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CAPÍTULO 1 :

LOS NÚMEROS REALES

1.1.- INTRODUCCIÓN Desde los inicios de la Humanidad, se hizo necesario algún sistema de manejo de cantidades y de tamaños. En la medida que las sociedades humanas se van desarrollando, este problema se hace más y más importante. El problema comienza, desde luego, por la identificación y por lo tanto la designación de las cantidades en su lenguaje. El modelo más simple de cantidad es, sin duda, el de cantidad discreta , es decir, los números naturales: probablemente la primera actividad matemática del ser humano fue el contar . Experimentos realizados con animales domésticos demuestran que estos son capaces de distinguir, digamos contar, los primeros cuatro o cinco números naturales. Esta habilidad sin duda también la tenían los primates de la especie homo sapiens que dieron origen a nuestra civilización. Pero no necesariamente más desarrollada que estos animales domésticos, como lo demuestra el descubrimiento de la tribu de los Fayu, en Papúa Occidental (Nueva Guinea). Este pueblo no tiene en su lengua más que tres palabras para designar números: satu (uno), dua (dos) y tiga (tres). Las cantidades mayores son indicadas con gestos o con palabras que aluden a muchos. Su modo de vida no les ha obligado (hasta ahora) a una mayor precisión de cantidades. Por contraste, los pueblos de la antigua Mesopotamia y Egipto, así como los Maya en nuestro continente desarrollaron un sistema de numeración y de manejo de cantidades bastante notable y sofisticado. Como punto de referencia en que esto ocurría, diremos que el primer calendario sumerio encontrado data del año 5.700 AC y los ladrillos grabados de los babilonios datan de alrededor del año 2.000 AC., mientras que el sistema de numeración maya ha sido fechado en el siglo tercero antes de cristo. Es claro que el desarrollo del comercio y la agricultura en estos pueblos obligó a desarrollar a su vez un sistema de numeración y de manejo de números. Los ladrillos sumerios muestran un manejo bastante avanzado de las operaciones algebraicas (el “álgebra babilónica”), que incluía el cálculo de interés compuesto, cálculos con pesas y medidas, ecuaciones cuadráticas y otros. También es claro que el solo manejo de los

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números naturales no fue suficiente: probablemente desde un principio los mercaderes babilónicos se vieron en la necesidad de modelar la noción de división y por lo tanto del desarrollo y manejo de fracciones. Las operaciones con estos números es cualquier cosa menos trivial. Estamos tan adiestrados desde nuestra niñez a manejar (por desgracia, mecánicamente) las operaciones con fracciones que no nos damos cuenta de la tremenda dificultad conceptual que encierran. Pero son los griegos de la época clásica (y un poco antes) quienes demuestran la insuficiencia de las fracciones para modelar tamaños: un buen modelo de tamaño tendría que contemplar la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa. Se atribuye a la escuela pitagórica el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. Nótese que, si nos quedamos con las fracciones como modelo, entonces, tomando el largo de un cateto como unidad, el largo de la hipotenusa quedaría fuera del modelo, es decir, el modelo no nos daría un tamaño exacto. Los pitagóricos posiblemente han razonado del siguiente modo para demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos: Supongamos que 2 es una fracción, digamos p/q, donde podemos suponer que p y q son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes (si lo tuvieran, bastaría con simplificarlos). Si elevamos al cuadrado, obtenemos que p 2 = 2q 2 , por lo tanto p 2 es par. Pero si el cuadrado de un número es par, el número mismo debe ser par (los cuadrados de los impares son impares, como lo demuestra la fórmula (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 ). Por lo tanto p es de la forma 2n con lo que

p 2 = 4n 2 = 2q 2 . Simplificando por dos, resulta: q 2 = 2 p 2 , es decir, q también debe ser par: pero esto contradice nuestra suposición de que p y q no tenían factores comunes. La introducción del cero se hizo necesaria muy tempranamente. La cantidad “vacía” tiene su representación conceptual y lingüística desde muy temprano y, desde los babilonios en adelante, la representación de números grandes a través de símbolos cuyo significado dependía de su posición relativa en la expresión correspondiente, hizo que el cero fuese indispensable, siendo representado inicialmente por espacios vacíos y mas tarde por símbolos especiales. Por otro lado, los números negativos aparecieron tarde en la historia: ellos no modelan una noción de tamaño sino de orientación o sentido. Con seguridad que los mercaderes babilónicos distinguían de alguna manera las cantidades en stock (positivas) de aquellas en deuda (negativas) y sus cálculos debían

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hacer uso implícito del álgebra con números negativos. No hay evidencias precisas de esto. El desarrollo del concepto de número real y de las matemáticas en general, es tomado por los hindúes y los árabes, que –entre otras cosassalvaron para Occidente la cultura clásica griega, mientras Europa se sumía en el largo oscurantismo medieval. Recién en el siglo XVII de nuestra era se produce en Europa un salto cualitativo en el desarrollo de la matemática, época en que se empieza a gestar el Cálculo Infinitesimal. Este desarrollo es vertiginoso pero comienza a tropezar precisamente en la falta de una noción precisa y clara de número real. Son muchos los matemáticos que emprenden esta tarea en los siglos XIX y XX: Bolzano, que demuestra en 1817 la necesidad de lo que hoy se conoce como “axioma del supremo”, Weierstrass y Dedekind (famoso por sus “cortaduras”) y muchos otros. Pero no es si no con Cantor (1845-1918) y sus trabajos sobre Teoría de Conjuntos, que el sistema de los números reales toma –esencialmente- su forma actual. 1.2.- LOS 16 AXIOMAS

Consideraremos al sistema de números reales como un modelo matemático de las nociones de cantidad o tamaño mencionadas anteriormente. Este modelo consiste de un conjunto que denotaremos por ℜ cuyos elementos se llamarán números reales , dos operaciones binarias (llamadas también “leyes de composición interna”) denominadas suma y producto y denotadas respectivamente por + y . y una relación de orden denotada por ≤ . Por operaciones binarias entendemos una regla que asocia a cada par de elementos del conjunto un único elemento del mismo conjunto. De este modo, un sistema de números reales será el cuarteto: (ℜ,+,., ≤) que cumple los 16 axiomas siguentes: 1. ( x + y ) + z = x + ( y + z ), ∀x, y, z ∈ ℜ (asociatividad de la suma) 2. ∃0 ∈ ℜ, x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ ℜ (0 se llama neutro aditivo) 3. (∀x ∈ ℜ)(∃ − x ∈ ℜ, x + (− x) = (− x) + x = 0) (el número real -x se llama inverso aditivo de x)

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4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ ℜ (conmutatividad de la suma) Estos cuatro primeros axiomas hacen que el par (ℜ,+) se llame grupo abeliano. 5.

( xy ) z = x( yz ), ∀x, y, z ∈ ℜ (asociatividad del producto)

∃1 ∈ ℜ,1 ≠ 0, x.1 = 1.x = x, ∀x ∈ ℜ (1 se llama neutro 6. multiplicativo) 7.

8.

(∀x ≠ 0)(∃x −1 ∈ ℜ, xx −1 = x −1 x = 1) (el número real x −1 se llama inverso multiplicativo de x )

xy = yx, ∀x, y ∈ ℜ (conmutatividad del producto) Notar que estas cuatro propiedades son las mismas que para la suma, con una diferencia esencial: hay un elemento (el 0) que queda excluído de tener inverso.

9.

x( y + z ) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ ℜ (distributividad del producto respecto de la suma) Este noveno axioma pone en relación las operaciones de suma y producto. Debe notarse la asimetría de esta ley de distributividad. Con estos nueve primeros axiomas el trío (ℜ,+,.) se llama cuerpo conmutativo.

10.

(∀x ∈ ℜ), x ≤ x (reflexividad del orden)

11.

x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitividad del orden)

12.

x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisimetría del orden)

13.

(∀x, y ∈ ℜ), x ≤ y ∨ y ≤ x (tricotomía)

Estas cuatro propiedades definen lo que se llama un orden total sobre ℜ . La última propiedad, es decir, la tricotomía, significa que todo número real se puede comparar con cualquier otro: uno debe ser

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mayor o igual al otro. La palabra tricotomía viene del griego y significa “división en tres casos”. Los tres casos son: mayor, menor o igual. Al tomar la relación de orden como “menor o igual”, los casos se reducen a dos. 14. x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (compatibilidad del orden con la suma) 15. x ≤ y ∧ z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz (compatibilidad del orden con el producto) Estos dos axiomas ponen en relación las operaciones de suma y producto con la de orden. Debe notarse aquí nuevamente la asimetría que se tiene entre suma y producto: para conservar la relación de orden con el producto, el factor a multiplicar debe ser positivo. Esta restricción no es necesaria para el caso de la suma. Con estos quince axiomas se obtiene lo que se conoce como cuerpo conmutativo ordenado. 16.- Axioma del Supremo: todo conjunto de números reales que sea novacío y acotado superiormente posee un supremo. Dejaremos para más adelante las explicaciones acerca de este axioma. . Los primeros quince axiomas gobiernan todo el manejo básico y elemental de los números reales. Se ha dado cuenta aquí de las propiedades fundamentales que deben cumplirse para que este modelo pueda representar la idea de “cantidad” o “tamaño”: las cantidades deberán poder ser comparadas unas con otras, podrán ser añadidas y multiplicadas (como una suma reiterada), y se permite además una orientación sin restricciones (números negativos). Lo que no se resuelve con estos quince primeros axiomas es el problema que sorprendió a los griegos: ¿hay una cantidad (elemento de nuestro modelo) cuyo cuadrado (o sea el producto consigo mismo) sea dos? Como veremos más adelante los números racionales satisfacen los primeros quince axiomas, es decir, forman un cuerpo ordenado conmutativo, pero, como vimos, no hay allí ningún elemento cuyo cuadrado sea dos. El problema se resolverá asumiendo el axioma 16: el axioma del supremo. Pero este aspecto es bastante más largo y complejo, por lo que lo dejaremos para más adelante.

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* Queda abierto el problema de la existencia y unicidad de un sistema de números reales. Como se sabe, la existencia (entendida como la consistencia de los axiomas, es decir, la ausencia de contradicciones) no puede ser demostrada cabalmente después de los célebres resultados de Kurt Goedel. Lo que se puede hacer al respecto es reducir el problema de la consistencia de este sistema de 16 axiomas al problema de la consistencia de otro sistema más simple de axiomas. Lo que se solía hacer era partir de un sistema de axiomas para los números naturales (los axiomas de Peano) y construir desde allí los números enteros, los números racionales y, finalmente, los números reales. Hasta hace algunos años fué una moda en los cursos iniciales de cálculo (o análisis) llevar a cabo esta construcción, un poco bajo la influencia del criterio de Kronecker: “ Dios creó los números naturales, todo lo demás es construcción del Hombre”. Sin embargo, esta construcción, en rigor, no fundamenta nada, pues se necesita construir una teoría axiomática de conjuntos y la respectiva lógica que se usa en dicha teoría (cálculo funcional de primer orden), cuestiones cuya cabal fundamentación no es posible, por los resultados de Goedel antes mencionados. De modo que, en rigor, la teoría de los números reales, y con ella prácticamente toda la matemática queda sin un fundamento completo. Por otro lado la unicidad, en el sentido de que dos sistemas que cumplen los 16 axiomas son isomorfos en toda su estructura, se puede demostrar, pero eso corresponde a otro ámbito de problemas. Pienso que la discusión de este problema, incluyendo alguna teoría axiomática de conjuntos , es parte importante en la formación básica de un matemático, pero debe ser realizada en cursos más avanzados.

1.3.- PROPIEDADES Y OPERACIONES DERIVADAS En la estructura básica del sistema de números reales no aparecen “las cuatro operaciones “, sino solamente dos: suma y producto. ¿ como se definen la operación resta y la operación división ? Tampoco aparece una serie de propiedades que conocemos desde el colegio y que usamos comúnmente sin mayor preocupación: si tales propiedades son verdaderas y no aparecen en la lista de axiomas, entonces será necesario demostrarlas.

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Comencemos por definir las operaciones de resta y división: La resta : x − y = x + (− y ) , es decir, no es más que la suma de x con el inverso aditivo de y . Esta operación no es, obviamente, conmutativa. La división: x ÷ y = x( y −1 ) , es decir, se trata del producto de x con el inverso multiplicativo de y . Esta operación tampoco es, desde luego, conmutativa. Más aún, no está definida para y = 0 . Tampoco es asociativa. Es necesario hacerse cargo de algunas notaciones que han surgido a lo largo de la historia y que seguimos utilizando comúnmente. El inverso multiplicativo de y se denota también: 1 1 y −1 = , con lo cual la división quedaría: x ÷ y = x . Pero el producto y y es conmutativo, luego da lo mismo poner el inverso de y a la izquierda que a la derecha de x, por lo que se opta por lo más sencillo: ponerlo justo debajo: 1 1 x x÷ y = x = x = y y y Puesto que la división no es asociativa, es necesario tener cuidado cuando se realizan divisiones reiteradas: a ( ) a b no es lo mismo que . De modo que hay que distinguir la b c ( ) c “raya principal” de división cuando aparecen divisiones sucesivas. Entendiendo de esta manera la notación respectiva, la regla de la “suma de fracciones”, para números reales, se demuestra simplemente usando la distributividad (Axioma 9): a c ad + cb + = ab −1 + cd −1 = ab −1 d −1 d + cd −1b −1b = d −1b −1 (ad + cb) = b d db 1 La notación del inverso multiplicativo de x como no es casual ni x arbitrario: su origen histórico está en el significado que se le dá a la división de un entero (la unidad) por otro entero (positivo) : se trata de la “x-ava parte” del entero unitario 1. Por lo tanto, si se suma x-veces esta x-ava parte, se restituye la unidad. Desde luego que este significado se pierde absolutamente cuando x no es más un entero.

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A continuación presentamos un pequeño listado de propiedades de uso común en el álgebra de los números reales y que no están en la lista de axiomas: 1. Unicidad de los neutros. En la lista de axiomas se afirma la existencia, pero no la unicidad de un 0 o un 1: ¿podrá haber más de uno? La respuesta es obviamente negativa: si hubiese dos, digamos 0 y 0’ se tendría 0' = 0'+0 = 0 y análogamente, por la mera definición de neutro multiplicativo, 1' = 1.1' = 1

2. Las cancelaciones: Si x + y = x + z , sumando a ambos lados el inverso de x , resulta y = z Si xy = xz ∧ x ≠ 0 , multiplicando por el inverso(multiplicativo) de x, y=z Nótese nuevamente aquí la asimetría de las operaciones suma y producto. 3. Unicidad de los inversos: Tampoco aparece en nuestra lista de axiomas que los inversos de cada número (aditivo o multiplicativo ) sean únicos. La unicidad se sigue de las cancelaciones: si llamamos x’ y x’’ dos inversos aditivos de x, se tiene que x + x' = 0 = x + x' ' , luego, cancelando la x, se tiene: x' = x' ' Del mismo modo, si x ≠ 0 , y x’ y x’’ son dos inversos multiplicativos, se tiene: xx' = 1 = xx' ' , cancelando la x que es distinta de cero, se tiene x' = x ' ' . 4.

5.

De lo anterior se sigue que − (− x) = x puesto que ambos números son inversos de − x . Análogamente: ( x −1 ) −1 = x ya que ambos números son inversos (multiplicativos) de x −1 En efecto, sumando: (−1)a = −a, ∀a ∈ ℜ . (−1)a + a = (−1 + 1)a = 0.a = 0 , luego (−1)a funciona como inverso de a , por lo tanto, por unicidad del inverso, debe ser el inverso de a.

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6. (−1)(−1) = 1. Dejamos su demostración al lector 7. Cualquiera sea el número real a, se tiene: a.0 = 0 En efecto, si llamamos x al número a.0 , se tiene: x = a(0 + 0) = a.0 + a.0 = x + x , cancelando la x , se tiene x = 0 8. El cuerpo de los reales no tiene divisores de cero , es decir: ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 En efecto, si suponemos que ab = 0 , pero que, por ejemplo b ≠ 0 , se tiene, multiplicando la igualdad anterior por b −1 , que a = 0 . 9.

0 < 1 : en efecto, puesto que por axioma 0 ≠ 1 , la negación de la propiedad a demostrar sería: 1 < 0 , sumando − 1 a ambos lados, se tendría que − 1 > 0 , luego, por compatibilidad con el producto, se tendría: (−1)(−1) = 1 > 0 lo que contradice la suposición.

10. El cuadrado de todo real a es positivo (o nulo): en efecto, por tricotomía, o bien a ≥ 0 , o bien − a ≥ 0 , luego: a.2 = a.a ≥ 0 ∨ (−a )(− a ) = a 2 ≥ 0 . 11. Conviene definir: a 0 , entonces también a −1 > 0 . En efecto, si suponemos que a −1 < 0 , entonces − a −1 > 0 , luego a (−a −1 ) = −(aa −1 ) = −1 > 0 , lo que contradice el punto 9. 13. Si a 1 . Por otro lado, − 1 < 2 y ocurre que (−1) 2 = 1 < 2 2 = 4 . O sea, a veces si , a veces no. Pero, si ambos

números son positivos, entonces vale: 0 ≤ a < b ⇒ a 2 < b 2 . En efecto, multiplicando la desigualdad a ≤ b alternativamente por a y por b : a 2 ≤ ab = ba ≤ b 2 y la desigualdad estricta se obtiene observando que, si bien a puede ser cero, b no.

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Hay una gran cantidad de propiedades similares, de uso común en el álgebra de los números reales, y que no están en nuestra lista de axiomas. Las dejaremos para ser demostradas como ejercicio.

1.4.-

PROBLEMAS

¿ Serán verdaderas o falsas las afirmaciones siguentes? En caso afirmativo, ¿en qué axiomas de los números reales se fundamentan? ¿Habrá que agregarle algunas hipótesis a algunas de ellas?

(−1)(−1) = 1 2.2=4 (se define: 2=1+1; 4=((1+1)+1)+1 ) ac = bc ⇒ a = b ac < bc ⇒ a < b 1+1=0 1+1+1=0 (ab) −1 = a −1b −1 a b ac ( ) = 8. b c bd a −1 b 9. ( ) = b a a ( ) ad 10. b = c bc ( ) d a c 11. = ⇔ ad = bc b d 12. − (a + b) = (−a ) + (−b) a+b 13. a ≤ b ⇒ a ≤ ≤b 2 14. a ≤ b ⇒ −b ≤ −a 15. ax < a ⇒ x < 1 16. a 0 ⇒ ac < bc 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

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18. a 2 ≤ b 2 ∧ a, b ≠ 0 ⇒ a ≤ b 1 19. (∀x > 0), x + ≥ 2 y la igualdad se cumple si y solo si x = 1 x 20. ¿Dónde están los errores en esta “demostración” ? Sea x = y : x 2 = xy x 2 − y 2 = xy − y 2 ( x + y )( x − y ) = y ( x − y ) x+ y = y 2y = y 2 =1 21. Sea a > b . ¿Qué condiciones debe cumplir c ∈ ℜ para que se cumpla la a b desigualdad: < + 1 ? c c ⎛ a 0⎞ ⎟⎟ : a, b ∈ ℜ } , con la operación ∗ definida por: 22. Sea G = { ⎜⎜ ⎝ b 1⎠ 0⎞ ⎛ a o ⎞ ⎛ a ' 0 ⎞ ⎛ aa ' ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ∗ ⎜⎜ ⎝ b 1 ⎠ ⎝ b' 1 ⎠ ⎝ ba'+b' 1 ⎠ • • • •

¿Es asociativa esta operación? ¿Es conmutativa esta operación? ¿Existe un neutro? ¿Es único? ¿Para cuáles elementos existe un inverso (bilateral)?

1.5.- PROBLEMAS ELEMENTALES CON ℜ COMO CUERPO Hay una gran cantidad de problemas de la vida real que se pueden resolver utilizando solamente la estructura de cuerpo de nuestro modelo. Se trata de problemas que surgieron ya en la antigüedad y que fueron resueltos mediante un primer modelo de cantidad. Sin embargo veremos que otros problemas, aparentemente tan básicos como éstos,

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fueron solo parcialmente resueltos y plantearon a la humanidad la necesidad de un modelo más fino de cantidad.

1. Crecimientos porcentuales. Si C representa cierta cantidad , entonces r r C+ C = (1 + )C 100 100 representa la cantidad alterada en el r%. Si r es positivo, entonces se ha producido un crecimiento del r%, si r es negativo, la cantidad decrece en el r%. Notar que la nueva cantidad se obtiene por multiplicación por un factor adecuado.

Ejemplos. 1. El gerente de una empresa anuncia a sus trabajadores que, por motivos coyunturales, la empresa rebajará los sueldo en un 10%. Pero, explicó, no hay que preocuparse, pues esto solo será por este mes, en el siguiente se volverá subir los sueldos en el mismo 10%. Don Pedro, con más de 30 años en la empresa, ganaba $500.000 y calculó su nuevo sueldo 10 )500.000 = 450.000 . En seguida calculó, disminuído: (1 − 100 sospechando algo raro, cuál sería su sueldo al mes 10 )450.000 = 495.000 : ¡Le faltaban $5.000! siguiente: (1 + 100 2. El gerente de la empresa anuncia a sus trabajadores que, debido a los últimos éxitos obtenidos, la empresa subirá los sueldos en 10%. Pero, explicó, la bonanza no es eterna y se deberá rebajar al mes siguiente los sueldos en el mismo 10%. Don Pedro, el que ganaba $500.000 mensuales 10 calcula orgulloso su sueldo aumentado: (1 + )500.000 = 550.000 . En 100 seguida calculó, sospechando algo raro, ya que la empresa nunca daba puntada sin hilo, su sueldo al mes siguiente: 10 (1 − )550.000 = 495.000 .¡Otra vez faltan $5.000! 100

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Como el producto de números reales es conmutativo, este resultado era completamente esperable, sin necesidad de hacer nuevamente el cálculo. 3. Un animal de experimentación , de peso inicial de 50[gr], aumenta su peso en 20% el primer mes y en otros 20% el segundo mes: ¿cuál es el porcentaje de crecimiento que se produce en los dos meses? La ecuación a resolver, llamando x al porcentaje buscado, es: 20 20 20 2 x (1 + )50 = (1 + )(1 + )50 = (1 + ) 50 , cuya solución es: 100 100 100 100 x = %44 , la cual se obtiene “despejando” la incógnita x, es decir, usando directamente las reglas del álgebra de los números reales que hemos discutido. 4. Un banco hace préstamos con un interés del 0.4% mensual. ¿cuál sería el porcentaje de interés anual equivalente, es decir, aquel que produce exactamente la misma ganancia para el banco?. Este es un problema de interés compuesto, es decir, la deuda va creciendo sostenidamente en el 0.4% cada mes. Aquí se está aplicando un interés sobre la deuda aumentada por el interés, o sea interés sobre interés. La ecuación sería: x 0.4 12 (1 + )C = (1 + ) C , donde C es el capital inicial obtenido del 100 100 banco. Despejando la x se obtiene: x = %4.90702 . Notar que el porcentaje mensual de 0.4% multiplicado por los doce meses nos dá 0.4 × 12 = 4.8 , es decir, solamente el 4.8%.

5 . El problema inverso nos plantea una dificultad diferente: supongamos que un banco otorga préstamos con un R% anual de interés. ¿cuál sería el interés mensual equivalente? En este caso tendríamos que plantear la x 12 R ) C = (1 + )C cuya solución requiere la existencia ecuación: (1 + 100 100 de raíces (en este caso de orden 12) de números reales. Suponiendo la existencia de tales raíces, la solución de nuestro problema sería: R x = (12 (1 + ) − 1)100 100 Discutiremos más adelante este problema matemático. 6. En una festividad se reúnen niños y niñas. El 40% son niñas y el 12% de las niñas recibe un libro de regalo. ¿Qué porcentaje del total recibe un

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libro de regalo?. Se trata aquí de un porcentaje del porcentaje, es decir, de una iteración del porcentaje. En general, el a% de una cantidad C es: a A= C , y el b% de esta cantidad es: 100 ab ( ) b ab B= A= C = 100 C , 100 100 × 100 100 ab luego el b% del a% de C es: . 100 En nuestro problema, el porcentaje de niños que recibe el libro es simplemente 4.8%

2. Concentraciones relativas.

Existen dos conceptos diferentes acerca de la concentración de una substancia en una solución: uno es la concentración física o masa gr. “absoluta” que es simplemente la razón [ 3 ] . Sin volumen cm embargo, el concepto más usado es el de concentración relativa: c=

volumen..saturado × 100 % volumen..total

que queda expresado en un porcentaje. Una concentración relativa del 100% significa que la solución está saturada, es decir, no admite más soluto. Una concentración del 10% significa que hay 10 partes de volumen saturado del soluto en un volumen total de 100. En este caso la concentración es a-dimensional, es decir, no depende de las unidades de medida usadas.

Ejemplos

1. Se mezclan dos soluciones de ácido clorhídrico: 3 litros al 10% y 5 litros al 5% : ¿cuál es la concentración de la mezcla?

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La ecuación se planteará llamando x a la concentración de los 8 litros de mezcla resultante e igualando los volúmenes saturados: x 10 5 8( ) = 3( ) + 5( ) , de donde x = 6.875% 100 100 100 2. Se tiene un recipiente de 3 litros lleno con un ácido al 20%. Se necesita subir la concentración de la solución al 25%. Para esto se dispone de un concentrado al 80%. ¿qué volumen de solución habrá que sacar del recipiente y reemplazar por el concentrado para obtener lo deseado?. Llamando x al volumen a reemplazar, se debe establecer la siguiente ecuación: 20 80 25 (3 − x)( ) + x( ) = 3( ) 100 100 100 donde, despejando la x, se obtiene: x = 0.25 litros.

3. Problemas de flujos

Por flujo o caudal se entiende el número de litros que pasan por unidad volumen de tiempo: q = . Hay muchos problemas que se plantean al tiempo sumar o restar flujos. En estos problemas elementales se supone generalmente que los flujos son constantes en el tiempo. Veamos algunos ejemplos: Ejemplos

1. Una bomba de agua llena un estanque en 6 horas y otra lo hace en 9 horas. ¿ En cuánto tiempo se llena el estanque si ambas bombas trabajan juntas?. En este caso se suman los flujos, con lo que el tiempo de llenado debe disminuir. Nótese que el volumen del estanque no es dato del problema. Llamando E al volumen del estanque, q1 al flujo de la primera bomba y q 2 el de la segunda, se tiene E = q1 6 = q 2 9 = (q1 + q 2 ) x donde x es el tiempo de llenado con ambas bombas juntas. Entonces: E E = = 3.6 horas. x= q1 + q 2 E E + 6 9

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2. Un estanque se llena en 6 horas y, mediante una llave de salida, se vacía en 9 horas. Si se comienza a llenar pero se olvida cerrar la llave de salida, ¿en cuanto tiempo llega el agua a la mitad de estanque? En este caso se restan los flujos, supuestos ambos constantes ( lo que en el caso de la salida no es muy justo) . E ( ) E x= 2 = = 9 horas. E E q1 − q 2 2( − ) 6 9

1.6.-

PROBLEMAS

1. Una población de insectos decrece sostenidamente en 2.3% mensualmente de Enero a Diciembre . a) ¿Cuál es el porcentaje de decrecimiento anual que observa? b) ¿En qué porcentaje debe crecer la población en un solo mes pararecuperar su tamaño original? c) Si en Julio la población era de 2.357 individuos, ¿cuál era su tamaño original? 2.. Una población de bacterias en un experimento de laboratorio tiene un crecimiento sostenido de un 1.2% al día durante los primeros 6 días. Pero en el séptimo día se introduce un tóxico y la población decrece alcanzando el mismo tamaño inicial. a) Cuál fue el porcentaje de decrecimiento que se produjo el séptimo día? b) Si la población inicial era de 2400 bacterias, ¿cuál fue el tamaño máximo que alcanzó la población durante el experimento? 3. Una rata de laboratorio pesa inicialmente 27 gr. , aumenta su peso en 12% en el primer mes y disminuye su peso en 12% el segundo mes. ¿cuál es su peso al final del primero y del segundo mes? ¿cuál debe ser el porcentaje de disminución de peso en el segundo mes para quedar pesando igual que al inicio? 4. Una población de protozoos crece en 3.5% durante el día y decrece en 3.5% durante la noche. Al cabo de una semana ¿cuál es el porcentaje de crecimiento (o decrecimiento) que experimenta la

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población? Si al final de la semana el número de protozoos es de 4560, ¿cuál había sido su tamaño inicial?

5. Un inversionista coloca un millón de pesos a interés en el banco. De Enero a Abril la tasa mensual de interés se mantiene fija en 1.7%. Pero en los meses de Mayo y Junio, a consecuencia de la crisis asiática, la tasa sube al 3.7%. Calcule la ganancia neta que obtiene el inversionista a fines de Junio. ¿Cuál debió ser la tasa de interés en Mayo y Junio para que nuestro inversionista hubiese obtenido una ganancia neta de $200.000? 6. Una plaga crece al 5.8% mensual en los primeros 8 meses del año. Usando cierto plaguicida se logra una reducción mensual del 17%. Si este plaguicida se usa hasta final de año, ¿en qué porcentaje se reduce la plaga (en relación a su tamaño inicial)? ¿cuál debería ser el porcentaje mensual de reducción para lograr una reducción de la plaga a la décima parte de lo que era al comienzo del año?. Amplíe su estudio considerando dos meses de resguardo (sin insecticidas) antes de la cosecha y diferentes momentos de aplicación del plaguicida. 7. Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques. En el primero entra una tercera parte más que en el segundo y en éste la cuarta parte de los que entran en el tercero. ¿cuántos ladrillos entran en cada tabique? 8. Una llave de agua llena un estanque en 5 horas menos que otra y juntas lo llenan en 5 horas. ¿en cuánto tiempo llena el estanque cada una de las llaves? 9. Un químico tiene 20 litros de un desinfectante al 3.5% de concentración. ¿qué cantidad de agua debe agregarle para bajar su concentración al 2.8% ? 10. Se tienen dos soluciones: 25 litros al 4.3% y 35 litros al 2.5%. Si se juntan ambas soluciones ¿qué concentración se obtiene?

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11. Si una mercancía comprada el Lunes subió el 10% el Martes y bajó el 9% el Miércoles, ¿cuánto se pagó el Lunes si se vendió el Miércoles en $99 ? 12.

Cinco personas desean comprar un terreno pagando en partes iguales. Se dan cuenta que, si fueran 8 la cuota de cada uno disminuiría en $120.000. ¿Cuánto vale el terreno?

13. El 15% de los miembros de una población estaba afectado de una enfermedad. El 8% de los afectados murieron. Calcule la mortalidad respecto a la población total. 14. En una prueba de matemáticas para biólogos el 12% de la clase no resolvió el problema planteado, el 32% lo resolvió con algunos errores y los 14 estudiantes restantes obtuvieron la solución correcta. ¿cuántos estudiantes había en la clase? 15. Un cajón de manzanas contiene m unidades, de las cuales p están descompuestas. Si se distribuyen las manzanas que están en buen estado en partes iguales entre n niños y q niñas ¿cuántas manzanas reciben las niñas? 16. Un recipiente contiene aceite y otro contiene agua. Se saca una cucharada llena de aceite y se pone en el recipiente de agua. En seguida, luego de revolver bien la mezcla, se saca una cucharada de mezcla y se pone en el recipiente de aceite. ¿Hay más o menos aceite en el recipiente de agua que agua en el de aceite? 17. Un tren rápido fué obligado a detenerse 16 minutos en un disco rojo. Para recuperara el tiempo perdido, el tren viajó un tramo de 80 Km 10 Km/hora más rápido que lo normal. ¿cuál es la velocidad normal del tren?

18

1.7.- RAÍCES, POTENCIAS Y LOGARITMOS.

El siguiente problema, de interés completamente práctico, requiere una operación que aún no hemos introducido y cuya fundamentación (existencia) no podemos aún realizar: Un rentista coloca cierto capital C a interés en un banco y desea saber cuándo su dinero va a alcanzar cierto valor V: r x (1 + ) C =V 100 ¿cómo despejar la x ? En general, el problema matemático consiste en saber si, dados dos números reales a y b existe otro número real, digamos x, tal que b x = a . No es esperable que para cualquier par de números a, b va a existir el número x. Es necesario estudiar bajo qué hipótesis tiene solución este problema. Más aún, si x no es un número natural, que indicaría solamente el número de veces que se multiplica el número b consigo mismo, ¿qué sentido tiene la expresión b x ? Debemos comenzar por identificar los distintos tipos de números reales interesantes que existen: 1. Los números naturales. Vamos a entender por número natural a ambos neutros : 0 y 1, y a todo número que se forma sumando el 1 a los anteriores: 2=1+1 ; 3=2+1 = (1+1)+1; 4=3+1, etc. El conjunto de los números naturales lo denotaremos por N. 2. Los números enteros. Los números enteros son simplemente los números naturales y sus inversos aditivos: 0,±1,±2,±3,.... El conjunto de todos estos números lo denotaremos por Z

3. Los números racionales. Se trata en este caso de los productos de números enteros con sus inversos multiplicativos, es decir, números p reales de la forma , donde p, q ∈Z, y, desde luego, q ≠ 0 . El q conjunto de estos números lo denotaremos por Q.

19

4. Los números irracionales. Se trata de aquellos números reales que no son racionales. La existencia de tales números está todavía sujeta a duda, pues, si bien sabemos que no hay número racional cuyo cuadrado sea 2, todavía no sabemos que haya efectivamente otro tipo de número real que haga esa gracia. La existencia de raíces ( no solo cuadradas, sino de cualquier orden) para números reales positivos, es un punto que debemos fundamentar más adelante. Veremos que tal fundamento se obtiene a través de propiedades fuertes del análisis. 5. Raíces n-ésimas Por ahora aceptaremos el siguiente resultado:

∀n ∈ N , n ≠ 0, ∀a ∈ ℜ, a ≥ 0, ∃b ∈ ℜ, b ≥ 0, b n = a Este número real positivo b es único , se llama raíz n-ésima de a y se denota: b=n a

La operación potencia.

Queremos indicar la forma como surge esta nueva operación entre números reales. Sea b un número real , n un número natural no nulo. Se define la potencia: b n = b.b.b........b. , donde se ha multiplicado b consigo mismo n veces. Esta operación satisface las tres propiedades fundamentales siguentes: I. II. III.

b n b m = b n+m (b n ) m = b nm (ab) n = a n b n

que se siguen simplemente de las propiedades de asociatividad y conmutatividad del producto de números reales.

20

1 . Esta definición extiende la bn operación potencia a todos los números enteros. Notar que la base b ya no es cualquier número real: debe ser distinto de cero. Por otro lado se necesita una definición para la potencia cuando n = 0 . Se define: b0 = 1 Es fácil verificar que, las tres propiedades fundamentales anteriores también se cumplen en este caso. Hay que ponerse ,eso si , en los distintos casos posibles y hacer uso de las propiedades básicas de los números reales. p Segunda extensión: Si n = es un número racional cualquiera, q entonces siempre se puede suponer que q es (estrictamente) positivo: el signo se puede siempre asignar a p . Entonces se define la potencia Primera extensión:

b −n =

p q

b = bp q

Aquí la base b ya no puede ser cualquier número no nulo: para que esta definición tenga sentido para cualquier número racional es necesario suponer que b es estrictamente positivo. Las tres propiedades básicas también se cumplen en este caso, pero su demostración ya no es tan inmediata: es necesario usar la unicidad de las raíces, es decir, si un número elevado a q es igual a b, entonces ese número es la raíz q-ésima de b. En particular es necesario usar la siguiente propiedad de consistencia:

b p = ( b) p En efecto, elevando a q la expresión de la izquierda, resulta b p por definición. Ahora, elevando a q la expresión de la derecha, resulta: q

q

(( b ) p ) q = ( b ) pq = ( b ) qp = (( b ) q ) p = b p q

q

q

q

luego, por la observación anterior, la igualdad propuesta queda demostrada. Las tres propiedades fundamentales se demuestran de modo similar. Por ejemplo, para demostrar: p

r

p r + s

bqbs = bq

21

=b

ps + qr qs

basta elevar ambos lados a la potencia qs y aplicar las propiedades fundamentales a las potencias enteras resultantes. Tercera extensión: Sea b>0, a ∈ ℜ . Entonces se puede demostrar que existe un único número real, que se denota por b a y que extiende tanto la potencia racional anterior como las tres propiedades fundamentales. Este es un resultado no trivial, necesita un desarrollo bastante elaborado. Lo dejaremos para después.

Aceptaremos, pues, la existencia de una nueva operación binaria entre números reales, definida parcialmente: a ∈ ℜ, b ∈ ℜ, b > 0 → b a ∈ ℜ

y que cumple las tres propiedades I,II,III anteriores. Es preciso tener cuidado con el dominio de esta operación y sus propiedades. Por ejemplo, si n es un número natural impar, se puede definir una raíz n-ésima de un número negativo: n

− b = − n b , si b>0

En efecto, elevando a una potencia impar, el signo negativo se conserva. Pero esta extensión ya no cumple las propiedades básicas que deseamos. Si suponemos que se cumplen, llegaríamos a la siguiente contradicción: 2 6

1 3

1 = 1 = (−1) = (−1) = (−1) = 3 − 1 = −1 6

6

2

La operación logaritmo.

Sea b>0, b ≠ 1 , N ∈ ℜ , N>0. Entonces se puede demostrar que existe un único número real x, tal que b x = N . Este único número real se llama logaritmo en base b de N y se denota: x = log b N

22

Aquí es preciso destacar dos cosas: • La operación se puede definir solo parcialmente, es decir, no para todos los números reales: la base b debe ser estrictamente positiva y distinta de 1, y el número N debe ser estrictamente positivo. • La existencia y unicidad del número real asociado, es decir, log b N , requiere una demostración. Esta demostración no es trivial y la dejaremos pendiente para más adelante . Por otro lado, directamente de la definición, se obtienen las dos identidades siguentes:

b logb N = N ; log b b a = a , en particular, si a=1, log b b = 1 Propiedades Fundamentales de los logaritmos.

I.

log b ( NM ) = log b N + log b M

II.

log b a c = c log b a

III.

log a N =

log b N log b a

Estas propiedades se pueden demostrar, suponiendo válidas las tres propiedades fundamentales de las potencias y la existencia y unicidad de los logaritmos: I.

b logb N + logb M = b logb N b logb M = NM = b logb NM

Por lo tanto, por unicidad, los exponentes deben ser iguales. II.

b c logb a = (b logb a ) c = a c = b logb a

c

Luego, igual que antes, los exponentes deben ser iguales III.

b log a N logb a = (b logb a ) log a N = a log a N = N = b logb N

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Nuevamente, los exponentes son iguales y basta despejar log a N para tener la fórmula propuesta, conocida como “Fórmula de cambio de base”. La base más usada para calcular los logaritmos es la llamada base natural, denotada por la letra e cuyo valor es e = 2.71828182…. aproximadamente. Más adelante veremos porqué este número, que es irracional, es base natural. También se usa la base 10 , cuyos logaritmos se suelen llamar “vulgares”. En rigor, no es necesario el uso de distintas bases, con una sola basta. Aquí es necesario tener cuidado con las notaciones: en la literatura matemática el logaritmo natural se denota simplemente por log, mientras que en los libros técnicos de ingeniería este logaritmo se denota por ln, reservándose la notación log para el logaritmo vulgar. En épocas pasadas, antes del advenimiento de las calculadoras de bolsillo, tenía ciertas ventajas el uso de logaritmos vulgares, dado que estamos acostumbrados al uso del sistema decimal. Pero hoy en día no tiene justificación alguna. Puesto que en matemáticas no se usa otra base, la notación log no produce ninguna confusión.

Ejemplos 1. Un individuo pone $350.000 en un banco a 0.8% de interés mensual. Suponiendo una tasa de interés constante en el tiempo, ¿cuándo alcanzará $1.000.000? La ecuación a resolver es: 0.8 x 350.000(1 + ) = 1.000.000 100 Es decir, x log(1.008) = log(2.857) , x = 132meses = 11años aproximadamente. 2. Una plaga crece sostenidamente al 18% diario. ¿En cuánto tiempo se duplica? Si en el instante inicial hay 18.000 individuos, ¿cuándo habrá 1.000.000? N 0 (1 +

log 2 18 t ) = 2 N 0 , de donde t = = 4.19 log(1.18) 100

es el tiempo de duplicación, independiente del valos del tamaño inicial de la población N 0 . Para la segunda pregunta, se

24

plantea la ecuación 18.000(1 +

18 t ) = 1.000.000 , lo que da un 100

tiempo de 24.27 días. 3. Un contaminante se degrada a un ritmo de 2% diariamente. ¿cuándo se reduce a la mitad? ¿cuándo se reduce a la décima parte? 1 C , cuya 2 solución es, aproximadamente 34.3 días. Para la segunda, la 2 t 1 ecuación es C (1 − ) = C y su solución 114 días. 100 10

2 t ) = Para la primera pregunta, la ecuación es: C (1 − 100

1.8. -

PROBLEMAS

1. Cierto isótopo del Radio pierde 9.8% de la intensidad de radiación al año. Si I 0 denota la intensidad original ¿cuál es la intensidad después de uno, dos y tres años? Encuentre una fórmula para la intensidad I n después de n años. ¿En cuánto tiempo la intensidad se reduce a la mitad? 2. El diámetro de una molécula de H 2 O es de 2.5 × 10 −10 [m] aproximadamente. En un mol de agua (18 gr.) hay 6.02 × 10 23 moléculas (número de Avogadro). Si se pusieran en fila estas moléculas, ¿qué tan larga sería la fila? ¿sería más larga que la distancia de la Tierra al Sol ( 1.5 × 10 8 [ Km] ? 3. Un biólogo realiza cierto número de experimentos idénticos en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10 experimentos más cada día, hubiera terminado su trabajo de investigación 4,5 días antes de lo previsto pero si hubiese hecho 5 experimentos menos cada día habría tardado 3 días más de lo previsto. ¿cuántos experimentos hizo y en cuánto tiempo?

25

4. Una población de insectos crece a una tasa per-cápita de 9% diaria. Si el 30 de Septiembre satura un predio, ¿en qué fecha había cubierto el 10% de dicho predio? 5. Una bacteria en un cultivo se duplica cada hora. Si N 0 es el número inicial de bacterias ¿cuántas habrá en n horas? ¿cuántas horas se necesitan para que la población alcance el tamaño N 1 ? 6. Calcule el tiempo de duplicación de la población mundial suponiendo que la tasa neta de crecimiento per-cápita es de 1.58% anual. 7. El carbono 14 decae según la ley: t

At = A0 (0.5) 5.600 donde A0 es la masa inicial y At la masa en el tiempo t, medido en años. En la caverna donde se encontró al Hombre de CroMagnon se encontró también carbón de una hoguera y su análisis determinó que el 10% del carbono 14 original aún estaba presente. ¿Qué edad tenía la hoguera? 8. Mi hija tiene 17 años de edad. Hace 15 años quise poner cierta cantidad de dinero a interés en el banco a su nombre para que cuando cumpliera 21 años pudiese comprarse un auto 0-Km. La idea me pareció demasiado ambiciosa y no lo hice. ¡Ahora me arrepiento! Suponiendo que el interés mensual ha estado en un 2.4% (en promedio) en todos estos años, calcule cuánto dinero debí poner entonces (el auto elíjalo Ud.). ¿Cuánto debió ser el interés anual equivalente? Compare con las tasas actuales de interés. 9. Una población de protozoos crece en el día a una tasa percápita de 12% y decrece durante la noche en un 8%. Si el 30 de Septiembre se censan 12.547 individuos (los cuales llenan el recipiente que los contiene) ¿En qué fecha ocupaban el 10% del recipiente? ¿Cuántos individuos había el 18 de Septiembre?

26

10. (*) Un individuo pide un préstamo de $C al banco a un plazo de n meses, pagando la primera cuota un mes después de haber recibido el préstamo. Si las cuotas deben ser iguales y el banco cobra justo lo que debe, ¿cuánto ha de ser el valor de su cuota mensual? 1.9 .- ECUACIONES EN ℜ

En general, una ecuación es un problema que consiste en encontrar todos los elementos de cierto conjunto, que satisfacen una relación de igualdad dada. Es importante entender que una ecuación puede estar planteada en diferentes ámbitos, que es el conjunto donde se buscan las soluciones, y tener o no soluciones según el ámbito de búsqueda prescrito. Por ejemplo, la ecuación 2x − 3 = 0 tiene una solución (que es x=3/2 ) en Q, pero no tiene soluciones en Z. La ecuación x2 +1 = 0 no tiene soluciones reales (puesto que los cuadrados de los números reales son siempre positivos) , pero tiene dos soluciones en el campo de los números complejos.

En nuestro caso, las ecuaciones estarán planteadas en los reales o subconjuntos interesantes de números reales. Se emplea usualmente la letra griega x (primera letra de la palabra griega χενοσ , que significa desconocido, extranjero) para denotar al (o los) números reales que se buscan. Por otro lado, resolver una ecuación puede ser una cosa muy difícil de hacer, por lo que a veces soluciones parciales del problema pueden ser interesantes, por ejemplo demostrar la existencia de una solución (sin encontrar la solución); encontrar al menos una solución, sin saber si son todas; encontrar soluciones en algún ámbito más pequeño que el deseado, etc.

27

Finalmente, resulta importante en estos problemas el concepto de valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por x y definido por: ⎧ x, x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x, x < 0 Introduciendo el concepto de signo de un número real: ⎧ 1, x > 0 sgn( x) = ⎨ ⎩− 1, x < 0 El valor absoluto puede ser definido por la igualdad: x = sgn( x) x Notar que 0 no tiene signo. Clasificando por casos, es fácil demostrar las relaciones fundamentales siguentes: •

x+ y ≤ x + y

•

xy = x y

Ejemplos

1. Resolver la ecuación en ℜ : x−3 = 8

Aquí es necesario dividir la recta real en dos ámbitos de búsqueda diferentes: • Zona de búsqueda I: x − 3 ≥ 0 . La ecuación en esta zona es: x − 3 = 8 y su solución (única) es x = 11 , que pertenece a dicha zona. • Zona de búsqueda II: x − 3 < 0 . La ecuación en esta zona es: − x + 3 = 8 y su solución (única) es: x = −5 que pertenece a la zona. La Figura 1.1 muestra las zonas de búsqueda.

28

Figura 1.1

Resolver la ecuación en ℜ :

2.

x + 1 = 2x − 1 En este caso la recta real debe ser dividida en tres zonas:

Figura 1.2 • • •

En la zona I, la ecuación es − x − 1 = −2 x − 1 y su solución debería ser x = 0 que no está en la zona. Esto significa que, en esta zona, la ecuación no tiene solución. En la zona II, la ecuación es x + 1 = −2 x − 1 cuya solución es -2/3 que está en la zona. En la zona III, la ecuación es: x + 1 = 2 x + 1 y su solución es: x = 0 , que está en la zona.

29

La conclusión es que la ecuación planteada tiene exactamente dos soluciones: -2/3 y 0. En este caso también se dice que el conjunto⎧ 2 ⎫ solución ( es decir, el conjunto de soluciones) es S = ⎨− ,0⎬ ⎩ 3 ⎭

3. Resolver la ecuación en ℜ : 1 1 + =0 2 x + x x +1 En este caso, el ámbito de búsqueda ha de excluir x = 0 y x = −1 , pues la fórmula que define la ecuación no está definida para estos números. Sin embargo, un tratamiento descuidado y puramente operacional puede conducir a soluciones erróneas: pasando el segundo sumando a restar: 1 1 =− x( x + 1) x +1 multiplicando por x + 1 a ambos lados: 1 = −1 x y multiplicando por x a ambos lados, se llega a x = −1 . Un estudiante descuidado se dará por satisfecho con este resultado falso. Por otro lado, operando de otro modo, se puede llegar a otras conclusiones: sumando ambas fracciones usando un denominador común, se tiene: x +1 =0 x( x + 1) y simplificando el factor x + 1 , se tiene 1 =0 x finalmente, multiplicando por x a ambos lados , se llega a 1= 0 ¡Se elimina la incógnita!. Antes de llegar a esta contradicción es 1 preciso analizar la condición anterior: = 0 no tiene solución para x ningún número real. La conclusión es que el conjunto-solución es vacío: S = φ . 4. Resolver la ecuación en ℜ :

30

x + x = 2x +

x x

−x

En este caso, la restricción al ámbito de búsqueda debe ser x > 0 x Simplificando las x y reconociendo que = x , se llega x finalmente a x=x Si se cancela la x, nuevamente se ha eliminado la incógnita, pero esta vez queda 0 = 0. Al interpretar este resultado, se llega a la conclusión que todos los números reales (que cumplen la restricción) son solución de la ecuación . Se tiene entonces que el conjunto solución es S = {x ∈ ℜ : x > 0}. La ecuación tiene, pues, infinitas soluciones. 5. Resolver la ecuación en ℜ :

x 2 − 3x + 2 = 0 Recordando una fórmula muy usada en la enseñanza media: − (−3) ± 3 2 − 4 × 2 ⎧1 =⎨ x= 2 ⎩2 Pero ¿de donde sale esta fórmula? ¿Cómo sabemos que es correcta?¿bajo qué condiciones proporciona efectivamente las soluciones de la ecuación? Usando solamente las reglas del álgebra de los números reales que hemos visto y suponiendo la existencia de raíces cuadradas de números positivos, el polinomio cuadrático general se puede factorizar: − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac )( x − ) 2a 2a Pero esta factorización solo es posible si acaso el llamado discriminante: ∆ = b 2 − 4ac es positivo (o nulo). Puesto que el cuerpo de los números reales no tiene divisores de cero, alguno de los factores debe anularse, lo que provee las dos ax 2 + bx + c = a ( x −

31

soluciones que se obtienen con la fórmula anterior y ,además, demuestra que no hay otras soluciones posibles. 6. Resolver la ecuación en los reales:

x2 + x +1 = 0 Usando la fórmula anterior, nos encontramos con un discriminante negativo: ∆ = −3 . ¿Qué significado tiene esto? Desde luego, la factorización anterior no es posible, pero ¿no hay otra?, ¿no habrá algún otro número real que sea solución de esta ecuación?. La respuesta a estas preguntas es negativa, pero ¿Cómo demostrarlo? Hay una forma sencilla de hacerlo: vamos a plantearlo en general: Sea b 2 − 4ac < 0 ; demostraremos que ax 2 + bx + c nunca es nulo, es decir, no se anula para ningún número real x. Como b c a ≠ 0 , podemos factorizar: a ( x 2 + x + ) y vemos que la a a 2

c ⎛b⎞ condición b − 4ac < 0 es equivalente a: ⎜ ⎟ − 4 < 0 a ⎝a⎠ Cambiando de nombre los coeficientes, basta demostrar entonces que el polinomio de la forma x 2 + bx + c ≠ 0 , si b 2 − 4c < 0 , o b2 sea si c − > 0 . Pero por el método de “completación del 4 cuadrado”, se tiene: b b2 x 2 + bx + c = ( x + ) 2 + c − >0 2 4 En particular, hemos demostrado que , si b 2 − 4c < 0 , entonces x 2 + bx + c > 0, ∀x ∈ \ . 2

7. Resolver la ecuación en los reales: 2x 2 − 2 = x − 1 Aquí la técnica usual es elevar a ambos lados al cuadrado: 2x 2 − 2 = x 2 − 2x + 1

32

Lo que nos dá la ecuación cuadrática: x 2 + 2 x − 3 = 0 , cuyas soluciones son: 1 y -3. Llegado a este punto un estudiante descuidado se daría por satisfecho: la ecuación tiene dos soluciones. Sin embargo, si uno substituye el número -3 en la ecuación, resulta 16 = −4 , lo que es falso. ¿Qué ha ocurrido? La explicación es que al elevar al cuadrado se pueden “ganar” soluciones que no son tales. El razonamiento es el siguiente: los números reales x que satisfacen la primera ecuación, deben satisfacer la segunda, pero no al revés. Dos números reales distintos pueden tener el mismo cuadrado. 8.


8 x 5 n + 3x 3n = 0 donde n ∈ Z . En este caso n es un parámetro entero, es decir, un número entero fijo. El problema aquí no es una ecuación, sino una familia infinita de ecuaciones, una por cada valor que se le dé al parámetro n. Habrá por lo tanto distintos conjuntos-solución, según sea el valor del parámetro. Factorizando por x 3n , se tiene:

x 3n (8 x 2 n + 3) = 0 Luego, habrá dos familias posibles de soluciones: x 3n = 0 , o bien: 8 x 2 n + 3 = 0 . Aquí hay que hacer ya una discusión según el valor del parámetro: • n = 0 : entonces claramente no hay solución: S = φ • n > 0 : x 3n = x.x.....x = 0 , luego x = 0 es solución. La otra 3 familia : x 2 n = − no dá soluciones pues 2n es par. 8 • n < 0 : podemos poner n = −m , con m ∈ N . La primera 1 familia: x 3n = x −3m = 3m = 0 no dá soluciones. La x 1 3 tampoco. segunda: x 2 n = x − 2 m = 2 m = − 8 x

33

Figura 1.3 En la figura 1.3 se esquematizan las soluciones en el espacio de parámetros. 9.


log b x =

2 log b 27 + 2 log b 2 − log b 3 3

Aquí la base de los logaritmos es el parámetro. Veremos si las soluciones de la ecuación dependen del parámetro. El miembro derecho se simplifica: 2 ( )

(27) 3 2 2 log b = log b 12 3 Igualando ambos miembros, se obtiene x = 12 , única solución. 10. Resolver la ecuación en ℜ : log 4

x

2

log 2 x 2

+ log 2 x 2 log 1 2 x = 0 2

En este caso la incógnita está en la base de los logaritmos. La ecuación parece tremebunda pero no lo es: está arreglada para ser resuelta fácilmente. Primero que nada es conveniente establecer las restricciones implícitas : •

x>0

34

•

4 x ≠ 1 , luego x ≠

•

2 x ≠ 1 , luego x ≠

1 16

1 2

Cambiando toda la ecuación a base 2: log 2 2 log 2 2 x log 2 2 log 2 2 x + =0 log 2 4 x log 2 2 log 2 x log 1 2 2 2 Simplificando, la ecuación queda: log 2 2 x = log 2 4 x

Por lo tanto: 2 x = 4 x , es decir x 2 = 4 x , de donde: x = 0 , que no es posible o bien x = 4 que si es posible. Luego, el conjunto solución es simplemente S = {4} 11. Resolver la ecuación en ℜ :

3 2 x 5 6 x −7 = 9 x − 2 71− x Aplicando logaritmo en alguna base práctica (e o 10), se tiene: 2 x log 3 + (6 x − 7) log 5 = ( x − 2) log 9 + (1 − x) log 7 De donde, despejando la x se tiene: 57 7 ) 9 2 ≈ 8.8 ≈ 0.76 x= log(5 6 7) 11.6 log(

1.10 .-

PROBLEMAS

1. Resolver y discutir las siguientes ecuaciones en ℜ : •

x + 2 x = x + x −1 2

35

•

x 1 − =0 x x ( x + 1) 2 − x 2 = 2 x − 1

•

1 + 2x = 2 + x 2

•

•

2+ x = x

2. Resolver y discutir, según los valores de los parámetros, las ecuaciones en ℜ :

•

m 1 2 − = x m m x2 − x − a = 0

• •

x 2 p + 2x p − 3 = 0 x 7 n − 2 x 9 n = 0 , donde n ∈ Z

•

3. Resuelva y discuta las ecuaciones en ℜ :

•

1 4 x − 2 = x +1

•

x 2 − 3x − x = 0

•

3x + 2 + x − 3 − 4 = 0

•

1 1 + −4=0 x+5 x+3 x − px − 1 = 0 , donde p ∈ ℜ

•

•

x2 + x =

4. Resuelva las ecuaciones en ℜ : •

35− x 5 2 x − 4 = 1511−3 x

• •

17 2 = 4913 log x 3 + log 2 x 2 = 1

•

log 2 x 2 − log x 2 2 = 1

•

ln(2 x 3 x ) = 1

x2 −

x

2

36

5. Resuelva las siguientes ecuaciones en ℜ : •

log x (1 + x) = 1

•

log x (1 + x) = 2

37

1.11.- PROBLEMAS ELEMENTALES CON EL ORDEN DE ℜ

Hasta ahora hemos trabajado solamente con la estructura de cuerpo de ℜ , es decir, usando solo sumas y productos. Pero una característica esencial de las cantidades es el poder compararlas unas con otras, poder establecer que ciertas cantidades son más grandes o más pequeñas que otras. Un problema práctico, que requiere un análisis que todavía no hemos hecho es el siguiente: Un agricultor necesita aplicar cierto insecticida para controlar cierta peste y sabe que las normas para la comercialización de su producto exigen como máximo un 0.001% de presencia del pesticida en el producto. Por otro lado también sabe que el pesticida se degrada en un 15% diariamente. La pregunta es: ¿cuántos días, como mínimo, antes de la cosecha deberá realizar su última aplicación de pesticida? Si llamamos x a este número de días, la condición que debe cumplirse es: 15 x 0.001 (1 − ) < 100 100 Se trata, pues, no de una ecuación, sino de una inecuación. Para resolverla, aplicamos un logaritmo (por ejemplo, el natural) a ambos lados de la desigualdad: x log(0.85) < log(0.00001) de donde: log(0.00001) x> = 70.8 log(0.85)

Notar que log(0.85) es un número negativo, por lo que la desigualdad se invierte. El agricultor deberá tomar como mínimo un resguardo de 70.8 días, o sea casi dos meses y medio sin aplicar pesticida antes de la cosecha. Aquí es importante destacar, desde el punto de vista matemático, que se ha supuesto que el logaritmo respeta el orden. ¿será siempre así? ¿Todos los logaritmos , de cualquier base, respetan el orden? . Para contestar a esta pregunta, empecemos por demostrar :

0 < a < b ⇔ a n < b n , para todo n, número natural no nulo.

38

• Sea 0 < a < b . Multiplicando por a y después por b a ambos lados de la desigualdad, se obtiene : a 2 < b 2 (este resultado ya lo habíamos obtenido antes). Repitiendo este mismo procedimiento con la desigualdad obtenida, se logra: a 3 < b 3 , y si lo volvemos a hacer una y otra vez, se obtiene efectivamente : a n < b n . Este procedimiento se denomina inducción finita y será discutido en forma más precisa y detallada más adelante. • Sea ahora a n < b n . La siguiente factorización es muy fácil de verificar: n b − a n = (b − a )(b n −1 + b n − 2 a + b n −3 a 2 + ... + ba n − 2 + a n −1 ) Se sigue de aquí que, puesto que el miembro izquierdo de la igualdad es positivo y que es segundo factor del miembro derecho de la igualdad también es positivo, el primer factor también debe serlo, es decir: b − a > 0 , o sea a < b .

De lo anterior se sigue también que :

0 < a < b ⇔ n a < n b , para todo n, número natural no nulo. En efecto, la implicación de derecha a izquierda se obtiene simplemente elevando a la potencia n y aplicando el resultado anterior. Para la implicación de izquierda a derecha, supongamos que n a ≥ n b : nuevamente elevando a la potencia n se llega a la contradicción a ≥ b . Con este resultado, podemos generalizar la propiedad a los números racionales positivos : p q

p q

p >0 q

0
•

p

Sea 0 < a < b , supongamos que a q ≥ b q . Basta elevar a la potencia q para llegar a a p ≥ b p y aplicando la raíz pésima, a ≥ b , que contradice la hipótesis.

39

•

Para la implicación de derecha a izquierda, basta elevar a q y aplicar raíz p-ésima.

Estos resultados, sin embargo, son todavía insuficientes: deseamos extender estas desigualdades a potencias reales cualquiera. Para esto aceptaremos el siguiente resultado:

⎧ bx 1 ∀x, y ∈ ℜ, x < y ⇒ ⎨ x y ⎩b > b ,0 1 x< y⇒⎨ b ⎩log b x > log b y, b < 1

En efecto, si suponemos que log b x ≥ log b y , con b>1, entonces se tendría, elevando la base b al logaritmo respectivo, según el resultado que hemos aceptado, x = b logb x ≥ b logb y = y , lo que contradice la hipótesis. De modo similar se procede en el caso b<1. •

⎧a x 0 0 b , x < 0

Esto se demuestra de modo similar a la propiedad anterior. En efecto, supongamos que a x ≥ b x , con x > 0 . Aplicando logaritmo natural (cuya base es mayor que 1), se tendría x log a ≥ x log b , que, simplificando por x que es positivo, conduce a log a ≥ log b , y, finalmente, elevando a la potencia de base natural e se obtiene: a = e log a ≥ e log b = b , lo que contradice la hipótesis. Del mismo modo se procede para el caso x < 0 .

40

1.12

INECUACIONES EN ℜ

Una inecuación en ℜ es un problema, que consiste en hallar todos los números reales, tomados de cierto conjunto, que satisfacen una relación de desigualdad dada. Las inecuaciones también se plantean en ámbitos determinados, tal como las ecuaciones. En este caso, sin embargo, es necesario que el espacio donde se plantee la inecuación posea la estructura de orden apropiada. Nosotros trabajaremos en el conjunto de números reales, cuya estructura de orden es la de un cuerpo ordenado, que además satisface el axioma del supremo, que es el que nos permitirá fundamentar las operaciones y propiedades de potencias, raíces y logaritmos.

Ejemplos

1.Resolver la inecuación en ℜ : 2 x + 3 < 5x + 1

Sumando a ambos lados − 2 x − 1 y dividiendo por 3, es decir, 1 2 multiplicando por , resulta: x > , es decir, el conjunto 3 3 solución es: 2⎫ ⎧ S = ⎨x ∈ ℜ : x > ⎬ 3⎭ ⎩

Aquí conviene establecer el concepto de intervalo : • • • •

[a, b] = {x ∈ ℜ : a ≤ x ≤ b} : intervalo cerrado ]a, b[ = {x ∈ ℜ : a < x < b} : intervalo abierto ]a, b] = {x ∈ ℜ : a < x ≤ b} : intervalo semicerrado [a, b[ = {x ∈ ℜ : a ≤ x < b} : intervalo semicerrado

También a estos dos últimos se les denomina semiabiertos. Los siguientes se llaman intervalos impropios, infinitos o degenerados:

41

• • • •

]a, ∞[ = {x ∈ ℜ : a < x} ]− ∞, b[ = {x ∈ ℜ : x < b} [a, ∞[ = {x ∈ ℜ : a ≤ x} ]− ∞, b] = {x ∈ ℜ : x ≤ b}

⎤2 ⎡ En nuestro ejemplo, el conjunto-solución es el intervalo ⎥ , ∞ ⎢ ⎦3 ⎣ 2. Resolver la inecuación en ℜ :

x + 5 ≤ x2 − 4 Aquí es necesario observar que las fórmulas que aparecen en la inecuación no están definidas para cualquier número real: existen restricciones implícitas que es necesario explicitar para determinar cuál será nuestro ámbito de búsqueda de soluciones: es necesario que se cumpla: x 2 − 4 ≥ 0 . Luego es preciso resolver previamente la inecuación x 2 − 4 ≥ 0 para saber dónde buscar soluciones del problema planteado. Factorizando el polinomio cuadrático, se tiene la condición: ( x − 2)( x + 2) ≥ 0 .Hay, entonces dos alternativas: que ambos factores sean positivos (es decir, si x ≥ 2 ) o ambos negativos (o sea, si x ≤ −2 ). Por lo tanto nuestro ámbito de búsqueda será: ]− ∞,−2] ∪ [2, ∞[ Ahora, vamos a la inecuación: aquí es necesario distinguir dos casos: • x + 5 ≤ 0 : aquí la inecuación se cumple, pues las raíces cuadradas son siempre positivas, luego x ≤ −5 , que se encuentra en el ámbito de búsqueda, por lo tanto, el intervalo ]− ∞,−5] es ya parte de la solución del problema. • x + 5 ≥ 0 : aquí podemos elevar al cuadrado, es decir, si la inecuación se cumple, la desigualdad de los cuadrados debe también cumplirse: x 2 + 10 x + 25 ≤ x 2 − 4 , cancelando x 2 , 29 restando 25 y dividiendo por 10, se tiene: x ≤ − = −2.9 , 10 que también se encuentra en el ámbito de búsqueda, luego, el intervalo [− 5,−2.9] es también solución del problema.

42

La solución completa de la inecuación será la unión de ambas soluciones parciales:

]− ∞,−5] ∪ [− 5,−2.9] = ]− ∞,2.9] 3. Resolver la inecuación en ℜ : x − 2 + 2− x <1 Aquí las restricciones implícitas son: x ≥ 2 ∧ x ≤ 2 , luego el ámbito de búsqueda se reduce a {2}. ¿Es solución x=2? Claro que lo es, luego el conjunto solución de esta inecuación es simplemente S= {2}. Este ejemplo es una muestra drástica de que, antes de empezar a operar , conviene sencillamente pensar. 4. Resolver la inecuación en ℜ : 2 x + 1 ≤ 3x + 1

Aquí es necesario dividir la recta real en dos zonas: •

1 : aquí la inecuación es: − 2 x − 1 ≤ 3x + 1 , es decir, 5 x ≥ −2 , 2 2 o sea x ≥ − , que no está dentro del intervalo de búsqueda. 5

•

1 x > − : donde la inecuación es : 2 x + 1 ≤ 3 x + 1 , que nos dice 2 x ≥ 0 . Por lo tanto, el conjunto-solución es S = [0, ∞[

x≤−

5. Resolver la inecuación en ℜ : x +1 <

x −1 +1

En este caso no hay restricciones implícitas, pues la cantidad subradical es siempre positiva. Pero hay que estudiar la inecuación en tres zonas:

43

• x ≤ −1 : aquí la inecuación se cumple, pues la raíz es siempre estrictamente positiva. • − 1 < x ≤ 1 : podemos elevar al cuadrado y la inecuación queda: x 2 + 2 x + 1 < − x + 2 , es decir, x 2 + 3 x − 1 < 0 . − 3 − 13 − 3 + 13 Factorizando, se tiene . Notar que 1 : elevando al cuadrado, se tiene x 2 + 2 x + 1 < x , es decir: x 2 + x + 1 < 0 . Pero el discriminante de este polinomio cuadrático es negativo, luego, se trata de un polinomio irreducible, es decir, sin raíces reales, por lo tanto tiene siempre un solo signo, que es positivo pues su valor en x = 0 es 1. Luego, en esta zona no hay soluciones. Uniendo las soluciones encontradas se obtiene el conjunto solución de la inecuación:

⎤ − 3 − 13 − 3 + 13 ⎡ ⎤ − 3 + 13 ⎡ S= ]− ∞,−1] ∪ ⎥ , ⎢ = ⎥ − ∞, ⎢ 2 2 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 6. Resolver la inecuación en ℜ : ex

2

+4 x−2

≤1

En este caso basta aplicar el logaritmo natural a ambos lados de la desigualdad y recordar que, como la base es mayor que 1, este logaritmo respeta el orden: ( x 2 + 4 x − 2) log e ≤ log(1) es decir, x 2 + 4 x − 2 ≤ 0 . Factorizando el polinomio cuadrático, se obtiene: ( x − 2 + 6 )( x − 2 − 6 ) ≤ 0 , luego, la solución es:

[

]

2 − 6 ≤ x ≤ 2 + 6 , es decir S = 2 − 6 ,2 + 6 .

44

7. Resolver la inecuación en ℜ : log 3 (log 1 ( x 2 − 2)) < 0 2

4

Hay aquí dos restricciones: • x 2 − 2 > 0 : por lo tanto: x ∈ − ∞,− 2 ∪ 2 , ∞ • log 1 ( x 2 − 2) > 0 . Como la base del logaritmo es menor que 1,

]

[ ]

[

4

la desigualdad se invierte: x 2 − 2 < 1 , es decir, − 3 < x < 3

]

[ ]

[

Luego, el ámbito de búsqueda será: − 3 ,− 2 ∪ 2 , 3 . Recién ahora podemos abordar la inecuación: siendo la base del logaritmo exterior mayor que 1, la desigualdad se mantiene, luego: log 1 ( x 2 − 2) < 1 y aplicando ahora la potencia respectiva, 4

1 9 , o sea x 2 > , por 4 4 3 3 lo tanto, puesto que − 3 < − < − 2 y que 2 < < 3 , se 2 2 tiene finalmente la solución de la inecuación: con la base menor que 1, se tiene: x 2 − 2 >

3⎡ ⎤3 ⎤ ⎡ S = ⎥ − 3 ,− ⎢ ∪ ⎥ , 3 ⎢ 2 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 8. Resolver la ecuación: x − a + a 2 x = 1 Puede parecer extraño que aparezca aquí una ecuación, más aún, una de apariencia sencilla. En realidad no se trata de una ecuación, sino de una familia infinita de ecuaciones, una por cada valor que tome el parámetro a . El problema consiste en clasificar todas las posibles soluciones según sea a . Este problema de clasificaciones nos conducirá a ecuaciones e inecuaciones. Un análisis preliminar, de carácter exploratorio, nos indica que aparecerá el factor a 2 − 1 , y por lo tanto conviene separar el conjunto de valores del parámetro en tres zonas, separando también los valores límites: • Zona I : a < −1 . Debemos ahora buscar soluciones de la ecuación en dos zonas : x ≤ a , donde la ecuación es:

45

1− a . Pero para que la a2 −1 solución esté en la zona de búsqueda, se debe cumplir que 1− a x= 2 ≤ a , o sea, puesto que, por la hipótesis sobre a: a −1 a 2 − 1 > 0 , la condición es 1 − a ≤ a 3 − a , es decir, 1 ≤ a 3 , lo que no es posible, pues a es negativo. Luego, en la zona x ≤ a la ecuación no tiene soluciones. Sea ahora x > a : la ecuación 1+ a que debe ser mayor que será x − a + a 2 x = 1 , o sea x = 1+ a2 1+ a a, o sea: > a , es decir: 1 + a > a + a 3 , lo que se cumple 1+ a2 pues a es negativo. La conclusión es que en la zona I para el 1+ a parámetro a solo hay una solución y esta es : x1 = 1+ a2 • Valor límite a = −1 . En este caso la ecuación es x + 1 + x = 1 . Si se busca en la zona x ≤ −1 , la ecuación es

− x + a + a 2 x = 1 , es decir : x =

− x − 1 + x = 1 que no tiene soluciónes. En la zona x > −1 , la ecuación es x + 1 + x = 1 , cuya solución es : x 2 = 0 . Nótese que la fórmula dada para x1 también sirve para el caso a = −1 • Zona II: − 1 < a < 1 . Para x ≤ a la ecuación es: 1− a 1 que debe ser − x + a + a 2 x = 1 , luego: x = 2 =− a +1 a −1 menor o igual que a, es decir, a 2 + a + 1 ≥ 0 , lo cual siempre 1 se cumple. Por lo tanto x3 = − es solución en esta zona. a +1 Para x > a , la ecuación es x − a + a 2 x = 1 , cuya solución 1+ a debe ser mayor que a, o sea 1 + a > a + a 3 , x= 2 1+ a condición que, esta vez, se satisface. Luego, en esta zona hay 1+ a otra solución que es: x1 = 1+ a2 • Valor límite a = 1 . La ecuación es: x − 1 + x = 1 . Si se busca en x ≤ 1 , resulta la ecuación − x + 1 + x = 1 que se cumple siempre, es decir, el conjunto solución es S = [1, ∞[

46

Si buscamos soluciones en x > 1 , la ecuación será x − 1 + x = 1 , o sea x = 1 que no cumple la condición. Por lo tanto, para este valor de parámetro, hay infinitas soluciones y el conjunto solución es S = [1, ∞[ • Zona III : a > 1 . Buscamos primero en x ≤ a , donde la ecuación 1 , que debe ser menor o igual nos dá por solución: x3 = − a +1 que a, lo cual se cumple. Buscando en x > a , la ecuación nos 1+ a que debe ser mayor que a, lo cual dá por solución x = 1+ a2 no se cumple. Por lo tanto, en esta zona del espacio de parámetros tenemos una única solución que es x3 La Figura 1.4 muestra un esquema de las soluciones a lo largo de la recta que representa la totalidad de valores de parámetros.

Figura 1.4

1.13

PROBLEMAS

1. Resolver las inecuaciones en ℜ : • 2x ≥ x 2 + 1 •

x x + x 1+ x +x< 2 1+ x 1+ 1+ x2

47

• x x + x ≥ 2x − • •

1

+x>

x+x x

1+ x x+x x

1+ x 2x + 2x 2x x 2 + 1 + 2x ≤ 1 + 2x x

• x − 1 < 2x 2 − 1 + 2 • x −1 <

2x 2 − 1 + 2

• x −1 <

2x 2 − 1 + 2

2. Resolver y discutir (según los valores de los parámetros) las inecuaciones siguientes: • x1+ log a x > a 2 x • log b (1 − x + 2 ) ≤ −1 • x logb x < x • log b (1 − ax + 2 ) ≤ −1 •

x2 − p + x = 0

• x 2 − px − 1 = 0 3. Resolver las inecuaciones: • log 1 (log 4 ( x 2 − 5) > 0 3

• log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0 • log 1 ( x 2 − 5 x + 6) < 0 3

• log x (1 + x) < 1

4. Un granjero dispone de A metros de un plástico especial de 80cm de ancho para cubrir las paredes de un abrevadero circular (cilíndrico) El abrevadero debe tener al menos una capacidad de B

48

litros. Discuta las soluciones posibles. Si A=20 , ¿podrá tener 2.500 litros de capacidad?. Amplíe su estudio considerando otras formas posibles del abrevadero (cuadrada, rectangular, etc.)

5.

La tasa de crecimiento de cierta bacteria en estudio se ha estimado en algo mayor que 23% diario. Un experimento es iniciado con 40 bacterias pero se necesitan al menos 13.000 para llevar a cabo el estudio. ¿Cuántos días de crecimiento de la población aseguran que el experimento puede ser realizado?

1.14 SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

Los problemas de la vida real rara vez se pueden plantear a través de una sola condición y una sola incógnita. En general habrá varias incógnitas y varias condiciones que deben cumplirse. Se habla de un sistema de ecuaciones, si todas las condiciones que aparecen son ecuaciones, las cuales deben cumplirse simultáneamente, es decir, serán soluciones del sistema aquellos sistemas de números (pares, tríos, etc. según sea el número de incógnitas) que satisfacen a la vez todas las igualdades. También pueden plantearse sistemas de inecuaciones, donde las condiciones a satisfacer son inecuaciones y finalmente, sistemas mixtos, donde aparecen tanto ecuaciones como inecuaciones. Estos últimos aparecen raramente en la literatura, a pesar de ser bastante importantes en la resolución de problemas prácticos: muchas veces se buscan soluciones de sistemas de ecuaciones que deben además cumplir otras condiciones , por ejemplo, ser positivas para que tengan sentido en el modelo: el sistema se transforma entonces en un sistema mixto. Ejemplos

1. Resolver el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas: 2x − y = 1 x+ y =0

49

sumando ambas ecuaciones, se elimina la incógnita y y queda 1 una ecuación muy simple para x cuya solución es x = , 3 1 reemplazando en la segunda ecuación, resulta y = − . Luego, el 3 ⎧⎛ 1 1 ⎞⎫ conjunto solución del sistema es S = ⎨⎜ ,− ⎟⎬ ⎩⎝ 3 3 ⎠⎭ 2. Resolver el sistema:

2x − y = 1 x+ y =0 1 x− =0 3 Notar que el sistema tiene dos incógnitas y tres ecuaciones, pero su solución es exactamente la misma que en el ejemplo anterior.

3. Resolver el sistema: 2x − y = 1 Aquí se trata del caso límite de un sistema de una ecuación con dos incógnitas. El conjunto solución es, desde luego infinito : S = {( x, y ) : y = 2 x − 1}, que puede ser descrito geométricamente como el conjunto de puntos en el plano que satisfacen la ecuación de la recta y = 2 x + 1 Hemos puesto estos ejemplos extremadamente sencillos para enfatizar que un sistema de ecuaciones no tiene porqué tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Por otro lado, una solución de un sistema de dos incógnitas será una pareja de números reales. Si se trata de un sistema de tres incógnitas, una solución será un trío de números reales.

50

4.

Resolver el sistema mixto: x + y2 = 0 x − y = −2 x+2≤0 Reemplazando x = y − 2 en la primera ecuación, resulta la ecuación de segundo grado: y 2 + y − 2 = 0 , cuyas soluciones son : -2 y 1, luego los posibles valores de x serán: x = −4; x = −1 , pero solamente x = −4 satisface la condición de desigualdad. Por lo tanto, el conjunto solución es: S = {(− 4,−2)}

5. Resolver el sistema mixto: log a x − log a 1 + y ≤ 0 2 xy −1 = 1

En primer lugar es conveniente observar las restricciones implícitas de este sistema: a > 0; a ≠ 1; x > 0; y ≠ −1 La relación de igualdad se puede resolver aplicando un logaritmo: se tiene: xy = 1 , por lo tanto, en particular x e y deben tener el mismo signo y como x debe ser positivo, y también. El conjunto de parejas que satisface esta condición puede ser dibujado en el plano (se trata de un trozo de hipérbola). Ver Figura 1.5. Para analizar la relación de desigualdad tenemos que distinguir dos casos: i) a > 1 : En este caso la desigualdad es log a x ≤ log a 1 + y por lo tanto, puesto que este logaritmo respeta el orden: x ≤ 1 + y = 1 + y , puesto que y > 0

51

Luego, en este caso la solución es S = {( x, y ) : y ≥ x − 1 ∧ xy = 1}, 1 o bien describiéndola solo en términos de x , y = ≥ x − 1 , de x 1− 5 1+ 5 donde x 2 − x − 1 ≤ 0 , es decir: , pero como x ≤x≤ 2 2 debe ser estrictamente positivo, la solución puede ser descrita por: ⎧ 1 1+ 5 ⎫ S = ⎨( x, y ) : y = ∧ 0 < x ≤ ⎬ 2 ⎭ x ⎩ ii) a < 1 : en este caso el logaritmo invierte las desigualdades, luego: x ≥ 1 + y = 1 + y , luego, haciendo el mismo cálculo anterior, la solución es: ⎧ ⎫ 1 1+ 5 ≤ x⎬ S = ⎨( x, y ) : y = ∧ 2 x ⎩ ⎭

Figura 1.5

6. Resolver el sistema mixto:

52

x+ y +x<2 x− y + y =2

Tanto la ecuación como la inecuación dependen de los signos de la suma y la diferencia de las incógnitas, por lo tanto es necesario dividir el espacio de búsqueda ( que en este caso tiene la representación geométrica de un plano) en cuatro partes (ver Figura 1.6):

Figura 1.6 i) Zona I: x + y ≥ 0 ∧ x − y ≥ 0 . En este caso la ecuación es x − y + y = 2 , es decir x = 2 . La inecuación es x + y + x < 2 , por lo tanto y < −2 , que está fuera de la zona I. Por lo tanto aquí no hay soluciones: S1 = φ . ii) Zona II : x + y ≥ 0 ∧ x − y ≤ 0 . En este caso la ecuación es − x + y + y = 2 , lo que nos dá los puntos de la recta de 1 ecuación y = x + 1 . La inecuación es x + y + x < 2 , lo 2

53

que nos dá, reemplazando el valor de y , la condición: 2 x < . Luego, en esta zona la solución es: 5 1 2 2⎫ ⎧ S 2 = ⎨( x, y ) : y = x + 1,− ≤ x < ⎬ 2 3 5⎭ ⎩ iii) Zona III: x + y ≤ 0 ∧ x − y ≤ 0 . Aquí la ecuación nos da la misma recta que en el caso anterior , pero la inecuación nos da la condición x > −6 . Luego, la solución en esta 2⎫ 1 ⎧ zona es S 2 = ⎨( x, y ) : y = x + 1,− − 6 < x < − ⎬ 3⎭ 2 ⎩ iv) Zona IV : x + y ≤ 0 ∧ x − y ≥ 0 . Finalmente en esta zona se puede demostrar que no hay soluciones: S 4 = φ . Luego, la solución del problema es: 1 2⎫ ⎧ S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∪ S 4 = ⎨( x, y ) : y = x + 1,−6 < x < ⎬ 2 5⎭ ⎩ 7. Dos obreros, trabajando juntos, siempre logran terminar el trabajo asignado en las 8 horas del día de trabajo. Pero saben que, el más joven trabajando solo necesita 12 horas menos que el más viejo. Un día el viejo se enfermó: ¿cuántas horas extraordinarias deberá pedir, por lo menos, el joven para hacerlo solo? En este tipo de problemas lo que causa dificultad es identificar aquello que se suma si trabajan ambos obreros juntos: llamemos x al número de horas que el trabajador más joven necesita para completar el trabajo solo , y , al número de horas que necesita el más viejo. Sea T el trabajo total a realizar (puede ser cierta cantidad de metros de muralla, cierta cantidad de tierra a remover etc.) La fracción del trabajo que realiza el más joven en una hora T T , mientras que será la fracción del trabajo que será entonces y x el viejo realiza en una hora: estas son las cantidades que se deben sumar. Corresponde al rendimiento de cada trabajador, es decir, al trabajo realizado por hora. En una hora ambos trabajadores juntos T T realizarán la fracción + del trabajo total. Aquí se está x y

54

suponiendo que el proceso es lineal, es decir, la cantidad de trabajo realizado es simplemente proporcional al tiempo empleado (no hay fatiga, cansancio, baja del rendimiento después de la colación etc.) Además se supone que los rendimientos efectivamente se suman, es decir no se consideran efectos de sinergia ni de estorbo mutuo por trabajar juntos. La hipótesis principal del problema es : T T 8( + ) ≥ T x y es decir, ambos trabajadores terminan el trabajo en 8 horas. La segunda hipótesis es: x = y − 12 . Desde el punto de vista matemático se trata de un sistema mixto: una ecuación con una inecuación. Introduciendo la y despejada de la ecuación en la T T ) ≥ T , que, simplificando por T inecuación, resulta : 8( + x x + 12 y tomando en cuenta que x es positivo, es equivalente a la inecuación cuadrática: x 2 − 4 x − 96 ≤ 0 , cuya solución es − 8 ≤ x ≤ 12 . Por lo tanto, el joven necesita menos de 12 horas para hacer el trabajo solo y necesitará, por lo tanto a lo más, 4 horas extra.

1.15.

PROBLEMAS

1.

Resolver el sistema y representar gráficamente el conjunto solución:

x2 − y2 = 0 2x + y = 2 y≥0

2. Resolver el sistema y representar gráficamente el conjunto solución:

55

1 x

( x + y) = 2 ( x + y )3 x = 279936

2. Resolver el sistema de ecuaciones y analizar según los parámetros: xa = yb x log x log( ) = y log y

3. Resolver el sistema mixto: log x y − log y x = 0 2 x+ y ≤ 2

4. Resolver el sistema mixto: log(2 x − 1) − log( x 2 − 1) = 0 x2 − 2 ≥ 0 5.

Resolver el sistema mixto: x + y + z =1 x+ y < z x−z < y

. 7.

6. Resolver el sistema y discutir sus soluciones según los valores de los parámetros :

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αx 2 + βy 2 = 0 xy > 0

7. Resolver el sistema de inecuaciones: x − y + x ≤1 x + y + y ≥1

8. Resolver el sistema mixto y discutir según los valores de los parámetros: log sen x a + log a (sen x) = 2 log a x < 1

9. Resolver el sistema mixto y discutir según parámetros

αx 2 + βy 2 = 1 xy > 1

10. Para cargar un barco standard se emplean 4 grúas de alto rendimiento (tipo A) y dos de menor rendimiento (tipo B) y el trabajo se realiza sin problemas en 4 horas y media. Un día las dos grúas B llegaron 2 horas atrasadas y después de 5 horas aún el barco no estaba cargado. El encargado de puerto quiere saber, con esos datos, cuál es el mínimo de tiempo que necesita una grúa sola del tipo A para cargar el barco. 11. Un recipiente cónico para cierto ácido altamente tóxico tiene 500[l] de ácido y su nivel está justo a la mitad (el vértice del cono apunta hacia abajo). Se le agregan poco más de 100 [l] más y el

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nivel sube unos 10 [cm] . ¿ Cuál debe ser la altura mínima del recipiente para que al llenarse no se derrame una gota de ácido? 12. Un bus de línea parte de A a las 5AM. hacia B, situado a 1080 [Km] de distancia. A las 8AM sale un bus de B hacia A y los choferes han acordado reunirse en una hostería situada justo en la mitad del camino. El chofer que salió atrasado le pone, por lo menos, unos 15 km/hora más de la velocidad usual de los buses. ¿A qué horas, como mínimo, se encontrarán los choferes?

58

CAPÍTULO 2: FUNCIONES Y RELACIONES 2.1.- DEFINICIÓN Y EJEMPLOS. El concepto de función es, sin duda, uno de los más importantes y básicos en la matemática. Este concepto se propone modelar matemáticamente una serie de fenómenos donde una cierta cantidad depende de otra, o, más general aún, donde cierto objeto depende de otro. Históricamente se habló de dos cantidades variables: una que se llamó variable independiente y otra, precisamente por depender de la primera, que se llamó variable dependiente. Por ejemplo el volumen de una esfera y su radio: el volumen depende del radio. El número que representa al volumen sería la variable dependiente y el que representa al radio, la variable independiente. En el lenguaje coloquial también se dice que el volumen es función del radio . En física muchas veces es el tiempo la variable independiente: la posición de un punto material en movimiento en el espacio, que ya no se puede describir por un solo número sino, al menos, por tres, depende del instante en que se observa, o sea, se dice, es función del tiempo. Y aquí surge la primera paradoja del lenguaje: que tal si el punto material está en reposo, es decir, no se mueve: entonces nuestra variable dependiente no es variable, no cambia, es constante. Nuestro modelo matemático tendrá que dar cuenta de estas variables que no varían. Al generalizar un poco este tipo de fenómenos, se debe abarcar también el de correspondencia: a cada libro de la biblioteca le corresponde su número de páginas, a cada individuo le corresponde su edad. En este caso, la variable independiente es el libro de la biblioteca y la variable dependiente es el número de páginas, mientras que en el segundo caso la variable independiente es el individuo y la variable dependiente la edad. Aquí se ha hecho corresponder un número a un objeto que no es un número. El fenómeno puede ser al revés: supongamos que se rotulan los libros de la biblioteca con números naturales: entonces a cada número le corresponderá un objeto que no es un número, sino, a saber, el libro que tiene ese rótulo. Fue Leibnitz en 1673 quien introdujo por primera vez el concepto de función en matemáticas, como una fórmula algebraica que permite asociar a cada número x (tomado de cierto conjunto determinado) otro número. Pero fue Leonhard Euler quien, un siglo después, introdujo la notación que se conserva hasta el día de hoy: y = f (x) . La letra y

59

denota la variable dependiente, mientras que la x denota la variable independiente. El problema con esta concepción de función es que no permite generalizaciones importantes, asociaciones que no se obtienen mediante fórmulas algebraicas. Michael Spivak dá un ejemplo divertido: propone la función que a cada número real x se asocia como f(x) el número de sietes que posee el desarrollo decimal de x, si éste es finito, y el número π si es infinito. Que se sepa, no hay fórmula algebraica que permita calcular f(x) para, digamos, x = 2 . Para dar una definición precisa y general de este concepto, observamos que lo importante es tener bien definida la pareja ( x, f ( x)) , de modo de poder distinguir cuál es la variable independiente (el elemento que está al lado izquierdo) y cuál la variable dependiente (el elemento que está al lado derecho), y que la variable dependiente esté unívocamente determinada por la variable independiente. Vamos, pues a definir formalmente una función del siguiente modo:

Definición: Una función f es un conjunto de pares ordenados que satisface la propiedad: ( x, y ), ( x, y ' ) ∈ f ⇒ y = y '

Se llama dominio de la función f al conjunto: dom( f ) = {x : ∃y, ( x, y ) ∈ f } Se llama recorrido de la función f al conjunto: rec( f ) = {y : ∃x, ( x, y ) ∈ f } La notación f : A → B significa que A es el dominio de f pero B solamente contiene al recorrido. El conjunto B recibe el nombre de codominio de f . El elemento f(x) se llama imágen de x y a su vez x se llama la pre-imágen del elemento f(x). La gráfica de la función f es el conjunto de puntos en un plano (afín) cuyas coordenadas son precisamente los pares ( x, f ( x)) Pensamos que no es conveniente definir una función partiendo de un dominio dado . De hecho, una buena parte de los problemas que aparecen acerca de este concepto requieren precisamente encontrar el dominio de la función . Por otro lado tampoco conviene identificar la gráfica de la función con el conjunto de los pares ( x, f ( x)) , es decir,

60

con la función misma. La gráfica de la función es un concepto geométrico que debe ser considerada en otro espacio.

* El concepto mismo de par ordenado debe ser definido de modo que no dependa de nuestra intuición espacial. Eso de distinguir entre un elemento “a la izquierda” de uno “ a la derecha” no es totalmente satisfactorio en matemáticas. Lo importante es poder establecer la asimetría que está involucrada en el concepto. La definición de par ordenado debe satisfacer la siguiente propiedad: (a, b ) = (c, d ) ⇔ a = c ∧ b = d Se define entonces: (a, b ) = {{a}, {a, b}} No es difícil demostrar que, con esta definición, la propiedad se cumple, si bien no es propiamente trivial: es necesario distinguir dos casos: a = b y a ≠ b y razonar en consecuencia.

Ejemplos 1. f : ℜ → ℜ , definida por f ( x) = x . Esta función se llama función identidad y se denota, a veces, por I ℜ . Sin embargo, la notación popular es simplemente “la función x “. 2. f : ℜ → ℜ , definida por f ( x) = c . Se trata de la función constante de valor fijo c. Aquí también se suele hacer la confusión entre el número c y la función constante de valor c n

3. f : ℜ → ℜ , definida por f ( x) = ∑ a k x k es la función polinómica k =0

definida en base a las dos operaciones básicas de ℜ . Esta función generaliza las dos anteriores. En la Figura 2.1 se han graficado las funciones y = x 2 y y = x 3 .

61

4

2

-2

-1

0

1 x

2

-2

-4

Figura 2.1 4. f : ℜ → ℜ , definida por f ( x ) = x . La gráfica de esta función se presenta en la Figura 2.2

Figura 2.2

1 . Esta función tiene por dominio ℜ − {0}. Su gráfica se x presenta en la Figura 2.3. 5. f ( x) =

62

y

5

2.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-2.5

-5

Figura 2.3 6. Las funciones trigonométricas: f ( x) = sen( x); f ( x) = cos( x) . Estas funciones tienen un origen geométrico pero deben ser fundamentadas como funciones reales. Esto se hará más adelante. Sus gráficas se presentan en la Figura 2.4 y

1

0.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-0.5

-1

Figura 2.4

63

⎧ 1, x ∈ Q D( x) = ⎨ c ⎩0, x ∈ Q Esta función es difícil de graficar pues, como veremos, tanto los números racionales como los irracionales se encuentran densamente distribuídos en la recta real.

7. La función de Dirichlet:

⎧0, x < 0 8. La función de Heaviside: H ( x) = ⎨ ⎩1, x ≥ 0 Esta función está definida en toda la recta real, es constante a pedazos y tendrá cierta utilidad cuando veamos las operaciones con funciones. Su gráfica se presenta en la Figura 2.5

Figura 2.5 9. La función parte entera: [x ] = mayor entero menor o igual a x

Figura 2.6

64

10. La función exponencial en base 2: f ( x) = 2 x y en base

1 : 2

x

⎛1⎞ f ( x) = ⎜ ⎟ . Ver Figura 2.7 ⎝2⎠ y

8

6

4

2

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5 x

Figura 2.7 11. La función logaritmo: en base e (mayor que 1) y en base 0.5 (menor que 1). y

4

2

0 0

1

2

3

4 x

-2

-4

Figura 2.8

65

⎧ c ⎪0, x ∈ Q ⎪ 12. La función de Spivak: , 0 ≤ x ≤1 Sp ( x) = ⎨ 1, x = 0 p ⎪1 ⎪q , x = q ⎩ donde p y q son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes. Esta función será muy interesante por sus aplicaciones, pero no es fácil de dibujar. En la Figura 2.9 se ha esbozado su gráfica.

Figura 2.9

2.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Las operaciones algebraicas entre números reales pueden ser traspasadas a las funciones : • ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) , esta igualdad define la suma de las funciones f y g • ( fg )( x) = f ( x) g ( x) , define el producto de las funciones f y g La resta y la división de funciones se define del mismo modo: • ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) f f ( x) • ( x) = g g ( x)

66

Pero entre las funciones aparece una operación nueva , específica de las funciones : la composición de dos funciones: • ( f D g )( x) = f ( g ( x)) Notar que la variable independiente x es asociada primero al elemento g (x) y éste a su vez a f ( g ( x)) . La Figura 2.10 muestra un esquema de la composición de dos funciones:

Figura 2.10 Es necesario tener cuidado con los dominios de las funciones resultantes de estas operaciones: en general los dominios se restringen: • dom( f ± g ) = dom( f ) ∩ dom( g ) f • dom( ) = dom( f ) ∩ dom( g ) − {x : g ( x) = 0} g • dom( f D g ) = {x ∈ dom( g ) : g ( x) ∈ dom( f )} Ejemplos

1.Consideremos la función definida por f ( x) = x 2 y la función constante g ( x) = 1 . La función suma es : ( f + g )( x) = x 2 + 1 , mientras que la función producto deja la función f inalterada: ( fg )( x) = x 2 . La composición de ambas funciones resulta ser la misma función g : ( f D g )( x) = ( g D f )( x) = 1 . 2. La composición, en general, no es una operación conmutativa, a pesar del resultado del ejemplo anterior. Tomemos ahora las funciones: f ( x) = 3 x 2 + 1, g ( x) = 2 x − 3 . Haciendo el cálculo

67

correspondiente, resulta: ( f D g )( x) = 12 x 2 − 36 x + 28 , mientras que ( g D f )( x) = 6 x 2 − 1 . 3. Resulta divertido hacer todas las operaciones con las funciones caracterizadas por las siguientes gráficas:

Figura 2.11 Se trata de dibujar las gráficas de f + g , fg ,

f , f D g, g D f g

.Lo

dejamos para entretención del lector.

2.3.- PROBLEMAS DE DOMINIO-RECORRIDO-GRÁFICA

1 . Se trata de encontrar el dominio, el recorrido y x −1 dibujar aproximadamente su gráfica:

1. Sea f ( x) =

• dom( f ) = ℜ − {1} . Este resultado es muy simple: x ≠ 1 debe ser para que el denominador no se anule • rec( f ) = ℜ − {0}. Este resultado es, conceptualmente, mucho más difícil: se trata del siguiente problema : ¿para qué valores de y tiene alguna solución (que esté en el dominio de la función) la ecuación 1 f ( x) = = y ? La variable y tiene aquí el significado de un x −1 parámetro. Nótese que no se trata simplemente de resolver la ecuación anterior, sino de analizar la existencia de alguna solución, dado el número y, y que esta solución esté en el dominio de la función.. En el caso del ejemplo, multiplicando por x-1 a ambos lados de la ecuación,

68

1+ y y este y número es evidentemente distinto de 1. Por lo tanto el recorrido de la función será el conjunto de los reales no nulos.

se vé que se podrá despejar x si y solo si y ≠ 0 :

•

x=

La gráfica de la función se muestra en la Figura 2.12

y 2 .5

1 .25

0 -2

0

2

4

6 x

-1 .2 5

Figure 2.12 2. Encontrar dominio, recorrido y gráfica de : f ( x) = 1 + x • El dominio es sencillo de encontrar: el número dentro de la raíz debe ser positiva o nula, luego : dom( f ) = [− 1, ∞[ • Para encontrar el recorrido debemos estudiar la ecuación: 1 + x = y . La primera condición para y es que sea positivo o nulo, pues debe ser igual a una raíz cuadrada. La segunda condición se obtiene elevando al cuadrado: x = y 2 − 1 . Pero esta solución debe estar en el dominio de la función, luego debe cumplirse: y 2 − 1 ≥ −1 , lo que efectivamente se cumple. Luego, rec( f ) = [0, ∞ ] • La gráfica se presenta en la Figura 2.13

69

y

2

1.5

1

0.5

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

Figura 2.13 3.Sea f : [2,3] → ℜ , definida por la fórmula: f ( x) = x − 1 . En este caso el dominio está dado, pero es conveniente convencerse que es “viable”, es decir, que la fórmula está efectivamente definida en ese dominio. La fórmula tiene sentido para todo x ≥ 1 , luego, el dominio dado es viable. Aquí el problema es el recorrido: la ecuación para x :

x 2 −1 = y requiere en primer lugar que y ≥ 0 .

Además, elevando al cuadrado x = y 2 + 1 , luego, para que la solución x esté en el dominio de la función, se necesita: 2 ≤ y 2 + 1 ≤ 3 , es decir 1 ≤ y 2 ≤ 2 y siendo y positivo, 1 ≤ y ≤ 2 .

[ ]

Luego rec( f ) = 1, 2 . La gráfica de esta función se presenta en la Figura 2.14

y

2

1.5

1

0.5

0 0

1

2

3

4 x

Figura 2.14 4. Encontrar el dominio de : f a ( x ) =

70

ax − 1 − 1 , donde a ∈ ℜ .

Aquí se trata no de una función , sino de una familia infinita de funciones, una por cada valor que tome el parámetro a . Por lo tanto el problema consiste en hacer una clasificación razonable de los dominios de cada una de las funciones, según sea el valor del parámetro. En nuestro ejemplo, la función estará definida si y solo si se cumple: ax − 1 − 1 ≥ 0 . Esto no es otra cosa que una inecuación con parámetro a . Puesto que se está tratando con desigualdades, el signo del parámetro es fundamental. • a = 0 . En este caso la condición se satisface para todo número real, luego: dom( f a ) = ℜ • a > 0 . Para eliminar el valor absoluto, hay que dividir la recta real 1⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ en dos pedazos: A = ⎨ x : ≤ x ⎬; B = ⎨ x : x < ⎬ . En la zona A la a⎭ ⎩ a ⎭ ⎩ inecuación es − ax + 1 − 1 ≥ 0 , es decir: x ≤ 0 . En la zona B la 2 inecuación es ax − 1 − 1 ≥ 0 , es decir, x ≥ . Por lo tanto, para este a ⎡2 ⎡ caso tenemos: dom( f a ) = ]− ∞,0] ∪ ⎢ , ∞ ⎢ ⎣a ⎣ • a < 0 . Dividiendo la recta real en zonas como en el caso anterior, 2⎤ ⎤ resulta: dom( f a ) = ⎥ − ∞, ⎥ ∪ [0, ∞[ a⎦ ⎦

5. La compañía “Mena” arrienda automóviles “Toyota” a $10.500 por día más $40 por kilómetro recorrido mientras que la compañía “González” arrienda el mismo tipo de automóvil por $8.900 por día más $60 por kilómetro. ¿En cuál de las dos compañías conviene arrendar el automóvil? Es claro que la decisión va a depender del número de kilómetros que proyectamos recorrer cada día. Sea x ese número: entonces lo que conviene hacer es determinar dos funciones: la función C M (x) que sería el costo diario por arrendar en la compañía Mena y C G (x) que sería el costo diario por arrendar en la compañía González. Se tiene: C M ( x) = 10.500 + 40 x , mientras que C G ( x) = 8.900 + 60 x . Conviene, para resolver el problema, dibujar las gráficas de estas funciones:

71

Figura 2.15 Directamente de las gráficas se obtiene que, si se piensa recorrer no más de 80Km diarios, conviene arrendar en González, mientras que si se espera recorrer más de 80Km diarios, conviene hacerlo en Mena. 6. Una industria manufacturera produce motonetas y bicicletas, cada una de las cuales debe procesarse en dos centrales de máquinas A y B. La central A tiene un máximo de 120 horas mensuales disponibles y la central B un máximo de 180 horas mensuales disponibles. La manufactura de una bicicleta requiere de 6 horas en la central A y 3 horas en B. La manufactura de una motoneta requiere de 4 horas en la central A y 10 horas en B. Sabiendo que el beneficio por bicicleta es de $45.000 mientras que por motoneta es de $55.000 , ¿ cuántas bicicletas y motonetas fabricar para obtener el máximo beneficio mensual? Este es un típico (pero muy sencillo) problema de programación lineal. Nuevamente aquí conviene establecer las funciones de ganancia, según sea la decisión que se tome y hacer las gráficas de esas funciones. Sea para esto x el número de bicicletas , y el número de motonetas mensuales a fabricar. Si llamamos z a la ganancia mensual, se tendrá: z = 45.000 x + 55.000 y Pero se deben cumplir las restricciones horarias de ambas centrales: 6 x + 4 y ≤ 120 (central A), 3 x + 10 y ≤ 180 (central B). Como x e y son números de objetos, deben ser positivos, es decir, debemos añadir las restricciones: x, y ≥ 0 . Conviene hacer entonces un gráfico donde aparezcan los valores de x e y que satisfacen todas las condiciones. El

72

conjunto de los puntos que satisfacen todas las condiciones se denomina la región factible. Enseguida se dibujan las gráficas de las rectas que representan la ganancia mensual para cada elección de x e y. El problema se resuelve encontrando el máximo valor de z cuya recta de ganancias alcanza a tocar la región factible. Ver Figura 2.16

Figura 2.16 Desplazando paralelamente la recta de ganancia constante (z=cte.) se llega al vértice que provee la máxima ganancia que satisface las restricciones. El resultado es: x = 10, y = 15 , es decir, se deben fabricar 10 bicicletas y 15 motonetas mensuales. La ganancia que se obtiene es de $1.275.000 mensuales. Es interesante comparar este resultado con el que se obtiene de fabricar solo bicicletas ( y=0, x=20): $900.000; o bien solo motonetas (x=0, y=18) : $990.000.

2.4 1.Sea

2. Sea

PROBLEMAS

1 , g ( x) = x + 1 . Encuentre los dominios y los x recorridos de las funciones compuestas: f D g y g D f y haga un esbozo de sus gráficas. ⎧ x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 ⎧− 1,0 ≤ x ≤ 1 , g ( x) = ⎨ f ( x) = ⎨ ⎩ x − 2,1 < x ⎩ 1,1 < x

f ( x) =

73

Grafique f y g indicando dominio y recorrido. Encuentre y grafique también: f + g , f D g , g D f indicando también dominio y recorrido. 1 . Indique los dominios de las x +1 funciones f , g , f D g , g D f y sus respectivos recorridos. ⎧ 1, x ∈ Q 4. Sea f ( x) = x 2 , D(x) la función de Dirichlet: D( x) = ⎨ c ⎩0, x ∈ Q Demuestre que f D D = D . Encuentre D D f . ¿Puede hacer un esbozo razonable de las gráficas de estas dos funciones? 3. Sea

f ( x) = x + 1, g ( x) =

1 : 1+ x • ¿Cuál es el dominio de f D f ? • ¿Para qué números c existe existe un número x tal que f (cx) = f ( x) ? • ¿Para que números c existen dos números x diferentes que cumplen f (cx) = f ( x) ? 5. Sea f ( x) =

6. ¿Para qué números a,b,c,d la función : f ( x) = propiedad f ( f ( x)) = x, ∀x ∈ domf

ax + d satisface la cx + b

7. Determine si las siguentes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta: • Si f y g son funciones tales que dom( f ) ∩ dom( g ) ≡ φ , entonces rec( f + g ) = rec( f ) ∪ rec( g ) • Si rec(h) ∩ dom( f + g ) ≠ φ , entonces ( f + g ) D h = f D h + g D h • Sea D = dom( g ) ∪ dom(h) ≠ φ . Si rec( g + h) ⊂ dom( f ) , entonces ( f D ( g + h))( x) = ( f D g )( x) + ( f D h)( x), ∀x ∈ D • Si f y g son funciones decrecientes en ℜ , entonces f D g es decreciente en ℜ • Si f es creciente en ]− ∞, a ] y es creciente en ]a, ∞[ , entonces f es creciente en ℜ .

74

•

Encontrar el dominio y el recorrido de las funciones definidas por las siguentes fórmulas: • f ( x) = 1 − x 2 • f ( x) = 1 − 1 − x 2 • f ( x) = 1 − x 2 + x 2 − 1 1 1 • f ( x) = + x −1 x − 2 8. Un agricultor necesita un fertilizante que proporcione un mínimo de 15 unidades de potasio, 20 unidades de nitrato y 24 unidades de fosfato. Dispone de dos marcas diferentes: la marca 1 proporciona 3 unidades de potasio , 1 de nitrato y 3 de fosfato y cuesta $1200 la unidad. La marca 2 proporciona 1 unidad de potasio, 5 de nitrato y 2 de fosfato y cuesta $600 la unidad. Formule un modelo matemático que permita obtener la combinación de fertilizantes de menor costo que satisfaga las especificaciones. 9. Una empresa agrícola dispone de 100 ha. de terreno y 1200 UF de capital para plantar dos variedades de tomate. La variedad 1 requiere una inversión de 10 UF por ha. y deja una ganancia bruta de 90 UF por ha. y la 2 requiere una inversión de 15 UF y deja una ganancia bruta de 122 UF por ha. ¿Cuántas ha. de cada variedad se debe plantar para obtener la mayor renta neta posible? 10. Una editorial planea usar una sección de su planta para producir dos textos: A y B. La ganancia es de $8 por el texto A y de $5 por el texto B. El texto A requiere 4 horas para imprimir y 6 horas para encuadernar y empastar. El texto B requiere 5 para imprimir y 3 horas para encuadernar y empastar. Si se dispone de 200 horas para imprimir y 210 horas para encuadernar y empastar y si por lo menos se deben producir 20 textos, ¿cuántos textos de cada tipo se deben producir para obtener la máxima ganancia? ¿cuántas horas se usan para imprimir y cuántas para encuadernar y empastar?

75

2.5.-

TIPOS DE FUNCIONES

Es importante clasificar las funciones según diversos criterios con el objeto de poder resolver problemas que dependen de una propiedad u otra. Para empezar, sea f : A → B : • f se llama inyectiva , si a elementos diferentes en A le hace corresponder elementos diferentes en B, es decir:

f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y • •

f se llama epiyectiva (o también : sobreyectiva) , si cada elemento de B es imágen de algún elemento de A, es decir, si el co-dominio coincide con el recorrido de la función. f se llama biyectiva si es a la vez inyectiva y epiyectiva. Si f es biyectiva, entonces a cada elemento y de B le corresponde un único elemento x en A tal que y=f(x). Esto define una función, llamada función inversa de f : f −1 : B → A tal que f −1 ( y ) = x . Se tiene entonces que : f ( f −1 ( y )) = y , y que f −1 ( f ( x)) = x , es decir: f D f −1 = Id B y que f −1 D f = Id A . Es importante no confundir la función inversa así definida con el inverso multiplicativo de los valores de la función. Por desgracia la notación empleada, que es una notación universal y standard, induce a esta confusión.

Ejemplos 1. La función f ( x) = x 3 es biyectiva como función de ℜ en ℜ . En efecto, si x 3 = y 3 , entonces , factorizando: x 3 − y 3 = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) = 0 pero la función x 2 + xy + y 2 nunca se anula ya que el discriminante , considerada como una ecuación en x con parámetro y , es ∆ = −3 y 2 < 0 . Luego: x=y . Por lo tanto f es inyectiva. Por otro lado si y es un número real cualquiera, entonces 3 y es una pre-imagen de y . Por lo tanto, esta función tiene una función inversa. Hay una forma geométrica

76

práctica para visualizar la inversa de una función. En la Figura 2.17 se presentan ambas funciones: y

y 1.5 100

1 50 0.5

0 -5

-2.5

0 0

2.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

x

x -0.5

-50 -1

-100 -1.5

Figura 2.17 a

Figura 2.17 b

La función inversa de f ( x) = x 3 (que se presenta en la Figura 2.17a) que es f −1 ( x) = 3 x (que se presenta en la Figura 2.17b) , se puede visualizar intercambiando la “x” por la “y” , por lo tanto girando la figura en 90 grados y mirándola “por detrás”. Esto se puede hacer con un papel donde se dibuja la gráfica de f , se gira en 90 grados y se mira por detrás al trasluz. 2. La función log b : ]0, ∞[ → ℜ es también biyectiva, según las propiedades que presentamos (¡ y que todavía no hemos demostrado!) y su inversa es la exponencial de base b. En la figura 2.17 presentamos las gráficas de ambas funciones para b=e . Recordar que , si la base es menor que 1, entonces las gráficas aparecen decreciendo hacia la derecha. 5

y

y

1.25

0

1.25

2.5

3.75

3.75

x 5

0

2.5

-1.25

-2.5

1.25

-3.75

0 -5

-3.75

-2.5

-1.25

0

-5

1.25 x

Figura 2.18a

Figura 2.18b

77

3. La función f : ℜ → ℜ definida por f ( x) = x 2 − 5 , no es ni invectiva ni epiyectiva. En efecto, los números 1 y -1 tienen la misma imagen -4, mientras que el número -6 no es imagen de ningún número: la ecuación x 2 − 5 = −6 , o sea: x 2 = −1 no tiene solución real. La Figura 2.19 presenta la gráfica de esta función. y

20

15

10

5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-5

-10

Figura 2.19

x2 −1 ¿será inyectiva? En primer lugar el x 2 + 2x − 3 dominio de esta función será el conjunto de números reales donde el denominador no se anula. Factorizando según la fórmula de Cardano: x 2 + 2 x − 3 = ( x + 3)( x − 1) , luego, 1 y -3 están fuera del dominio de la función. Pero el numerador también tiene un factor x +1 . Aquí es x − 1 , por lo tanto para x ≠ 1 la función se reduce a x+3 importante enfatizar que la función original f no es igual a esta nueva función, porque tienen distintos dominios: mientras la original no está definida en 1, la nueva si lo está. Pero para todos los números diferentes de 1, ambas coinciden. Para ver si es x +1 y +1 inyectiva, supongamos que . Entonces, = x+3 y+3 multiplicando por los denominadores: xy + 3 x + y + 3 = xy + x + 3 y + 3 , de donde 2 x = 2 y , luego x = y es decir, la función es inyectiva.

4. La función f ( x ) =

78

Esta función será epiyectiva si definimos su co-dominio como su x +1 recorrido: y ∈ rec( f ) si acaso la ecuación: = y tiene x+3 solución para x . Multiplicando por el denominador, se tiene x + 1 = xy + 3 y , es decir, x(1 − y ) = 3 y − 1 , luego, si acaso y ≠ 1 la 3y −1 . Pero la función f no está definida x se puede despejar : x = 1− y en 1, luego el valor ½ tampoco puede estar en su recorrido. Por lo ⎧ 1⎫ tanto, la función f : ℜ − {1,−3} → ℜ − ⎨1, ⎬ definida por la ⎩ 2⎭ fórmula anterior , es biyectiva. La Figura 2.20 muestra la gráfica de la función y su inversa. 5

y

y 2.5

-5

2.5

-2.5

0

0

2.5

x 5

0 -2.5 -7.5

-5

-2.5

0

2.5 x

-5

-2.5

-7.5 -5

Figura 2.20a

Figura 2.20b

5. Resolver la ecuación : x − a + bx = 1 . Podrá parecer extraño incluir aquí una ecuación, más aún, una ecuación de aspecto tan simple. Veremos que no es tan simple y que para su análisis nos será de enorme ayuda la representación gráfica de las funciones que van a aparecer. Para empezar, no se trata de una ecuación, sino de infinitas ecuaciones, una familia bi-paramétrica de ecuaciones , una por cada valor de los dos parámetros involucrados. Lo que se pretende es hacer una clasificación completa de las soluciones posibles, según sean los valores de los parámetros: como tenemos dos parámetros reales, el espacio de parámetros se puede representar por los puntos de un plano. Se

79

busca, entonces, una partición del plano, en regiones que producen similares tipos de soluciones. i) Busquemos soluciones en x ≤ a : aquí la ecuación es: x(b − 1) = 1 − a , luego, si b = 1 no hay soluciones, a menos que a = 1 , en cuyo caso hay infinitas: S1 = ]− ∞,1] . Si 1− a que debe ser b ≠ 1 , tendríamos una solución x1 = b −1 menor o igual que a . Debemos distinguir aquí dos casos: • b > 1 , donde la condición es: ab ≥ 1 . Esta condición se cumple 1 1 para b ≥ , si a > 0 y para b ≤ , si a < 0 . Pero esta última a a alternativa es imposible, pues b es mayor que 1 y por lo tanto positivo. • b < 1 , donde la condición es ab ≤ 1 . Esta condición se cumple 1 1 para b ≤ , si a > 0 y para b ≥ , si a < 0 . La Figura 2.21 a a muestra la zona en el espacio de parámetros donde existe la solución dada por la fórmula x1 .

Figura 2.21 ii) Busquemos ahora soluciones en x > a . La ecuación es, en este caso x(1 + b) = 1 + a . Luego, si b = −1 no hay soluciones, a menos que a = −1 , en cuyo caso hay infinitas : S 2 = [− 1, ∞[ . Si acaso b ≠ −1 1+ a tendríamos la solución x 2 = que debe ser mayor que a . Esta 1+ b condición se cumple, si , b < −1 para ab > 1 y si b > −1 , para ab < 1 . 1 Luego, si a > 0 , la primera condición es b > que no se cumple pues a

80

1 . La segunda a 1 condición, es decir, con b > −1 significa , para a < 0 que b > , y a 1 para a > 0 , que sea b < . Por lo tanto, la solución x 2 existe en la a zona sombreada del espacio de parámetros (Figura 2.22)

b es negativo. Si a < 0 , la primera condición es b <

Figura 2.22 Superponiendo las dos figuras obtenemos un esquema completo del comportamiento de la ecuación: tenemos zonas con una única solución, una zona con dos soluciones, dos franjas donde no hay soluciones y dos puntos destacados donde hay infinitas soluciones.

Figura 2.23

81

2.6.- OTROS TIPOS DE FUNCIONES

Según sea su crecimiento se define: • f se llama función creciente, si : x ≤ y ⇒ f ( x) ≤ f ( y ) • f se llama función decreciente, si : x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y ) • f se llama monótona si es creciente o decreciente. • f se llama creciente estricta, si x < y ⇒ f ( x) < f ( y ) • f se llama decreciente estricta, si x < y ⇒ f ( x) > f ( y ) • f se llama monótona estricta si es creciente o decreciente estricta. Estas definiciones son muy intuitivas, de modo que no abundaremos con ejemplos. La distinción entre estricta y no estricta es importante, por ejemplo la función logaritmo en base natural es estrictamente creciente, mientras que la función parte-entera es creciente no-estricta. Otros criterios de clasificación definen: • f se llama función par, si f (− x) = f ( x)∀x . Un típico ejemplo

•

•

de función par es f ( x) = x n , donde n es par. De este ejemplo ha salido, sin duda, la denominación de par. Otro ejemplo importante es la función coseno. f se llama función impar, si f (− x) = − f ( x), ∀x . El ejemplo es en este caso f ( x) = x n , con n impar. Otro ejemplo es la función seno. f se llama función periódica, si existe un número no nulo p tal que f ( x + p ) = f ( x), ∀x . El menor número p que satisface esta propiedad, se llama el período de la función. Es importante tener claro esta noción de período de una función. Por ejemplo la función seno satisface sen( x + 4π ) = sen( x), ∀x ∈ ℜ , pero 4π no es el período del seno, sino que lo es 2π .

Finalmente vamos a introducir dos importantes conceptos, uno el correlativo del otro:

•

Sea f : A → B una función cualquiera, R ⊆ A, S ⊆ B . Una función g : R → S se llama restricción de f, si acaso se

82

cumple: g ( x) = f ( x) ∈ S , ∀x ∈ R . Bajo la misma propiedad la función f se llama una extensión de la función g. Si recordamos nuestra definición de función como conjunto de pares ordenados, la relación de restricción-extensión no es más que la relación de subconjunto: si g ⊆ f , la función g es una restricción de f, mientras que f es una extensión de g. Si se restringe solamente el dominio de la función, se usa la notación f R . No hay notación especial para una restricción del co-dominio. Finalmente debe notarse que toda función inyectiva posee una restricción (del co-dominio) que es biyectiva. Basta excluir los elementos del co-dominio que “sobran”, es decir, que no están en el recorrido de la función.

2.7.-

PROBLEMAS

1.

Analizar la función: f ( x) = x − 1 + 2 . ¿es creciente estricta? ¿es epiyectiva con ℜ como co-dominio? Defina restricciones interesantes de esta función que sean funciones biyectivas y encuentre sus inversas.

2.

Defina restriciones interesantes de la función g ( x) =

x x +5 que sean funciones biyectivas y encuentre sus inversas 2

3. Sea f ( x) = x − 1 , g ( x) = x + 5 . Encontrar una función h tal que h D f = g . ¿En qué dominio existe esta función? 4. Investigar si las siguientes funciones son inyectivas y en caso de no serlo, definir restricciones interesantes que lo sean:

•

3 x −1 g ( x) = x 2 − 1

•

h( x) = x + 2

•

f ( x) =

83

6. Investigar si las siguientes funciones son epiyectivas sobre ℜ y en caso de no serlo, definir restricciones interesantes que lo sean: x−2 • f ( x) = 3− x x • g ( x) = 2 x −1 • h( x) = 1 − x 7. Sea f : [− 1,3[ → ℜ , definida por f ( x) = 2 x +1 − 4 . Determine dominio, recorrido y restricciones que sean funciones biyectivas y encuentre sus inversas. 8. Demostrar que :

• • •

f par y g par ⇒ fg es par f par y g impar ⇒ fg es impar f impar y g impar ⇒ fg es par

9. Sea f una función cualquiera. Encuentre funciones f p , f i tales que f p sea par, f i sea impar y que f = f p + f i Discuta además la existencia y unicidad de estas funciones . Indicación: plantee el sistema de ecuaciones

f ( x) = f p ( x) + f i ( x) f (− x) = f p ( x) − f i ( x)

y despeje f p y f i (nota: la función f p se llama “parte par” de f y f i se llama “parte impar”de f . 10. Determine si las siguientes funciones son pares o impares y descomponga en parte par e impar:

• •

x2 x +1 g ( x) = x + x f ( x) =

84

•

⎧ x, x < 1 ⎪ h( x) = ⎨2 x + 1, x ≤ −1 ⎪ 2 x − 1, x ≥ 1 ⎩

11. Encuentre los máximos dominios y recorridos para que las siguientes fórmulas definan funciones biyectivas y encuentre las respectivas inversas: x +1 • f ( x) = x +1 2 • g ( x) = x − 3x + 1 • h( x) =

• j ( x) =

x −1 ( x − 1) 2 ( x + 2)( x + 3) x( x − 1)( x + 2)

12. Demostrar o negar (dando un contraejemplo): • f D ( g + h) = f D g + f D h • ( g + h) D f = g D f + h D f 1 1 • = Dg f Dg f 1 1 = fD • f Dg g Agregue Ud. las hipótesis necesarias para obtener 4 hermosos Teoremas, los más finos posibles. 13. Sea f ( x) = log x a . ¿Para qué valores del parámetro a es esta función estrictamente creciente? ¿Cuándo es decreciente?. Determine dominio y recorrido en los distintos casos. 14. Resolver

la

ecuación

b − x − a + x = 0,

clasificando

las

soluciones según sean los valores de los parámetros. 15. Resolver y analizar la ecuación bi-paramétrica

85

x − a + bx − 1 = 1

2.8.-

RELACIONES

Definición : Una relación es un conjunto de pares ordenados

Si A y B son conjuntos cualquiera, se entiende usualmente por relación entre los elementos de A y de B, un subconjunto R del producto cartesiano: R ⊆ A × B . Se dice que x ∈ A está relacionado con y ∈ B , en símbolos : xRy , si acaso ( x, y ) ∈ R . Debe notarse que el concepto de relación es una generalización del concepto de función, ya que se trata simplemente de un conjunto de pares ordenados sin la hipótesis adicional, que caracteriza a las funciones, de que el segundo elemento está determinado por el primero. Del mismo modo que en el caso de las funciones se definen los conceptos de dominio, recorrido y gráfica: • dom( R) = {x ∈ A : ∃y ∈ B, ( x, y ) ∈ R} • rec ( R ) = {y ∈ B : ∃x ∈ A, ( x, y ) ∈ R} • gra f ( R ) = {P ( x, y ) : ( x, y ) ∈ R} Es claro que el concepto de gráfica requiere que la relación sea entre números reales, donde son las coordenadas de los puntos que están en la relación los que forman la gráfica. Finalmente, también en este caso se habla de restricciones y extensiones: T será restricción de la relación R, si acaso T ⊆ R , y correlativamente, R será una extensión de la relación T .

Ejemplos 1. O ⊂ ℜ × ℜ , definida por O = {( x, y ) : x < y}. Esta relación entre de esta relación como la región del plano números reales corresponde a la relación de orden en ℜ . Podemos representar la gráfica indicada por la Figura 2.21.

86

Figura 2.24

{

}

2. C = ( x, y ) ∈ ℜ × ℜ : x 2 + y 2 = 1 esta relación representa las coordenadas de los puntos que están sobre una circunferencia de centro 0 y radio 1 3. Una relación R se llama relación de equivalencia si cumple los tres axiomas siguientes: xRx (reflexividad); xRy ⇒ yRx (simetría); xRy ∧ yRz ⇒ xRz (transitividad). ¿Cómo será la gráfica de una relación de equivalencia entre números reales? Desde luego debe contener la diagonal y ser simétrica. Pero eso no basta: la transitividad no es tan fácil de caracterizar geométricamente. En las siguentes figuras se presentan dos gráficas: una es de una relación de equivalencia (la de la izquierda) y la otra no (la de la derecha:

87

4.

4.

Podemos considerar una restricción de la relación anterior: D = ( x, y ) : x 2 + y 2 = 1 ∧ y ≥ 0 Esta relación representa la mitad superior de la circunferencia anterior. Y una extensión de esta relación sería E = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥ 0 . La Figura 2.22 muestra esta extensión.

{

}

{

}

Figura 2.25

{

}

La relación R = ( x, y ) ∈ ℜ × ℜ : xy 2 = x + 1 no es una función. En efecto, el elemento x = 1 tiene dos segundas componentes diferentes que están en la relación: y = 2 e y = − 2 . ¿Cuál es el dominio de esta relación? Para empezar, si x = 0 , entonces claramente no hay ningún y tal que (0, y ) ∈ R . Para x ≠ 0 , la x +1 . Para pareja ( x, y ) ∈ R si acaso xy 2 = x + 1 , es decir, si y 2 = x x +1 que exista la y, se necesita que ≥ 0 . Esto ocurre si acaso x x > 0 , o bien si x < 0 pero x + 1 ≤ 0 , es decir, si acaso x ≤ −1 . Luego, el dominio de esta relación es: dom(R ) = ]− ∞,−1] ∪ ]0, ∞[ Por su parte el recorrido de la relación es el conjunto de los y tales que la ecuación xy 2 = x + 1 tiene solución, es decir, si x( y 2 − 1) = 1 tiene

5.

solución. Esto ocurre si acaso y 2 ≠ 1 , es decir, si y no es 1 no –1. Luego, el recorrido de la relación es: rec( R ) = ℜ − {1,−1}

88

No es tan fácil obtener una gráfica aproximada de esta relación. Más adelante estudiaremos métodos que lo permiten hacer. Por el momento presentaremos la gráfica realizada por el software Scientific Work

y 2.5

1.25

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5 x

-1.25

-2.5

Figura 2.26

2.9. -

PROBLEMAS

1. Considere la siguiente relación: R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : x = y + 1 ∧ y ∈ {− 3,−1,2} Determine dominio, recorrido y gráfica .

{

}

2. Determine la relación que define a las coordenadas de una recta (en un plano afín) que pasa por lños puntos de coordenadas (-8,3) y (4,0) 3. Identifique y grafique la relación:

{

}

T = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : y 2 − 4 y − 8 x − 20 = 0

4. Determine el valor del parámetro k ∈ ℜ de modo que el punto de coordenadas(-1,2) pertenezca a la relación:

89

{

}

S = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : kx + 2 y − 7 = 0

5. Determinar dominios y recorridos de las siguientes relaciones reales: ⎧ ⎧ x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ • ⎨( x, y ) : y = ⎨2 − x,1 < x < 2⎬ ⎪ 2, x = 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭

• • • •

{( x, y) : x {( x, y) : x

2 2

}

+ y2 = 4 + y 2 = 4 ∧ y ≥ 2}

{( x, y) : xy = 1 ∧ 0 < x < 2} ∪ {( x, y ) : y = x 2 ∧ 1 < x < 3}

{( x, y ) : x +

y = 1}

6. Encuentre restricciones interesantes de las relaciones dadas en el problema 5 que sean: • Funciones • Funciones inyectivas • Funciones biyectivas. En este caso encuentre también las inversas. 7. Grafique las siguientes relaciones K ⊆ ℜ 2 : • ( x, y ) ∈ K ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 • ( x, y ) ∈ K ⇔ x − y ≤ 1 •

( x, y ) ∈ K ⇔ x = y ∨ x 2 = y

8. Defina relaciones reales que tengan los siguientes gráficos:

90

9. Sea L = {( x, y ) ∈ A × ]− 2,5[ : y = x 2 + x − 3 − 1} . Encuentre el mayor conjunto A ⊆ ℜ tal que la relación L sea una función

{

}

10. Dada la relación real T = ( x, y ) : y + 2 x − 5 = 3 , estudie las restricciones que sean funciones biyectivas y encuentre sus inversas.

{

}

11. Sea R la relación R = ( x, y ) : y 2 − 2 log x p = 1 . Encuentre los valores del parámetro p para los cuales el par (2,0) pertenece a la relación. Encuentre además el dominio y el recorrido de la relación. Determine restricciones interesantes que sean funciones.

91

CAPÍTULO 3 :

SUCESIONES

3.1.- DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Se dice que los babilonios tenían una manera de aproximar el valor de la raíz cuadrada de un número mediante operaciones de suma y división. Repitamos el procedimiento de los babilonios para ver si acaso es cierto que nos podemos aproximar, digamos, a 2 . El procedimiento consiste en comenzar con un número mas o menos arbitrario pero no tan alejado, por ejemplo con x0 = 1 . A partir de este valor inicial, construimos el siguiente: 2 x0 + x0 1 + 2 3 x1 = = = = 1,5 y, aplicando la misma fórmula, 2 2 2 construímos el siguiente: 2 2 x1 + 1,5 + x1 1,5 = = 1,4166... y el siguiente: x2 = 2 2 2 2 x2 + 1,4166 + x2 1,4166 = = 1,414215..... x3 = 2 2 En general, el número siguiente se obtiene del anterior mediante la fórmula: 2 xn + xn x n +1 = 2 Es curioso constatar que, efectivamente nos acercamos a 2 y de modo extremadamente rápido: ya en la tercera iteración tenemos 5 decimales exactos.... al menos a juzgar por lo que nos entrega nuestra calculadora de bolsillo, (la cual hace los cálculos de otra manera , además de garantizar 8 o 9 cifras decimales exactas...pero esto es otro problema, que abordaremos más adelante). Este proceso de aproximación lo podemos visualizar geométricamente del siguiente modo:

92

Figura 3.1 Esta figura es conocida como el “gráfico de la telaraña”, porque, para otros modelos, como veremos, las líneas se entrecruzan formando una verdadera telaraña. En nuestro caso, se ha graficado la función que define 2 x+ x . La recta diagonal que atraviesa el el número sucesor : f ( x) = 2 dibujo es precisamente la gráfica de la identidad g ( x) = x . Si se parte de un valor inicial x 0 , su sucesor estará sobre la curva: x1 = f ( x 0 ) . Si se refleja este punto sobre la diagonal, tendremos el sucesor sobre el eje OX, el cual tendrá su sucesor nuevamente sobre la curva y así sucesivamente. Alternando el paso de la diagonal a la curva con el de la curva a la diagonal, obtenemos gráficamente toda la secuencia de números que deseamos. Del gráfico se observa que la secuencia de números así construidos se acerca a la intersección de la función con la diagonal. Para calcular el valor de este punto tenemos que resolver la ecuación: 2 x+ x = x , lo que es equivalente a x 2 = 2 . Por lo f ( x) = x , es decir, 2 tanto la abscisa del punto de intersección es precisamente 2 .

Aquí deben destacarse tres cosas:

93

• • •

Todos los números de la secuencia construída son racionales, si se comienza con un x0 racional, como en nuestro caso. El punto de acercamiento no es racional. Los elementos de la secuencia aparentemente se acercan cada vez más y de modo efectivo al punto de intersección.

Por otro lado, esta experiencia nos muestra un camino para calcular, de modo aproximado, soluciones a los más diversos problemas. Mas allá de la manera específica como se ha elaborado la secuencia de números , lo que tenemos es, en realidad, un número real asociado a cada índice n ∈ N , o al menos a cada índice a partir de un cierto índice inicial. Estas consideraciones nos llevan a la siguiente definición:

Definición. Sea N p = {n ∈ N : n ≥ p} = {p, p + 1, p + 2, p + 3,......} una “cola” de los números naturales, empezando por p. Llamaremos sucesión ( o también secuencia) de números reales a una función f : Np → ℜ

Para designar una sucesión se utilizan diversas notaciones, unas mejores que otras: para empezar se denota f (n) = x n , y la sucesión entera, es decir, la función de dominio natural: f = ( x n )n≥ p , o bien: {x n }n≥ p o bien

la sucesión “desglosada”: x p , x p +1 , x p + 2 ... , cuando es claro el número que viene a continuación. La notación, muy usada por lo demás: {x n }n≥ p no

es muy buena, pues puede confundir la sucesión (que es una función) con el conjunto de números , que no es otra cosa que el recorrido de dicha función. Con frecuencia se usan otras letras, por ejemplo: f (n) = a n .

Ejemplos 1 . Esta sucesión está definida desde n = 1 y puede ser n graficada, como cualquier función, con un sistema de coordenadas en el plano:

1. a n =

94

Figura 3.2 O bien, indicando la ubicación de los puntos en la recta real:

Figura 3.3 Observar que, en este ejemplo, los valores de la sucesión se van acercando a 0 , a medida que n crece.

(−1) n , n ≥ 1 . Esta sucesión, similar a la anterior, está definida n explícitamente para cada n a partir de 1. A diferencia del ejemplo anterior, esta sucesión va oscilando alrededor del cero:

2. a n =

Figura 3.4

95

Figura 3.5 Sin embargo, también en este caso, los valores de la sucesión se van acercando al cero a medida que n va creciendo. 3. Sea a 0 = 2 , y a n +1 = 2a n . Se trata de una sucesión definida por recurrencia, tal como lo hicimos en el ejemplo inicial. Los primeros términos de la sucesión son: 2 , 2 2 , 2 2 2 , ....... Para observar el comportamiento de esta sucesión, podemos hacer el gráfico de la telaraña:

Figura 3.6 En este ejemplo también observamos que los valores de la sucesión se van acercando a la intersección de la gráfica de la función f ( x) = 2 x con la diagonal, es decir, a la solución no nula de la ecuación: es decir, a 2.

2x = x ,

4. Finalmente vamos a considerar la sucesión dada por recurrencia:

96

a 0 ∈ [0, K ], a n +1 = (1 + r (1 −

an ))a n , donde 0 < r ≤ 3, K > 0 . Esta sucesión K tiene un significado biológico como modelo de la dinámica de una población y se conoce en la literatura como modelo logístico discreto. Esta sucesión tiene un comportamiento muy desordenado (“caótico”) si el parámetro r es cercano a 3. El gráfico de la telaraña que presentamos a continuación , para el valor del parámetro r = 2.9 , justifica su nombre.

Figura 3.7

Llegado a este punto observamos la necesidad de abordar dos problemas teóricos fundamentales: • ¿Qué significa exactamente que una sucesión se acerque efectivamente a un número real? • ¿Cómo asegurar la existencia de un número real , por ejemplo 2 en el ejemplo inicial, al cual se acerca la sucesión? En este segundo punto se hace patente la insuficiencia del modelo matemático construído con los 15 primeros axiomas de los números reales. Nótese que el conjunto de los números racionales cumple con estos 15 axiomas, es decir, constituye un cuerpo ordenado conmutativo y sin embargo, la sucesión de los babilonios se acerca a un punto inexistente entre los racionales. El axioma 16, llamado del Supremo, se hace ya indispensable.

97

3.2 .-

EL AXIOMA DEL SUPREMO

Un subconjunto A de ℜ se llama acotado superiormente, si acaso existe algún número real c tal que x ≤ c, ∀x ∈ A . Un número que cumple esta propiedad se llama cota superior del conjunto A. Es claro que, si c es una cota superior, entonces todo número mayor que c será también una cota superior de A. Definición . Se llama supremo de A ⊆ ℜ a la mínima cota superior de A. Si existe un tal supremo, se denota : sup(A)

Es claro que no todo conjunto de números reales tiene supremo: si un conjunto no es acotado, es decir, si no tiene ninguna cota superior , no puede tener una cota superior mínima. El axioma del supremo expresa precisamente la suficiencia de esta condición: Axioma del Supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente de números reales posee supremo.

Este axioma tiene consecuencias inmediatas que son fundamentales: •

N , el conjunto de los números naturales no es acotado superiormente. En efecto, supongamos que lo fuese: por el axioma del supremo, habría un número real ω = sup(N ) , luego ω ≥ n + 1, ∀n ∈ N , por lo tanto ω − 1 ≥ n, ∀n ∈ N , es decir, ω − 1 es una cota superior de N estrictamente menor que el supremo, lo que contradice la definición de supremo.

•

ℜ satisface la llamada propiedad arquimedeana : si x > 0 , y un número real cualquiera, entonces hay un natural n tal que : x + x + x + .... + x = nx > y , es decir, sumando un número real positivo, por mas pequeño que sea, la suficiente cantidad de veces consigo mismo se puede superar cualquier otro número real, por grande que este sea. En efecto, por el punto anterior, hay un y natural n tal que n > , de donde multiplicando por x que es x positivo, se obtiene la relación deseada.

98

•

N es un conjunto bien-ordenado, es decir cumple la siguiente propiedad: todo subconjunto no vacío de N tiene un primer elemento. En efecto, sea A un subconjunto no vacío de números naturales. Consideremos el conjunto B = {− n : n ∈ A}. Este conjunto no es vacío y está acotado por 0. Luego posee un supremo: k = sup( B ) . Afirmamos que m = −k es el primer elemento de A. Para esto debemos demostrar dos cosas: que m es menor o igual que todos los elementos de A y que m pertenece a A. La primera se sigue directamente del hecho de que k ≥ −n, ∀n ∈ A , por ser supremo, luego efectivamente m = −k ≤ n, ∀n ∈ A . Supongamos ahora que m ∉ A . Esto significa que k = −m ∉ B . Pero, por definición de supremo, k − 1 no puede ser cota superior de B, luego debe existir un elemento b ∈ B tal que k − 1 < b < k lo cual no es posible pues B es un conjunto de números enteros.

•

De aquí se puede demostrar el llamado principio de inducción finita.: Sea P una propiedad definida para los números naturales. Si P( n0 ) es verdadera y si P(n) ⇒ P(n + 1) , entonces P es verdadera para todo n ≥ n0 . En efecto, supongamos que no : esto significa que hay algún n ≥ n0 para el cual P no es verdadera, es decir, el conjunto de naturales para los cuales no es verdadera no es vacío: luego, este conjunto tiene un menor elemento : n1 , es decir, P es verdadera para n1 − 1 , luego, por hipótesis de inducción, P es verdadera para (n1 − 1) + 1 = n1 lo que es una contradicción.

•

Entre dos números reales diferentes cualquiera siempre hay un número racional. Veamos primero el caso especial en que los números son positivos: 0 ≤ x < y . Como y − x > 0 , por la propiedad arquimedeana, hay un natural n tal que n( y − x) > 1 , es 1 1 decir, < y − x , y por lo tanto x + < y . Sea ahora el conjunto n n 1 ⎧ ⎫ ⎨k ∈ N : k > x ⎬ que no es vacío. Luego este conjunto tiene un n ⎩ ⎭

99

1 ≤ x , y por lo n m 1 m tanto x < ≤ x + < y . Es decir el racional satisface la n n n propiedad buscada. Sean ahora x < y reales cualesquiera. Basta trasladarlos con un natural M para tener el caso positivo: 0 ≤ x + M < y + M . Por lo anterior, hay un racional r tal que x + M < r < y + M , por lo tanto: x < r − M < y . Pero r − M es también un número racional. menor elemento: llamémoslo m. Luego (m − 1)

•

Entre dos números reales diferentes siempre hay un número irracional. Para demostrar esto necesitamos saber la existencia de al menos un número irracional. Vamos a demostrar un poco más adelante que efectivamente existe 2 , es decir, que hay un número real cuyo cuadrado es 2. Como sabemos, un tal número no es racional, por lo tanto es irracional. Supongamos entonces, por el momento, que existe este número irracional 2 . Demostremos primero que entre dos números racionales diferentes hay un irracional: sea entonces r < s , ambos racionales. El número s−r 2( ) es un número irracional estrictamente positivo (Si 2 2 para tener que fuese racional bastaría con multiplicarlo por s−r 2 es racional, lo que es una contradicción). Por lo tanto s−r x = r + 2( ) es un número irracional estrictamente mayor 2 1 1 s s que r . Pero también x = r (1 − < s (1 − = s. )+ )+ 2 2 2 2 Finalmente, si x e y son reales cualquiera con x < y , entonces, por el punto anterior, hay un racional r tal que x < r < y , y también hay un racional s tal que r < s < y , luego tendrá que haber un irracional i tal que x < r < i < s < y .

En este desarrollo se ha usado el hecho que el conjunto de los números racionales es cerrado respecto a la suma y la multiplicación y también que el inverso multiplicativo y aditivo de un racional es racional. De aquí se desprende que el producto o la suma de un racional con un irracional

100

debe ser irracional: de lo contrario basta con despejar el irracional para llegar a una contradicción. Veremos a continuación algunos ejemplos de supremos de conjuntos sencillos.

Ejemplos 1. Sea A = ]0,1[ . Entonces sup( A) = 1 . En efecto, 1 es claramente mayor que todos los elementos del conjunto A, es decir, 1 es una cota superior de A. Además, cualquier número menor estricto que a +1 , se 1, no es cota superior. En efecto, si a < 1 , tomando b = 2 tiene: a ≤ a < b < 1 , es decir, a es menor estricto que b que está en A. Debe notarse que 1 no pertenece al conjunto. 2. Sea A = ]0,1] . Entonces claramente sup( A) = 1 . En este caso 1 es un elemento del conjunto, a saber, el mayor de todos. No puede haber una cota superior menor que 1, pues cualquier número menor deja de ser cota precisamente de 1 que está en el conjunto. ⎧ 1 ⎫ 3. Sea A = ⎨1 − : n = 1,2,3,4...⎬ . Se trata aquí del recorrido de una ⎩ n ⎭ sucesión similar a las que vimos en los primeros ejemplos. Se afirma que nuevamente sup( A) = 1 . En este caso 1 no pertenece al conjunto, pero obviamente es una cota superior. Tomemos un número estrictamente menor que 1 : a < 1 . Como N no es 1 1 , luego 1 − > a , es decir, a no acotado, hay un natural n > 1− a n es cota superior.

Definición . Un subconjunto A de ℜ se llama acotado inferiormente, si acaso existe algún número real c tal que c ≤ x, ∀x ∈ A . Un número que cumple esta propiedad se llama cota inferior del conjunto A. Es claro que, si c es una cota inferior, entonces todo número menor que c será también una cota inferior de A. Se llama ínfimo de A ⊆ ℜ a la máxima cota inferior de A. Si existe un tal ínfimo, se denota : inf(A).

101

El concepto de ínfimo es completamente análogo al de supremo, solo hay que invertir el orden. Por lo mismo podemos establecer el análogo al axioma del supremo, una suerte de “axioma del ínfimo”, que esta vez será, por supuesto, un teorema: Todo conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente, tiene ínfimo.

Para demostrar esta propiedad, démonos un conjunto no vacío y acotado inferiormente A y sea b una cota inferior de A, es decir: b ≤ x, ∀x ∈ A . Multiplicando por − 1 , se tiene − b ≥ − x, ∀x ∈ A , es decir, si llamamos − A = {− x : x ∈ A}, entonces el conjunto − A es acotado superiormente y no es vacío. Luego, por el axioma del supremo, tiene supremo s = sup(− A) . Afirmamos que el número real − s es el ínfimo del conjunto A. En efecto, para empezar, como s ≥ − x, ∀x ∈ A , se tiene que − s ≤ x, ∀x ∈ A , es decir, − s es una cota inferior de A. Esta es la mayor cota inferior posible, pues si hubiese otra mayor, digamos s´> − s , se tendría que − s´ sería una cota superior de − A menor que su supremo s. De pasada hemos demostrado que:

sup(− A) = − inf( A)

3.3.1.

PROBLEMAS 1. Cuáles son los supremos y los ínfimos de los siguientes conjuntos de números reales? ¿Pertenecen o no al conjunto? • A = [0,1] ∩ Q ⎫ ⎧ (−1) n • A = ⎨1 − : n ∈ N , n ≠ 0⎬ n ⎭ ⎩ ⎧1 ⎫ • A = ⎨ : n ∈ Z , n ≠ 0⎬ ⎩n ⎭ 2 • A = x : x < 0 ∧ x + x −1 < 0 • A = ]0,1]

{

}

102

2. Sea A = { f ( x) : x ∈ [1,2[} . Encuentre supremos e ínfimos conjunto, para las siguientes funciones de A y vea si acaso pertenecen o no al conjunto: • f ( x) = sen( x) 1 • f ( x) = x • f ( x) = log( x) • f ( x) = 2 x 2 3. Sea A un conjunto no vacío de números reales. Denotemos por − A = {− x : x ∈ A}. ¿Qué relación habrá entre sup(− A) y sup( A) ? ¿Y entre inf(− A) y inf( A) ? ¿Tal vez se pueden establecer relaciones cruzadas? 4. Si A y B son conjuntos de números reales vamos a denotar: A + B = {x + y : x ∈ A ∧ y ∈ B}

¿Qué relación puede establecer entre sup(A+B) y sup(A) +sup(B)? ¿serán iguales? Lo mismo para inf(A+B) y inf(A)+inf(B). ¿Qué hipótesis debe Ud. introducir? 5. Sea λ > 0 , A un conjunto no vacío de números reales. ¿Serán verdaderas las afirmaciones : • sup(λA) = λ sup( A) • inf(λA) = λ inf( A) ¿No debería Ud. agregar alguna hipótesis? ¿Qué puede Ud. decir si λ < 0 ? 6. Sean f , g : A → ℜ dos funciones reales acotadas (tanto superior como.inferiormente).Demuestre: sup( f + g )( x) ≤ sup f ( x) + sup g ( x) x∈ A

x∈A

x∈ A

¿Puede encontrar ejemplos donde la desigualdad sea estricta? ¿ Será también cierto que sup( fg )( x) ≤ sup f ( x) sup g ( x) ? x∈ A

x∈A

x∈ A

¿Qué hipótesis adicionales debería Ud. introducir? 7. Si A y B son conjuntos de números reales vamos a denotar:

103

AB = {xy : x ∈ A ∧ y ∈ B}

¿Qué relación puede establecer entre sup(AB) y sup(A) sup(B)? ¿serán iguales? Lo mismo para inf(AB) y inf(A)inf(B). ¿Qué hipótesis debe Ud. introducir?

3.4.-

ESTRUCTURA TOPOLÓGICA DE ℜ

Para matematizar el concepto de “cercanía” y el concepto de “acercarse de forma efectiva” para una sucesión, necesitamos afinar un poco más nuestro modelo de los números reales. Esto nos conduce a la llamada topología de los números reales.

Definiciones : • Un conjunto U ⊆ ℜ se llama una vecindad del número real x , si: (∃ε > 0)(]x − ε , x + ε [ ⊆ U . • Se acostumbra a denotar: B ( x, ε ) = {y ∈ ℜ : y − x < ε } = ]x − ε , x + ε [ • •

•

Vamos a denotar: W x = {U : U ⊆ ℜ ∧ U .es.vecindad .de.x} Sea A ⊆ ℜ . x ∈ ℜ se llama punto de adherencia de A, si: U ∈ Wx ⇒ U ∩ A ≠ φ

• Se denota: A = {x ∈ ℜ : x.es. punto.de.adherencia.de. A} Sea A ⊆ ℜ . x ∈ ℜ se llama punto de acumulación de A, si: U ∈ W x ⇒ U ∩ A − {x} ≠ φ •

Se denota: A' = {x ∈ ℜ : x.es. punto.de.acumulación.de. A}

Ejemplos 1. Sea A = ]0,1[ . Entonces es fácil ver, directamente de las definiciones, que A = A' = [0,1]

104

⎧ (−1) n ⎫ 2. Sea A = ⎨ : n ∈ N ⎬ . Entonces A = A ∪ {0}, mientras que ⎩ n +1 ⎭ A'= {0} Nótese que siempre ocurre que A' ⊆ A , y que A ⊆ A , mientras que no siempre ocurre que A' ⊆ A , ni tampoco que A ⊆ A' .

Por otro lado, las palabras usadas en la definición “punto de adherencia” y “punto de acumulación”, están bien escogidas pues aluden intuitivamente a lo que ocurre con los puntos. Los puntos de adherencia deben estar “pegados” al conjunto pues toda vecindad tiene puntos del conjunto, es decir, el punto no se puede “separar” del conjunto por alguna vecindad aunque sea pequeña. Los puntos de acumulación deben efectivamente “acumular” puntos del conjunto, pues uno puede ir achicando la vecindad y encontrará nuevos puntos del conjunto. Con estos conceptos estamos en condiciones de presentar el concepto fundamental del análisis que es el de límite , que es el concepto que matematiza la idea de “acercamiento efectivo”

Definición. Sea (a n ) una sucesión real. El número real L se llama límite de la sucesión, en símbolos:

lim a n = L , si n →∞

U ∈ WL ⇒ (∃m ∈ N )(n > m ⇒ a n ∈ U ) Una sucesión se dice convergente si tiene un límite real. En caso contrario, se dice divergente.

La definición anterior está escrita en lenguaje lógico. Para entenderla mejor, vamos a expresarla de otros modos equivalentes: • ∀ε > 0, ∃m ∈ N , tal que a n − L < ε , si acaso n > m . La

•

equivalencia de esta formulación se debe a la definición que hemos dado de vecindad. Cualquier vecindad de L , por pequeña que sea, contiene una cola completa de la sucesión, es decir, todos los elementos a n a partir de algún índice apropiado.

105

•

lim a n − L = 0 : directamente de la definición, pues ambas

n →∞

expresiones dicen que los términos de la sucesión se acercan a L.

Ejemplos

1 1 . Aquí tenemos lim = 0 . n →∞ n n 1 En efecto, si nos damos ε > 0 basta tomar m ≥ para tener

1. El ejemplo más sencillo es : a n =

ε

2.

3.

4.

5.

6.

1 1 que , si n > m entonces < ≤ ε . n m La sucesión a n = (−1) n , que desglosada es: − 1,1,−1,1,−1,1,.... es claramente divergente pues oscila entre − 1 y 1 sin acercarse a ningún número real. (−1) n Por el contrario, la sucesión a n = también es oscilante, n pero se acerca a 0: si nos damos ε > 0 basta también aquí tomar 1 1 m ≥ para tener a n − 0 = < ε si n > m . ε n 2 ⎧n , n ≤ 10.000 ⎪ La sucesión : a n = ⎨ 1 es claramente convergente ⎪⎩ n , n > 10.000 con límite 0, pues la convergencia no depende de los primeros términos, aunque sean muchos: solo depende de las colas de la sucesión. Del mismo modo, una sucesión de la forma: a1 , a 2 , a3 ,...a k , α , α , α ,..... que llamaremos casi-constante es también convergente con límite α . 1 Si a > 0 , entonces lim a = 0 . En efecto, si ε > 0 , tomamos n →∞ n 1 1 1 m ≥ ( ) a , y si n > m , entonces n a > m a ≥ , de donde

ε

ε

1 <ε. na

106

7. Si 0 < a < 1 , entonces lim a n = 0 . En efecto, observemos que n →∞

1 1 > 1 , luego = 1 + h , con h > 0 . Elevando a la potencia n y a a 1 recordando el teorema del binomio: n = (1 + h) n > 1 + nh . a Ahora, si ε > 0 , entonces, por la arquimedianidad de ℜ , hay un 1 natural m tal que 1 + mh > , luego, si n > m se tiene

ε

1 1 > 1 + mh > , es decir, a n < ε . n ε a Para poder analizar sucesiones más interesantes necesitamos estudiar las propiedades fundamentales de este concepto de límite de sucesiones. Agruparemos en un Teorema estas propiedades.

TEOREMA 1. (Propiedades básicas de los límites de sucesiones)

1. (unicidad del límite) Si una sucesión tiene límite, éste es único. 2. Si una sucesión es convergente, entonces es acotada, es decir, su recorrido es un conjunto acotado. 3. Si una sucesión es creciente y acotada superiormente, entonces es convergente. Del mismo modo, si es decreciente y acotada inferiormente, entonces es convergente. 4. (“cero aniquila”) Si la sucesión (a n ) es acotada y la sucesión (bn ) converge a 0, entonces también lim a n bn = 0 n →∞

5. (“el sandwich”) Si para algún m: a n ≤ x n ≤ bn , n ≥ m y lim a n = lim bn = L , entonces también lim x n = L . n →∞

n →∞

n →∞

6. (“el álgebra de límites”) Si lim a n = a ∧ lim bn = b , entonces: n →∞

n →∞

•

(a n + bn ) es convergente y: lim(a n + bn ) = a + b

•

( a n bn ) es convergente y : lim(a n bn ) = ab

•

(

n →∞

n →∞

an a a ) es convergente y : lim n = , si además b ≠ 0 → ∞ n bn bn b

107

DEMOSTRACIÓN

1. Si una sucesión tuviese dos límites distintos, digamos a ≠ b , entonces existen vecindades disjuntas de a y b que deberían contener una cola completa de la sucesión , lo que es imposible. 2. Si lim a n = a , entonces la vecindad U = ]a − 1, a + 1[ contiene una n →∞

cola completa de la sucesión y por lo tanto queda afuera de U a lo más un número finito de valores de la sucesión, conjunto que es acotado. 3. Sea (a n ) creciente y acotada superiormente. Por el axioma del supremo existe a = sup{a n : n ≥ m}. Afirmamos que este a es precisamente el límite de la sucesión. Sea ε > 0 . Puesto que el supremo de un conjunto es la menor cota superior, a − ε no puede ser cota superior, luego existe un índice k tal que a − ε < a k ≤ a pero como la sucesión es creciente a − ε < a k ≤ a n ≤ a ∀n ≥ k , que es la definición de límite. De modo análogo se demuestra que una sucesión decreciente y acotada inferiormente, es convergente. 4. Sea (a n ) acotada, digamos por A > 0 . Sea ε > 0 . Como la sucesión (bn ) converge a 0, hay un número natural m tal que

ε

ε

=ε . A A 5. Sea a n ≤ x n ≤ bn , n ≥ m , lim a n = lim bn = L . Sea ε > 0 , bn <

si acaso n > m . Luego a n bn ≤ A bn < A n →∞

n →∞

entonces, por definición de límite, existe m1 tal que − ε < a n − L para n > m1 y existe un m 2 tal que bn − L < ε para n > m2 . Basta tomar m = min{m1 , m2 } para tener − ε < a n − L ≤ x n − L ≤ bn − L < ε para n > m 6. Sea lim a n = a ∧ lim bn = b . Debemos dividir esta demostración n →∞

•

n →∞

en tres casos: La suma: Sea ε > 0 , entonces existen números naturales m1 , m2 tales que a n − a <

ε

, ∀n > m1 , y , bn − b <

ε

, ∀n > m2 . Basta 2 2 tomar m = min{m1 , m2 } para tener que, si n > m , entonces se

108

cumplen ambas desigualdades, con lo cual:

•

ε

ε

=ε 2 2 El producto: Para esto, consideremos la sucesión diferencia: a n bn − ab ≤ a n bn − a n b + a n b − ab ≤ a n bn − b + a n − a b . Aquí podemos aplicar algunas de las propiedades ya demostradas: la sucesión a n es acotada por ser convergente y la sucesión bn − b (a n + bn ) − (a + b) ≤ a n − a + bn − b <

+

converge a 0, luego, por “cero aniquila” el producto a n bn − b tiende a 0. Del mismo modo, como a n − a tiende a 0, entonces también a n − a b tiende a 0. Finalmente, la suma a n bn − b + a n − a b tiende a 0 y, por “sandwich”, a n bn − ab también debe tender a 0, es decir, lim a n bn = ab . n →∞

•

Para el cuociente, la demostración es un poquito más delicada. En primer lugar, como por hipótesis b ≠ 0 , existe un número natural b m1 tal que bn > , ∀n > m1 : en efecto, basta considerar las 2 b desigualdades: b − bn ≤ b − bn < . Aprovechando esta 2 an a ba n − abn 2 − = ≤ ba n − abn 2 . bn b bbn b Sumando y restando el producto ab y usando la desigualdad triangular, tenemos que ba n − abn ≤ ba n − ba + ba − abn = b a n − a + a bn − b , y por lo

desigualdad, tenemos:

2a an a 2 − ≤ a n − a + 2 bn − b . Finalmente, aplicando bn b b b nuevamente “cero aniquila”, límite de la suma y el “sandwich”, se demuestra la propiedad. Q.E.D. tanto,

109

Ejemplos

a 1 ( x n + ) . Esta sucesión, xn 2 definida por recurrencia, es la misma sucesión de los babilonios que nosotros presentamos al principio para a = 2 . Esta sucesión es decreciente a partir de n = 1 : en efecto, a ( x n − ) 2 ≥ 0 , de donde, elevando al cuadrado: xn

1. Sea a > 0 , x0 > 0 y x n +1 =

x n − 2a + 2

a2 xn

2

≥ 0 y sumando 4a a ambos lados se tiene

a 2 ) ≥ 4a , es decir, recordando la definición de x n +1 : xn 1 a 2 ( ( x n + )) 2 = x n +1 ≥ a . Ahora, sumando a ambos lados 2 xn

( xn +

x n +1 , se tiene x n +1 + a ≤ 2 x n +1 y dividiendo por 2 x n +1 se 1 a obtiene finalmente: ( x n +1 + ) ≤ x n +1 , o sea x n + 2 ≤ x n +1 . 2 x n +1 Aquí debe notarse que , partiendo de un número x0 no nulo, todos los siguientes son también no nulos. Hemos demostrado que la sucesión es decreciente . Además es acotada inferiormente por 0. Luego, por nuestro teorema es convergente. ¿cómo calcular su límite? Para esto observemos que las sucesiones ( x n ) y ( x n +1 ) son esencialmente las mismas, solo están corridas en un índice. Directamente de la definición se deduce que, si una converge, lo hace también la otra y al mismo límite. Tomemos entonces límite a ambos lados de la igualdad : 1 a x n +1 = ( x n + ) . Para aplicar el álgebra de límites, se 2 xn 2

2

2

necesita lim xn ≠ 0 . Pero xn ≥ a , n ≥ 1 . En efecto,

110

1 a ( xn + ) ≥ a ⇔ xn 2 − 2 xn a + a = ( xn − a ) 2 ≥ 0 2 xn Aplicando entonces el álgebra de límites se obtiene una ecuación para el límite de la sucesión, que llamaremos x : 1 a ( x + ) = x de donde se obtiene: x 2 = a . Es decir, nuestro 2 x límite es efectivamente una raíz cuadrada de a . ¡Hemos demostrado la existencia de raíces cuadradas para cualquier número real positivo ! xn +1 =

2. Sea a 0 = 2 y a n +1 = 2a n . Ahora estamos en condiciones de

fundamentar el cálculo del límite de esta sucesión. Esta sucesión es creciente : en efecto , a 0 = 2 < 2 2 = a1 , pues elevando al cuadrado resulta 2 < 2 2 que es cierto pues 2 > 1 . Supongamos que vale a n < a n +1 , multiplicando por 2 y sacando raíz cuadrada: 2a n < 2a n +1 , es decir, a n +1 < a n + 2 . Luego, por inducción finita , la sucesión es creciente. También por inducción podemos demostrar que es acotada superiormente por 2 : a 0 = 2 < 2 . Si suponemos que a n < 2 , nuevamente multiplicando por 2 y sacando raíz cuadrada, se tiene: a n +1 = 2a n < 2 × 2 = 2 . Luego, por nuestro teorema , la sucesión es convergente. Para calcular el valor del límite procedemos igual que en el caso anterior : 2. Si a > 1 , entonces lim n a = 1 . Por las reglas básicas de los n →∞

1 n

1

exponentes, n a = a > 1 n = 1 , luego n a = 1 + hn , con hn > 0 , por lo tanto, elevando a la potencia n y recordando el teorema del binomio: a −1 . Pero esta a = (1 + hn ) n > 1 + nhn , con lo cual se tiene que hn < n última sucesión tiende a 0 con lo cual también hn lo hace (ley del sándwich), por lo que, como

n

a −1 = hn ,

111

n

a debe tender a 1.

3. De modo análogo se tiene que lim n n = 1 . Aquí el argumento es n →∞

n > 1 , si n ≥ 2 , luego n = 1 + hn , con hn > 0 . Nuevamente elevando a la n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 hn > hn , de potencia n: n = (1 + hn ) n > 1 + nhn + 2 2 2 . Pero esta última sucesión tiende a 0. donde hn < n −1 similar, pero un poquito más fino: es claro que

n

n

3n 5 + 5n 4 − 3n + 1 Para calcular este tipo de n →∞ 4n 5 − 6n 3 + 2 límite se usa un truco general que consiste en dividir el numerador y el denominador por n a la mayor potencia, en este caso 5 : la fracción resultante es exactamente la misma que la original : 5 3 1 3+ − 4 + 5 n n n = 3 por el álgebra de límites. lim n →∞ 6 2 4 4− 2 + 5 n n 4. Calcular: lim

5. Calcular : lim( n + 1 − n ) Para este tipo de límites se usa otro truco n →∞

general consistente en multiplicar y dividir por el “conjugado” de la diferencia , obteniéndose un producto de suma por diferencia: 1 n +1 + n lim( n + 1 − n ) = lim =0 n →∞ n →∞ n +1 + n n +1 + n 1 lim(1 + ) n = e , es decir, la sucesión tiende a la base n →∞ n natural de los logaritmos . Este resultado, si bien es posible de establecer por métodos “elementales” (con bastante dificultad, sin embargo) lo demostraremos mucho más adelante, utilizando la teoría más desarrollada del análisis , donde resultará sumamente sencillo.

6. El límite :

3.5

PROBLEMAS

112

1. ¿A partir de qué valor de n el elemento a n de la sucesión estará a una distancia menor que 0.001 de a* en los siguientes ejemplos?: 1 ...;...a* = 0 • an = n +1 1 • an = ...;...a* = 0 n +1 n +1 • an = ...;...a* = 1 n n −1 • an = ...;...a* = 1 n 2. Conteste la pregunta anterior para un acercamiento arbitrario dodo por un ε > 0 3. Calcular los límites (cuando existan) de las sucesiones siguientes: n+3 • n3 + 4 n3 + 4 • n+3 • ( n +1 − n) n + 3 1 1 • a 0 = 3, a n +1 = (a n − ) an 2 • •

n2 2n + 1 2n − 1

n

a n +1 es n →∞ a n

4. Determine para qué valores de x ∈ ℜ el límite : lim estrictamente menor que 1, donde a n =

1 ( x + 1) n 2 n

5. Calcule el límite: 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + ... + 5 n −1 n →∞ 5n + n

L = lim

113

6. Determinar los valores de a ∈ N tales que la sucesión : xn =

(n + 1) a ( 2n 2 + a ) 3

sea convergente.

7 . Construya una sucesión convergente (a n ) tal que los términos de índice impar sean racionales mientras que los de índice par sean irracionales . ¿Dónde se encontrará su límite? 8.(*) Sean P1 < P2 dos puntos en la recta real. Defina P3 como el punto medio entre P1 y P2 , P4 como el punto medio entre P2 y P3 , P5 como el punto medio entre P3 y P4 y así sucesivamente . ¿Converge la sucesión de puntos así definida? ¿Cuál será su límite?

9. Estudie las siguientes dos sucesiones (de significado ecológico) dadas inductivamente. Conjeture un límite (usando el gráfico de la telaraña) y fundaméntelo usando los teoremas correspondientes: i) 0 ≤ x0 ≤ K , x n +1 = (1 + r (1 − ii) 0 ≤ x0 ≤

xn )) x n , para 0 ≤ r ≤ 1 K

rx n r −1 , para a > 0, r ≥ 1 , x n +1 = a 1 + ax n

10. Analice la convergencia de la clásica “fracción continua”:

1

1+

1

1+ 1+

1 1 + ...

¿Cuál es la sucesión que la define inductivamente? Puede ayudarse con el gráfico de la telaraña 11. Sea (a n ) una sucesión acotada:

114

i)

Demuestre que las sucesiones:

bn = sup{a k : k ≥ n} son convergentes. ii)

, c n = inf {a k : k ≥ n}

Llamando lim sup a n = lim bn ; lim inf a n = lim c n , demuestre: (a n ) es convergente si y solo si: lim sup a n = lim inf a n

12. (*) Sea A ⊆ ℜ . Demuestre: i) x ∈ A ⇔ (∃x n ∈ A)(lim x n = x ) ii) x ∈ A' ⇔ (∃x n ∈ A)(( x n )inyectiva ∧ lim x n = x )

3.6

LA RECTA REAL EXTENDIDA

Si comparamos el comportamiento de las sucesiones: a n = n 2 + 1 y

bn = (− 1) notaremos que difieren en un punto esencial: la sucesión (bn ) oscila entre 1 y − 1 sin acercarse a ninguna parte. La sucesión n

(a n ) , en cambio crece y crece alejándose constantemente del 0 , con lo

que podemos decir que se acerca a ∞ . Es por eso que se suele escribir: lim(n 2 + 1) = ∞ . De la misma manera se escribe lim(1 − n 2 ) = −∞ , n →∞

n →∞

puesto que esta sucesión se aleja hacia la izquierda del 0 de modo constante y persistente . Por esta razón resulta conveniente definir un nuevo espacio, más amplio que los números reales y que contenga a estos puntos extremos.

115

Definición: El conjunto ℜ = ℜ ∪ {− ∞, ∞} se llama recta real extendida, donde − ∞ y ∞ son dos nuevos objetos diferentes entre si y que no pertenecen al conjunto ℜ de los números reales. Para este nuevo conjunto se define la siguiente estructura: Estructura ordinal: − ∞ < x < ∞, ∀x ∈ ℜ . Es decir, los i) nuevos elementos incorporados cierran el orden de los números reales. ℜ es, con esta definición, un conjunto totalmente ordenado. Estructura topológica: las vecindades de los nuevos ii) puntos son : W−∞ = U ⊆ ℜ : ∃K ∈ ℜ, K < 0, [− ∞, K [ ⊆ U W∞

{ } = {U ⊆ ℜ : ∃K ∈ ℜ, K > 0, ]K , ∞ ] ⊆ U }

Es importante notar que, la definición para lim a n = ∞ es, usando la estructura topológica recién definida: ∀K > 0, ∃m ∈ N , (n > m ⇒ a n > K ) y análogamente para lim a n = −∞ Las nociones de punto de adherencia y punto de acumulación se extienden naturalmente a estos nuevos puntos. Agregamos a continuación algunos problemas que sirven de ejercicio para la mejor asimilación de esta noción.

3.7

PROBLEMAS

1. Demuestre que ∞ es el único punto de acumulación del conjunto N de los números naturales. 2. Sea 0 un punto de acumulación de A ⊆ ]0, ∞[ . Demuestre que ∞ es ⎧1 ⎫ punto de acumulación de B = ⎨ : x ∈ A⎬ . x ⎩ ⎭

116

3. Sea 1 un punto de acumulación del conjunto A ⊆ ]− ∞,1[ . ⎧ 1 ⎫ : x ∈ A⎬ Demuestre que ∞ es punto de acumulación de B = ⎨ ⎩1 − x ⎭ 4. Suponga que − ∞ es un punto de adherencia del conjunto A ⊆ ℜ . ⎧ x ⎫ : x ∈ A⎬ Demuestre que − 1 es punto de adherencia de B = ⎨ ⎩1 − x ⎭

117

CAPÍTULO 4 :

EL LÍMITE CONTINUO

4.1.- DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Consideremos dos curvas en el plano, que se cruzan según la Figura 4.1 siguiente:

Figura 4.1 ¿Qué condiciones deben cumplir estas curvas para que no solo se crucen sino que se corten , es decir, tengan efectivamente un punto en común ? Si estas curvas son gráficas de funciones reales, el ejemplo siguiente nos muestra que el problema tiene una gran trascendencia:

Figura 4.2 Aquí la curva pretende representar la gráfica de la función f ( x) = x n , y la recta horizontal representa la gráfica de la función g ( x) = b . Si estas dos curvas tienen un punto en común, entonces se tendrá:

118

f (a ) = a n = g (a ) = b , es decir: a = n b . O sea, el punto en común es nada menos que la raíz n-ésima del número b. El estudio de este problema nos conduce a la noción de continuidad y de límite continuo. El concepto de límite de sucesiones corresponde a la idea de un acercamiento pasa a paso de los elementos de la sucesión a su límite. Esta misma idea de acercamiento puede ser concebida de modo continuo. Aquí debe tenerse una función definida, no sobre índices discretos como las sucesiones , sino sobre un intervalo, o por lo menos sobre un conjunto que tenga al punto de acercamiento como punto de acumulación . Para visualizarlo mejor, ilustrémoslo con un ejemplo: x2 − a2 Sea f ( x) = . ¿Qué ocurre cuando x se acerca a a? ¿se acerca x−a el valor de la función a algún número real? Nótese que a no está en el dominio de la función f , es decir, no se puede evaluar la función en el punto a. Pero para todos los números x distintos de a , la función se x 2 − a 2 ( x − a )( x + a ) = = x + a , luego, si x se puede calcular: f ( x) = x−a x−a acerca a a (¡sin tocarla!) claramente f(x) se acerca a 2a . Las gráficas siguientes ilustran distintos tipos de comportamiento: y

1

0.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-0.5

-1

(a)

(b)

(c)

Figura 4.3

En la Figura 4.3 (a), la función asume un valor distinto del valor L de acercamiento. En la Figura 4.3 (b) se ha graficado la función “parte entera” (el mayor entero menor o igual a la variable). Aquí el valor de

119

acercamiento es diferente si uno se acerca a los enteros por la izquierda o por la derecha: Si uno se acerca a 1 por la izquierda, la función se acerca a cero, mientras que por la derecha lo hace a 1. Finalmente, en 1 la Figura 4.3 (c), se ha graficado la función sen( ) , la cual no se x acerca a ninguna parte cuando x se acerca a 0.

La idea de límite continuo es la de un acercamiento condicionado: el número f (x) se acerca a su límite si acaso x se acerca al punto de acercamiento correspondiente. Ya hemos introducido, cuando vimos los límites de sucesiones, el concepto que matematiza la idea de acercamiento: se trata de las vecindades . La siguiente definición no debiera, por lo tanto, ser demasiado sorprendente: Definición: Sea f : D ⊆ ℜ → ℜ , x 0 ∈ D ' ⊆ ℜ . Entonces el límite de la función f cuando x tiende a x0 es L, en símbolos:

lim f ( x) = L ∈ ℜ

x → x0

Si acaso:

(∀U ∈ WL )(∃V ∈ W x0 )( x ∈ V ∩ D − {x0 } ⇒ f ( x) ∈ U )

La siguiente figura (abstracta) puede ilustrar esta definición:

Figura 4.4

120

La definición formal anterior ha sido escrita en lenguaje lógico: vale la pena hacer algunas observaciones aclaratorias: 1. Utilizando la definición de subconjunto, la definición puede ser reescrita del siguiente modo: (∀U ∈ WL )(∃V ∈ W x0 )( f (V ∩ D − {x0 }) ⊆ U ) 2. La estructura lógica de este concepto (“la definición mirada con rayos X”) es : p ⇒ (q ∧ (r ⇒ s )) No es, por lo tanto, una noción simple. Sin embargo, tampoco es tan compleja: en el lenguaje usual usamos expresiones cuya estructura lógica es similar: “Para cada perro hay un collar, tal que , si no se lo pone , correrá como loco por todas partes” o bien: “cada vez que voy a comprar, me sale un perro que, si no le tiro una piedra, me muerde” 3. Se ha exigido que el punto de acercamiento x0 sea un punto de acumulación del dominio de la función. Esto es necesario , pues de lo contrario, según la definición de punto de acumulación, se podrá encontrar siempre una vecindad V de x0 tal que V ∩ D − {x0 } = φ , con lo cual la condición de límite se cumple para cualquier punto (hipótesis vacía). Desde el punto de vista intuitivo, esta exigencia significa que nos podemos acercar efectivamente al punto x0 por puntos que están en el dominio de la función. 4. Cuando tanto el punto de acercamiento x0 como el límite L son números reales, la definición puede ser escrita usando las vecindades específicas de los números reales:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(0 < x − x0 < δ ∧ x ∈ D ⇒ f ( x) − L < ε ) 5. Si x0 ∈ ℜ , pero L = ∞ , entonces hay que usar las vecindades propias del punto infinito, y se tiene lim f ( x) = ∞ x → x0

121

si acaso: (∀K > 0)(∃δ > 0)(0 < x − x 0 < δ ⇒ f ( x) > K ) 6. Si x0 = ∞ , pero L ∈ ℜ , entonces lim f ( x) = L significa: x →∞

(∀ε > 0)(∃K > 0)( x > K ∧ x ∈ D ⇒ f ( x ) − L < ε )

7. De modo análogo se traduce la definición de límite a los casos:

lim f ( x) = L , lim = ±∞ ,

x → ±∞

x → x0

lim f ( x) = ±∞

x → ±∞

8. Los límites de sucesiones también son casos particulares de esta definición general. En este caso el dominio de la función es el conjunto de los números naturales (o una cola de él) y el único punto de acumulación de este conjunto es ∞ , con lo cual la definición general anterior coincide con la definición dada en el capítulo 3. De pasada podemos observar que la notación tradicional lim a n puede ser simplificada omitiendo el símbolo n →∞

n → ∞ , ya que n no puede tender a otro lado que a infinito. 9. Finalmente podemos introducir los conceptos de límites laterales, simplemente restringiendo la función al lado izquierdo o derecho del punto de acercamiento (el cual debe ser, por supuesto, un número real): a) lim f ( x) = L (límite por la izquierda), si acaso x ↑ x0

(∀U ∈ WL )(∃δ > 0)( x0 − δ < x < x0 ∧ x ∈ D ⇒ f ( x) ∈ U ) b) lim f ( x) = L (límite por la derecha) , si acaso: x ↓ x0

(∀U ∈ WL )(∃δ > 0)( x0 < x < x0 + δ ∧ x ∈ D ⇒ f ( x) ∈ U ) Existen otras notaciones para estos límites laterales. Nosotros hemos denotado el límite por la izquierda indicando que el acercamiento hacia x0 es desde la izquierda, es decir, con x

122

subiendo hacia x0 . Otros autores denotan este límite agregando un signo menos al punto de acercamiento: lim− f ( x) . Para el x → x0

límite por la derecha, hemos indicado que el acercamiento es desde la derecha, es decir, bajando hacia x0 . Otros autores agregan un signo más al punto de acercamiento: lim+ f ( x) . x → x0

Debido a la existencia de estos límites laterales, el límite propiamente tal de una función suele recibir el nombre de límite bilateral.

Ejemplos

1 . El dominio de esta función es D = ℜ − {0}, es x decir, no incluye al 0. Pero el 0 es obviamente un punto de acumulación del dominio de la función, por lo que tiene sentido preguntarnos por los posibles límites hacia el 0: 1 1 a) lim = ∞ : en efecto, sea K > 0 : basta tomar δ = > 0 . x↓0 x K 1 1 Si tomamos x tal que 0 < x < δ , entonces f ( x) = > = K . x δ 1 b) lim = −∞ : en efecto, si nos damos un número K < 0 , x↑0 x 1 basta tomar δ = − > 0 : Si tomamos un x tal que K 1 1 − δ < x < 0 , entonces f ( x) = < =K. x −δ Debe notarse que, en este caso no hay limite bilateral, pero ambos límites laterales existen, si bien no son números reales. 1. f ( x) =

2. lim( x 2 + 1) = 2 . Este resultado es muy intuitivo, sin x →1

embargo es preciso fundamentarlo, ya sea con algún teorema (que aún no tenemos) o, al menos, directamente con la definición: sea ε > 0 .Buscamos una vecindad de 1 que asegure : ( x 2 + 1) − 2 = x 2 − 1 = x − 1 x + 1 < ε

123

para todos los x en esa vecindad. Esto se cumplirá si acaso: x − 1 <

ε

. Debemos, pues, buscar una condición de x +1 acercamiento al 1 para x que implique la desigualdad anterior. 1 ⎧ 1 2ε ⎫ Sea δ = min ⎨ , ⎬ . Si | x − 1 |< δ , entonces | x − 1 |< , 2 ⎩2 5 ⎭ 1 3 luego < x < . Además: 2 2 2ε ε ε ε = < = | x − 1 |< 3 5 x +1 | x +1| +1 2 3. lim x − 1 = 0 . Debe notarse, antes que nada, que este x →1

límite coincide con el límite por la derecha, ya que el dominio de la función solo tiene elementos a la derecha del 1. Para demostrar nuestra afirmación, tomemos un acercamiento arbitrario ε > 0 : buscamos un acercamiento δ > 0 al 1 que nos asegure: x − 1 < ε . Pero esta desigualdad está implicada por x − 1 < ε 2 , ya que ambos lados son positivos. Por lo tanto basta tomar δ = ε 2 . 4. lim x = a , a ≥ 0 . Si acaso a = 0 , se trata x→a

esencialmente del mismo ejemplo anterior. Supongamos que a ≠ 0 , es decir, a > 0 . Sea ε > 0 : necesitamos x − a < ε . El

encontrar un δ > 0 que nos asegure

siguiente cálculo algebraico nos ayudará a encontrarlo:

x− a =

x − a ( x + a) ( x + a)

=

x−a x+ a

≤

x−a a

luego, bastará con tomar un δ = ε a . 5. El razonamiento empleado en el ejemplo anterior nos permite una generalización interesante: supongamos que hay una función tal que lim f ( x) = L ≥ 0. Entonces: x→a

124

lim x→a

f ( x) = lim f ( x) x→a

En efecto, si L = 0 , entonces dado ε > 0 , la desigualdad f (x) < ε se logra con un δ > 0 que asegure f ( x) < ε 2 , si acaso 0 < x − a < δ . Para L > 0 usamos el mismo truco algebraico del punto anterior: f ( x) − L f ( x) − L f ( x) − L = ≤ < ε se logrará con un f ( x) + L L

acercamiento que asegure f ( x) − L < ε L , lo cual ,a su vez, resulta de la hipótesis de que L es efectivamente el límite de la función. 6. lim x n = ∞ , si n es un número natural no nulo. En efecto, x ←∞

sea K > 0 . Basta tomar M = n K : si x > M , entonces xn > K .

⎧ ∞.si.b > 0 7. lim bx = ⎨ . Esto resulta directamente de las x →∞ ⎩− ∞.si.b < 0 definiciones. Finalmente agreguemos algunas observaciones: •

lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) − L = 0 , si acaso el límite L es un

•

número real. Esta propiedad resulta directamente de las definiciones. lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = L . Esto resulta

•

x→a

x→a

x→a

x↑a

x↓a

también directamente de las definiciones. Nótese que en este caso el límite L no necesita ser un número real. Demostrar la existencia de un límite y, más aún, el cálculo de su valor son asuntos extremadamente complicados si la función no es tan sencilla como las que se han presentado en los ejemplos. Se necesita una teoría. ¡Y esa teoría existe! Presentaremos a continuación sus elementos fundamentales.

TEOREMA 2. (Propiedades básicas de los límites de funciones)

125

1. 2.

(unicidad del límite) Si una función tiene límite, éste es único. Si f ( x) = g ( x), ∀x ≠ a , entonces lim f ( x) = L ⇔ lim g ( x) = L

3.

(“cero aniquila”) Si lim f ( x) = 0 y g es una función

x→a

x→a

x→a

acotada en una vecindad de a, entonces lim( fg )( x) = 0 x→a

4.

(“el sandwich”) Si f ( x) ≤ h( x) ≤ g ( x), ∀x ≠ a y si lim f ( x) = lim g ( x) = L ∈ ℜ , entonces lim h( x) = L x→a

5.

x→a

x→a

(“el álgebra de límites”) Si lim f ( x) = A ∈ ℜ ∧ lim g ( x) = B ∈ ℜ x→a

x→a

entonces: • lim( f + g )( x) = A + B x→a

• lim( fg )( x) = AB x→a

• Si además B ≠ 0 , lim x→a

6.

f A ( x) = g B

(“lema de enlace”) lim f ( x) = L ⇔ x→a

(∀(a n ), a n ∈ dom( f ), a n → a, a n ≠ a, f (a n ) → L)

DEMOSTRACIÓN. 1. Si una función tuviese dos límites distintos, digamos A ≠ B , entonces podemos tomar vecindades disjuntas de A y B que deberán contener las imágenes de puntos que están vecindades del mismo punto de acercamiento, lo cual es imposible, pues la intersección de dos vecindades de un punto es también una vecindad del mismo punto. 2. Esta propiedad es consecuencia directa de la definición pues el punto de acercamiento se excluye de la condición.

126

3. Sea lim f ( x) = 0 y g ( x) ≤ M para todo x en una vecindad V1 de x→a

a. Sea ε > 0 : existe una vecindad V2 de a tal que , si x ∈ V2 ∩ dom( f ) − {a} , entonces f ( x) <

ε

. Por lo tanto bastará M con tomar la vecindad V = V1 ∩ V2 : si a ≠ x ∈ V ∩ dom( f ) ,

ε

=ε . M 4. Aquí es preciso distinguir tres casos: • L ∈ ℜ . Sea ε > 0 : existirán dos vecindades de a , V1 ,V2 tales que : a ≠ x ∈ V1 ∩ dom( f ) ⇒ L − ε < f ( x) < L + ε a ≠ x ∈ V2 ∩ dom( g ) ⇒ L − ε < g ( x) < L + ε . Bastará con tomar la vecindad V = V1 ∩ V2 de a para que ambas desigualdades se cumplan, luego, si a ≠ x ∈ V ∩ dom(h) , se tendrá: L − ε < f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g ( x ) < L + ε entonces g ( x) f ( x) < M

•

L = ∞ . Sea K > 0 : existe una vecindad V de a tal que , si a ≠ x ∈ V ∩ dom( f ) ∩ dom(h) , entonces K < f ( x) ≤ h( x) , es decir, lim h(x) = ∞ . Nótese que la función g no se ha usado. x→a

•

L = −∞ . Sea K < 0 : existe una vecindad V de a tal que , si a ≠ x ∈ V ∩ dom( g ) ∩ dom(h) , entonces h( x) ≤ g ( x) < K , es decir, lim h(x) = −∞ . x→a

5. Sea : lim f ( x) = A ∈ ℜ ∧ lim g ( x) = B ∈ ℜ . Veremos x→a

•

x→a

separadamente los tres casos: La suma: Sea ε > 0 : existirán dos vecindades V1 ,V2 de a tales que:

a ≠ x ∈ V1 ∩ dom( f ) ⇒ f ( x) − A <

ε

, 2 ε a ≠ x ∈ V2 ∩ dom( g ) ⇒ g ( x) − B < 2 Bastará entonces tomar la vecindad V = V1 ∩ V2 para tener ε ε f ( x) + g ( x) − ( A + B) ≤ f ( x) − A + g ( x) − B < + = ε si acaso 2 2 a ≠ x ∈ V ∩ dom( f ) ∩ dom( g )

127

•

El producto: puesto que A es un número real, la función f estará acotada , digamos por M , en una vecindad V1 de a . Por otro lado habrá otra vecindad , digamos V2 , tal que g ( x) − B <

ε

en esa 2M vecindad y, finalmente, habrá una tercera vecindad, V3 donde se ε cumple f ( x) − A < . Por lo tanto, si V = V1 ∩ V2 ∩ V3 y si 2B a ≠ x ∈ V ∩ dom( f ) ∩ dom( g ) , entonces tendremos: f ( x) g ( x) − AB ≤ f ( x) g ( x) − f ( x) B + f ( x) B − AB = = f ( x) g ( x) − B + f ( x) − A B < M

•

ε 2M

+

ε 2B

B =ε

El cuociente: demostraremos primero el caso especial en que f ( x) = 1, ∀x . Recordemos que B ≠ 0 , por lo tanto existe una vecindad V1 de a tal que si a ≠ x ∈ V1 ∩ dom( g ) , entonces se B tendrá: g ( x) − B < . Usando la desigualdad triangular “al 2 B , por lo tanto revés”, se tiene B − g ( x) ≤ B − g ( x) < 2 B . Por otro lado existe una vecindad V2 donde g ( x) > 2 2 εB y si tomamos, como antes la intersección de g ( x) − B < 2 estas vecindades, se tendrá 2 B − g ( x) 1 1 2 1 εB − = < =ε g ( x) B g ( x) B B B 2 Para el caso general, en que f es una función cualquiera que cumple la hipótesis, basta usar el teorema para el producto.

6. El llamado “lema de enlace” recibe ese nombre porque “enlaza” el límite continuo con el límite discreto, es decir, de sucesiones. Se trata de una condición necesaria y suficiente:

128

•

Sea lim f ( x) = L ∈ ℜ , sea (a n ), a n ∈ dom( f ), a n ≠ a , a n → a y x→a

sea U ∈ W L . Por la hipótesis, para esta vecindad debe existir una vecindad V de a tal que f ( x) ∈ U si a ≠ x ∈ V ∩ dom( f ) . Pero para esta vecindad de a existe un número natural m tal que a n ∈ V , si n>m. Luego f (a n ) ∈ U , es decir, puesto que a n ≠ a , •

limf (a n ) = L Sea ahora : para cada sucesión (a n ), a n ∈ dom( f ), a n ≠ a , a n → a , que f (a n ) → L . Sea U ∈ WL y supongamos que no existe ninguna vecindad V de a que cumpla con f (V ∩ dom( f ) − {a}) ⊆ U : debemos llegar a una contradicción. Es necesario distinguir tres casos: (i) a ∈ ℜ : para cada número 1 1⎡ ⎤ natural n podemos considerar la vecindad Vn = ⎥ a − , a + ⎢ . n n⎣ ⎦ Por nuestra suposición debe existir un elemento a n ∈ Vn ∩ dom( f ) − {a} tal que f (a n ) ∉ U . Luego esta sucesión (a n ) tiende a a , pero f (a n ) no tiende a L . (ii) Si a = ∞ , basta tomar Vn = ]n, ∞ ] y el mismo argumento es válido. (iii) Si a = −∞ , entonces debe tomarse Vn = [− ∞, n[ .

Q.E.D. Ejemplos

sen x = 1 . Este resultado necesita, en rigor, de una definición x →0 x analítica de la función seno. Pero eso requiere un poco más de análisis (Teoría de Integración). Sin embargo, si aceptamos algunas propiedades que resultan de la geometría, podemos obtenerlo: 1.- lim

129

Figura 4.3 De la figura resulta la desigualdad: sen( x) ≤ x ≤ tg( x) =

sen( x) , cos( x)

sen( x) ≤ 1 y, aceptando que lim cos( x) = 1 se x →0 x obtiene el resultado propuesto por el teorema del “sandwich”. luego:

cos( x) ≤

⎧ [x ], x ≥ 1 Entonces se afirma : lim f ( x) = 1 . En 2. Sea f ( x) = ⎨ x →1 ⎩2 x − 1, x < 1 este caso no podemos evitar el cálculo de límites laterales: lim f ( x) = lim[x ] = 1 y lim f ( x) = lim(2 x − 1) = 1 x ↓1

3. lim

x →∞

x ↓1

x ↑1

x

x ↑1

= 1 . En este caso no podemos aplicar el álgebra

x+ x+ x de límites pues ∞ no es un número real. Pero podemos hacer previamente un arreglo algebraico: x x 1 = = x+ x+ x 1 1 1 1 x( 1+ + ) 1+ + x x x x límite es 1 aplicando el álgebra de límites.

cuyo

1+ x2 −1 = 0 . Aquí tampoco podemos usar directamente el x →0 x álgebra de límites. El truco algebraico es, en este caso, similar al que

4. lim

130

se empleó para las sucesiones: 1 + x 2 − 1 ( 1 + x 2 − 1)( 1 + x 2 + 1 x2 x = = = 2 2 x x( 1 + x + 1) x( 1 + x + 1) 1+ x2 +1 a esta última fracción podemos aplicar el álgebra de límites y el resultado es 0. 1 5. lim n sen( ) = 1 . Se trata, en este caso, del límite de una sucesión. n →∞ n ¿cómo usar la teoría de límites continuos para abordar este límite discreto? Usaremos, evidentemente, el lema de enlace: consideremos sen( x) 1 y la sucesión a n = . Entonces: la función real f ( x) = x n 1 sen( ) n = n sen( 1 ) . Como lim f ( x) = 1 , entonces también f (a n ) = x →0 1 n n nuestra sucesión tiende a 1. 6.(*) lim f ( x) = lim f (1 − 2 x) , en el sentido que: la existencia de x ↓1

x↑0

un lado implica la del otro y vale la igualdad. Este resultado es bastante intuitivo, corresponde a una suerte de “cambio de variables”, pues si x tiende a 0 entonces 1 − 2 x tiende a 1 y los signos dan la lateralidad correspondiente. Sin embargo vale la pena examinarlo con detalles. En primer lugar hay que entender que hay en juego dos funciones : la función f y la función compuesta g ( x) = f (1 − 2 x) . Si queremos analizar este ejemplo en toda su generalidad, debemos examinar los dominios de ambas funciones recordando que los puntos de acercamiento deben ser puntos de acumulación de dichos dominios. La relación entre los dominios es claramente la siguiente: 1− x x ∈ dom( f ) ⇔ ∈ dom( g ) ; 2 x ∈ dom( g ) ⇔ 1 − 2 x ∈ dom( f ) a) Sea lim f ( x) = L . Entonces 1 es un punto de acumulación x ↓1

del lado derecho del dominio de f , es decir: 1 ∈ (dom( f ) ∩ ]1, ∞[)' . Debemos demostrar, en primer lugar, que 0 es un punto de acumulación del lado izquierdo del

131

dominio de g. Para esto, sea ε > 0 . Pero existe un x en el dominio de f tal que 1 < x < 1 + 2ε , por lo tanto 1− x 1− x −ε < < 0 , con ∈ dom( g ) , es decir, 0 es punto de 2 2 acumulación del lado izquierdo del dominio de g. Sea ahora U ∈ W L . Por hipótesis existe δ > 0 tal que, si 1 < x < 1 + δ y

x ∈ dom( f ) , se tiene f ( x) ∈ U . Bastará tomar −

δ

< y < 0, 2 con y ∈ dom(g ) para tener: 1 < 1 − 2 y < 1 + δ , con 1 − 2 y ∈ dom( f ) , por lo tanto g ( y ) = f (1 − 2 y ) ∈ U . Es decir, lim f (1 − 2 x) = L . x↑0

b) Sea ahora lim f (1 − 2 x) = L . En particular, x↑0

0 ∈ (dom( g ) ∩ ]− ∞,0[)' . Debemos demostrar, en primer lugar que 1 es punto de acumulación del lado derecho del dominio de f Para esto, sea ε > 0 : debe existir x en el dominio de g tal

ε

< x < 0 , por lo tanto 1 + 2 x < 1 + ε con 2 1 + 2 x ∈ dom( f ) , luego efectivamente 1 ∈ (dom( f ) ∩ ]1, ∞[)' . Sea ahora U ∈ W L : deberá existir ε > 0 tal que , si − ε < x < 0 ∧ x ∈ dom( g ) , entonces g ( x) ∈ U . Pero bastará con tomar ]1,1 + 2ε [ como vecindad derecha de 1: si 1− y 1 < y < 1 + 2ε ∧ y ∈ dom( f ) , entonces − ε < < 0 con 2 1− y 1− y ∈ dom( g ) , por lo tanto g ( ) = f ( y ) ∈ U , es decir 2 2 lim f ( x) = L . que −

x ↓1

1 = 0 . Este ejemplo es x →1 f ( x ) x →1 similar al anterior, si lo queremos analizar en toda su generalidad. Lo primero será demostrar que, bajo la hipótesis de que 1 es punto de acumulación del dominio de f , 1 también es punto de 1 acumulación del dominio de la función . Para esto sea V una f vecindad de 1 . Deberá existir otra vecindad V1 ⊆ V tal que

7. (*) Sea lim f ( x) = −∞ . Entonces lim

132

f (V1 ∩ dom( f ) − {1}) ⊆ ]− ∞,−1[ Pero el conjunto V1 ∩ dom( f ) − {1} no es vacío , luego existe un x en este conjunto y como f ( x) < −1 , existe el inverso multiplicativo de f (x) , es 1 1 decir, x ∈ dom( ) , luego, en particular x ∈ V ∩ dom( ) − {1} . Por f f lo tanto 1 es también punto de acumulación del dominio de la 1 función . f Sea ahora ε > 0 : por la hipótesis hay una vecindad V de 1 tal que , 1 si: x ∈ V ∩ dom( f ) − {1} , entonces f ( x) < − . Luego

ε

1 1 1 =− < ε , es decir, lim = 0. x →1 f ( x ) f ( x) f ( x)

4.2

PROBLEMAS

1. En la siguiente pregunta la existencia o no existencia de límites se refiere a límites de valores reales: • Si no existe lim( f ) ni lim(g), ¿PUEDE existir lim(f+g) ? • Si existe lim(f) y lim(f+g) ¿DEBE existir lim(g) ? • Si existe lim(f) y no existe lim(g) ¿PUEDE existir lim(f+g)? • Si existe lim(f) y lim(fg) ¿DEBE existir lim(g)? 2. ¿Cree Ud. que existen los siguientes límites?: •

•

lim([x ] + x − [x ]) x →1

lim x →8

x −8 x −8

133

•

•

⎧3 x − 2 ,x <8 ⎪⎪ lim g ( x) , donde g ( x) = ⎨ x − 8 x→8 ⎪ 2 ,x >8 ⎪⎩ 3x ⎧ 1 − cos x ,x < 0 ⎪⎪ x2 lim f ( x) , donde f ( x) = ⎨ 3 x→0 ⎪ ( x + 2) − 8 , x > 0 x ⎩⎪

En caso que su respuesta sea afirmativa ¿cuáles serían sus valores? 3. Calcule los siguientes límites (si es que existen) : • • • • • • • •

lim

6 − 7x (3 + 2 x) 4

lim

xn − yn x− y

x → −2

x→ y

1+ x + x2 −1 x →0 x x −1 − 2 lim 2 x →5 x − 25 sen(6 x) lim x →0 x sen 2 x lim x →0 x tg( x ) z + tg( z ) lim z →0 sen z lim

lim h →0

a+h − a h

4(*). Demuestre las siguientes igualdades, en el sentido que la existencia de un lado implica la del otro y vale la igualdad: •

1 lim f ( x) = lim f ( ) x → −∞ x ↑0 x

134

• •

1 lim f ( x) = lim f ( ) x →∞ x ↓0 x lim f ( x) = lim f (− x) x↓0

x↑0

5. Demostrar que, si lim f ( x) = L ∈ ℜ , entonces lim f ( x) = L x→a

x→a

⎧ x, x.es.racional 6. Demostrar que , si f ( x) = ⎨ , entonces ⎩− x, x.es.irracional lim f (x) no existe si a ≠ 0 . x→a

7. Demostrar lim f ( x ) = lim f ( x) x →0

x↓0

8. Demostrar lim f ( x ) = lim f ( x) 2

x →0

x ↓0

9. Escriba detalladamente la definición de lim f ( x) = −∞ y su x ←∞

negación. 10. ¿Serán correctas todas las siguientes definiciones de limite, a ∈ ℜ : lim f ( x) = L ∈ ℜ x→a

•

Para todo δ > 0 existe un ε > 0 tal que: Si 0 < x − a < ε , entonces f ( x ) − L < δ

•

Para todo δ > 0 existe un ε > 0 tal que: Si 0 < x − a < ε , entonces f ( x) − L ≤ δ

•

Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que: Si 0 < x − a < 5δ , entonces f ( x) − L < ε

•

Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que: Si 0 < x − a < δ , entonces f ( x ) − L < 5ε

f ( x) = ∞ ? Si Ud. x→a x→a g ( x) considera que no es cierto deberá demostrarlo apropiadamente. Tal vez podría Ud. obtener un verdadero teorema agregando algunas hipótesis.

11. Suponga que lim g ( x) = 0 . ¿Será cierto que lim

135

4.3.- Definición. Sea f : D ⊆ ℜ → ℜ , x0 ∈ D . La función f se dice continua en el punto x0 de su dominio, si acaso:

(∀U ∈ W f ( x0 ) )(∃V ∈ W x0 )( x ∈ V ∩ D ⇒ f ( x) ∈ U ) Como tanto x0 como f ( x0 ) son números reales, la definición anterior se traduce:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)( x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x 0 < ε )

La función se dice continua en el dominio D, si acaso es continua en cada punto de ese dominio

Observaciones: 1.

2.

Es importante notar las semejanzas y las diferencias de esta definición con la definición de límite continuo. • En la definición de continuidad, el punto no necesita ser punto de acumulación del dominio de la función, pero si necesita ser un punto del dominio de la función • En la definición de límite continuo el punto no necesita estar en el dominio de la función, pero si necesita ser un punto de acumulación del dominio de la función. Si acaso x0 ∈ D ∩ D' , entonces f es continua en x0 si y solo si: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0

3. Si x0 es un punto aislado del dominio de la función, entonces la función es continua en x0 4. La continuidad es una propiedad local, es decir, solo involucra al punto de continuidad y a una vecindad arbitrariamente pequeña. 5. Utilizando estas observaciones y el “álgebra” de límites, vale también el “algebra” de las funciones continuas: la suma, producto y cuociente de funciones continuas (donde no se anule el denominador) es continuo. Aquí puede agregarse también la operación composición: pero esto requiere de una

136

demostración, puesto que no aparece en nuestro teorema del álgebra de límites. 6. Si se restringe la función al lado izquierdo del punto, surge en forma natural el concepto de continuidad por la izquierda:

lim f ( x) = f ( x0 ) x ↑ x0

y de modo análogo el de continuidad por la derecha:

lim f ( x) = f ( x0 ) x ↓ x0

Ejemplos sen x no es continua en 0, pues 0 no está en el x dominio de la función . Pero posee una extensión continua: la ⎧ sen x ⎪ ,x ≠ 0 extensión de f definida por f ( x) = ⎨ x , ⎪⎩ 1, x = 0 es continua en 0

1. La función f ( x) =

2.

3.

La función parte entera : f ( x) = [x ] obviamente que no es continua en los enteros, pero es continua por la derecha en los enteros. La función identidad f ( x) = x es claramente continua, lo que se ve directamente de la definición. Por lo tanto , usando el álgebra de las funciones continuas, también lo serán todas las funciones polinómicas : f ( x) = a 0 + a1 x + .....a n x n y también las funciones racionales donde no se anule el denominador: a 0 + a1 x + ...a n x n R ( x) = b0 + b1 x + ...bm x m

137

⎧x 2 , x ≠ 0 4. La función f ( x) = ⎨ es discontinua en 0, pues el límite en ⎩ 1, x = 0 0 no coincide con el valor de la función. Este tipo de discontinuidades se suele llamar “reparable”, pues la función puede dar origen a una función continua redefiniendo la función en el punto 0. Este concepto de “reparabilidad” de las funciones es bastante controvertido: sugiere que las funciones discontinuas son anómalas, están mal definidas, como si la continuidad fuese una condición de “normalidad” de las funciones.

5.

1 ⎧ ⎪sen( ), x ≠ 0 La función f ( x) = ⎨ es claramente discontinua x ⎪⎩ 0, x = 0 en el punto 0 sin posibilidad alguna de ser “reparada”, pues no tiene límite es ese punto. Este tipo de discontinuidades se denomina “ de segunda especie”, para diferenciarlas de aquellas en que existen ambos límites laterales, las cuales se llaman “de primera especie”.

6.(*) Vamos a llamar función de Spivak a la función Sp : [0,1] → ℜ , definida por:

⎧ 0, si.x.es.irracional ⎪ ⎪ Sp ( x) = ⎨ 1, si.x = 0 p ⎪1 ⎪ q , si.x = q , p, q, primos.relativos ⎩ Una buena gráfica de esta función no es fácil de hacer, pero se puede ilustrar dibujando el valor de la función en algunos puntos:

138

Figura 4.5 Esta función es discontinua sobre los racionales del 1 p intervalo [0,1] . En efecto, si x = , entonces f ( x) = > 0 . q q Basta tomar como vecindad de este punto el intervalo ⎡ ⎤1 11 1 ⎥ q − ε , q + ε ⎢ con ε = 2 q . Entonces, para cualquier ⎣ ⎦ vecindad de x habrá puntos cuyos valores de función se salen de esta vecindad de f (x) , a saber, aquellos cuya valor de función es 0, o sea, los irracionales. Pero lo interesante es que esta función es continua sobre los irracionales: Sea x* un número irracional del intervalo [0,1] . 1 Sea ε > 0 , y sea n > . Para cada denominador

ε

p ∈ [0,1] q , a saber, aquellos donde p = 1,2,3...q . Tomar el racional r más cercano a x* y definir δ = r − x * > 0 . Entonces en la q = 1,2,3,4...n hay un número finito de racionales

vecindad ]x * −δ , x * +δ [ solo habrá racionales con p 1 1 denominador q > n , por lo tanto Sp ( ) = < < ε , lo q q n que demuestra la continuidad de esta función sobre los irracionales, ya que ella se anula sobre los irracionales.

139

TEOREMA 3. (Propiedades básicas de las funciones continuas) 1. Sea lim g ( x) = L ∈ ℜ , sea f continua en el punto L y sea a un x→a

punto de acumulación de dom( f D g ) . Entonces lim f ( g ( x)) = f (lim g ( x)) = f ( L) x→a

x→a

2. Sea f continua en a, f (a ) > c . Entonces hay una vecindad U de a tal que f ( x) > c, ∀x ∈ U . Análogamente, si acaso f (a) < c , hay una vecindad U de a tal que f ( x) < c, ∀x ∈ U 3. (Teorema del valor intermedio) Sea f : [a, b] → ℜ continua en [a, b] , y sea f (a) < c < f (b) (o bien f (a) > c > f (b) ). Entonces existe un x0 ∈ [a, b] , tal que f ( x0 ) = c . 4. (Teorema de los valores extremos) Sea f : [a, b] → ℜ continua en [a, b] . Entonces existen puntos x1 , x 2 ∈ [a, b ] tales que f ( x1 ) = inf( f [a, b]) y f ( x 2 ) = sup( f [a, b]) 5. (Teorema de la función inversa) Sea f : [a, b ] → ℜ inyectiva y continua. Entonces f es estrictamente monótona, el recorrido de la función f [a, b] es un intervalo y la función inversa f

−1

: f [a, b] → ℜ es continua.

DEMOSTRACIÓN 1. Sea lim g ( x) = L ∈ ℜ , sea f continua en el punto L y sea a un x →a

punto de acumulación de dom( f D g ) . Sea ε > 0 : por continuidad de f en L , existe δ > 0 tal que f ( y ) − f ( L) < ε para todo

y ∈ domf que cumpla y − L < δ . Pero para este δ , por definición de límite, existe una vecindad V de a tal que g ( x) − L < δ ,si acaso x ∈ V ∩ domg − {a}

140

Usando la misma vecindad V , si x ∈ V ∩ dom( f D g ) − {a} , entonces se tendrá en particular que g ( x) ∈ domf , y cumple las hipótesis , luego f ( g ( x )) − f ( L) < ε . 2. Sea f continua en a, f (a) > c . Tomar ε = f (a) − c > 0 . Por continuidad existe una vecindad V de a tal que, si x ∈ V ∩ dom( f ) , entonces f (a ) − f ( x ) ≤ f ( x) − f (a ) < ε = f (a ) − c , de donde

f ( x) > c . El caso en que f (a ) < c es completamente análogo. 3. Sea f : [a, b ] → ℜ continua en [a, b ] , y sea f (a) < c < f (b) . Construyamos el conjunto: A = {x ∈ [a, b] : f ( y ) < c, ∀y ∈ [a, x ]}. Este conjunto no es vacío pues contiene a a y es acotado superiormente por b. Luego, por el axioma del supremo existe x0 = sup( A) . Además x0 ≤ b por ser b una cota superior y x0 ser la menor. Además x0 ≥ a por ser a elemento de A y x0 una cota superior de A. Por lo tanto x0 ∈ [a, b] = dom( f ) . En particular, f es continua en x0 . Demostraremos que este punto satisface la propiedad f ( x0 ) = c . Supongamos que f ( x0 ) < c : por el punto anterior habría una vecindad de a donde esto ocurre, en particular habría un x1 > x0 donde f ( x1 ) < c , con lo

cual x0 no sería cota superior de A. Del mismo modo, si f ( x0 ) > c , habría una vecindad con esa misma propiedad y ninguno de esos puntos estaría en A, con lo cual habría cotas menores que x0 , es decir, x0 no sería supremo. El caso f (a) > c > f (b) es completamente análogo. 4. Sea f : [a, b] → ℜ continua en [a, b] . Demostraremos primero que el conjunto f [a, b] es acotado. Sea : A = {x ∈ [a, b] : f [a, x ].es.a cot ado}. Es claro que A ≠ φ , pues a ∈ A , además A está acotado por b. Por el axioma del supremo existe x0 = sup( A) . Por el punto anterior, la función f es acotada en una vecindad de cada punto de continuidad, en particular, x0 > a . Además x0 ≤ b , luego x0 ∈ [a, b] . Si suponemos que x0 x0 donde f [a, x ] es acotado , luego x0 no sería supremo. Luego x0 = b . Finalmente f es acotada en una vecindad de b, con lo que el conjunto f [a, b ] es acotado. Llamemos α = inf( f [a, b]) , y ω = sup( f [a, b ]) . Debemos demostrar que tanto α como ω están en el recorrido de la función. Supongamos que ω ≠ f ( x), ∀x ∈ [a, b] . Se tendría que 1 es continua en [a, b] y por lo tanto la función ω − f ( x) acotada allí. Esto, sin embargo, no es cierto, pues si nos damos 1 y, por definición de supremo K > 0 bastará tomar ε = K habría x ∈ [a, b] tal que f (x) > ω − ε , es decir, 1 1 0 < ω − f ( x) < ε , luego: > = K . Análogamente ω − f ( x) ε ocurre con α . Esto demuestra que ambos puntos son asumidos por la función en el intervalo [a, b ] . 5. Sea f : [a, b] → ℜ inyectiva y continua. Demostraremos este teorema en varios pasos: •

Sea x < y < z ∧ f ( x) < f ( z ) : entonces f ( x) < f ( y ) < f ( z ) . En efecto, si no es así, por el teorema del valor intermedio ya demostrado, se contradiría la inyectividad de la función. La Figura 4.5 ilustra este comportamiento.

Figura 4.6

142

• •

• •

Análogamente, si x < y < z ∧ f ( x) > f ( z ) , entonces f ( x) > f ( y ) > f ( z ) . Sea ahora x < y ∧ f ( x) < f ( y ) y tomemos un punto z fuera del intervalo z < x < y . Entonces debe ocurrir f ( z ) < f ( x) , de lo contrario se contradiría el punto anterior tomando y como punto intermedio. Análogamente, si y < z , se debe tener f ( y ) < f ( z ) Análogamente si x < y ∧ f ( x) > f ( y ) Aplicando todos los puntos anteriores, si f (a) < f (b) , entonces f es estrictamente creciente. Si en cambio f (a) > f (b) , entonces f es estrictamente decreciente.

Hemos demostrado que rec( f ) = [ f (a), f (b)] , si f es creciente y rec( f ) = [ f (b), f (a )] si f es decreciente.

Sea ahora f −1 : rec( f ) → [a, b] . Demostraremos la continuidad de esta función en todo su dominio. Sea y 0 ∈ rec( f ) , luego existe un único x0 ∈ [a, b] , tal que f ( x0 ) = y 0 . Sea ε > 0 : tomemos

δ = min{ f ( x 0 + ε ) − y 0 , y 0 − f ( x0 − ε )}

Para el caso creciente (luego f −1 también es creciente), si y < y 0 + δ ≤ y 0 + f ( x0 + ε ) − y 0 = f ( x0 + ε ) , aplicando f

−1

se

tiene: f −1 ( y ) < f −1 f ( x0 + ε ) = x0 + ε = f −1 ( y 0 ) + ε . Si y > y 0 − δ ≥ y 0 − y 0 + f ( x0 − ε ) = f ( x0 − ε ) , entonces: f

−1

( y ) > x0 − ε = f

−1

( y 0 ) − ε . Por lo tanto juntando estas dos

últimas desigualdades: f continuidad.

−1

( y) − f

−1

( y 0 ) < ε , lo que demustra la

El caso decreciente es enteramente análogo. Q.E.D

Corolarios y observaciones. 1. Si la función f no es continua el punto 1 del Teorema puede fallar: ⎧1, x = 0 Sea f ( x) = ⎨ y g ( x) = x . Entonces lim g ( x) = 0 , luego x →0 ⎩0, x ≠ 0

143

f (lim g ( x)) = f (0) = 1 . Pero lim f ( g ( x)) = lim f ( x) = 0 . x →0

x →0

x →0

2. Esta observación nos debiera poner en alerta respecto al “cambio de variables” en los límites. Un ejemplo simple al respecto es el ⎧ 1, x > 0 ⎪ siguiente: sea f ( x) = ⎨ 0, x = 0 . Claramente no existe lim f (u ) . u →0 ⎪− 1, x < 0 ⎩ Pero si hacemos el “cambio de variables “ x 2 = u tendríamos lim f ( x 2 ) = 1 . x →0

3. Podemos demostrar un verdadero teorema de cambio de variables (Teorema de Substitución) si agregamos las suficientes hipótesis y utilizamos adecuadamente nuestro Teorema: •

Sea lim f (u ) = L

•

Sea lim u (t ) = u 0

• •

Sea rec(u ) ⊆ dom( f ) Sea u (t ) ≠ u 0 , ∀t ∈ V − {t 0 }, V .vecindad .de.t 0

•

Entonces efectivamente lim f (u (t )) = L

u →u 0 t →t 0

t →t 0

Para demostrar esto, comenzamos por definir f (u 0 ) = lim f (u ) = L , con lo cual f se extiende continuamente a u →u 0

u 0 . La cuarta hipótesis permite asegurar que t 0 es un punto de acumulación del dominio de la función compuesta f D u . Finalmente, aplicando el teorema, obtenemos lim f (u (t )) = f (lim u (t )) = f (u 0 ) = L = lim f (u ) t →t 0

t →t 0

u →u 0

4. De este mismo punto del Teorema podemos extraer el corolario: la compuesta de dos funciones continuas es continua, más precisamente: si g es continua en a y f es continua en g (a) , entonces f D g es continua en a.

144

5. El Teorema del valor intermedio permite finalmente demostrar la existencia de raíces de cualquier orden de números positivos. En efecto, consideremos la función f : [0, ∞[ → [0, ∞[ definida por f ( x) = x n . Esta función es continua, pues es el producto de la función identidad n veces, es estrictamente creciente, por las propiedades ya estudiadas de las desigualdades. Además lim x n = ∞ . Por lo tanto, si a es un número real positivo, habrá x →∞

otro número c ≥ 0 tal que c n > a , luego, tenemos una función continua tal que 0 = f (0) ≤ a < f (c) , por lo tanto, existe un número b ≥ 0 , talque f (b) = b n = a , es decir, b = n a . Además este número es único por ser la función estrictamente creciente. La unicidad permite demostrar las propiedades básicas de las raíces: • n ab = n a n b . En efecto, basta probar que el número n

a n b satisface la condición de raíz n-ésima, es decir, es

un buen “candidato”: ( n a n b ) n = ( n a ) n ( n b ) n = ab , lo que es una simple aplicación de la conmutatividad del producto. •

a m = ( n a ) m . Esta es una generalización de la propiedad anterior y puede demostrarse por inducción. Pero también por la unicidad basta comprobar que ambos números satisfacen la condición de raíz n-ésima: si se eleva a la potencia n el lado derecho, se comprueba que resulta a m n

Finalmente el Teorema de la función inversa permite demostrar que la función g ( x) = n x , con dominio [0, ∞[ , es continua. 163 = 119 tiene al 1 + x + sen 2 x menos dos soluciones en ℜ . Esta ecuación es del tipo trascendente, es decir, mezcla potencias con funciones trascendentes (como la función seno). No hay más que métodos aproximados para el estudio de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, la pregunta por la existencia de soluciones se puede

6. Demostrar que la ecuación: x179 +

145

2

responder fácilmente utilizando el Teorema del Valor 163 Intermedio. En efecto, la función x179 + es 2 1 + x + sen 2 x claramente continua en todo ℜ . Si evaluamos en 0, obtenemos el valor 163 que es mayor que 119. Evaluando en 1, se obtiene un número menor que 83, que es menor que 119. Luego, en el intervalo [0,1] debe haber una solución. Finalmente, si evaluamos en 2, la función toma un valor mayor que 2179 ≈ 3.7 × 10 53 , que es obviamente mayor que 119, luego, en el intervalo [1,2] debe haber otra solución.

4.4

PROBLEMAS

1 1 1. Hallar una función que sea discontinua en 1, , ,...... pero 2 3 continua en todos los demás puntos. 1 1 2. Hallar una función que sea discontinua en 1, , ,...... y en 0, 2 3 pero continua en todos los demás puntos. 3. Suponga que la función f satisface la propiedad f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℜ y que es continua en 0. Demuestre que entonces es continua en todos los puntos. 4. Para cada una de las siguientes funciones, decida cuáles están acotadas superiormente o inferiormente en el intervalo indicado, y cuáles alcanzan sus valores máximo o mínimo: • • • •

f ( x) = x 2 en ]− 1,1[ f ( x) = x 3 en ]− 1,1[ f ( x) = x 2 en ℜ f ( x) = x 2 en [0, ∞[

146

•

•

•

•

•

⎧ x2, x ≤ a , en [a − 1, a + 1] (aquí será f ( x) = ⎨ ⎩a + 2, x > a necesario distinguir distintos valores posibles de a ) ⎧ 0, x.irracional ⎪ ⎪ f ( x) = ⎨ 1, x = 0 en [0,1] p ⎪1 ⎪ q , x = q . fracción.irreducible ⎩

⎧ 1, x.irracional ⎪ ⎪ f ( x) = ⎨ 1, x = 0 p ⎪1 ⎪ q , x = q . fracción.irreducible ⎩

en [0,1]

⎧ 1, x.irracional ⎪ ⎪ en [0,1] f ( x) = ⎨ 1, x = 0 p 1 ⎪ ⎪− q , x = q . fracción.irreducible ⎩ ⎧ x, x.racional f ( x) = ⎨ ⎩0, x.irracional

5. Suponga que f es continua en [a, b] y que f ( x) es siempre racional. ¿Qué puede decir acerca de f ? 6. ¿Cuántas funciones continuas f existen que satisfacen la relación ( f ( x)) 2 = x 2 para todo x ? 7. Un conjunto de números reales se dice abierto , si es vecindad de todos sus puntos, es decir, cada elemento admite una vecindad contenida completamente en el conjunto. Suponga que la función f es continua en todo ℜ y que A es un conjunto abierto en ℜ . Demuestre que el conjunto f −1 ( A) =: {x ∈ ℜ : f ( x) ∈ A} es también abierto.

147

8. ¿Cree Ud. que la ecuación trascendente log x − 2 cos x = 0 tiene ⎡ π⎤ una solución en el intervalo ⎢0, ⎥ ? ¿Es única ? ⎣ 2⎦ 9. ¿Ocurre lo mismo con la ecuación log((1 + senx) − cos x = 0 ? 10. ¿Será cierto que toda función continua f : [0,1] → [0,1] posee un punto fijo , es decir un número x ∈ [0,1] tal que f ( x) = x ? 11. ¿Cree Ud. Que exista una función que sea continua en un único punto a y sea discontinua en todos los demás? 12. Si f y g son dos funciones reales, vamos a definir la envolvente superior de f y g por ( f ∨ g )( x) = max{ f ( x), g ( x)} y, análogamente la envolvente inferior de f y g por ( f ∧ g )( x) = min{ f ( x), g ( x)} . ¿Porqué cree Ud. Que se llaman “envolventes”? (hágase un dibujito: le servirá). Si tanto f como g son continuas en un punto x ¿lo serán también ambas envolventes? 13. Determinar los valores que deben tomar los parámetros A y B π ⎧ ⎪ − 2senx., x ≤ − 2 ⎪⎪ π π sea para que la función f ( x) = ⎨ Asenx + B,− < x < 2 2 ⎪ π ⎪ cos x, ≤ x ⎪⎩ 2 continua en toda la recta real. 14. Generalice el método empleado en el punto anterior enunciando y demostrando un “Teorema de Anudamiento de Funciones Continuas” , para funciones que están definidas por tramos.

148

Jorge González - Cálculo 1.pdf

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