INTERFERÓMETRO DE MICHELSON:
RESOLUCIÓN
Domingo Paillet Díaz Bárbara Pérez Pérez
ÍNDICE 1. Introducción ¿Qué es el Interferómetro de Michelson? Historia Fundamento teórico
Pg1 Pg1 Pg2
2. Desarrollo Objetivo o Visibilidad o Coherencia o Resolución
Pg4
Práctica
Pg7
3. Conclusiones
Pg11
4. Apéndice
Pg12
5. Referencias
Pg 13
Introducción ¿Qué es? El interferómetro de Michelson es un dispositivo óptico capaz de producir interferencias por división de la amplitud de la onda y que permite medir distancias con una precisión muy alta. Historia Inventado por Albert Abraham Michelson, responsable del primer logro de la interferometría por la comparación experimental de una de las longitudes de onda del Cadmio y el metro patrón. Éste interferómetro fue usado por el mismo Michelson junto con Edward Morley para probar la inexistencia del éter, en el famoso experimento de Michelson y Morley. Fue Premio Nóbel de Física en 1907. Actualmente, se utiliza corrientemente con fines didácticos. Por ejemplo, como se hace en el laboratorio de óptica, en la realización de la práctica del Interferómetro de Michelson, en la que medimos la distancia espectral entre las líneas del doblete del sodio. También se usa para fines meteorológicos, medidas de líneas espectrales, de índices en gases, de grosores de láminas, medida del metro patrón, etc.
Teoría Su funcionamiento se basa en la división de un haz de luz en dos haces coherentes que recorren el sistema y luego convergen nuevamente en un punto. De esta forma se obtiene una interferencia. El interferómetro de Michelson está compuesto por dos espejos de alta reflectancia, E1 y E2, colocados en ángulo recto y una lámina desdobladora de haz orientada a 45° respecto a las normales a los espejos y a la dirección del haz incidente.
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La luz procedente de una fuente extensa se hace pasar a través de una lámina de vidrio (lámina desdobladora, LD) en cuya segunda cara se ha depositado una delgada película metálica que refleja el 50% de la luz incidente (haz 1) y transmite el otro 50% (haz 2). El haz 1 vuelve a salir de la lámina LD para reflejarse en el espejo E1, mientras que el haz 2 se transmite a través de aquella y se refleja en E2. Además en la imagen se observa que hay una lámina compensadora (LC), que equipara el número de veces que ambos rayos se refractan y reflejan, así como su longitud de coherencia, de la que hablaremos en breve.
Después de las diferentes reflexiones y refracciones, los haces, que han recorrido caminos ópticos diferentes, vuelven a superponerse coherentemente para formar un patrón de interferencias localizadas en el infinito. El fenómeno de interferencias producido en el Michelson puede explicarse si se tiene en cuenta que un observador situado detrás de la lámina desdobladora mirando hacia el espejo E1, verá el espejo E1 junto con la imagen E2’, que de E2 da la lámina LD. Asimismo, la lámina desdobladora
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también produce una imagen ∑ ′ de la fuente extensa ∑ en la posición indicada en la figura 1. De esta forma, todo sucede como sí el espejo E1 y la imagen E2’ (virtual) de E2, supuestamente separados una distancia d, formasen dos imágenes ∑ ′′ 1 y ∑ ′′ 2 de la fuente virtual ∑ ′ separadas a una distancia doble, 2d. Dichas imágenes se comportarían como dos fuentes extensas coherentes entre sí punto a punto, cuya emisión se recogiese mediante un sistema convergente.
Figura 1. Sistema óptico del interferómetro de Michelson
En general se emplean lentes para ensanchar el haz y que sea fácilmente detectable por un fotodiodo o proyectando la imagen en una pantalla. De esta manera el observador ve una serie de anillos, y al desplazar uno de los espejos notará que estos anillos comienzan a moverse. En esta forma se puede explicar la conservación de la energía, ya que la intensidad se distribuirá en regiones oscuras y regiones luminosas, sin alterar la cantidad total de energía.
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Desarrollo Objetivo El objetivo es obtener con cierta precisión el poder resolutivo del Interferómetro de Michelson en la medida de diferencias de líneas espectrales, es decir, cuál es la mínima unidad de longitud de onda que podemos asegurar utilizando dicho interferómetro. No podemos obtener un dato numérico en principio, aunque en el apartado “práctica” se hablara de la experiencia en el laboratorio, donde al medir un intervalo espectral, podremos hacernos una idea de la clase de distancias que medimos. Para empezar podemos, por ejemplo, fijarnos en el factor de visibilidad, con el que obtener una mejor calidad en las franjas interferenciales. El factor de visibilidad fue formulado por Michelson, y tiene por expresión:
𝒱=
𝐼−𝐼 ′
(1)
𝐼+𝐼 ′
Con I la irradiancia máxima e I’ la irradiancia mínima. Estableciendo el experimento de Young, una fuente puntual S’ localizada sobre el eje central generaría el patrón usual dado por:
𝐼 = 4𝐼0 [cos(
𝑦𝑎𝜋 𝑠𝜆
2
)]
(2)
Término sobre el que trabajaremos en el apéndice y ejecutaremos cambios trigonométricos.
La irradiancia oscila alrededor de un valor promedio de
𝐼̅ =
𝐴𝜔 2
(3)
Que aumenta con ω, la cual, a su vez, aumenta con el ancho de la rendija de iluminación.
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Indagando en el término de visibilidad, obtenemos expresiones para los valores extremos de irradiancia relativa, con los que obtener la visibilidad tal que 𝐼 𝐼
= 1 + |𝑠𝑖𝑛𝑐 ( ̅
𝐼′ 𝐼̅
𝑎𝜋𝜔
= 1 − |𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝑠𝜆
)|
𝑎𝜋𝜔 𝑠𝜆
)|
(4) (5)
Por lo general, la extensión de la fuente (b) y la separación de las rendijas (a) son muy pequeñas comparadas con las distancias entre las pantallas (l) y (s) y, por consiguiente, podemos llevar a cabo algunas simplificaciones. Mediante algún cambio en las consideraciones anteriores, podemos llegar a una expresión de la visibilidad (1) sustituyendo en la expresión inicial
𝒱 = |𝑠𝑖𝑛𝑐(
𝑎𝜋𝑏 𝑙𝜆
)|
(6)
Entonces queda claro que la visibilidad del sistema en el plano de observación está relacionado con la manera en que la luz se distribuye en el inicio del sistema. Extrapolando este caso al del interferómetro de Michelson podemos considerar 𝒱 como la medida del nivel de coherencia de la luz teniendo en cuenta la observación de máximos y mínimos consecutivos y en las variaciones de la visibilidad que se observan entre ellos. Es precisamente con la visibilidad con la que a través de la agudeza visual o algún sistema detector tomamos diferencias de camino óptico recorrido, que corresponden a la diferencia entre dos longitudes de onda. Por ejemplo en la práctica realizada en el laboratorio con el método de las anticoincidencias, utilizábamos un filtro interferencial, con el que aislar las longitudes de onda que queríamos separar. Una vez hecho eso, comenzábamos a medir la distancia entre dos mínimos consecutivos, que correspondían a la diferencia de camino entre las dos longitudes de onda deseadas. Debemos tener en cuenta también que la longitud de coherencia debe ser mucho mayor que la diferencia de camino óptico recorrido, lo que lleva a preguntarnos sobre la longitud de coherencia (lc), más precisamente para una onda cuasicromática, como es el caso (debido a el filtro interferencial,
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por ejemplo). Sabiendo que la luz blanca tiene una longitud de coherencia de aproximadamente 900nm, podemos afirmar que al tratarse de dos longitudes de onda muy próximas, tendrán una lc mayor que esta (2). En cualquier caso podemos lograr una diferencia de camino mucho menor que lc utilizando un tornillo micrométrico. Debemos tener en cuenta que debido a la mínima diferencia de longitud de onda, esta ya no será completamente coherente. Así, podemos suponer la luz cuasimonocromática como algo semejante a una serie de trenes de onda finitos con fase al azar. Lo que realmente debemos preguntarnos es ¿cómo están relacionadas la naturaleza de la fuente y la configuración geométrica de la situación con la correlación de fase resultante entre dos puntos lateralmente espaciados en el campo luminoso? Es cierto que no podemos conseguir coherencia absoluta entre las dos líneas del doblete en cuestión, ya que están a longitudes de onda diferentes, si bien existen métodos para obtener esta distancia con el mínimo error. Una de ellas es usar precisamente la aproximación (3) del método de las anti-coincidencias, mientras que otra de ellas es la propuesta por la óptica de Fourier, con la que eliminamos esa diferencia aleatoria de fase para la mínima incoherencia que produce la distancia en las longitudes de onda. Con el método de Fourier podemos alterar la fase de una onda sin cambiar su amplitud, aunque no profundizaremos mucho en el tema. Con todo esto podemos empezar a hablar de la resolución que obtenemos con el método de las anti-coincidencias con una fuente extensa y usando un filtro interferencial.
En primer lugar podemos hablar del poder resolutivo, que queda definido como:
𝑅=
𝜈
𝛿𝜈
=
𝜆
Que mediante el uso de la teoría de la coherencia temporal expresar, con ε una constante de primer orden o menor,
𝑅 = 2𝜀𝜎𝑃
(7)
𝛿𝜆 (4)
podemos
(8)
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Que viene en términos del número de onda (σ) y la máxima diferencia de camino recorrido (P). Esta expresión se mantiene para espectrómetros clásicos Para hablar de la resolución, y en vistas de que estamos utilizando el Michelson como un instrumento espectroscópico, deberíamos al menos nombrar que existen tres medidas importantes, que son el tipo de radiación utilizada l(ν), la sensibilidad del detector d(v) y su propia transmitancia 𝒯 (𝑣 )
Práctica Como se hemos visto, el interferómetro de Michelson permite la medida de diferentes magnitudes físicas con gran exactitud: variación del índice en gases y sólidos, medida de pequeñas longitudes, intervalos espectrales, etc. Por ello se usa habitualmente con fines metrológicos. En lo que nos concierne, lo utilizaremos para determinar la diferencia entre las longitudes de onda de las dos componentes espectrales del doblete naranja del sodio. Como ya se dijo, el interferómetro de Michelson está compuesto de dos espejos situados en ángulo recto y una lámina desdobladora que hace llegar a cada espejo la mitad el haz incidente. Dicho haz procede de una fuente espectral o fuente láser cuyo haz ha sido previamente ensanchado mediante un objetivo de microscopio de potencia apropiada. Antes de entrar en el interferómetro, el haz luminoso suele pasar por un filtro interferencial, que aísla la línea espectral a usar, y un vidrio difusor que uniformiza la luz de entrada al sistema. Si la luz tiene una pequeña longitud de coherencia, se suele utilizar una lámina compensadora del mismo material y grosor de la desdobladora. De este modo se consigue aproximar los recorridos de los dos haces, haciendo que la diferencia de caminos ópticos sea pequeña y se puedan obtener patrones interferenciales.
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Figura 2. Montaje del interferómetro de Michelson
Los espejos del interferómetro van colocados en sendos soportes; uno de ellos es fijo (E2), aunque puede variarse su inclinación mediante dos tornillos colocados apropiadamente en su parte posterior. El otro (E1) no puede cambiar su inclinación pero si puede moverse hacia delante y hacia atrás empujado por el vástago de un tornillo micrométrico cuyo desplazamiento puede leerse en una escala numerada en decenas de micras (figura 2). La lectura del desplazamiento del vástago en la escala micrométrica, sin embargo, no corresponde al desplazamiento del espejo. No obstante, existe una relación supuestamente constante (en un intervalo no muy grande) entre ambos desplazamientos que llamamos factor de reducción f. Éste ha de ser determinado si en la utilización particular que queramos hacer del instrumento se necesita conocer la distancia recorrida por el espejo móvil. Antes de determinar el factor de reducción hemos de poner a punto el interferómetro. Para ello se coloca el espejo E2 en la guía con una orientación sensiblemente perpendicular a la del espejo E1. Se enciende el láser y, sin el vidrio difusor ni objetivo, se orienta para que los impactos luminosos se formen en el centro de los espejos. En una pantalla colocada sobre la pared se verán los sistemas de impactos uno de los cuales se desplaza cuando se actúa sobre los tornillos del espejo E2. Se actuará sobre dichos tornillos hasta que se consiga que los sistemas láser se superpongan; en ese momento el interferómetro estará prácticamente ajustado.
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En estas condiciones colocamos el objetivo de microscopio en su soporte y actuaremos sobre sus tornillos hasta que consigamos que el haz láser pase por su centro y que el haz expandido ilumine lo más uniformemente posible los dos espejos. En este momento observaremos un sistema de anillos claros y oscuros sobre la pantalla. Moviendo los tornillos del espejo E2 conseguiremos que el patrón esté lo mejor centrado posible. En este momento el interferómetro estará listo para su utilización. Para determinar el factor de reducción del instrumento determinaremos la diferencia de lectura en el tornillo micrométrico, Δx, cuando hacemos pasar 80 anillos oscuros (Δm = 80) por un punto de la pantalla muy cercano al centro del patrón. Dicho punto puede ser el centro o cualquier otro, muy cercano al centro, en el que se ha puesto alguna señal que sea visible para el observador. (La lectura del tornillo micrométrico ha de ser lo más precisa posible y hay que evitar dejar algún anillo sin contar). Con estas dos magnitudes determinadas, el factor de reducción puede obtenerse de la ecuación 2𝑓Δ𝑥 = Δ𝑚𝜆
(9)
donde fΔx será el recorrido real del espejo y λ = 0.6328 mm es la longitud de onda de la luz láser. Conocido f cualquier recorrido del espejo lo podemos obtener sin más que multiplicar f por el recorrido leído en el micrómetro.
Calibrado y ajustado el instrumento, se cambia el haz láser por la lámpara de sodio, de la cual conocemos la longitud de onda de una de las líneas de su doblete naranja, y delante de ella se coloca un filtro interferencial para aislar el doblete deseado y el vidrio difusor. Colocada la fuente que ilumine los espejos se mira a través del telescopio enfocado al infinito hasta que se vea el sistema de anillos. Si éste es muy débil y casi no se ve, se actúa sobre los tornillos del espejo E2 hasta que los anillos aparezcan lo más nítidos y contrastados posible. Una vez obtenido lo anterior se puede comenzar la medida. El método consiste en determinar la distancia recorrida por el espejo móvil entre dos configuraciones de mínima visibilidad del patrón de interferencias (casi iluminación uniforme del campo de visión). Estas configuraciones se consiguen cuando hacemos que coincidan los máximos
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de intensidad del sistema de anillos de una de las líneas del doblete, λ1, con los mínimos de intensidad del patrón de la otra línea, λ2. En estas condiciones se cumple que 1
2𝑑1 cos 𝜃 = 𝑚1 𝜆1 = (𝑚2 + )𝜆2 2
(10)
Es decir, para una diferencia de caminos ópticos dada la posición del anillo claro de orden m1 de la línea λ1 coincide con el anillo oscuro en el orden m2 + 1/2 de la línea λ2.
Figura 3. Cambio del patrón interferencial mediante la variación de d.
Si consideramos que λ2 > λ1 y movemos el espejo E1, el patrón interferencial comenzará a aclararse; es decir, comenzará a aumentar su visibilidad hasta que llega un momento en que el contraste de los anillos es máximo. Es este momento existe coincidencia entre los máximos del patrón de λ1 y los de λ2. Siguiendo con el movimiento del espejo en la misma dirección, el patrón comienza nuevamente a empeorar su visibilidad hasta que finalmente se llega a una configuración semejante a la de partida: visibilidad mínima (figura 3). En este momento habrán pasado por el centro k anillos del patrón de λ1 y k - 1 del de λ2, de forma que 1
2𝑑2 cos 𝜃 = (𝑚1 + 𝑘 )𝜆1 = (𝑚2 + + 𝑘 − 1)𝜆2 2
(11)
Así, si conocemos el desplazamiento Δd sufrido por el espejo entre esas dos anti-coincidencias sucesivas y la longitud de onda λ1 de una de las líneas, la
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diferencia entre las longitudes de onda de las líneas del doblete se puede demostrar que vendrá dada por
Δ𝜆 = 𝜆2 − 𝜆1 =
𝜆1 𝜆2 2Δ𝑑
≈
𝜆21 2Δ𝑑
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Por consiguiente, podemos determinar Δλ y λ2 con bastante precisión. En nuestro caso, obtuvimos un intervalo espectral del 6 Å, que resulta una distancia muy pequeña comparativamente con las que medimos a lo largo de la práctica, y que ilustra el poder resolutivo del instrumento en cuestión.
Conclusión A la conclusión más obvia que podemos llegar en primer lugar es que es posible medir distancias espectrales con el uso del interferómetro de Michelson. Pero hablar justamente de su resolución es algo más complejo, debido a justamente de lo que hemos estado hablando: La visibilidad de las líneas, que nos dan idea de la coherencia del instrumento, la aproximación del método sobre el que se centra el estudio, así como las limitaciones instrumentales, pues experimentalmente debemos siempre tener en cuenta que nuestras medidas tienen un límite de precisión. En resumen, podemos obtener un valor teórico de la resolución del interferómetro de Michelson, que viene dado con expresiones que se han explicado en el desarrollo y en el apéndice, pero siempre sujetas a las variaciones y vicisitudes instrumentales. Por lo tanto, el punto experimental de mayor resolución es aquel en el que convergen las mejores condiciones instrumentales con las expresiones teóricas.
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Apéndice (1)
𝑎𝜋
𝑑𝐼 = 𝐴 𝑑𝑌 {cos[( )(𝑦 − 𝑌)] } 𝑠𝜆
2
Que es la contribución de
irradiancia total producida por dY. Donde A es una constante apropiada. Integrando sobre la extensión de ω obtenemos el patrón completo. 𝜔/2
2 𝑎𝜋 {cos [( )(𝑦 − 𝑌)]} 𝑑𝑦 𝑠𝜆 −𝜔/2
𝐼 (𝑦 ) = 𝐴 ∫
Haciendo manipulaciones trigonométricas directas e integrando:
𝐼 (𝑦 ) =
𝐴𝑏 𝐴 𝑠𝜆 𝑎𝜋 𝑎𝜋 + sin( 𝜔) cos( 2 𝑦) 2 2 𝑎𝜋 𝑠𝜆 𝑠𝜆
La Irradiancia oscila sobre un valor promedio I=Aω/2, y así
𝑎𝜋𝜔 sin 𝐼 (𝑦 ) 𝑠𝜆 ) cos( 2 𝑎𝜋 𝑦) = 1 + ( 𝑎𝜋𝜔 𝐼 𝑠𝜆 𝑠𝜆 Se deduce que los valores de la irradiancia relativa están dados por
𝐼 𝑎𝜋𝜔 = 1 + |𝑠𝑖𝑛𝑐 ( )| 𝑠𝜆 𝐼̅ Y 𝐼′ 𝑎𝜋𝜔 = 1 − |𝑠𝑖𝑛𝑐 ( )| 𝑠𝜆 𝐼̅ (2) Sabemos que la lc del aire es 900 nm gracias a un estudio ya realizado, que adjunto en las referencias. Además en otro estudio, también
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adjunto, se comprueba que la lc de la luz de sodio es >2mm, lo que comparativamente es mucho mayor que las diferencias de camino óptico, lo que justifica la afirmación. (3) La
aproximación
Δ𝜆 = 𝜆2 − 𝜆1 =
de 𝜆1 𝜆2 2Δ𝑑
la
≈
𝜆21
que
se
habla
es
justamente
2Δ𝑑
(4) Δ𝜏Δ𝜐 ≥ 1. Esta relación nos muestra como el ancho de la banda esta recíprocamente relacionado con el retraso máximo T en el interferómetro 𝑇𝛿𝜐 =
1 2𝜀
≈1
Referencias Steel, W.H. (1987). Interferometry. Cambridge: Cambridge University Press Smith, F. Graham & Thomson, J.H. (1988). Optics. Manchester. General Editors: F. Mandl, R.J. Ellison & D.J. Sandiford Wolf, Emil (2007). Introduction to the Theory of Coherence and Polarization of Light. Cambridge: Cambridge University Press Casas, J. (1994). Óptica. Zaragoza Hecht, E. (2000). Óptica. Addison Wesley Iberoamérica Castellanos, E. LAS BASES DE LA TEORÍA DE LA COHERENCIA. [En línea][Fecha de consulta: 19 de Diciembre]. Disponible en: https://docencia.izt.uam.mx/mfg/laseres1/contenido/coherencia.pdf
Adjimann, A. (2001). Aplicaciones del interferómetro de Michelson. [En línea]. [Fecha de consulta: 19 de Diciembre]. Disponible en: http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_mod/interfero_michelson_2k1.pdf
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