UNIDAD ACADEMICADE INGENIERIA CIVIL, CONSTRUCCION Y URBANISMO.
ANALISIS MATEMATICO II
INFORME INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRANTES: Lourdes Sisalima Gisel Guamán William Cuzco Sebastián Vélez Darwin Cabrera
DIRIGIDO A: Ing. Cristian Vintimilla Ulloa.
FECHA DE ENTREGA: 23/10/2017
0
TEMA: La Integración Indefinida. INTENSIDAD: 3 horas semanales de clase. DOCENTE: Ing. Cristian Ulloa. OBJETIVOS: General
Como estudiantes, apropiarnos de los conceptos fundamentales de la integración indefinida, y adquirir las habilidades que nos permitan aplicar estos conocimientos en problemas dentro de ingeniería civil.
Específicos
Conocer y manejar con propiedad el concepto de integral indefinida de una función real de una variable real y su relación con el concepto de primitiva o antiderivada, para facilitar los cálculos. Estudiar algunas de las diferentes aplicaciones del concepto de integral. Reforzar los conocimientos adquiridos sobre temas de integración indefinida mediante una investigación a fondo sobre el tema visto. Saber utilizar de manera correcta las fórmulas de Riemann para el cálculo de áreas. Conocer las técnicas de integración utilizadas para una mayor comprensión del tema.
METODOLOGÍA: La asignatura tiene una intensidad de tres horas presenciales presenciales semanales representadas en dos conferencias teóricas de una hora el lunes y dos horas el jueves, durante las cuales el profesor desarrolla conceptos teóricos, ejemplos y ejercicios. En las horas de atención, el estudiante consulta sobre las dudas teóricas y sobre los ejercicios. La asistencia de los estudiantes a las asesorías es opcional.
1
INDICE
1. ANTI DERIVACIÓN _______________________________________________ 4
2.
3.
4.
1.1.-
Introducción _____________________________________________________ 4
1.2.-
Objetivos________________________________________________________ 4
1.3.-
Antecedentes ____________________________________________________ 4
1.4.-
Desarrollo _______________________________________________________ 5
1.5.-
Conclusiones _____________________________________________________ 7
SUMA DE RIEMANN ______________________________________________ 8 2.1.-
Introducción _______________________________________________________ 8
2.2.-
Objetivos __________________________________________________________ 8
2.3.-
Antecedentes ______________________________________________________ 8
2.4.-
Desarrollo _________________________________________________________ 8
2.5.-
Conclusiones ______________________________________________________ 10
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN _______________________________________ 11 3.1.-
Introducción _________________________________________________________ 11
3.2.-
Objetivos ___________________________________________________________ 11
3.3.-
Desarrollo ___________________________________________________________ 11 3.3.1.-
Integración inmediata _________________________________________ 11
3.3.2.-
Sustitución o cambio de variable _________________________________ 12
3.3.3.-
Sustituciones trigonométricas ___________________________________ 13
3.3.4.-
Integración por partes _________________________________________ 15
3.3.5.-
Integrales que contienen trinomio cuadrado perfecto ________________ 16
3.4.-
Conclusión __________________________________________________________ 16
3.5.-
Ejercicios en cada caso _________________________________________________ 16 3.5.1.-
Integración inmediata _______________________________________ 16
3.5.2.-
Sustitución o cambio de variable _______________________________ 17
3.5.3.-
Sustituciones trigonométricas _________________________________ 17
3.5.4.-
Integración por partes _______________________________________ 18
3.5.5.-
Integrales que contienen trinomio cuadrado perfecto ______________ 19
ECUACIONES DIFERENCIALES ______________________________________ 20 4. 1.-
Introducción ______________________________________________________ 20
4. 2.-
Objetivos _________________________________________________________ 21
4. 3.-
Desarrollo ________________________________________________________ 21
2
4. 4.-
Conclusiones ______________________________________________________ 23
5.
BIBLIOGRAFIA__________________________________________________ 23
6.
LINKOGRAFÍA __________________________________________________ 23
3
1. ANTI DERIVACIÓN 1.1.- Introducción El cálculo de integrales indefinidas es una práctica constante no solo en asignaturas de Matemáticas que debe cursar un alumno de Ingeniería sino que, además, aparece frecuentemente en el estudio de otras materias, generales como la Física, o más específicas como cualquier Tecnología. Así, esta nos ayuda a resolver problemas como: determinación de centros de gravedad o momentos de inercia, trabajo realizado por una fuerza, etc..., donde es imprescindible la utilización del cálculo integral. Definiremos el concepto de integral como aquel proceso inverso de hallar una derivada. 1.2.- Objetivos
Repasar el concepto de función primitiva y el cuadro de integrales inmediatas, completándolo con las funciones hiperbólicas y sus inversas. Presentar el concepto de integración como función inversa de la diferenciación.
1.3.- Antecedentes Sabemos que la integra l es una antiderivada, y el área bajo la curva, ¿pero…de dónde vienen dichas definiciones? En la Antigua Grecia, los grandes matemáticos idearon un proceso mediante el cual podían hallar el área de cualquier figura, siempre y cuando ésta pudiese ser dividida en otras figuras geométricas más elementales (como triángulos); este era conocido como el Método Agotamiento.
Este método era relativamente ingenioso, pero aún estaba lejos de la presentación formal de la integral, además de que presentaba fallas cuando se quería hallar el área de una figura curva. Más o menos a partir del siglo III d.C. (suceso relacionado con la destrucción de la Biblioteca de Alejandría) no pasó mucho con respecto al desarrollo del cálculo por un buen tiempo…Pero afortunadamente, de spués del Oscurantismo, a partir 4
del Renacimiento y la Ilustración, aparecieron personajes como Kepler, Pierre de Fermat, René Descartes, entre otros. Todos ellos hicieron aportes al descubrimiento del cálculo; por ejemplo Pierre de Fermat y René Descartes combinaron Álgebra y Geometría para expresar figuras geométricas con ecuaciones algebraicas, de ahí viene el plano cartesiano. Entre los siglos XVII y XVIII aparecieron los dos personajes que darían por fin solución al problema que plantearon los Antiguos Griegos: Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Desafortunadamente, este par nunca llegó a conocerse personalmente, aunque mantenían contacto por correspondencia, pero nunca trabajaron juntos, sino que se limitaron a competir entre ellos. Cada uno inventó su propia versión del cálculo (casi en paralelo), Newton se lo guardó todo durante unos treinta años, mientras que Leibniz publicó su trabajo sin tapujos. Durante casi un siglo prevalecieron las notaciones de Isaac Newton para el Cálculo, basado principalmente en límites de razones, pero eventualmente se empezó a adoptar la notación del Cálculo de Leibniz, el cual, en ciertos aspectos, era mejor que el de Newton. Fue Leibniz quien ideó la notación que hoy en día usamos para las integrales, basándose en la palabra latina summa, que significa suma. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. 1.4.- Desarrollo Una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la siguiente forma:
Encontrar la función f(x) de la cual la derivada es conocida. Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x)
La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar a símbolo.
Concretamente diremos que
5
Aunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar el análisis de este concepto. Así por ejemplo podemos tener f 1(x)= 3x y con ello f 1´(x)dx=3dx por lo que:
Pero
podemos observar que si la f 1(x)+5 entonces f 2´(x)dx=3dx por lo que:
función
es
f 2(x)=
3x+5=
Podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f 1(x) cualquier constante y tener el mismo diferencial por lo que una expresión más general a considerar es la siguiente:
A la constante C que se agrega se le conoce como constante de integración . A la expresión anterior se le conoce como integral indefinida.
INTEGRACION: La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Dada una función f ( x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
Es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f , el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. (Stewart, calculo de una variable, 2012) .
Propiedades de integrales indefinidas de una función.
0 1 6
+ 1 , ≠ 1 ( ± ) ± || In Propiedades de integrales indefinidas con funciones trigonométricas.
cos cos tan cot sectan sec csccot csc (Stewart, 2012) (Hernandez, 2009) 1.5.- Conclusiones Se puede concluir entonces que la antiderivada o integral es el proceso inverso a una derivada, es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños, que nos permiten encontrar una función deseada.
7
2. SUMA DE RIEMANN 2.1.- Introducción Bernhard Riemann murió antes de cumplir los 40 años pero hizo grandes contribuciones en diferentes campos de las matemáticas: en análisis complejo estudio las funciones de una variable, revolucionó la geometría analizando la negación del quinto postul ado de Euclıdes, dentro del cálculo definiendo las ´ conocidas integrales que llevan su nombre, entre otros campos. También trabajo en áreas de la física como la dinámica de fluidos, magnetismo, teoría de gases, etc. Pero ¿Por qué es importante en la actualidad? ¿Por qué es tan conocido? Veremos como la integral de Riemann supuso un gran avance para las matemáticas en el momento en que se desarrolló. Este concepto se incorporó a las bases de la matemática actual, y son fundamentales para la investigación tanto en matemáticas, como física. Por eso se explicara detalladamente la suma de Riemann.
2.2.- Objetivos
Daremos el criterio de integrabilidad de Riemann que nos permite estudiar la integrabilidad de una función sin necesidad de calcular las integrales superior e inferior. Se dará a conocer algunas aplicaciones de dicha suma.
2.3.- Antecedentes A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [ a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
2.4.- Desarrollo Riemann publica en 1854 su obra Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe para poder acceder al cargo de profesor auxiliar en la 8
universidad de Gottingen. Se define por primera vez el concepto de integral de Riemann y se inicia la teoría de funciones de una variable real. La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Para entender de manera más simple este concepto matemático comenzaremos analizando unas graficas donde se está sobre estimando y subestimando el área bajo una curva, mediante rectángulos de altura f(x) y de a ncho ∆x, con estos datos las áreas de los rectángulos se obtendrían mediante el siguiente calculo A= f(x)(∆x), en las gráficas se están utilizando puntos extremos izquierdos y
derechos, los puntos extremos izquierdos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar el área por defecto, lo que es decir, estamos subestimando el área, por otra parte los puntos extremos derechos nos dan una altura f(x) que nos sirve para estimar el área por exceso, es decir estamos sobre estimando el área bajo la curva. Así tenemos:
∆ = ∆
Formulas:
= ⋯ = 1 = 1 2 121 = 6 9
1 = 4 16 9 1 = 30 (Rivera, 2014)
Ejemplo:
Halla el área de la región bordeada por las gráficas de
2, 0
22,
y el eje x mediante el cálculo del límite de las sumas de
Riemann.
SOLUCION
∆ ; 2 la enésima suma de Riemann es: ∑= ∆ ∑= 22 2 ∑= ∑= + 8 + Se divide [-2, 0]:
se halla el límite:
1 lim = ∆ →∞ lim 8 8 →∞ Algunas aplicaciones de la integral de Riemann se pueden encontrar en el cálculo de distribución de masas y momentos en una barra, energía distribuıda, dinámicas de calentamiento, enfriamiento y movimiento, ´ aproximaciones de funciones por polinomios, etc.
2.5.- Conclusiones Podemos concluir entonces que la suma de Riemann es un método fácil de representar el área bajo la curva, así como también podemos decir que es un método no tan preciso, ya que emplea una suma con intervalos no lo suficientemente pequeños.
10
3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 3.1.- Introducción Las integrales indefinidas como todo problema matemático tiene un proceso de resolución, el cual puede ser directo y sencillo o haciendo uso de un método o técnica en específico Desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad. Estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida. Se presentara el método de cabio de variable, sustitución trigonométrica e integración por partes.
3.2.- Objetivos
Presentar las técnicas de integración como métodos de resolución de integrales indefinidas más fáciles. Que el estudiante conozca y sea capaz de resolver problemas matemáticos donde use como herramienta las técnicas de integración. Que el estudiante distinga la técnica de integración y haga uso de ella en la resolución de problemas.
3.3.- Desarrollo A continuación se desarrollaran las técnicas que nos permitirán emplear las formulas básicas con objeto de llegar a integrales indefinidas de funciones más complicadas.
3.3.1.-
Integración inmediata Las integrales inmediatas son las que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive me dé la que está en la integral. Así, se presenta la relación de derivada e integral.
11
3.3.2.-
Sustitución o cambio de variable La regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para diferenciar debemos tener presente que si u=g(x), entonces du=g´(x).dx Si F es una primitiva fe f, y g es derivablese tiene: (Fog)´(x)=F´[g(x)] g´(x) = f[g(x)]g´(x) Que con la notación de integrales se escribe:
[]
∫ []´
Si se escribe u=g(x), entonces du=g´(x).d(x). Con esta sustitución se tiene:
∫ (u).d(u)=F(u)+C Para calcular una integral por cambio de variable:
Buscar una transformación u=g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata
Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial du=g´(x) d(x)
después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo g-(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final
12
3.3.3.-
Sustituciones trigonométricas En este caso el uso de funciones trigonométricas son precisas para la resolución de integrales, en ocasiones el uso de transformaciones trigonométricas que se pasan a funciones de integración ya conocida o más simple, para lo cual son útil las sustituciones:
TABLA DE SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS Expresión
Sustitución
Identidad
, ≤ ≤ , < < , ≤ <
La sustitucion trigonometrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonometricas cuyo proceso de integracion es mas sencillo.
Según la tabla antes presentada, estas funciones trigonometricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente: Asi, por ejemplo se tiene:
13
Se sabe que:
sin √ Entonces :
sin Utilizamos la tangente para determinar el valor de x:
tan atan Derivando para obtener dx:
acos . Por lo tanto d
:
acos
Ahora reemplazamos las ecuaciones obtenidas:
. sin Pero atan atan sin . Ahora que tenemos la funcion en terminos de procedemos a integrar, sabiendo que:
sin tan cos 14
Extraendo la contante, tenemos:
sin cos sin . Lo cual nos queda:
.1 . cossin.sin Simplificando:
cos Por propiedad de las integrales, resolvemos:
ln |cos 3.3.4.-
Integración por partes La regla para derivar el producto de dos funciones da origen a un método de integración llamado integración por partes
... El integrando debe ser un producto de dos factores. o
Primero se escogen u y dv
o
Segundo, se deriva u para encontrar du
o
Tercero, se integra dv para encontrar v
o
Finalmente, se aplica la fórmula de integración por partes y se soluciona la integral indicada.
Es corriente utilizar el metodo de integracion por partes en integrales del tipo:
∫ , ∫ cos , ∫ , ∫ . Asi como en las que contienen su integrando funciones trigonometricas inversas.
15
3.3.5.-
Integrales que contienen trinomio cuadrado perfecto Este método consiste en completar el trinomio de tal forma para poder resolver con cualquiera de los métodos antes vistos: método de sustitución trigonométrica, cambio de variable integración inmediata si fuese posible.
Esta resolución consiste en eliminar factores, de tal forma que nos quede la siguiente expresión:
1 . ≠ 0 Lo cual será igual a:
1 . ln | | 3.4.-
Conclusión Los métodos de integración: integración inmediata, cambio de variable, sustitución trigonométrica, integración por partes, o por trinomio cuadrado perfecto, son técnicas que nos permiten reducir la dificultad de los problemas a resolver, de tal manera que podemos utilizar cualquier técnica de integración según el problema lo requiera.
3.5.-
Ejercicios en cada caso
3.5.1.- Integración inmediata
∫ . ∫ 5 ∫ . ∫ 4 ∫ 3 ∫ 2 ∫ ∫ 3 . ∫ ∫9 1243 6 4. ∫ 2 ∫ − − . 16
∫√ ∫ √ . ∫ 18 ∫ 3 ∫ 6 ∫ 12 ∫ 3 4 . − 3 ∫ √ ∫ 6√ . ∫ √ 3 ∫ − 6√ . − 2 ∫ √ ∫ 4√ .
(Hernandez, 2009)
3.5.2.- Sustitución o cambio de variable
∫ √ 4 Sea 4,3 , 4. Sustituyendo: ∫ √ 4 ∫ 4 √ 3 = ∫ 8 163 3 ∫ 8 16 = 3 ∫ 8 16 = 3 8 7 16 , como u = √ 4 = ( √ 4) ( √ 4)7 12( √ 4) = 7 o
3.5.3.- Sustituciones trigonométricas o
∫ −⁄ , ∈ 5, √ 5 17
√ 5 , ∈ − , → √ 5 cos Luego 5 55 5 5 ⁄ 5⁄ 5 √ 5 cos Asi 5√ 5 Sea x =
Sustituyendo:
5 ⁄ √ 5√ 5 cos 5 ∫ = ∫ = tan = . √ − √ − Pues también sen √ cos √ =
También puede utilizarse:
3.5.4.- Integración por partes o
∫ 3
Si u = 3x entonces du = 3 dx
∫ = -cos x ∫ 3 3cos ∫ cos 3
Si dv = sen x dx entonces v =
= -3x cos x + 3 sen x + C
18
∫
o
Si dv = dx entonces v = Si u = In x entonces du =
Luego:
∫ ∫ . = ∫ = 3.5.5.- Integrales que contienen trinomio cuadrado perfecto Ejemplo:
∫ −− −
o
En este caso se debe factorizar primero el denominador del integrando. Asi
4 2121 Luego:
6 21 6 21 4 2121 21 21 Se deben calcular nuevamente los valores de A,B y C, utilizando para ello cualquiera de los dos procedimientos ya señalados. Como:
6 21 2121 21 21 2121 2121 Entonces:
6 212121 2 1 21 Utilizando el segundo procedimiento daremos a x los valores de
0, −
como sigue: 19
Si x = 0 entonces 1 = A(-1)(1) de donde A = -1
− = B (2) de donde B = − − − Si x = entonces = C (-2) de donde C = Si x = entonces
Luego
21 6 4 21 6 2121 1 3 1 2 2 21 21 = ∫ ∫ − ∫ + = | | |21| |21| + = − √ (Hernandez, 2009)
4. ECUACIONES DIFERENCIALES 4. 1.- Introducción En el estudio de un problema de Matemática Aplicada pueden distinguirse esencialmente tres etapas: la formulación matemática del problema, la resolución del problema matemático y, finalmente, la interpretación de los resultados obtenidos. Las dos primeras etapas, que constituirán en principio nuestro objetivo, conducen habitualmente al planteamiento y resolución de ecuaciones diferenciales. El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelar situaciones de la vida cotidiana de forma matemática.
20
4. 2.- Objetivos Presentar las ecuaciones diferenciales utilizadas en la resolución de problemas de la vida real.
4. 3.- Desarrollo Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. La ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integración de una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, las ecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras.
Ejercicio: Una herida está sanando de una manera que t días a partir del lunes el área de la herida ha disminuido a una tasa de -3 (t+2 ) -2 cm2 por día. Si el martes el área de la herida fue de 2cm 2. ¿Cuál era el área de la herida el lunes?¿cuál será el área prevista de la herida el viernes si continúa sanando a esa tasa?
Resolución: Sabemos que una tasa de disminución es:
32− Por lo tanto:
3 2− . Integrando a los dos lados e tiene:
3 2− . Por lo tanto se tiene:
3 2− . Utilizando el método de sustitución de variables:
2 21
1. Reemplazando:
3− . Resolviendo la integral inmediata:
− 3 . 1 3− 3 2− 3 2
3−
Como se sabe que el área el martes fue de 2cm 2 y reemplazando t por 1 ya que han pasado un día :
3 2 2 3 2 12 21 21 1 Teniendo el valor de la constante y tomando en cuenta q la herida el día lunes fue de 0 días:
3 1 0 2 3 1 0 02 0 32 1 22
0 52 Por lo tanto podemos concluir que el área de la herida el día lunes fue de
.
4. 4.- Conclusiones La aplicación de ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas encontrados en diferentes áreas, así como en la ingeniería civil es de suma importancia. Su uso facilita la resolución de los mismos.
5. BIBLIOGRAFIA Courant, R., & Fritz, J. (1999). Introduccion al calculo y analisis matematico. D.F, Mexico: Limusa, S.A. Hernandez, E. (2009). Calculo Diferencial e Integral. Costa Rica: Revista Matemática Educación e Internet. Rivera, A. (2014). Calculo integral. Sucesiones y series de funciones. Mexico: Patria. Silva, C. (Julio de 2009). Monografias.com. Obtenido de Antiderivadas: http://www.monografias.com/trabajos73/antiderivadas/antiderivadas.shtml Stewart, J. (2012). calculo de una variable . D.F: Cengage Learning Editores,S.A.de C.V.
6. LINKOGRAFÍA https://es.slideshare.net/cristobalpinmacias/tecnica-de-integracion-martes https://mat-web.upc.edu/people/narciso.roman/docs/edteor.pdf http://www.aliat.org.mx/BibliotecasDigitales/ingenieria/Ecuaciones_diferenciales.pd f https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm
23
