Tugas Formatif Profesional
NAMA
: HARJI, S.Pd
NO. PESERTA
: 18230218010025 182302180100 25
Bidang Studi Sertifikasi
: 180 – Matematika Matematika
Sekolah Asal
: SMKS NURUL AZMI BATU BELEK – JANAPRIA JANAPRIA
====================== ================================ ======================= ======================= ====================== ============
1.
Titik pusat dari lingkaran-lingkaran kongruen yang berdiameter 24 pada gambar di bawah ini terletak pada titik-titik sudut bidang datar tak beraturan. Keliling daerah yang diarsir adalah…
Penyelesaian
Pada gambar di atas tampak bahwa 12 lingkaran ditutup oleh sebuah bidang segi banyak yang tersusun dari 10 segitiga. Sehingga besar sudut dalamnya adalah 10 × 1800 = 18000 ini berarti jika dibuat menjadi lingkaran maka akan terbentuk 5 buah lingkaran. Maka,
ℎ = 12− 5 = keliling 7 lingkaran
K arsir
Keliling 7lingkaran 72 r 22 7 2 12 7 2 22 12 528
Jadi luas daerah yang di arsir adalah 3168 satuan luas 2.
dan berturut-turut merupakan titik potong diagonal pada persegi kecil dan persegi besar. Titik-titik , , , dan terletak pada garis lurus. Agar daerah yang diarsir memiliki luas setengah dari luas persegi kecil, jarak titik dan haruslah…
Penyelesaian
diketahui Sisi Persegi kecil 4 sisi persegi besar 10 titik A, S , N , B terletak pada garis lurus Panjang garis AB ... AB AN SN SN
a. Mencari nilai diagonal SN
Lkecil 4 2 16 1
Larsir
Lkecil
Larsir
d 1 d 2
8
d 1
16
d 1 2 4
d 1
2 8
, d diagonal
2 2
, d 1
2
d 2
sehingga panjang SN 4cm
b. mencari nilai AN 2
Lkecil 16
d
2
d 2 2
d
32
d
4 84 2
2
AN
1 2
d
4 2 2
2 2
c. mencari nilai SB 2
d besar
100
d besar
d besar
200 10 2
SB
Lbesar
2 2
2 d besar 2
10 2 2
5 2
AB
AN SB SN 2 2 5 2 4 7 2 4
Jadi panjang AB adalah
3.
− satuan panjang
Perhatikan gambar di samping ini. Panjang CP adalah…
Penyelesaian
Diketahui : DP
=3
AP
=5
BP
= 160 = 4 10
Ditanyakan panjang CP=…?
CP 2
b 2 d 2
b2 c2
160
2
b2 c2
160
(i)
a 2 c 2 52
a2 c2
25
a 2 d 2 3 2
a 2 d 2 9
ii iii
Eliminasi (i) dan (ii)
b 2 c 2 160 a 2 c 2 25
b 2 a 2 135
iv
Eliminasi (iv) dengan (iii)
b 2 a 2 135 a 2 d 2
9
b 2 d 2
144
maka CP 2 144 CP 144 12 Jadi panjang CP adalah 12 satuan panjang
4.
dengan panjang
Suatu gubuk di tengah lapangan rumput berbentuk persegi
sisi 4m. Seekor kambing diikat di A dengan tali sepanjang 6m. Tentukan luas padang rumput yang dapat dimakan kambing! Penyelesaian
Diketahui panjang sisi gubuk 4 m dan kambing diikat tali dengan panjang 6 meter di titik A, maka luas padang rumput yang dapat dimakan kambing dapat digambarkan seperti berikut:
Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa kambing akan memakan rumput dengan 3
1
1
luas 4 dari lingkaran dengan jari-jari 6 dan 2 × 4 = 2lingkaran dengan jari 2, maka
3 1 Luas padang rumput Lling besar Llingk . kecil 4 2 Llingk . besar
r 2 6 2 36
Llingk . Kecil
r 2 2 2 4
maka 3 1 Luas padang rumput Lling besar Llingk . kecil 4 2 3 1 36 4 4 2 27 2
29 jika 3.14 maka Luas padang rumput 29 3.14 91.06 meter
2
Jadi luas padang rumput yang dapat dimakan kambing adalah 91.06 meter 2 5.
Banyaknya jalan terpendek dari
ke melewati grid pada gambar di bawah ini
adalah…
Penyelesaian
Banyak jalan terpendek dari P ke Q melewati grid pada gambar di bawah ini
Melalui:
P ke D : 1 jalan D ke Q : 1 jalan P ke A : 4 jalan A ke Q : 5 jalan P ke B : 12 jalan B ke Q : 3 jalan P ke C : 3 jalan C ke Q : 1 jalan
Jadi banyaknya jalan terpendek dari P ke Q adalah
+ = + + + = jalan 6.
+ +
Banyak bilangan asli kurang dari 10.000 dengan jumlah digit pertama dan terakhir sama dengan 11 adalah… Penyelesaian
Diketahui bilangan asli kurang dari 10.000 adalah 1,2,3, … , 9.999 Ingin dicari banyak bilangan yang digit pertama dijumlahkan dengan digit terakhir sama dengan 11 maka akan didapatkan digit pertama dan digit terakhir sebagai berikut: no
Digit pertama
Digit terakhir
1.
2
9
2.
3
8
3.
4
7
4.
5
6
5.
6
5
6.
7
4
7.
8
3
8.
9
2
Jadi terdapat 8 susunan bilangan yang jumlah digit pertama dan digit terakhir samadengan 11
a. Susunan 4 digit bilangan asli Digit I
Digit II
Digit III
8
10
10
Digit IV Bersyarat
ke
digit I Sehingga terdapat 8 × 10 × 10 = 800 susunan bilangan b. Susunan 3 digit bilangan asli Digit I
Digit II
8
10
Digit III Bersyarat
ke
digit I Sehingga terdapat 8 × 10 = 80 susunan bilangan
c. Susunan 2 digit bilangan asli Digit I 8
Digit II Bersyarat
ke
digit I Sehingga terdapat 8 = 8 susunan bilangan Dengan demikian banyaknya bilangan asli kurang dari 10.000 yang jumlah digit pertama ditambah digit terakhir samadengan 11 adalah 800 + 80 + 8 = 888 susunan bilangan.
7.
Dua mata uang dittos empat kali berturut-turut. Peluang muncul angka yang pertama pada pengetosan keempat adalah…. Penyelesaian
Misalkan kedua sisi mata uang adalah A(angka) dan G(gambar), maka peristiwa yangdapat terjadi dalam setiap kali pelemparan adalah; AA, AG, GA, dan GG. Dengan demikian, banyak peristiwa dalam empat kali pelemparan adalah 44 . Peristiwa munculnya angka(A) pertama pada pelemparan keempat berarti pada pelemparan pertama, kedua, dan ketiga kedua mata uang selalu muncul gambar(GG). Seperti terlihat pada gambar:
Dengan demikian, banyak peristiwa yang dimaksud adalah 3.
8.
8
− 2
Konstanta dari 3
adalah…
Penyelesaian 8
2
3 − 1 1
1
1
2
1 1 1 1
5
7
1
4
6
1
3
8
6
15
28
3
10
21
1
4 10
20 35
56
1 1 5 15
35 70
1 6
21 56
1 7
28
1 8
1
4
2 2 3 x 83 x ... 703 x ... x x x 8
7
2
4
4
2 703 x 70 3 4 2 4 70 81 16 90.720 x 4
9.
Banyaknya bilangan lima digit dengan digit pertama tidak nol dan jumlah semua digitnya sama dengan 2 adalah… Penyelesaian 1
1
0
0
0
Karena digit pertama tidak boleh nol maka banyaknya bilangan lima digit yang digit pertamanya 1 dan jumlah semua digitnya 2 adalah :
4! 3!
4 susunan 2
0
0
0
0
Karena digit pertama tidak boleh nol maka banyaknya bilangan lima digit yang digit pertamanya 2 dan jumlah semua digitnya 2 adalah :
4! 4!
1 susunan
Sehingga banyak susunan lima digit yang digit pertamanyatidak boleh nol dan jumlah semua digitnya 2 adalah 4+1= 5 susun.
10. Jika P, Q, dan R adalah angka-angka dari suatu bilangan, dan (100P + 10Q + R)(P + Q + R) = 2008, maka nilai Q = …. Penyelesaian:
Faktorisasi prima dari 2008 adalah 23 × 251 (100P + 10Q + R)(P + Q + R) = 2008 Sehingga dapat diuraikan ke dalam fakornya sebagai berikut:
100 + 10 + + + = 2518 (100(2) + 10(5) + 1)(2 + 5 + 1) = (251)(8)
Jadi, Q = 5
11. Jika rata-rata dari 15 bilangan bilangan asli berbeda adalah 12, maka bilangan asli terbesar = … Penyelesaian
Diketahui rata-rata=12 Ditanyakan bilangan terbesar Misalkan 15 bilangan asli tersebut adalah
14 maka
+ + 1 + + 2 + ⋯ + +
x
x
12
180 180
15 x S 14 15 x 715 15 x 7
x 7
180
n
n x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 14) 15
180
x 7
15 12
x
5
Suku terbesar adalah x+14=19. Jadi, bilangan terbesar dari 15 bilangan asli berbeda yang memiliki rata-rata 12 adalah 19
12. Jika
173 61
= a +
1
+
, maka 25a + 5b + 100c + 500d = …
1 1
+
Penyelesaian 173 61
2
2
51 61 1 61 51
2
1 1
2
10 51
1 1
1 51 10
1
2 1
1 5
1 10
Maka nilai a, b, c dan d berturut-turut adalah 2, 1, 5 dan 10 sehingga
+ 5 + 100 + 500 = 2 5 × 2 + 5 × 1 + 1 0 0 × 5 + 500 × 10
25
= 5555
13. Huruf ke 2018 dari OLIMPIADESAINSOLIMPIADESAINSOLIMPIADESAINS… adalah … Penyelesaian
Jumlah huruf berulang OLIMPIADESAINS = 14 Maka Didapatkan 2018 =2 mod 14 Karena residu 2018 = 2 mod 14 adalah 2 maka huruf ke 2018 dari OLIMPIADESAINSOLIMPIADESAINSOLIMPIADESAINS…. Adalah huruf L
14. Banyaknya susunan 3 huruf yang mungkin yang bisa dibentuk dengan menggunakan huruf-haruf dari MATEMATIKA adalah… Penyelesaian
Banyak susunan 3 huruf, berarti k = 3. Banyak huruf penyusun, n = 6. Banyak susunan 3 huruf dari MATEMATIKA:
= =6 = 216 6
3
6
Jadi banyak susunan 3 huruf dari MATEMATIKA adalah 216 susunan.
15. Bola dan digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar berikut :
Diameter lingkaran pertama dan kedua berturut-turut adalah 8 dan 18.Jika jarak ujung tali l dan n pada kawat adalah 5 dan panjang tali l adalah 10, maka panjang minimum tali n agar kedua tali bisa sejajar dan bola tidak saling menekan adalah… Penyelesaian
Diketahui dkecil
=8
dbesar
=18
jarak tali l dan n adalah 5 panjang l = 10 tali akan sejajar apabila bola besar ditempatkan dibawah bola kecil. Karena jari-jari bola besar lebih besar dari jarak antara tali l dan n
Perhatikan
OR
∆
OP 2 PR 2 132 5 2 144 12
QR
OR QO 12 9 3
n
l r ling .kecil QR 10 4 3 17
Jadi panjang minimum tali n adalah 17 satuan panjang
