Institución a la que pertenece. Dirección particular T*tulos Cate-or*a docente #ñosdeEperiencia Correo electrónico
CENTRO NI!ER"IT#RIO. !.I. $enin. $as Tunas. Calle 23 &24. Entre 5. Espinosa ) C. 6arreda. Rpto 6uena !ista. $as Tunas. $icenciadaen7atemática. Pro8esor uni9ersitario #sistente. 4años [email protected]
RE"7EN El presente Laboratorio de ejerc icios ha sido elab orado con el objetivo de que el mismo sirva de material docente a la asignatura Investigación de Operaciones I, la cual se imparte en las especialidades de Ciencias Económicas en nuestras niversidades. Con el propósito de seleccionar y ordenar los temas, se ha tratado que en la presentación de los mismos prevale!ca la sencille! en las e"plicaciones, las cuales van acompa#adas de numerosos ejemplos. El contenido de este te"to abarca las materias que componen la Investigación de Operaciones I. El estudio del mismo permitir$ acometer su aplicación a problemas de %ndole económica que se mani&iestan en la pr$ctica. Es de vital importancia en los momentos actuales para los pro&esionales que desempe#an su labor en el campo de la econom%a dominar los m'todos matem$ticos cuantitativos qu' permiten la optimi!ación de los problemas económicos. II
Consideramos que con los nuevos retos, motivados por el desarrollo de la niversali!ación de la ense#an!a el presente material constituye una contribución al &ortalecimiento del proceso de ense#an!a aprendi!aje. Este trabajo &ue presentado y tuvo muy buena aceptación en el Evento (acional de )óvenes Economistas, en el *orum (acional de Estud iantes de las Ciencias e"acta, naturales y human%stica en )(IO +E -- y en el /0I *orum de Ciencia y t'cnica obteni'ndose categor%a de relevante a nivel provincial, &ue seleccionado por el colectivo departamental para ser publicado en la revista electrónica E+(I0, con I12(3 4565474 -84/. 9or el aporte metodológico que presenta se est$ utili!ando con óptimos resultados a nivel provincial en las sedes universitarias municipales, en la sede central y por los estudiantes de los cursos a distancia.
Contenido Pág Prólogo II Introducción 1 ElementosdeteoríadelaDecisión 2 Características y Fases del Proceso de Decisión Conceptos Básicos Clasiicación de los Procesos de Decisión o !m"iente # $atri% de decisión E&ercicio ilustrati'o ( )oma de decisión con incertidum"re. Criterios a utili%ar CriterioPesimista*+ald, Criterio p timista Criterio de /er0ic% Criterio de Estados Euipro"a"les *3!P3!CE, Criterio de P 4rdida de portunidad *5a'age, 6 )oma de decisión "a&o riesgo. Criterios a utili%ar 7 CriteriodelValorEsperado*Bayes, 8 Criteriodel9i'elde!spiración 1: Criterio del Futuro más Pro"a"le *$á;ima Pro"a"ilidad, Criterio de la P4rdida de portunidad Esperada 11 Valordelainormaciónperecta 12 Propuestas de e&ercicios
1..1 1..2 1..# 1..( 1..-
Componentes y estructura E&emplo ilustrati'o 16 !nálisis del estricciones de no negati'idad 2( 2.1.( 3a unción o"&eti'o 2.1.- E&ercicios Ilustrati'os *Programación lineal, 2.1. Pro"lemas propuestos #6 2.2 5olución ?ráica a los pro"lemas de programación lineal (2.2.1 E&erciciospropuestos (7 2.# )eoría de la Dualidad *con'ersión del primal al dual, 2.#.1 E&emplo *pro"lema dual,. -: 2.#.2 E&erciciospropuestos -1 2.( El pro"lema de transporte -2 2.(.1 Características de un pro"lema de transporte -# 2.(.2 5olucióndeunpro"lemadetransporte -( 2.(.# Construcción de la matri% de transporte 2.(.( E&ercicios Propuestos *Pro"lemas de )ransporte, -Bi"liograía -7
I
Prólogo El presente olleto @a sido ela"orado con el o"&eti'o de ue el mismo sir'a de material docente a la asignatura In'estigación de peraciones IA la cual se imparte en las especialidades de Ciencias Económicas en nuestras =ni'ersidades. Con el propósito de seleccionar y ordenar los temasA se @a tratado ue en la presentación de los mismos pre'ale%ca la sencille% en las e;plicacionesA las cuales 'an acompaadas de numerosos e&emplos. El contenido de este te;to a"arca las materias ue componen la In'estigación de peraciones I. El estudio del mismo permitirá acometer su aplicación a pro"lemas de índole económico ue se maniiestan en@a la sido práctica. Este Folleto coneccionado por los autores Instructor no graduado mar 9ápoles Pea y la 3ic. 9ancy C4spedes )ru&illo del Dpto. de $atemática del Centro =ni'ersitario de 3as )unas. Es de 'ital importancia en los momentos actuales para los proesionales ue desempean su la"or en el campo de la economía dominar los m4todos matemáticos cuantitati'os u4 permiten la optimi%ación y solución óptima de los pro"lemas económicos. Consideramos ue con los nue'os retosA moti'ados por el desarrollo de la =ni'ersali%ación de la ensean%a el presente Folleto constituye una contri"ución al ortalecimiento del proceso de ensean%a aprendi%a&e.
Agradecimientos ueremos agradecer en especial a los proesores $ilagros >iuenes >odrígue%A >ogelio !costa ?on%ále% e Isa"el 5antieste"an P4re% por su apoyo incondicional.
II
Introducción La docencia de materias que comprenden conceptos de cierta complejidad es un proceso largo y di&%cil, ya que no sólo se trata de transmitir conocimiento, sino que ha de contar adem$s con bastante trabajo y es&uer!o por parte del estudiante. El presente *olleto surgió con la intención de desarrollar una herramienta que sirva como material de apoyo para la docencia. En concreto, la herramienta desarrollada trata de ser de utilidad tanto para el pro&esor en &orma de material de apoyo a la hora de impartir sus clases como para el alumno a la hora de estudiarse los contenidos de la asignatura. Investigación La elaboración este *olletoI sigue la secuencia del programadedeper&il la asignatura dede Operaciones para las carreras universitarias económico. 9ara &acilitar al estudiante la teor%a y pr$ctica de los diversos temas y t'cnicas, se ha dividido su contenido en cap%tulos que contienen espec%&icos puntos del an$lisis cuantitativo a desarrollar. En su elaboración, cada punto particular tiene un orden de prioridad de ideas, hasta culminar la presentación total del material contenido en el cap%tulo. En cada cap%tulo o sección se numeran los contenidos, para e"presar en &orma corta cada concepto o punto particular y para poder tener puntos re&erenciales al reali!ar ejercicios pr$cticos de los contenidos. Cumpliendo con el objetivo que se e"pone, cada cap%tulo tiene una parte de teor%a y otra de pr$ctica en cada sección que as% lo amerite. Esta &orma de presentación pretende &acilitar la lectura de contenidos y hacer notar la secuencia entre la teor%a y la pr$ctica. El desarrollo del material de la asignatura, se hace considerando la Investigación de Operaciones como una ciencia administrativa basada en el en&oque cient%&ico, para resolver problemas y proporcionar ayuda para la toma de decisiones. 9lanear, organi!ar, dirigir, dotar al personal, controlar, son actividades que el Economista su ejercicio puedeanal%tico desempe#ar, y la Investigación Operaciones en le sirve de ayudapro&esional con su m'todo y sistem$tico. 2asado en elde en&oque gerencial es que se plantea en el presente manual el estudio de esta ciencia. El cap%tulo inicial, Elementos de teor%a de la decisión representa al estudio de las diversas t'cnicas y los respectivos modelos que con&orman la asignatura. 1e hace 'n&asis en la :atri! de pagos y el ;rbol de decisión y en el an$lisis cuantitativo que es la base del en&oque cient%&ico, punto de partida del proceso que determinar$ la toma de una decisión, se hace re&erencia a los pasos a seguir en ese an$lisis, se recuerdan aspectos cualitativos en el proceso de tomar decisiones, y se proporcionan conceptos &undamentales que han de manejarse durante toda la asignatura, porque son parte de cada t'cnica a estudiar. El cap%tulo II abarca la t'cnica &undamental, la 9rogramación Lineal. Esta es una de las t'cnicas m$s empleadas y se aplica en sistemas con relaciones lineales, para usar los recursos escasos de la mejor manera posible. Es uno de los temas m$s amplios y ocupa el mayor porcentaje del material de la asignatura. 1us di&erentes secciones est$n dedicadas a conocimientos particulares dentro de la t'cnica tales como3 de&inición de la t'cnica, elaboración del modelo general, algoritmo de solución, solución gr$&ica, teor%a de dualidad, el problema de transporte. +ado por las di&icultades que con&rontan los estudiantes por no disponer de una adecuada bibliogra&%a, se ha elaborado este *olleto que contiene un sistema de conceptos, ejemplos resueltos y ejercicios propuestos que esperamos sean del agrado de ustedes, nuestros estudiantes.
1
3a"oratorio de In'estigación de peraciones I
CAPITULO I 1. lementos de teor!a de la Decisión l pro"lema de la Decisión# motivado por la e$istencia de ciertos estados de am"ig%edad &ue constan de proposiciones verdaderas 'conocidas o desconocidas(# es tan antiguo como la vida misma. Podemos a)irmar &ue todos los seres vivientes# a*n los m+s simples# se en)rentan con pro"lemas de decisión. As!# un organismo unicelular asimila part!culas de su medio am"iente# unas nutritivas , otras nocivas para -l. Con)orme aumenta la compleidad del ser vivo# aumenta tam"i-n la compleidad de sus decisiones , la )orma en &ue -stas se toman. As!# pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente# a procesos de toma de decisiones &ue de"en estar guiados por un pensamiento racional en el ser /umano. La Teor!a de la Decisión tratar+# por tanto# el estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional.
2.2. Caracter*sticas ) ,ases del Proceso de Decisión n proceso de decisión presenta las siguientes caracter%sticas principales3 E"isten al menos dos posibles &ormas de actuar, que llamaremos alternativas o acciones, e"cluyentes entre s%, de manera que la actuación seg
2.2.2 Conceptos 6ásicos =Cu$les son los elementos que intervienen en un proceso de toma de decisiones> ?nte que todo est$ la persona que toma la decisión que se llama3 +ECI1O que debe tener presente la meta que quiere alcan!ar. +ecisiones alternativas3 1on alternativas, curso de acción o estrategias de entre las cuales el que toma decisión debe elegir. Estados de la naturale!a3 1on las circunstancias o acciones e"ternas que a&ectan el resultado de la decisiónA pero que est$n &uera del control del decidor
DEP!>)!$E9) DE $!)E$<)IC!A 2::
se le denomina tambi'n eventos y debe presentarse en t'rminos mutuamente e"cluyentes. esultados3 9uede e"presarse en t'rminos económicos Bganancia, costos, etc. o en t'rminos de alguna medida no monetaria como pre&erencia a escala de valoración. ?mbiente3 +ominio que tiene el decidor sobre la posible ocurrencia de los estados de la naturale!a este pude concretarse en tres modalidades &undamentales.
2.2. Clasi8icación de los Procesos de Decisión o #mbiente ?mbiente de incertidumbre3 1e presenta cuando el conjunto de los posibles estados de la naturale!a es de car$cter aleatorioA pero no se conoce la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos ?mbiente de riesgo3 1e presenta cuando el conjunto de los posibles estados de la naturale!a es de car$cter aleatorio y se conoce la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. ?mbiente de certidumbre o certe!a3 1e presenta cuando el decidor conoce con precisión el estado de la naturale!a que va a presentarse. Day autores que incluyen un cuarto ambiente3 ?mbiente de con&licto suponiendo que en lugar de estados de la naturale!a hay un oponente, otros lo consideran un caso especial dentro de incertidumbre y riesgo, en algunas bibliogra&%as es abordado bajo el tema Teor*a de 1ue-o.
2. 7atri+ de decisión El an$lisis de matri! de decisión es aplicable a una amplia variedad de situaciones que involucran la toma de decisiones bajo riesgo y bajo incertidumbre, ambi'n es un elemento del campo de estudio llamado teor%a estad%stica de decisiones. Cuando debe hacerse una sola decisión y no una serie de decisiones, se puede usar una matri! de decisión o matri! de pagos. 9or ejemplo, la matri! de pagos podr%a emplearse para decidir Fu' cantidad producir de determinado producto teniendo en cuentas las posibles demandas del mismo. (o es raro que la matri! de pagos use un &ormato matricial, en que los renglones son los cursos de acción abiertos al tomador de decisiones y las columnas son los eventos posibles que pueden ocurrir. Los elementos de la matri! son las consecuencias de las combinaciones entre los cursos de acción y los eventos. La tabla o matri! de pagos proporciona una estructura organi!ada para anali!ar situaciones probabilistas en las que se debe seleccionar una sola alternativa de decisión de un conjunto de alternativas. 9or ejemplo, una decisión que se presenta con &recuencia en producción requiere seleccionar una sola m$quina para compra, de entreun varias posibles. n gerente de comerciali!ación debe seleccionar planm$quinas para poner el precio de un producto, de entre varios planes. n auditor debe decidir si contabili!ar por completo ciertos registros o sólo tomar una muestra cuando reali!a una auditoria. La matri! de pagos es muy
Estados de la Naturale+a DEP!>)!$E9) DE $!)E$<)IC! 2::
3a"oratorio de In'estigación de peraciones I
#lternati9a s
e2
e
... e
n
a2
22
2
...
2n
a
2
...
n
... ... am
...
m2
... ... m
...
mn
2..2LaE1ercicio ilustrati9o unidad de producción la Crema perteneciente a la Empresa de Gastronom%a elabora al d%a varios lotes de HaHe con el objetivo de satis&acer la demanda de cumplea#os. Los lotes de HaHe se componen por veinte unidades. Las unidades son vendidas a quince pesos y el costo tiene un valor de die! pesos. La mitad de los lotes que no sean vendidos son destinados al C%rculo In&antil 0olodia sin obtener a cambio remuneración económica, la otra mitad se vende a 77.-- Construya la matri! de pago, en un d%a se pueden solicitar 6A A JA K lotesA pero se desconoce a la hora de la elaboración la cantidad especi&ica de lotes que se van a solicitar en el d%a, por cada unidad demandada no e"istente se hace un descuento -,6- a la unidad productora En este caso3 !lternati'as a1 Elaborar 6 lotes a 2 Elaborar
lotes a # Elaborar J lotes a ( Elaborar K lotes
Estados de 3a naturale%a e Fue se demanden 6 lotes e 2 Fue se demanden lotes e Fue se demanden J lotes e ( Fue se demanden K lotes 1
2.' Toma de decisión con incertidumbre. Criterios a utili+ar En los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cu$les son los posibles estados de la naturale!a, aunque no dispone de in&ormación alguna sobre cu$l de ellos ocurrir$. En particular, esto e"cluye el conocimiento de la in&ormación de tipo proba bil%stica sobre las posib ilidades de ocurrencia de cada estado. ? continuación se describen las di&erentes re-las de decisión en ambiente de incertidumbre, y que ser$n sucesivamente aplicadas al ejemplo de elaboración de MaHe. Criterio de Nald B9esimista, :a":in o :in:a" Criterio :$"imas BOptimista, :a":a" o :in:in Criterio de Coe&iciente de Optimismo BDuric! Criterio de 9'rdida de Oportunidad B1avage Criterio de Igual 9robabilidad BLaplace
2.'.2 rioconsiste Pesimis <=ald> que sea cual sea la alternativa tomada, EsteCrite criterio enta considerar siempre va a pasar lo peor, es decir el estado de la naturale!a que va a ocurrir es el que va a provocar el valor m$s peque#o si es un caso de m$"imo y el valor m$s grande si es un caso de m%nimo, se tratar$ entonces de mejorar la situación tomando lo mejor de lo peor. :atem$ticamente esto se puede escribir de la siguiente manera.
Max Minxij J
i
Min Maxxij J
i
en un caso de má;imo
en un caso de mínimo
En el ejemplo citado se proceder%a de la siguiente manera3 a1
8J-
a2
--
a#
7--
a(
47--
Decisión a tomar
DEP!>)!$E9) DE $!)E$<)IC! 2::
3a"oratorio de In'estigación de peraciones I
7.. Criterio Optimista Este criterio consiste en considerar que sea cual sea la alternativa tomada, siempre va a pasar lo mejor, es decir el estado de la naturale!a que va a ocurrir es el que va a provocar el valor m$s grande si es un caso de m$"imo y el valor m$s peque#o si es un caso de m%nimo, se tratar$ entonces de escoger lo mejor de lo mejor. :atem$ticamente esto se puede escribir de la siguiente manera.
Max Maxxij
i Minx Min ij J i
en un caso de má;imo
J
en un caso de mínimo
En el ejemplo citado se proceder%a de la siguiente manera3 a1
6--
a2
--
a#
J--
a(
K-- Decisión a tomar
2.'.' Criterio de ?er@i c+ Este criterio parte de combinar ponderaciones de optimismo y pesimismo. 1ugiere este autor la consideración de un coe&iciente de optimismo denotado por α que puede tomar cualquier valor comprendido entre - y 7. 9uede considerarse que si α = 1 signi&ica completo optimismo y si α = : es completo pesimismo los valores intermedios entre cero y uno denotan personas con di&erentes coe&icientes de optimismo. Casode:$"imo Hi
=α
Max x i
Casode:%nimo ij +
(1 − α ) Minxij H i
=α
Minx x + (1 − α ) Max x
i
ij
i
el caso H i ,de :$"imo se escoge la alternativa unEnmayor En el caso de m%nimo se escoge la alternativa un menor H i ,
.
ij
i
ai a
ai a
la que le corresponda
la que le corresponda
H1 = :A6 ⋅ -:: + :A# ⋅ (6: = (81
a1
DEP!>)!$E9) DE $!)E$<)IC!A 2::
a2
H1 = :A6 ⋅ :: + :A# ⋅ #:: = -1:
a#
H1 = :A6 ⋅ 6:: + :A# ⋅ 1:: = -2:
a(
H 1 = :A6 ⋅ 7:: + :A# ⋅ *−1::, = -#:
Decisión a tomar
2.'.A Criterio de Estados Equiprobables <$#P$#CE> Este criterio, propuesto por Laplace en 7K6, est$ basado en el principio de la ra!ón insu&iciente3 como a priori no e"iste ninguna ra!ón para suponer que un estado se puede presentar antes que los dem$s, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturale!a equivale a a&irmar que todos los estados son equiprobables. ?s%, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturale!a, asignar%amos probabilidad 7Pn a cada uno de ellos. na ve! reali!ada esta asignación de probabilidades, a la alternativa ai le corresponder$ un resultado esperado igual a3
La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado3
Nota3 En caso de minino Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona el menor resultado. a1 4444444
a 2 4444444 a#
4444444
a ( 4444444
-:: + (8: + (7: + (6: (
#:: + :: + -8: + -7: ( 1:: + (:: + 6:: + 8: (
= (7-
= -16A-
4444444decisión a tomar
= (62A-
− 1:: + 2:: + -:: + 7::
= #-:
(
2.'.3 Criterio de P0rdida de Oportunidad <"a9a-e> 1avage argumenta que al utili!ar los valores " ij para reali!ar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturale!a con todos los dem$s resultados, independientemente del estado de la naturale!a bajo el que ocurran. 1in embargo, el estado de la naturale!a no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo deber%a ser comparado con los resultados de las dem$s alternativas bajo el mismo estado de la naturale!a. DEP!>)!$E9) DE $!)E$<)IC! 2::
3a"oratorio de In'estigación de peraciones I
Con este propósito 1avage de&ine el concepto de p'rdida relativa o p'rdida de oportunidad rij asociada a un resultado "ij como la di&erencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturale!a y el resultado de la alternativa ai bajo el estado ej3
?s%, si el verdadero estado en que se presenta la naturale!a es e j y el decisor elige la alternativa a i que proporciona el m$"imo resultado " ij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera a r, entonces rj obtendr%a como ganancia "rj y dejar%a de ganar "ij4" . 1avage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores p'rdidas relativas, es decir, si se de&ine r i como la mayor p'rdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa a i, El criterio de 1avage resulta ser el siguiente3
Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe calcular la matri! de p'rdidas relativas, &ormada por los elementos r ij. Cada columna de esta matri! se obtiene calculando la di&erencia entre el valor m$"imo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella.
Estados de la Naturale+a #lternati9a s
a1
e#
e1
e2
-
77- - -
e(
a2
-- -
77- -
a#
7-- -- -
a(
-- 8-- -- -
a1
-
a2
-
a#
-- Decisión a tomar
a(
--
77-
1.( )oma de Decisión Ba&o >iesgo. Criterios a utili%ar . Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracteri!an porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturale!a, probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones.
DEP!>)!$E9) DE $!)E$<)IC!A 2::
Los di&erentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estad%sticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. ?lgunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que est$n presentes en el proceso de toma de decisiones. epresentaremos por p j la probabilidad de ocurrencia del estado e j .
estado
e1 e2
. . .
9robabilidad
p1 p2
. . .
en
pn
Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son3 Criterio del 0alor Esperado Criterio del (ivel de ?spiración Criterio del *uturo m$s 9robable Criterio de la 9'rdida de Oportunidad Esperada odos estos criterios ser$n aplicados al problema de decisión bajo riesgo cuya tabla de resultados &igura a continuación3 +ecisión bajo riesgo3 Ejemplo Estados de la (aturale!a e1
?lternativas
9robabilidades -.
e2
e#
e(
-.6
-.
-.
a1
.6--
85-
8K-
8J-
a2
--
--
65-
6K-
a#
7--
8--
J--
5-
a(
47--
--
6--
K--
2.A.2Criterio del !alor Esperado <6a)es> El resultado o 9alor esperado para la alternativa ai, que notaremos E *a i , n
0iene dado por3 E *ai , = ∑ p j xij . j =1
DEP!>)!$E9) DE $!)E$<)IC! 2::
3a"oratorio de In'estigación de peraciones I
9or lo que el criterio del 9alor esperado resulta ser3 Ele-ir la alternati 9a ai tal que E *a i , ≥ E ( a k ) para toda de m$"imo. Ele-ir la alternati 9a ai tal que E *a i , ≤ E ( a k ) para toda de m%nimo. E ( a1 ) = :A2: ⋅ -:: + :A2- ⋅ (8: + :A#2 ⋅ (7: + :A2# ⋅ (6: = (7(A2: E ( a2 )
2.A. Criterio del Ni9el de #spiración 1e &ija por el decisor un valor que signi&ica el nivel de aspiración a obtener, luego se suman para cada alternativa las probabilidades correspondientes a cada pago que sea mayor o igual al nivel de aspiración &ijado. 1e selecciona la alternativa cuya suma de probabilidad sea la mayor. +ado un nivel de aspiración pre&ijado B(?, el resultado para la alternativa ai, que notaremos R, viene dado por3
9or lo que el criterio del Ni9el de #spiración resulta ser3 9artiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado para cada una de las alternativas.
CRITERIO DE$ NI!E$ DE #"PIR#CION stados de la 0aturalea Alternativas
e1
e2
e3
e4
5'ai(
a1
.6--
85-
8K-
8J-
6
a2
--
--
65-
6K-
6#2786#3286#2396#
a#
7--
8--
J--
5-
6#3286#2396#77
a(
47--
--
6--
K--
6.23
:.2-
:.#2
:.2#
Pro"a"ilidades :.2
La alternativa óptima seg)!$E9) DE $!)E$<)IC!A 2::
2.A.' Criterio del ,uturo más Probable <7áima Probabilidad> 1e selecciona el mejor xij a partir del estado m$s probable Bn. 9or lo que el criterio del ,uturo más Probable resulta ser3
emplo 9artiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado para cada una de las alternativas. C5IT5IO DL ;UTU5O P5O
e1