Kombinatorika

UVOD Faktorijeli Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo n ! i čitamo "n faktorijela". Faktorijel označavamo uskličnikom ( n! ) i računamo ga na sljedeći način

FAKTORIJEL nekog FAKTORIJEL nekog prirodno broja je proizvod svih prirodnih brojeva koji su manji ili  jednaki njemu.

!o definiiji stavljamo #$%&. Faktorijeli zadovoljavaju rekurzivnu formulu

'akle kada treba da izračunamo faktorijel neko broja samo pomnožimo sve prirodne brojeve od & do tog broja. o znači da je faktorijel broja * jednak

Primjer: +oliko je ,$

!rimijetimo da vrijedi

odnosno

-vo možemo i dalje da nastavimo

1

o znači da je

Binomni koeficijenti eka je n prirodan broj i k prirodan broj ili # binomni koefiijent označavamo



 čitamo "iznad (ili povrh) k " i računamo po formuli 





.

aziv /binomni koefiijent0 potiče iz formule za razvijanje prirodnog stupnja binoma. 'akle za računanje binomnog koefiijenta potrebna su nam dva prirodna broja.

Primjer: +oliko je

1

Princi "a#tono$ re%roja&anja 2ko možemo birati prvi element na drugi element na

načina

načina ...

r 3ti

element na načina tada je ukupan broj načina na koji možemo birati ure4enu r 3torku jednak

Primjer: +oliko ima četveroznamenkastih brojeva s različitim znamenkama1 !rvu znamenku možemo birati po volji 5 je mogućih izbora (na prvom mjestu ne smije biti nula). 6ez obzira koju smo prvu znamenku izabrali drugu znamenku biramo izme4u 5 preostalih (sad možemo uzeti i nulu). reću znamenku biramo izme4u , preostalih a četvrtu izme4u 7 preostalih.

2

'akle četveroznamenkastih brojeva s različitim znamenkama ima

KO'BI(ATORIKA Kom%inatorika je grana matematike koja se bavi prebrojavanjem elemenata konačnih skupova i prebrojavanjem broja načina da se ti elementi poredaju. +ombinatorika nam računa na koliko načina možemo da izaberemo elemente nekog skupa. 'akle imamo neki skup iz njega izdvajamo podskupove i brojimo ih. ri osnovna elementa kombinatorike su ermtacija) &arijacija i kom%inacija* 'a bismo ih prepoznali potrebno je da odgovorimo na dva pitanja Da li # i"a%rani #&i elementi o+etno$ #ka, Da li je ore-ak i"a%rani. elemenata %itan, +ada odgovorimo na ova dva pitanja znati ćemo da li je u pitanju permutaija varijaija ili kombinaija. PERMUTACIJE 

8elimo tri knjige treba da staviti na poliu. a koliko načina možemo da ih posložiti1 2ko označimo knjige brojevima & 9 i : dobiti ćemo ;est mogućih rasporeda (&393: &3:39 93&3: 93:3& :3&39 i :393&). 'akle tri knjige možemo rasporediti na ukupno < načina. -vo i nije bilo te;ko. =e4utim stvar nam se znatno kompliira ako imamo vi;e knjiga na primjer &*. !romatrajmo zato ovaj primjer kao permutaiju. aime od &* knjiga iz početnog skupa svih &* moraju da budu postavljene na poliu i bitan nam je njihov raspored na polii. -davde vidimo da će permutaija kao odgovor na gore spomenuta pitanja dati sljedeće >vi elementi početnog skupa JE/U izabrani. !oredak izabranih elemenata JE/TE bitan. 'akle ako u zadatku na oba pitanja dobijemo potvrdan odgovor u pitanju su permutaije. !ermutaije mogu biti %e" ona&ljanja i #a ona&ljanjem. 6ez ponavljanja znači da su svi elementi u početnom skupu različiti (svih &* knjiga koje treba da stavimo na polii su različite) dok permutaija sa ponavljanjem znači da neki elementi mogu da se javljaju vi;e puta (na primjer u riječi 22 slova  i 2 se javljaju po dva puta). 6roj permutaija od n elemenata bez ponavljanja (u oznai P(n))računamo po formuli !retpostavimo da imamo : knjige me4u kojima su dvije iste. 'vije iste knjige možemo označiti brojem & a treću brojem 9. >ada ih na polii možemo rasporediti na samo : načina (&3&39 &393& i 93&3&). 'akle dozvolimo li ponavljanje smanjiti će nam se broj mogućih rasporeda. 3

2ko imamo n elemenata u početnom skupu u kome su m  m  m .. i m  brojevi istih elemenata to jest koliko imamo istih elemenata koje vrste (pri čemu je m ?m +m ?.. ?m %n) ukupan broj permutaija računamo prema formuli 1

2

3

k 

1

2

3

k 

'akle ako imamo &* knjiga na poliu ih možemo rasporediti na

Permtacije %e" ona&ljanja !ermutirati znači zadane elemente na sve moguće načine spajati u skupine tako da svaka skupina sadrži sve zadane elemente. 6roj permutaija skupa od n različitih elemenata jednak je

Primjer 0* +oliko se troznamenkastih brojeva (s različitim znamenkama) može napisati od znamenki & 9 :1 o je broj permutaija bez ponavljanja od : elementa

@spi;imo ih

&9:

&:9

9&:

9:&

:&9A

:9&

Primjer 1* +oliko permutaija elemenata skupa

počinje s ,1

>kupine su oblika , B B B  pri čemu na preostalim mjestima možemo napisati bilo koju permutaiju bez ponavljanja od elemenata skupa =ožemo ih ispisati na

.

različitih načina.

Permtacije # ona&ljanjem 2ko izme4u

n

zadanih elemenata ima

jednakih jedne vrste

jednakih druge

vrste ... jednakih r-te vrste govorimo o permutaijama s ponavljanjem. 6roj permutaija s ponavljanjem od n elemenata jednak je

Primjer 0* +oliko se različitih riječi (smislenih i besmislenih) može napisati od slova riječi =2C=2@+21 >vaki raspored slova odre4uje jednu permutaiju. Diječ je o nizu slova 222C@+==. 4

6roj permutaija s ponavljanjem od &# elemenata me4u kojima ima jednakih (: slova 2 9 slova = 9 slova ) jednak je

=ože se napisati &*&9## različitih riječi od slova riječi matematika. Primjer 1* +oliko se brojeva može napisati od znamenaka &9:E::<&E tako da neparne znamenke budu uvijek na neparnim mjestima. eparne znamenke &&::: možemo razmjestiti na neparna mjesta (prvo treće peto sedmo deveto) na načina. !arne znamenke 9EE< možemo razmjestiti na parna mjesta (drugo četvrto ;esto osmo) na načina. Ukupno možemo napisati

brojeva.

Primjer 2* a koliko se načina : ista udžbenika matematike 9 iste zbirke iz matematike i & radna bilježnia mogu poredati na polii. -dgovorimo najprije na dva važna pitanja. idimo da sve knjige idu na poliu pa svi elementi početnog skupa je# izabrani. -sim toga poredak knjiga na polii je#te važan pa zaključujemo da se radi o ermtacijama. ako4er vidimo da se neke knjige ponavljaju pa su u pitanju permutaije #a ona&ljanjem. -d ukupno knjiga imamo : ista udžbenika pa se prva knjiga ponavlja : puta odnosno m =3 dvije iste zbirke te je m =2 i samo jedna radna bilježnia pa je m =1. !rema formuli za računanje broja permutaija sa ponavljanjem imamo 1

2

3

VARIJACIJE 

!retpostavimo sada da u jednom razredu od 9* učenika treba da izaberemo predsjednika redara i blagajnika. 'akle od 9* učenika treba da odaberemo : i pritom je važno tko je predsjednik tko redar a tko blagajnik u razredu. a koliko načina možemo napraviti ovaj izbor. -vdje su u pitanju varijaije. -d 9* učenika u razredu mi biramo samo : pa nisu svi učenii izabrani. ako4er važno je koga ćemo izabrati za predsjednika koga za sekretara a koga za blagajnike odnosno bitan je poredak na;eg izbora. -davde zaključujemo da će na dva važna pitanja varijaije dati sljedeće odgovore &.

9. 5

(I/U svi elementi početnog skupa izabrani. !oredak izabranih elemenata JE/TE bitan.

arijaije tako4er mogu da budu #a i %e" ona&ljanja. 2ko od n početnih elemenata biramo njih k dobivamo &arijacije o- n elemenata k3te kla#e njihov broj označavamo kao ako su varijaije bez ponavljanja i ako su u pitanju varijaije sa ponavljanjem. 'a ne do4e do zabune u nekim udžbeniima se koriste i oznake i . 6roj varijaija k3te klase od n elemenata bez ponavljanja računamo po formuli

U slučaju varijaija sa ponavljanjem imamo formulu U na;em primjeru pretpostavimo da isti učenik ne može da dobije dvije funkije (nitko ne može da bude na primjer i predsjednik i blagajnik). 'akle od 9* učenika biramo : bez ponavljanja učenika. o su varijaije od 14 elemenata tre5e kla#e %e" ona&ljanja pa imamo da je i 

Varijacije %e" ona&ljanja arijaija r 3tog razreda u n3članom skupu je svaka ure4ena r 3torka različitih elemenata. 6roj varijaija bez ponavljanja r G tog razreda od n elemenata jednak je

(aj broj možemo odrediti koristeći prinip uzastopnog prebrojavanja.) Primjer 0* +oliko se troznamenkastih brojeva (s različitim znamenkama) može napisati pomoću znamenaka & : * 7 51 raženi broj jednak je broju varijaija bez ponavljanja od * elemenata :. razreda

@li po prinipu uzastopnog prebrojavanja prvu znamenku možemo birati na * načina. 6ez obzira koju smo prvu znamenku izabrali drugu znamenku biramo izme4u E preostale treću izme4u : preostale. Primjer 1* a koliko načina možemo napraviti sendvič ako biramo tri nadjeva izme4u ponu4enih ;unka sir majoneza jaje rajčia salata1 raženi broj jednak je broju varijaija bez ponavljanja od < elemenata :. razreda

6

=ožemo napraviti sendvič na &9# različita načina. Primjer 2* +oliko se četveroznamenkastih brojeva s različitim znamenkama može napisati pomoću znamenaka # & : * 7 51 Ure4enih četvorki od < elemenata ima . 6udući da brojevi ne mogu počinjati s nulom moramo od dobivenog broja oduzeti one koji počinju s nulom. o su brojevi oblika # B B B  a njih ima

'akle četveroznamenkastih brojeva s različitim znamenkama koji se mogu napisati pomoću znamenaka # & : * 7 5 ima

@li prema prinipu uzastopnog prebrojavanja traženi broj možemo dobiti ovako prvu znamenku možemo odabrati na * načina (bilo koja znamenka osim #) drugu znamenku možemo birati na * načina (bilo koja od preostalih znamenki ) treću znamenku možemo birati na E načina (bilo koja od preostale E znamenke) i četvrtu znamenku možemo birati na : načina (bilo koja od preostale : znamenke) a taj način možemo napisati četveroznamenkastih brojeva.

Varijacije # ona&ljanjem 2ko se elementi u ure4enim r3torkama mogu ponavljati govorimo o varijaijama s ponavljanjem. 6roj varijaija s ponavljanjem r 3 tog razreda od n elemenata jednak je (aj broj možemo odrediti koristeći prinip uzastopnog prebrojavanja.) Primjer 0* Hokot sa ;ifrom ima E koluta a na svakom kolutu &# slova na;e abeede. a koliko se načina može izabrati ;ifra za lokot1 raženi broj jednak je broju varijaija s ponavljanjem od :# elemenata E. razreda Iifra za lokot može se izabrati na ,&#### načina. @li prema prinipu uzastopnog prebrojavanja traženi broj možemo dobiti ovako prvo slovo možemo odabrati na :# načina (bilo koje slovo na;e abeede) drugo slovo tako4er na :# načina (slova mogu biti i ista tj. mogu se ponavljati) treće na :# načina i četvrto tako4er na :# načina. 7

'akle ;ifra za lokot može se izabrati na

načina.

Primjer 1* +oliko se troznamenkastih brojeva može napisati pomoću znamenaka & : * 7 51 o je broj varijaija s ponavljanjem :. razreda od * elemenata . @li prema prinipu uzastopnog prebrojavanja prvu znamenku možemo odabrati na * načina drugu i treću znamenku tako4er na * načina (jer se znamenke mogu ponavljati). =ožemo napisati &9* troznamenkastih brojeva pomoću zadanih znamenaka. Primjer 2* +oliko se troznamenkastih brojeva može napisati pomoću znamenki & 9 : E * i < ako se znamenke a) ne ponavljajuA b) ponavljajuA a) 'akle od ponu4enih < znamenki mi pravimo troznamenkaste brojeve (odnosno biramo po tri znamenke) pri čemu se znamenke ne ponavljaju. 'akle sve znamenke (I/U izabrane i poredak izabranih JE/TE bitan pa su u pitanju &arijacije %e" ona&ljanja tre5e kla#e o- 6 elemenata odnosno i  odnosno ukupno &9# brojeva. b) -vdje imamo isti slučaj ali znamenke smiju se ponavljati pa je broj mogućih varijaija veći

KOMBINACIJE 

!retpostavimo sada da o jednom razredu od 9* učenika treba odabrati dva predstavnika za Učenički parlament. U ovom slučaju opet ne mogu svi učenii biti izabrani (jer od njih 9* biramo samo 9) ali poredak nije bitan (jer oba člana parlamenta imaju jednake funkije). 'akle kombinaija nam na dva važna pitanja daje sljedeće odgovore (I/U svi elementi početnog skupa izabrani. !oredak izabranih elemenata (IJE bitan. @ kombinaije mogu biti #a ona&ljanjem i %e" ona&ljanja. +ombinaije bez ponavljanja od n elemenata k-te klase obilježavamo sa i računamo po formuli

+ombinaije sa ponavljanjem od n elemenata k3te klase (u oznai

8

) računamo formulom

'akle u na;em slučaju od 9* učenika biramo 9 pa su u pitanju kombinaije druge klase od 9* elemenata a njih ima ukupno

Primjer 0* a koliko se načina iz ;pila od :9 karte mogu izvući E karte1 -d ukupno :9 karte mi biramo E. +ako ne mogu biti izabrane sve karte i poredak nije bitan zaključujemo da su u pitanju kombinaije od :9 elementa četvrte klase bez ponavljanja pa  je i odakle imamo da je

Kom%inacije %e" ona&ljanja U mnogim problemima prebrojavanja poredak izabranih elemenata nije bitan. >vaki izbor r različitih elemenata nekog n-članog skupa odre4uje jedan njegov podskup koji ima r elemenata nazivamo ga kombinaija r-tog razreda bez ponavljanja odn elemenata. 6roj kombinaija bez ponavljanja od elemenata r - tog razreda jednak je

Primjer 0* a koliko načina možemo odabrati dva elementa skupa

1

6udući da poredak elemenata nije bitan mogući su sljedeći izbori &9 9: :E E* &: 9E :* &E 9* &* 6roj kombinaija od * elemenata 9. razreda jednak je

'va elementa zadanog skupa možemo odabrati na &# načina. Primjer 1* a koliko se načina može izvući 7 brojeva i jedan dopunski broj u igri H-- 7 od :51 ajprije se izvlači 7 brojeva od :5. o se može napraviti na   načina. akon toga dopunski se broj može izvući izme4u preostala :9 broja na :9 načina.

9

Ukupan broj načina je

.

Kom%inacije # ona&ljanjem +ombinaije s ponavljanjem su kombinaije u kojima se elementi mogu ponavljati. 6roj kombinaija s ponavljanjem r Gtog razreda od n elemenata jednak je

Primjer 0*U trgovini se mogu kupiti banane jabuke i kru;ke. a koliko načina možemo kupiti 9 kg voća ako možemo kupiti po kilogram ponu4enog voća1 =ožemo kupiti 9 kg voća ( r %9). U ponudi su banane jabuke kru;ke ( n=:). !oredak odabranog voća nije bitan a možemo birati i samo jednu vrstu voća (elementi se mogu ponavljati). raženi broj je broj kombinaija s ponavljanjem od : elementa 9. razreda

Primjer 1* U vjećarnii se prodaju mini ruže ruže i ljiljani. a koliko načina je moguće napraviti buket od 5 vjetova1 U ponudi su : vrste vijeća ( n=:) formiramo buket od 5 vjetova ( r=5) možemo birati ponovo istu vrstu vijeća. 6uket možemo napraviti na načina.

7AKLJU89I >ve gore navedeno možemo smjestiti u jednu tabelu Da li # i"a%rani #&i elementi o+etno$ #ka,

Da li je %itan ore-ak me i"a%ranim elementima,

Formle "a ra+nanje Be" ona&ljanja

10

DA

DA

PER'UTA9IJE

/a ona&ljanjem

Be" ona&ljanja

(E

DA

VARIJA9IJE

/a ona&ljanjem Be" ona&ljanja

(E

(E

KO'BI(A9IJ E

/a ona&ljanjem

7a-aci "a &je;%: &. +oliko se dvoznamenkastih brojeva može napisati pomoću znamenaka &:*71 &< 9. +oliko se ;esteroznamenkastih brojeva može napisati od znamenki &&999:1 <# :. -d * rvenih i : žute (različite) ruže treba odabrati za buket : rvene i 9 žute ruže. a koliko načina možemo složiti buket1 :# E. +oliko permutaija elemenata skupa J&9:E*
U na;em slučaju imamo 11

'akle ;anse da na lotu dobijemo premiju su & u &*:,#5:7 ili & u preko &* miliona

12