DIVIDIR CON DIFICULTAD O LA DIFICULTAD DE DIVIDIR Irma Saiz "Dura cosa é la partita" (Antiguo refrán italiano) Asunto difícil la división.
INTRODUCCIÓN En la Antigüedad sólo los hombres sabios sabían dividir. Los métodos de resolución eran numerosos. Métodos difíciles que se asimilaban con gran trabajo y solamente después de una prolonga práctica; para resolver con rapidez y exactitud la multiplicación y la división de números con varias cifras significativas era necesario un talento natural especial, capacidad excepcional: sabiduría que para los hombres sencillos era inaccesible... Nuestros antepasados emplearon métodos mucho más lentos y engorrosos, y si un escolar del siglo XX pudiera trasladarse tres o cuatro siglos atrás, sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos aritméticos. El rumor acerca de él recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando la gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegarían gentes a aprender del nuevo gran maestro el arte de calcular.
Estos párrafos extraídos del interesante libro de Y. Perelman, Aritmética recreativa, nos hablan de un escolar actual poseedor del gran arte de saber calcular una división, utilizando un método
rápido, eficaz, elegante, útil para la división de todos los números posibles... Es verdad que los algoritmos han evolucionado y mucho, desde el "método de la galera" que también incluye Perelman en su libro, hasta el algoritmo actual. Es verdad que contamos con un algoritmo eficaz y rápido, válido para todos los números, y más aún contamos con máquinas (calculadoras y computadoras) que resuelven los cálculos en aún menos tiempo que las personas. Pero, ¿qué sucede en las escuelas, con niños que en principio ya aprendieron a dividir? En este artículo trataremos de mostrar algunas de las dificultades que enfrentan (y no resuelven) muchos niños de escuelas primarias en el tema de la división. Si bien se apoya sobre algunos datos estadísticos obtenidos de un estudio exploratorio realizado con 300 alumnos de 5Q y 6S grado, pertenecientes a 12 grados diferentes, no es un informe de investigación; trata de aportar a los maestros algunos recursos para interpretar los resultados que encuentran en sus aulas a partir de las dificultades de sus alumnos y de los procedimientos inadaptados que ponen en juego aún en 5° y 6° grado. Nos apoyaremos además en investigaciones y publicaciones sobre el tema, de la Didáctica de la Matemática, especialmente las de Guy Brousseau. El estudio exploratorio de las dificultades de los niños en relación con la división fue planteado a maestros de 5 a y 6a grado que participaron de un curso de perfeccionamiento, y consistió en 5 problemas y 4 cálculos dados a los alumnos en forma individual y escrita. Los enunciados se incluyen en el Anexo (pág. 216). El curso de perfeccionamiento citado fue organizado por la Asesoría Técnico-Pedagógica del Consejo General de Educación de la Provincia de Corrientes. Frecuentemente, cuando se inicia el trabajo de reflexión con docentes en cursos de actualización, se recurre a plantear distintas operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Los resultados de los cálculos con las tres primeras operaciones generalmente
coinciden; no ocurre lo mismo en los correspondientes a la división. Pensemos por ejemplo en dividir: 1) 2) 3)
85 ÷ 5 5÷2 2÷5
4) 5)
47 ÷ 6 35 ÷ 16
Seguramente todos los docentes encuentran 17 en el primer caso; en el segundo ya pueden aparecer dos respuestas: 2,5 o bien 2, aclarando a veces que se trata del cociente entero. En el tercer caso muchos docentes dan por respuesta 0,4. Otra respuesta mucho más rara es cociente 0 y resto 2. Para 47 ÷ 6 hay gran variedad: — no es divisible — el cociente entero es 7, el resto es 5 — o bien otras respuestas como: 7,83; 7,833; y "no se termina nunca" — el cociente es 47/6 Finalmente para 35 ÷ 16 las respuestas son aún más numerosas: — 35/16; treinta y cinco dieciseisavos — el cociente entero es 2, el resto 3 — se plantea la operación y el cálculo es prolongado hasta obtener 1, 2 o más decimales, de ahí los resultados: 2, 1; 2, 18; 2, 187; 2, 1875; o "2,1875 y terminé". (Este análisis fue extraído de ERMEL CM1, 1982.) Lo anterior muestra que "dividir un número por otro" en realidad es una expresión vaga; hace aparecer diferentes tipos de cocientes (enteros, decimales no enteros, etc.). En muchos problemas se busca distribuir objetos a personas, respetando las condiciones siguientes: — no se distinguen los objetos, unos en relación con otros; sólo importa su número,
— lo mismo sucede con las personas, — las partes tienen todas el mismo número de objetos, — este último número es el más grande posible, lo que equivale a decir que restará la menor cantidad posible de objetos no distribuidos (eventualmente, puede no sobrar ninguno). Si bien esta caracterización permite abarcar una serie de problemas, no los incluye a todos, no siempre son objetos repartidos entre personas, frecuentemente se relacionan con medidas, e incluyen decimales o fracciones..., lo que dificulta la identificación de la división. Cuando se plantea una división, ¿quién decide si se busca un cociente entero o no?, ¿si se debe continuar hasta obtener 2 decimales?, ¿o 3?, ¿o más? ¿Es necesario analizar el resto? Y la respuesta, ¿es la misma si esta pregunta se plantea en la escuela o en la vida diaria? En los ejemplos anteriores, se trataba de la división de dos números naturales, si bien en su cociente aparecían números naturales o no. Pero también podemos definirla en los decimales, o en los racionales; diferentes divisiones unificadas por un solo nombre: división. Aparecen, además (APMEP, 1975), otras denominaciones o expresiones relacionadas con ella, como: división exacta, división con o sin resto, cociente entero, cociente aproximado por defecto o por exceso, cociente dado con una aproximación de, etcétera: a) "División exacta", "división sin resto", aluden a la división euclidiana que posee un resto nulo. El calificativo de "exacta" es engañoso porque deja entrever que existen divisiones que son inexactas; "sin resto" no es una expresión más feliz porque el cero también es un resto. Estas expresiones pueden ser omitidas si se utilizan otras como: "en la división euclidiana de... por..., el resto es nulo" o bien "...es múltiplo de...", etc., pero las primeras son expresiones fuertemente asimiladas a la tradición escolar, y las segundas son de una precisión tal que no tienen cabida en el aprendizaje de la división tal como se plantea en general hoy día.
b) "Cociente entero" posee al menos tres sentidos: — cociente euclidiano: por ejemplo, el cociente entero de 17 por 5 es 3; — cociente euclidiano en el caso en que el resto es nulo: por ejemplo, el cociente entero de 15 dividido por 5 es 3; — aproximación entera por defecto del cociente de un decimal por otro: por ejemplo, el cociente entero de 17,75 dividido por 5,01 es 3. Generalmente es este tercer sentido el más usual. Habría que agregar, además, la expresión "el cociente de dividir a por b es entero", que provee información sobre qué tipo de número es el cociente. c) "Cociente exacto". Puede criticarse como en el caso a), y en lugar de la expresión "5 es el cociente exacto de 15 por 3", puede decirse: "5 es el cociente de 15 por 3" y, si es necesario, aclarar que el resto es nulo. Estos términos tal vez se originaron en la clasificación que se realizaba tradicionalmente en la escuela de los distintos casos de división: división de un entero por un entero; de un decimal por un entero; de dos decimales entre sí; de dos enteros con cociente decimal, etcétera. Todo lo anterior va dando una primera idea de las dificultades a las que se enfrentan los niños cuando inician el aprendizaje de la división, y también a lo largo de éste cuando se van encontrando, uno atrás del otro, con los diferentes significados de la división. En este capítulo se presentarán primero algunas consideraciones teóricas sobre el significado de la división, en segundo término un análisis de la resolución de problemas, en particular en relación con los planteos y, finalmente, un análisis de los algoritmos utilizados por los alumnos.
ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA DIVISIÓN Como menciona Roland Charnay (1988), uno de los desafíos esenciales, y al mismo tiempo una de las dificultades principales de la enseñanza de la matemática, es precisamente que lo enseñado esté cargado de significación, que tenga un sentido para el alumno. Y continúa señalando que "La construcción de la significación de un conocimiento debe ser pensada a dos niveles: un nivel externo: cuál es el campo de utilización de este conocimiento, y cuáles son los límites de ese campo... y un nivel interno: cómo funciona tal recurso y por qué funciona." Guy Brousseau (1987) habla de estos dos niveles como de las dos componentes de la comprensión: — una se expresa más bien en términos de semántica. "Comprender" es ser capaz de reconocer las ocasiones de utilizar el conocimiento y de invertirlo en nuevos dominios; — la otra se expresa en términos de necesidades lógicas o matemáticas o, de forma más general, sintácticas. El alumno que puede comprender puede "razonar" sobre su saber, analizarlo o combinarlo con otros. Algunas de las preguntas que pueden plantearse son, por ejemplo, ¿cuál es el sentido de la división?, es decir, ¿qué significado atribuyen los alumnos a este concepto?, ¿cómo reconocen que un problema es de división? o, más bien, ¿cómo concluyen que planteando y resolviendo una división se resuelve el problema (nivel externo), aun cuando se trate de problemas en principio tan disímiles como la lista que se incluye a continuación?, ¿qué tienen en común estos problemas? y ¿cómo funciona la división?, ¿cómo se relaciona con la multiplicación, la suma y la resta?, ¿qué propiedades la caracterizan y a la vez la distinguen de las otras operaciones? (nivel interno). Algunos problemas de dividir (Peault, 1988):
1. Se dispone de 47 mosaicos para la pared del baño. Se colocan 6 mosaicos en cada fila. ¿Cuántas filas se podrán colocar? 2. Si se cuenta para atrás de 6 en 6 a partir de 47, ¿cuál será el último número enunciado? 3. De una varilla de madera de 47 cm, ¿cuántos trozos de 6 cm se pueden cortar? 4. De una varilla de madera de 47 cm se quieren hacer 6 pedazos de la misma longitud, ¿cuál será esa longitud? 5. Las cajas para casetes pueden contener 6 cada una, ¿cuántas cajas se necesitan para ubicar 47 casetes? 6. Se reparten equitativamente 47 bolitas entre 6 niños, dándole a cada uno el máximo posible, ¿cuántas tendrá cada uno? 7. Se reparten equitativamente 47 bolitas entre 6 niños, dándole a cada uno el máximo posible, ¿cuántas bolitas no serán repartidas? 8. Se reparten equitativamente $47 entre 6 personas. ¿Cuánto se le da a cada una? 9. Se deben repartir 47 litros de vino en garrafas de 6 litros. ¿Cuántas garrafas serán necesarias? 10. Seis personas heredan juntas un terreno de 47 hectáreas que deciden repartir en 6 lotes de la misma superficie. ¿Cuál será la superficie de cada lote? 11. Si se multiplica un número por 6, se obtiene 47. ¿Cuál es ese número? 12. En una calculadora se aprietan sucesivamente las teclas "4", "7", "+", "6", "="; ¿qué aparece en el visor? Todos estos problemas se relacionan de una u otra manera con la división 47 ÷ 6, si bien se trata de situaciones muy diferentes entre sí. En la práctica escolar, en general los docentes realizan una distinción entre (Brousseau, 1987):
— aquellas actividades que apuntan a la adquisición de los saberes institucionalizados, tales como los algoritmos de cálculo, las definiciones canónicas o las propiedades fundamentales, y — aquellas que apuntan a la comprensión y al uso de esos saberes. La enseñanza de los conocimientos tales como algoritmos, propiedades o definiciones son fácilmente organizables en el salón de clase; son identificables, descriptibles y su adquisición es verificable de forma simple. Así, para evaluar si los alumnos "saben dividir" es suficiente plantearles varias cuentas y verificar sus resultados. Además, se trata de técnicas conocidas por la sociedad. Los padres también pueden saber si sus hijos aprendieron a dividir o no. En cambio, al hablar de reconocimiento de situaciones de división, de significados del concepto, se entra en un terreno mucho más ambiguo y difícil de identificar. Tanto los docentes como los padres quisieran que la enseñanza lograra en los alumnos no sólo el conocimiento de los saberes institucionales, sino también la comprensión, pero ante la falta de una solución evidente, el aprendizaje de los algoritmos termina por eliminar la búsqueda de la comprensión. La enseñanza, en general, de las operaciones matemáticas está basada en la comunicación de un procedimiento de cálculo asociado posteriormente a un pequeño universo de problemas que se supone "cargarán" de significado al concepto. Pero, aislados de su contexto, los algoritmos se convierten en respuestas adquiridas para preguntas "a venir" sobre las cuales no se sabe mucho. Los algoritmos se aprenden sabiendo que servirán para resolver problemas, pero se ignora de qué problemas se trata. En el nivel de la investigación y resultados de la Didáctica de la Matemática, pueden señalarse dos períodos diferentes; en sus inicios se planteaba que la adquisición del sentido quedaba totalmente a cargo del profesor, quien, con una apropiada selección de situaciones de aprendizaje y de su encadenamiento, debía construir,
como único responsable, el sentido de los conocimientos enseñados en la cabeza del alumno, cuya participación se reducía a aceptar con docilidad las propuestas y resolver los problemas. En una segunda etapa, primero fue puesta en evidencia la necesidad de cierta institucionalización de los saberes y luego la existencia de obstáculos de diversos orígenes, es decir de errores que el alumno debe rechazar explícitamente, e incluir ese rechazo en sus conocimientos. Este aporte implica que el sentido de un concepto debe, por lo menos, ser asumido como objetivo y, por lo tanto, negociado, consentido y explicitado. Queda aún por determinar: ¿qué situaciones plantear?, ¿qué estrategias de enseñanza?, ¿con qué modificaciones de las concepciones de los profesores y padres? En la actualidad, las investigaciones se desarrollan en la dirección de plantear si una actividad reflexiva (cuál, en qué condiciones, etc.) puede mejorar la comprensión de las nociones y la eficiencia de los aprendizajes (cómo verificarla...). Variables pertinentes Cuando los alumnos se enfrentan a una situación problemática, conscientemente o no buscan ciertos índices o condiciones que la identifiquen como pertenecientes a alguna clase que sepan resolver. Por ejemplo, ante un problema, con frecuencia buscan índices para determinar cuál es la operación que corresponde utilizar. Como ya dijimos, la enseñanza tradicional está generalmente centrada, no ya en el razonamiento de los problemas sino en determinar cuál es la operación correspondiente. Algunas de esas condiciones no varían con variaciones en el enunciado o en las situaciones presentadas, pero otras hacen variar el procedimiento utilizado o el reconocimiento del problema como problema de división. Se trata de lo que Brousseau llama "variables pertinentes" de un concepto: es decir caracteres cuyo valor, presencia o ausencia influyen sobre las posibilidades de reconocimiento o de resolución de un problema de división. Esta influencia puede ser un bloqueo del reconocimiento, un cambio
neto del modo de resolución o una modificación significativa de la fiabilidad del cálculo o de la convicción del alumno. Entre las variables pertinentes que Brousseau (1987) identifica para el concepto de la división y que consideraremos en nuestro estudio se encuentran: 1. Los números: tanto la estructura movilizada (naturales, decimales, etc.) como su expresión (fraccionaria o decimal), el tamaño de los números (menores que 1, entre 1 y 2, etc.) así como su función matemática (cardinal, medida, etc.). 2. Los tipos de magnitudes: dominios físicos, dimensiones, etc 3. Las técnicas de cálculo enseñadas precedentemente (manipulaciones de reparto, sustracciones repetidas, productos, ensayo y error, adivinanza, encuadramiento sistemático, transformación a los naturales, presentación de los cálculos, etcétera.). ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS En este estudio realizado para analizar, junto a los maestros, las dificultades de los niños en el tema de división, se presentaron cinco problemas, seleccionados entre los habituales, de 4° o 5° grado. El listado de los problemas se incluye en el Anexo (pág. 216). Como se mencionó en el apartado anterior, pueden determinarse para los diferentes conocimientos variables pertinentes, es decir, caracteres cuyo valor, ausencia o presencia, por ejemplo en los enunciados de los problemas, influyen en las posibilidades de reconocimiento o de resolución de un problema de división, provocando un bloqueo del reconocimiento o un cambio neto del modo de resolución o una modificación. Entre las variables pertinentes señaladas por Brousseau, se tuvieron en cuenta sólo algunas: 1) En relación con los números involucrados: — Se tomaron números naturales en los enunciados de los problemas I, II, IV y V, y números decimales en el III.
— Divisores de 1, 2 o 3 cifras (problemas III y V; problemas I y II; problema IV, respectivamente). — Resto nulo o no (problemas II, III, IV y V; problema I, respectivamente), 2) En relación con los tipos de magnitudes: — utilización de las magnitudes: longitud (problema III) y tiempo (problema V), y cantidades discretas en los otros tres problemas. 3) Las técnicas de cálculo enseñadas precedentemente no fueron tomadas en cuenta, ya que en general se desconoce cuál o cuáles han sido los procesos de aprendizajes previos de los alumnos involucrados. Puede, sin embargo, observarse en parte los hábitos del salón o las exigencias del maestro: hacer o no el planteo, importancia asignada a escribir la respuesta, etcétera. Los problemas fueron intercalados con los cálculos y planteados a los niños en dos sesiones diferentes. El orden de presentación no fue siempre el mismo y no todos los alumnos respondieron a todos los problemas y a todos los cálculos. El análisis será realizado sobre: — las diferencias entre los distintos grupos — el reconocimiento o no del problema como problema de división — la resolución o no de los problemas y — su resolución correcta. Para facilitar la lectura se incluye una tabla con los valores de los porcentajes globales, para cada problema, de los 3 últimos ítems señalados:
1
2
3
4
5
6
Sin hacer
Reconoci-
Procedi-
Cálculo
Cálculo
Respuesta
miento
mientos
correcto
incorrecto
correcta
Problema
Inadaptados %
%
%
%
%
%
I masas
6,70
82,42
10,80
67,80
14,60
0,00
II perlas
9,16
77,52
13,33
51,00
26,50
51,00
III long.
32,00
58,18
9,81
38,50
19,68
38,50
IV vino
6,00
88,88
5,05
19,20
69,68
19,20
V tiempo
19,19
76,76
4,04
62,60
14,16
0,00
Para estos datos unificamos los alumnos de 5 a y de 6a grado. Además, entre los alumnos que reconocieron el problema como problema de división, separamos entre los cálculos correctos o no. Por ejemplo, dentro del 82,42 % de alumnos que reconocieron que se trataba de una división en el problema de las masas, el 67,80 % la realiza correctamente y el 14,60 % incorrectamente. Es decir, la suma de las columnas 4) y 5) corresponde a los totales de la columna 2). "Diferencias notables" Un primer análisis de los trabajos de los niños nos brinda una información que podríamos considerar sorprendente. No se puede, por lo menos en este grupo de niños, hablar en términos generales, diciendo, por ejemplo: "En 6 ° grado los alumnos saben tal o cual cosa"; "En 5° aún no son capaces de utilizar correctamente tal procedimiento, pero en 6° sí", etc., dado que hay grandes diferencias entre grupos del mismo grado y entre los 5 ° y 6°, inclusive dentro de un mismo establecimiento escolar. Por ejemplo, en el problema sobre longitudes, en un 5 ° grado se encuentra 56 % de respuestas correctas y 21 % de problemas sin resolver, mientras que en un 6° grado sólo 3 % de respuestas correctas junto a 85 % sin realizar, con la indicación "No entiendo".
Aclaración Las condiciones de aplicación de los problemas y ejercicios quedaron bajo la entera responsabilidad de cada maestro y no fueron discutidas en el curso. Algunos maestros seguramente dieron como consigna que, ante un problema que no comprendían, siguieran adelante con los demás, lo que puede explicar tan alto porcentaje de "no entiendo" en uno de los grupos. "Reconocimiento y resolución" Consideramos que un alumno reconoce que un problema es de división cuando plantea resolver una operación de este tipo, aunque su resultado no sea correcto. En el grupo de 300 alumnos, sólo 3 de ellos intentan la resolución con algún procedimiento distinto de la utilización del algoritmo clásico, adicionando 17 (en el problema II) varias veces y tratando de obtener el número 221, o realizando multiplicaciones aproximativas 24 x l2 =; 24 x l3 =; etc.; en el caso del problema I, sólo uno de los tres alumnos obtuvo un resultado correcto. Al analizar el reconocimiento de los problemas como problemas de división, encontramos las mismas diferencias que las mencionadas anteriormente entre alumnos del mismo grado o diferencias invertidas en alumnos de grados diferentes. Los porcentajes de reconocimiento y de no resolución en los distintos problemas fueron incluidos en el cuadro, lo que permite realizar la jerarquización entre ellos, para los dos aspectos: Reconocimiento 1) vino (problema IV) 2) masas (problema I) 3) perlas (problema II) 4) tiempo (problema V) 5) longitud (problema III)
88,88 % 82,42 % 77,50 % 72,76 % 58,18 %
No realización 1) vino 2) masas 3) perlas 4) tiempo 5) longitud
6% 6,7 % 9,16 % 19,19 % 32 %
El análisis de estos dos aspectos puede realizarse conjuntamente porque los resultados son asimilables. Tanto en no reconocimiento como en no resolución, los dos problemas con mayores porcentajes son los problemas que involucran magnitudes. En el caso de no realización, la diferencia entre esos dos problemas y el resto es neta; la utilización de magnitudes en el enunciado provoca un aumento considerable en el porcentaje de los alumnos que dejan sin resolver el problema. Entre los que no reconocen el problema como un problema de división incluimos a aquellos alumnos que realizan otras operaciones como adiciones, sustracciones o multiplicaciones. Los porcentajes de procedimientos inadaptados en los cinco problemas son los siguientes: 1) perlas (problema II) 2) masas (problema I) 3) longitud (problema III) 4) vino (problema IV) 5) tiempo (problema V)
13,33 10,87 9,81 5,05 4,04
% % % % %
Los dos problemas referidos a la búsqueda del número de iteraciones posibles, o, lo que es lo mismo, búsqueda del número de partes, es decir, ¿cuántas bandejas se necesitan?, ¿y cuántos collares...?, se encuentran entre los que provocan un mayor número de procedimientos inadaptados. Estos problemas no son reconocidos de la misma manera que los "de reparto", es decir, aquellos donde se busca el valor de cada una de las partes. De todos modos, el problema sobre longitud, que involucra números decimales, a pesar de tratarse de un problema de reparto no es reconocido como tal. No se reparten horas de la misma manera que se reparten botellas.... Entre los procedimientos inadaptados el más frecuente es sin duda la multiplicación, que lleva el 80 % de ellos. Encontramos nuevamente diferencias notables entre los grupos; por ejemplo en el problema de la longitud, en 5° grado, los
porcentajes de reconocimiento de la división van desde 12,5 hasta 96,66 % y en 6° desde 22,2 hasta 93,93 %, incluyendo nuevamente secciones de la misma escuela. "Resoluciones correctas” En el cuadro también pueden observarse los porcentajes de respuestas correctas e incorrectas dentro del porcentaje de niños que reconocieron la división como operación pertinente a realizar en estos problemas. Ordenados los problemas de su mayor o menor porcentaje de cálculo correcto se obtiene: 1) masas 2) tiempo 3) perlas 4) longitud 5) vino
67,8 % 62,6 % 51,0 % 38,5 % 19,2 %
Es necesario aclarar que hablamos de cálculo correcto y no de respuesta correcta, ya que, por ejemplo, en el problema de las masas (I), la respuesta brindada por la división es 12 y la respuesta correcta al problema es 13, número de bandejas necesarias para hornear "todas" las masas como indica el problema. Ningún alumno de los 300 dio como respuesta 13. Este problema es reconocido como problema de división por el 82,42 % de los niños, y el cálculo es resuelto correctamente por la mayor parte de ellos (67,8 %), pero ninguno de los niños se cuestionó si 12 bandejas es la solución del problema. De la misma manera, el problema del tiempo (V) tiene como respuesta correcta 7 horas 15 minutos, y no 7 horas, o 7,2 horas o 7,25 horas, como se obtiene de la división de 29 entre 4, que son las respuestas que aparecen con más frecuencia. Es probable que muchos de esos alumnos no hayan aún aprendido a "dividir" con medidas de tiempo. Clásicamente, los números "compuestos" y las operaciones con ellos se concentran en 7 °
grado. Sin embargo, en este caso, era suficiente "pensar" el problema, involucrarse en una resolución que fuera bastante más allá que solamente la búsqueda de "la" operación. La tendencia a la economía, tanto en la enseñanza como en el aprendizaje, favorece el recurso a los "automatismos" (aplicación de algoritmos) que en general son acompañados por una pérdida del sentido, es decir, por la incapacidad de imaginar diferentes opciones, de controlar el resultado, etcétera. "Repartir" 29 horas en 4 días es una situación considerablemente simple para cualquier alumno, incluso de 4° grado, asignando, por ejemplo, 7 horas a cada día y la hora restante pensarla como 60 minutos, lo que permite asignar 15 minutos más a cada uno. La aplicación "ciega" del algoritmo lleva a encontrar como respuesta 7 horas o bien 7,25 horas. Notemos además que este problema es reconocido como problema de división por el 76,76 % de los alumnos, y es el que tiene más bajo porcentaje de procedimientos inadaptados (4,04 %). Todo esto nos habla de un posible reconocimiento como problema de división a partir de "índices" o palabras inductoras del texto, suficiente para seleccionar la operación y realizarla, pero sin ningún control sobre el procedimiento y sin involucrarse en el problema, lo que permitiría al niño al menos comprobar si el número dado corresponde a la respuesta del problema o no. La mayor parte de los niños realiza la prueba de la división (prueba del 9) pero nadie hace la "prueba del problema" es decir, nadie verifica si el resultado obtenido es la solución del problema planteado. Como veremos más adelante al analizar los algoritmos, la falta de control sobre las producciones se extiende a los diferentes pasos del algoritmo. Los tres problemas restantes obtienen un porcentaje de respuestas correctas del 51 %, 38,5 % y 19,2 %. Claramente, estos porcentajes indican un muy bajo nivel de aprendizaje. El problema del vino es reconocido como problema de división por el 88,88 % de los alumnos; sin embargo, sólo el 19,2
% del total de alumnos da una respuesta correcta, debido a las dificultades en el algoritmo de la división por tres cifras. El problema de la longitud es un problema esclarecedor del tipo de resultados que se encuentran. De los 275 alumnos a quienes fue planteado, el 32 % no lo resolvió, el 9,81 % utilizó procedimientos inadaptados, el 38,5 % lo resolvió correctamente y el 19,68 % incorrectamente. Es decir, si suponemos que los alumnos no lo resolvieron por falta de conocimientos apropiados, llegamos a 61,5 % de alumnos, entre 5° y 6° grado, que no pueden resolver este tipo de problemas que involucran medidas de longitud. Más aún, expresar la respuesta sin indicar la unidad correspondiente no fue, en este caso, considerado incorrecto. EN RESUMEN Los alumnos no atribuyen significado al algoritmo que ponen en juego, por lo tanto no pueden interpretar lo que obtuvieron en las distintas etapas del cálculo en términos del problema planteado. El algoritmo enseñado aparece como un puro trabajo sobre los números, independiente de los datos de la situación planteada. Muestran una relación superficial con el conocimiento. Ponen distancia entre ellos y la situación planteada, desembocando en acciones estereotipadas, puramente didácticas, es decir, centradas en la situación escolar de aprendizaje, sin movilización de los esquemas intelectuales propios que, sin embargo, tienen a su disposición. Carecen de recursos para reconocer si su solución es errónea o no. En realidad, no llegan a analizar si el número obtenido es el resultado del problema. El cociente obtenido por la aplicación del algoritmo no siempre coincide con el número buscado: a partir de él es necesario elegirlo teniendo en cuenta el problema concreto por resolver (éste es el caso del problema del panadero).
Todo lo anterior es provocado por una enseñanza de resolución de problemas reducida a "adivinar" cuál es la operación adecuada y a aplicar el algoritmo correspondiente. Frecuentemente, a partir del discurso del maestro— "¿Qué operación hicieron?", "¿Qué operación habría que hacer?" o "Acuérdate de que ya hicimos problemas como éste..."— se impone la búsqueda del "método" que se ha aprendido y que es necesario aplicar, método que se convierte en: ¿qué operación hay que hacer? o ¿cuál es la operación que acabamos de aprender? La representación de la división no puede reducirse al conocimiento de una estrategia de solución acompañada de la de un pretendido "sentido" o significado de la operación que permitiría aplicarla, sino que comporta la capacidad de controlar varias estrategias, pasando de una a otra según las circunstancias. La resolución de los problemas y, en particular, la utilización de tal procedimiento en lugar de otro dependen del significado que el alumno atribuya a la situación que se le propone. La comprensión es en realidad la posibilidad de restaurar ciertos recursos de control y de engendrar las alternativas a rechazar (Brousseau, 1986). Los problemas específicos en el desarrollo del algoritmo serán tratados más adelante. ACERCA DE LOS PLANTEOS Un párrafo especial puede dedicarse a los "planteos", tradición sumamente arraigada en la escuela primaria argentina. Todo problema "bien" resuelto o que se preciara de tal debía tener: el planteo, los cálculos auxiliares y la respuesta. El planteo tenía en sus orígenes un objetivo de claridad en el razonamiento, de identificar correctamente los datos y "ayudar" al alumno a resolver el problema. Se trata, en general, de problemas con una estructura bastante rígida, con 3 datos y donde es necesario encontrar el cuarto, es decir, básicamente, un problema de "regla de tres", que se inicia
con la multiplicación y división en 2° y 3° grado, continuando con la proporcionalidad simple en 4° o 5° y finalmente con la proporcionalidad compuesta en 6° y 7° grado, donde el número de datos se eleva a 5 y es necesario obtener el sexto. Algunos maestros llevaron la exigencia del planteo también a otros problemas, por ejemplo los de suma y resta, donde en realidad se trata de resumir los datos del problemas en un formato especial. Por ejemplo, en el problema: María tiene ahorrados 20 $ para el Día de la Madre, pero el regalo que quiere comprar cuesta $ 35; ¿cuánto le falta ahorrar? el planteo en principio se reduce a escribir una síntesis del problema: tiene ...... $ 20 quiere... $ 35 le faltan 35 - 20 = 15
o bien
quiere ....... tiene ......... le falta …..
35 20 35 - 20 = 15
Por supuesto, puede haber otras versiones. Clásicamente los planteos poseen dos líneas: en una los datos y en la otra la incógnita, formato que se presta muy bien para los problemas clásicos de multiplicación o división: 1 caja ............ 12 bombones 8 cajas .......... 1 2 x 8 = 96 bombones En el caso de los problemas de proporcionalidad, suele incluirse una "x" en el lugar de la incógnita, especialmente en los grados del 3° ciclo, y entonces se separa el planteo de la solución, que a su vez sigue una serie de pasos rígidos. Es fácil percibir que existen muchos problemas interesantes para resolver en la escuela primaria, que no pueden encerrarse en un formato de planteo de ese tipo y que, fundamentalmente, éste no
puede ser pensado antes de haber "casi resuelto" el problema. La resolución de un problema en el que sea necesario analizar los datos, establecer relaciones entre ellos, determinar los pertinentes, antes de poder decir cuál o cuáles operaciones realizar y que a veces sea necesario probar por distintos caminos antes de resolverlo, no podrá seguramente iniciarse con el planteo. El planteo como requisito indispensable de todo problema ha ido perdiendo vigencia a lo largo de los años junto a la divulgación de la importancia de la resolución de problemas, aunque a veces ésta se vea reducida al eslogan: "No importa el procedimiento, lo que importa es que lo resuelva". Es posible encontrar, en la actualidad, en una misma escuela un grupo de cierto grado con la exigencia, por parte de la maestra, de incluir un planteo en "todos" los problemas y la maestra paralela (del mismo grado) no exigirlo en ninguno. De todos modos, no se ha podido detectar, a partir de los trabajos de los niños, que se realice en la escuela un trabajo de análisis de los planteos. En el caso del grupo de niños y maestros con quienes se ha trabajado sucede lo siguiente: de los 12 grupos (de 5° y 6° grado) en los que se recogieron los datos: — en tres de ellos ningún alumno realiza el planteo, sólo el cálculo, y algunos escriben la respuesta; — en uno de los grupos, algunos niños escriben el planteo y otros no, y — en los restantes 7 grupos, "todos" los niños realizan el planteo. ALGUNOS EJEMPLOS DE PLANTEOS Transcripción del texto Muchos planteos resumen los datos, con un formato más o menos libre:
Colocar ......... botellas ............... 1872 hay ................ Cajas………… 104 1872 ÷ 104 = 18 1872 botellas.......... quiere poner en 104 cajas 1 botella ................. 1872 - 104 = Dato unitario En el caso de los problemas donde es necesario encontrar el valor unitario (problemas III, IV y V), los planteos no reflejan tal búsqueda: 29… horas 4… días
29 horas .............. toda la semana quiere trabajar........... 4 días = 29 + 4 = 7,25 hs
Tampoco en los problemas en que el valor unitario es un dato (problemas I y II) éste aparece en los planteos: bandejas .......... 24 masas masas .............. 293- 24 = o es colocado erróneamente: 1 bandeja.......... 24 masas 293 masas ....... 293 - 2 4 = En resumen, la demanda o la información sobre el valor unitario no parecen ser percibidos como tal a partir de las expresiones: "cada caja" en el problema del vino; "por día" en el problema del tiempo; "cada una" en el problema del panadero, etcétera. El planteo como soporte
Si bien mayoritariamente los planteos son incorrectos, no parece haber una relación entre escribir el planteo del problema y la resolución correcta. Hay algunos planteos que podríamos decir que no aportan "nada" al razonamiento del problema, o incluso son erróneos, y sin embargo los alumnos plantean la división correcta y encuentran el resultado correcto; sólo se trata de una exigencia escolar. Todo esquema que sea realizado por los niños para apoyar el razonamiento debería ser bienvenido en las clases de matemática. Más aún, el aprendizaje de la utilización de esquemas, tablas y gráficos constituye uno de los objetivos más importantes del aprendizaje de la matemática en la escuela primaria. Una adecuada presentación de los datos puede contribuir a clarificar las relaciones existentes entre ellos. Pero estamos hablando de esquemas, gráficos o tablas que contribuyan a la comprensión del problema o a la comunicación de resultados, constantemente bajo el control del propio alumno, evitando así la escritura de planteos rígidos y carentes de significado para ellos. EN RELACIÓN CON EL ALGORITMO Como se dijo anteriormente, se dieron 5 problemas y 4 "cuentas" de división a los alumnos, cuyos textos pueden verse en el "Anexo". Ya se ha analizado la dificultad en la resolución de problemas. En este apartado se hará referencia a las dificultades en la ejecución del algoritmo, reencontradas en los problemas o en las "cuentas" presentadas. Los resultados de las divisiones por una cifra son aceptables en ambos grados, pero al pasar a 2 o 3 cifras, también se duplican o triplican las dificultades...
"Reducción a una cifra" Frecuentemente una división de 2 o 3 cifras es resuelta erróneamente, utilizando un algoritmo "inventado" que la reduce a una división de 1 cifra, reencontrando de esta manera esquemas conocidos anteriormente. Trataremos de reproducir el pseudoalgoritmo, tal como es realizado: 393 09 13 1
24 126
"2 dividido 2 da 1 y sobra 0; bajo el 9, 9 dividido por 4, da 2 y sobra 1; bajo el 3, 13 dividido 2 da 6 y sobra 1." Dividiendo alternativamente por 2 y por 4 se obtiene entonces: 126 como cociente y 1 como resto. Este razonamiento y algunos otros fueron confirmados en entrevistas orales a sus autores, o por los "numeritos" auxiliares que colocan para ayudarse en los cálculos mentales. Se trata, en general, de alumnos que lo utilizan para todas las divisiones que realizan, aunque un mismo alumno puede realizar un tipo de algoritmo en una de las divisiones o problemas y utilizar otro diferente en otro cálculo. Puede considerarse que las variables que influyen en el reconocimiento del problema como un problema de división también influyen en el tratamiento y en la resolución del algoritmo. La operación citada anteriormente y el mismo recurso puede por supuesto proveer un resultado diferente, por ejemplo 125, y en ese caso el resto es 3; o 123 si la última división se realiza por 4 en lugar de dividir por 2; por lo tanto este tipo de algoritmo ni siquiera asegura un resultado unívoco. A veces se combina con resabios de propiedades matemáticas. En 1872 ÷ 104 = tachan primero el 0 de 104 (¿no tiene valor?), y realizan luego la división por 14, alternando entre dividir por 1 y por 4.
1872 08 07 32 0
1Ø4 1818
"1 dividido 1 da 1 y sobra 0, bajo el 8 que dividido por 1 da 8 y sobra 0; bajo el 7 que dividido por 4 da 1 y sobra 3; bajo el 2, 32 dividido por 4 da 8 y el resto es 0." Finalmente una división por 3 cifras puede reducirse a 1, para algunos niños, ignorando las otras 2. Por ejemplo: 9706 47 20 06 1
215 1941
en que sólo se divide por 5.
"Análisis del resto" Aun para niños que realizan correctamente el algoritmo por 2 o 3 cifras, en el sentido de dividir por un número de 2 cifras y no por dos dígitos tomados independientemente, la exigencia de que los restos sucesivos sean menores que el divisor no parece estar presente. En realidad, el problema es: no buscar como cociente, el mayor número posible. Por ejemplo, en: 1872 104 0832 1
un niño realiza correctamente los dos primeros pasos del algoritmo, dividir 187 por 104 y bajar el 2, pero al dividir 832 por 104 coloca como cociente 7 (en lugar de 8) y obtiene como resto 104, que vuelve a dividir por 104, obteniendo como cociente final 171, en lugar de 18. 1872 104 0832 171 104 0 La falta de control sobre el algoritmo provoca una gran duda en los cálculos intermedios: saber si la cantidad a dividir es menor que el divisor y entonces "se agrega 0 en el cociente" o si se trata del resto que es necesariamente menor que el divisor. Por ejemplo: 1872 104 0832 12123 634 530 322 10 La operación es correcta hasta obtener 832 como resto, pero al dividirlo por 104 coloca como cociente 2 en lugar de 8; los restos siguientes, todos mayores que 104, son divididos sucesivamente. Sin llegar a casos tan extremos, veamos otro ejemplo: 1872 0832 104 0
104 1071
divide 187 por 104 obtiene como cociente 1 y un resto de 083; sin bajar el 2, divide 83 por 104 obtiene 0, baja el 2, divide 832 por 104, no busca el mayor cociente, sino que da por resultado 7, obteniendo por resto 104 que al dividirlo por 104 obtiene 1 y resto cero.
"Dificultades con el cero" Ya mencionamos un ejemplo donde "tachan" el 0 de 104 y dividen por 14. Otro de los ejercicios propuestos tenía por consigna: Calcular 340 ÷ 10 = Señalemos primero que la mayor parte de los niños, alrededor del 80 o 90 %, escriben la "cuenta" con la disposición clásica para aplicar el algoritmo; consideramos que proviene en parte del contrato escolar habitual: "escribir todas las cuentas en la hoja" (no hacerlo es frecuentemente sinónimo de copia). Pero se encontró, además, especialmente en uno de los 6° grados la regla sistemática de "tachar" los ceros de 340 y 10 antes de efectuar la división. De esta manera la división es reducida a: 34
1
que, de todos modos, realizan en forma convencional. Para dar una idea de porcentajes, en uno de los 6° grados de 36 alumnos, 22 tachan los dos ceros, entre ellos solo 12 escriben como cociente directamente 34 y resto 0, los 10 restantes realizan el algoritmo completo:
34Ø 04 0
1Ø 34
y aun hay 7 más que no tachan los ceros; encuentran el resultado correcto (34) pero realizando completamente el algoritmo: 340 040 00
10 34
Los 7 alumnos restantes encuentran resultados diferentes de 34. Otro de los problemas provocados por los ceros puede observarse en el cálculo de: 70 ÷ 30 = Este ejercicio fue planteado a 215 alumnos de 7 grupos escolares de 5° y 6° grado. Los porcentajes de logros van desde 18 %, el menor, hasta casi 87 %, el mayor. La disparidad entre los grupos es muy grande, disparidad que se encuentra en casi todos los ejercicios presentados, y que ya fue comentada. En otro de los 6° grados, 31 alumnos entre los 37 del salón tachan los dos ceros, efectúan la división y obtienen 2 como cociente y 1 como resto en lugar de 10 como obtendrían con el cálculo correcto. En este caso también encontramos los errores anteriores. Por ejemplo: 70 30 10 23 1
si sólo se divide por 3 (primero 7 dividido por 3 da 2 y sobra 1, bajo el cero, posteriormente 10 dividido por 3, da 3 y sobra 1). O bien:
que se interpreta de la siguiente manera: 7 dividido por 3, da 2 y sobra 1; 0 dividido 0 da 0 y resto 0 (obteniendo el cociente parcial 20, sin "bajar" ningún número); el resto intermedio 10 sólo lo divide por 3 y obtiene 3 con un resto 1. Frecuentemente, en los trabajos de los niños encontramos las flechas dibujadas, que señalan cuál número se divide por cuál otro. Esta es una de las tradiciones escolares del aprendizaje de la división por 2 cifras, al presentar el algoritmo correcto de la división. Las flechas inducen a frecuentes errores al dividir cada uno por su correspondiente sin tener en cuenta el divisor en su totalidad. Finalmente, otra de las dificultades que involucran al cero es agregarlo al finalizar la división. Por ejemplo: 9706 1186 121
213 450
realiza la división correctamente pero al obtener 121 como resto (tal vez un número demasiado grande para ser resto...) vuelve a dividir por 213 y agrega un cero al cociente. Si bien la presencia de tales algoritmos "inventados" no es uniforme en todos los grupos, su presencia fue atestiguada en todos
ellos, en mayor o menor cantidad de alumnos, y en mayor o menor diversidad. En el cuadro de porcentajes incorporados anteriormente puede observarse la influencia negativa que ejerce la necesidad de resolver el algoritmo, en los porcentajes de resolución correcta. Así, en la división por 3 cifras (agravada por la presencia de un cero intermedio) el porcentaje de resolución correcta del algoritmo es de 19,2 %, el más bajo entre todos los problemas. En la división por 2 cifras, los porcentajes son mejores pero de todos modos hay aún 26,5 % de respuestas incorrectas. "El algoritmo en los libros de texto" El algoritmo tradicional de la división ha pasado a constituirse en la actualidad en un ejemplo de transmisión oral. Es muy difícil encontrar en los libros o manuales de matemática los diferentes pasos del algoritmo. Una redacción que muestra en toda su complejidad los pasos del algoritmo puede leerse en el libro de Díaz de Rueda (1850). Este libro, a partir de preguntas, pretende dar a conocer todos los temas de todas las materias de la primera enseñanza. En el capítulo de "Aritmética" se plantea, entre otras, la pregunta: ¿Cómo se divide un número compuesto por un dígito? se lee: Después de colocar el divisor a la derecha del dividendo separados por medio del correspondiente signo, se averigua cuántas veces el primer guarismo de éste, empezando por la izquierda y separándolo con una coma, contiene a aquél o si dicho guarismo es menor, las veces que los dos primeros están contenidos en el divisor; y el resultado se pone debajo de éste. Después se multiplica dicho resultado por el divisor, y colocando el producto debajo del dividendo parcial se restan entre sí. Luego se separa con una coma otro guarismo en el dividendo, y uniéndolo al residuo de la resta, si lo hay, se ve igualmente las veces que contiene al divisor, y se procede de la misma manera que en el caso anterior y sucesivamente hasta con-
cluir la operación. Finalmente, si hubiera algún residuo por no salir cociente exacto, se escribe delante de éste en forma de quebrado.
Expone a continuación el ejemplo de dividir 87.349 por 5, con la escritura del algoritmo y el relato de los pasos necesarios. La siguiente pregunta se refiere a cómo dividir un número compuesto por otro compuesto. La respuesta es: Del mismo modo que en el caso anterior, según se ve en los ejemplos siguientes.
En este punto hay una llamada a pie de página: "Al maestro corresponde hacer algunas advertencias especiales para facilitar la división de un compuesto por otro" (!!!). Una nueva pregunta y su correspondiente respuesta plantea cómo abreviar las operaciones de dividir: No escribiendo los productos que resulten de multiplicar el cociente por el divisor y conservándolos en la memoria para hacer la resta. Para que se comprenda mejor, presentaremos abreviada una de las operaciones precedentes...
Esta descripción sumamente compleja de comprender para un niño de escuela primaria no incluye, en realidad, las multiplicaciones parciales que se realizan en "nuestro" algoritmo tradicional. Por ejemplo, en 1898
28 6
a partir del 6, en el cociente, nuestro algoritmo diría: 6 por 8 es 48, 48 al 49 es 1 (coloca el 1 debajo del 9) y guarda mentalmente el 4 del 49; 6 por 2 es 12, más los 4 son 16, al 18 es 2 (coloca el 2 debajo del 8), etcétera. Mientras que el algoritmo dado por el libro español haría el producto del 6 por 28, escribiría el resultado 168 debajo del 189 y
procedería a efectuar la resta. Incluso el algoritmo abreviado que propone, consiste en recordar en la memoria el número 168 y restarlo mentalmente del 189. (Fácil en este caso...) 1898 -168 218 -196 22
28 67
Algunos libros actuales como Así aprendemos de Editorial Hachette para 4° grado, Matemática 4 de Editorial Aique, Objectif Calcul de CM1 (4° grado) o Apprentissages mathématiques á l'école élé-mentaire CM, proponen llegar al algoritmo de la división a partir de la evolución de procedimientos espontáneos de los niños, pero conservando, como en el caso del libro español, la multiplicación por el divisor en su totalidad y no como dos cifras yuxtapuestas que se operan independientemente. En general, relacionan el algoritmo con el sistema de numeración decimal, aclarando en cada momento si se están dividiendo centenas, decenas o unidades. En algunos de esos libros se insiste en el cálculo previo del número de cifras del cociente, que posibilita el control del cálculo efectuado, pero además insisten en la necesidad de dominar el cálculo mental, con ejercicios de encuadramiento, de aproximación y de estimación, así como en el dominio de los resultados elementales concernientes a la multiplicación. En general se trata de algoritmos más lentos, menos económicos, menos elegantes, pero que exigen una carga mental menor, y sobre todo que permiten mantener el significado del cálculo a través de los pasos sucesivos y de cierto control sobre la producción. El algoritmo clásico no aparece en la escuela como el último paso de un proceso de evolución de procedimientos. En caso de fracaso en su utilización, los alumnos no pueden apoyarse en procedimientos más primitivos porque se ha producido un cortocir-
cuito entre sus propias representaciones y procedimientos y el algoritmo estandarizado. Los alumnos no tienen clara la relación entre este algoritmo de resolución y otros más simples aprendidos anteriormente que podrían ser usados como control. El único recurso de control a disposición de los alumnos es "creer" que es así como se ejecuta el algoritmo. CONCLUSIÓN No pueden extraerse conclusiones generalizables para todas las situaciones; el trabajo se realizó sólo sobre un grupo de alumnos de algunas escuelas, con maestros interesados en revertir la situación de falta de aprendizaje en matemática. La intención al escribir este artículo fue analizar las dificultades de los niños en este tema tan "clásico" cuyo interés es indiscutible, y de brindar a los docentes interesados recursos para analizar las producciones de los alumnos, que les resultan frecuentemente tan incomprensibles. La Didáctica de la Matemática no puede aún brindar una solución práctica y eficiente para asumir con responsabilidad la enseñanza del sentido de la división, además del algoritmo, pero numerosas investigaciones se están realizando. Sin embargo, en las actuales condiciones, puede avanzarse, por lo menos, en la dirección de proveer a los alumnos recursos de control y de análisis sobre sus producciones. Sería necesario concebir situaciones que permitan tomar apoyo sobre lo que cada uno sabe realizar en el momento en que se inicia el aprendizaje de la división, y de hacer evolucionar progresivamente los procedimientos iniciales hacia otros más complejos. Hay que permitir que los niños prueben sus propios procedimientos, sus propias soluciones, antes de que conozcan los algoritmos tradicionales. Porque comprender el enunciado de un problema no es sólo "interpretar" las palabras que allí figuran sino también imaginar una manera de responder o una solución al menos parcial con ayuda de
lo que ya se sabe y poder construirse así una estrategia de base (Douady, 1984). Puede organizarse un trabajo de reconstrucción, de análisis y de comparación de procedimientos, lo que permitirá avanzar a los niños y elaborar (o adherir) a otra solución a partir de ese reconocimiento, obligándolos a asumir una actitud reflexiva y comprometida en la búsqueda de la solución de las situaciones planteadas. El cálculo mental puede también ayudar a los alumnos a contar con herramientas de estimación de resultados, de aproximación y de utilización de propiedades de las operaciones. Existe una fuerte correlación entre las dificultades presentadas por los niños en cálculo mental y las encontradas durante la resolución de problemas. En particular, si los alumnos no logran calcular mentalmente, no pueden tener una idea del orden de magnitud de los números que van a intervenir. La atribución de un significado a cada una de las etapas del cálculo en términos de la situación de referencia les permitirá resolver los problemas con el control suficiente para determinar su validez. Las dificultades de los alumnos con los algoritmos, reiteradamente constatadas, deberían obligar a los docentes a "enfrentarlas" en clase, analizarlas y corregirlas. Los errores que aparecen, como "reducir a una cifra", "dividir el resto nuevamente", etc., deben ser rechazados por los alumnos explícitamente e incluir este rechazo dentro de sus conocimientos. No puede dejarse de lado con un "Debes ejercitar más las divisiones" o bien "Debes prestar más atención"...; estos errores se constituyen en obstáculos que impiden el aprendizaje, obstáculos que no se levantan solamente con más atención ni con más ejercitación.
ANEXO Problemas: I.
El panadero hornea masas en bandejas de 24 masas cada una. Hoy amasó 293. ¿Cuántas bandejas tiene que preparar para hornearlas todas?
II. Para Carnaval se hicieron collares de 17 perlas cada uno. ¿Cuántos collares iguales se pueden hacer con 221 perlas? III. Con un hilo de 8,70 m de largo se cortan 6 pedazos de la misma longitud. ¿Podes decir cuál es esa longitud? IV. Un vendedor de vino quiere colocar 1872 botellas en 104 cajas. ¿Cuántas botellas tendrá que poner en cada caja? V. Juan tiene que trabajar esta semana 29 horas. ¿Cuántas horas tiene que trabajar por día si quiere ir solamente 4 días y trabajar todos los días la misma cantidad de horas? Cálculos: a) 1365 ÷ 3 = b) 70 ÷ 30 = c) 9706 ÷ 213 = d) 340 ÷ 10 =
