SEGITIGA PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Diskrit Dosen Pengampu : Dr. Isnaeni Rosyida, M.Si.
Kelompok 1 1. Endra Ari Prabawa
(0401515054) (0401515054)
2. Juhrani
(0401515058)
3. Dyah Retno K.
(0401516001) (0401516001)
4. Ice Afriyanti
(0401516003) (0401516003)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG TAHUN 2017
Pascal’s Identity and Triangle
Koefisien binomial memenuhi banyak identitas yang berbeda-beda. Salah satu yang paling penting adalah identitas Pascal’s. Teorema
Dengan menggunakan pembuktian sebuah kombinasi. Andaikan T adalah sebuah himpunan yang terdiri dari n + 1 elemen. Misalkan a adalah sebuah elemen di T, dan Bukti:
misalkan S = T – {a}. Catatan bahwa ada
1 himpunan bagian dari T yang terdiri dari k
elemen. Tetapi, sebuah himpunan bagian dari T dengan k elemen keduanya mengandung elemen k – 1 dari S atau mengandung elemen k dari S dan tidak mengandung a. Karena ada
1 himpunan bagian dari k – 1 elemen dari S , ada 1 himpunan bagian dari k elemen di T yang mengandung a. Dan ada himpunan bagian dari k elemen dari T yang tidak mengandung a, karena ada himpunan bagian dari k elemen dari S. Konsekuensinya:
Catatan:
Hal ini juga memungkinkan untuk membuktikan identitas ini dengan manipulasi aljabar dari formula untuk
.
(Lihat Latihan 19).
Keterangan: Identitas Pascal, bersama dengan kondisi awal
0 = = 1 untuk semua
bilangan bulat n, dapat digunakan untuk mendefinisikan secara rekursif koefisien binomial. Definisi rekursif ini berguna dalam perhitungan koefisien binomial karena hanya penambahan, dan bukan perkalian bilangan bulat diperlukan untuk menggunakan definisi rekursif ini. Identitas Pascal adalah dasar susunan geometris koefisien binomial dalam sebuah segitiga, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Baris ke-n dalam segitiga terdiri dari koefisien binomial
, = 0, 1, 2, … , Segitiga ini dikenal sebagai segitiga Pascal. Identitas Pascal menunjukkan bahwa ketika dua koefisien binomial bersebelahan pada segitiga ini ditambahkan, koefisien binomial pada baris berikutnya antara kedua koefisien ini dihasilkan.
Latihan:
1. The row of Pascal’s triangle containing the binomial coefficients
8, 0 ≤ ≤ 8, is
Use Pascal’s identity to produce the row immediately following this row in Pascal’s triangle. 2. What is the row of Pascal’s triangle containing the binomial coefficients
10. 3. Prove Pascal’s identity, using the formula for
10 , 0 ≤ ≤
.
Pembahasan: 1. Baris dari segitiga Pascal yang mengandung koefisien binomial Dengan menggunakan identitas Pascal pada barisan segitiga Pascal diperoleh
Diperoleh barisan untuk
8, 0 ≤ ≤ 8 yaitu
2. Dengan cara yang sama dengan nomor 1, diperoleh barisan untuk yaitu diperoleh barisan 1 10 45 120 210
210
120
45
10 1
12 , 0 ≤ ≤ 12
3. Bukti:
1 = ( 1)!(! 1)! ! (! )! =
! ! (−)!(−+)(−)! (−)!(−)!
=
.! +(−+)! (−)!(−+)(−)!
=
! (+−+) !(−+)!
=
! (+) !(−+)!
=
(+)! !((+)−)!
=
1 terbukti
DAFTAR PUSTAKA
Rosen, K.H. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications Seven Edition . New York: The McGraw-Hill Companies, Inc.
