Tugas Modul 1 KB 2 : Kombinatorika Kompetensi Matematika - Unesa-S12018 - KelasB Nama : Rohmatul Izzah NIM
: 18050118010127
Kerjakan dengan tuntas soal-soal berikut ini. 1. Ekspansikan dengan teorema Binomial Newton: a)
1 −
Penyelesaian : ∞
1 − =∑ 1, 11, ∑1 = , ∑1 , = 1,1 12,2 13,3 .. 10,0 1 1 ⋯ 1 − ∞
∞
b)
Penyelesaian : ∞
1 − =∑ 2, 21, ∑1 21, = 1, ∑1 1, = 2,1 13,2 14,3.. 11,0 1 123 4 5 ⋯ 1 − ∞
∞
c)
Penyelesaian : ∞
1 − =∑ 3, 31, ∑1 = ∞
∞
2, ∑1 = 3,1 14,2 15,3.. 12,0 1 136 10 15 ⋯
2. Tentukan Koefisien
dalam ekspansi
.
Penyelesaian :
Dengan menggunakan Rumus
− ∑, = Koefisien dalam ekspansi 23 adalah 150,492−3 150,4923 150,4923 150,4923 jadi Koefisien adalah 150,49 2 3
{., ., .} {.,.,.} ∪ {4., 3., 2., 4} ∩ {2., 3.} {2., 2.} − − − ,
3. Diketahui multiset
dan
, Tentukan :
a.
b. c.
4. Tentukan solusi relasi rekursif:
dengan
.
,
Penyelesaian :
Langkah pertama, ditentukan persamaan karakteristik dengan mensubstitusi
2 2⇔ 2 20 ⇔112 0 ⇔1 1 2 dengan konstanta :
˅
˅
Diperoleh akar – akar persamaan karakteristik :
1 , 1 2
Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut :
dan
1 1 2 1 1 1 2 ⇔ 9 2 1 1 2 ⇔ 2 10 3 1 1 2 ⇔ 4 32 , 1 3 1 2 4 43 5 163 4 5 2 1 2 , 2 103 1 21 233 2 103 1 233 2 2 − − Dengan kondisi awal yang diberikan, diperoleh :
Mencari nilai
dan
Eliminasi
dari persamaan
dan
Substitusi
Eliminasi
ke persamaan
dari persamaan
Substitusi
dan
dan
ke persamaan
Diperoleh
dan
sehingga diperoleh
sehingga diperoleh
sehingga diperoleh
sehingga diperoleh
dan
Dari tiga persamaan diatas, diperoleh solusi homogen:
5. Tentukan solusi relasi rekursif:
dengan
dan
.
Penyeleaian :
Langkah pertama, ditentukan persamaan karakteristik dengan mensubstitusi
1⇔ 10 4 ±√ , 2 411 1± 1 21 1±√ 2 5 dengan konstanta :
Mencari akar – akar dengan menggunakan rumus ABC
Diperoleh akar – akar persamaan karakteristik :
+√ −√
Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut :
1√ 5 1√ 5 2 2
Dengan kondisi awal yang diberikan, diperoleh :
dan
1√ 5 1√ 5 1 2 2 ⇔ 0 1√ 5 1√ 5 2 2 2 ⇔ 1√ 2 5 1√ 2 51 1 2 1√ 2 5 1√ 2 51 √ 25 √ 2 51 2√ 251 √ 15 15 √ 5 √ 5 √ 5 1 1√ 5 1 1√ 5 (5 √ 5) 2 ( 5 √ 5) 2 1√ 5 1 1√ 5 (5 √ 5) 2 2 Mencari nilai
dan
Dari persamaan
diperoleh
dan substitusi ke persamaan
sehingga
diperoleh:
Diperoleh
dan
Dari dua persamaan diatas, diperoleh solusi homogen:
6. Tentukan
fungsi
pembangkit
sederhanakan.
dari
barisan:
,,,,,,,,,,,,. .
dan
Penyelesaian : Diperhatikan bahwa barisan tersebut dapat dinyatakan dengan
{}0,2,2,2,2,2,2,0,0,0,0,0,. . 20,1,1,1,1,1,1,0,0,0 ,0,0,… 8 20 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ⋯ 2 1 2 1 1 2 1
Dengan menggunakan rumus jumlah suku pertama pada deret geometri, diperoleh
Jadi diperoleh fungsi pembangkit:
1 2 1 22 1 7. Tentukan barisan dari fungsi pembangkit berikut ini: a.
13−
Penyelesaian :
11 ∑1 3 = 3 ∑1 = 3 ∑1 = 3 13 13 ⋯ 13 1 3 3 ⋯ 13 3 1 3 9 27 ⋯ {} 1,3,9,27,… {} 1, 3,9 , 27⋯ 1− 21 ∑ = 1 ∑ = 10 21 32 43 54 ⋯ 123 4 5 ⋯ {}1,2,3,4,5,… {} 1,2,3,4,5,… ∞
∞
∞
Jadi barisan fungsi pembangkitnya adalah
b.
Penyelesaian : ∞
∞
Jadi barisan fungsi pembangkitnya adala
