PENCOCOKAN KURVA (CURVE ) URVE F I TTI NG
Ada 2 pendekatan dalam curve fitting: 1. INTERPOLASI 2. REGRESI Perhatikan dua kurva di bawah dengan titik-titik data yang sama:
Interpolasi
Regresi
TERLIHAT BAHWA PADA INTERPOLASI SEMUA TITIK DATA DILALUI GARIS SEDANG PADA REGRESI TIDAK SEMUA DATA
Perbandingan regresi dan interpolasi Perbedaan masing-masing: Interpolasi
Regresi
Interpolasi Interpolasi berangkat dari asumsi bahwa titik-titik data memiliki akurasi yang tinggi (atau ralat dapat dianggap tidak ada), maka kurva fitting yang dihasilkan harus melalui semua titik, maka dikatakan menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi. Regresi:
Regresi berangkat dari asumsi bahwa sekumpulan titik data merupakan serangkaian data hasil pengukuran yang mengandung ralat, karena itu kurva fittingnya tidak harus melalui semua titik, yang penting adalah bahwa kurva yang dihasilkan mewakili trend titik-titik data secara keseluruhan. Kurva fitting yang terbentuk harus memiliki jumlah total ralat (selisih antara titik data dengan titik kurva) sekecil mungkin, sehingga metode ini disebut juga regresi kuadrat terkecil (least squar e r egr ession ) Ralat yang timbul pada data disebabkan oleh banyak faktor diantaranya: kesalahan dalam mengukur, ketelitian alat ukur dll. Metode ini banyak digunakan untuk kurva fitting data berketelitian rendah seperti data hasil pengamatan, hasil penelitian laboratorium atau data statistik. Data-data seperti ini disebut sebagai data hasil pengukuran
BAGAIMANA MEMILIH METODE YANG TEPAT UNTUK SUATU KUMPULAN DATA, APAKAH PERSAMAANNYA AKAN DIPEROLEH MELALUI INTERPOLASI atau REGRESI ? BEBERAPA KRITERIA YANG BISA MENJADI ACUAN: 1. Harus diketahui dahulu, apakah data-data tersebut kira-kira cukup teliti atau tidak, kalau data hasil peneltian, pengamatan, data statistik maka biasanya kurang teliti atau mentolerir adanya ralat, maka sebaiknya memakai regresi 2. Bila sebaran data acak dan rapat maka gunakan metode regresi 3. Bila data diperoleh dari penggunaan dari suatu fungsi yang rumit namun akan diganti mjd fungsi yang sederhana, maka pakailah interpolasi
4. Bila ada data yang nilai x nya sama tetapi nilai y=f(x) beda (ada 2 data dititik yg sama) maka gunakan regresi.
INTERPOLASI
Interpolasi yang umum dan banyak digunakan adalah INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON Berdasarkan jumlah data yang tersedia, ada beberapa bentuk interpolasi polinom Newton:
a. Interpolasi linier Bila hanya ada dua titik data, maka interpolasinya akan membentuk interpolasi linier
berlaku persamaan: y y0 m. x y0
(
y1 y0 x1 x0
)( x x0 )
atau ditulis dalam bentuk lain:
Polinomial yang terbentuk merupakan polinomial orde satu yang menghubungkan 2 titik menjadi garis lurus. Contoh soal: Penduduk suatu negara ditabelkan sbb:
Tentukan jumlah penduduk pada 1968:
Jawab: y y0 m. x y0 (
y (1968) 179,3 (
y1 y0 x1 x0
)( x x0 )
203,2 179,3 1970 1960
Pers polinomial orde 1:
)(1968 1960) 198,4 juta
y = 179,3 + 2.39 (x -1960)
Interpolasi kuadratik Bila ada tiga titik data, maka data dapat didekati dengan interpolasi kuadratik:
dengan pendekatan polinomialnya merupakan pengembangan dari interpolasi linier: dimana interpolasi linier: maka interploasi kuadratik: atau dengan
Terlihat gradien a2 merupakan kombinasi masing-masing gradien dari dua titik Kurvanya:
Soal: Data-data entalpi pada berbagai suhu suatu senyawa (diambil dari data referensi....shg dianggap ketelitian sangat tinggi): o Suhu F entalpi (Btu/lb) 220 1153,4 240 1160,6 260 1167,4 280 1173,8 o Perkirakan entalpi pada 252 F menggunakan interpolasi kuadratik!!!
Jawab: Karena yg diminta adalah interpolasi kuadratik, maka dipilih 3 titik acuan. Suhu 252 berada dalam range suhu 240 – 260, maka 3 titik acuan bisa dipilih dalam range 220-260 atau 240-280. Krn 252 lbh dekat ke range 240-280 maka diambil sebagai x0=240 ; x1= 260 ; x2 =280 interpolasi kuadratik: Maka a0= yo = f(x0) = 1160,6 btu/lb
1167,4 1160,6 = ( 260 240 ) 0,34 Shg bentuk interpolasi liniernya berdasar 2 titik pertama adalah y = 1160,6 + 0,34 (x - 240)
1173,8 1167,4
=
1167,4 1160,6
280 260 260 240 280 240
0,0015
Maka p2(x) =1160,6 + 0,34(x-240)-0,0015(x-240)(x-260) p2(252) =1160,6 + 0,34(252-240)-0,0015(252-240)(252-260)
=1160,6 + 4,08 + 0,144 = 1164,824 btu/lb
Latihan: entalpi pada suhu 248F? Interpolasi Kubik dan Derajat Lebih Tinggi Untuk interpolasi data yang lebih tinggi, maka dikembangkan dari interpolasi derajat lebih rendah, dengan tahapan:
Misalkan ada 4 titik data:
Maka persamaan interpolasi:
dengan a1dan a2 seperti di atas dan a3 diperoleh dari selisih gradien (m) masing-masing titik secara berurutan: m(3,2) m(2,1) a3
x3
x1 x3
m(2,1) m(1,0) x 2
x0
x0
Dengan memasukan semua data yang dimiliki dan disederhanakan maka akan diperoleh suatu pers. polinomial orde/derajat 3 sebagai fungsi dari f(x)
Cara lain yg lbh mudah (short-cut ) dalam menentukan persamaan interpolasi polinomial dari suatu seri data:
Misalkan: data x 0 y -5
1 -3
-1 -15
2 39
Carilah persamaan interpolasi polinomialnya
-2 -9
Jawab:
Dengan interpolasi dgn cara spt diatas (sebelumnya) relatif panjang, maka gunakan cara “short-cut” berikut: Langkah: 1. Gunakan titik pertama (0,-5) sebagai titik konstanta Sehingga P0(x)= a0=-5 2. Gunakan interpolasi linier pada 2 titik pertama yaitu titik (0,-5) dan titik (1,-3) untuk menemukan pers. Interpolasi linier: P1(x) = P0(x) + a1(x-x0) = -5 + a1(x-0) Karena P1(x) menginterpolasi titik (1,-3) maka harus dipenuhi -3=-5+a1(1-0) .........diperoleh a1= 2 Maka P1(x) = -5 + 2(x-0)=-5 + 2x (pers. Interpolasi linier) 3. Gunakan interpolasi kuadratik yang menginterpolasi 3 titik yaitu (0,-5), (1,-3), dan (-1,-15) P2(x)= P1(x) + a2(x-x0)(x-x1) = -5 +2x + a2(x-x0)(x-x1) = -5 +2x + a2(x-0)(x-1) Karena P2(x) menginterpolasi titik (-1,-15), maka harus dipenuhi -15 = -5 +2(-1) + a2((-1)-0)((-1)-1) -15 = -5 - 2 + a2 (-1) (-2) -8 = 2 a2 ..................a 2=-4 Shg persamaannya: P2(x)= -5 +2x + a 2(x-0)(x-1) = -5 +2x - 4(x)(x-1)
4. Gunakan interpolasi kubik yang menginterpolasi 4 titik yaitu (0,-5), (1,-3), (-1,-15) dan (2,39) P3(x)= P2(x) + a3(x-x0)(x-x1)(x-x2) =-5 +2x - 4(x)(x-1) + a 3(x-0)(x-1)(x-(-1)) Karena P3(x) menginterpolasi titik (2,39), maka harus dipenuhi 39 =-5 +2(2) - 4(2)(2-1) + a 3(2-0)(2-1)(2-(-1)) =-5 +4 -8 + 6 a 3 48 = 6 a3 ...............a3 = 8 Maka polinomialnya P3(x)= P2(x) + a3(x-x0)(x-x1)(x-x2) =-5 +2x - 4(x)(x-1) + 8(x-0)(x-1)(x-(-1)) =-5 +2x - 4(x)(x-1) + 8x(x-1)(x+1) 4. akhirnya gunakan interpolasi berderajat lebih tinggi yang menginterpolasi 5 titik yaitu (0,-5), (1,-3), (-1,-15), (2,39) dan (-2,-9) P4(x)= P3(x) + a4(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3) =-5 +2x - 4(x)(x-1) + 8x(x-1)(x+1) + a 4(x-0)(x-1) (x+1)(x-2) Karena P4(x) menginterpolasi titik (-2,-9) maka harus dipenuhi: -9 =-5 +2(-2) - 4(-2)(-2-1) + 8(-2)(-2-1)(-2+1) + a 4(-2-0) (-2-1)(-2+1)(-2-2) -9 =-5-4-24-48 + 24 a4 ............a4 =72/24 =3 Jadi polinomialnya: P4(x)=-5 +2x - 4x(x-1) + 8x(x-1)(x+1) + 3x(x-1) (x+1)(x-2) atau disederhanakan dalam bentuk polinomial pangkat 4 2
3
4
P4(x)=-5 +12x - 15x + 2x + 3x
Latihan (sebaiknya gunakan short-cut ): Data-data entalpi pada berbagai suhu: o Suhu F entalpi (Btu/lb) 220 1153,4 240 1160,6 260 1167,4 280 1173,8 Tentukan pers. interpolasi polinomial yg memenuhi dan carilah nilai entalpi pada suhu 252 F dengan interpolasi kubik
Catt: semakin banyak titik data yang digunakan untuk menginterpolasi maka kurva polinomial yang dihasilkan akan semakin mendekati data (akurat). PR. soal terapan interpolasi:
4 titik.
INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI Perbedaan keduanya dapat diterangkan dalam skema berikut:
Jadi ekstrapolasi adalah penaksiran nilai f(x) untuk nilai x yang berada diluar selang titik-titik data. Teknisnya adalah menentukan terlebih dahulu rumus interpolasi dalam range yang ditentukan, selanjutnya melakukan extrapolasi menggunakan rumus interpolasi.
REGRESI Ada beberapa teknik regresi, seperti regresi linier, regresi non linier, regresi polinom. REGRESI LINIER
Misalkan terdapat data hasil percobaan:
Maka bila dikehendaki suatu garis lurus yang dapat mewakili trend semua data maka garis lurus tersebut haruslah memiliki total ralat (RMS=Roots Mean Square Eror) yang terkecil terhadap data percobaan. Inilah dasar dari regresi linier Pers. garis lurus tsb adalah Y=f(x)= a+ bx Berdasarkan data-data pembentuknya maka nilai a dan b diperoleh dari perkalian matrix
Contoh temukan pers regresi linier untuk data x dan y berikut:
Maka komponen-komponen matrik di atas dicari dan diperoleh:
Maka perkalian matrixnya:
6a + 3.3b = 7.54 3.3a + 2.21b = 4.844
Pers regresi liniernya: Y=f(x)= a+ bx = 0,2862 + 1,7645 x Mencari ralatnya
REGRESI NON LINIER DAN LINIERISASI-NYA Untuk mengetahui apakah suatu titik-titik data akan didekati dengan regresi linier atau tidak, maka harus diketahui dahulu bentuk trend data, dengan cara menggambarkannya dalam diagram kartesian Perhatikan gambar berikut:
Titik-titik data yang tidak cocok didekati dengan regresi linier (Garis Q) Titik-titik data lebih tepat didekati dengan kurva pers. non linier (garis P).
Bagaimana menentukan persamaan utk garis P? SEBETULNYA DI EXCEL JUGA TELAH TERSEDIA FASILITAS UNTUK MENENTUKAN PERSAMAAN YANG COCOK REGRESI NON LINIER DARI DATA 2 YANG TERSEDIA, DIPILIH BERDASAR NILAI R YG MENDEKATI = 1 NAMUN PADA PERKULIAHAN INI PERLU JUGA DIPERKENALKAN TEKNIK LINIERISASI DATA REGRESI NON LINIER Jawab: Persamaan non linier yang digunakan diperkirakan terlebih dahulu dengan melihat trend data Misalkan dapat didekati dengan persamaan model eksponensial:
Untuk mencari nilai C dan b maka, pers tsb dapat dilinierkan terlebih dahulu menjadi:
Misal
Maka persamaan liniernya:
Ubah data (x,y) menjadi (x, ln(y)) Dengan mem-plot semua nilai x dan ln(y) pada diagram kartesian maka akan diperoleh titik-titik data linier baru, kemudian cari pers regresi liniernya seperti cara di atas (atau dapat dengan excell). Maka akan diperoleh pers. regresi linier dengan nilai a= ln(c) dan b=gradien kemiringan sehingga diperoleh nilai c dan b Soal: Tentukan persamaan regresi yang dapat mewakili data berikut:
Jawab: Langkah 1. Tampilkan data dalam diagram kartesian
8 7 6 5 y
4 3 2 1 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x
Misalkan kurva lebih mendekati bentuk:
Perlu dicari nilai c dan b dengan melinierkannya: Bentuk liniernya: Kemudian temukan (ln(x), ln(y)), lalu ditabelkan:
Data-data ln(x) VS ln(y) kemudian dicari persamaan regresi liniernya baik cara manual maupun menggunakan excell.
Bila cara manual dipakai, maka komponen matrix
perlu dicari:
Gunakan perkalian matrix:
Dengan perkalian matrix diperoleh: Maka pers liniernya Y = a + b X=1,8515 + 0,1981 X Bukti dengan excell: 2,5
2
1,5
1
y = 0,1981x + 1,8515 2
R = 0,9858
0,5
0 -2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
Dari pers linier Y = a + b X=1,8515 + 0,1981 X
Ln(c) = a
.........
INI BISA DIBUKTIKAN DENGAN EXCEL
1,5
BENTUK LINIERISASI DARI BEBERAPA PERS REGRESI NON LINIER
Maka bentuk liniernya???? Jawab:
Maka bentuk kliniernya?: Jawab:
Pers regresinya:
Kemudian lakukan pengubahan dari data-data (x,y) menjadi (1/x , 1/y), lalu hitung a dan b dengan cara regresi linier
RANGKUMAN BEBERAPA FUNGSI NON LINEAR DAN BENTUK LINIERNYA
Latihan Transformasikan pers berikut menjadi bentuk linier
PR. kerjakan secara manual
Tentukan fungsi linier yang mencocokan titik-titik data berikut dengan metode regresi
PR.