INTERPOLASI
Interpolasi adalah suatu teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Interpolasi sendiri terbagi menjadi beberapa jenis berdasarkan dengan fungsi dan cara penginterpolasiannya. Jenis-jenis interpolasi tersebut antara lain :
1. Inte Interp rpol olas asii Lini Linier er
Interpolasi linier merupakan algoritma matematika yang dapat diterapkan untuk menaksir titik harga tengahan melalui suatu garis lurus pada setiap dua titik masukan yang berurutan. Interpolasi ini merupakan polinomial tingkat pertama dan melalui suatu garis lurus pada setiap dua titik masukan yang berurutan. Dua titik masukan tersebut digunakan untuk menaksir harga-harga tengahan diantara titik-titik data yang telah tepat. Metode yang paling sering digunakan untuk maksud ini adalah interpolasi polinomial.
Adapun persamaan dari garis lurus tersebut adalah sebagai berikut:
Untuk menentukan nilai dari interpolasi tersebut, dapat digunakan algoritmatika pengerjaan seperti dibawah ini: •
Tentukan dua titik yang akan dicari penyelesaiannya, dicontohkan sebagai titik P1 (x1,y1) dan P2(x2,y2).
•
Lalu tentukan titik tengah dari kedua titik diatas, contohnya titik X sebagai titik tengahnya.
•
Hitung nilai Y dengan rumus diatas.
•
Tampilkan nilai titik yang baru.
Contoh: Cari nilai y untuk titik x=2.1 yang berada diantara titik(1,1.5) dan(3,2.5)
Jawab:
P1(1,1.5) danP2(3,2.5)
x=2.1
Jadi ditemukan titik terbarunya adalah P3 (2.1,2.5)
1. Interpolasi Kuadratik
Interpolasi kuadratik sebenarny hampir sama dengan interpolasi linier, namun interpolasi ini menggunakan berpangkat2 dengan menggunakan 3 titik pada pembentukan sebuah garisnya. Banyak penggunaan interpolasi linier tidak maksimum pada penggunaannya saat digunakan pada fungsi yang berpangkat dua, sehinggga interpolasi kuadratik ini pun ada agar fungsi dengan pangkat 2 mampu terselesaikan dan dapat dicari titik barunya dengan efektif.
Dari gambar diatas telihat bahwa pada interpolasi ini digunaakan tiga titik, yaitu P1(x1,y1), P2(x2,y2) danP3(x3,y3) Sedangkan nilai Q sendiri adalah nilai tengah dari titik yang ada, adapun untuk mencari titik Q(x,y) tersebut dapat diicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
Adapun untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan interpolasi kuadratik dapat dikerjakan dengan menggunakan algoritma pengerjaan sebagai beikut : •
Tentukan tiga titik yang akan dicari penyelesaiannya, dicontohkan sebagai titik P1 (x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3)
•
Lalu tentukan titik tengah dari kedua titik diatas, contohnya titik P4(x,y) sebagai titik tengahnya.
•
Hitung nilai Y dengan rumus diatas.
•
Tampilkan nilai titik yang baru.
Contohnya:
Cari nilai y untuk titik x=2.5 yang berada diantara titik(1,5), (2,2) dan (3,3) Jawab: P1(1,5) , P2(2,2) dan P3(3,3) x=2.5
Sehingga didapatkan nilai dari titik baru adalah P4(2.5 , 2)
1. Interpolasi Polinom Interpolasi polinom adalah interpolasi yang menggunakan perpangkatan N dengan menentukan titik antara N buah titik menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat N-1. Titik yang diketahui:
P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3)…PN(xN,yN)
Persamaanpolynomial pangkatN-1
Masukkan nilai dari setiap titik kedalam persamaan polynomial diatas, diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variabel bebas
Adapun algoritma untuk mengerjakan soal-soal dari interpolasi polinom adalah sebagai berikut : • •
•
Menentukan jumlah titik N yang diketahui. Memasukkan titik-titik yamg diketahui Pi=(xi,yi) untuk i=1,2,3,.....,N. Menyusun augment matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut :
•
•
Menyelesaikan persamaan simultan dengan augment matriks diatas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/jordan. Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan dia atas.
•
Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui. Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan
•
Menghasilkan nilai (x,y)
•
Contoh: Cari nilai y untuk titik x=3 yang berada diantara Titik-titik(3.2,22),(2.7,17.8),(1,14.2),(4.8,38.3) dan(5.6,51.7) x=3.2 x=2.7 x=1 x=4.8
a(3.2)3 + b(3.2)2 + c(3.2) + d = 22 3 2 a(2.7) + b(2.7) + c(2.7) + d = 17.8 3 2 a(1) + b(1) + c(1) + d = 14.2 a(4.8)3+ b(4.8)2+ c(4.8) + d = 22
Didapatkan: a = -0.5275 b = 6.4952 c = -16.117 d = 24.3499
Sehingga persamaan polynomialnya menjadi:
Untuk x = 3 didapatkan nilai y = 20.212
Titik terbaru yang didapat adalah (3,20.212)
1. Interpolasi Lagrange Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama. Misalkan fungsi y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sebagai berikut :
Contohnya:
Yang berkorespondensi dengan y = 10log x adalah
Carilah 10log 301 unruk menghitung y(x) = menjadi
10
log301 dimana x = 301, maka nilai diatas
