KOMBINATORIKA PERMUTACIJE, VARIJACIJE, KOMBINACIJE; Broj Bro j permutacija permutacija n-ˇclanog clanog skupa P n = n! Broj permutacija iz skupa koji ima k klasa elemenata i n1 elemenata 1. klase, n2 elemenata 2. klase,.... nk elemenata k-te klase i vrijedi (n (n1 + n2 + ... + ... + n nk = n) je n! P n (n1 , n2 ,...,nk ) = n1 !n2 ! · · · nk !
1
Broj varijacija k-tog razreda od n elemenata n! V = n ∗ (n (n − 1) · ...( ...(n − k + k + 1) = (n − k)! k )! k n
Broj varijacija s ponavljanjem k-tog razreda od n elemenata k
V n = nk
2
Broj kombinacija k-tog razreda od n elemenata k n
V n! C = = = k! (n − k)! · k! k n
n k
Broj kombinacija s ponavljanjem k-tog razreda od n elemenata k
C n =
n + k − 1 k
3
1. Zadan je skup S = { a,e,i,o,u}, broj elemenata u skupu S je |S | = n = 5 Napiˇsite sve (a) permutacije (b) varijacije bez ponavljanja k=2 reda (c) varijacije s ponavljanjem k=2 reda (d) kombinacije bez ponavljanja k=2 reda (e) kombinacije s ponavljanjem 2 reda.
4
Rjeˇ senje: (a) P 5 = 5! (b) V 52 = 5 ∗ 4 = (c)
2 V 5
C 52
5! (5−2)!
= 20
= 52 = 25 5 2
5! (5−2)!·2!
(d) = = = 10 (e) C = = = 15 2 5
5+2−1 2
6 2
5
2. Koliko plesnih parova moˇzemo formirati od 8 djevojaka s 8 djeˇcaka? 3. Na koliko naˇcina moˇzete 8 poslova raspodijeliti na 8 radnika tako da svaki radnik radi po 1 posao?
Rjeˇ senje: P 8 = 8! = 40320
6
4. U kutiji su 2 bijele, 3 zelene i 4 crvene kuglice. Izvlaˇcimo jednu po jednu kuglicu i stavljamo je u niz. Koliko ima razliˇcitih uzoraka od 2 bijele, 3 zelene i 4 crvene kuglice poredane u niz.
Rjeˇ senje: Bbroj nizova je P n (n1, n2, n3) = 1260
7
´ IZBOR BEZ VRACANJA IZBOR: r-ˇcl. uzoraka iz n-ˇcl. skupa razliˇcitih elemenata (r)
nije vaˇ zan poredak
C n
(r)
vaˇzan poredak
V n
8
´ IZBOR BEZ VRACANJA 1.( poredak nije bitan) U kutiji je 5 loptica raliˇ cite boje. Koliko ima izbora 3 kuglice bez vra´canja ako poredak izabranih kuglica nije bitan?
Rjeˇ senje: n = 5, r = 3 (r)
C n =
(3) C 5
5 3
= == 10. 9
´ IZBOR BEZ VRACANJA 2. (poredak bitan) U kutiji je 5 loptica raliˇ cite boje. Koliko ima izbora 3 kuglice bez vra´canja ako je poredak izabranih kuglica bitan (stavljamo ih u niz)?
Rjeˇ senje: n=5, r=3 (r)
V n
(3)
= V 5
=
5! (5−3)!
=
5·4·3·2·1 1·2
= 60.
10
´ IZBOR S VRACANJEM IZBOR: r-ˇcl. uzorka iz n-ˇcl. skupa razliˇcitih elemenata (r )
nije vaˇ zan poredak
C n
(r )
vaˇzan poredak
V n
11
´ IZBOR S VRACANJEM 1. (poredak nije bitan) U kutiji je 5 loptica raliˇ cite boje. Koliko ima izbora 3 kuglice s vra´canjem ako poredak izabranih kuglica nije bitan?
Rjeˇ senje: n=5, r=3 (r)
C n =
(3) C 5
=
5+3−1 3
7 3
= =
7·6·5 1·2·3
12
= 35.
´ IZBOR S VRACANJEM 2.(poredak bitan) U kutiji je 5 loptica raliˇ cite boje. Koliko ima izbora 3 kuglice s vra´canjem ako je poredak izabranih kuglica bitan (stavljamo ih u niz)?
Rjeˇ senje: n=5, r=3 (r)
V n =
(3) V 5
= 53 = 125.
13
RAZDIOBE (u svaku kutiju najviˇ se 1 predmet) RAZDIOBE: r predmeta u n razliˇcitih kutija (r )
jednakih predmeta
C n
razliˇcitih predmeta
V n
(r )
14
RAZDIOBE (u svaku kutiju najviˇ se 1 predmet) 1. (jednaki predmeti) U kutiji su 3 loptica iste boje. Na koliko naˇcina moˇzemo razdijeliti loptice u 5 razliˇcitih kutija ako je dozvoljeno da u svaku kutiju stavimo najviˇse 1 predmet?
Rjeˇ senje: n = 5, r = 3, (r)
C n =
(3) C 5
5 3
= == 10. 15
2. Na koliko se naˇcina, izmedu 10 djece, moˇze podijeliti ˇsest jednakih poklona ako svako dijete treba dobiti najviˇse jedan poklon.
Rjeˇ senje: Ako imena djece napiˇsemo na ceduljice i svakom poklonu pridruˇzimo jednu ceduljicu svaka raspodjela poklona je kombinacija r=6 tog razreda od n=10 elemenata (jer su pokloni jednaki). n = 10, r = 6 (r)
(6)
C n = C 10 = 210.
16
RAZDIOBE (u svaku kutiju najviˇ se 1 predmet) 1. (razliˇciti predmeti) U kutiji su 3 loptica raliˇcite boje. Na koliko naˇcina moˇzemo razdijeliti loptice u 5 razliˇcitih kutija ako je dozvoljeno da u svaku kutiju stavimo najviˇse 1 predmet?
Rjeˇ senje: n = 5, r = 3, (r)
V n
=
(3) V 5
=
5! (5−3)!
=
5·4·3·2·1 1·2
= 60.
17
2. Na koliko se naˇcina, izmedu 10 djece, moˇze podijeliti ˇsest razliˇcitih poklona ako svako dijete treba dobiti najviˇse jedan poklon.
Rjeˇ senje: Ako imena djece napiˇsemo na ceduljice i svakom poklonu pridruˇzimo jednu ceduljicu svaka raspodjela poklona je varijacija r=6 tog razreda od n=10 elemenata (jer su pokloni razliˇ citi). n = 10, r = 6 (r)
V n
(6)
= V 10 = 151200.
18
RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljno predmeta) RAZDIOBE: r predmeta u n razliˇcitih kutija (r )
jednakih predmeta
C n
(r )
razliˇcitih predmeta
V n
19
RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljno predmeta) 1. (jednaki predmeti) U kutiji su 3 loptica iste boje. Na koliko naˇcina moˇzemo razdijeliti loptice u 5 razliˇcitih kutija ako je dozvoljeno da u svaku kutiju stavimo proizvoljan broj predmeta?
Rjeˇ senje: n = 5, r = 3, (r)
C n =
(3) C 5
=
5+3−1 3
7 3
= =
7·6·5 1·2·3
20
= 35.
2. Na skladiˇstu su vre´ce s dvije razliˇcite vrste cementa. Na koliko se naˇcina moˇze naruˇciti 5 vre´ca cementa?
Rjeˇ senje: Narudˇzba 5 vre´ca cementa od dvije vrste je razdioba jednakih predmeta s r=5 i n=2. Broj narudbi je (r)
C n =
(5) C 2
=
5+2−1 5
6 5
= = 6. 21
RAZDIOBE (u svaku kutiju proizvoljno predmeta) 1. (razliˇciti predmeti) U kutiji su 3 loptica raliˇcite boje. Na koliko naˇcina moˇzemo razdijeliti loptice u 5 razliˇcitih kutija ako je dozvoljeno da u svaku kutiju stavimo proizvoljan broj predmeta?
Rjeˇ senje: n = 5, r = 3, (r)
V n =
(3) V 5
= 53 = 125.
22
2. Na skladiˇstu su vre´ce s dvije razliˇcite vrste cementa. Dolazi 5 kupaca i naruˇcuje vre´ce cementa. Na koliko naˇcina 5 osoba moˇze naruiti po jednu vre´cu cementa ?
Rjeˇ senje: Narudˇzba za 5 osoba po jednu vre´cu cementa je razdioba razliˇcitih predmeta r=5 i u n=2 kutije. (r)
V n =
(5) V 2
= 25 = 32.
23
UZORAK UZORCI: veliˇcine r = r1 + r2 + .. + rk
iz n = n1 + n2 + .. + nk (r1 )
(r2 )
· C n
(rk )
· ·C n
bez vra´canja
C n
s vra´canjem
P r (r1 , r2 ,...,rk ) · (n1 )r
s vra´canjem n r
P r (r1 , r2 ,...,rk )
1
2
k
1
24
´ UZORAK S VRACANJEM 1. Bacamo novˇci´c 6 puta. Na koliko razliˇcitih naˇcina moˇze pasti na 4 puta pismo i 2 puta glava?
Rjeˇ senje: To je eksperiment koji ponavljamo 6 puta n = 6. Rezultat eksperimenta moˇze biti pismo ili glava. U uzorku n1 = 4 i n2 = 2. Broj razliˇcitih nizova eksperimenata je broj uzoraka s vra´canjem P 6 (4, 2) = 6!/(4! · 2!) = 15.
25
´ UZORAK BEZ VRACANJA 1. Ako ˇzelimo ispitati kvalitetu 10 proizvoda od kojih je 4 prve klase i 3 druge klase i 3 tre´ce klase. Uzimamo uzorak od tri proizvoda. Koliko uzoraka ima u kojima a) su 3 proizvoda 1. klase b) su 2 proizvoda 1. klase c) ima barem dva proizvoda 1. klase?
26
Rjeˇ senje: a) Osnovni skup ima n=10, n1 = 4, n2 = 3 n3 = 3 Uzorak ima r = 3 proizvoda, od kojih r1 = 3, r2 = 0 r3 = 0 Broj uzoraka koji imaju 3 proizvoda 1. klase C 43 · C 30 · C 30 = 4 b) r1 = 2, r2 = 1 r3 = 0 ili r1 = 2, r2 = 0 r3 = 1 Broj uzoraka koji imaju j2 proizvoda 1. klase C 42 · C 31 · C 30 + C 42 · C 30 · C 31 . 18 + 18 = 36 c) Broj uzoraka koji imaju barem dva proizvoda 1. klase : a)+b)=4+36=40. 27
