Investigacion Metodos Numuricos1

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MATERIA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD: INTERPOLACIÓN INTERPOLA CIÓN

FECHA: FECHA: 17/JUNIO/13 17/JUNIO/13

En este tema se dará a conocer la situación natural en el ámbito científico. Se investigaron el fenómeno que se está desarrollando ante nuestros ojos, y junto a los modelos previos con que contemos, se puede tomar muestras experimentales. Y se tiene una serie de datos a partir de mediciones sobre el mismo. Naturalmente se ha h a hecho una cantidad de mediciones finita.







Contenido INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................

1

UNIDAD V-: V -: INTERPOLACIÓN.................................................................................. 3 5.1. Polinomio de interpolación de newton .................................................................. 3 5.2. Polinomio de interpolación de Lagrange............................................................... 5 5.3. Interpolación segmentada...................................................................................... 5 Interpolación Segmentaria Lineal ................................................................................ 5 Interpolación Segmentaria Cuadrática........................................................................ 7 Interpolación Segmentaria Cúbica ............................................................................... 8 5.4. Problemas de aplicación ......................................................................................... 9 CONCLUSIÓN..............................................................................................................10 BIBLIOGRAFIA............................................................................................................10







Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de Newton, que trabaja directamente en la tabla mediante el proceso de diferentes divididas. En el desarrollo de estas diferencias finitas, se obtuvo en primer lugar las diferencias finitas ordinarias y luego las diferencias finitas divididas. Interpolación polinomial de Newton Algunos Algun os casos: casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado.







Interpolación lineal Utilizando triángulos semejantes  ( )  (  ) (  )  ( )       

Reordenando (  )  ( )  ( )  (  )  (    )   

Ejemplo: estimar   mediante interpolación lineal si    y     y       ()   

      (  )       

()   

      (  )       

(  )  ( )  ( )  (  )  (    )   

Valor real         Error relativo porcentual =33.3%







En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamada así en honor a Joseph- Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado de la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso de llamar a este polinomio del polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación poli nómica en la forma de Lagrange.

Esta interpolación se le llama interpolación segmentada o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio parta interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlo9s adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe mencionar que entre todas, las splines ubicas han resultado ser la más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la









Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general. Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x , en los puntos en los que x vale 1, 2 y4 ()   ()  ()   ()  

El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (0.5, 2). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas: ( )      ()       ()        ( )

Reemplazando (3) en (2) se obtiene:







Por lo tanto, se concluye que: () ()        El segundo segmento () ()     deberá unir el segundo punto (0.5,2) con el tercer punto (0.25,4). Análogamente Análoga mente a lo hecho para () en el caso de () se obtiene: () ()       ()                  ( ()        

En este caso, los polinomios () a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma ()       Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos () va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones: Que las partes de la función a trozos () pasen por ese punto. Es decir, que las dos () que rodean al () que queremos aproximar, sean igual a () ( ) en cada uno de estos puntos. pun tos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.







En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma () ()          

En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a, b, c, d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda: Que las partes de la función a trozos () pasen por ese punto. Es decir, que las dos () que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a () en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos. La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar: Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se







Estudio de casos: casos: aplicaciones a plicaciones en la ingeniería ingen iería Problema: A continuación se enlistan los esfuerzos cortantes, en kilopascales kilopascales (kPa), de nueve especímenes tomados a distintas profundidades de un estrato arcillosos. Estime el esfuerzo cortante a una profundidad de 4.5 m. Profundidad 1.9 (m) Esfuerzo 14.4 (kPa)

3.1

4.2

5.1

5.8

6.9

8.1

9.3

10.0

28.7

19.2

43.1

33.5

52.7

71.8

62.2

76.6

Problema 2: Se realizó un estudio de ingeniería del transporte para determinar el diseño apropiado de pistas para bicicletas. Se recabaron datos del ancho de las pistas y la distancia promedio entre las bicicletas y los autos en circulación. Los datos de nueve nuev e calles son: Distancia 2.4 (m) Esfuerzo 2.9 (kPa)

1.5

2.4

1.8

1.8

2.9

1.2

3

1.2

2.1

2.3

2.1

1.8

2.7

1.5

2.9

1.5







El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no aparecen en tabla. El aumento de grado no siempre siempre mejora la aproximación. El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.

Bibliografía Numerico (5 edi cion ed.). Thomson Learning. Burden, R. L. (2002). (2002). Análisis Numerico Learning.

Canele, S. C. (2007). (2007). Métodos Numéricos Para Ingenieros (5ed ed.). ed .). Interamericana: M McGr cGrawaw- Hil l. Jhon H. Mathews, K. D. (1992). (1992). Métodos Numéricos aplicados con Software (1ed ed.). Pearson.

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