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Este libro pequeño en tamaño, pero grande en diversión y conocimient o está dedicado a mi familia, Zenaida mi esposa, Walter Fabiola y Carla mis hios
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INTRODUCCIO N
El presente trabao es pequeño en tamaño, pero grande en conocimiento y diversión! Este trabao está dirigido especialmente a estudiantes y docentes del primer ciclo del nivel primario, pero los uegos con palitos de fósforo están creados para divertir a grandes y chicos! El obetivo fundamental de este libro es destacar la parte del uego que se necesita para resolver cualquier acertio, no es averiguar los conocimientos profundos que tiene en matemáticas! "o #nico que necesitan es estar de acuerdo a divertirse y aprender matemáticas ugando! $orque al resolver cada problema o ugar cada uego estamos creando habilidades de pensamiento lógico, estrategias para resolver problemas, ra%onamiento y sobre todo es divertirse! El contenido de esta obra tiene desde la historia del fósforo, palitos geom&tricos, construcción con palitos, palitos mágicos, además de todo tipo de uegos con palitos como ser el nim, el nimbi, palitos montoneros, palito loco y muchos otros que están dirigidos a que te diviertas y aprendas! 'lgo muy importante es que esta obra te brinda todas las soluciones de todos los problemas planteados en el libro, pero recomendamos que antes de recurrir a ella piense un poco y divi&rtase intentando resolver los problemas! ( ahora divertirse!
a
E" ')*+ 5
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INDIC E
$ag! -edicatoria........................ .............. / 0ntroducción....................... .............. 1 2ndice.......................... ...............! 3 0! 405*+0' -E "+5 F+5F++5 0! 4istoria de los fósforos.......................... ...61 00! $'"0*+5 7E+8E*0C+5 9!6! Con 69 fósforos ......................... ...!!6: 9!9! Con ; fósforos ......................... ....!6: 9!/! 8asa palitos de fósforo .......................!9< 9!=! Cambiar la posición .........................! 9< 9!1! / cuadrados iguales .........................! 96 7
9!>! 9!3! 9!;! 9!:! 9!6
)na hacha ......................... ......96 "a lámpara ......................... .....!!69 *riángulos con fósforos ........................9/ ?Cuál es el m@nimoA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!9/ El pe% ......................... .........!!9= Cuatro triángulos ......................... ..9=
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9!69!
"a guinda y la copa .........................! 6> 9!6/! "a copa y la aceituna ........................6> 9!6=! El cerdito ......................... .......!63 9!61! )n tercio de triangulo ........................ 63 9!6>! El templo griego ......................... ..!!6; 9!63! )na flecha ............................ ... 6; 9!6;! 6> cuadrados ......................... .....6: 9!6:! $uro cuadrados ......................... ...6: 9!9
......................... ......96 9!9=! "a iglesia ......................... .......!96 000! '0*8E*0C' C+B $'"0*+5 /!6! 'gregue tres palitos...................... ....99 /!9! +tra suma ......................... ......!9/ /!/! 5igamos quitando palitos......................! 9/ /!=! uitemos tres palitos...................... ...9=
/!1!
'umentando tres ......................... .!!91 /!>! 'hora con cinco palitos .......................9> /!3! Con seis es mas dif@cil ........................!!9 > /!;! Cuatro palitos ......................... ....93 /!:! +tra multi ......................... ......!9; /!6 D0! -E 05)0E-' ' -EEC4'
>!6!
-e i%quierda a derecha..................... ..!/3 D00! EB B)EDE C'50""'5 3!6! En nueve casillas!! ......................... ..!/; D000! "+5 $'"0*+5 8'70C+5 ;!6! ?Cuántos fósforos quedanA .!..................../: ;!9! Fósforos mágicos.................. ........../:
;!/!
$alitos voladores ......................... ..!/: 0! $'"0*+5 8+B*+BE+5 :!6! $alitos montoneros ......................... .=6 ! C'G0*'5 8'70C'5 6! Con tres rayas ......................... ....!=1 66!3! HCuidado no te
quemesH..................... ..!=1 66!;! Convertir tres en cuatro .......................=1 66!:! En cuatro pie%as id&nticas .....................!!=1 66!6 66!66! Ciento cuarenta ......................... ..!!=> 66!69! Cuadrado achicado .........................! =>
66!6/! Con /9 palitos ......................... ....=3 00! G)E7+ C+B $'"0*+5 69!6! Guego con palitos ......................... ..=; 000! E" $'"0*+ "+C+ 6/!6! El palito loco ......................... ....!1< SEGUNDA PARTE SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS 00! $'"0*+5 7E+8E*0C+5 9!6! Con 69 fósforos ......................... ...!!1> 9!9! Con ; fósforos ......................... ....13 9!/! 8as palitos de fósforo ........................1: 9!=! Cambiar la posición ......................... 1: 9!1! / cuadrados iguales ......................... >< 9!>! )na hacha ......................... ....!!.>< 9!3! "a lámpara
9!;! 9!:! 9!6
......................... .....!>6 *riángulos con fósforos .......................!!>9 ?Cuál es el m@nimoA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!>/ El pe% ......................... .........>= Cuatro triángulos ......................... .!!>1 "a guinda y la copa ......................... >>
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Convertir tres en cuatro ......................!6<9 66!:! En cuatro pie%as id&nticas .....................6
I. HISTORIA DE LOS FÓSFOROS
En cierta ocasión los alumnos de la )niversidad )niversidad de $rinceton $rinceton EE!))! EE!))! preguntaron preguntaron al famoso cient@fico 'lbert ' lbert Einste Einstein, in, sobr sobre e que que invent invento o mode modern rno o consi conside dera raba ba importante! importante! El autor de la teor@a de la relatividad relatividad respo respondi ndió ó sin vacil vacilar ar Ilos Ilos fósf fósfor oros osJ! J! Deremo eremoss que que ten@a mucha ra%ón! Cuando el hombr e descubrió el fuego rápidamente se dio cuenta que pod@a emplearlo para cocinar, para combatir el frió y para iluminar las cavernas donde viv@a! Fue un paso importante hacia la civili%aci ón!
'l principio aprendió a producir producir fuego golpeando dos tro%os de piedra KpedernalL o frotando peda%os de madera seca! Estos m&todos muy primitivos todav@a son utili%ados en regiones aleadas de la civili%ación, civili%ación, en 'ustralia y las tribus del desierto de Malahari en 5udáfrica! Como el fuego se apaga rápidamente si no hay material combustible, los antiguos griegos y romanos conservan el fuego instalado braseros p#blicos en diversos sitios de la ciudad ciudad donde donde todos todos pod@an pod@an encender encender sus sus antorc antorchas has o braserillos para llevar fuego a sus hogares! h ogares! "o engorroso era mantener el fuego encendido el fuego sagrado del d@a y de la noche para lo cual era precisó una vigilancia constante! 5u cuidado quedo a cargo de los sacerdotes y sacerdotisas! Cuando el
fuego se apagaba era presagio de grandes calamidades, entonces los encargados de su cuidado eran condenados a muerte! Fue en la edad media cuando apareció un eslabón un peda%o de hierro que se friccionaba contra un pedernal para hacer saltar chispas a un material seco como la yesca y con el soplo ard@a en llamas! Este procedimiento fue el #nico usado en los pa@ses cultos durante siete siglos por lo menos, hasta que en 6>>:, un alquimista de 4amburgo llamado rand, descubrió un cuerpo simple eNtra@do de la orina, que inflamaba a la acción del aire y al que dio el nombre de IfósforoJ, que significa Iportador de lu%J! )n siglo mas tarde en 63>:, el qu@mico 5cheele eNtrao fósforos de los huesos y otras sustancias orgánicas! *ardo un tiempo en saberse como utili%ar el fósforo para usos industriales y dom&sticos En 6;<; se usaban unas cauelas impregnadas en un eNtremo con a%ufre, a%#car, clorato de potasio que para inflamarlas hab@a que sumergirlas en un pomito de vidrio que conten@a acido sulf#rico, lo cual resultaba complicado y peligroso! En 6;6> el qu@mico -erosne fue el primero que dicen que preparo fósforos miNtos que se encend@an por fricción directa! En 6;99 aparecieron unos tubitos de cristal llamados IprometeosJ, llenos de acido sulf#rico con una me%cla inflamable preparada con a%ufre y alumbre! 'l romper el tubo por la mitad se produc@a una llama instantánea, mas tampoco era de uso practico! $or fin allá en 6;/
El invento se atribuye al alemán oener, otros dicen que fue el 4#ngaro Gonas 0ronyi! -e este ultimo dicen que cuando fue alumno de la escuela polit&cnica de Diena, observo que frotando un compuesto de peroNido de plomo y a%ufre se produc@a una reacción de calor, entonces descubrió que añadiendo a este miNto una m@nima de fósforo se produc@a una llama!
$ara reali%ar su invento se encerró en su casa sin salir en muchos d@as y al fin apareció ante sus amigos con muestras de fósforo que hab@a inventado, el cual con un leve frot& en la pared encend@a! "os alemanes sostienen que el verdadero inventor del fósforo fue Federico Mammerer, en 6;/9! estos fósforos ten@an una cabe%a de fósforo blanco K de donde les viene el nombreL, clorato de potasio y goma! 5e encend@an al hacer pasar la cerilla entre dos papeles de lia! El paso final fue el de sustituir el antimonio por fósforo, naciendo as@ los congreves! Finalmente los fósforos de seguridad fabricados a base de fósforo amorfo, aparecieron en 5uecia en 6;19!
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II.
PALITOS GEOMETRICOS
En esta sección presentaremos una serie de acertios y problemas de construcción con palitos de fósforo, los cuales pretenden ser entretenidos y divertidos! El obetivo principal es despertar la capacidad de aplicar el ra%onamiento, estrategias y formas de resolver cada uno de los problemas y acertios que aqu@ se presentan! 2.1. CON 12 FOSFOROS Con doce fósforos puede construirse la figura de una cru% Kv&ase la figuraL, cuya área equivalga a la suma de las superficies de cinco cuadrados hechos tambi&n de fósforos! Cambie usted la disposición de las fósforos de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque sólo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados!
$ara resolver este problema no deben utili%arse instrumentos de medición de ninguna clase! 19
2.2. CON 8 FOSFOROS Con ocho fósforos pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado! 'lgunas pueden verse en la figuraO su superficie es, naturalmente, distinta!
5e plantea cómo construir con ; fósforos la figura de superficie máNima!
2.3. MAS PALITOS DE FOSFORO 4emos construido una casa utili%ando palitos de fósforo! Cambiar en ella la posición de dos palitos de fósforo de tal forma que la casa apare%ca del otro costado!
2.4. CAMBIAR LA POSICION -ebemos cambiar la posición de dos fósforos con el fin de obtener 1 cuadrados iguales
2.5. 3 CUADRADOS IGUALES uitar / fósforos de tal forma que resulten / cuadrados iguales
2.6. UNA HACHA Cambiando la posición de = fósforos transformar una hacha en / triángulos iguales!
2.7. LA LAMPARA En una lámpara compuesta por 69 fósforos cambiar la posición de / fósforos de tal modo que resulten 1 triángulos iguales!
2.8. TRIANGULOS CON FOSFOROS *res fósforos forman un triangulo con tres lados iguales es decir un triangulo equilátero! Emplea 69 fósforos para construir > triángulos equiláteros todos del mismo tamaño, una ve% hacho esto cambia de lugar cuatro de los fósforos para formar tres triángulos equiláteros de distinto tamaño!
2.9. ¿CUAL ES EL MINIMO ?Cuál es el n#mero m@nimo de Fósforos que se han de quitar para que en el dibuo queden = triángulos equiláteros eNactamente iguales a los ; que hayA Kno puede quedar ninguna cerilla sueltaL
2.1!. EL PE" ?Cuál es el n#mero m@nimo de Fósforos que hay que mover para conseguir que el pe% nade en sentido contrarioA
2.11. C#$%&' T&()*+#,'"os Pcuatro triángulos equiláterosP es otro de los grandes clásicos con Fósforos! 5u reali%ación tiene mucho m&rito, por cuanto sólo podrá resolverse agu%ando el ingenio! 5u planteamiento es el siguienteQ moviendo sólo tres Fósforos hay que formar cuatro triángulos equiláteros!
2.12. LA GUINDA LA COPA 8oviendo solo 9 palillos, y sin mover la guinda tienes que conseguir sacar la guinda de la copaQ
2.13. LA COPA LA ACEITUNA ? Cuál es el n#mero m@nimo de fósforos que hay que mover para que la aceituna quede fuera de la copa de martini sin mover la aceitunaA
2.14. EL CERDITO ? Cuál es el n#mero m@nimo de fósforos que hay que mover para que el cerdito quede mirando hacia el lado contrario Khacia la derechaLA
2.15. UN TERCIO DEL TRIANGULO 5e colocan 69 palitos de fósforo formando un triangulo de /,=y 1 Ko /R=R1S69L! uienes cono%can el teorema de $itágoras sabrán que un triangulo de este tipo será for%osamente recto!
"os constructores de las pirámides egipcias utili%aban cuerdas con nudos en los puntos /,=,1! les llamaban tensores de cuerdaO el área de dicho triangulo es igual aK/T=LU9! El problema consiste en lo siguiente utili%ando los doce palitos de fósforo demostrar un tercio de >S9
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2.16. EL TEMPLO GRIEGO El templo griego que te presentamos esta construido con once fósforos de tal manera que obtengas once cuadrados, o intenta formar cinco cuadrados, cambiando de sitio cuatro fósforos! $rueba y lo lograras!
2.17. UNA FLECHA "a flecha a sido construida con 6> fósforos ?$odrás hacer lo siguienteA 8ueve die% fósforos de la flecha
de manera que formes ; triángulos iguales! 8ueve siete fósforos de manera que se formen 1 figuras iguales de = lados!
2.18. 16 CUADRADOS *enemos 6> cuadrados de un fósforo de lado!?$ero cuantos cuadrados hay en totalA! etira nueve fósforos y has desaparecer un cuadrado cualquiera del tamaño que sea!
2.19. PURO CUADRADOS En el siguiente dibuo podemos ver quince fósforos! $rimera pregunta, Cuántos cuadrados vesA 'hora nos enfrentaremos con dos problemas de fósforosQ 6L uitando tres fósforos hemos de conseguir que solo queden tres cuadrados iguales! 9L (, para acabar, hemos de quitar dos fósforos para conseguir, otra ve%, tres cuadrados
2.2!. OTROS TRES TRIANGULOS El uego consiste en transformar el triángulo de la ilustración en otros tres unidos entre s@, utili%ando para ello el mismo n#mero de fósforos que estaban dispuestas inicialmente, de las cuales se podrán mover a lo sumo cuatro!
2.21. TRES FOSFOROS
)tili%ando simplemente tres fósforos, dispóngalas de manera que formen un triángulo, sin que sus cabe%as toquen la mesa!
2.22. CUESTION DE CUADRADOS Colóquense las Fósforos como indica la ilustración, en tres hileras de tres cuadrados cada una, para formar otro mayor perimetralmente! Esta disposición permite desarrollar hasta tres posibilidades, quitando ocho FósforosQ la primera, restando sólo dos cuadradosO la segunda, restando tres y la tercera, restando sólo dos cuadrados interiores! +tra posibilidad consiste en quitar cuatro Fósforos para que queden cinco cuadrados!
2.23. UNA ESPIRAL 'hora cambiaremos una figura geom&trica de forma! En la figura de la derecha podemos ver una espiral, se trata de mover = Fósforos para transformar esta espiral en tres cuadrados!
2.24. LA IGLESIA Damos a mover 1 Fósforos para transformar esta iglesia en tres cuadrados
III. ARITMETICA CON PALITOS
En esta sección tendremos una serie de problemas que implican la utili%ación de las cuatro operaciones aritm&ticas, la suma resta multiplicación y división! 3.1. AGREGUE TRES PALITOS 'gregue tres palitos para correcta la suma
hacer
3.2. O%&$ -#/$ u@tale tres palitos para que la suma sea correcta
3.3. SIGAMOS 0UITANDO PALITOS 'hora quitando tres palitos de fósforo, encontrar la suma correcta!
3.4. 0UITEMOS TRES PALITOS uitemos tres palitos para que la resta sea correcta
3.5. AUMENTANDO TRES 'hora el problema nos dice que aumentemos tres palitos para que la resta sea correcta
3.6. AHORA CON CINCO PALITOS 'hora tenemos que aumentar cinco palitos para que la resta sea correcta
3.7. CON SEIS ES MAS DIFCIL uitemos seis palitos para que la resta este correcta
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3.8. CUATRO PALITOS 'umentemos cuatro palitos para que la multiplicación este correcta
3.9. OTRA MULTI 8oviendo solo dos palitos o quitando dos palitos has que la multiplicación sea correcta
3.1!. CINCO PALITOS uitar cinco palitos de fósforo para que la multiplicación sea la correcta
3.11. DIISIÓN CORRECTA uitar cuatro palitos para que la división sea correcta
3.12. OTRA DII uitar seis palitos para que la división sea correcta
3.13. 0UITAR SEIS PALITOS uitar seis palitos para que la división sea correcta
I. EL NIM
Este es un uego muy conocido, lo aplicaremos con palitos de fósforo, cada uego tiene sus reglas que se plantean antes de empe%ar a ugar! 4.1. EL NIM El uego proviene de +riente, donde antiguamente se practicaba utili%ando pequeñas piedras! 4oy es conocido en todo el mundo y muy apreciado por aquellos que gustan de un uego cuyo instrumental completo se obtiene con una caa de Fósforos! $ara empe%ar, deben colocarse las Fósforos en varios grupos, no importa cuantos! Cada ugador coge por turno una, varias o todas las Fósforos de un mismo grupo! El que coge la #ltima gana! Deamos un eemplo de disposición inicial! Con la práctica descubrirá que este uego se basa en la pura lógica, tanto es as@ que si el ugador que sale uega bien, nunca puede perder!
+tra forma de ordenarlos es la siguiente
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. EL NIMBI 5.1. EL NIMBI
El popular uego del nim sufrió un duro golpe cuando un matemático llamado Charles "eonardo outon dio con una fórmula que aseguraba la victoria! $ero el cient@fico y filósofo dan&s $iet 4ein lo endere%ó con un nuevo planteamiento al que llamó nimbi, que no puede resolverse con una fórmula matemática! $ara ugar al nimbi se disponen varias hileras de igual n#mero de Fósforos, tantas como se quiera! $or turno, cada ugador puede tomar el n#mero de Fósforos consecutivas que quiera! Es decir, no puede tomar ninguna hilera o columna entera, si en ella hay un hueco deado por otra cerilla retirada previamente! El que retira la #ltima cerilla gana la partida!
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I. DE I"0UIERDA A DERECHA 6.1. DE I"0UIERDA A DERECHA
$ara reali%ar este uego deben colocarse tres Fósforos de madera en la forma que muestra el dibuo! )na ve% sostenida la que está en posición hori%ontal, por la presión de las otras dos colocadas verticalmente, se le prenderá fuego! "legado este momento, se podrá plantear una apuestaQ ?cuál de las otras dos Fósforos prenderá primeroA 46
4abrá lógicamente división de opiniones, pero lo más probable es que a nadie se le ocurra pensar que no prenderá a ninguna de las dos! En cuanto el fuego rompa el arma%ón de la cerilla central, &sta caerá por
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su propio peso, y por consiguiente, las cabe%as de fósforo de las Fósforos verticales nunca llegarán a prender
II. EN NUEE CASILLAS 7.1. EN NUEE CASILLAS Este es un problema en broma, medio problema, medio truco! 4aga con cerillas un cuadrado con nueve casillas y ponga en cada casilla una moneda, de modo que en cada fila y en cada columna haya > olivian os!
"a figura muestra cómo hay que distribuir las monedas! 5obre una de las monedas ponga una cerilla! 4echo esto, d&le a sus camaradas la siguiente tareaQ sin tocar la moneda en que descansa la cerilla, variar la
colocación de las demás, de modo que en cada fila y en cada columna siga habiendo, lo mismo que antes, > olivianos! "e dirán que esto es imposible! $ero con un poco de astucia logrará usted este Vimposible! ?CómoA
III. LOS PALITOS MAGICOS
8.1. ¿CUANTAS FÓSFOROS 0UEDAN Becesitas dos caas de Fósforos que sean diferentes y para poder eNplicar el uego las vamos a llamar caa P'P y PP! 'ntes de empe%ar debes de colocar /< Fósforos en la caa PaP y 9: en la PbP, una ve% hecho esto entrega las caas a un amigo y dile que retire un n#mero igual de Fósforos de ambas caas y las guarde en el bolsillo! "uego que quite de la caa PaP el n#mero que se te ocurra y las vuelva a guardar en el bolsillo, que vac@e el resto de Fósforos y las cuente!
'hora que retire de la caa PbP el mismo n#mero de Fósforos que acaba de contar de la caa PaP que las guarde en el bolsillo Klas de la caa PaP y las de la PbPL y que cierre la caa PbP! *odo esto lo has hecho de espalda y la sorpresa viene cuando al darte la vuelta le dices las Fósforos que quedan el la caa PbP! 8.2. FÓSFOROS MAGICOS $arte una cerilla al medio! 5ost&n ambos palitos entre tus dedos @ndices y pulgares los eNtremos rotos deberán estar apoyados sobre la yema de tus dedos pulgares! "enta y repetidamente unta los palillos para demostrar que son sólidos y no pueden atravesarse! 'hora unta las cerillas
con movimientos rápidos, pero esta ves separa levemente los dedos de tu mano derecha! "a cerilla quedara pegada a tu dedo pulgar deando un espacio entre el @ndice y el palillo! -esli%a la cerilla que tienes en tu mano i%quierda a trav&s del espacio y vuelve a untar los dedos de tu mano derecha! epite el truco un par de veces mas y pasale las cerillas a un miembro del publico para que los inspeccione!
8.3. PALITOS OLADORES *oma una caa de cerillas! ompe el eNtremo de una cerilla para que se auste a el ancho de la caa y cr#%ala como se ve aqu@! etira la cubierta! 8uestra la caa sin que vean las cerillas y g@rala por los cantos largos para que no se caigan! Duelve a cubrir la caa y repite la operación anterior, pero esta ves sostenla por los lados cotos! 'prieta la caa suavemente y pronunciando las palabras mágicas, las cerillas se caerán! I. PALITOS MONTONEROS 9.1. PALITOS MONTONEROS Este uego permite desarrollar y aplicar estrategias para la solución de eercicios, los cuales nos ayudan de gran forma a utili%ar el ra%onamiento lógico y estrategias para resolver problemas de cualquier tipo!
R+,$- , #+'
Con /< palitos de fósforo, has una montaña de palitos montoneros que mantenga su equilibrio! $or turno cada ugador sacara un palito montonero de la montaña, el que mueva alg#n otro palito montonero pierde su turno! El ugador que logre sacar el mayor numero de palitos montoneros sin mover ning#n otro, gana! 'hora empie%a a divertirte! . CAITAS MAGICAS 1!.1. MA0UINA DE DINERO 'ntes de reali%ar este truco, abre una caa de cerillas a mitad de camino y coloca una moneda entre el final del caón y la cubierta! 5ost&n la caa de fósforos apretada de manera que la moneda no se resbale y mu&strale al publico la caa vac@a! -i algunas palabras mágicas ! Cierra la caa de cerillas y la moneda caerá dentro abre la caa y muestra la moneda al publico! 1!.2. CAA MISTERIOSA $on una moneda dentro de una caa de fósforos! )sa una bandita elástica para mantenerla cerrada y otra para esconderla debao de tu manga i%quierda! *en otras dos
banditas elásticas en el bolsillo derecho! 8u&strale al publico otra caa de cerillas y una moneda! Coloca la moneda dentro de la caa de cerillas y a#stala con una de las banditas que tienes dentro de tu bolsillo ! sost&n la caa de cerillas en tu mano derecha y g@rala para que se habrá de cara hacia abao!
5in que nadie te vea desli%a la caa dentro de tu palma derecha y apri&tala levemente! "a moneda caerá en tu mano mantenla escondida ah@! $asa la caa de cerillas a tu mano i%quierda! 5acude la caa para IprobarJ que la moneda continua dentro de la caa! 8ientras sacudes la caa de cerillas con tu mano i%quierda busca en tu bolsillo derecho otra bandita y dea la moneda! 'usta la caa con la segunda banda elástica impidiendo que se abra! -i las palabras mágicas! )sando la mano derecha, arróale la caa derecha a alguien del publico y p@dele que le muestre al resto que la moneda a desaparecido!
I. CONSTRUENDO CON PALITOS 11.1. LOS SEIS PALITOS Con seis palitos iguales formar cuatro triángulos equiláteros
11.2. SIETE MAS SIETE ' siete palitos de fósforo debemos añadirle otros siete de tal forma que obtengamos ocho
11.3. LOS SEIS CUADRADOS Formar con 69 fósforos > cuadrados iguales! 11.4. LOS CUATRO CUADRADOS Es un uego ideal para la sobremesa! -isponga diecis&is palillos, formando cinco cuadrados, seg#n muestra la ilustración! 8oviendo sólo dos palillos deberán quedar cuatro cuadrados id&nticos!
11.5. LOS TRES CUADRADOS *iene gran parecido con el uego anterior, pero, en este caso, inicialmente hay cuatro cuadrados en ve% de cincoO para ello necesitaremos doce palillos o Fósforos! 8oviendo tres palillos o Fósforos deben quedar sólo tres cuadrados!
11.6. CON TRES RAAS ?5abr@a usted, dibuar un cuadrado con tres palitos de fósforo igualesA
11.7. CUIDADDO NO TE 0UEMES 4acer un cubo con 1 fósforos sin romperlos ni doblarlos 11.8. CONERTIR TRES EN CUATRO 5in romperse mucho la cabe%a, y sin romper ning#n fósforo convierta tres fósforos en cuatro! 11.9. EN CUATRO PIE"AS IDENTICAS 'umentando ocho palitos de fósforo divide la figura en cuatro pie%as id&nticas!
11.1!. DIE" PALOS DE FOSFORO SEPARADOS $oner en fila die% palitos de fósforo separados uno del otro luego tratar de formar cinco cruces, contando de uno a tres y se cru%a el palito! El palito que se levanta para empe%ar a contar, y cru%ando en el tercero no se cuenta!
11.11. CIENTO CUARENTA Con siete palitos de fósforo formar la figura del dibuoO luego moviendo tres palitos formar el numero ciento cuarenta!
11.12. CUADRADO ACHICADO Con cuatro palitos de fósforo hacer un cuadradoO ahora achicado sin cru%ar los palitos
11.13. CON 32 PALITOS Con treinta y dos palitos de fósforo formar el siguiente dibuo y contar doce, vertical y hori%ontalmente! "uego sacar cuatro palitos y seguir contando doce, vertical y hori%ontalmente, los cuatro palitos que se sacan ya no valenO el resto se pueden acomodar como quiera, en solo cuatro movimientos!
II. UEGO CON PALITOS 12.1. UEGO CON PALITOS. Este uego es muy interesante, nos permite anali%ar y planificar los movimientos que vamos a reali%ar! 5e uega sobre la siguiente tablaQ
Cada ugador tiene una ficha que le esta avan%ando hasta al lado opuesto y 3 barditas! El ugador ' coloca su ficha inicialmente en el cuadrito marcado ' y tiene que llegar con esta ficha a la l@nea vertical marcada con Ka cualquiera de sus : cuadritosL!
El ugador avan%a en la dirección opuesta! Cada ugador en su turno puede avan%ar su ficha un paso Kderecha, i%quierda, adelante o atrásL o colocar una bardita! "a bardita bloquea a el paso y mide dos cuadritos! 5e puede colocar barditas entre dos barditas perpendicular a ellas Kas@ XYXL! En caso que las fichas de los dos ugadores se encuentran adyacentes se puede intercambiar sus posiciones Kesto cuenta como una movidaL! "a regla mas importanteQ al colocar una bardita hay que dear paso al oponente para llegar a su meta! El primero que llega al otro lado gana! III. EL PALITO LOCO 13.1. EL PALITO LOCO El palito loco es un uego de observación, concentración y lógica! $ermite anali%ar estrategias para resolver y formar las diferentes figuras que se presentan en el transcurso del uego! O%(:', #+' El obetivo del uego es de no quedarse con las cartas en la mano tratando de formar la figura representada por una de las catas con un solo movimiento! 's@ mismo ayuda al ugador poder desarrollar la agilidad mental y el ra%onamiento lógico!
M$%&($, "os materiales son 11 cartas y 1 palitos de fósforo o algo parecido a este! R+,$ 8e%clar bien las cartas, luego distribuir cinco cartas a cada ugador las cartas que sobran ponerlas con la cara escondida como otro monton mas sobre la mesa de la cual se toma una carta de cara ya que se tendra que reproducir la figura en base a esta carta con los cinco palitos que se tiene!
Cada ugador en su turno debe construir o constituir la figura de una de sus cartas con un solo movimiento! 5i no logra reproducir la figura, tiene que sacar del monton una carta y pasar su turno! 'quel ugador que se queda sin carta alguna en la mano el el que gana el uego! "as cartas son las siguientesQ
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SEGUNDA PARTE SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS II. PALITOS GEOMETRICOS
En esta sección presentaremos una serie de acertios y problemas de construcción con palitos de fósforo, los cuales pretenden ser entretenidos y divertidos! El obetivo principal es despertar la capacidad de aplicar el ra%onamiento, estrategias y formas de resolver cada uno de los problemas y acertios que aqu@ se presentan! 2.1. CON 12 FOSFOROS Con doce fósforos puede construirse la figura de una cru% Kv&ase la figuraL, cuya área equivalga a la suma de las superficies de cinco cuadrados hechos tambi&n de fósforos! Cambie usted la disposición de las fósforos de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque sólo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados!
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$ara resolver este problema no deben utili%arse instrumentos de medición de ninguna clase!
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SOLUCIO N "as fósforos deben colocarse como muestra la figura KaL la superficie de esta figura es igual al cuádruplo de la de un cuadr cuadrado ado hecho hecho con cuatro cuatro fósfo fósforos ros!! ?Cómo ?Cómo se comprueba que esto es as@A
$ara ello aumentamos mentalmente nuestra figura hasta obtener obtener un triángulo! triángulo! esulta un triángulo triángulo rectángulo rectángulo de tres fósforos de base y cuatro de altura! 5u superficie será igual a la mitad del producto de la base por la alturaQ 6U9 N / N = S > cuadrados de lado equivalente a una cerilla Kv&ase figura bL! $ero nuestra figura tiene evidentemente un área menor, en dos cuadrados, cuadrados, que la del triángulo completo, completo, y por lo tanto, será igual a cuatro cuadrados, cuadrados, que es lo que buscamos!
Fig! KaL 2.2. FOSFOROS
CON 8
Fig! KbL
Con ocho fósforos fósforos pueden construirse construirse numerosas numerosas figuras de contorno cerrado! cerrado! 'lgunas pueden verse en la figuraO su superficie es, naturalmente, distinta!
5e plantea plantea cómo constr construir uir con ; fósforo fósfoross la figura de superficie máNima! SOLUCIO N $uede demostrarse que de todas las figuras con contornos de id&ntico per@metro, per@metro, la que tiene mayor área es el c@rculo! Baturalmente que a base de fósforos no es posible construir un c@rculoO sin embargo, con ocho fósforos puede componerse componerse la figura más aproNimada aproNimada al c@rculo, un octágono regular Kv&ase la figuraL!
El octágono octágono regular regular es la figura figura que satisfac satisface e las condiciones eNigidas en nuestro problema, pues es la que, con igual n#mero de fósforos, posee mayor superficie!
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2.3. MAS PALITOS DE FOSFORO 4emos construido una casa utili%ando palitos de fósforo! Cambiar en ella la posición de dos palitos de fósforo de tal forma que la casa apare%ca del otro costado!
SOLUCIO N "a respuesta es como sigue! "os palitos de fósforo que hay que cambiar son los que están marcados con la flecha!
2.4. CAMBIAR LA POSICION -ebemos cambiar la posición de dos fósforos con el fin de obtener 1 cuadrados iguales
SOLUCION "os palitos de fósforo que hay que cambiar son los que están marcados con la flecha! "a solución es la siguienteQ
2.5. 3 CUADRADOS IGUALES uitar / fósforos de tal forma que resulten / cuadrados iguales
SOLUCION "a solución es la siguienteQ
2.6. UNA HACHA Cambiando la posición de = fósforos transformar una hacha en / triángulos iguales!
SOLUCION "a solución es la siguienteQ
2.7. LA LAMPARA En una lámpara compuesta por 69 fósforos cambiar la posición de / fósforos de tal modo que resulten 1 triángulos iguales!
SOLUCION "a solución es la siguienteQ
2.8. TRIANGULOS CON FOSFOROS *res fósforos forman un triangulo con tres lados iguales es decir un triangulo equilátero! Emplea 69 fósforos para construir > triángulos equiláteros todos del mismo tamaño, una ve% hacho esto cambia de lugar cuatro de los fósforos para formar tres triángulos equiláteros de distinto tamaño!
SOLUCIO N "a solución es la siguienteQ
2.9. ¿CUAL ES EL MINIMO ?Cuál es el n#mero m@nimo de Fósforos que se han de quitar para que en el dibuo queden = triángulos equiláteros eNactamente iguales a los ; que hayA Kno puede quedar ninguna cerilla sueltaL
SOLUCION
El numero m@nimo es = KcuatroL!
2.1!. EL PE" ?Cuál es el n#mero m@nimo de Fósforos que hay que mover para conseguir que el pe% nade en sentido contrarioA
SOLUCION El n#mero m@nimo de fósforos es / KtresL
2.11. CUATRO TRI;NGULOS "os Pcuatro triángulos equiláterosP es otro de los grandes clásicos con Fósforos! 5u reali%ación tiene mucho m&rito, por cuanto sólo podrá resolverse agu%ando el ingenio! 5u planteamiento es el siguienteQ moviendo sólo tres Fósforos hay que formar cuatro triángulos equiláteros!
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
2.12. LA GUINDA LA COPA 8oviendo solo 9 palillos, y sin mover la guinda tienes que conseguir sacar la guinda de la copaQ
SOLUCION "a solución es la siguienteQ
2.13. LA COPA LA ACEITUNA ? Cuál es el n#mero m@nimo de fósforos que hay que mover para que la aceituna quede fuera de la copa de mart@n0 sin mover la aceitunaA
SOLUCIO N Binguna! "a copa y la aceituna realmente son / vasos eNactamente iguales, todo depende del ángulo con que se mire el dibuo! 's@ pues, basta con mirar uno de los otros 9 vasos y la aceituna queda fuera! 2.14. EL CERDITO ? Cuál es el n#mero m@nimo de fósforos que hay que mover para que el cerdito quede mirando hacia el lado contrario Khacia la derechaLA
SOLUCIO N "a respuesta es como sigue! 78
Evidentemente, se pide que el cerdo este mirando en sentido contrario, pero esto no obligaba a que la cola este levantada o no! 5igue siendo el mismo cerdo!
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2.15. UN TERCIO DEL TRIANGULO 5e colocan 69 palitos de fósforo formando un triangulo de /,=y 1 Ko /R=R1S69L! uienes cono%can el teorema de $itágoras sabrán que un triangulo de este tipo será for%osamente recto!
"os constructores de las pirámides egipcias utili%aban cuerdas con nudos en los puntos /,=,1! les llamaban tensores de cuerdaO el área de dicho triangulo es igual aK/T=LU9! El problema consiste en lo siguiente utili%ando los doce palitos de fósforo demostrar un tercio de >S9
5 4
3
SOLUCION "os palitos de fósforo que hay que cambiar son los que están marcados con la flecha! "a solución es la siguienteQ
5 4
5 4
3
<4=3>?2 @ 6 @ <4=1>?2 @ 2
1
2.16. EL TEMPLO GRIEGO El templo griego que te presentamos esta construido con once fósforos de tal manera que obtengas once cuadrados, o intenta formar cinco cuadrados, cambiando de sitio cuatro fósforos! $rueba y lo lograras!
SOLUCIO N 8ostraremos dos soluciones y son las siguientesQ
2.17. UNA FLECHA "a flecha a sido construida con 6> fósforos ?$odrás hacer lo siguienteA 8ueve die% fósforos de la flecha
de manera que formes ; triángulos iguales! 8ueve siete fósforos de manera que se formen 1 figuras iguales de = lados!
SOLUCION "a solución es la siguienteQ
2.18. 16 CUADRADOS *enemos 6> cuadrados de un fósforo de lado!?$ero cuantos cuadrados hay en totalA! etira nueve fósforos y has desaparecer un cuadrado cualquiera del tamaño que sea!
SOLUCIO N "a solución es la siguienteQ *enemos un cuadrado de =N=, cuatro cuadrados de /N/, nueve cuadrados de 9N9 y 6> cuadrados pequeños!
2.19. PURO CUADRADOS En el siguiente dibuo podemos ver quince fósforos! $rimera pregunta, Cuántos cuadrados vesA 'hora nos enfrentaremos con dos problemas de fósforosQ 6L uitando tres fósforos hemos de conseguir que solo queden tres cuadrados iguales! 9L (, para acabar, hemos de quitar dos fósforos para conseguir, otra ve%, tres cuadrados
SOLUCIÓN $ara el inciso a la solución es la siguiente
$ara el inciso b
2.2!. OTROS TRES TRIANGULOS El uego consiste en transformar el triángulo de la ilustración en otros tres unidos entre s@, utili%ando para ello el mismo n#mero de fósforos que estaban dispuestas inicialmente, de las cuales se podrán mover a lo sumo cuatro!
SOLUCIO N "a solución es la siguienteQ
2.21. TRES FOSFOROS )tili%ando simplemente tres fósforos, dispóngalas de manera que formen un triángulo, sin que sus cabe%as toquen la mesa!
5olució nQ
2.22. TRIANGULOS FOSFOROS "a solución es la siguienteQ
CON
2.23. CUESTIÓN DE CUADRADOS Colóquense las Fósforos como indica la ilustración, en tres hileras de tres cuadrados cada una, para formar otro mayor perimetralmente! Esta disposición permite desarrollar hasta tres posibilidades, quitando ocho FósforosQ la primera, restando sólo dos cuadradosO la segunda, restando tres y la tercera, restando sólo dos cuadrados interiores! +tra
posibilidad consiste en quitar cuatro Fósforos para que queden cinco cuadrados!
SOLUCIÓN
2.24. UNA ESPIRAL 'hora cambiaremos una figura geom&trica de forma! En la figura de la derecha podemos ver una espiral, se trata de mover = Fósforos para transformar esta espiral en tres cuadrados !
SOLUCIÓ N "a solución es la siguiente
2.25. LA IGLESIA Damos a mover 1 Fósforos para transformar esta iglesia en tres cuadrados
89
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
III. ARITMETICA CON PALITOS
3.1. AGREGUE TRES PALITOS 'gregue tres palitos para hacer correcta la suma
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
3.2. OTRA SUMA u@tale tres palitos para que la suma sea correcta
SOLUCION
3.3. SIGAMOS 0UITANDO PALITOS 'hora quitando tres palitos de fósforo, encontrar la suma correcta!
SOLUCIÓN "a solución es de la siguiente manera
3.4. 0UITEMOS TRES PALITOS uitemos tres palitos para que la resta sea correcta
94
SOLUCIÓN uitemos los palitos as@Q
95
3.5. AUMENTANDO AUMENTAND O TRES 'hora el problema nos dice que aumentemos tres palitos para que la resta sea correcta
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
3.6. AHORA CON CINCO PALITOS 'hora tenemos que aumentar cinco palitos para que la resta sea correcta
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
3.7. CON SEIS ES MAS DIFCIL uitemos seis palitos para que la resta este correcta
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente 98
3.8. CUATRO PALITOS 'umentemos cuatro palitos para que la multiplicación este correcta
99
SOLUCIÓN
"a solución es la siguiente
100
3.9. OTRA MULTI 8oviendo solo dos palitos o quitando dos palitos has que la multiplicación sea correcta
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SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
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3.1!. CINCO PALITOS uitar cinco palitos de fósforo para que la multiplicación sea la correcta
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SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
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3.11. DIISIÓN CORRECTA uitar cuatro palitos para que la división sea correcta
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SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
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3.12. OTRA DII uitar seis palitos para que la división sea correcta
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SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
3.13. 0UITAR SEIS PALITOS uitar seis palitos para que la división sea correcta
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SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
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III. LOS PALITOS MAGICOS 8.1. ¿CUANTAS FÓSFOROS 0UEDAN
Becesitas dos caas de Fósforos que sean diferentes y para poder eNplicar el uego las vamos a llamar caa P'P y PP! 'ntes de empe%ar debes de colocar /< Fósforos en la caa PaP y 9: en la PbP, una ve% hecho esto entrega las caas a un amigo y dile que retire un n#mero igual de Fósforos de ambas caas y las guarde en el bolsillo, luego que quite de la caa PaP el n#mero que se te ocurra y las vuelva a guardar en el bolsillo, que vac@e el resto de Fósforos y las cuente! 'hora que retire de la caa PbP el mismo n#mero de Fósforos que acaba de contar de la caa PaP que las guarde en el bolsillo Klas de la caa PaP y las de la PbPL y que cierre la caa PbP! *odo esto lo has hecho de espalda y la sorpresa viene cuando al darte la vuelta le dices las Fósforos que quedan el la caa PbP! 5ECE*+Q En la caa PbP quedan tantas Fósforos menos una de las que mandaste retirar de la caa PaP en la segunda ocasión! 5i se te ocurrió decir el 6< pues quedarán : Fósforos! 0ncre@ble ?verdadA
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I. CONSTRUENDO CON PALITOS 11.1. LOS SEIS PALITOS Con seis palitos iguales formar cuatro triángulos equiláteros SOLUCION Formar un tetraedro
"a mayor@a de la gente trata de hallar la solución en un plano como esto es imposible no logra encontrarla 11.2. SIETE MAS SIETE ' siete palitos de fósforo debemos añadirle otros siete de tal forma que obtengamos ocho
"a respuesta es la siguienteQ
11.3. LOS SEIS CUADRADOS Formar con 69 fósforos > cuadrados iguales! SOLUCION Formar un cubo
11.4. 11.5.
LOS CUATRO CUADRADOS K5olución personalL K5olución personalL LOS TRES CUADRADOS
11.6. CON TRES RAAS ?5abr@a usted, dibuar un cuadrado con tres palitos de fósforo igualesA SOLUCION
+*' 5+")C0+ E5 0D $+)E 0D E5 E" C)'-'-+ -E 9
11.7. CUIDADDO NO TE 0UEMES 4acer un cubo con 1 fósforos sin romperlos ni doblarlos SOLUCION ; E5 07)'" ' 9 E"ED'-+ '" C)+
11.8. CONERTIR TRES EN CUATRO 5in romperse mucho la cabe%a, y sin romper ning#n fósforo convierta tres fósforos en cuatro! SOLUCION
*'80EB
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11.9. EN CUATRO PIE"AS IDENTICAS 'umentando ocho palitos de fósforo divide la figura en cuatro pie%as id&nticas!
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente
11.1!. DIE" PALOS DE FOSFORO SEPARADOS $oner en fila die% palitos de fósforo separados uno del otro luego tratar de formar cinco cruces, contando de uno a tres y se cru%a el palito! El palito que se levanta para empe%ar a contar, y cru%ando en el tercero no se cuenta!
SOLUCIÓN "a solución es la siguiente! Empiece a formar las cruces siguiendo el orden de los palos marcados con un n#mero! 117
11.11. CIENTO CUARENTA Con siete palitos de fósforo formar la figura del dibuoO luego moviendo tres palitos formar el n#mero ciento cuarenta!
SOLUCIÓN 5e colocan los palitos de fósforo de la siguiente manera y se dice ciento cuarenta y uno menos uno es ciento cuarenta
11.12. CUADRADO ACHICADO Con cuatro palitos de fósforo hacer un cuadradoO ahora achicado sin cru%ar los los palitos 118
SOLUCIÓN 5e colocan los palitos de fósforo de la siguiente manera
11.13. CON 32 PALITOS Con treinta y dos palitos de fósforo formar el siguiente dibuo y contar doce, vertical y hori%ontalmenteO "uego sacar cuatro palitos y seguir contando doce, vertical y hori%ontalmente, los cuatro palitos que se sacan ya no valenO el resto se pueden acomodar como quiera, en solo cuatro movimientos!
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SOLUCIÓN 5e sacan los cuatro palitos marcados y de los grupos en que quedan tres, se pasa un palito para cada esquina!
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BIBLIOGRAFI A
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