1
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Di dalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Masalah umum interpolasi adalah menjabarkan data untuk fungsi dekatan, dan salah satu metode penyelesaiannya dinamakan Metoda prinsip Substitusi. Dalam mata kuliah metode numerik ada materi Interpolasi linear dan kuadratik. Materi ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.
Apabila
adalah suatu fungsi dengan nilai-nilai :
0
0
Dan jika
untuk variable
1
1
2
2
3
3
4
4
n
n
adalah fungsi sederhana sembarang sedemikian rupa sehingga memberikan nilai yang hampir sama dengan
,
2
maka bila
digantikan oleh
proses interpolasi dan fungsi Fungsi
pada interval yang diketahui, hal ini disebut
adalah rumus interpolasi untuk fungsi.
dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan. Apabila
dinyatakan sebagai fungsi polinomial parabolik, sedangkan bila
, proses disebut interpolasi polinomial atau
dinyatakan dalam persamaan fungsi trigonometri,
proses disebut interpolasi trigonometri. Bila
dinyatakan dalam fungsi
eksponensial, polynomial Legendre atau fungsi Bessel atau bentuk fungsi spesifik lainnya, maka pemilihan bentuk fungsi tersebut didasarkan pada anggapan atau perilaku data yang dianggap cenderung mempunyai pola fungsi-fungsi tersebut. B. Permasalahan
Berdasarkan latar belakang tersebut, kami menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode numerik dengan menggunakan perhitungan manual dan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic. 1. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode numerik dengan menggunakan perhitungan manual? 2. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic? C. Tujuan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Pemahaman penerapan metode numerik dalam cara kerja matematika untuk menyelesaikan permasalahan matematis atau perhitungan. 2. Menyelesaiakan masalah interpolasi linear dan kuadratik dengan menggunakan bahasa pemrograman pascal.
3
BAB II PEMBAHASAN A. Persoalan Interpolasi Polinom
Mempelajari berbagai metode interpolasi yang ada untuk menentukan titik-titik antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu. Diberikan n + 1 buah titik berbeda, ( x0, y0), ( x1 ,y1), . . . , ( xn, yn). Tentukan Polinom pn( x) yang menginterpolasi (melewati) semua titik-tik tersebut sedemikian rupa sehingga yi = pn( x) untuk i – 0, 1, 2, . . . ,n. Nilai yi dapat berasal dari fungsi matematika f ( x) (seperti ln x, sin x, fungsi Bessel dan sebagainya) sedemikian sehingga yi = f ( x). Atau yi berasal dari nilai empiris yang diperoleh melalui percobaan atau pengamatan. Y ( xn-1 ,yn-1) (a,pn(a)) ( x2 ,y2)
( xn ,yn)
( x1 ,y1)
(a,pn(a)) ( x3 ,y3)
( x0 ,y0) X x = a
x = a
Gambar 2.1 Interpolasi dan Ekstrapolasi Setelah polinom interpolasi pn( x) ditemukan, pn( x) dapat digunakan untuk menghitung perkiraan nilai y di x = a, yaitu y = pn(a). Bergantung pada letaknya, nilai
mungkin terletak dalam rentang titik-titik data ( x0 < a < xn) atau di luar rentang
titik-titik data (a < x0 atau a>xn): (i)
Jika ( x0 < a < xn) maka yk = p
disebut nilai interpolasi (interpoluted value)
(ii) Jika data (a < x0 atau a>xn) maka yk = p( xk ) disebut nilai ekstrapolasi (extrapolated value)
4
B. Interpolasi Linear
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, ( x0 ,y0) dan ( x1 ,y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk: P1( x) = a0 + a1 x Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik ( x0 ,y0) dan ( x1 ,y1). Y
( x1 ,y1)
( x0 ,y0) X
Gambar 2.2 Interpolasi Linear Y
( x0 ,y0)
( x1 ,y1)
X
Gambar 2.3 Interpolasi Linear Koefisien
dan
mensubstitusikan
dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan dan
diperoleh dua persamaan linear:
ke dalam persamaan
5
. . . . . (1)
. . . . . (2)
Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh:
Substitusikan nilai
ke dalam persamaan (1), diperoleh:
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai sebagai berikut:
dapat dilakukan
6
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara berikut: Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus. Y
P2 ( x1 ,y1) ( x,y)
P1( x0 ,y0)
X Gambar 2.4 Interpolasi Linear Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P 1 ( x0, y0) dan P2 ( x1, y1) dapat dituliskan dengan:
7
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut:
C. Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Linear
a. Algoritma Interpolasi Linear
{} {}
1. Tentukan nilai
2. Periksa apakah
. Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3. 3. Masukkan nilai . 4. Periksa apakah
. Jika tidak, maka masukkan nilai
yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5. 5. Hitung
.
6. Periksa apakah 7. Tulis hasil
. Karena jika sama, maka akan diperoleh
.
.
8
b. Diagram alir interpolasi linear
MULAI
Input
Ya
Tidak
Input
Tidak
{} {} Ya
Ya
Tidak
Tulis hasil
Tulis hasil
SELESAI
9
D. Contoh Soal
1. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 berdasarkan data tabulasi berikut:
Tahun
2000
2010
Jumlah Penduduk
179.300
203.200
Penyelesaian: Dipunyai: x0 = 2000, x1 = 2010, y0 = 179.300, y1 = 203.200. Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005. Ingat :
Misalkan
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 adalah 191.250 orang.
2. Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2) dengan interpolasi lanjar sampai 5 angka bena. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(9.2)=2.2192. Penyelesaian: Dipunyai:
.
Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan nilai sejati ln(9.2) = 2.2192. Ingat:
10
Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi linear Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10 -4 .
E. Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data,
. Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:
Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.4 dan Gambar 2.5 Y x1 ,y1
y1
y2
y0
x2 ,y2
x0 ,y0
x0
x1
X
x2
Gambar 2.5 Interpolasi kuadratik. Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain, selain yang ditunjukkan pada Gambar 2.5, namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai
akan diperoleh
11
hanya sebuah nilai
. Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Ga mbar 2.6
di bawah ini atau semacamnya. Y x1 ,y1
y1
y2
x2 ,y2
y0
x0 ,y0
x0
x1
X
x2
Gambar 2.6 Bukan Interpolasi Kuadratik.
Menyelesaikan Polinom 1.
Substitusikan
ditentukan dengan cara berikut:
ke dalam persamaan
dengan
i = 0, 1, 2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak
2.
diketahui yaitu:
dan
Hitung
dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
dan
Gauss.
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan ditentukan dengan cara sebagai berikut: a) Hitung b) Hitung
dan
dan
dapat
12
F.
Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Kuadratik
a.
Algoritma Interpolasi Kuadratik Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut : 1. Tentukan nilai 2. Periksa apakah
. Jika tidak, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai
fungsinya tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.
{} {}
3. Masukkan nilai . 4. Periksa
apakah
.
Jika
tidak,
maka
masukkan nilai yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5. 5. Hitung 6. Hitung
7. Periksa apakah
Jika ya, maka persamaan yang dihasilkan linear. Jika
tidak maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat. 8. Tulis hasil
.
13
b.
Diagram Alir Interpolasi Kuadratik
MULAI
Input
Tidak
Ya
Input
Tidak
{} {} Ya
Tidak
Ya
Tulis hasil
Tulis hasil
Ket: Fungsi linear
SELESAI
14
G. Contoh Soal
1. Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik. Penyelesaian: Dipunyai:
Ditanya : Tentukan nilai ln (9.2). Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesai kan dengan metode eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut: Matriks yang terbentuk dari persamaan
adalah:
15
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
.
Polinom kuadratnya adalah:
2. Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola. Dengan data sebagai berikut t (detik)
Y (m)
5
2,01
6,5
2,443
8
2,897 Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola
pada saat t = 7 detik. Penyelesaian: Dipunyai data pergerakan suatu benda padat: t (detik)
Y (m)
5
2,01
6,5
2,443
8
2,897
Dengan menggunakan interpolasi kuasratik akan diprediksi ketinggian bola saat t = 7 detik. Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah:
16
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[ ] [ ] () ] [ [ ] ( ) [ ] [ ] Diperoleh :
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah:
Sehingga
= 2,588
Jadi,diprediksi, pada t = 7 detik tinggi bola 2,588 m.
17
KESIMPULAN Matlab adalah singkatan dari MATrix LABoratory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh The Mathwork Inc. yang hadir dengan fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Matlab merupakan bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis, visualisasi dan pemrograman seperti komputasi matematik, analisis data, pengembangan algoritma, simulasi dan pemodelan dan grafik-grafik perhitungan Pada awalnya Matlab dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek LINPACK dan EISPACK. Saat ini matlab memiliki ratusan fungsi yang dapat digunakan sebagai problem solver baik permasalahan yang mudah maupun masalahmasalah yang kompleks dari berbagai disiplin ilmu. Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Di dunia nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fu ngsi, yang mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil percobaan. Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi polinom,interpolasi linear, Interpolasi Kuadratik.