Detyra për ushtrime usht rime të pavarura nga lënda lënda MATEMATIKA DI SKRETE SKRETE
10
8
5 a4 x +1 x −1 Njehsoni x − in nga shprehja x 1 + a a ashtu që anëtari i a x− katërtë katërtë në zhvilli zhvil limin min binomial binomial të jetë jetë 56a 5.5 . n
x Në zhvillimin binomial x 4 x3 + 2 koeficientët e pestë dhe të x dhje dhj et ë janë janë të baraba barabarr t ë. Të cakt caktohe ohett anëtar nëtar i i cili cil i nuk për për mban mban x . Shuma e koeficientëve të dytë dhe të tretë të zhvillimit binomial n
2 − 32 8.5 x + x 3 është 136. Caktoni anëtarin i cili përmban x .
Në zhvillimin binomial ( x + y )n anëtari i dytë është 240, anëtari i tretë është 720, kurse i katërti 1080. Të caktohen x, y, n. 1 log x +1 Anëtari i katërtë i zhvillimit binomial të binomit ( x ) + 12 x është 200. Të caktohet x.
6
Anëtari i tretë i zhvillimit binomial të binomit ( x + xlog x )5 është 106 . Të njehsohet x. 1 Anëtari i gjashtë në zhvillimin binomial të binomit 2 3 2 + x 2log x x x është 5600. Të njehsohet x.
8
Koeficienti i pestë, gjashtë dhe shtatë i binomit (1 + x) n formojnë varg ari tmetik. tmeti k. Të ca caktohe kt ohett n . Koeficientët e anëtarit të pestë dhe të tretë të zhvillimit binomial të n
1 binomit x + 3 2 janë në raport si 7:2. Të caktohet anëtari që x përmban x .
Përgatitur nga Armend Armend Shabani
www.armendshabani.info www.armendshabani. info
Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda MATEMATIKA DI SKRETE
11
Koeficientët e anëtarit të katërtë dhe të gjashtë të zhvillimit të binomit n
1 z + z janë në raport si 5:18. Të caktohet anëtari i cili nuk varet nga z .
Njehsoni 3C1 + 7C2 + 11C3 + ... + (4 n − 1) Cn C0 + 3C1 + 5C 2 + 7 C3 + ... + (4 n + 1) Cn C0 − 2C1 + 3C 2 − 4C3 + ... + ( −1) n (n + 1)Cn
Vërtetoni identitetet: −1 k k = (−1) .
−2 k k = (−1) (1 + k ).
k + n − 1 −n k = (−1) . k k
1 − 2 = (−1)k (2k − 1)!! = (−1)k (2k )! . k (2k )!! 22 ( k !)2 k 2n 2n ( 1) = n + 1 . n n +
n
Nëse Vnr = n ⋅ (n − 1) ⋅ ...⋅ ( n − r + 1) tregoni se Vnr+ 2 + Vnr + 2rVnr − + r ( r − 1)Vnr − . 1
2
Nëse (a)r = a ⋅ (a + 1) ⋅ (a + 2) ⋅ ...⋅ (a + r − 1) tregoni se: a) c)
(a )n −1 (a − 1) = (a − 1)n ; n!
( n − s)!
b) (a )n − r (1 − a − n) = (−1)r (a )n ;
= (−1) s (−n )s .
n − p n n − q n Vërtetoni se ⋅ p = p ⋅ q . q
Nëse n ∈ ! atëherë tregoni se
Përgatitur nga Armend Shabani
(2n)! n !⋅ 2n
është numër natyror.
www.armendshabani.info
Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda MATEMATIKA DI SKRETE
12
(2n − 2)!
Tregoni se
n!(n − 1)!
, n ∈ ! është numër natyror.
Të vërtetohet se 1!⋅ 1 + 2!⋅ 2 + 3!⋅ 3 + ... + n!⋅ n = ( n + 1)!− 1, ku n ∈ ! . Të zgjidhen në bashkësinë e numrave natyrorë barazimet dhe mosbarazimet: 25.
n n 5 < 3 .
26.
2n 2 n 7 > 5 .
28.
n n − 2 2 > 11 . 5 3
29.
n n + 1 n − 2 + n − 1 ≤ 100.
30.
Të cakt ohen n, k nëse
27.
19 19 − 1 > . k k
a)
n + 1 n n : : = 6 : 5 : 2; k k + 1 k − 1
b)
n n − 2 n − 2 n − 2 n k − 1 : k + k − 2 + 2 k − 1 : k + 1 = 3 : 5 : 5.
Vërtetoni: 31.
n n n n + + + ... 1 2 <2 . n
32.
2n 2 n 2 n 2n 2n 2n + + + = + + + ... ... 0 2 2 1 3 2 − 1 . n n
33.
Tregoni se (1 +
2) n + (1 − 2) n është numër i plotë.
Tregoni se për çdo n ∈ ! numri [(2 + 3) n ] është tek ([ ] – pjesa e plotë).
k + α n +1 k Tregoni se ∑∑ =2 −2 . v α= 0 v = 0 n − k k + α
Le të jetë (a0 , a1 , a2 ,...) vargu i numrave realë dhe le të jetë bn =
Përgatitur nga Armend Shabani
n (−1)k ak , n ∈ ! ∪ {0} k =0 k n
∑
www.armendshabani.info
Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda MATEMATIKA DI SKRETE
13
n ∀n ∈ ! ∪ {0} vlen an = ∑ (−1)k bk . k = 0 k Le të jetë n ∈ !. Tregoni se n
Vërtetoni se 37.
n
∑
(−1)
k =1
k +1
n 1 1 1 k k = 1 + 2 + ... + n .
Vërtetoni se: n n n 1 + 14 + 36 + 24 = ( n + 1) 4 − n 4 . 1 2 3 m + k − 1 nx n + k − 1 ∑ = ∑ . k k k =1 k =1 n
−1
n − 1 2 n − 1 2 ⋅ = . ∑ k n +1 k =1 k − 1 n
−1
n − 1 n + m n + m +1 ∑ k − 1 ⋅ k = ( m + 1)( m + 2) . k =1 n
2
2n = ∑ . 2 2 k = 0 ( k !) ((n − k )!) n n
(2n)!
−1
n n 2n 2n + 1 ∑ ⋅ ⋅ + = +1 . k n k = 0 k m m n
n 1 n + 1 2 n + 2 1 2n + + + + = 2n. ... 0 2 1 22 2 n 2 n 4n 4 n − 2 ∑ =2 . k = 0 4k + 1 Ësht ë dhënë bashkësia E = {0,1,2,3,4,5} . Sa ka numra të ndryshëm natyrorë më të mëdhenjë se 1000 në vetinë që ata të formohen nga elementet e bashkësisë E , ashtu që shifrat të jenë të ndryshme? n −1
Të caktohet numri i numarve të ndryshëm natyror më të vegjël se 100000 të cilët mund të formohen me shifrat 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Përgatitur nga Armend Shabani
www.armendshabani.info
14
Detyra për ushtrime të pavarura nga lënda MATEMATIKA DI SKRETE
Vërtetoni se nga 39 numra të njëpasnjëshëm natyrorë gjendet së paku një numër shuma e shifrave të të cilët plotpjesëtohet me 11. Komisioni ka mbajtur 40 takime. Në çdo takim kanë marrë pjesë 10 anëtarë, me ç’rast çdo dy anëtarë të komisionit nuk kanë qenë së bashku në më tepër se në një mbjedhje. Tregoni se komisioni ka më tepër se 60 anëtarë. Në rrafsh është dhënë rrethi me rreze 100 dhe 32 drejtëza. Të vërtetohet se ekziston rrethi me rreze 3, i cili gjendet i tëri në brendi të rrethit të dhënë dhe i cili nuk ka pika të përbashkëta me asnjërën nga drejtëzat e dhëna.
Përgatitur nga Armend Shabani
www.armendshabani.info
