Variación del Índice de Refracción con la Presión por medio del Interferómetro de Michelson. Julio Cesar Sánchez Rodríguez 5FV2 Laboratorio I ESFM, IPN, Ciudad de México, México E-mail:
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Resumen – El interferómetro de Michelson es un instrumento bastante útil para medir longitudes de onda pequeñas con muy buena precisión. A partir de su uso y con la aplicación de técnicas de vacío se midieron las longitudes para tres láseres diferentes, posteriormente utilizando una cámara de vacío y los mismos láseres observamos la relación que existe entre el índice de refracción y la presión, para diferentes intervalos de presión se obtuvo la diferencia en el índice de refracción para cada laser, por último, se obtuvo el índice de refracción en el aire el cual tiene un valor de 1.00017±2.923− Palabras clave – Interferómetro, Índice de Refracción, Longitud de Onda, Presión,
I.
Introducción
Las ecuaciones de Maxwell describen matemáticamente las ondas electromagnéticas. Estas ondas resultan ser campos ondulatorios eléctricos E y magnéticos B mutuamente perpendiculares que se propagan en el espacio con la misma velocidad, longitud de onda, frecuencia y fase. Cuando ondas idénticas provenientes de dos fuentes de luz que se sobreponen en un punto del espacio, su intensidad combinada allí puede ser mayor o menor que la de una de estas dos ondas. A este efecto lo llamamos interferencia. Ésta puede ser constructiva, cuando la intensidad neta es más grande que las intensidades individuales, o destructiva, cuando la intensidad total es más pequeña que las intensidades individuales. [2] Independientemente de que la interferencia sea constructiva o destructiva depende siempre de la fase relativa de las dos ondas. Para observar interferencia en ondas de dos fuentes, debe cumplir las siguientes condiciones: Las fuentes deben ser coherentes, es decir, deben mantener una fase constante respecto de otra.
Las fuentes deben ser monocromáticas, monocromáticas, es decir, de una sola longitud de onda. [4] Interferómetro de Michelson El interferómetro, interferómetro, inventado por el físico estadounidense A. A. Michelson (1852-1931), divide un rayo de luz en dos partes y luego los recombina para que formen una configuración de
interferencia. El aparato se puede usar para medir longitudes de onda u otras longitudes con gran precisión, porque un desplazamiento grande y medido en forma muy precisa de uno de los espejos está relacionado con un numero contable exacto de longitudes de onda de luz. En la figura 1 se muestra un esquema del interferómetro. Un rayo de luz procedente de una fuente monocromática es dividido en dos rayos por el espejo , que esta inclinado 45° respecto al rayo de luz incidente. El espejo , denominado divisor de rayo, transmite la mitad de la luz incidente en él y refleja el resto. Un rayo se refleja de verticalmente hacia arriba al espejo M1, y el segundo rayo es transmitido horizontalmente horizontalmente por medio del espejo M0 hacia el espejo M2. Por esto, los dos rayos recorren trayectorias separadas y . Despues de reflejarse desde y , por último, los dos rayos se recombinan en para producir una configuración de interferencia, que se puede ver a través de un telescopio. La condición de interferencia para los dos rayos está determinada por sus diferencias de distancia de trayectoria. Cuando los dos espejos están exactamente perpendiculares entre sí, la configuración de interferencia es una configuración objetivo de franjas circulares brillantes y oscuras, semejante a los anillos de Newton. Cuando se mueve, el modelo de franjas colapsa o se expande, dependiendo de la dirección en que se mueve . Por ejemplo, si un circulo oscuro aparece en el centro la configuración objetivo (correspondiente a interferencia destructiva) y después se mueve una distancia ⁄4 hacia , la diferencia en la trayectoria cambia en ⁄2. Lo que era un circulo oscuro en el centro se convierte ahora en un círculo brillante. Cuando se mueve una distancia adicional ⁄4 hacia , el circulo brillante se convierte de nuevo en círculo oscuro. En esta forma, el modelo de franjas se desplaza media franja cada vez que se mueve una distancia ⁄4. En tal caso la longitud de onda de luz se mide contando el número de cambios de franja para un cierto desplazamiento dado de . Si la longitud de onda se conoce con precisión, los desplazamientos del espejo se pueden medir con una tolerancia de una fracción de la longitud de onda. [3]
Si dejamos fijo una distancia y la otra la movemos una distancia ′ se tiene que
2 2 = … … 7 Al final se tiene que
2 = …. .8 △ Donde △ es el numero de líneas del patrón de interferencia. Para medir la relación que existe entre el índice de refracción y la presión, con el mismo arreglo, consideramos lo siguiente Fig. 1 Arreglo ilustrativo del Interferómetro de Michelson Para el experimento se utilizó el mismo arreglo que el de la fig. 1 para esto se tiene que el tiempo necesario para que el haz de luz pase por es
= 2 ….1 De la misma manera se tiene el caso para
= 2 ….2 Tenemos que el número de longitudes de onda en un determinado tiempo está dado por
= … . 3 Donde es el periodo de una onda electromagnética, utilizando (3) para cada tiempo en las diferentes longitudes de los brazos del interferómetro se tiene lo siguiente
=
= …. .4
Restando las ecuaciones anteriores se tiene lo siguiente
=
= …. 5
Se da un máximo cuando m es un entero, utilizando las relaciones siguientes
1 = = Se llega a lo siguiente
=
2 …..6
Sean
=
2 2 = ……..9
Las líneas del patrón de interferencia a la presión inicial y la presión final y d la longitud de la cámara de vacío Restando las ecuaciones anteriores y utilizando la relación que hay entre el índice de refracción y la longitud de onda se tiene lo siguiente
= =
2 2 2( ) = …..10
Como el índice de refracción (lo consideramos para el caso de este experimento como el índice de refracción en el vacío) es igual a 1, tenemos la relación que une el índice de refracción y la presión
1 = ( ) = II.
……11 2
Desarrollo
El experimento se dividió en dos partes, la primera de ellas era obtener la longitud de onda de tres láseres ( Rojo, Verde y Violeta) con la ayuda del interferómetro de Michelson, para esta primera parte también utilizamos una lámpara de luz de mercurio, luz blanca y una lente de 50mm. La segunda parte del experimento se utilizó además del interferómetro, una bomba mecánica de vacío y una capsula de vacío que fue montada en uno de los brazos del interferómetro como lo muestra la fig. 2, en esta parte se observó la relación que guarda la presión con el índice de refracción.
Tabla I Mediciones utilizando el micrómetro Rojo
Fig. 2 Interferómetro con capsula de vacío
Violeta
Verde
L med (m) 1,80E-04
L real (m) 3,60E-05
L med (m) 1,10E-04
L real (m) 2,20E-05
L med (m) 1,30E-04
L real (m) 2,60E-05
1,80E-04
3,60E-05
1,10E-04
2,20E-05
1,60E-04
3,20E-05
1,80E-04
3,60E-05
1,00E-04
2,00E-05
1,50E-04
3,00E-05
1,70E-04
3,40E-05
1,10E-04
2,20E-05
1,40E-04
2,80E-05
1,70E-04
3,40E-05
1,10E-04
2,20E-05
1,40E-04
2,80E-05
1,80E-04
3,60E-05
1,10E-04
2,20E-05
1,30E-04
2,60E-05
1,80E-04
3,60E-05
1,00E-04
2,00E-05
1,40E-04
2,80E-05
1,70E-04
3,40E-05
1,10E-04
2,20E-05
1,40E-04
2,80E-05
1,70E-04
3,40E-05
1,10E-04
2,20E-05
1,30E-04
2,60E-05
PROMEDIO
En la primera parte primero se procedió a calibrar el interferómetro utilizando la lámpara de mercurio y moviendo el espejo para lograr ver un patrón de líneas de interferencia, se ajustó el micrómetro hasta lograr ver un patrón de círculos concéntricos, se buscó obtener solo un circulo en el campo de visión, esto con la finalidad de facilitar la visualización de un patrón de colores al pasar la luz blanca sobre el interferómetro. Después de calibrado el interferómetro procedimos a medir la longitud de onda de los tres láseres distintos para esto, se montó cada laser e hicimos uso de la lente para dispersar el láser. El patrón se pudo observar en la pantalla, para obtener una mejor visualización en la pantalla se ajustó el espejo, se procedió a mover con ayuda del micrómetro el espejo para variar la longitud de uno de los brazos y así poder ver como se desplazaban las líneas de patrón por la pantalla, se contaron 100 líneas del patrón de interferencia y procedimos a anotar las longitudes inicial y final que nos marcó el micrómetro para que con la ec. (8) obtuviéramos la longitud de onda de cada laser En la segunda parte del experimento se le agrego a unos de los brazos del interferómetro una pequeña capsula de vacío conectada a una bomba mecánica de vacío, se procedió ahora a variar la precisión en la capsula y contar las líneas del patrón que se observaban en la pantalla, esto se hizo con diferentes intervalos de presión.
III.
Resultados
Para la primera parte del experimento se obtuvieron los datos que se muestran en la tabla I, como existía un factor de corrección en el interferómetro de 5 para la distancia medida en el micrómetro a la longitud, se dividió entre 5 para obtener la longitud real y se pudieran obtener las longitudes de onda.
m
m
m
3,51E-05
2,16E-05
2,80E-05
DESVIACION m
m
m
9,94E-07
8,31E-07
1,88E-06
LONTIGUD DE ONDA nm
nm
nm
702
431
560
En la segunda parte del experimento se utilizó la bomba mecánica de vacío, como esta bomba estaba descalibrada, seguíamos viendo líneas pasar aun cuando en el indicador marcaba cero, lo que quiere decir que aún había vacío en la capsula, este problema se soluciona graficando índice de refracción vs Presión en donde al ajustar por mínimos con los datos obtenidos se observaba que la línea cruzaba el eje Y, para remediar este detalle se contó el número de líneas que pasaban después de que la aguja marcaba cero para ajustar la ecuación de la recta y así poder obtener un “cero” real, se ajustaron las otras mediciones, utilizando la ecuación 11 se obtuvo la diferencia en índice de refracción. En la tabla II se muestran los promedios de las líneas que se vieron para cada valor de presión 60,00 50,00 s a e n i L e D . m u N
40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 0
20
40
Presión (cmHg)
60
Fig. 3 Datos sin ajustar, se observan 3 puntos que debido al mal calibrado de la bomba se encuentran fuera de la recta de ajuste
Tabla II Mediciones hechas con la capsula de vacío sin ajustar Rojo
Violeta
3,E-04 y = 3E-06x + 8E-06
Verde
N. de Líneas
Presión (cmHg)
N. de Líneas
Presión (cmHg)
N. de Líneas
Presión (cmHg)
0
0
0
0
0
0
6
6
8
6
6
6
8
11
12
11
8
11
12
16
19
16
12
16
14
21
22
21
16
21
17
26
26
26
18
26
18
31
28
31
20
31
19
36
29
36
22
36
22
41
34
41
25
41
24
46
38
46
28
46
33
46
49
46
38
46
2,E-04 n o i c c a r f e R e d e c i d n I
2,E-04 1,E-04 5,E-05
0,E+00 0
20
60
80
Fig. 5 Grafica para el láser violeta
La tabla III muestra los datos ajustados para obtener los valores reales de la presión, se agrega una columna en donde indica la diferencia de los índices de refracción. Para cada laser se obtuvo un índice de refracción el cual fue Rojo △ = 2.1210− , Violeta △ = 1.9810− , Verde △ = 1.9310−. Las figuras 4, 5 y 6 muestran las gráficas que indican la relación entre la presión y el índice de refracción para cada laser, por último, la figura 7 muestra la gráfica de índice de refracción y longitud de onda para cada color, la ordenada al origen nos da el valor del índice de refracción en el aire el cual tiene un valor de 1,00017 con una desviación de 2.92310− con un error del 0.011 %
3,E-04 y = 3E-06x + 4E-06
2,E-04 n o i c c a r f e R e d e c i d n I
2,E-04 1,E-04 5,E-05
0,E+00 0
20
40
60
80
6,00E-07
8,00E-07
Presión (cmHg)
3,E-04
Fig.6 Grafica para el láser verde y = 3E-06x + 1E-05
2,E-04 n o i c c a r f e R e d e c i d n I
40 Presión (cmHg)
1,2
2,E-04
1
1,E-04 5,E-05 0,E+00 0
20
40
Presión (cmHg)
Fig. 4 Grafica para el láser rojo
60
80
y = 51,143x + 1,0002
n o i c c 0,8 a r f e R0,6 e d e 0,4 c i d n I
0,2 0 0,00E+00
2,00E-07
4,00E-07
Longitud de Onda (m)
Fig.7 Grafica Longitud de onda vs índice de refracción, la ordenada al origen indica el índice de refracción en el aire
Tabla III Mediciones ajustadas para la Presión. Rojo
Núm. De Líneas
Presión (cmHg)
0
Violeta Δn
Núm. De Líneas
Presión (cmHg)
0
0
0
0
0
0
0
0
6
Verde Δn
Núm. De Líneas
Presión (cmHg)
Δn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
3,85,E-05
7
6
2,76E-05
5
6
2,56E-05
6
6
3,85,E-05
8
6
3,15E-05
5
6
2,56E-05
7
6
4,49,E-05
8
6
3,15E-05
5
6
2,56E-05
8
12
5,14,E-05
11
11
4,33E-05
7
11
3,58E-05
8
12
5,14,E-05
12
11
4,73E-05
7
11
3,58E-05
9
12
5,78,E-05
13
11
5,12E-05
8
11
4,10E-05
10
19
6,42,E-05
19
20
7,49E-05
12
18
6,14E-05
13
19
8,34,E-05
19
20
7,49E-05
12
18
6,14E-05
13
19
8,34,E-05
20
20
7,88E-05
12
18
6,14E-05
14
24
8,99,E-05
22
24
8,67E-05
15
24
7,68E-05
15
24
9,63,E-05
22
24
8,67E-05
16
24
8,19E-05
15
24
9,63,E-05
23
24
9,06E-05
16
24
8,19E-05
17
29
1,09,E-04
25
29
9,85E-05
17
28
8,70E-05
18
29
1,16,E-04
26
29
1,02E-04
17
28
8,70E-05
18
29
1,16,E-04
26
29
1,02E-04
17
28
8,70E-05
19
32
1,22,E-04
27
32
1,06E-04
18
31
9,21E-05
19
32
1,22,E-04
27
32
1,06E-04
19
31
9,73E-05
19
32
1,22,E-04
27
32
1,06E-04
19
31
9,73E-05
20
34
1,28,E-04
28
34
1,10E-04
21
35
1,07E-04
20
34
1,28,E-04
28
34
1,10E-04
22
35
1,13E-04
20
34
1,28,E-04
29
34
1,14E-04
22
35
1,13E-04
22
39
1,41,E-04
33
39
1,30E-04
24
40
1,23E-04
22
39
1,41,E-04
33
39
1,30E-04
25
40
1,28E-04
22
39
1,41,E-04
34
39
1,34E-04
26
40
1,33E-04
25
45
1,60,E-04
37
45
1,46E-04
27
45
1,38E-04
25
45
1,60,E-04
38
45
1,50E-04
28
45
1,43E-04
25
45
1,60,E-04
38
45
1,50E-04
29
45
1,48E-04
33
61
2,12,E-04
50
59,8
1,97E-04
37
62
1,89E-04
33
61
2,12,E-04
50
59,8
1,97E-04
38
62
1,95E-04
33
61
2,12,E-04
51
59,8
2,01E-04
38
62
1,95E-04
Tabla IV Longitud de onda de cada laser e Índice de Refracción a Presión Atmosférica. Longitud de Onda (m)
Índice de Refracción en el aire
7,02E-07
1,000211822
4,31E-07
1,000198348
5,60E-07
1,000192809
IV.
Conclusiones
Se pudo observar la relación que existe entre el índice [4] de refracción y la presión, así como también se aprendió a utilizar de manera correcta el interferómetro de Michelson para medir longitudes de onda, los valores de las longitudes de onda están dentro del rango que se conoce, si se hubiera trabajado con una bomba bien calibrada desde un inicio los resultados pudiesen haber sido mejor.
V.
Bibliografía
[1] Hugh D. Young,Roger A. Freedman “Sears -Zemansky, Física Universitaria, volumen 2”, Ed. Pearson Educación, Tercer
Edición pp. 1163-1181 [2] Resnick, Robert, Halliday, David, Krane Ke nneth S. “Física Volumen 2”, Ed. Patria, Quinta Edición pp 941-951. [3] Serway Raymond, “ Física para Ciencias e Ingenierías” 7 ed, Ed. Cencage Learning [4]http://www.liceoagb.es/ondas/texto/Version%20PDF/9%20I nterferencia.pdf
