67
| GRUPOS
Exercícios 1. Seja f : (G1 , #, u)) → (G2 , ∗, e)) um homomorfismo de grupos e n um inteiro positivo. Mostrar que, para a1 , a2 ,...,an ∈ G, vale f (a1 #a2 #...#an ) = f (a1 ) ∗ f (a2 ) ∗ ... ∗ f (an ). 2. Achar o núcleo do homomorfismo f : Z → C∗ definido por f (m) = im . 3. Determinar o núcleo do homomorfismo f : R∗+ → R definido por f (x) = log x. 4. Dar uma demonstração da Proposição 2.17. 5. Dar uma demonstração da Proposição 2.16. 6. Dar uma demonstração das propriedades da Proposição 2.18. 7. Mostrar a validade do Lema 2.22. 8. Verificar se as seguintes funções são homomorfismos. (a) f : Z → Z × Z, dada por f (n) = (−n, n). (b) f : Z × Z → Z, dada por f (m, n) = m · n.
(( )) − (( )) − (× − ) a b
(c) f : M 2×2 (R) → R × R, dada por f (d) f : GL2 (R) →
R∗ ,
dada por f
c d
a b c d
é o grupo multiplicativo das matrizes reais 2 (e) f : C∗ → GL2 (R) dada por f (a + bi) =
= (a
= ad
d, b
− c).
bc, onde GL2 (R)
2 invertíveis. a b . b a
(f) f : C∗ → C∗ , dada por f (a + bi) = a − bi. (g) f : C∗ → C∗ , dada por f (a + bi) = b + ai. (h) f : C∗ → R∗ , dada por f (z) = |z |. (i) f : R → R, dada por f (x) = x 2 . (j) f : R∗ → R∗ , dada por f (x) = x 2 . (k) f : Z → C∗ , dada por f (n) = i n . 9. Determinar o núcleo de cada homomorfismo do exercício anterior. 10. Sejam G um grupo e g ∈ G. Verificar que função f : G → G definida por f (a) = gag ′ é um isomorfismo. 11. Seja G um grupo. Verificar que a função f : G → G, definida por f (a) = a ′ , é um homomorfismo. Caso G seja abeliano, mostrar que f é um isomorfismo.
