KALKULUS III DRA. MUSTAMINA MAULANI, MT (Prodi Teknik Perminyakan / 3 sks)
MATERI MATERI
1. Integr Integral al lipat lipat Dua Dua Koordi Koordinat nat Polar Polar - Aplikasi 2. Integ Integra rall Lipat Lipat Tig Tigaa - Koord oordin inaat Kart artesi esian - Koordi rdinat Ta Tabung - Apli Aplika kasi si Int Integ egra rall Lipa Lipatt Ti Tiga 3. Kalkul Kalkulus us Vektor ktor - Dife iferen rensia sial Ve Vektor tor - Grad Gradie ien n Di! Di!er erg gensi ensi dan dan "ur "urll #. Inte Integr gral al Gar Garis is - Definisi - Aplikasi - Tak Te Tergan rgantu tung ng Lin Linta tasa san n - Teore$a Gr Green - %luks dan "url % &. Integ Integra rall Per$ Per$uk ukaa aan n - Definisi - Aplikasi - %luks - Teore$ ore$aa Di! Di!er erg gensi ensi Gaus Gausss
!UKU A"AR
1. Kre'(ig Kre'(ig )Ad!an* )Ad!an*ed ed +ngineerin +ngineering g ,ate$ati* ,ate$ati*s. s. +disi +disi &. 2. Pur*el Pur*el Va Varberg dan /igdon /igdon )Kalkulu )Kalkuluss 0ilid 0ilid 2. +disi +disi . .
PENILAIAN
T #45 6 A &45 6 7I8 9TGA: 145
1
KALKULUS 3
INTE#RAL LIPAT DUA K$$RDINAT P$LAR
'
9r?: r ? 4
=
Ga$bar 1;Kaitan 1;Kaitan Koordinat Koordinat "artesian < Polar
%.% De&inisi
Koordinat Polar; = > r *os ? dan ' > r sin ? 4 @ ? @ 2 π 9 ara ? berlaanan dg ara 0aru$ 0a$ ? > 4 o adala su$bu = positif: dan r >
x
2
+ y 2
.
∫∫ F 9 x y : Maka D
dA =
∫∫ F 9 r θ :
r dr d θ
D1
2
%.' !eeraa #ra&ik yan* !er+n*an den*an Koordina- Poar
Koordina- Kar-esian Lingkaran ; ' 0 y' 1 a' Pusat 944: dan 0ari 2 ; a ' a -
r 2*os2 ? 6 r 2 sin2 ? > a2 r1a
4 -a
Koordina- Poar
= a
-a
Lingkaran ; ' 0 y' 2 'a 1 9= B a:2 6 '2 > a2 Pusat 9a4: dan 0ari 2 ; a
r 2*os2 ? 6 r 2 sin2 ? B 2a r *os ? > 4 r 1 'a 4os 5
'
2a =
Lingkaran ; ' 0 y' 2 'ay 1 =2 6 9' B a: 2 > a2 Pusat 94a: dan 0ari 2 ; a
r 2*os2 ? 6 r 2 sin2 ? B 2a r sin ? > 4 r 1 'a sin 5
' 2a
=
3
La-i+an
1. Diketaui D daera 'ang dibatasi = 2 6 '2 > # '>= '>4 dikuadran I. x dA Tentukan ∫∫ .
D
= 2 6 '2 B #= > 4. Tentukan
1. Diketaui D daera 'ang dibatasi ∫∫ D
1 x 2 + y 2
dA
.
2. Diketaui D daera 'ang terletak diluar = 2 6 '2 > 1 dan didala$ = 2 6 '2 B 2' > 4. Tentukan ∫∫
x 2 + y 2
dA
D
.
3. Diketaui D daera 'ang dibatasi = 2 6 '2 6 C' > 4 dan di sebela kanan su$bu '. Tentukan
∫∫ y D
dA
.
%.6 APLIKASI INTE#RAL LIPAT DUA
1. Luas Daera ika D daera pada bidang =' $aka luas D adala ; dA L 1 ∫∫ D
#
2. Titik Pusat ,assa ika D daera pada bidang =' dan
ρ 9=':
rapat $assa disetiap titik
pada D $aka ; ,assa D > $ >
∫∫ ρ dA D
y ρ dA ,o$en teradap su$bu = > , = > ∫∫ D
x ρ dA ,o$en teradap su$bu ' > , ' > ∫∫ D
Titik Pusat $assa > 9
x y :
>9
M y M x : m m
3. ,o$en Inersia ,o$en Inersia teradap su$bu = > I = > ,o$en Inersia teradap su$bu ' > I ' >
∫∫ y
2 ρ dA
D
∫∫ x
2
ρ dA
D
%.7 La-i+an
1. Diketaui D daera 'ang dibatasi
' >
# − x2
di atas su$bu =.
Tentukan ; a. Luas daera D. b. Titik pusat $assa D 0ika rapat $assa E9=': >
k x 2
+ y 2
k konstanta.
&
2. Diketaui D daera 'ang dibatasi = 2 6 '2 B ' > 4 dikuadran I. Tentukan; a. Titik pusat $assa D 0ika rapat $assa E9=': > k k konstanta.
b. ,o$en Inersia teradap su$bu = dan su$bu '.
3. Diketaui D daera 'ang terletak diluar = 2 6 '2 > # dan didala$ =2 6 '2 B #=> 4. Tentukan Titik pusat $assa D 0ika rapat $assa E9=': > k' k konstanta.
INTE#RAL LIPAT TI#A
A. INTE#RAL LIPAT TI#A K$$RDINAT 8ARTESIAN %. De&inisi
ika F benda 'ang dibatasi beberapa per$ukaan pada ruang kartesian ='( $isalkan %9='(: fungsi 'ang terdefinisi pada F. ,aka Integral Lipat Tiga dari fungsi %9='(: pada daera F adala ;
C
∫∫ ∫
F 9 x. y z : dV
B
dengan dV ; Diferensial ele$en !olu$e 9d= d' d(:
( F F bras ' 4
=
Ga$bar C; /uang F pada su$bu "artesian ='( '. Si&a- In-e*ra Lia- Ti*a 9 F + G : 9 x y z : dV =
1. ∫∫ ∫ B
∫∫ ∫
F 9 x y z : dV +
B
2. ∫∫ ∫
∫∫ ∫
G 9 x y z : dV
B
9α F : 9 x y z : dV = α ∫∫ ∫ F 9 x y z : dV
B
B
3. Ta&siran In-e*ra Lia- Ti*a
(
( > g29 =': F ( > g19=': *
d '
= > p19': = > p29':
D
=
Ga$bar ; Tafsiran I Integral lipat tiga
ika F benda 'ang dibatasi p 19': @ = @ p 29': * @ ' @ d dan g1 9=': @ ( @ g29=.': $aka d
∫∫ ∫
= ∫ ∫∫ F 9 x y z : dz dA F 9 x. y z : dV
cD d p2 9 y : g 2 9 x y :
B
= ∫
∫
∫
F 9 x y z : dz dx dy
c p19 y : g 19 x y :
(
g29=':
F g19=': 4
' H19=:
H29=:
a D b Ga$bar ; Tafsiran II Integral D lipat tiga =
ika F benda 'ang dibatasi a @ = @ b H 19=: @ ' @ H29=: dan g19=': @ ( @ g29=.': $aka =
∫∫ ∫
F 9 x. y z : dV
B
=
b
∫ ∫∫ F 9 x y z :
dz dA
aD b q 2 9 y : g 2 9 x y :
∫
∫
∫
F 9 x y z : dz dy dx
a q1 9 y : g 1 9 x y :
#amar !idan* di Ran* -i*a Dimensi
1. Li$as
a= 6 b' 6 *( > d di$ana ab* dan d
≠ 4.
"ara $engga$bar; •
Perpotongan dengan su$bu =
→ ' > (> 4 → a= >d → x = d → a
d a
koordinatn'a 9 44: •
Perpotongan dengan su$bu ' → = > (> 4 → b' >d → y =
d b
→
d b
koordinatn'a 9 44: •
Perpotongan dengan su$bu (
→ = > '> 4 → *( >d → z = d → c
d c
koordinatn'a 9 44:
(
'
Ga$bar 1. Li$as egitiga 2.
Paraboloida
z = x 2 + y 2
"ara $engga$bar; $is x = 4 → z = y 2 9 di bidang J8 berbentuk parabola: $is
y = 4 →
z = x 2
9 di bidang 8 berbentuk parabola:
14
Ga$bar 2. Paraboloida
3.
ilinder M Tabung
x 2 + y 2 = r 2
Ga$bar 3. Tabung M silinder
#.
Keru*ut Tegak
z =
x
2 + y 2
11
Ga$bar # . Keru*ut
&.
Fola
x 2 + y 2 + z 2 = r 2
Ga$bar &. Fola 6. La-i+an
1. ika F benda 'ang dibatasi 1 @ = @ C 2 @ ' @ 4 @ ( @ #. Tentukan
12
∫∫∫ 9 −# x + y
2 z : dV .
B
2. ika F benda 'ang dibatasi 2= 6 3' 6 C( > 12 bidang = > 4 ' > 4 ( > 4. 2 Tentukan ∫∫∫ 9 zx + 2 y :
dV .
B
3. ika F benda 'ang dibatasi silinder parabolik ' > = 2 ( > 4 ( > # dan ' >C Tentukan
∫∫∫ 9 2 yx − y
2
: dV .
B
!. INTE#RAL LIPAT TI#A K$$RDINAT SILINDER (TA!UN#) %. De&inisi
Koordinatn'a 9r ? ( : di$ana; = > r *os ? ' > r sin ? (>( 4 @ ? @ 2 π 9ara ? belaanan ara 0aru$ 0a$ ? > 4 o su$bu = pos: . r>
x 2 + y 2
,aka
.
∫∫∫ F 9 x y z : dV = ∫∫∫ F 9r θ z : r dz dr d θ B
B
13
(
9r?(: (
' ?
r
=
Ga$bar ; Kaitan koordinat kartesian dan koordinat silinder
'. La-i+an
1. ika F benda 'ang dibatasi ( > = 2 6 '2 dan bidang ( > # Tentukan ∫∫∫ 2 x dV . B
2. ika F benda 'ang dibatasi ( > = 2 6 '2 dan ( > # B = 2 B '2. Tentukan ∫∫∫
x
2 + y 2 dV .
B
3. ika F benda 'ang dibatasi ( > ∫∫∫ 93 y + 1:
x 2 + y 2
dan ( > 2 B = 2 B '2. Tentukan
dV .
B
#. ika F benda 'ang dibatasi diluar = 2 6 '2 > #di dala$ ( > B =2 B '2 dan di atas bidang 8 > 4. Tentukan ∫∫∫ B
1 x 2 + y 2
dV .
1#
&.
ika F benda 'ang dibatasi ( > # B = 2 B '2 =2 6 '2 B 2= > 4 di atas (> 4. 2 y dV . Tentukan ∫∫∫
B
C. ika F benda 'ang dibatasi ( > = 2 6 '2 dan =2 6 '2 6 (2 > 2. xy dV . Tentukan ∫∫∫
B
. ika F benda 'ang dibatasi ( > = 2 6 '2 =2 6 '2 > 1 ( > #. Tentukan
∫∫∫ y
2
dV .
B
8. APLIKASI INTE#RAL LIPAT TI#A %. 9ome
ika F benda pada ruang ='( $aka Volu$e F adala ; dV 9 1 ∫∫∫
B
'. Ti-ik Psa- Massa
ika F benda pada ruang ='( dan
ρ 9='(:
rapat $assa disetiap titik
pada F $aka ; •
ρ dV Massa ! 1 m 1 ∫∫∫
•
ρ z dV Momen -er+ada idan* y 1 M y 1 ∫∫∫
•
ρ x dV Momen -er+ada idan* y: 1 My: 1 ∫∫∫
•
ρ y dV Momen -er+ada idan* : 1 M: 1 ∫∫∫
•
Ti-ik Psa- massa 1 (
B
B
B
B
x y
,
z )
1(
M yz M M xy xz : m m m
3. Momen Inersia
1&
•
2 2 Momen Inersia -er+ada sm 1 I 1 ∫∫∫ ρ 9 y + z : dV
•
2 2 Momen Inersia -er+ada sm y 1 I y 1 ∫∫∫ ρ 9 x + z : dV
•
2 2 Momen Inersia -er+ada sm : 1 I : 1 ∫∫∫ ρ 9 x + y : dV
B
B
B
6. La-i+an
1. ika F benda 'ang dibatasi = 2 6 '2 > # bidang ( > 4 dan ( > C. Tentukan a. Volu$e F b. Titik pusat $assa F 0ika rapat $assa F adala E9='(: > k( k konstanta.
2. ika F benda 'ang dibatasi ( > 12 - = 2 - '2 =2 6 '2 > 1 =2 6 '2 > # dan ( > 4. Tentukan ,o$en Inersia teradap su$bu = su$bu ' dan su$bu (.
3. ika F benda 'ang terletak diluar ( >
x 2 + y 2
didala$ =2 6 '2 6
(2 > 1 dan bidang (>4. Tentukan titik pusat $assa F 0ika rapat $assa E > k konstanta.
1C
KALKULUS 9EKT$R.
3.%. Di&erensia 9ek-or
ika %9u: > % 19u: i 6 % 29u: 0 6 %39u: k suatu fungsi !ektor $aka Diferensial !ektor %9u: adala ; dF du
=
d 2 F du 2
dF 1 du
=
i +
d 2 F 1 du 2
dF 2 du
i +
j +
d 2 F 2 du 2
dF 3 du
k
2
j +
d F 3 du 2
k
Peratikan sebua fungsi % 'ang $engubungkan sebua !ektor %9p: dengan setiap titik p dala$ ruang berdi$ensi n .%ungsi ini disebut $edan !ektor . "onto ; 1. %9=': > -2 = i 6 3M2 ' 0
dala$ ruang berdi$ensi 2
2. %9='(: > = i - ' 0 6 #( k dala$ ruang berdi$ensi 3.
e*ara u$u$ $edan !ektor dala$ ruang 3 di$ensi ditulis %9='(: > P9='(: i 6 79='(: 0 6 /9='(: k
1
3.'. #radien, Di;er*ensi dan 8r a. $era-or Di&erensia ;ek-or De
Notasi
; ∇
Definisi ;
∇=
∂ ∂ x
i +
∂ ∂ y
j +
∂ ∂ z
k
. #radien
Notasi
; ∇ f dengan f 9= ' (: suatu fungsi skalar ∂ ∂ ∂ i + j + k : f = ∂ x ∂ y ∂ z ∂ f ∂ f ∂ f i + j + k ∂ x ∂ y ∂ z
∇ f = 9
Definisi ;
4. Di;er*ensi < / Di! < di -i-ik
Adala ke*enderungan fluida $eninggalkan titik p 9 di!.% O 4: atau $engu$pul $enu0u p 9di!.% 4:.
Notasi
;
∇ . F
dan %9='(: > P9='(: i 6 79='(: 0 6 /9='(: k $edan !ektor.
1
∇ . F = 9
Definisi ; ∇ . F =
∂ P ∂Q ∂ R + + ∂ x ∂ y ∂ z
∂ ∂ x
i +
∂ ∂ y
j +
∂ ∂ z
k : . 9 P i + Q j + R k :
9suatu fungsi s*alar:
d. 8r <
Notasi
; ∇ x F
,en'atakan ara su$bu di$ana fluida berotasi 9$elingkar: paling *epat. Ara rotasi $engikuti aturan tangan kanan.
i ∂ "url%> ∇ x F >
j
k
∂
∂
∂ x ∂ y
∂ z
>
P Q R ∂ R ∂Q ∂ R ∂ P ∂Q ∂ P − j + i − ∂ x − ∂ z ∂ x − ∂ y k ∂ ∂ y z
Latian; Tentukan di!.% dan *url % dari ; 1.
F 9 x y z : = x 3 yz i + 2 xyz 2 j + 3 xz k
1
2.
F 9 x y z : = e x *os x i + e x sin y j + zk
Tentukan a.
∇ f dari;
f 9 x y z : = x
3
+ 2 xyz 2 + 3 z
1
3 2 2 b. f 9 x y z : = 9 x + y + z :
2
INTE#RAL #ARIS
6.%.De&inisi
24
ika %9=': > ,9=': i 6 N9=': 0
suatu $edan !ektor dan " suatu
lintasan terbuka dari titik A ke F $aka Intergral !ektor %9u: teradap lintasan " atau disebut Integral Garis 'aitu ;
∫ F 9 x y :
dX
dengan
C
d
>
d=
i
6
d'
0
!
A 1
∫ M dx + N dy .
C
8on-o+ %
Qitungla integral garis
∫ xy
2
C
dx + xy 2 dy
di sepan0ang lintasan
C = C 1 C 2 'ang $engubungkan titik 942: 932: dan 93&:.
93&: "2 942:
"1
932:
"a=a
Pada garis C 1 ' > 2 $aka d' > 4 eingga
∫ xy C 1
2
dx + xy 2 dy
> 1
21
Pada garis C 2 => 3 $aka d= > 4 eingga adi ∫ xy
2
∫ xy
2
dx + xy 2 dy
C 2
dx + xy 2 dy
C
> 11.
> 13&.
ika " adala busur lengkungan dari A ke F $aka integral garis adala
∫ F 9 x y :
d!
C
Peritungann'a $enggunakan para$eter t di$ana x = x 9" : dan y = y 9" :
seingga
d# =
b ∫ F 9 x 9" : y 9" :: a
T x S 9" :R 2 + T y S 9" :R 2
2 2 T x S 9" :R + T yS 9" :R
dt
$aka
∫ F 9 x y : d! = C
dt.
8on-o+ '
22
Qitungla
∫ x
2
y d!
C
y = 3 sin " 4
0ika " lengkungan persa$aan para$eter
≤ " ≤
x
=3
*os "
π
2
"a=a π
∫ x C
2
y d!
> 2∫ 93 *os " : 2 93 sin " :
9 −3 sin " : 2
+ 93 *os " : 2
d" >
2
4
6.'. Aikasi
a. ,assa 9$: ika rapat $assa
ρ = ρ 9 x y z :
$aka $ >
∫ ρ d! C
.
b. ,o$en $assa 9 , : ∫ Teradap su$bu = ; M x = C
y ρ d!
Teradap su$bu ' ;
*. Titik pusat $assa
M y
= C ∫ x ρ d! .
9 x y : > 9
M y M x : m m
6.3. Tak Ter*an-n* Lin-asan ( !eas Lin-asan)
23
De&inisi F 9 X : dX ntuk setiap " lengkungan dari titik A ke F. Nilai ∫ tetap C
argan'a $aka dikatakan
∫ F 9 X : dX tidak tergantung lintasan dari A
C
ke F. "1
F
A "2
∫ F 9 X :
dX
C 1
∫ F 9 X : dX > C 2
F 9 X : dX Artin'a ∫ tidak tergantung lintasan dari titik A ke F $elalui " 1 C
atau "2.
Teorema %
ika " lengkungan li*in dari titik A ke F. fungsi f9=: terdefinisi dan kontinu pada daera terbuka 'ang $e$uat " $aka ;
∫ ∇ f 9 x: . dX = f 9 B : −
f 9 A:
C
2#
Teorema '
ika f9=: $edan !e*tor 'ang kontinu pada daera tersa$bung sederana. ,aka C ∫ F 9 X : dX tidak tergantung lintasan dari A ke F 0ika dan an'a 0ika terdapat $edan konser!atif f seingga F 9 x: = ∇ f 9 x :
Un-k menn>kkan < medan konser;a-i&
1. ika
F 9 x y : = M 9 x y : i + N 9 x y : j
$aka % konser!atif 0ika
$e$enui ∂ M ∂ N = ∂ y ∂ x
2. ika
F 9 x y z : = P 9 x y z : i + Q 9 x y z : j + R 9 x y z : k $aka
konser!atif 0ika
cur$
F = 4
%
atau
∂Q ∂ P ∂ R ∂Q ∂ R ∂ P = = = U U ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ x ∂ z
Lan*ka+ 2 an*ka+ menn>kkan tidak tergantung lintasan dari
titik A ke F adala ; %. Tun0ukkan % konser!atif. '. Tentukan f agar
F 9 x : = ∇ f 9 x: .
F 9 X : dX = f 9 B: − f 9 A: 3. ∫ C
2&
La-i+an Soa.
1. Tentukan
apaka
F 9 x y : = 9 # x 3 + I x 2 y 2 : i + 9C x 3 y + C y & : j
konser!atif dan 0ika 'a tentukan fungsi f . 2. ,isalkan
∫
C
F 9r : = F 9 x y : = 9 # x 3 + I x 2 y 2 : i + 9 C x 3 y + C y & : j .
9 # x 3 + I x 2 y 2 : dx + 9C x 3 y + C y & : dy
Qitungla
di$ana " adala sebarang
lintasan dari 944: ke 912:. 9langka 1; Tun0ukkan % konser!atif langka 2; itung $enggunakan teore$a 1:
6.6. Teorema #reen ada !idan* Teorema #reen
D
D D "
2C
ika " lengkungan tertutup sederana 'ang $erupakan D dan
F 9 x y : = M 9 x y : i + N 9 x y : j suatu
batas daera
$edan !e*tor . ,9=':
dan N9=': kontinu dan $e$pun'ai turunan parsial pada D dan ". ,aka ; atau
∂ N ∂ M − : dA ∂ ∂ x y D
∫ F 9 x y : . dX = ∫∫ 9 C
∂ N ∂ M : dA − ∂ ∂ x y D
∫ M 9 x y : dx + N 9 x y : dy = ∫∫ 9 C
No-e ara positif " adala berlaanan ara 0aru$ 0a$.
La-i+an Soa;
1. ,isalkan " adala batas segitiga dengan titik-titk 944: 912: dan 942: itungla
2 ∫ 2 x y dx + 3 x dy C
dengan $enggunakan $etode langsung dan Teore$a Green. 2. Dengan Teore$a Green dari
∫ 9 x
2 + y : dx + x 2 y dy
lengkungan 'ang dibatasi ole di luar 9 x
− 2: 2 +
y2
0ika " adala
C x 2
+
y2
=#
dan di dala$
= #.
6.7. <ks dan Sirkasi
a. <ks (Teorema Di;er*ensi #ass) %luks; 0u$la 9neto: fluida 'ang $eninggalkan D per satuan aktu dari $edan !ektor % 'ang $en'eberangi kur!a " ke ara luar .. ika n !ektor nor$al satuan 'ang tegak lurus teradap D $aka n D D D " "
2
%luks 'ang $en'eberangi " >
∫ F .% d! 1 ∫∫ di& F dA
1
D
C
∂ M ∂ N R dA + ∂ ∂ x y D ∫∫ T
b. Sirkasi (Teorema S-okes) Adala irkulasi M ke*enderungan fluida untuk berputar pada titik 9 x4 y4 : . ika "url % > 4 pada D $aka aliran fluida dikatakan tidak
dapat berputar. ∫ F .' d! > ∫∫ 9Cur$ F : . k dA > ∫∫ T ∂ N − ∂ M R dA
C
D
D
∂x
∂ y
"onto; Diketaui ,edan !ektor F 9 x y : = −
1 2
yi +
1 2
x j
adala $edan
ke*epatan dari roda stabil 'ang berlaanan dengan ara 0aru$ 0a$ teradap su$bu (..Qitungla %luks dan irkulasin'a. aab; F .% d! ∫∫ di& F dA a. %luks > ∫ > 1 C
b.
irkulasi
D
1
"url
%
>
∂ M ∂ N R dA 1 + ∂ ∂ x y D ∫∫ T
∫ F .' d! C
>
∫∫ 9Cur$ F : . k dA >
D
∂ N ∂ M − R dA 1 Luas A. ∂ ∂ x y D ∫∫ T
2
INTE#RAL PERMUKAAN &.1 De&inisi
,isalkan bagian dari per$ukaan
z = f 9 x y : di$ana
9=': berada
dala$ D pada bidang J . ika f $$pun'ai turunan parsial orde perta$a 'ang kontinu dan
g 9 x y z : = g 9 x y f 9 x y :: kontinu
$aka Integral Per$ukaan dari
∫∫ g 9 x y z : !
g 9 x y z : pada
d! = ∫∫ g 9 x y f 9 x y ::
pada D
adala;
f x 2 + f y 2 + 1 dA
D
Di$ana d adala ele$en diferensial luas per$ukaan
2
(> f9=':
D
dan D adala pro'eksi teradap bidang J.
&.2 Aikasi
a. Luas Per$ukaan ika
g 9 x y z : >1
d! $aka ∫∫ adala luas per$ukaan. !
b. ,assa > $ ika rapat $assa diketaui
ρ 9 x y z : $aka
ρ 9 x y z : d! $> ∫∫ !
"onto; Qitungla 2 x
∫∫ 9 xy + 2 z : d! di$ana bagian dari per$ukaan !
+ y + 3z = C .
34
aab; Pro'eksi teradap bidang J adala D 'ang $elalui titik 934: dan 94C:.
94C:
934:
2 1 z = f 9 x y : = 2 − x − y f x 3 3
eingga per$ukaan
2
1
3
3
dan xy + 2 z = xy + 2 9 2 − x − d! = f x 2
adi
#
+ f y 2 + 1 dA =
I
+
1 I
y : > xy + # −
+ 1 dA = 1M3
# 3
x
3
D
>
1 3
3
− 2 x + C
1# ∫
∫
4
4
3
2 3
2 3
f y
=−
1 3
y
1# dA
∫∫ 9 xy + 2 z : d! > ∫∫ 9 xy + # − # x − 2 y : 1 !
−
=−
3
1# dA
# 2 9 xy + # − x − y : dy dx 3 3
diselesaikan dengan $enggunakan integral lipat 2.
31
Latian; 93 xyz : d! 1. Qitungla ∫∫ di$ana bagian dari per$ukaan !
z 2
= x 2 + y 2
di antara ( > 1 dan ( > .
2. Tentukan luas per$ukaan dari bagian per$ukaan pada soal no.2.
7.3.
<ks Medan 9ek-or yan* Meai Permkaan
n
n
Pada per$ukaan 'ang bersisi dua seperti la'ar dan andaikan terdapat fluida 'ang dapat $engalir $elalui per$ukaan tersebut dari satu sisi ke sisi 'ang lain. Andaikan 0uga per$ukaan tersebut li*in 'ang berarti $e$pun'ai nor$al satuan n ara ke atas 'ang beruba-uba se*ara kontinu..ika adala per$ukaan 'ang bersisi dua seperti definisi di
32
atas dan diasu$sikan di*elupkan ke dala$ fluida dengan $edan ke*epatan kontinu %9='(:. . ,aka ; F • % d! %luks 'ang $en'eberangi adala > ∫∫ "A/A 1 !
"onto; Tentukan fluks ara ke atas dari
F = − yi + xj + Ik
'ang
$en'eberangi bagian dari per$ukaan bola 'ang dibentuk ole z = f 9 x y : >
I − x 2 − y 2
4 ≤ x 2 + y 2 ≤ #
aab; ,edan % adala arus rotasi 'ang $engalir pada ara su$bu ( positif. Persa$aan dari per$ukaan dapat ditulis sbb; ( 9 x y z : >
%=
∇ ( (
>
I − x 2 − y 2
z −
− f x i − f y j + k f x 2 + f y 2 + 1
>
> z − f 9 x y : = 4 x y 9 :i + 9 : j + k z z x y 9 :2 + 9 :2 + 1 z z
x y 9 :i + 9 : j + k x y z z i + j + k > z > 3 3 3 3 z
,aka fluks % 'ang $en'eberangi din'atakan dengan F • % d! > ∫∫ !
x
y
z
> ∫∫ 9− yi + xj + Ik : • 9 3 i + 3 j + 3 k : d! !
3 3 z d! ∫∫ z dA >3C π satuan kubik. 3 ∫∫ > > z
!
D
Teorema
,isalkan adala per$ukaan $ulus bersisi dua 'ang dibentuk ole z = f 9 x y :
di$ana 9=' : ada di dala$ D dan $isalkan n
$ela$bangkan nor$al satuan k ara atas pada . ika f $e$pun'ai
33
turunan parsial orde perta$a 'ang kontinu dan
F = Mi + Nj + Pk
adala
$edan !ektor kontinu $aka fluks % 'ang $en'eberangi dapat din'atakan dengan; F • % d! 9 − M f x − N f y + P : d A %luks % > ∫∫ > ∫∫ "A/A 2 !
D
"onto ; F = xi + yj + zk
Qitungla fluks $edan !ektor bagian dari paraboloida
z = 1 − x 2 − y 2
'ang $en'eberangi
'ang terletak di atas bidang ='
dengan n !ektor nor$al ke ara atas. aab; f 9 x y : = 1 − x 2 −
y2
f x = −2 x f y = −2 y
− Mf x − Nf y + P = 2 x 2 + 2 y 2 + z >
>
∫∫ F • % d! > !
∫∫ 91 + x
1 + x 2
+
2 x 2 + 2 y 2 + 1 − x
2
− y2
y2
2 + y 2 : d A
D
2π 1
2 : r dr d θ
> ∫ ∫ 91 + r
>
3
π
4 4
2
F = yi − xj + 2k 'ang
$en'eberangi
oal; 1. Qitungla fluks % $edan !ektor bagian dari pe$ukaan
z =
1 − y2
4 ≤ x ≤ & dengan $enggunakan
teore$a. 2. Qitungla fluks % $edan !ektor bagian dari per$ukaan x 2 + y 2 = 1
z =
x 2
F = 2i + & j + 3k 'ang
+ y 2
$en'eberangi
'ang berada di dala$ silinder
.
3#
7.6. Teorema Di;er*ensi #ass
,isalkan
F = Mi + Nj + Pk
adala $edan !ektor sede$ikian rupa
seingga , N dan P $e$pun'ai turunan-turunan parsial orde perta$a 'ang kontinu pada benda padat 'ang $e$pun'ai batas ∂! .. ika n $ela$bangkan n nor$al satuan luar 'ang tegak lurus teradap ∂! $aka di& F dV F • % d! %luks % > ∫∫ > ∫∫∫
∂!
!
∂ M
∂ N
∂ P
> ∫∫∫ T ∂ x + ∂ y + ∂ z R dV !
"A/A 3
"onto; 1. Qitungla fluks
dari
$edan !ektor
F = xi + yj + zk
'ang
$en'eberangi >
9 x y z : ; x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2
dengan $enggunakan Teore$a Gauss.
aab; di& F dV dV Karena di! % > 3 $aka fluks % > ∫∫∫ > 3 ∫∫∫ > !
#π a 3
!
3
#π a 3 = 3
.
2. ,isalkan adala silinder padat 'ang
dibatasi ole
x 2
+
y2
= #
( > 4 dan ( > 3. ika n adala nor$al satuan luar teadap batas ∂! . ,is
F = 9 x 3
+ tan yz :i + 9 y 3 − e xz : j + 93 z + x 3 : k . Tentukan fluks 'ang
$en'eberangi ∂! . aab; Di! % >
3 x 2
+ 3 y 2 + 3 = 39 x 2 +
y2
+ 1:
3&
