Pertemuan 10
I SOMORFI SM A DAN DAN SI FAT -S -SII FATNY FAT NYA A A. Pendahuluan Modul ini membahas uraian tentang isomorfisma, mahasiswa akan mudah
mempelajari
materi
ini,
jika
telah
menguasai
materi
homomorfisma dan memahami pemetaan injektif, surjektif dan bijektif (Dalam matakuliah Logika Matematika dan Himpunan), selain itu juga harus dikuasai konsep grup, grup simetri, grup siklik, subgrup, subgrup normal dan grup faktor. Pembahasan dalam modul ini dimulai dari mengingatkan kembali fungsi 1-1 dan fungsi pada, selanjutnya didefinisikan monomorfisma, epimorfisma dan isomorfisma. Diharapkan para mahasiswa setelah mempelajari modul ini, mampu : - menjelaskan monomorfisma - menjelaskan epimorfisma - menganalisa suatu homomorfisma monomorfisma, epimorfisma, epi morfisma, isomorfisma atau bukan - membuktikan teorema yang terkait dengan kernel ker nel dan monomorfisma B. Monomorfisma, Epimorfisma dan Isomorfisma Sebelum membahas tentang isomorfisma, perlu diingatkan kembali beberapa hal yang yang berkaitan dengan pemetaan pemetaan (fungsi), yaitu:
Definisi 1. : a. fungsi f dari G ke G’ didefinisikan ( ∀a, b
∈ G) a = b ⇒ f(a) = f(b)
b. fungsi f disebut onto/pada/surjektif jika f(G) = G’ atau dengan kata lain : ( ∀a’ ∈ G’)(∃a ∈ G) sehingga a’ = f(a). c. fungsi f disebut injektif (1 – 1) jika ( ∀a, b ∈ G) f(a) = f(b) ⇒ a = b Pengantar struktur struk tur Aljabar jabar
46
Pertemuan 10
d. fungsi f disebut bijektif (korespondensi 1–1)
jika f injektif dan
surjektif mahasiswa akan kesulitan memahami materi isomorfismam tanpa faham definisi 1. di atas. Oleh karenanya mahasiswa harus banyak berlatih untuk menganalisa fungsi-fungsi apakah 1-1, pada ataua tidak, barulah mengikuti definisi berikut :
Definisi 2.: 1. suatu homomorfisma dari G ke G’ yang injektif (1-1) disebut
monomorf orfisma. ktif (pada/onto (pada/onto)) disebut 2. suatu homomorfisma dari G ke G’ yang surj ektif epimorfisma. 3. suatu homomorfisma dari G ke G’ yang bijektif (injektif dan surjektif) disebut isomorfisma.
endomorfi orfism sma 4. suatu homomorfisma dari G ke G’ dan G = G’ disebut endom (suatu homomorfisma dari suatu grup G ke grup G itu sendiri) 5. endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma. 6. Jika terdapat suatu homomorfisma dari G ke G’ maka dikatakan G dan G’ homomorfik 7. Jika terdapat suatu isomorfisma dari G ke G’ maka dikatakan G dan G’ isomorfik, dinotasikan G ~ G’ Coba perhatikan kembali 3 contoh homomorfisma pada pertemuan sebelumnya (pertemuan 9) : Contoh 1.: Misalkan G = R – {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol terhadap perkalian, G‘ = {1, -1} juga grup terhadap perkalian. Telah ditunjukka suatu homomorfisma f dari G ke G’ yang didefinisikan,
∀x ∈
G = R – {0} berlaku : Pengantar struktur struk tur Aljabar jabar
47
Pertemuan 10
jika xbilangan real positif 1 jika f ( x) = jika xbilangan real negatif − 1 jika Selanjutnya, karena bayangan f atau f(G) = {1, -1} = G’ maka f suatu fungsi surjektif (pada/onto)maka homomorfisma f adalah epimorfisma. Mudah untuk ditunjukkan bahwa f tidak 1-1, karena terdapat
π dan π/2
adalah bilangan real positif berbeda, tetapi f( π) = 1 = f( π/2). Jadi f tidak monomorfisma. Contoh 2.: Homomorfisma g dari Z ke Q – {0} yang didefinisikan g(x) = 2 , ∀x ∈ Z x
maka g adalah monomorfisma, sebab :
∀x, y ∈ Z jika f(x) = f(y) maka 2 x = 2y berarti x = y, sehingga g fungsi injektif (1-1). Akan tetapi g tidak surjektif, s urjektif, karena terdapat 2/3 adalah bilangan rasional tetapi 2/3 ≠ 2 = g(x), ∀x ∈ Z x
Contoh 3. Homomorfisma h dari Z ke 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk
∀a ∈
Z.
maka h merupakan isomorfisma, sebab: i.
h injektif : ∀a, b
∈ Z, jika h(a) = h(b) maka 2a = 2b atau a = b
ii. h surjektif : ∀x ∈ 2Z maka x = 2n = h(n), untuk suatu n
∈Z
Teorema 1. : Jika f homomorfisma dari G ke G’ maka : f monomorfisma jika dan hanya jika ker f = {e}, dengan e elemen identitas dari G Bukti : sebagai latihan mahasiswa
Pengantar struktur struk tur Aljabar jabar
48
Pertemuan 10
TUGAS MANDIRI : setiap mahasiswa menganalisa homomorfisma yang dimiliki dalam kelompoknya, apakah monomorfisma, epimorfisma, isomorfisma atau bukan, silakan setiap mahasiswa melengkapi contoh yang belum dimiliki. Soal-soal Latihan : 1. Misalkan G adalah grup dari semua bilangan real positif terhadap perkalian dan G’ grup dari semua se mua bilangan real terhadap penjumlahan dan pengaitan f dari g ke G’ didefinisikan, f(a) = log a untuk ∀a
∈ G.
Tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma. 2. Misalkan Z adalah grup dari bilangan-bilangan bulat, maka pengaitan di bawah ini mana yang merupakan homomorfisma dan mana yang bukan : ∀a
∈Z a
a. g(a) = |a|
b. h(a) = 2a, c. k(a) = 2 , d. l(a) = 0,
selanjutnya,
selidiki
homomorfisma
tersebut
e. p(a) = -a
monomorfisma,
epimorfisma atau isomorfisma atau bukan 7
2
3
4
5
6
3. Misalkan G = {a =e, a, a , a , a , a , a } adalah grup siklik dan G* = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} suatu grup bilangan bulat modulo 7. Tunjukkan bahwa G ~ G* 4. Jika diberikan homomorfisma θ : Z → Z7 yang memenuhi sifat θ(1) = 4 , maka tentukan : A. nilai θ(25) ;
B. Kernel θ
5. Diberikan grup G dan g ∈ G , didefinisikan pengaitan φg : G → G sebagai :
φ g ( x) = gxg−1 , ∀x∈ G maka tunjukkan apakah φ g suatu
isomorfisma? 6. Diberikan grup G dan didefinisikan pemetaan φ : G → G sebagai :
φ ( x) = x−1 , ∀x∈ G maka : i. Tunjukkan bahwa φ bukan homomorfisma ii. Jika G grup komutatif tunjukkan bahwa Pengantar struktur struk tur Aljabar jabar
φ
isomorfisma 49
