1. УВОД У КОМБИНАТ КОМБИН АТОРИКУ ОРИКУ
Упознавање Упознавање са комбинаториком комбинаториком започнимо са некоико примера! "РИМ#Р "РИМ#Р 1. Бро$еве Бро$еве 1% 1% 1% &% &% &% '% '% ' распоре(ити распоре(ити ) по*а ква(ратне ква(ратне таби+е таби+е ' , '% тако (а $е збир бро$ева ) свако$ свако$ врсти% коони коони и (и$а-онаи $е(нак На коико коико разичити, начина начина $е мо-)/е извр0ити траени распоре( распоре( Нека $е траени збир бро$ева $е(нак бро$) 2. Та(а $е збир бро$ева и ) свако$ о( три врсте $е(нак 2% па $е збир сви, бро$ева ) таби+и '2. Како $е збир сви, (ати, (ати, бро$ева $е(нак 13% он(а $е '2 4 13% то $е 2 4 5. То значи (а $е ) $е(н) врст) коон)% ии (и$а-она) мо-) бити распоре6ени само бро$еви 1 7 & 7 ' ии & 7 & 7 &. &
'
1
&
1
'
'
1
&
1
'
&
1
&
'
'
&
1
1
&
'
'
&
1
'
1
&
1
'
&
&
'
1
&
1
'
Траени Траени распоре( $е мо-)/е извр0ити на четири приказана начина.
1
"РИМ#Р "РИМ#Р &. На коик коико о начина начина се ) по*а ква(ратн ква(ратнее таби+е таби+е 8 , 8 мо-) распоре(ит распоре(ити и бро$еви 9 1% : и 1% тако (а збир бро$ева ) свим врстама% коонама коонама и (и$а-онаама б)(е б)(е разичит Доказа/емо (а такав распоре( ни$е мо-)/. Наиме% на$мањи мо-)/и збир $е 9 8 ;та(а би ) сви, пет по*а бии )писани бро$еви 9 1<% а на$ве/и 8 ;та(а би ) сви, пет по*а бии )писан бро$еви 1<. Даке% сви сви мо-)/и мо-)/и збирови с) еементи ск)па { 98% 9=% ...% 91% :% 1% ...% =% 8 } и има и, )к)пно 11. Како таби+а има 8 врста% 8 коона и & (и$а-онае% то треба (обити 1& разичити, бро$ева ;збирова<% 0то $е са 11 мо-)/и,% т$. рапооиви, збирова% немо-)/е.
"РИМ#Р "РИМ#Р '. Коик Коико о разич разичити ити, , Морзе Морзеови ови, , знако знакова ва се мое мое конст констр) р)исат исати и помо помо/) /) тра(и+ионани, симбоа >>+рта>> и >>тачка>>% ако $е(ан Морзеов знак са(ри на$ви0е три +рте и три тачке & "РИМ#Р "РИМ#Р =.
Коик Коико о има се(мо+и?рен се(мо+и?рени, и, (ека(ни, (ека(ни, бро$ева чи$и $е произво( произво( +и?ара
паран "РИМ#Р "РИМ#Р 8. Коик Коико о комбин комбина+и$а а+и$а $е мо-)/е мо-)/е констр) констр)исати исати ) и-ри >>@ото> >>@ото>>%>% ако се $е(на комбина+и$а комбина+и$а о( A разичити, бро$ева бира из ск)па о( 'B приро(ни, бро$ева { 1% &% '% ...% 'B } "РИМ#Р 5. Коико има пето+и?рени, приро(ни, бро$ева ко$и при (е*ењ) са 1&'= (а$) коичник коичник $е(нак остатк) ос татк) Ко$и $е на$мањи% а ко$и на$ве/и о( ти, бро$ева "РИМ#Р A. Коико Коико има осмо+и?рени, бинарни, бро$ева
Ознаку користићемо као знак за крај примера, а ознаку ∆ за крај доказа. Решења осталих осталих датих примера примера биће дата у поглављима поглављима којима припадају припадају дати проблеми проблеми
1
&
У свако(невном ивот) веома често се с)сре/емо са питањима! На коико начина ... Коико разичити, комбина+и$а $е мо-)/е... Коико има мо-)/ности за ... Коико има ... Да и $е мо-)/е До о(-овора на наве(ена и сична питања на$че0/е се (оази кори0/ењем мето(ама $е(не о( на$интересантни$и, математички, на)ка ко$а се зове комбинаторика. Комбинаторика $е $е(на о( на$стари$и, математички, (ис+ипина ко$а се бави )ре6еним ии не)ре6еним распоре(има еемената (ати, ск)пова и пребро$авањем ти, распоре(а. Комбинаторика сво$им разноврсним мето(ама (а$е о(-оворе на се(е/а питања! 1< Да и $е траени распоре( еемената неко- ск)па )оп0те мо-)/ Ако ни$е мо-)/% он(а и (оказивањем (а траени распоре( не посто$и. &< Ако $е траени рапоре( еемената мо-)/% коико има разичити, распоре(а ко$и за(ово*ава$) (ате )сове '< Мо-) и се )очени распоре(и на неки начин каси?иковати% т$. мое и се (оби $ена каси?ика+и$а искористити за ра+ионани$е пребро$авање =< Мо-) и се )очени распоре(и оптимизирати% т$. мое и се прона/и она$ ко$и ) на$ве/о$ мери исп)њава траене )сове Комбинаторика ни$е само теори$ска на)ка. Cене мо-)/ности и практичне примене с) веома веике% $ер се комбинаторика )спе0но примењ)$е ) мно-им математичким (ис+ипинама ;теори$а вероватно/е% теори$а бро$ева% а-ебра% анаиза...<% аи и ) статисти+и% рач)нарств)% -енети+и% ,еми$и и мно-обро$ним свако(невним ивотним сит)а+и$ама. Упознавање са комбинаториком реаизова/емо кроз презента+и$) правиа пребро$авања% основне комбинаторне кон?и-)ра+и$е ;вари$а+и$е% перм)та+и$е% комбина+и$е ...<% као и биномн) и поиномн) ?орм)) и њи,ове примене% са извесним освртом на примен) комбинаторике ) рач)нарств).
ЗАДАЦИ ЗА УВЕЖБАВАЊЕ
1.
Да и $е мо-)/е бро$еве 1% 1% 1% &% &% &% '% '% ' распоре(ити ) по*а ква(ратне таби+е ' , '% тако (а $е ) свако$ врсти% коони и (и$а-они! а< збир бро$ева разичитD б< произво( бро$ева $е(накD в< произво( бро$ева разичит
&.
Распоре(и 3 топова на 0а,овск) таб) 3 , 3 тако (а се топови ме6)собно не напа(а$).
'.
Да и $е мо-)/е бро$еве 1% &% '% =% 8% 5% A% 3% B распоре(ити ) по*а ква(ратне таби+е ' , '% тако (а $е збир бро$ева ) свако$ врсти% коони и (и$а-онаи! а< $е(накD б< разичит
=.
У $е(но$ коони наази се &&& во$ника. Дозво*ено $е (а сво$а места замене само они во$ни+и ко$и има$) за$е(ничко- ком0и$) ) коони. Да и овакав систем промене места обезбе6)$е во$ник) ко$и се наази на заче*) кооне% (а се на6е на че) кооне
8.
Да и $е мо-)/е (а скакач поазе/и са ево- (оње- по*а ;а1< 0а,овске табе стане на свако о( остаа 5' по*а 0а,овске табе и (а сво$е кретање завр0и посе 5' потеза на! E< био ком по*) 0а,овске табеD б< (есном -орњем по*) 0а,овске табе ;h3<
2
1.1.
"РАВИ@О БИF#КGИF#
На$$е(ноставни$а мето(а пребро$авања коначни, ск)пова заснива се на примени би$ективно-
пресикавања'%
т$.
)спостав*ањ) 1H1
кореспон(ен+и$е
изме6) еемената
пребро$авано- ;на$че0/е коначно-< ск)па А и ск)па В ко$и пре(став*а неки о( по(ск)пова ск)па приро(ни, бро$ева. Iесто се користи и обрн)ти пост)пак! по(ск)п ск)па приро(ни, бро$ева се пресикава ) (ати ск)п. "РИМ#Р 3. Коико има тро+и?рени, приро(ни, бро$ева Нека $е А 4 { 1::% 1:1% 1:&% ... % BB3% BBB } ск)п сви, тро+и?рени, бро$ева .
Уочимо би$ек+и$) f
1:: 1:1 1:& ... BBA BB3 BBB 1 & ' ... 3B3 3BB B:: .
Из )очене би$ек+и$е $е $асно (а ск)п А има тачно B:: еемената% $ер се би$ективним пресикавањем f ; x< 4 x 9 BB% ск)п А пресикава ) ск)п В% при чем) $е В 4
⊂ J% т$. В $е ск)п први, B:: приро(ни, бро$ева.
{ 1% &% '% ...% 3BB% B:: }
"РИМ#Р B. Дат $е низ бро$ева '% A% 11% 18% ...% &::'% &::A% &:11. Коико чанова има (ати низ
Уочавамо би$ек+и$) f
'
' A 11 ... &::' &::A &:11 = 3 1& ... &::= &::3 &:1&
% -(е $е f ; x< 4 x 7 1.
Подсећамо да за пресликавање f каемо да је бијек!ија, ако је f истовремено и ""#$#"" и ""на"" пресликавање.
%
Новом би$ек+и$ом
K
= 3 1& ... &::= &::3 &:1& 1 & ' ... 8:1 8:& 8:'
% -(е $е g( x '
x =
&
% (оби$а се (а
$е бро$ чанова (ато- низа $е(нак 8:'% $ер $е очи-е(но $е (а (ати низ има еемената коико и низ =% 3% 1&% ...% &::=% &::3% &:1&% а опет ова$ низ исти бро$ чанова као низ 1% &% '% ... 8:&% 8:'. Ни$е те0ко показати (а се ?)нк+и$ом
; <
s x
x
=
+
1
=
мое )споставити (иректна
кореспо(ен+и$а низа '% A% 11% ... % &::A% &:11 и низа 1% &% '% ... % 8:&% 8:'.
Наве(ени примери нам омо-)/)$) (а ?орм)и0емо ПРАВИЛО БИЈЕКЦИЈЕ:
пресикавање f ! А
Нека с) А и В (ва непразна ск)па. Ако посто$и би$ективно
→ В% он(а $е А 4 В % т$. бро$ еемената ск)па А $е(нак $е бро$) еемената
ск)па В.=
{1% &% '% ...% n 9 1% n} ;n ∈ Ν< и ако посто$и би$ективно пресикавање f ! А → В% он(а $е А 4 В 4 n. ПОСЛЕДИЦА 1 ! Ако $е А 4
"РИМ#Р 1:. Коико има приро(ни, бро$ева ко$и при (е*ењ) са =' (а$) коичник $е(нак остатк) Ко$и $е на$мањи% а ко$и на$ве/и о( ти, бро$ева Ако $е коичник при (е*ењ) (ато- бро$а са =' $е(нак к% он(а траени бро$еви има$) обик ='к 7 к 4 ==к ;к ∈ Ν<. Како остатак не мое бити ве/и о( (еио+а% то $е : L к L ='% па $е А 4
{1% &% '% ... % =& } и f ; х< 4 == х. Даке% (оби$амо би$ективно пресикавање
f
1 ==
33 1'& . . 13:= 13=3 & ' . . =1 =&
.
Из )очено- пресикавања $е $асно (а такви, бро$ева има )к)пно =&. На$мањи о( њи, $е == ко$и при (е*ењ) са =' (а$е коичник 1 и остатак 1% а на$ве/и о( њи, $е 13=3 ко$и при (е*ењ) са =' има коичник =& и остатак =&.
Из прет,о(ни, примера $асно $е (а $е правио би$ек+и$е вро примењиво при пребро$авањ) коначни, ск)пова и (а $е практично на$ве/и пробем (е?инисати би$ек+и$) ко$а
{1% &% ... % n 9 1% n} пресикава ) траени% ии обрн)то% траени ск)п пресикава ) {1% &% ... % n 9 1% n}. ск)п
=
&
)ко је Х неки скуп онда је Х ознака за број елемената скупа Х.
ЗАДАЦИ ЗА УВЕЖБАВАЊЕ
5.
Коико има (во+и?рени, прости, бро$ева са особином (а $е и бро$ ко$и се пи0е истим +и?рама ) обрн)том распоре() тако6е прост
A.
Коико има непарни, четворо+и?рени, бро$ева
3.
Коико има пето+и?рени, бро$ева ко$и се чита$) с ева ) (есно $е(нако као с (есна ) ево ;на пример A3B3A ии 55&55 ии 8:B:8<
B.
Коико има четворо+и?рени, приро(ни, бро$ева ко$и с) (е*иви са A Ко$и о( њи, $е на$мањи% а ко$и на$ве/и
1:. Коико чанова има низ! 1% &% =% 3% 15 ...% &:=3% =:B5 11. Коико има пето+и?рени, приро(ни, бро$ева ко$и при (е*ењ) са 1&'= (а$) коичник $е(нак остатк) Ко$и $е на$мањи% а ко$и на$ве/и о( ти, бро$ева
1.&.
"РАВИ@О "РОИMВОДА
"равио произво(а $е вероватно на$кори0/ени$и комбинаторни прин+ип и о(носи се на пребро$авање еемената Декартово- произво(а (ва ии ви0е коначни, ск)пова. 8 И ово правио /емо на$пре и)стровати о(-овара$)/им и $е(ноставним примерима. "РИМ#Р 11. Из Ново- Nа(а (о Бео-ра(а се а)томобиом мое (оп)товати на ' начина% а из Бео-ра(а се (о Ни0а мое (оп)товати на = начина. На коико разичити, начина се мое из Ново- Nа(а (оп)товати ) Ни0% п)т)$)/и при том преко Бео-ра(а Нека о( Ново- Nа(а (о Бео-ра(а во(е п)теви 1% & и '% а о( Бео-ра(а (о Ни0а п)теви =% 8% 5 и A ;као 0то $е то приказано на наре(но$ си+и<.
8
*екаров производ непразних скупова А и В је скуп А х В + { (х, у' х∈ А и у∈В }.
Нека )ре6ена (во$ка ; х% у< пре(став*а $е(ан о( мо-)/и, п)тева о( Ново- Nа(а (о Ни0а% при чем) први ееменат )ре6ене (во$ке х означава п)т о( Ново- Nа(а (о Бео-ра(а% а (р)-и ееменат )ре6ене (во$ке п)т о( Бео-ра(а (о Ни0а. Он(а се све мо-)/ности п)товања о( НовоNа(а (о Бео-ра(а (е?инисане )ре6еним (во$кама! ;1% =< ;1% 8< ;1% 5< ;1% A< ;&% =< ;&% 8< ;&% 5< ;&% A< ;'% =< ;'% 8< ;'% 5< ;'% A< 5 Fасно $е (а (а први п)т бирамо на ' начина% (р)-и на = начина% а п)т о( Ново- Nа(а (о Ни0а на ' ⋅ = 4 1& начина. Fасно $е и (а с) побро$ани )ре6ени парови еемени Декартовопроизво(а ск)пова А 4 {1% &% '} и В 4 {=% 8% 5% A }.
"РИМ#Р 1&. Коико има (во+и?рени, приро(ни, бро$ева такви, (а +и?ра (есети+а припа(а ск)п) А 4 {1% &% ' }% а +и?ра $е(ини+а припа(а ск)п) В 4 {=% 8% 5% A } Ни$е те0ко )очити (а посто$и анао-и$а са прет,о(ним примером. Наиме ако ) )оченим )ре6еним паровима избри0емо зарез (оби/емо све траене бро$еве! 1=% 18% 15% 1A% &=% &8% &5% &A% '=% '8% '5% 'A. "ри том прв) +и?р) ;+и?р) (есети+а< бирамо на ' начина% (р)-) +и?р) ;+и?р) $е(ини+а< бирамо на = начина% а (во+и?рени бро$ на ' ⋅ = 4 1& начина.
"РИМ#Р 1'. На пои+и се наази 1: књи-а из обасти математике% 13 књи-а из обасти рач)нарства и A књи-а из обасти спорта. Oе*ко еи (а на -о(и0њи о(мор понесе по $е(н) књи-) из сваке обасти. Коико разичити, мо-)/ности за то има Књи-) из обасти математике Oе*ко мое о(абрати на 1: начина% књи-) из обасти рач)нарства на 13 начина% а књи-) из обасти спорта на A начина. "рема томе по $е(н) књи-) из сваке обасти Oе*ко мое искомбиновати на 1: ⋅13⋅A 4 1&5: начина.
На основи изоени, примера ?орм)и0емо ПРАВИЛО ПРОИЗВОДА:
Нека с) А1% А&% ... % Аn непразни ск)пPви и нека $е бро$
еемената (ати, ск)пова ре(ом a1% a&% ... %an . Та(а $е А1 , А& , ... , Аn 4 А1
⋅ А& ⋅ ... ⋅ Аn 4
a1 ⋅ a& ⋅ ... ⋅ an. "РИМ#Р 1=. На оимпи$ском р)кометном т)рнир) )честв)$е 1& екипа. На коико начина се на оимпи$ском р)кометном т)рнир) мо-) осво$ити ме(а*е Mа затн) ме(а*) конк)ри0е 1& екипа. Mа сребрн) ме(а*) 11 екипа% $ер осва$ач затне ме(а*е ни$е ) конк)рен+и$и. Mа бронзан) ме(а*) конк)ри0е 1: екипа ;практично све осим (ве
5
-
*обијене двојке су елементи *екаровог производа скупова ) + {#, 2, %} и В = {&, , -, }
ко$е би осво$ие затн)% о(носно сребрн) ме(а*)<. Ме(а*е се мо-) по(еити на 1& ⋅11⋅1: 4 1'&: начина.
"РИМ#Р 18. Коико има (есето+и?рени, бро$ева чи$е с) све +и?ре разичите Mа прв) +и?р) има B кан(и(ата ;$ер : не мое бити прва +и?ра<. Mа (р)-) +и?р) има B кан(и(ата ;све осим прве +и?ре<. Mа тре/) +и?р) има 3 кан(и(ата ;све +и?ре из)зев прве (ве<... Mа претпосе(њ) +и?р) има &% а за посе(њ) само 1 кан(и(ат. Ре0ење $е B ⋅B⋅3⋅A⋅5⋅8⋅=⋅'⋅&⋅1 4 B⋅BQ A
ЗАДАЦИ ЗА УВЕЖБАВАЊЕ
1&. Коико има тро+и?рени, приро(ни, бро$ева са особином (а $е +и?ра стотина прост бро$% +и?ра (есети+а соен бро$% а +и?ра $е(ини+а бро$ ко$и $е (е*ив са = 1'. На коико начина се на 8 н)мерисани, стои+а А% В% N% R и # мое сместити! а< ' особеD б< 8 особаD в< A особа% ако на $е(но$ стои+и се(и само $е(на особа 1=. Sи?ра за комп$)тер са(ри 3 симбоа о( ко$и, с) први, 8 симбоа сова% а посе(ња ' симбоа +и?ре. Коико се разичити, комп$)терски, 0и?ри мое констр)исати по( тим )совима 18. Коико има пето+и?рени, приро(ни, бро$ева чи$е с) +и?ре еементи ск)па N 4 { :% 1% '% =% 5% B} ако се +и?ре! а< мо-) понав*атиD б< ако се +и?ре не мо-) понав*ати. 15. "о распоре()% (анас с) пре(ви6ени се(е/и часови! математика% истори$а биоо-и$а% ?изика% ин?орматика и ,еми$а. На коико се разичити, начина мое направити распоре( часова
1.'.
"РАВИ@О MБИРА
"равио збира $е тако6е (оста $е(ноставно и о(носи се на пребро$авање )ни$е (ва ии ви0е ск)пова ко$и с) (ис$)нктни.3 И ово правио /емо на$пре и)стровати примерима. "РИМ#Р 15.
На пои+и се наази 8 књи-а из обасти рач)нарства% 5 књи-а из
беетристике и = књи-е из обасти спорта. Ва(и+а на п)товање еи (а понесе (ве књи-е из разичити, обасти. На коико разичити, начина то мое (а )чини
A
3
Производ првих n узастопних природних бројева, тј производ # ⋅2⋅%⋅ ...⋅ (n$#'⋅n обелеава се са n/ и 0ита "" n 1акторијел"" Подсећамо да за скупове А и В каемо да су дисјунктни, ако је А ∩ В + ∅, тј. ако скупови А и В немају заједни0ких елемената.
>>Комбина+и$а>> о( (ве књи-е мое бити! рач)нарствоHбеетристика ии рач)нарствоH спорт ии беетристикаHспорт. Mа прв) >>комбина+и$)>> на основ) правиа произво(а има 8 ⋅5 4 ': начина% за (р)-) 8 ⋅= 4 &: начина и за тре/) 5 ⋅= 4 &= начина. Даке% )к)пан бро$ мо-)/ности $е ': 7 &: 7 &= 4 A=.
"РИМ#Р 1A. Коико има приро(ни, бро$ева мањи, о( &:11% такви, (а с) им све +и?ре $е(наке Нека $е А ск)п сви, (во+и?рени,% В ск)п сви, тро+и?рени,% а С ск)п сви, четворо+и?рени, бро$ева мањи, о( &:11 са особином (а с) им све +и?ре $е(наке. Та(а $е А 4 11% &&% ''% ...% 33% BB }% В 4
{
{ 111% &&&% '''% ...% 333% BBB } и С 4 { 1111 }. Како ск)п А са(ри B
бро$ева% ск)п В B бро$ева и ск)п С $е(ан бро$% то има B 7 B 7 1 4 1B бро$ева мањи, о( &:11 чи$е с) све +и?ре $е(наке.
Наве(ени примери нам омо-)/)$) (а ?орм)и0емо ПРАВИЛО ЗБИРА:
Нека с) А1% А&% ... % Аn непразни ск)пPви и нека $е бро$ еемената
(ати, ск)пова ре(ом a1% a&% ... % an . Ако с) А1% А&% ... % Аn (ис$)нктни ск)пови% т$. ако за ма ко$е ин(ексе i и j% 1 ≤ i% j ≤ n ;T
≠ U< ваи Аi ∩ А j 4 ∅ % та(а $е А1 ∪ А& ∪ ... ∪ Аn 4 А1 7 А& 7 ...
7 Аn 4 а1 7 а& 7 ... 7 аn. И)стра+и$а -орње- правиа (ата $е на и наре(но$ си+и.
а& а1
Аn аn
А& А1 "РИМ#Р 13. Коико има тро+и?рени, парни, приро(ни, бро$ева чи$и $е збир +и?ара непаран Како $е бро$ паран ако $е посе(ња +и?ра парна% он(а посто$е (ве мо-)/ности ко$е симбоички запис)$емо као! "Н" ;парна% непарна% парна< и Н"" ;непарна% парна% парна<. У првом с)ча$) има = ⋅8⋅8 4 1:: тро+и?рени, бро$ева ;$ер н)а не мое бити прва +и?ра<% а ) (р)-ом с)ча$) има 8 ⋅8⋅8 4 1&8 тро+и?рени, бро$ева. На основ) правиа збира (оби$а се (а парни, тро+и?рени, бро$ева са непарним збиром +и?ара има 1:: 7 1&8 4 &&8.
Наре(на посе(и+а се()$е (иректно из "равиа збира. ПОСЛЕДИЦА 2! Нека $е А 4 А1
∪ А& ∪ ... ∪ Аn и нека $е А 4 а и Аi 4 аi. Та(а $е
бро$ еемената компемента ск)па Аi ) о(нос) на ск)п А $е(нак а 9 аi . B
B
куп Аi и његов комплемент у односу на скуп А су дисјунктни скупови
3
"РИМ#Р 1B. Коико има пето+и?рени, приро(ни, бро$ева ко$и ) свом (ека(ном запис) са(ре бар $е(н) +и?р) A Nк)п пето+и?рени, бро$ева $е )ни$а ск)па пето+и?рени, бро$ева ко$и са(ре +и?р) A и ск)па пето+и?рени, бро$ева ко$и не са(ре +и?р) A. Уочени ск)пови с) (ис$)нктни.
4555 5
пето!и1рени пето!и1рени бројеви који бројеви који не садре ни садре бар једну !и1ру једну !и1ру 6
2&33
"ето+и?рени, бро$ева има B ⋅1:⋅1:⋅1:⋅1: 4 B: :::. "ето+и?рени, бро$ева ко$и не са(ре ни $е(н) +и?р) A има 3 ⋅B⋅B⋅B⋅B 4 8& =33% $ер прва +и?ра не мое бити : ни A% а преостае четири +и?ре не мо-) бити се(ми+е. Даке% пето+и?рени, бро$ева ко$и са(ре бар $е(н) +и?р) A има B: ::: 9 8& =33 4 'A81&.
"РИМ#Р &:. Коико има приро(ни, бро$ева мањи, о( 1::: чи$и $е произво( +и?ара &= Мо-)/и произво(и +и?ара с)! ' ⋅3% =⋅5% 1⋅'⋅3% 1⋅=⋅5% &⋅&⋅5 и &⋅'⋅=. Траени, бро$ева има &;1⋅&< 7 =;'⋅&⋅1< 4 = 7 &= 4 &3. ЗАДАЦИ ЗА УВЕЖБАВАЊЕ
1A. Коико има четворо+и?рени, непарни, бро$ева чи$и $е збир +и?ара паран 13. У врсти с) распоре6ени = (ечака и = (ево$чи+е% аи тако (а се изме6) свака (ва (ечака наази (ево$чи+а. Коико разичити, распоре(а има 1B. Коико има четворо+и?рени, приро(ни, бро$ева са разичитим +и?рама% такви, (а им $е збир +и?ара 1: &:. Коико има VHто+и?рени, приро(ни, бро$ева чи$е с) све +и?ре разичите ко( ко$и, $е збир +и?ара $е(нак =8 &1. Коико има 0есто+и?рени, приро(ни, бро$ева чи$и $е произво( +и?ара паран &&. Коико има се(мо+и?рени, бро$ева са разичитим +и?рама ко( ко$и, с) +и?ре ' и = $е(на (о (р)-е ;био ) поретк) '= ии поретк) ='<
4
1.=.
"РАВИ@О УКWУI#CА H ИNКWУI#CА
"равио збира $е третирао бро$ еемената )ни$е (ис$)нктни, ск)пова. "остав*а се питање 0та% ако (ати ск)пови нис) (ис$)нктни Nит)а+и$) пребро$авања )ни$е (ва ии ви0е ск)пова ко$и нис) (ис$)нктни ре0ава правио )к*)чења 9 иск*)чења. Као и ) прет,о(ним с)ча$евима и ово правио /емо на$пре и)стровати примерима. "РИМ#Р &1.
На $е(но$ на)чно$ кон?ерен+и$и ра( се о(ви$ао ) (ве сек+и$е! за
математик) и ин?орматик). Nек+и$а за математик) $е имаа 1:: )чесника% а сек+и$а за ин?орматик) 3: )чесника. Коико $е на то$ на)чно$ кон?ерен+и$и био )чесника% ако $е познато (а с) &= )чесника )чествоваи ) ра() и $е(не и (р)-е сек+и$е
#5
Нека $е А ск)п )чесника математичке кон?ерен+и$е% а В ск)п )чесника ин?орматичке кон?ерен+и$е. Та(а $е збо- )сова за(атка
А 4 1::% В 4 3: и А ∩ В 4 &=. Очи-е(но $е
)к)пан бро$ )чесника на)чне кон?ерен+и$е $е(нак ;1:: 9 &=< 7 &= 7 ;3: 9 &=< 4 1:: 7 85 4 185.
: аb-х 2пробем )оп0тимо х Ако прет,о(ни он(а из (оби$ено- Веново(и$а-рама се(и! А
-
&
-
х
4 ;а 9 х< 7 х 7 ;b 9 х< 4 а 7 b 9 х 4 #55 ?орм)и0емо
∪ В
А 7 В 9 А ∩ В ;сика (есно<. На основ) то-а
3 5
)
ПРАВИЛО УКЉУЧЕЊА - ИСКЉУЧЕЊА (ЗА ДВА СКУПА): Нека с) А, В и А
∩В
непразни ск)пPви. Та(а $е А ∪ В 4 А 7 В 9 А ∩ В . 1: "РИМ#Р &&. Коико има приро(ни, бро$ева мањи, ии $е(наки, 1::: кP$и нис) (е*иви ни са &% ни са ' ни са 8 Нека $е А ск)п сви, бро$ева мањи, ии $е(наки, 1::: ко$и с) (е*иви са &% В ск)п сви, бро$ева (е*иви, са '% а С ск)п сви, бро$ева (е*иви, са 8. Бро$ева ко$и с) (е*иви са &% ' и 8% т$. ко$и с) (е*иви са ': има ''. Бро$ева ко$и с) (е*иви са & и '% а нис) (е*иви са 8 има 155 9 '' 4 1''. Бро$ева ко$и с) (е*иви са & и 8% а нис) (е*иви са ' има 1:: 9 '' 4 5A. Бро$ева ко$и с) (е*иви са ' и 8% а нис) (е*иви са & има 55 9 '' 4 ''. Бро$ева ко$и с) (е*иви са &% а нис) (е*иви са ' и 8 има &5A% бро$ева ко$и с) (е*иви са '% а нис) (е*иви са & и 8 има 1'=% а бро$ева ко$и с) (е*иви са 8% а нис) (е*иви са & и ' има 5A. Даке% бро$ева ко$и с) (е*иви са & ии ' ии 8 има 8:: 7 5A 7 '' 7 1'= 4 A'=. Та(а приро(ни, бро$ева ко$и нис) (е*иви ни са &% ни са '% ни са 8 има 1::: 9 A'= 4 &55. ) 55 2 #%% - % % #% % - & %
: %%%
%%% 255 255
Анао-и$а са прет,о(ним примером нам омо-)/)$е (а изве(емо "равио )к*)чењаH иск*)чења за три ск)па. Из (ато- Веново- (и$а-рама се(и
А ∪ В ∪ С 4 А ∪ В ∪ С 4 А ∪ В ∪ С 4 А ∪ В ∪ С 4 А ∪ В ∪ С 4 1:
а + b + с + d + е + f + g ;а + d + е + g < + b + с + f
A 7 ;b + d + f + g < + c – d – g A 7 B 7 ;с + е + f + g < 9 d 9 g 9 X H f - g A 7 B 7 С 9 ;d 7 g < 9 ;e 7 g < H f – g + g
7з изведене 1ормуле се јасно види да је правило з8ира, само спе!ијални слу0ај правила укљу0ења 9 искљу0ења, јер се у слу0ају да је А ∩ В + ∅, до8ија правило з8ира
##
А ∪ В ∪ С 4 A 7 B 7 С 9 А ∩ В H A ∩ С H ; f + g < + g А ∪ В ∪ С 4 A 7 B 7 С 9 А ∩ В 9 A ∩ С 9 В ∩ С 7 A ∩ В ∩N . ПРАВИЛО УКЉУЧЕЊА - ИСКЉУЧЕЊА (ЗА ТРИ СКУПА):
Нека с) А, В и С непразни ск)пPви. Та(а $е
А ∪ В ∪ С 4 A 7 B 7 С 9 А ∩ В 9 A ∩ С 9 В ∩ С 7 A ∩ В ∩N .11 ЗАДАЦИ ЗА УВЕЖБАВАЊЕ
&'. Коико има тро+и?рени, приро(ни, бро$ева ко$и с) парни ии има$) све разичите +и?ре &=. Коико има петоро+и?рени, бро$ева ко$и с) парни ии се $е(нако чита$) с ева ) (есно% као и с (есна ) ево &8. У $е(но$ ст)(и$ско$ -р)пи има 8B ст)(ената% о( ко$и, &A -овори немачки% ': -овори ?ран+)ски% а '' -овори ен-ески $език. "ознато $е и (а 11 ст)(ената -овори ен-ески и немачки% 1' ст)(ената ?ран+)ски и ен-ески% а 1& ст)(ента немачки и ?ран+)ски $език. Коико ст)(ената -овори сва три $езика Коико ст)(ената -овори само ен-ески $език. &5. Коико има пето+и?рени, бро$ева ко$и нис) (е*иви са A% 11 и 1' &A. Yорм)и0и правио )к*)чења иск*)чења за! а< = ск)паD Z< V ск)пова. &3. Дати с) бро$еви 1% &% '% =% 8% 5% A. Коико има распоре(а (ато- низа бро$ева ) нови низ ) ко$има $е бар $е(ан о( бро$ева! а< 1% &% 'D б< 1% &% '% = на свом почетном мест)
1.5. ПРЕПОРУЧУЈЕМО ДА ПРОЧИТАТЕ
[1] "аве Ма(енови/! Комбинаторика% Др)0тво математичара Nрби$е% Бео-ра(% &::1. [ О пре(мет) комбинаторике ;страна 8H5< [ Доказ правиа произво(а ;страна '<.
[&] Ратко То0и/! Комбинаторика% Универзитет ) Новом Nа()% Нови Nа(% 1BBB. [ "ре(-овор [ Основни прин+ипи ;страна AH1=< [ Речи ;страна 18H1A< [ Топови на 0а,овско$ таби ;страна 13H1B<
['] \E]X^ _. _V`еa^PV! Дискретна математика са комбинаториком G#Т Бео-ра(% Бео-ра( &::8 [ Основни прин+ипи пребро$авања ;страна '58H'A'< [ Уво( ) прин+ип )к*)чења 9 иск*)чења ;страна 'A'H'3:<.
[=] 11
#2
bccd!eeXV.fTgTdX`TE.PaKefTgTehP]ZTVEcPaTi^ 7з изведене 1ормуле се јасно види да је правило з8ира, само спе!ијални слу0ај правила укљу0ења 9 искљу0ења, јер се у слу0ају да је су А, В и С дисјунктни, до8ија правило з8ира
1.. ДА ! "Е ПИТАЊА
&B. Nкакач ника(а не мое оби/и сва по*а 0а,овске табе ' , ' ':. Бро$еви 1% &% '% =% 8% 5% A% 3% B се мо-) распоре(ити ) по*а ква(рата ' , '% тако (а $е произво( бро$ева по врстама% коонама и (и$а-онаама $е(нак '1. Ме6) бро$евима мањим о( 1::: ви0е $е прости, не-о соени, бро$ева '&. Низови 1% &% =% ... % 81&% 1:&= и '% 5% B% ... % ':% '' има$) $е(нак бро$ чанова ''. Ако се ба+а$) (ве ко+ке за и-р) >>j_kl>> бро$ мо-)/и, ис,о(а $е '5 '=. Iетворо+и?рени, бро$ева обика ABBAима 1:: '8. "арни, (во+и?рени, бро$ева има 8: '5. Бинарни, бро$ева мањи, о( 1::::: има '& 'A. У српском $език) $е мо-)/е констр)исати 3A: разичити ини+и$аа '3. Дво+и?рени, бро$ева чи$и $е произво( +и?ара паран има 58 'B. Тро+и?рени, бро$ева ко$и с) (е*иви са & ии ' има 5:: =:. Ме6) пето+и?реним бро$евима ви0е $е они, чи$и $е произво( +и?ара н)а% не-о они, чи$и произво( +и?ара ни$е н)а
1.A.
ОДАБРА"И ЗАДАЦИ
=1. Дата $е 0а,овска таба 8 , 8. Да и $е мо-)/е (а скакач ко$и се наази ) (оњем евом )-) табе ) наре(на &= потеза оби6е +е) 0а,овск) таб) =&. Да и мо-)/е еементе ск)па
{H&% H 1% :% 1% & } распоре(ити ) по*а ква(рата
8 , 8% тако (а се сваки еменат )потреби тачно пет п)та% при чем) $е ) свако$ коони% врсти и (и$а-онаи! а< збир бро$ева $е(накD б< збир бро$ева разичитD в< произво( бро$ева $е(нак. ='. Коико се на$ви0е! а< (амаD б< ова+а ;ко$и се кре/) по беим по*има< мое поставити на 0а,овск) таб) 3 , 3% тако (а се ме6)собно не напа(а$) ==. Коико еемената има низ!
&A% '1% '=% ... % 888&% 8888 Ко$и бро$ $е ,и*а(ити чан (ато-
низа =8. Да и $е ви0е приро(ни, бро$ева мањи, о( 1::: чи$и $е збир +и?ара $е(нак 1'% ии $е ви0е такви, приро(ни, бро$ева чи$и $е збир +и?ара $е(нак 1= =5. На коико начина се мое направити списак ко$и са(ри A ст)(ената
#%
=A. На вр, панине во(и 8 п)тева. На коико начина се мое п)тем попети на вр, и си/и ) по(но$е! а< Ако ни$е ваан ре(осе( (оаска и повраткаD б< Ако се п)т (оаска и повратка разик)$)D в< Ако се о(азак и повратак ор-аниз)$е истим п)тем =3. Коико има осмо+и?рени, бро$ева обика
ABCCBA
1&
=B. Коико +и?ара $е потребно за н)мера+и$) књи-е ко$а има === стране Коико страна има к*и-а за чи$) н)мера+и$) $е )потреб*ено &:11 +и?ара 8:. Коико разичити, (еиа+а )к*)ч)$)/и 1% и само- себе има приро(ан бро$ n ! &8 ⋅ '= ⋅ 8& 81. Коико има четворо+и?рени, бро$ева чи$и $е збир +и?ара ве/и о( '' 8&. Коико има тро+и?рени, приро(ни, бро$ева чи$и $е произво( +и?ара 5= 8'. Коико има приро(ни, бро$ева ко$и с) (е*иви са = чи$и $е произво( +и?ара $е(нак &= 8=. Дати с) ск)пови А 4 { A% 1'% ... % &::8% &:11
} и В 4 { &:1&% &::3% ... % ==% =: }. Коико
еемената има$) ск)пови А ∩ В и А ∪ В 88. Коико има приро(ни, бро$ева (е*иви, са 11 чи$е с) све +и?ре разичите% такви, (а $е збир њиови, +и?ара $е(нак а< ==D б< ='D в< =& 85. Коико има приро(ни, бро$ева ко( ко$и, с) све +и?ре разичите% при чем) ме6) траене бро$еве спа(а$) и $е(но+и?рени бро$еви 8A. Коико има nHто+и?рени, приро(ни, бро$ева ко( ко$и, $е произво( +и?ара $е(нак = 83. Коико има nHто+и?рени, приро(ни, бро$ева ко( ко$и, $е произво( +и?ара паран бро$ 8B. Коико има приро(ни, бро$ева мањи, о( 1::: ::: ) чи$ем запис) нико$е (ве с)се(не +и?ре нис) $е(наке 5:. Ме6) математичарима има Am ин?орматичара% а ме6) ин?орматичарима 1:m матемаH тичара. Ко $е бро$ни$и! математичари ии ин?орматичари 51. Коико пето+и?рени, приро(ни, бро$ева почиње +и?ром ' и завр0ава се +и?ром 8% ии са(ри +и?р) A
1&
#&
Ре0 (мое и ре0ени!а' или број који се једнако 0ита с лева у десно, као с десна улево, зову се палиндоми. Пимери палиндрома су; ре0 )<), ре0ени!а =)>? @?*? @?>)=, број 2%&%2
