) hubungan tersebut. 1.2.Pengetahuan 1.2.Pengetahuan Konseptual terintegrasi

Seiring dengan terbentuknya hubungan baru, mereka terintegrasi dengan hubungan yang lain atau konsep matematis dalam pikiran kita. Anakanak pra-sekolah mulai dengan konsep yang sangat primitiif seperti satu dan lebih dari. dari. Dengan ini dan perhitungan, konsep bilangan lain diciptakan. Bahkan konsep tujuh diciptakan tujuh diciptakan dan dihubungkan dengan konsep lebih, lebih, tujuh









menjadikannya mudah untuk memahami mengapa nama-nama untuk pecahan digunakan. Menghitung memiliki hubungan dengan pemikiran pecahan: satu perempat, dua perempat, tiga perempat, empat perempat, lima perempat, enam perempat. Konsep ini akan diintegrasikan dan digunakan untuk membantu mengembangkan pemikiran-pemikiran baru, termasuk juga kesetimbangan pecahan dan bilangan desimal. Contoh lain dalam menghubungkan konsep dalam matematika adalah berikut ini: -

Kenyataan menambah dan mengurangi saling berhubungan satu sama lain dan juga konsep bilangan. Mengetahui 5 + 9 = 14 akan membantu mengetahui 14 – 14 – 9 9 = 5. Juga bermanfaat untuk menghubungkan pemikiran ini dengan konsep bahwa 14 sebagai 10 dan 4.

-

Dalam geometri, rumus untuk persegi panjang, parallelogram (belah ketupat), segitiga, dan trapezoid (jajaran genjang) terintegrasikan dalam satu pemikiran tunggal yang dapat diukur dengan mengkalikan alas kali tinggi dan pemikiran tersebut berhubungan dengan pemahaman bidang unit dan konsep perkalian.

-

Konsep rasio dapat dihubungkan dengan konsep persamaan geometri

2. PENGETAHUAN PROSEDURAL MATEMATIKA

Pengetahuan prosedural adalah pengetahuan mengenai simbolisme yang digunakan untuk mewakili matematika dan rumus serta prosedur yang digunakan dalam tugas matematika (Hiebert & Lefevre, 1986). Pengetahuan tentang simbol akan berarti ungkapan seperti     











Lakukan hal yang sama untuk dua kolom berikutnya dalam urutan.‖ Aturan mekanis satu persatu dapat dipelajari tanpa penilaian langkah atau untuk urutan yang harus dilaksanakan. Program komputer merupakan analogi yang sesuai terhadap prosedur matematika. Komputer melakukan tepat seperti apa yang diprogramkan dan ia melakukan urutan langkah yang sama. Bila program tersebut dikeluarkan pada komputer, kita mungkin akan berkata bahwa komputer memiliki ―pengetahuan‖ tentang aturan atau prosedur dan menyajikannya.

3. HUBUNGAN

ANTARA

PENGETAHUAN

KONSEP

DAN

PROSEDURAL

Memiliki hubungan antara pengetahuan konsep dan prosedural, berarti bahwa aturan atau proses pengetahuan prosedural memiliki dasar konseptual atau rasio yang bermakna dan bahwa simbolisme tersebut dipergunakan untuk mewakili suatu konsep yang sesuai. Bila kita melakukan sebuah konsep matematika, langkah yang kita lakukan akan masuk akal dan kita memahami mengapa kita melakukannya seperti itu tanpa dasar konseptual untuk prosedur, maka pembelajaran dapat digunakan untuk menguasainya. Bila aturan atau prosedur digunakan dalam pengetahuan konseptual kita, maka kita dapat menjelaskan tidak hanya apa yang kita lakukan, tapi juga mengapa. Erlwanger (1975) mengungkapkan wawancara dengan seorang siswa kelas lima yang cerdas itu adalah contoh klasik dari konsep dan prosedur pengetahuan yang diajarkan diaj arkan tanpa hubungan yang jelas. jel as. Ketika diminta untuk menjumlahkan

⁄  ⁄ anak tersebut menulis ⁄ dan menguranginya   









atau potongan kue) bertanggung jawab dalam memberikan jawaban terhadap permasalahan. Ia tidak menyadari kesalahan versi simbolisnya. Karena masing -

masing

konteks

ini

memiliki

jawaban

yang

berbeda.

Tanpa

menghubungkannya, dua domain pengetahuan tersebut tidak akan berinteraksi dan bisa jadi saling membatasi dalam diri anak tersebut.

          

Atau — kamu kamu dapat mengerjakan dengan cara ini

Bagian ini adalah tiga perempat dan bagian yang lain adalah satu perempat. Jika semuanya merupakan satu kesatuan

Gambar 2.5 Siswa kelas lima memberikan dua penjelasan dan jawaban untuk untuk permasalahan permasalahan yang yang sama

B. PEMAHAMAN INSTRUMENTAL

Memiliki pengetahuan prosedural tanpa hubungan terhadap konsep









?

Pengetahuan Prosedural

Bukan dasar konseptual

Pengetahuan Konseptual

Pengetahuan Prosedural

Konsep dan prosedur tidak berhubungan

Gambar 2.6 Dua jalan yang yang hanya hanya memiliki pemahaman pemahaman instrument instrumental al

Banyak anak mengetahui bagaimana dan dapat menggunakan aturan prosedural untuk membagi dua pecahan : ―balikkan bilangan penyebut dan bilangan pembilang kemudian kalikan antar dua pecahan‖. Bagaimanapun juga, anak-anak yang memiliki pengetahuan prosedural, banyak diantaranya yang tidak dapat menjelaskan apa artinya

⁄  ⁄  Mereka tidak dapat  

membentuk soal cerita berkaitan dengan perhitungan tersebut. Mereka tidak dapat mengatakan pada anda bahwa jawabannya adalah 1½, dan mereka juga tidak menggunakan potongan kue untuk menjawab permasalahan tersebut untuk menunjukkan bagaimana proses bekerja. Anak-anak ini memiliki











Pada tingkat kedua dan ketiga, banyak anak yang mampu membagi dengan pensil dan kertas, akan tetapi tidak dapat menjelaskan makna bilangan kecil yang mereka tulis ketika mereka ―meminjam‖. Mereka juga tidak memahami bilangan yang ditulis setelah mengelompokkan merupakan jumlah yang sama dengan kuantitas sebelumnya (gambar 2.7). Anak-anak yang sama ini mampu menggunakan batang dan kelompok sepuluh batang untuk pengurangan yang sama (Cauley, 1988). Mereka tampaknya memiliki pengetahuan konseptual dan prosedural dari proses yang sama, akan tetapi tidak memiliki pemikiran bahwa hal ini berhubungan. Pengetahuan prosedural mereka bersifat instrumental. Pemahaman instrumental terhadap keseluruhan aturan dan prosedur merupakan hal yang wajar di sekolah. Terlalu banyak anak tidak memiliki pikiran dan secara mekanis mendorong pensil pada kertas. Terkadang mereka benar, namun seringkali tidak. Berikut ini merupakan contoh aturan atau prosedur yang mana telah sering dipelajari secara instrumental, tanpa hubungan dengan konsep dasar : Balikkan pecahan kedua dan kalikan Dalam pembagian, setelah anda mengurangkan, pindahkan bilangan









Untuk mengubah desimal ke persen, pindahkan titik desimal dua tempat ke kanan. Dalam persen, bagi dengan ― bilangan dari‖ (20 adalah 35% dari bilangan apa?) Letakkan penggaris dengan satu bilangan dan baca bilangan di sisi ujung penggaris. Gunakan kata ―keseluruhan‖ dalam permasalahan yang berarti ―jumlahkan‖

C. KEUNTUNGAN PEMAHAMAN RELASIONAL

Anda akan mendapati bahwa untuk mengajarkan pemahaman relasional memerlukan banyak kerja dan upaya. Memerlukan waktu untuk mengembangkan konsep. Materi harus dibuat, dan anak-anak harus diajarkan bagaimana menggunakannya. Anda harus lebih sedikit menggunakan buku dan lebih banyak melakukan diskusi kelas. Banyak alasan mengapa upaya tersebut tidak akan hanya bermanfaat, tetapi juga penting untuk kualitas instruksi. Pemahaman relasional adalah : Bermanfaat secara intrinsik









lanjut, makin banyak asosiasi yang dimiliki dalam pemikiran itu, maka ide akan makin lama tinggal dalam ingatan. Persentase sekolah ditujukan untuk pengajaran ulang dan review. Jika ide dipelajari secara berhubungan dan instrumental, maka waktu untuk mengingat kembali tidak akan lama. Merupakan bantuan untuk mempelajari mempelajari konsep dan prosedur baru

Ide yang dipahami secara utuh dalam matematika dapat dipergunakan dengan mudah untuk mempelajari ide baru. Pemahaman terhadap keseluruhan bilangan akan membantu perkembangan konsep desimal. Pemahaman terhadap operasi dan bagaimana operasi tersebut diilustrasikan dalam deret bilangan dapat membantu pemahaman integer. integer. Semakin baik anak-anak memahami konsep bilangan, maka akan makin mudah bagi mereka untuk menguasai penjumlahan dasar dan pengurangan. Matematika sangat terorganisir dan merupakan subyek yang logis. Memahami satu bidang pada satu wilayah dapat menciptakan pemikiran baru yang saling berhubungan dengan mudah. Tanpa mengintegrasikan konsep pemahaman dan koneksi dengan prosedur, masing-masing pemikiran bahwa siswa dapat belajar akan terisolasi dari ide yang ada dengan hasil yang dipelajari lewat hafalan.









“Organik”, mengarah ke pembelajaran pembelajaran ide-ide baru secara langsung

Istilah organik digunakan oleh Skemp (1978) untuk mengungkapkan kualitas pencarian dan pertumbuhan dari pemahaman hubungan dalam penjelasannya. Skemp mencatat bahwa ketika pengetahuan atau mendapatkan pengetahuan menyenangkan, maka orang yang mengalami kesenangan akan cenderung mencari ide-ide baru sendiri. Faktor utama dalam mencegah kecemasan dalam matematika.

Kecemasan matematika melibatkan ketakutan yang sangat nyata dan perilaku pengabaian. Ia juga menghancurkan diri sendiri sehingga seseorang akan merasa ketakutan dan menghindari matematika, akan semakin timbul penguatan bahwa ia tidak mampu. Ketika siswa mempelajari hubungan matematika, hasil yang didapatkan tidak asing. Tidak ada alasan untuk takut kepada matematika. Pemahaman ini dipengaruhi oleh kepercayaan bahwa hanya orang yang pintar bisa belajar matematika. Berlawanan dengan itu, pemahaman hubungan membangun membangun rasa percaya diri. Tidak ada matematika pada kurikulum sekolah dasar yang dapat









mengingat daftar tersebut? Satu jam? Satu hari? Jika anda berlatih, misalnya mengucapkannya keras-keras, menggunakannya dalam lagu, dan mungkin menulisnya 40 atau 50 kali, ingatan anda akan terbentuk. Kenyataannya, sebagian besar orang mengetahui beberapa baris nomor yang mereka pelajari seketika. Nomor telepon, nomor jaminan sosial, dan SIM hanya beberapa contoh kecil diantaranya. Jika anda pikir anda lemah dalam menguasai bilangan dan anda akan cenderung melupakannya, lihat lagi pada bilangan tersebut. Ini saatnya untuk mencari pola atau aturan. Cobalah sekarang! Pada sekelompok orang dewasa diberikan tugas melatih daya ingat yang sama, seorang wanita telah menguasai daftar bilangan tersebut dalam waktu kurang dari 20 detik dan dengan penuh percaya diri dia masih dapat mengulangi daftar bilangan tersebut dalam kurun waktu dua atau tiga minggu ke depan tanpa latihan lagi. Dia menunjukkan bahwa daftar bilangan tersebut dimulai dengan angka 2 kemudian angka berikutnya diperoleh dengan menambahkan angka 3 dari setiap angka sebelumnya sehingga akan diperoleh daftar bilangan sebagai berikut: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23. Dia mengatakan bahwa dia dapat berpikiran seperti itu karena











anda mengatakan bahwa disana terdapat sebuah pola, apakah kemudian akan lebih mudah untuk menemukannya? Ketika hubungan +3 ―lebih tiganya dari‖ diamati, deretan bilangan tersebut sangat mudah untuk untuk diingat. diingat.

Ini mungkin dilakukan dengan

bilangan dalam jumlah banyak yang akan dikuasai. Hubungan sesuatu yang baru dipadukan dengan ide yang sudah ada (pola, penjumlahan, bilangan, dan hubungannya lebihnya dari). Hubungan-hubungan Hubungan-hubungan tersebut memberikan stabilitas pada pemikiran seseorang. Akhirnya,

terdapat

perasaan

positif

yaitu

rasa

puas

dalam

menyelesaikan tugas sehingga dengan mudah mencari permulaan penyelesaian solusinya. Perasaan tersebut lebih hebat untuk seseorang yang menemukan pola yang menjadi miliknya dari pada seseorang yang









praktek penggunaan konsep atau prosedur baru. Semakin anak berlatih, maka pemikiran baru itu akan semakin stabil. Pemikiran dan keahlian ini secara sederhana ditambahkan, tidak dihubungkan atau diintegrasikan dengan konsep yang ada. Teori penyerapan pembelajaran merupakan pandangan perilaku, yang mana ditemukan dalam teori-teori Thorndike dan Skinner. Semua teori hanyalah – hanyalah – teori. teori. Jika, sebuah teori pembelajaran efektif untuk membantu kita menjadi guru yang lebih baik, maka teori itu berharga untuk dipertimbangkan. Suatu teori kognitif harus kita perhatikan sebagai guru yang mana kita harus membantu siswa mengintegrasikan pemikiran baru dengan pengetahuan yang ada. Kita harus membantu mereka mengembangkan jaringan pemikiran hubungan dan bukan aturan









pribadi dengan menggunakan pengetahuan yang telah dimiliki sebagai peralatan. Pemikiran membentuk

berkaitan

pemikiran

mempertimbangkan

dengan

yang

konsep

pembelajar

reflektif alamiah

adalah

yang penting

matematika.

secara

aktif

ketika

Karena

kita

konsep

matematika adalah hubungan dan hal itu tidak akan timbul di luar pikiran kita, maka tidak ada cara bagi kita untuk secara sederhana menyerapnya secara pasif atau abstrak dari hal-hal yang ditunjukkan. Ketika pembelajaran sebuah konsep fisik seperti warna, mobil, atau lembut, kita dapat melihat atau menyentuh secara fisik contoh-contoh dari konsep tersebut. Kita mempelajari berbagai macam contoh konsep dari hal yang tidak menjadi contoh. Untuk mengajari anak-anak apa itu kanguru, anda









6 karena tidak ada dalam kolom berikutnya, maka saya akan meminjam dari 6.

Gambar 2.8 Anak tersebut dihadapkan pada situasi yang sangat familiar dan terkadang tidak. Yang umum adalah permasalahan tersebut ada dalam lembar kerja matematika, yaitu pengurangan, dan kelas telah melakukan pengurangan dengan ‗sistem pinjam‘. Konteks ini mempersem pit pilihan dalam memberikan makna dalam situasi, seperti halnya kelas matematika yang

membantu

wanita

dengan

sebaris

bilangan.

Akan

tetapi

permasalahan tersebut akan berbeda dari pemikiran kelas yang ada. 7









atas pandangan mereka atau menghubungkan pengetahuan yang mereka gunakan untuk memahami situasi. Menghubungkan atau memadukan ideide baru dengan pengetahuan yang telah ada merupakan kunci dasar pembelajaran. Dalam banyak hal, hal , pengetahuan yang telah tela h ada pada anakanak tidaklah lengkap atau tidak akurat, atau mungkin kita menganggap bahwa pengetahuan yang mereka miliki belum mantap saat ini. Dalam keadaan seperti ini sebuah ide baru seperti disalahpahami atau dipelajari secara berbeda dari yang kita harapkan. Contoh yang telah dibicarakan tersebut merupakan keadaan yang sebenarnya. Tidak hanya pengetahuan konseptual yang penting dimiliki anak-anak dalam mempelajari ide-ide baru yang mereka mer eka hadapi, tetapi yang penting juga adalah bahwa mereka dapat melakukan kegiatan berpikir atas pengetahuan tersebut. Sebagai

Konseptual dan prosedural

Recommend Documents