UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
METODO DE APROXIMACCION DE NEVILLE Este es otro método de interpolación y extrapolación, también necesita pares de puntos en el plano para poder predecir un valor f x dado un valor “x”. Este método es uno de los más potentes para interpolar o extrapolar. Sin olvidar La interpolación consiste en hallar un dato f x dentro de una serie de PARES DE PUNTOS en el plano. La extrapolación consiste hallar un dato f x Fuera de una serie de PARES DE PUNTOS en el plano, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.
Entonces este Método de Aproximación Aproximación de Neville se Comporta de la siguiente Forma:
X X0 X1
F(X) Y0=P0 Y1=P1
COLUMNA 1
COLUMNA 2
COLUMNA 3
COLUMNA 4
X2
Y2=P2
P 1, 2
P 0 ,1, 2
X3
Y3=P3
P 2,3
P 1, 2, 3
P 0 ,1, 2, 3
X4
Y4=P4
P 3, 4
P 2, 3, 4
P 1, 2, 3, 4
P 0,1, 2,3, 4
P 0 ,1
DONDE: COLUMNA 1
P 0,1
COLUMNA 2:
( x x1 ) y0 ( x x0 ) y1
P 0 ,1, 2
x0 x1
P 1, 2
P 2,3
( x x3 ) y2 ( x x2 ) y3
P 1, 2, 3
( x
( x x4 ) y3 ( x x3 ) y4
( x
P 3, 4
( x
x0
x2
x3 ) P 1, 2
x1
x2 x3
x2 ) P 0,1
x1 x2
( x x2 ) y1 ( x x1 ) y2
( x
P 2, 3, 4
( x
x0 ) P 1, 2
x1 ) P 2, 3
x3
x4 ) P 2, 3
( x
x2
x4
x3 x4
x2 ) P 3, 4
COLUMNA 3
P 0,1, 2, 3
P 1, 2, 3, 4
( x
COLUMNA 4
( x
x3 ) P 0,1, 2
( x
x0
x3
x4 ) P 1, 2,3
x1
( x
x0 ) P 1, 2,3
x1 ) P 2, 3, 4
P 0,1, 2,3, 4
( x
x4 ) P 0,1, 2,3
( x
x0
x4
x0 ) P 1, 2,3, 4
x4
DONDE EL VALOR DE LA ULTIMA COLUMNA ES EL RESULTADO DE LA INTERPOLACION O EXTRAPOLACION DEL BUSCADA
EJEMPLO 1: Aplique le Método de Neville para aproximar f 7
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
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X
F(X)
3 5 6 9
8 16 23 56
MATEMATICA APLICADA 3
Solución:
Ahora solo hay que nombrar algunos datos para poder utilizar la formula anterior, empezando de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo (eso va a depender como se tenga la tabla inicial de valores, en este caso se renombrara de arriba hacia abajo) X
Y
x0
3
f x0
x
5
f x1
x2
6
f x2
x3
9
f x3
1
8
16
23
56
Podemos ver en las formulas que un valor de “x” no tiene sub -índice, ese valor de “x” si n sub-índice es el valor a interpolar, entonces esa “x” la sustituimos de una vez en la formulas para que vallamos obteniendo el valor a aproximar, para este caso ese valor de x 7 , Calculando las columnas que requiere el método tenemos:
COLUMNA 1:
P 0 ,1
P 1, 2
P 2 ,3
( x x1 ) y0
( x x0 ) y1
x0
x1
( x x2 ) y1
( x x1 ) y 2
x1
x2
( x x3 ) y 2
x2
( x x2 ) y3
P 0 ,1
P 1, 2
x3
P 2 , 3
(7 5) * 8 (7 3) * 16
24
35 (7 6) * 16 (7 5) * 23
56
(7 9) * 23 (7 6) * 56
30
69
34
Colocando estos datos una la tabla tenemos por el momento: X
Y
Col.1
3 5 6 9
8 16 23 30
24 30 34
COLUMNA 2:
P 0,1, 2
P 1, 2, 3
( x x2 ) P 0,1 ( x x0 ) P 1, 2 x0
( x x3 ) P 1, 2 x1
x2
( x x1 ) P 2,3
x 3
P 0,1, 2
P 1, 2, 3
(7 6) * 24 (7 3) * 30
3 6 (7 9) * 30 (7 5) * 34 59
Colocando estos datos una la tabla tenemos por el momento: X
Y
Col.1
Col.2
3 5 6 9
8 16 23 30
24 30 34
32 32
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
32
32
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COLUMNA 3:
P 0,1, 2, 3
( x x3 ) P 0,1, 2
x0
( x x0 ) P 1, 2 ,3
x3
P 0,1, 2 ,3
(7 9)1* 32 (7 3) * 32
X
Y
Col.1
Col.2
Col.3
3 5 6 9
8 16 23 30
24 30 34
32 32
32
POR LO TANTO LA INTERPOLACION PARA
39
32
f 7 ES 32, que es el valor de la última columna de este método
EJEMPLO 2: x0
0, x1
1, x2
2, x3
4
y
x4
f x
2.5 con la función
Aplique le Método de Neville para aproximar
x y los valores
5
SOLUCION:
Primero enco ntramos las imágenes de los valores de “x” para obtener pares de punto en el plano, evaluándolos en la función
f x
x X 0 1 2 4 5
F(X) 0 1 1.41421356 2 2.23606798
El valor de “x” para sustituir en las formulas corresponde para este ejemplo al valor de 2.5, porque el valor aproximar
2.5 , (de donde salió
2.5 , pues salió de sustituir 2.5 en la “x” de la función
f x
x)
COLUMNA 1:
P 0,1
P 1, 2
P 2 ,3
P 3, 4
( x x1 ) y0
( x x0 ) y1
x0
x1
( x x2 ) y1 ( x x1 ) y 2 x1
x2
( x x3 ) y2
( x x2 ) y3
x2
x3
( x x4 ) y3
( x x3 ) y4
x3
x4
P 0 ,1
P 1, 2
(2.5 1) * 0 (2.5 0) *1
0 1
( 2.5 2) *1 ( 2.5 1) *1.41421356
1 2
P 2 ,3
P 3, 4
(2.5 4) *1.41421356 ( 2.5 2) * 2
1.62132034
1.56066017
1.64589803
24 (2.5 5) * 2 ( 2.5 4) * 2.23606798 45
Colocando estos datos una la tabla tenemos por el momento: X 0 1 2 4 5
2.5
F(X) 0 1 1.41421356 2 2.23606798
COLUMNA 1 2.5 1.62132034 1.56066017 1.64589803
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
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MATEMATICA APLICADA 3
COLUMNA 2:
P 0,1, 2
P 1, 2 ,3
P 2, 3, 4
( x x2 ) P 0,1 ( x x0 ) P 1, 2 x0
( x x3 ) P 1, 2 x1
x2
( x x1 ) P 2 ,3
x3
( x x4 ) P 2,3 ( x x2 ) P 3, 4 x2
x4
( 2.5 2) * 2.5 ( 2.5 0) *1.62132034
P 0 ,1, 2
P 1, 2 , 3
02
1.401650425
(2.5 4) *1.62132034 ( 2.5 1) *1.56066017
P 2 , 3, 4
1 4 ( 2.5 5) *1.56066017 (2.5 2) *1.64589803
1.590990255
25
1.57486648
Colocando estos datos una la tabla tenemos por el momento: X 0 1 2 4 5
F(X) 0 1 1.41421356 2 2.23606798
COLUMNA 1
COLUMNA 2
2.5 1.62132034 1.56066017 1.64589803
1.401650425 1.590990255 1.57486648
COLUMNA 3: P 0 ,1, 2, 3
P 1, 2 , 3, 4
( x x3 ) P 0,1, 2 x0
( x x0 ) P 1, 2,3
x3
( x x4 ) P 1, 2,3 ( x x1 ) P 2,3, 4 x1
x4
P 0 ,1, 2, 3
P 1, 2, 3, 4
(2.5 4)1.401650425 (2.5 0) *1.590990255
1.51998782
1.58494384
1.55246583
04 (2.5 5) *1.590990255 (2.5 1) *1.57486648 1 5
Colocando estos datos una la tabla tenemos por el momento: X 0 1 2 4 5
F(X) 0 1 1.41421356 2 2.23606798
COLUMNA 1
COLUMNA 2
COLUMNA 3
2.5 1.62132034 1.56066017 1.64589803
1.401650425 1.590990255 1.57486648
1.51998782 1.58494384
COLUMNA 4: P 0,1, 2, 3, 4
X 0 1 2 4 5
( x x4 ) P 0,1, 2,3 ( x x0 ) P 1, 2,3, 4 x0
F(X) 0 1 1.41421356 2 2.23606798
x4
P 0,1, 2, 3, 4
(2.5 5) *1.51998782 (2.5 0) *1.58494384 05
COLUMNA 1
COLUMNA 2
COLUMNA 3
COLUMNA 4
2.5 1.62132034 1.56066017 1.64589803
1.401650425 1.590990255 1.57486648
1.51998782 1.58494384
1.55246583
La solución al problema es el ultimo valor de la n-esima columna, para este ejemplo la aproximación a función f x
x es 1.55246583 , con un error
x
P 0 ,1, 2 ,3, 4
2.5
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
1.55246583
2.5 con la
0.028673
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POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS PROGRESIVAS Y REGRESIVAS DE NEWTON Dados
n 1
datos:
Este es otro método de interpolación y extrapolación, también necesita pares de puntos en el plano para poder predecir un valor f x dado un valor “x”. Este método predice valores a través de un polinomio de diferencias divididas. Sin olvidar La interpolación consiste en hallar un dato f x dentro de una serie de PARES DE PUNTOS en el plano. La extrapolación consiste hallar un dato f x Fuera de una serie de PARES DE PUNTOS en el plano, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido. Entonces este Método Diferencias Divididas de Newton se Comporta de la siguiente Forma:
X X0 X1
F(X) Y0=a0 Y1
COLUMNA 1
COLUMNA 2
COLUMNA 3
f x0 , x1 a1
X2
Y2
f x1 , x2
f x0 , x1 , x2 a2
X3
Y3
f x2 , x3
f x1 , x2 , x3
X4
Y4=b0
COLUMNA 4
f x0 , x1 , x2 , x3 a3
f x3 , x4 b1 f x2 , x3 , x4 b2 f x1 , x2 , x3 , x4 b3 f x0 , x1 , x2 , x3 , x4 a4
b4
DONDE: COLUMNA 1:
COLUMNA 2:
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x 2 ] f [ x 2 , x3 ] f [ x3 , x 4 ]
f ( x1 ) x1
f ( x0 )
x0
f ( x 2 ) x 2 f ( x3 ) x3 f ( x 4 ) x 4
f ( x1 )
x1
f ( x 2 )
x 2
f ( x3 ) x3
a1
.
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x1 , x 2 , x3 ]
f [ x 2 , x3 , x 4 ]
b1
COLUMNA 3:
f ( x1 , x 2 ) x2 f ( x2 , x3 ) x3 f ( x3 , x 4 ) x4
COLUMNA 4:
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x0 , x1 , x2 )
x3 x0
a3
f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]
f ( x0 , x1 )
x0
f ( x1 , x 2 )
x1
f ( x 2 , x3 )
x2
f ( x2 , x3 , x4 ) f ( x1 , x2 , x3 ) x4 x1
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 )
x4 x0
a4
b3
POLINOMIO DE DIFERENCIAS PROGRESIVAS QUEDA DEFINIDO COMO:
a
p x
0
a x x x x a x x x x x x a x x x x x x x x ...... x x x x x x ... x x x x
a1 x x0
a n x x0
2
1
0
2
1
3
3
0
n 2
1
2
n 1
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
b2
.
a2
4
0
1
2
3
b4
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POLINOMIO DE DIFERENCIAS REGRESIVAS QUEDA DEFINIDO COMO:
p x b0 b1 x xn b2 x xn x xn bn x xn x xn
1
x xn
2
b x xn x xn x xn b x xn x xn x xn x xn ...... x xn .. . x x x x 1
3
1
3
2
2
4
1
2
3
1
Obsérvese que los coeficientes de los polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior e inferior de la tabla de diferencias divididas.
Ejemplo 1: Calcule el polinomio de diferencias regresivas y progresivas de newton para aproximar f 6.5 de los siguientes datos. X
Y
3 5 6 9
8 16 23 30
Solución:
Ahora solo hay que nombrar algunos datos para poder utilizar las formulas anteriores, empezando de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo (eso va a depender como se tenga la tabla inicial de valores, en este caso se renombrara de arriba hacia abajo) X
Y
f x0
x0
3
x1
5
f x1
x2
6
f x2 23
x3
8=a0
16
9 f x3
30=b0
Calculando las respectivas diferencias de Newton:
Col. 1
f [ x0 , x1 ]
f ( x1 ) f ( x0 )
16 8
x1 x0
f [ x1 , x 2 ]
f [ x2 , x3 ]
f ( x 2 ) x 2
f ( x3 ) x3
5 3
f ( x1 ) x1
f ( x2 ) x2
4
a1
30
9
23
16
6
5
23
7
6
7
3
b1
Por el momento, lo que llevamos de la tabla de diferencias tenemos: X
3 5 6 9
Y
Col.1
8=a0 4=a1 16 7 23 7/3=b1 30=b0
Col. 2 Viendo los resultados de la columna anterior se puede encontrar las siguientes diferencias.
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 ) x 2 x0
f ( x2 , x3 ) f ( x1 , x2 ) x3 x1
7 6
4 3
(7 / 3) 7 95
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
1
7 6
a2
b2
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MATEMATICA APLICADA 3
Por el momento, lo que llevamos de la tabla de diferencias tenemos: X
Y
3 5 6 9
Col.1
Col.2
8=a0 4=a1 16 7 23 7/3=b1 30=b0
1=a2 -7/6=b2
Col. 3 Viendo los resultados de la columna anterior se puede encontrar las siguientes diferencias.
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x0 , x1 , x2 )
( 7 / 6) 1
x3 x0
9 3
13
36
a3
b3
Entonces la tabla de diferencias dividas de newton queda: X
Y
3 5 6 9
Col.1
8=a0 4=a1 16 7 23 7/3=b1 30=b0
Col.2
Col.3
1=a2 -7/6=b2
-13/36=a3=b3
Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Progresivas tenemos:
Sabemos que los valores de
a0
tenemos:
a
f x0
n
del polinomio son los primeros valores de las columnas de diferencias, entonces
8 , a1
4 , a2
1 , a3
13
36
Por lo tanto el polinomio de diferencias progresivas queda escrito de la siguiente forma: p( x)
a0
p ( x )
8 4( x 3) 1( x 3)( x 5)
a1 ( x
x0
) a2 ( x x0 )( x x1 ) a3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 13 36
( x 3)( x 5)( x 6)
Simplificando el polinomio tenemos: p ( x )
13 36
x
3
109 18
x
Encontrado el dato a interpolar p (6.5)
13 36
6.53
2
107 4
x
87 2
f 6.5 es decir x 109 18
6.52
107 4
6.5 tenemos:
6.5
87 2
26.302083
Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Regresivas tenemos:
Sabemos que los valores de bn del polinomio son los últimos valores de las columnas de diferencias, entonces tenemos:
b0
f x3
30 , b1
7
3
, b2
7
6
, b3
Ahora, el Polinomio de Diferencias Regresivas queda escrito de la siguiente forma
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
13
36
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
p( x)
b0
p ( x)
30
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
b1 ( x xn ) b2 ( x xn )( x xn 1 ) b3 ( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 )
7
7
( x 9)
3
13
( x 9)( x 6)
6
36
( x 9)( x 6)( x 5)
Simplificando el polinomio tenemos: p ( x )
13
36
x
3
109 18
x
2
107
x
4
87 2
Encontrado el dato a interpolar f 6.5 es decir p (6.5)
13 36
6.53
109
6.52
18
x
107 4
6.5 tenemos:
87
6.5
2
26.302083
Ejemplo 2: Calcule el polinomio de diferencias regresivas y progresivas de newton para extrapolar f 15 de los siguientes datos. X
Y
2 3 5 8 11
15 19 21 9 0
Solución:
Ahora solo hay que nombrar algunos datos para poder utilizar las formulas anteriores, empezando de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo (eso va a depender como se tenga la tabla inicial de valores, en este caso se renombrara de arriba hacia abajo) X
Y
f x0
x0
2
x1
3
f x1
x2
5
f x2 21
x3
8
f x3
x 4
11
COLUMNA 1
15=a0
19
f x 4
9
0=b0
COLUMNA 2( Viendo los resultados de la columna anterior se puede encontrar las siguientes diferencias)
f [ x0 , x1 ]
f ( x1 ) f ( x0 )
19 15
x1 x0
3 2
f [ x1 , x2 ]
f ( x2 ) f ( x1 )
f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ]
x2
x1
f [ x1 , x2 , x3 ]
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 )
9
x2
x4 x3
1 4
x2 x0
f ( x2 , x3 ) f ( x1 , x2 ) x3 x1
21
8 5
4
f [ x2 , x3 , x4 ]
0 9
11 8
f ( x3 , x4 ) f ( x2 , x3 ) x4 x2
3
b1
Por el momento, lo que llevamos de la tabla de diferencias tenemos:
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
1 a2
4 1
8 3
1
5 2
f ( x4 ) f ( x3 )
5 3
1
f ( x3 ) f ( x2 ) x3
f [ x0 , x1 , x2 ]
21 19
4 a1
3 ( 4)
11 5
1
6
b2
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
X
Y
Col.1
Col.2
2 3 5 8 11
15 19 21 9 0
4 1 -4 -3
-1 -1 1/6
COLUMNA 3 (Viendo los resultados de la columna anterior
COLUMNA 4(Viendo los resultados de la columna anterior se puede encontrar las siguientes diferencias)
se puede encontrar las siguientes diferencias)
f [ x0 , x1 , x 2 , x3 ]
f ( x1 , x 2 , x3 ) f ( x0 , x1 , x 2 )
x3 x0
1 ( 1)
f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]
0 a3
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 )
7 / 48 0
x4 x0
7
11 2
432
a4
b4
f ( x 2 , x3 , x 4 ) f ( x1 , x 2 , x3 )
1 / 6 ( 1)
8 2
f [ x1 , x 2 , x3 , x 4 ]
MATEMATICA APLICADA 3
x 4 x1
11 3
7
48
b3
Entonces la tabla de diferencias dividas de newton queda:
X
Y
Col.1
Col.2
Col.3
Col.4
2 3 5 8 11
15 19 21 9 0
4 1 -4 -3
-1 -1 1/6
0 7/48
7/432
Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Progresivas tenemos: a
Sabemos que los valores de tenemos:
a0
n
f x0
del polinomio son los primeros valores de las columnas de diferencias, entonces
15 , a1
4 , a2
1 , a3
0 , a4
7
432
Por lo tanto el polinomio de diferencias progresivas queda escrito de la siguiente forma: p ( x )
p ( x )
a0
a1 ( x
a4 ( x
x0
x0
) a2 ( x x0 )( x x1 ) a3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
)( x x1 )( x x2 )( x x3 )
15 4( x 2) 1( x 2)( x 3) 0( x 2)( x 3)( x 5)
7 432
( x 2)( x 3)( x 5)( x 8)
Simplificando el polinomio tenemos: p ( x)
7 432
x
4
7 24
x
3
Encontrado el dato a extrapolar p (15)
7 432
154
7 24
115 144
x
2
971 216
f 15 es decir x
153
115 144
x
44 9
15 tenemos:
15 2
971 216
15
Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Regresivas tenemos:
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
44 9
87.944444
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
Sabemos que los valores de bn del polinomio son los últimos valores de las columnas de diferencias, entonces tenemos:
b0
f x3
0 , b1
1
3 , b2
, b3
6
7
48
, b4
7
432
Ahora, el Polinomio de Diferencias Regresivas queda escrito de la siguiente forma
p( x)
b0
p ( x)
b1 ( x xn ) b2 ( x xn )( x xn 1 ) b3 ( x xn )( x xn 1 )( x xn
b4 ( x xn )( x xn 1 )( x xn
0 3( x 11) 7 432
1 6
2
2
)
)( x xn 3 )
( x 11)( x 8)
7 48
( x 11)( x 8)( x 5)
( x 11)( x 8)( x 5)( x 3)
Simplificando el polinomio tenemos: p ( x)
7 432
x
4
7 24
x
3
Encontrado el dato a extrapolar p (15)
7 432
154
7 24
115 144
x
2
971 216
f 15 es decir
153
115
x
x
9
15 tenemos:
15 2
144
44
971
15
216
44 9
87.944444
Ejemplo 3: Calcule el polinomio de diferencias regresivas y progresivas de newton para aproximar f 8 de los siguientes datos. X
Y
-2 0 3 7 14
150 190 210 90 2
Solución:
Primero calculamos las diferencias divididas de newton con las formulas vista, donde: X
Y
-2
f x0
x
0
f x1
x
3
f x2
x
7
f x3
14
f x4
x0 1 2
3
x
4
150
190
210
90
2
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
COLUMNA 1
MATEMATICA APLICADA 3
COLUMNA 2( Viendo los resultados de la columna anterior se puede encontrar las siguientes diferencias)
f [ x0 , x1 ]
f ( x1 ) f ( x0 )
190 150
x1 x0
0
f [ x1 , x2 ]
f ( x2 ) f ( x1 )
x2
f [ x2 , x3 ]
f [ x3 , x4 ]
x1
f ( x4 ) f ( x3 ) x4
x3
90 210 73
7
f [ x1 , x2 , x3 ]
x2 x0
30
3 3
f ( x2 , x3 ) f ( x1 , x2 )
x3 x1
2
f [ x2 , x3 , x4 ]
f ( x3 , x4 ) f ( x2 , x3 ) x4 x2
X
Y
Col.1
Col.2
-2 0 3 7 14
150 190 210 90 2
20 20/3 -30 -88/7
-8/3 -110/21 122/77
3
20
30
3
110
21
8
88
7
20
7 0
88
14
2 90
3
x2
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 )
20
3 0
f [ x0 , x1 , x2 ]
f ( x3 ) f ( x2 ) x3
2
20
20
210 190
7 14 3
30
122
77
COLUMNA 3 (Viendo los resultados de la columna anterior
COLUMNA 4(Viendo los resultados de la columna
se puede encontrar las siguientes diferencias) 110 8 f ( x1 , x2 , x3 ) f ( x0 , x1 , x2 ) 2 21 3 f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] x3 x0 7 2 7
anterior se puede encontrar las siguientes diferencias) 788 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) 1617 7 625 f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] x4 x0 14 2 12936
122 110 f ( x2 , x3 , x4 ) f ( x1 , x2 , x3 ) 77 21 788 f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] x4 x1 14 0 1617
Entonces la tabla de diferencias dividas de newton queda:
X
Y
Col.1
Col.2
Col.3
Col.4
-2 0 3 7 14
150 190 210 90 2
20 20/3 -30 -88/7
-8/3 -110/21 122/77
-2/7 788/1617
625/12936
Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Progresivas tenemos:
Sabemos que los valores de tenemos:
a0
f x0
a
n
del polinomio son los primeros valores de las columnas de diferencias, entonces
150 , a1
20 , a2
8
3
, a3
2
7
, a4
Por lo tanto el polinomio de diferencias progresivas queda escrito de la siguiente forma:
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
625
12936
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
p ( x )
a0
p ( x)
a1 ( x
a4 ( x
FACULTAD DE INGENIERIA
x0 )
a2 ( x
x0 )( x
x1 )( x
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
x0 )( x
x2 )( x
x1 )
a3 ( x
x0 )( x
MATEMATICA APLICADA 3
x1 )( x
x2 )
x3 )
8 2 150 20( x 2) ( x 2)( x 0) ( x 2)( x 0)( x 3) 3 7
625 12936
( x 2)( x 0)( x 3)( x 7)
Simplificando el polinomio tenemos: p( x)
0.0483147 x 4
0.67223252 x 3
Encontrado el dato a extrapolar f 8 es decir p(8)
0.0483147 8
p(8)
41.7068
4
x
0.67223252 8
3
2.3326376 x 2
184101731x 190
8 tenemos:
2.3326376 8
2
1841017318 190
Ahora, formando el Polinomio de Diferencias Regresivas tenemos:
Sabemos que los valores de bn del polinomio son los últimos valores de las columnas de diferencias, entonces tenemos:
b0
f x3
2 , b1
88
, b2
7
122
77
, b3
788
1617
, b4
625
12936
Ahora, el Polinomio de Diferencias Regresivas queda escrito de la siguiente forma
p ( x )
b0
p ( x )
b1 ( x xn ) b2 ( x xn )( x xn 1 ) b3 ( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 )
b4 ( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 )( x xn 3 )
122 788 88 2 ( x 14) ( x 14)( x 7) ( x 14)( x 7)( x 3) 77 1617 7 625 12936
( x 14)( x 7)( x 3)( x 0)
Simplificando el polinomio tenemos: p( x)
0.0483147 x 4
Encontrado el dato a extrapolar f 8 es decir p(8)
0.0483147 8
p(8)
41.7068
4
0.67223252 x 3 x
0.67223252 8
3
2.3326376 x 2
184101731x 190
8 tenemos:
2.3326376 8
2
EJEMPLO 4: Con una función f x las diferencias divididas progresivas están dadas por
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
1841017318 190
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
X X0=0
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
F(X)
COLUMNA 1
MATEMATICA APLICADA 3
COLUMNA 2
f x0
X1=4
f x0 , x1
f x1
X2=7
f x2
f x1 , x2
6
10
f x0 , x1 , x2
50
7
Determine los datos que hacen falta y determine el polinomio de diferencias progresivas de newton. Solución:
teniendo las formulas de las diferencias divididas de newton, el objetivos es esc oger la fórmula ideal, de tal forma que solo nos quede una sola incógnita, el cual será el valor que estamos buscando. Ahora seleccionando las formulas correctas tenemos lo siguiente:
LO IDEAL ES ANALIZAR LA TABLA DE DERECHA A IZQUIERDA DE CÓMO SE FUERON SALIENDO LOS RESULTADOS
El valor de
50 7
de donde se obtuvo ¿?? … Se obtuvo de la siguiente fórmula:
f [ x0 , x1 , x2 ]
f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 )
x2 x0
Entonces podemos ver si sustituimos valores en esa fórmula nos queda solo una incógnita de f x0 , x1 que es uno de los valores que estamos buscando, por lo tanto tenemos lo siguiente:
f ( x1 , x 2 ) f ( x 0 , x1 )
f [ x 0 , x1 , x 2 ]
El valor de
50
10 f ( x 0 , x1 )
7
x 2 x 0
70
f ( x 0 , x1 ) 40
10 de donde se obtuvo ¿?? … Se obtuvo de la siguiente fórmula:
f [ x1 , x2 ]
f ( x2 ) x2
f ( x1 )
x1
Entonces podemos ver si sustituimos valores en esa fórmula nos queda solo una incógnita de f x1 que es uno de los valores que estamos buscando, por lo tanto tenemos lo siguiente: f [ x1 , x2 ]
f ( x2 )
x2
f ( x1 )
10
x1
6 f ( x1 )
74
f ( x1 )
24
Ahora paras poder encontrar el valor de f x0 podemos utilizar la formula de f x0 , x1 , el valor de f x 0 , x 1 ya fue encontrado y tiene un valor de -40, entonces podemos utilizar esa fórmula:
f [ x0 , x1 ]
f ( x1 ) f ( x0 ) x1
x0
40
24 f ( x0 )
40
f ( x0 ) 136
Con los datos completos de la tabla tenemos: X
F(X)
X0=0
f x0
X1=4
f x1
X2=7
COLUMNA 1 136 24
f x2
COLUMNA 2
6
f x0 , x1
40
f x1 , x2 10
f x0 , x1 , x2
50
7
Por lo tanto ya podemos encontrar el Polinomio de Diferencias Regresivas de Newton, dicho polinomio tiene la forma: p( x )
a0
a1 ( x
x0
) a 2 ( x x0 )( x x1 ) MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA
p( x) 136 40( x 0) p( x)
7.14285714 x
50
2
7
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA APLICADA 3
( x 0)( x 4)
68.57142857 x 136
EJEMPLO 5:
0, Interpolantes Progresivas de Newton da el polinomio: Con una función “ f x ” y los nodos
x
x
0
1
0.25,
1 4 x 4 x x 0.25
P 3 x
x
16
2
x x
3
0.5,
x
3
0.25 x
0.75 las Diferencias Divididas
0 .5
Calcule el Polinomio de Diferencias Regresivas de Newton para aproximar f 0.65 . Solución:
Sabemos que
y x
ya es un polinomio de aproximación de diferencias progresivas para aproximar los valores de
P 3 x
ò f x , por lo tanto ya sabemos los primeros valores de la tabla de diferencias divididas de newton por la
forma que tiene
P 3 x
X
Y
0 0.25 0.5
1
Col.1
Col.2
Col.3
4 4 16
0.75
3
Evaluando los nodos “x” en P 3 x obtenemos los valores de
y x , aplicando las formulas podemos completar la
tabla para obtener los últimos valores de las columnas para formular el polinomio de diferencias regresivas:
P 3 0.25
P 3 0.5
1 40.25 40.250.25 0.25
1 40.5 40.50.5 0.25
P 3 0.75
16 3
16 3
0.250.25 0.25 0.25 0.5 2
0.50.5 0.25 0.5 0.5 3.5
1 40.75 40.750.75 0.25
16 3
0.750.75 0.25 0.75 0.5 6
Ahora ya teniendo todos los valores de “x” y “y” podemos calcular los valores de toda la tabla:
X
Y
Col.1
0 0.25
1 2
4
0.5
3.5
6
Col.2
Col.3
4 16
0.75 6 10 8 3 Con estos valores ya podemos calcular el Polinomio de Diferencias Regresivas de Newton:
6 10 x 0.75 8 x 0.75 x 0.5
P x
16 3
x 0.75 x 0.5 x 0.25
Calculando la Interpolación de x=0.65 tenemos:
P 0.65
6 100.65 0.75 80.65 0.750.65 0.5
16 3
0.65 0.750.65 0.50.65 0.25 4.848
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado.
