Conductancias térmicas en paralelo
Las conductancias es serie están colocadas en forma de sándwich perpendicular a la dirección de la transmisión de calor; cuando las conductancias están en paralelo, las superficies del material conductor son paralelas a la dirección del flujo de transmisión del calor y también paralelas entre sí; por tanto, el calor pasa a través de cada material al mismo tiempo, en lugar de primero a través de uno y luego a través del siguiente. Esto está ilustrado en la fig. 5.2 (b). Un ejemplo de este tipo de conductancia es la pared aislante de una nevera o de un horno cuyas compuertas estén unidas entre sí por tornillos. Los tornillos están colocados paralelamente a la dirección de transmisión del calor a través de la pared y transportan la mayor parte del calor transferido siendo los responsables de la mayoría de las perdidas. EJEMPLO 5.3. La pared del horno de panadería está hecha con ladrillo refractario de 10 cm de espesor cuya conductividad térmica es de 0,22 J m -1 s-1 °C-1. En ella hay una serie de piezas de acero cuya área transversal total representa el 1 % del área total de la pared interna del horno, y que tienen una conductividad térmica de 45 J m -1 s-1 ° C-1 . Calcular (a) el calor total transmitido a través de la pared por el ladrillo y el acero, y (b) las pérdidas de calor por cada m 2 de pared del horno , si la parte interior de la pared esta a 230 °C y la parte exterior a 25 °C . En la ecuación (5.1), q = A ∆tk / x , sabiendo que ∆t , son las mismas para los ladrillos y para el acero. (a) Consideremos las pérdidas de calor a través de un área de 1 m 2 .
pr e drio q
-1
Y para el Acero
qs = As ∆tk s / x
-1 el porcentaje de calor transportado por el acero es = 11.49 x 100 = 67 %
(b) La perdida total de calor q = qb − qs por m2 de pared = 446 – – 923 = 1369 J s -1
Transmisión de calor en superficies
Newton determino experimentalmente que la velocidad velocidad de enfriamiento de la superficie de un sólido sumergido en un fluido mas frio es proporcional a la diferencia de temperaturas existentes entre la superficie del sólido y el fluido refrigerante; este fenómeno se conoce por la ley de newton del enfriamiento y se expresa por una ecuación similar a la ecuación (5.2). q = hs A (t a - t s )
en la que hs es el coeficiente de transmisión de calor de la superficie , t a la temperatura del fluido refrigerante refrigerant e y t s la temperatura de la superficie del sólido . El coeficiente de transmisión de calor superficial se puede considerar como la conductancia de una película superficial hipotética del medio x f f tal que hs= k f f / x f f , siendo k f f la conductividad térmica del medio refrigerante . de espesor x Siguiendo el mismo razonamiento, se puede considerar que hs se debe a la presencia de otra capa de la pared compuesta que consideramos anteriormente. El calor pasa a través de la superficie , luego a través de los distintos elementos de la pared y finalmente a través de otra película superficial . Se puede escribir la siguiente y muy importante ecuación. )] q = A ∆t [(1/ hs1 ) + x 1 / k 1 + x 2 2 /k 2 2 +….+ (1/ h s2 = UA ∆t ) y hs1 , hs2 son los coeficientes superficiales a en la que 1/U = (1/ hs1 ) + x 1 / k 1 + x 2 2 /k 2 2 +….+ (1/ hs2 cada lado de la pared compuesta , x 1 , x 2 2 … son los espesores de las de la capas que forman la pared y k 1 , k 2 2 … son la conductividad de las capas de espesor x 1 , x … E coeficiente h s se conoce también por coeficientes de transmisión de calor por convección , y sus valores se discutirán en detalle en el epígrafe de la conducción de calor por convección. Sin embargo, ahora es interesante observar su valor en distintas condiciones, en la tabla 5.1.
TABLA 5.1 VALOR APROXIMADO DE LOS COEFICIENTES DE TTRANSMISION DE CALOR SUPERFICIALES
h
-2 -1
J m s °C -1
Líquidos en ebullición Líquidos condensantes Aire inmóvil Aire en movimiento movimiento (3 m s -1 ) Liq. que fluyen a través de tuberías
2.400-24.000 1.800-18.000 6 30 1.200-6.000
EJEMPLO 5.4. Se calienta una disolución de azúcar en un recipiente con camisa calefactora construido con acero inoxidable de 1,6 mm de espesor . El calor procede de la condensación del
vapor de agua a 200 kPa en la camisa. Los coeficientes de transmisión superficiales del vapor condensante y de la disolución de azúcar son, respectivamente , 12.000 y 3.000 J m -2 s-1 °C -1 y la conductividad térmica del acero inoxidable de 21 J m -1 s-1 °C -1. Si la superficie de transmisión de calor es de 1,4 m 2 y la temperatura de la disolución de azúcar de 83 °C, calcular la cantidad de vapor de agua que se condensa por minuto. A partir de las tablas tablas de vapor vapor de agua (Apéndice (Apéndice 8) se deduce deduce que la temperatura temperatura de saturación saturación del del -1 vapor a 200 kPa = 134°C y el calor latente = 2.164 kJ kg . Para el acero inoxidable x/ k = 0,0016/21 = 7,6 x 105 ∆t = (temperatura del vapor condensante) – condensante) – (temperatura de la disolución de azúcar) 134 – 134 – 83 = 51 °C
De la ecuación (5.5) 1 U = 1/12.000 + 7.6 X 10 -5 + 1 /3000. U = 2032 J m-2 s-1 °C -1 Y como A = 1.4 m 2 q = UA ∆t
= 2032 x 1.4 x 51 = 1.45 x 10 5 J s-1
es decir la cantidad de vapor de agua necesaria por segundo = calor transferido por segundo / calor latente del vapor = 1,45 x 10 5 / (2,164 x 10 6 ) kg s-1
= 0,067 kg s -1
TRANSMISION DE CALOR EN ESTADO NO ESTACIONARIO En la ingeniería de procesos de los alimentos la transmisión de calor en estado no estacionario es muy frecuente, de tal modo que en estos procesos cambian de temperatura y las sustancias se calientan o se enfrían. Desgraciadamente, el estudio del flujo de calor en estas condiciones es complicado; de hecho, constituye una rama importante de las matemáticas aplicadas, incluyendo la búsqueda de soluciones de la ecuación de Fourier, expresada en forma de ecuaciones diferenciales parciales en tres dimensiones. Sin embargo, existen circunstancias en las que se pueden hacer simplificaciones hasta hacerlo apto para su estudio en métodos elementales; también existen graficas que pueden utilizarse en determinadas condiciones para obtener soluciones numéricas de importancia practica. Un caso sencillo de transmisión de calor en estado no estacionario se presenta al calentar o enfriar cuerpos sólidos, buenos conductores del calor; tomemos por ejemplo, un cilindro largo , como una salchicha de carne, o una barra de metal que se enfrían al aire. La velocidad a la que la superficie del cilindro transmite calor al aire viene dada por la ecuación (5.4) dQ d θ = hs A(t s - t a ). siendo t a la temperatura del aire, y t s la temperatura de la superficie. El calor que pierde la superficie del cilindro ha de ser transmitido por conducción desde el interior hasta la superficie; su valor es difícil de determinar, aunque se puede considerar de forma aproximada que el calor se transmite desde el centro del cilindro. En este caso podemos evaluar la caída de temperatura requerida para producir la misma velocidad de flujo de calor desde el centro del cilindro a la superficie y de esta al aire; este valor es algo superior al real, ya que la mayor parte del calor recorre, de hecho, un camino mas corto. Suponiendo que todo el calor fluye desde el centro hasta el exterior del cilindro, se puede escribir la siguiente ecuación de conducción θ = (k L) A ( t c - t s ) dQ d θ =
en la que t C es la temperatura en el centro del cilindro, k es la conductividad térmica de la sustancia de que está constituido el cilindro y L es el radio del cilindro. Igualando estas velocidades se tiene: hs (t s - t a) = (k L) (t C - t s )
y por tanto hs L k = (t s - t a) (t C - t s )
Por ejemplo, en el caso de un cilindro de cobre de 15 cm de radio que se enfría al aire, donde k = 380 J m-1 s-1 °C -1, hs = 30 J m-2 s-1 °C -1 (de la Tabla 5.1) y L=0,15 m, (t c - t s ) /(t s - t a) = (30 x 0,15) / 380 = 0,012
En este caso e 99 σ0 de la caída de temperatura tiene lugar entre el aire y la superficie del cilindro, por o que cíd de tempertur dentro de ciindro (1 σ 0) puede despreciarse. Por otra parte, si el cilindro estuviera hecho con un material poco conductor, como en el caso de la salchicha, si tuviera un diámetro muy grande o si el coeficiente de transmisión de calor superficial fuera muy grande no se podría despreciar esta caída interna de temperatura. Este ejemplo sencillo muestra la importancia de la relación. relación .
Este número a dimensional se conoce por número de Biot (Bi), y hay que tenerlo en cuenta siempre que exista flujo de calor en estado no estacionario. Cuando (Bi) es pequeño, lo que en la práctica equivale a valores inferiores a 0,2 se puede considerar que el interior y la superficie del solido están a una misma temperatura uniforme. Cuando (Bi) sea menor que 0,2 se puede utilizar un razonamiento sencillo razonamiento para predecir la velocidad de enfriamiento del cuerpo solido.
En un cilindro hecho de un material buen conductor enfriándose al aire. θ dQ = hs A(t s - t a ) d θ
Esta pérdida de calor enfría al cilindro de acuerdo con la ecuación del calor específico: dQ = c ρ V dt
en la que c es el calor especifico de la sustancia de que está formado el cilindro, ρ es su densidad y V el volumen del cilindro . Como el calor perdido por el cilindro, se pueden igualar estos dos valores de dQ: ρ V dt V dt = hs A (t s - t a ) d θ θ c ρ d θ h θ hs A c ρ ρ V = dt ( t t s - t a)
integrando entre las temperaturas inicial t s = t 2, y final ( t s = t 2) del cilindro durante el periodo de resut: enfriamiento, θ , resut: -θ h θ hs A / c ρ ρ V = log c c (t 2 - t a) (t 1 - t a)
O bien (t 2 - t a) (t 1 - t a )= exp (- hs A θ c θ c ρ ρ V)
(5.6)
Es decir, se pueden calcular las temperaturas para cualquier intervalo deseado siempre que se conozca el coeficiente de transmisión superficial y los otros factores físicos; así se consigue una razonable aproximación, siempre que (Bi) sea menor que 0,2. Cuando (Bi) es mayor que 0,2 el centro del solido se enfriara mucho más lentamente de lo que se indica esta ecuación. Esta ecuación no está restringida a los cilindros, sino que se aplica a los sólidos, de cualquier forma, siempre que se cumpla la restricción del valor del (Bi), calculado a partir de la semidimension más pequeña. Existen graficas que dan esta relación entre las temperaturas de los sólidos de formas sencillas en condiciones generales de conducción en estado no estacionario. Estas grafica se han calculado a partir de las soluciones de la ecuación de conducción y se representan en función de grupos a
dimensionales para que su utilidad sea más general. Las soluciones de la ecuación de conducción son del tipo: f (t (t 2 – t a) ( t 1 – t a )=F (k θ / / cρL2 )( hs L k)
(5.7)
siendo f y F funciones de los términos que le siguen, t 1 la temperatura inicial del sólido, t 0 la temperatura del medio calefactor o refrigerante, t la temperatura del solido al tiempo θ ,(k θ cρ L2) es el numero de Fourier (Fo) (que contiene el factor k /cρ , denominado difusividad térmica , que se iguala a la conductividad térmica, que es igual a la conductividad térmica dividida por la capacidad volumétrica) y ( h s L / k) es el numero de Biot. Para estos cálculos es muy útil la solución matemática que relaciona los resultados para situaciones de dos o tres dimensiones con los procedentes de situaciones de una sola dimensión y que dice que se puede obtener el valor bi o tridimensional F (x, y, z ) por simple multiplicación de los resultados individuales F(x) , F (y) , F (z) : F(x,y) = F(x)F(y) y F(x,y,z) = F(x)F(y)F(z)
A partir de estos resultados resultados se puede obtener obtener la solución para para la calefacción calefacción o enfriamient enfriamiento o de un ladrillo a partir de las soluciones de tres láminas; y la solución para un cilindro de dimensiones finitas,
FIG. 5.3 Conducción de calor en estado no estacionario: temperaturas en el centro de un esfera , de una l amina y de un cilindro (con permiso de Agricultural process process engineering . Henderson y Perry, Wiley, Nueva York ).
como un bote metálico, multiplicando las soluciones para un cilindro infinito y una lamina. En la Fig. 5.3 se representan las graficas que dan las velocidades de transmisión de calor en estado no estacionario para una lámina, un cilindro y una esfera. En ordenada se representa el cambio de temperatura fraccional no realizado (t 1 – t 0)/ ( t 1 – t 0); en abscisas el numero de Fourier, que se puede imaginar como una coordenada de tiempo. Las distintas curvas corresponden a diferentes valores del número de Biot. En las obras de McAdams (1954), Fishenden y Saunders (1950) y Perry (1973) se pueden encontrar graficas más detalladas con temperaturas medias y superficiales, además de las temperaturas del centro. EJEMPLO 5.5 Se trata de procesar embutidos en un autoclave. El embutido se puede considerar térmicamente equivalente a un cilindro de 30 cm de longitud y 10 cm de diámetro. Si los embutidos están inicialmente a la temperatura de 21°C y si la temperatura del autoclave se mantiene a 116°C. Calcular cual será la temperatura en el centro del embutido dos horas después de ser introducido en el autoclave. Supóngase que la conductividad térmica del embutido es de 0,48 J m1 -1 s °C -1, que su peso especifico es de 1,07 y su calor especifico de 3.350 J kg -1 °C. El coeficiente superficial de transmisión de calor en calor en el autoclave a la superficie del embutido es de 1.200 J m-2 s-1 °C -1. Este problema se puede resolver combinado las soluciones en estado transiente para un cilindro y una lamina dadas por la Fig. 5.3. (a) Para el cilindro de radio 5 cm (en vez de L en este caso) el numero de Biot vale Bi = hs r / k = (1.200 x 0.05) / 0.48 =125 (a menudo en estos sistemas la longitud es la mitad del espesor , el radio , pero esto hay que comprobarlo en la grafica usada ). 1/(Bi) = 8 x 10 -3 Después de 2 horas, = 7.200 s.
K c ρ r 2 = (0,48 x 7200) 3350 x 1.07 x 1000 x (0,05) 2
= 0.39 y de la Fig. 5.3 se obtiene (t – t0) = 0,175 0 esto es, F(x)
(b) Para la lamina de semiespesor
Bi = hs L k = (1.200 x 0,05) 0,48 = 375
1/ (Bi) =
2,7 x 10 -3
k c ρ ρ r 2 = (0,48 x 7200)[3350 x 1,07 x 1000 x (0,15)] = 4.3 x 10 -2 y de la Fig. 5.3
(t – t 0) ( t 1 – t 0) = 0,98 = say. F(y). (t – t 0)( t 1 – t 0) = F(x)x F(y) =0,175 x 0,98 =0,172
t 2 °C 2 = 100 °C
TRANSMISION DE CALOR POR RADIACION La transmisión de calor por radiación es la transferencia de energía por medio de la radiación electromagnética. La radiación es independiente del medio a través del cual opera y depende solo de las temperaturas relativas, de la distribución geométrica y de la estructura superficial de los materiales que emitan o absorban calor. Cae fuera de los límites de este libro el cálculo detallado de las velocidades de transmisión del cálculo detallado de las velocidades de transmisión del calor radiante, aunque para calcular los efectos del calor radiante de la mayoría de las operaciones de procesado de los alimentos basta con un tratamiento simplificado. La radiación puede ser significativa aunque las diferencias de temperaturas sean pequeñas, como por ejemplo en la desecación y en los almacenes frigoríficos, pero en general solo es importante cuando la diferencia de temperaturas es grande; en tales circunstancias la radiación suele ser el modo de transmisión de calor más importante, pudiendo servir de ejemplo los hornos de las panaderías y los desecadores radiantes. La ley de Stefan-Boltzmann es la formula básica de la transmisión de calor radiante q = A σ T 4 (5.8) en la que T es la temperatura absoluta (medida desde el cero absoluto de temperaturas de 273°C ), en grados kelvin (K) en el SI y σ ( sigma) sigma) es la constante de Stefan-Boltzmann = 5,73x10 -8 J
m-2 K -4 . Las temperaturas absolutas se calculan con la formula K = (°C + 273). Esta ley de la radiación emitida por un radiador perfecto (denominado también cuerpo negro, aunque en la actualidad se le llama alambre al rojo). Un cuerpo negro emite la cantidad máxima de radiación posible a la temperatura particular de que se trate. Las superficies reales a una temperatura particular de que se trate. Las superficies reales a una temperatura T no emiten tanta energía como predice la ecuación (5.8), sino solo una fracción constante de ella; para estos cuerpos reales que solo emiten una fracción constante de la radiación del cuerpo negro se ha de escribir aquella ecuación de la forma: q = ϵ A A σ T 4
(5.9)
en la que ϵ (épsilon ϵ (épsilon ) es la emisividad del cuerpo cuyo valor numérico varía entre 0 y 1. A los cuerpos
que obedezcan esta ecuación se les denomina cuerpos grises. Las emisividades varían con la temperatura T y con la longitud de onda de la radiación emitida. Para la mayoría de los fines es suficiente suponer que las superficies negras mates (lámparas negras o tostadores) tienen emisividad igual a 1, las superficies blancas, como el papel o los metales pintados o la madera, o incluso algunos alimentos, tienen emisividades de 0,9; las superficies metálicas pulidas tienen emisividades de 0,005 o menores todos estos valores son validos para las temperaturas bajas o moderadas que se suelen encontrar en la tecnología de los alimentos. Los cuerpos negros absorben radiación de la misma forma que la emiten y obedecen a la misma ley, ecuación (5.8). De igual manera, también un cuerpo gris absorbe solo una fracción de la cantidad absorbida por un cuerpo negro, cantidad que corresponde a su absorción α = ϵ . La fracción de radiación incidente que no es absorbida se refleja, por lo que todavía existe otro término que podemos utilizar, la reflectividad, igual a (1 - α). Radiación entre dos cuerpos
La cantidad de energía radiante transferida entre dos superficies depende de sus temperaturas, de su distribución geométrica y sus emisividades. Si dos superficies paralelas están una frente a otra, cada una ha de interceptar la energía total emitida por otra, bien absorbiéndola o reflejándola. En tal caso el calor total transmitido desde la superficie más caliente a la más fría viene dada por q = A C σ ( T 1 4 - T 2 2 4 )
(5.10)
1 , ϵ 1 es la emisividad de la superficie a la temperatura T 1 y ϵ 2 en la que 1/C = 1/ ϵ 1 + 1/ ϵ 2 2 – 2 es la emisividad de la superficie a la temperatura T 2 . Radiación desde el entorno a un cuerpo pequeño
En el caso de un cuerpo relativamente pequeño se encuentra en un medio ambiente de temperatura uniforme, la cantidad total de calor intercambiada viene dada por la ecuación
4 ϵ ( T 1 4 - T 2 q = A σ ϵ ( 2 )
(5.11)
en la que ϵ es la emisividad del cuerpo, T 1 es su temperatura absoluta y T 2 2 es la temperatura absoluta del entorno. La ecuación (5.11) es válida para la mayor parte de las aplicaciones prácticas de la tecnología de los alimentos ; por ejemplo, una hogaza de pan en un horno, o un canal de carne, que radia calor a las paredes de la cámara de congelación. Para la transmisión de calor por radiación es conveniente escribir una ecuación similar a la ecuación (3.5) de la transmisión de calor por conducción, a fin de poder comparar las distintas formas de transmisión de calor. Esta ecuación, para la transmisión de calor por radiación es q = hr A ( t 1 - t 2 2 ) (5.12) en la que hr es el coeficiente de transmisión d calor por radiación, t 2 la temperatura del entorno. Como ( T 1 - T 2 273) –(( t 2 2 ) = ( t 1 + 273) – 2 +273 )
= ( t 1 - t 2 2 )
Se pueden igualar las ecuaciones (5.11) y (5.12) 4 σ ϵ (( T 1 4 - T 2 q = hr A ( T 1 - T 2 2 ) = A σ ϵ 2 ) 4 σ ϵ ( T 1 4 - T 2 hr = σ ϵ 2 ) / ( T 1 - T 2 2 ) 2 2 ϵ ( T 1 + T 2 = σ ϵ ( 2 ) ( T 1 - T 2 2 )
Y si T m = ( T 1 + T 2 2 ) / 2 . se puede escribir T 1 + = T m y T 2 2 – = T m Con lo que 2 = T 1 - T 2 2 También ( T 1 + T 2 2 ) = 2 T m
Y finalmente
2 2 ( T 1 2 + T 2 T m + 2 ) = T m - 2 2 2 = 2T m + = 2T m2 + ( T 1 - T 2 2 )2
2
+ T m2 + 2 T m+ 2
2 σ ϵ ( hr = σ ϵ ( 2T m ) [ 2T m 2 + ( T 1 - T 2 2 ) ]
Ahora bien; si ( T 1 - T 2 2 ) << T 2 2 es decir, si la diferencia entre las temperaturas es pequeña comparada con los valores numéricos de las temperaturas absolutas, se puede escribir : hr = σ ϵ σ ϵ 4 4 T m 3
o bien q = hr A ∆T = (4 x 5,73 x 10 -8 x T m 3 x ϵ x ϵ ) ) x A ∆T = 0.23 ϵ (T ϵ (T m / 100)3 A ∆T
(5.13)
EJEMPLO 5.6 Calcular el calor neto global transmitido por radiación a una hogaza de pan en un horno que está a un temperatura uniforme de 117 °C, utilizando la ecuación (5.11), si la emisividad de la superficie de la hogaza es 0,85. Comparar este resultado con el obtenido utilizando la ecuación (5.13). El área superficial total y la temperatura de la hogaza son, respectivamente, 0,0645 m 2 y 100 °C.
4 σ ϵ (( T 1 4 - T 2 q = A σ ϵ 2 )
= 0.0645 x 0.85 x 5.73 x 10 -8 (4504 – 3734 ) = 68.0 J s -1
Según la ecuación (5.13) q = 0.23 ϵ (T ϵ (T m / 100)3 x A x ( T 1 - T 2 2 )
= 0.23 x 0.85 (411/ 100) 3 x 0.0645 x 77 = 67.4 J s -1 Obsérvese que aun con diferencias de temperaturas bastantemente grandes, la ecuación (5.13) de resultados muy aproximados a los obtenidos con la ecuación (5.11)
TRANSMISION DE CALOR POR CONVECCION La transmisión de calor por convección consiste en la transmisión de energía por medio de movimientos de grupos de moléculas; está restringida a líquidos y gases, ya que en los sólidos es imposible el movimiento molecular de la materia. Al contrario de lo que sucedía con la transmisión de calor por conducción y por radiación, la transmisión de calor por conducción no se puede predecir matemáticamente, habiendo por ello de recurrir a resultados experimentales más que a la teoría. Las formulas más satisfactorias para la transmisión de calor por convección son relaciones entre números adimensionales de cantidades físicas. La tarea se facilita en parte porque las leyes de transporte molecular gobiernan tanto el flujo de calor como viscosidad, y por tanto la transmisión de calor convección y la fricción en fluidos están íntimamente relacionadas entre sí. A continuación continuación vamos vamos a estudiar estudiar los coeficientes coeficientes de convección convección en dos secciones: secciones: la primera de de convección natural, en la que el movimiento se produce debido a diferencias de densidad producidas durante la calefacción o le enfriamiento ; la segunda de convección forzada, en la que se aplica una fuente (manantial) externa de energía para producir el movimiento. En la práctica, ambos mecanismos tienen lugar simultáneamente.
Convección natural
Cuando un fluido está en contacto con una superficie más caliente o fría que él, tiene lugar la transmisión de calor por convección natural; a medida que el fluido se calienta o se enfría, su densidad varía; esta diferencia de densidades hace que el fluido que se ha calentado o enfriado se mueva con lo que la transmisión de calor continúa. Existen muchos ejemplos de convección natural en la industria alimentaria. La convección es significativa cuando las superficies calientes, como las autoclaves, que pueden ser cilindros
verticales u horizontales, están expuestas con o sin aislantes a un ambiente más caliente. También se produce cuando el alimento está colocado dentro de un congelador o de un frigorífico en el que la circulación está asistida por ventiladores. La convección es importante cuando el material está colocado en hornos sin ventiladores y cuando el material cocido es trasladado al aire fresco. Se ha observado que las velocidades de transmisión de calor por convección natural dependen de s constntes físics de fuido, densidd ρ , viscosidad µ, conductividad térmica k, calor específico a presión constante c p y coeficientes de expnsión térmic β (bet), que pr os gses es igu 1/T, según la ley de Charles. Otros factores que también influyen son alguna dimensión línea del sistema, el diámetro D o la longitud L, la diferencia de temperaturas Δt y naturalmente la aceleración de la gravedad g por ser las diferencias de densidad movidas por la gravedad las que producen la circulación. Las velocidades de transmisión de calor se expresan en función de un coeficiente de transmisión de calor por convección hc que es parte del coeficiente general de superficie hs en la ecuación (5.5). Se ha encontrado experimentalmente que la transmisión de calor por convección se puede describir por medio de la combinación de todos estos factores mediante números adimensionales, conocidos por los nombres de investigadores distinguidos en este campo: Número de Nusselt (Nu) = (hc D/ k ) Número de Prandtl (Pr) = ( c p µ/ k ) Δt/ µ2) Número de Grashof (Gr) = ( D 3 ρ2g β Δt/
complementados en algunos casos por la relación de longitudes (L/D). Si estos números adimensionales se pueden relacionar por medio de una sencilla función exponencial, entonces la ecuación mas general de la convección natural se puede escribir como: (Nu) = K (Pr)k (Gr)m(L/D)n
(5.14)
Se han evaluado experimentalmente los valores de K, k, m y n; para el caso particular de que se trate, así como las apropiadas características físicas del fluido. Con el número de Nusselt se puede determinar hc y por tanto, se puede conocer la velocidad de transmisión de calor por convección con solo aplicar la ecuación (5.5). En las ecuaciones de convección natural los valores de las constantes físicas del fluido se toman a la temperatura media existente entre la superficie y la masa del fluido. Los números de Nusselt y de Biot son similares: se diferencian en que el Nusselt k y h se refieren al fluido, mientras que en el Biot k se refiere al sólido y h al fluido. Ecuaciones para la convección natural
(1) Convección natural en cilindros verticales y planos, tales como autoclaves verticales y paredes de hornos:
for for Ecuaciones que se simplifican para el aire, quedando como:
(5.15)
(5.16)
( )
(5.17)
(5.18)
Estas dos últimas ecuaciones (5.17) y (5.18) son dimensionales y válidas solo para unidades Δt en ºC, L o D en metros y h c en J m-2 ·s-1·ºC -1). La dimensión característica a utilizar en el estándar ( Δt cálculo de (Nu) y (Gr) con estas ecuaciones es la altura del plano o del cilindro. (2) Convección natural en cilindros horizontales tales como en una tubería de vapor o en salchichas colocadas en un rack:
(5.19)
para flujo laminar entre 10 3 < (Pr ·Gr) < 10 9. En el caso del aire, que frecuentemente está en contacto con alimentos más calientes o más fríos que él, se pueden utilizar ecuaciones simplificadas:
( ) Y para
(5.17)
109 < (Pr ·Gr) < 10 12
(5.21) (3) Para la convección natural en placas horizontales, como una lámina de bollo enfriándose se pueden utilizar las mismas ecuaciones que para los cilindros, utilizando la longitud de las láminas en lugar del diámetro del cilindro cada vez que D aparezca en los (Nu) y (Gr). En el caso de láminas horizontales que se enfrían cuando están en zonas superiores y parece que actúan en contra de la circulación por convección natural, se ha encontrado que los resultados experimentales se reproducen bastante bien utilizando un valor de hc la mitad del dado por las ecuaciones (5.19 - 5.21). Obsérvese que las ecuaciones simplificadas son dimensionales. Por tanto, las temperaturas se han de dar en ºC, las longitudes en metros y hc en J m-2 s-1 ºC -1. Los vores de δ, k, y µ se miden a la temperatura de la película, que es intermedia entre la temperatura de la superficie y la temperatura de la masa global de líquido.
EJEMPLO 5.7. Calcular la velocidad de pérdida de calor por convección experimentada por las paredes laterales de un recipiente de cocina con forma de cilindro vertical de 0,9 m de diámetro y 1,2 m de altura. La parte exterior del aislamiento del recipiente en contacto con el aire está a 49 ºC y la temperatura del aire es de 17 ºC. Es necesario en primer lugar conocer el valor de (Pr ·Gr). Las propiedades del aire a la temperatura media de la película son,
⁄
El enunciado de la dimensión característica característica = altura = 1,2 m ; ΔT = 32 ºC
⁄ ⌊ ⌋⁄ ⌊
A partir de la ecuación (5.18)
Convección Forzada
La transmisión de calor por convección forzada tiene lugar cuando se fuerza a un fluido a pasar sobre un sólido, existiendo transmisión de calor entre ambos. En la industria alimentaria se pueden citar diversos ejemplos de este tipo de transmisión de calor, como en los hornos de convección forzada para la obtención de pan, en las ráfagas y congelamientos fluidizados, en las cámaras de endurecimiento de helados, en las autoclaves con agitación, en los congeladores de carne, en todos los comestibles cualquiera sea su forma, que sean calentados o enfriados por medio de un fluido que se mueva respecto a ellos por medios externos. Como el fluido que está en contacto con el sólido se renueva continuamente, las velocidades de transmisión de calor son mayores que en el caso de la convección natural. Como es de esperar, cuanto mayor es la velocidad del fluido, mayor es la velocidad de transmisión de calor; cuando las velocidades son pequeñas y, por tanto, las velocidades de transmisión de calor por convección natural y forzada son equiparables, el número de Grashof es todavía útil. Sin embargo, en general, la transmisión pasa de depender de los coeficientes de expansión térmica y la aceleración de la gravedad, según las leyes de la circulación natural, a depender de las velocidades s de circulación y del número de Reynolds. Como ocurre en la convección natural, las ecuaciones para la convección forzada se basan en los resultados experimentales y se agrupan de forma que permitan resolver las situaciones que se presentan con frecuencia en la práctica, como flujo de fluidos en tubos, tubos exteriores, etc. Ecuaciones para la convección forzada
(1) Calefacción y enfriamiento dentro de tubos, en los que generalmente se bombean los alimentos fluidos. En el caso de que la diferencia de temperaturas sea moderada, y la longitud del tubo razonablemente larga, para el flujo laminar se establece que: (Nu) = 4
(5.22)
Y cuando el flujo turbulento está totalmente desarrollado para (Re) > 2.100 y (Pr) > 0,5 (Nu) = 0,023 (Re) 0.8 (Pr)0.4
(5.23)
Cuando los líquidos son más viscosos, como aceites y jarabes, la transmisión de calor superficial será distinta según que el fluido se este calentando o enfriando, y para tener en cuenta los efectos de la viscosidad debe usarse la ecuación:
⁄
(5.24)
Para (Re) > 10.000
En ambos casos se toma como propiedades del fluido las de la masa global del fluido a excepción de , que es la viscosidad del fluido a la temperatura de la superficie del tubo. Para los gases, (Pr) varía poco, bien sea de un gas a otro o o con la temperatura, por lo que se puede considerar que vale 0,75 con lo que la ecuación (5.23) se simplifica a:
(5.25) En esta ecuación se supone que la relación de viscosidades carece de efecto y el resto de las cantidades se estiman a la temperatura de la masa global de gas. Para los demás factores constantes, hc = h’ u0.8 (2) Calefacción o enfriamiento sobre superficies planas. Se pueden poner muchos ejemplos de alimentos aproximados a superficies planas, como las hamburguesas, los helados, las láminas de queso, etc. En una superficie plana se plantea el problema de cómo caracterizar el flujo, ya que no se sabe qué longitud utilizar para calcular el número de Reynolds. Experimentalmente se ha observado, sin embargo, que basta para ello tomar la longitud de la lámina medida en la dirección del flujo, por lo que la ecuación recomendable es:
4 Para (Re) > 2 x 10
(5.26)
Si se trata de flujo de aire sobre superficies planas, la ecuación se simplifica:
(5.27) (5.28)
Como estas ecuaciones son dimensionales, sólo sirven para láminas lisas; los valores de hc son algo mayores cuando las láminas son rugosas. (3) Calefacción y enfriamiento en el exterior de tubos, como los congeladores de agua, las salchichas congeladas o los spaghettis. Los datos experimentales han conducido a la siguiente ecuación
(5.29)
Las potencias n y m varían con el número de Reynolds. Para obviar de nuevo que valor de D utilizar, se aconseja utilizar el diámetro del tubo en la zona donde tiene lugar el flujo. Obsérvese así mismo que en este caso tampoco se puede usar el (Re) para caracterizar flujos laminares o turbulentos, ya que las normas que hemos dado para ello sólo son válidas para fluidos circulando dentro de los tubos. Para los gases o líquidos fluyendo con números de Reynolds moderados o grandes:
(5.30)
Para líquidos y números de Reynolds pequeños 1 < (Re) < 200:
(5.31)
Como para los gases (Pr)es prácticamente constante, se pueden, como hicimos con la ecuación (5.23), escribir ecuaciones simplificadas. Las propiedades del fluido en tales ecuaciones para la convección forzada se vsaloran a la temperatura media de la película, que es la media aritmética entre la temperatura de las paredes del tubo y la temperatura de la masa global del fluido. EJEMPLO 5.8. Por un tubo de 7,5 cm. de diámetro y mantenido a 74 ºC está fluyendo agua a 0,13 m s-1 a una temperatura de 24 ºC. Estimar el coeficiente de transmisión de calor.
Las propiedades del agua a 49 ºC son c P = 4.186 kJ kg -1
⁄ ⁄ ⁄
EJEMPLO 5.9. Calcular el coeficiente de transmisión transmisi ón de calor superficial de un puré puré de legumbres que está fluyendo a 3 m/min sobre una superficie pana de 0,9 m de longitud y 0.6 m de ancho, si se está condensando vapor de agua en la otra cara de la lámina de forma que la superficie que está en contacto con el puré está a 104 ºC. Suponer que las propiedades del puré de legumbres son: densidad 1.040 kg m -3 , calor específico 3.980 J kg -1 ºC-1, viscosidad 0,002 N s m -2, conductividad 0,52 J m-1 s-1 ºC-1.
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ De forma que luego ⁄ ⁄
EJEMPLO 5.10 ¿Cuál será la velocidad con la que pierde calor el recipiente de cocina del Ejemplo 5.7 si se provoca una corriente de aire de forma que el aire se mueve alrededor del recipiente con una velocidad de 61 m min -1? Suponiendo que el recipiente es equivalente a una lámina plana, y a partir de la ecuación (5.27)
⁄ 2 Como A = 3.4 m , Δt = 32 ºC
COEFICIENTES GLOBALES DE TRANSMISIÓN DE CALOR En los cálculos de transmisión de calor es más conveniente utilizar los coeficientes globales de transmisión de calor, basados en la diferencia total de temperaturas. En la ecuación (5.5) hemos introducido ya el coeficiente total U a través de la combinación de los coeficientes de conducción y superficiales. Los coeficientes de radiación, sujetos a las limitaciones discutidas en las secciones de radiación, también pueden incorporarse al coeficiente global. Estos coeficientes pueden combinarse con el de convección para dar un coeficiente de superficie global, como si fuera en serie, y así
(5.32)
Con ello se puede calcular el coeficiente global U para un sistema formado por una película superficial, una pared de varios componentes, y una película superficial, todo en serie, como el utilizado en la ecuación (5.5), de forma
⁄ ⁄
(5.33)
EJEMPLO 5.11 En el ejemplo 5.2 se ha calculado la conductancia global de los materiales de un frigorífico. Suponiendo que sobre la parte exterior de la pared sopla una corriente de aire de 6,7 m s -1 de velocidad y sobre la parte interior de la pared un aparato de refrigeración mueve el aire a velocidad de 0,61 m s -1 y que los coeficientes de radiación en las partes exterior e interior de la pared valen, respectivamente 6,25 y 1,7 J m -2 s-1 ºC-1, ¿Cuál es el coeficiente total de transmisión de calor de la pared?
De la ec. (5.28) resulta por tanto
En la superf. interior: 0.61 m s -1
En el ejemplo 5.2 vimos que la conductancia global de la pared valía
Y ahora ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
En general, uno o varios términos de la ecuación (5.33) son mucho más importantes que los otros, debido a su valor numérico; en tales casos, los términos importantes, aquellos que representan conductancias térmicas pequeñas, se dice que son los que controlan o dominan. Es decir, en el ejemplo 5.11 la introducción de los valores de los coeficientes superficiales casi no modifica el U global de la pared aislante. La situación podría ser la inversa en el caso de otras paredes que fueran mejores conductoras del calor. EJEMPLO 5.12 Calcular los valores respectivos de U para una pared formada por (a) 10 cm de ladrillo de conductividad térmica 0.7 J m -1 s-1 ºC-1. Los coeficientes superficiales de transferencia de calor son por un lado 9,9 y por el otro 40 J m -1 s-1 ºC-1. (a) Para el ladrillo
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
(b) Para el aluminio
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Comparando los resultados del Ejemplo 5.11 con los del 5.12 se puede observar que la importancia relativa de los términos varía. En el primer caso, la conductividad térmica del aislante es tan pequeña que el valor de U no varía prácticamente si se desprecian los términos superficiales. En el segundo caso, como las conductancias de la pared son todas del mismo orden que los coeficientes
superficiales, hay que tenerlas todas en cuenta para llegar a un valor razonablemente exacto de U . En el tercer caso, como la conductancia de la pared es grande, se puede despreciar frente a los términos superficiales en introducir errores apreciables en el U así calculado. El significado práctico de estas conclusiones es que si se conocen los términos dominantes se pueden despreciar los demás a la hora de calcular la transmisión de calor global, sin que por ello se produzcan errores apreciables. Por otra parte, si todos los términos son de la misma magnitud, no hay ninguno que domine y hay que tomarlos a todos en consideración.
TRANSMISIÓN DE CALOR CON VAPORES CONDENSANTES A veces es muy importante importante la velocidad velocidad de transmisión de calor obtenida obtenida cuando cuando un vapor se condensa a líquido. Esto ocurre en la industria de los alimentos en los recipientes calentados con vapor de agua, en los que el vapor se condensa, cediendo su calor; y en la destilación y evaporación, en las que el vapor producido ha de condensarse, para lo cual debe ceder el calor latente de vaporización a temperatura constante, la de ebullición del líquido. Se han desarrollado dos ecuaciones generalizadas: (1) Para la condensación en tubos verticales o superficies superficies planas:
[ ⁄ ]
(5.34) -1
, L es la altura de la lámina o tubo y os demás símbolos tienen el significado dado en las páginas anteriores. En que λ (mbd) es e cor tente de íquido que se condens en J kg
(2) Para la condensación en tubos horizontales
[ ⁄ ]
(5.35)
siendo D el diámetro de tubo
Éstas ecuaciones son válidas cuando la condensación da lugar a una película líquida sobre la superficie de condensdor; se denomin “condensción en peícu” y es e cso más frecuente y
que siempre se supone que ocurre, salvo que existan pruebas de lo contrario. Sin embargo, en algunos casos la condensación tiene lugar en forma de gotas que permanecen sobre la superficie y luego caen sin formar una película sobre toda la superficie. Como la película condensada ofrece resistencia a la transmisión de calor en la condensación de película son menores que las correspondientes a la condensación en gotas. La velocidad de transferencia de calor en la condensación en gotas es hasta diez veces mayor que la de la condensación en película. La contaminación del vapor que se condensa por otros vapores incondensables en las condiciones del condensador, puede tener un efecto profundo sobre los coeficientes globales. Un ejemplo de vapor no condensable es el aire en los vapores procedentes de un evaporador o en la camisa de una retorta de vapor. Este efecto adverso de los gases incondensables sobre los coeficientes globales de transmisión de calorse debe a la diferencia que existe entre los coeficientes de transmisión de calor por condensación normales (1.200-12.000 J m -2 s-1 ºC-1) y los coeficientes de transmisión de calornormales de los gases con convección natural o velocidades bajas, de alrededor de 6 J m -2 s-1 ºC-1. Es difícil calcular los coeficientes de condensación, por lo que para la mayoría de las aplicaciones es suficiente suponer que valen:
Para vapor de agua condensante, 12.000 J m-2 s-1 ºC-1 Para amoniaco condensante 6.000 J m-2 s-1 ºC-1 Para líquidos orgánicos condensantes, 1.200 J m-2 s-1 ºC-1 Los coeficientes de transmisión de calor del vapor de agua con 3% de aire disminuyen hasta 3.500 J m-2 s-1 ºC-1, y con 6% de aire a 1.200 J m -2 s-1 ºC-1 EJEMPLO 5.13 En una planta de refrigeración se utiliza un tubo de acero de 1mm de espesor de pared por cuyo exterior circula agua fría, para condensar amoniaco. Calcular el coeficiente global de transmisión de calor si el coeficiente del lado del agua es de 1.750 J m -2 s-1 ºC-1 y la conductividad del acero es de 45 J m -1 s-1 ºC-1. Suponiendo que el coeficiente del amoniaco condensante vale 6.000 J m -2 s-1 ºC-1.
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
TRANSMISÓN DE CALOR A LÍQUIDOS EN EBULLICIÓN Cuando un líquido entra en ebullición por hallarse cerca de una superficie caliente, se produce una agitación intensa a causa de los grandes coeficientes locales de transmisión de calor. Todavía no se dispone de ecuaciones para este fenómeno, a pesar del gran número de trabajos experimentales realizados sobre el particular. Se ha observado que el coeficiente aparente varía considerablemente con la diferencia de temperaturas existentes entre la superficie calefactora y el líquido. Para diferencias de temperaturas mayores que 20 ºC, los valores de h disminuyen, probablemente debido al recubrimiento de la superficie de calefacción con vapores. En el intervalo de diferencias de temperatura que van desde 1.200 hasta 60.000 J m -2 s-1 ºC-1. Para el agua hirviendo a presión
atmosférica es válida la siguiente ecuación:
(5.36)
En Δt es diferenci entre tempertur de superficie y de íquido en ebullición, que suele
estar comprendida entre 2 y 20 ºC. Para muchas aplicaciones los elevados coeficientes de ebullición en pelñicula no tienen mayor trascendencia, ya que la resistencia de la fuente de calor controla los coeficientes globales.
RESUMEN 1. El calor se transmite por conducción, radiación y convección. 2. Las velocidades de transmisión del calor vienen dadas por la ecuación general
t 3. Para la conducción del calor: 4. Para la radiación del calor
⁄
5. Los coeficientes totales de transmisión de calor vienen dados por: (a) Para conductancias en serie,
(b) Para radiación, conducción y convección
⁄ ⁄
6. Los coeficientes de transferencia transferenci a de calor por conducción vienen dados por la ecuación general:
Para la convección natural y
Para la convección forzada
PROBLEMAS 1. Se desea limitar las pérdidas de calor con una pared de espuma de poliestireno cuyo coeficiente coefic iente -2 -1 -1 de transmisión de calor es 8 J m s ºC . La temperatura a un lado de la pared es de 20 ºC, y al otro lado de -19 ºC. ¿Cuál es el espesor necesario de poliestireno? 2. Calcular el coeficiente global de transmisión de calor desde el aire a un producto empaquetado con 3,2 mm. de cartón y 0,1 mm. de celuloide, si el coeficiente superficial del aire 11 J m -2 s-1 ºC-1. 3. Las paredes de un horno están formadas por láminas de acero aisladas entre ellas con asbesto cuya conductividad térmica es 0,18 J m -1 s-1 ºC-1. Si la temperatura máxima interna del horno es de 300 ºC y en la superficie exterior no debe superar los 50 ºC. Calcular el espesor mínimo necesario de aislante sabiendo que los coeficientes de transferencia de calor al aire a ambos lados de la pared son de 15 J m -2 s-1 ºC-1. Suponer que la temperatura ambiente exterior al horno es de 25 ºC y que puede despreciarse el efecto aislante del acero. 4. Calcular la conductividad térmica térm ica de una pasta cruda cuando a una diferencia de temperatura de 17 ºC a lo largo de una lámina de 1,3 cm. de espesor, el flujo de calor es 3 x 10 -5 J s-1 a través de un área de 1 cm 2 de superficie. 5. En una cacerola está hirviendo una sopa; debido a la inadecuada agitación se ha formado una capa de sopa en el fondo de a cacerola con un espesor de 2mm.
La temperatura de la plancha es de 700 ºC, el coeficiente de transferencia de calor de la plancha a la cacerola es de 600 J m -2 s-1 ºC-1, y de la capa de sopa al seno de la papilla es de 1.400 J m -2 s-1 ºC-1. Si la cacerola es de aluminio de 2 mm. de espesor, calcular la temperatura que existe entre la capa de sopa y la cacerola. 6. Los guisantes se blanquean mediante la inmersión en agua caliente a 85 ºC, hasta que su centro alcanza una temperatura de 70 ºC. El diámetro medio del guisante es de 0,0048 m y sus propiedades térmicas son: la conductividad térmica 0,48 J m -1 s-1 ºC-1, el calor específico 3,51 x 103 J kg-1 ºC-1, y la densidad 990 kg m -3. El coeficiente superficial de transmisión de calor de los guisantes es de 400 J m -2 s-1 ºC-1. Calcular la longitud que deben tener el promedio de los guisantes para alcanzar una temperatura de 70 ºC en su centro, si la temperatura inicial, previa a la inserción es de 18 ºC. Si el diámetro del guisante más grande es 0,0063 m, ¿Cuál es la temperatura que alcanza su centro, sabiendo que el promedio es de 70 ºC? 7. Algunas personas creen que por su menor conductividad térmica, el acero inoxidable es inferior térmicamente al cobre o al acero como material de construcción de un recipiente recubierto con una camisa de vapor, utilizado para calentar alimentos. Si el coeficiente de condensación del vapor de agua y el coeficiente superficial de ebullición en las dos caras de superficie de calentamiento son respectivamente 10.000 y 700 J m -2 s-1 ºC-1, y el espesor de los tres metales es de 1,6 mm. comparar las velocidades de transferencia de calor en los tres materiales. 8. Un cilindro largo de aluminio de 7,5 cm. de diámetro está inicialmente a una temperatura de 5 ºC y se introduce en ráfagas de aire a 100 ºC. Si se quiere que la temperatura en el centro del cilindro alcance 47,5 ºC después de 850 segundos, calcular el coeficiente superficial de transferencia de calor del cilindro respecto al aire. 9. Un bote de puré de calabazas de 8,73 cm de diámetro de 11,43 cm de alto se calienta en uan autoclave al vapor a una presión de 100 kPa por encima de la atmosférica. Si la calabaza tiene una conductividad térmica de de 0,83 J m -1 s-1 ºC-1, un calor específico de 3.770 J kg -1 ºC-1 y una densidad de 1.090 kg m 3 representar la temperatura en el centro del bote en función del tiempo, cuando la temperatura alcanza 115 ºC si la temperatura del bote antes de introducirlo en el vapor es de 20 ºC. 10. Si un hervidor puede representarse por un cilindro vertical de 1,1 m de diámetro y 1,3 m de altura, y si se mantiene internamente a una presión de vapor de 150 kPa, calcular la energía necesaria, sabiendo que el recipiente está aislado con una capa de lana de mineral de 5 cm de espesor, y que la transferencia de calor a través de la superficie se realiza por convección natural, la temperatura del aire que lo rodea es de 18 ºC y la conductividad térmica del aislante es de 0,04 J m -2 s-1 ºC-1. 11. Se desea enfriar 3m3 de agua por hora mediante un enrollamiento horizontal por el que se evapora amoniaco. Si el enrollamiento de acero tiene 2,13 cm de diámetro exterior y 1,171 de diámetro interior, y el agua se bombea por el exterior a una velocidad de 0,8 m s -1, calcular la longitud de la tubería si la diferencia media de temperatura, entre el refrigerante y el agua es 8 ºC, la temperatura media del agua es de 4 ºC y la temperatura del agua disminuye 15 ºC en el refrigerador.
