Mata Pelajaran : Matematika Kelas : IX/Semester 1 Penulis: Addin Grahaddin Affandi, S.Si.
Standar Kompetensi: Kompetensi: Menggunakan aturan statistika, kaidah k aidah pencacahan, dan sifat s ifat-sifat -sifat peluang dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar: Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah
Inspiratio
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali dihadapkan pada permasalahan menentukan banyaknya cara yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Perhatikan beberapa pernyataan berikut ini: 1.
Berapa banyaknya susunan yang dapat terjadi apabila 5 orang siswa akan berbaris secara berderet?
2.
Pada suatu acara rapat OSIS yang berlangsung di suatu ruangan dihadiri oleh 40 siswa. Apabila setiap peserta rapat berjabat tangan sebanyak satu kali den gan yang lainnya, berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi di ruangan tersebut?
3.
Dari 10 orang siswa di kelas XI akan dipilih 3 orang pelajar berprestasi. Ada berapa banyak kemungkinan susunan yang akan terpilih?
Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, dapat digunakan kombinatorika , yaitu suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang menentukan banyaknya cara menyusun, memilih, atau mengkombinasikan obyek-obyek.
1|math “
the explorer”
Eureka A. Aturan Pengisian Tempat Metode yang paling sederhana dalam kaidah pencacahan yaitu dengan aturan pengisian tempat. Aturan pengisian tempat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu diagram pohon, tabel silang, dan pasangan terurut.
Andi, Budi, dan Carli dicalonkan untuk menjadi ketua OSIS, sedangkan Citra dan Nita dicalonkan menjadi ketua MPK. Pembina OSIS akan mempertimbangkan banyaknya susunan pasangan yang dapat terjadi. a. Buatlah diagram pohon permasalahan di atas.
b. Buatlah tabel silang permasalahan di atas. Ketua
Wakil Ketua Citra
Nita
Andi Budi Carli c. Apabila M = {Andi, Budi, Carli} dan N = {Citra, Nita}, buatlah pasangan terurut permasalahan di atas.
B. Prinsip Penjumlahan Pada suatu kejadian yang tidak berangkai (saling lepas), apabila kejadian I dapat dilakukan dengan m cara, dan kejadian II dapat dilakukan dengan n cara, maka keseluruhan kejadian tersebut dapat dilakukan dengan (m + n ) cara.
Abdullah akan melakukan perjalanan dari kota A ke kota B. Dia akan menentukan rute yang akan dipilihnya. Apabila melalui kota C perjalanan dapat ditempuh dengan 3 cara, sedangkan melalui kota D dapat ditempuh dengan 2 cara. a. Apakah kejadian memilih rute perjalanan dari Kota A ke Kota B melalui Kota C atau Kota D merupakan kejadian saling lepas? Catatan : Kejadian saling lepas adalah kejadian yang tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. b. Berapa banyaknya pilihan rute perjalanan yang dimiliki Abdullah?
2|m ath “
the explorer”
B. Prinsip Perkalian Pada suatu kejadian yang berangkai, apabila kejadian I dapat dilakukan dengan m cara, dan untuk setiap cara pada kejadian I, kejadian II dapat dilakukan dengan n cara, maka keseluruhan kejadian tersebut dapat dilakukan dengan (m n ) cara.
Perhatikan kembali permasalahan menentukan Ketua dan Wakil Ketua OSIS. a. Apakah kejadian pemilihan ketua dan wakil ketua OSIS merupakan kejadian berangkai? Catatan : Kejadian berangkai adalah kejadian yang terjadi dalam satu rangkaian kejadian (tidak bisa dipisahkan satu sama lain). b. Berapa banyaknya cara memilih ketua OSIS? c. Untuk setiap ketua yang terpilih, berapa banyaknya cara memilih wakil ketua? d. Berapa banyaknya cara memilih ketua dan wakil ketua?
Eksplorasi
Contoh
Cobalah…!!!
Perhatikan diagram di bawah. Kota A, B, C, dan D adalah kota-kota di suatu daerah yang dihubungkan oleh beberapa jalan. Berapa banyak rute berbeda yang dapat ditempuh dari A ke B, apabila C a. melalui kota C A b. melalui kota D B c. melalui kota C atau D.
Tentukan banyaknya cara bilangan 3angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 0, 1, 3, 4, 5, 8, dan 9, apabila a. setiap angka hanya boleh digunakan sekali. b. merupakan bilangan berlainan yang genap. c. merupakan bilangan berlainan yang kurang dari 450
Jawab:
a.
b.
c.
D
Banyaknya rute berbeda dari kota A ke B melalui kota C merupakan kejadian yang berangkai, sehingga memenuhi prinsip perkalian. 2 × 2 = 4 rute AC CB Banyaknya rute berbeda dari kota A ke B melalui kota D merupakan kejadian yang berangkai, sehingga memenuhi prinsip perkalian. 2 × 3 = 6 rute AD DB Banyaknya rute berbeda dari kota A ke B melalui kota C atau D merupakan kejadian yang tidak berangkai, sehingga memenuhi prinsip penjumlahan. 4 + 6 = 10 rute
3|m ath “
the explorer”
Contoh
Dalam berapa cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu tidak pernah berdampingan? Jawab:
Banyaknya cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris (tanpa ada syarat), 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara Banyaknya cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu selalu duduk berdampingan, (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) = 48 cara Banyaknya cara 5 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu tidak pernah berdampingan, 120 – 48 = 72 cara
4|m ath “
the explorer”
Cobalah…!!! Dalam berapa cara 6 buku yang berbeda dapat disusun pada sebuah rak buku sehingga 3 buku selalu bersama-sama.
LATIHAN MANDIRI 1
Soal Pemahaman 1. 2.
3.
4. 5.
6.
7. 8. 9.
10.
11.
12.
13.
14.
Sebuah dadu dan satu koin dilantunkan secara bersamaan. Buatlah tabel silang yang menyatakan seluruh kemungkinan yang dapat terjadi. Sebuah keranjang berisi bola biru bernomor 1 sampai 3, bola hijau bernomor 1 sampai 2, dan bola merah bernomor 1 dan 2. Gambarkan diagram pohon yang menyatakan seluruh kemungkinan yang terjadi apabila diambil 2 bola dalam keranjang tersebut. Dari kota A ke kota B dapat dilalui oleh 3 jalur berbeda dan dari B ke C dapat dilalui oleh 2 jalur yang berbeda. Gambarlah diagram pohon yang menyatakan seluruh jalur yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C melalui kota B. Buatlah pasangan terurut yang menyatakan seluruh kemungkinan yang dapat terjadi apabila dua buah koin dilantunkan secara bersamaan. Tentukan banyaknya cara yang mungkin untuk memilih kaos olah raga ukuran S, M, L, dan XL dengan warnanya yaitu biru, hijau, dan kuning. a. Menggunakan diagram pohon. b. Menggunakan tabel silang. c. Menggunakan pasangan terurut. Diantara kejadian berikut manakah yang merupakan kejadian yang saling lepas. a. Sebuah kesebelasan sepak bola yang kemasukan gol pada menit-menit terakhir dan memenangkan pertandingan. b. Seorang ibu yang melahirkan seorang bayi perempuan dan sepasang bayi kembar wanita pada hari yang sama. c. Jumlah mata dadu 8 pada hasil pelemparan dua buah dadu s ecara bersamaan Sebuah toko pakaian memiliki lima model jaket dan setiap model memiliki tujuh jenis warna. Apabila Siti mau membeli sebuah jaket, tentukan banyaknya cara dia membeli? Seorang siswa mempunyai pilihan 5 bahasa asing dan 4 ilmu pengetahuan. Dalam berapa cara ia dapat memilih 1 bahasa dan 1 ilmu pengetahuan? Seorang guru memiliki tiga celana warna biru, coklat, dan hitam, serta empat kemeja berwarna kuning, merah, hijau, dan putih. Berapa banyaknya pasangan warna celana dan baju yang dapat dipakai? Untuk mengisi ketua MPR, ketua DPR, dan presiden sebuah partai mengajukan 2 calon ketua MPR, 3 calon ketua DPR, dan 4 calon presiden. Berapa banyaknya cara mengisi ketiga posisi tersebut? Tiga orang laki-laki dan dua orang perempuan duduk dalam sebuah baris dengan aturan perempuan mendapat tempat duduk yang genap. Berapa banyak pengaturan posisi duduk yang mungkin dilakukan? Dalam berapa banyak urutan 5 gambar yang berbeda dapat diletakan dalam satu baris sehingga secara khusus diletakkan pada: a. tengah-tengah (pusat) b. salah satu ujung (tepi) Dalam berapa cara dua hadiah dapat diberikan kepada 10 kontestan, apabila kedua hadiah tersebut a. tidak boleh diberikan kepada orang yang sama b. boleh diberikan kepada orang yang sama Berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 0,1,2,3,4, dan 5?
5|m ath “
the explorer”
15. Dari angka-angka 0, 2, 4, 6, dan 8 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang nilainya lebih dari 103. Berapa banyak bilangan yang terjadi jika angka-angkanya tidak boleh berulang?
Soal Pemantapan 16. Dalam berapa cara 7 orang laki-laki dapat duduk dalam sebuah baris sehingga dua orang tertentu tidak pernah berdampingan? 17. Sebuah sekolah akan melakukan pemilihan ketua dan wakil ketua panitia LDKS. Ada 2 orang calon dari kelas X, 4 calon dari kelas XI, dan 3 orang calon dari kelas XII. Tentukan banyaknya cara memilih ketua dan wakil ketua OSIS apabila ketua harus mempunyai kelas yang lebih tinggi dari wakil ketua dan dari kelas yang berbeda. 18. Ada 5 orang naik mobil sedan (2 di depan dan 3 di belakang). Jika diantara mereka ada 3 orang yang dapat mengemudikan mobil, berapa banyaknya cara mereka duduk? 19. Dari A ke B ada 5 jalur, dari B ke C ada 2 jalur, dan dari C ke D ada 3 jalur. Seseorang ingin bepergian dari A ke D melalui B dan C pulang pergi. Berapa banyaknya cara seseorang melakukan perjalanan pulang pergi jika tidak boleh melalui jalur yang sama. 20. Tentukan banyaknya cara: a. lima surat dapat dikirimkan ke tiga kotak surat. b. tiga orang dapat masuk melalui lima pintu berbeda, jika setiap orang boleh melewati pintu yang sama. 21. Berapa macam susunan huruf yang dapat dibentuk oleh huruf-huruf pada kata PELUANG tanpa ada pengulangan, jika a. huruf ketiga adalah vokal? b. huruf kelima adalah konsonan? c. huruf kedua, keempat, dan keenam adalah vocal? 22. Berapa banyak bilangan yang bernilai antara 250 dan 400 dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 dimana angka-angka tersebut boleh berulang? 23. Dalam berapa cara 9 buku yang berbeda dapat disusun pada sebuah rak buku sehingga 3 buku selalu bersama-sama. 24. Enam buku biologi berbeda, 5 buku kimia yang berbeda dan 2 buku fisika yang berbeda disusun pada sebuah rak buku sehingga buku biologi bersama-sama, buku kimia bersamasama, buku fisika bersama-sama. Berapakah banyaknya penyusunan yang mungkin? 25. Hitung jumlah dari bilangan 4 angka yang dapat dibentuk oleh angka-angka 2, 5, 3, dan 8 apabila setiap angka hanya digunakan sekalai dalam setiap pengaturan?
6|m ath “
the explorer”
Eureka Notasi faktorial digunakan untuk mempermudah perhitungan dan penulisan dalam ilmu peluang. Apabila n bilangan asli, maka n ! (baca: n faktorial) adalah n! = n(n-1)(n-2) … 3.2.1 =
Selesaikanlah soal-soal berikut dengan kaidah pencacahan, kemudian tuliskan dalam notasi faktorial? a. Imam memiliki satu pensil dan satu pulpen. Berapa banyaknya cara menyimpan pensil dan pulpen di saku bajunya?
b. Berapa banyaknya urutan yang dapat terjadi apabila 3 orang siswa akan mengantri tiket konser musik?
c. Berapa banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf SAMPEL.
d. Berikan 3 contoh permasalahan lain yang berkaitan dengan faktorial!
Eksplorasi Contoh
Hitunglah nilai-nilai berikut: a. 4!
! ! ! e. !!
d.
b. 2! + 3! dan (2 + 3)! c. 2! 3! dan (2+3)! Jawab:
a. b. c. d. e.
4!=4×3×2×1=24 2 ! + 3 ! = 2 × 1 + 3 × 2 × 1 = 2 + 6 = 8 2 + 3! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 2 ! × 3 ! = 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 2 × 6 = 1 2 2 × 3! = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 ! ×××× = =5×4×3=60 ! × ! ××! = = 36 !! !
7|m ath “
the explorer”
Cobalah…!!! Hitunglah nilai-nilai berikut: ! ! a. b. ! !!
Contoh
Tuliskan setiap bentuk berikut dalam notasi faktorial: a. 13 12 11 ... b. .. Jawab:
a.
! 1 3 × 1 2 × 1 1 = ×××! = ! !
b.
... ..
=
! !
!
! = !!
Contoh
Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: ;! a. =7 ;! ! b. = 12 ;! Jawab:
a.
b.
;! ;!
⬚
;! = 7 ; =7 ;!
⬚
⬚
−1=7 = 8 ⬚ ;;! ! = 12 = 12 ;! ;! ⬚
− 1 = 12 ⬚ − − 1 2 = 0 ⬚ − 4 + 3 = 0 ⬚ = 4 atau = −3 ∴ Nilai n yang memenuhi adalah = 4.
8|m ath “
Cobalah…!!! Tuliskan setiap bentuk berikut dalam notasi faktorial: a. 7 6 .. b. . c. −1−2 −+2)
the explorer”
Cobalah…!!! Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: ;! a. = 12 ;! ;! b. = 30 ;!
LATIHAN MANDIRI 2
Soal Pemahaman 1. 2.
3.
4.
Buku Matematika, Fisika, Kimia, dan Biologi (masing-masing 1 buah) akan ditumpuk di atas meja. Tentukan seluruh kemungkinan susunan buku yang dapat terjadi. Write solution of following problem in factorial notat ion. a. You received three trophies: one for soccer, one for baseball, and one for track. How many different ways could you arrange these three trophies on your dresser? b. You have four coins: one dime, one nickel, one penny, and one quarter. How many different ways can you arrange them in order on your desk? c. The digits 2, 4, 5, 8, and 9 are to be used in a 3-digit ID card. How many different cards are possible if repetitions are not permitted? How many different arrangements are there of the digits 5641? Tentukan nilai-nilai dari setiap notasi faktorial berikut: ! a. 6! d. !! !! b. 7! : 3! dan (7:3)! e. !! !! c. ! Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah!
b. 7! – 7! = 0!
e. 7! + 3! = 10!
! = !!
28
Tuliskan setiap bentuk berikut dalam notasi faktorial: a. 23 . 22 . 21 . 20
6.
7.
= 3!
d.
c. 5.
! !
a. 7! 8! = 15!
b.
.. .
c.
;;; ..
d. a(a-1)(a- 2) … (a-5), a>5 e.
;;;: ..
Sederhanakan bentuk berikut: a.
! 1 ;!
b.
:! 1 ;!
c.
;:! −1 ;:!
Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a.
:! :!
b.
;! = ;!
c.
:! ;!!
= 10 20
! = ;!
9|m ath “
the explorer”
Eureka Permutasi merupakan susunan yang dibentuk dari obyekobyek suatu kumpulan obyek dengan memperhatikan urutannya .
Abdullah, Kiki, dan Fajar dicalonkan oleh teman-temannya untuk menjadi ketua dan wakil ketua kelas. a. Buatlah pasangan terurut yang menyatakan semua kemungkinan pasangan ketua dan wakil ketua kelas yang dapat terjadi.
b. Apabila yang terpilih adalah Abdullah dan Kiki, apakah pasangan {Abdullah,Kiki} sama dengan pasangan {Kiki,Abdullah}?
c. Berikan penjelasan apa yang dimaksud dengan “diperhatikan urutannya”!
A. Permutasi n-obyek dari n-obyek berbeda
Ada n-obyek berbeda. Masalah: Menentukan banyaknya susunan terurut dari n-obyek yang ada. Notasi: nPn, P(n,n) atau . Situasi:
Sebuah susunan huruf yang terdiri dari 5 huruf berbeda (tak ada huruf yang digunakan berulang dalam susunan) a kan dibentuk dari kata “BUNGA”. a. Sebutkan obyek-obyek yang digunakan untuk menyusun huruf tersebut! b. Apakah susunan “memperhatikan urutan”?
huruf
yang
terbentuk
c. Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat terbentuk dengan aturan perkalian! …… …… …… …… …… = ……
d. Tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,n). Tempat ke1 2 3 Banyaknya cara …… …… …… …… …… …… …… …… ……
…… = ……
P(n,n) = ……
10 | m a t h “
the explorer”
…… ……
n–2
n–1
n
……
……
……
Eksplorasi Contoh
Tentukan banyaknya tumpukan yang dapat dibentuk dari 12 buku yang berbeda!
Cobalah…!!! Tentukan banyaknya cara 7 orang mengantri tiket untuk menonton konser musik!
Jawab:
Banyaknya tumpukan yang dapat dibentuk dari 12 buku yang berbeda adalah
1212 = 12!
Contoh
Suatu konferensi dihadiri oleh 7 negara. Bendera masing-masing negara akan dikibarkan pada tiang yang diatur dalam satu baris. Berapa banyaknya susunan bendera yang dapat terjadi agar bendera 2 negara tertentu terletak di kedua ujungnya?
Cobalah…!!! Tentukan banyaknya cara, jika 7 orang dari kota Bandung, 5 orang dari kota Sumedang, dan 3 orang dari kota Cimahi, duduk dalam satu baris sehingga yang sekota selalu berdampingan.
Jawab:
Banyaknya susunan bendera 2 negara tertentu yang harus terletak di kedua ujung adalah
22 = 2 ! = 2
Banyaknya susunan bendera 5 negara lain adalah
55 = 5 ! = 1 2 0
banyaknya susunan bendera yang dapat terjadi agar bendera 2 negara tertentu terletak di kedua ujungnya adalah 22 × 55 = 240 cara
B. Permutasi r-obyek dari n-obyek berbeda (r < n)
Ada n-obyek berbeda. Masalah: Menentukan banyaknya susunan terurut yang terdiri dari r-obyek dari n-obyek yang ada (r < n). Notasi: nPr , P(n,r) atau . Situasi:
Andi, Budi, Cardi, Dandi, dan Erdi mencalonkan diri dalam pemilihan ketua, wakil ketua, dan sekretaris OSIS. a. Dari 5 orang calon pengurus, berapa orang yang akan dihasilkan dalam pemilihan?
b. Apakah pengurus yang dihasilkan dalam pemilihan “memperhatikan urutan”? 11 | m a t h “
the explorer”
c. Tentukan banyaknya susunan pengurus yang dapat dihasilkan dalam pemilihan dengan aturan perkalian! …… …… …… = ……
d. Tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,r). …… Tempat ke1 2 3 Banyaknya cara
……
……
……
…… …… …… …… …… ……
……
n–r+1
n–2
n–1
n
……
……
n – (r – 1)
;×;;×××× = …… ;×;;××××
P(n,r) = ……
Eksplorasi Cobalah…!!! Hitunglah nilai-nilai berikut: a. 122 b. !
Contoh
Hitunglah nilai-nilai berikut: ! a. P(7,3) c. b. P(30,1) Jawab:
! ...! = = 7.6.5 ;! ! ! .! b. 301 = = = 30 ;! ! ! ! ! .! c. = = = =6 ! ! !
a. 73 =
= 210
!
Contoh Tentukan nilai persamaan 10. 4
yang
memenuhi
= 5
Jawab:
4 = 10. 5 ⬚ ! ! ;! = 10. ;!
⬚
! ;! = 10. ;!;! ⬚
−5=10 ⬚ = 15 ∴ Nilai yang memenuhi adalah = 15.
12 | m a t h “
the explorer”
Cobalah…!!! Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan
5 = 9. – 14
Contoh
Berapa banyaknya nomor kendaraan yang terdiri dari 4-angka berbeda yang dapat dibentuk? Jawab:
Cobalah…!!! Berapa banyaknya password yang terdiri dari 3-angka berbeda dapat dibuat oleh seorang programmer dari himpunan angka {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?
Membuat nomor kendaraan yang terdiri dari 4-angka berbeda merupakan permasalahan permutasi karena “memperhatikan urutan” yaitu urutan yang berbeda memiliki makna yang berbeda pula. Karena angka pertama tidak boleh angka 0 maka banyaknya cara membentuk angka pertama adalah ! .! = =9 91 = ;! ! Banyaknya cara membentuk tiga angka berikutnya adalah ! ...! 103 = = = 720 cara ;! ! Banyaknya nomor kendaraan yang terdiri dari 4-angka berbeda yang dapat dibentuk adalah 91. 103 = 9.720 = 6.480 cara
Contoh
Terdapat 2 buku matematika, 3 buku fisika dan 4 buku kimia akan disusun ke dalam rak yang hanya dapat memuat 6 buku. Berapa banyaknya cara menyusun 6 buku ke dalam rak jika buku kimia selalu bersama-sama? Jawab:
Karena kapasitas rak sebanyak 6 buku dan 4 buku kimia selalu bersama-sama, maka buku kimia harus disimpan di dalam rak. Banyaknya cara menyusun buku kimia, 44 = 4! = 24 cara Banyaknya cara memilih 2 buku lainnya, ! ..! 52 = = = 20 cara ;! ! Banyaknya cara menyusun buku kimia dan 2 buku lainnya, 33 = 3 ! = 6 cara ∴ Banyaknya cara menyusun 6 buku ke dalam rak jika buku kimia selalu bersamasama, 44. 52. 33 = 2.880 cara
13 | m a t h “
the explorer”
Cobalah…!!! 8 pemuda dan 3 pemudi akan duduk berjajar pada 7 buah kursi. Berapa macam posisi duduk yang mungkin jika semua pemudi selalu duduk berdampingan?
LATIHAN MANDIRI 3
Soal Pemahaman 1.
2.
3.
4. 5. 6. 7.
Diantara pernyataan berikut, manakah permasalahan yang “memperhatikan urutan”! a. Imam diminta memilih 5 lukisan dari 7 lukisan yang tersedia dan memasangnya di dinding secara berderet. b. Dari 8 siswa akan dipilih 3 orang siswa untuk menjadi utusan mengikuti jambore pramuka. c. Seorang siswa akan membuat diagonal dari segi-9 yang tersedia. d. Siti akan menyusun bilangan 3-angka dari angka-angka pada bilangan 56.041. e. Fajar memiliki 6 kaos dan 2 celana jeans. Dia akan memilih 1 kaos dan 1 celana untuk dipakai hari ini. Hitunglah nilai-nilai berikut: a. P(8,2) d. ! b. P(6,5) e. ! c. P(10,10) Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut: a. 7.P(n-1,3) = P(n,4) b. P(n+1,3) = 7 P(n,2) c. 3 P(n,4) = P(n+1,5) Berapa banyaknya susunan huruf yang terdiri dari 6 huruf dari huruf-huruf pada kata “SECANT”? Berapa banyaknya bilangan 2-angka yang dapat disusun dari angka-angka pada bilangan 98.537? Berapa banyak bilangan yang diawali angka 5 dapat dibentuk dari angka-angka 4, 5, 6, dan 8. Berapa banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata KEYBOARD apabila kata KEY selalu bersama-sama?
Soal Pemantapan 8.
Terdapat 5 buku matematika, 4 buku fisika, dan 3 buku kimia akan disusun ke dalam rak. Berapa susunan yang dapat terbentuk apabila: a. buku yang sejenis saling berdampingan. b. buku-buku matematika saja yang saling berdampingan. 9. Dari 10 karyawan yang potensial akan dipromosikan dua karyawan untuk menempati jabatan direktur dan wakil direktur. Berapa macam komposisi karyawan yang mungkin untuk menempati jabatan tersebut? 10. Berapa banyaknya bilangan ribuan yang dapat dibentuk dari kumpulan angka {1,2,3,4,5} apabila a. boleh ada pengulangan b. tidak boleh ada pengulangan c. tidak boleh ada pengulangan dan dimulai dengan angka 4. d. tidak boleh ada pengulangan dan diakhiri dengan 15.
14 | m a t h “
the explorer”
Permutasi dengan beberapa obyek yang sama
Eureka
Ada n-obyek yang beberapa diantaranya sama. Masalah: Menentukan banyaknya susunan terurut dari n-obyek yang ada. Situasi:
Sebuah susunan huruf akan dibentuk dari kumpulan huruf {A,B,C,D,E}. a. Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat terbentuk!
b. Apabila A=C=M, tentukan banyaknya susunan yang terbentuk!
c. Apabila A=C=M dan B=D=E=N, tentukan banyaknya susunan yang terbentuk!
d. Berdasarkan hasil dari a, b, dan c, tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,(n 1 ,n 2,…,n k)). P(n,(n1,n2,…,nk)) = ……
Eksplorasi
Contoh
Dari 3 buku yang berbeda masing-masing memiliki 2 salinan. Berapa banyaknya cara berbeda, buku-buku tersebut dapat diatur pada sebuah rak buku. Jawab:
Misalkan 3 buku berbeda adalah buku ABC. Karena setiap buku memiliki 2 salinan, maka buku-buku menjadi AABBCC. Banyaknya cara menyusun 6 buku adalah ! 6 222 = = = 90 susunan !!!
15 | m a t h “
the explorer”
Cobalah…!!! Berapa banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat disusun dengan menggunakan huruf-huruf pada kata MATEMATIKA, jika a. masing-masing huruf tidak dibedakan. b. huruf terakhir selalu ditempati oleh huruf T.
D. Permutasi siklis
Eureka Ada n-obyek yang satu sama lain berbeda. Masalah: Menentukan banyaknya cara n-obyek berbeda disusun terurut secara melingkar. Situasi:
Huruf-huruf A, B, C, dan D akan disusun secara melingkar pada sebuah meja bundar. a. Pada bagan di bawah, posisi antar obyek pada kedua bagan sama. Apakah kedudukan setiap obyek dengan obyek yang lain berbeda? A
D
B
D C
A
C B
b. Karena pada permutasi siklis tidak memperhitungkan tempat kedudukan obyek pada lingkaran, tetapi yang diperhitungkan adalah posisi satu obyek terhadap obyek lainnya, bagaimana cara membuat susunan yang berbeda?
c. Berapa banyaknya susunan yang berbeda apabila huruf-huruf A, B, C, dan D akan disusun secara melingkar pada sebuah meja bundar.
d. Berdasarkan hasil dari a, b, dan c, tuliskan rumusan umum untuk menentukan P(n,siklis)! P(n,siklis) = ……
Eksplorasi
Contoh
Enam orang akan duduk dengan posisi melingkar. Jika terdapat tiga sahabat yang selalu berdampingan, berapa macam posisi duduk mereka? Jawab:
Banyaknya posisi duduk tiga orang sahabat, 33 = 3 ! = 6 macam Karena tiga orang sahabat tersebut selalu berdampingan, maka dapat dianggap menempati 1 posisi sehingga banyaknya posisi 4 orang yang disusun secara melingkar,
4 = 4 − 1! = 3 ! = 6
Banyaknya posisi duduk tiga orang sahabat dan 3 orang lainnya dengan posisi melingkar,
= 16 | m a t h “
=
the explorer”
Cobalah…!!! Sebanyak 5 pasang suami istri akan duduk pada suatu meja bundar. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan yang dapat terjadi apabila a. pria dan wanita duduk berselang-seling. b. setiap wanita duduk berdampingan dengan suaminya.
LATIHAN MANDIRI 4
Soal Pemahaman 1. 2.
3.
4. 5.
6. 7.
Berapa banyaknya permutasi yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata KOSINUS, ALJABAR, DAN KURIKULUM. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata STATISTIKA, jika a. masing-masing huruf tidak dibedakan. b. dimulai dari huruf S. c. diakhiri Berapa banyak bilangan yang berbeda dapat disusun dari angka-angka pada bilangan berikut: a. 514.319 b. 2.121.313 Terdapat 5 bola merah, 4 bola putih, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Ada berapa cara bolabola itu dapat disusun secara berdampingan? Kode morse adalah sebuah sistem yang terdiri dari titik, strip, dan spasi pada telegrap yang digunakan untuk mengirim pesan melalui kabel listrik. Berapa banyaknya kode yang dapat dibuat dengan menggunakan tiga titik, dua strip, dan dua spasi? Berapa banyaknya cara enam orang dalam sebuah pesta dapat diatur tempat duduknya mengelilingi sebuah meja bundar? Dengan mengikat 7 manik-manik yang berbeda warna bersama-sama, berapa banyaknya gelang berbeda yang dapat dibuat?
Soal Pemantapan 8.
Sebelas anggota KIR (Kelompok Ilmiah Remaja) berangkat ke lokasi penelitian dengan menggunakan 3 kendaraan mobil yang masing-masing berkapasitas 5 orang, 2 orang, dan 4 orang. a. Ada berapa cara yang dapat dilakukan untuk membagi anggota KIR ke dalam 3 mobil? b. Jika menjelang berangkat, satu orang di antara mereka tidak jadi berangkat, ada berapa cara untuk membagi ke dalam 3 mobil. 9. Apabila terdapat 5 anak laki-laki dan 2 anak perempuan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, berapakah banyaknya cara mengatur posisi duduk mereka agar 2 anak perempuan selalu duduk berdampingan? 10. Delapan siswa suatu sekolah terdiri atas 2 siswa kelas X, 3 siswa kelas XI, dan 4 siswa kelas XII. Siswa-siswa itu duduk bersama-sama mengelilingi meja bundar. Dengan berapa cara mereka duduk, jika siswa dengan kelas yang sama selalu duduk bersama-sama.
17 | m a t h “
the explorer”
