Cap´ıtulo 4
Integra Integraci´ ci´ on on en el camp campo complejo Objetivos Realizar Realizar integrales de funciones funciones complejas a lo largo de curvas. curvas. Comprender los conceptos de independencia del camino y homolog´ homolog´ıa. Calcular integrales por medio de las f´ormulas ormulas de Cauchy. Cauchy.
4.1.
Integraci Integraci´ ´ on en el campo complejo on complejo
Una funci´on on compleja de variable real consta de dos componentes reales, por lo cual la definici´on on de su integral es inmediata, como suma de las integrales de sus componentes, b
b
f ( f (t) dt :=
a
b
u(t) dt + i
a
v(t) dt ,
a
f : [a, b] t
→ →
C
u(t) + iv( iv(t)
. (4.1)
La definici´ definici ´on on anterior anterio r es correcta correc ta si s i la funci´on on f es continua. Ejemplo 4.1.1 Integral de la exponencial imaginaria. π
0
it
e dt =
π
π
cos t dt + i
0
0
o bien directamente,
π
0
sin t dt = [sin t]π0
− i[cos t]π0 = 2i 2i
eit dt = [ ieit]π0 = 2i 2i .
−
En la recta real la ´unica unica manera de unir dos puntos es un segmento. Por ello el concepto de integral de una funci´on de variable real entre dos puntos es un´ un´ıvoco, pues siempre integramos a lo largo de un segmento. Para integrar funciones complejas de variable compleja, tenemos mucha m´ as as libertad, ya que entre dos puntos del plano tenemos infinitos caminos que los 1
unen y el concepto de integral ya no es un´ıvoco. No basta, en general, con indicar los puntos entre los cuales integramos, sino que tenemos adem´as que indicar a lo largo de qu´e curva estamos realizando la integral. Los resultados ser´an, en principio, dependientes de la curva que escojamos. ¡
Γ ¢
Γ £
Figura 4.1: Dos puntos se pueden unir a lo largo de curvas distintas Supongamos que queremos integrar una funci´on continua de variable compleja, f : U C, definida en un subconjunto abierto U C, a lo largo de una curva Γ en el plano contenida en U . Para ello, tendremos que parametrizar la curva Γ. C tal que on es una aplicaci´ Una parametrizaci´ on de clase C 1 , γ : [a, b] γ [a, b] = Γ y γ (t) no se anula en ning´un punto. La imagen de la funci´on γ es la curva Γ. La velocidad de la parametrizaci´ on es la derivada γ (t), que define un vector tangente a la curva en cada punto z = γ (t). Abusando de la notaci´on, podemos denotar z(t) = γ (t), entendiendo que z(t) es la manera en la que se recorre la curva seg´un la parametrizaci´on γ . on para la curva Γ. La curva no es La parametrizaci´on define una orientaci´ ya s´olo un subconjunto de puntos, sino que est´a orientado, al ser recorrido de γ (a) a γ (b) y no al rev´es. Diremos que la curva Γ es regular si admite una parametrizaci´ on de clase 1 C . Diremos que es simple si no presenta autointersecciones. La curva se llama abierta si γ (a) = γ (b), y cerrada, si γ (a) = γ (b). Con esta notaci´on, definimos la integral de la funci´ on f a lo largo de Γ,
→
⊂
→
Γ
b
f (z) dz := f γ (t) γ (t) dt .
(4.2)
a
Con esta expresi´on se entiende nuestro inter´es porque la parametrizaci´on sea de clase C 1 y porque f sea continua: para que el integrando sea continuo y la integral est´e, pues, bien definida. La interpretaci´on de esta definici´on es inmediata si recurrimos a la analog´ıa real, descomponiendo las funciones en sus partes real e imaginaria, f γ (t) = u γ (t) + iv γ (t) , γ (t) = x(t) + iy(t),
b
f (z) dz
Γ
=
a
b
{(ux − vy ) + i(uy + vx )} dt (u + iv)(x + iy dt =
a
2
b
=
a
b
v, τ γ(t) dt + i
v, nγ(t) dt = Cv,Γ + iΦv,Γ ,
a
identificando el campo tangente a la curva τ = x ux + y uy , el campo normal, n = y ux x uy , y un campo vectorial v = u ux v uy , que es esencialmente ¯ f . As´ı podemos interpretar la parte real de la integral de f a lo largo de Γ como la circulaci´on del campo v a lo largo de Γ y la parte imaginaria, como el flujo del campo v a trav´es de Γ. Esta definici´on tiene unas cuantas buenas propiedades:
−
−
Linealidad de la integral: Es obvio que, para λ
∈ C, f, g funciones
continuas, cuyo dominio comprende a la curva Γ,
λf (z) dz = λ f (z) dz , f +g (z) dz = f (z) dz+ g(z) dz . Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Invariancia bajo cambios de parametrizaci´ on: Supongamos que γ ˜ : C es otra parametrizaci´ [c, d] on de la curva Γ, definida por un cambio de par´ametro biyectivo de clase C 1 , t = h(τ ), h : [c, d] [a, b], tal que h (τ ) > 0 (preserva la orientaci´on), de modo que γ (t) = γ (h(τ )) = γ ˜ (τ ).
→
→
Sabemos que en integrales reales, el cambio de variable t = h(τ ) se rige por la expresi´on b
a
d
dh(τ ) g(t) dt = g h(τ ) dτ , dτ
c
que aplicada a nuestro caso proporciona b
d
d
dγ (t) dγ (t) dh(τ ) d˜γ (τ ) f γ (t) dt = f γ˜ (τ ) dτ = f γ˜ (τ ) dτ , dt
a
dt
c
dτ
por la regla de la cadena, ˜γ (τ ) = γ (t)h (τ ).
dτ
c
2
Por tanto, la integral depende de la curva, no de la parametrizaci´on empleada, siempre que respete la orientaci´on. La parametrizaci´on simplemente es una herramienta para realizar la integral. Advi´ertase que este hecho est´a impl´ıcito en nuestra notaci´on de la integral, que hace referencia a la curva Γ y no a la parametrizaci´on. Cambio de signo por inversi´ on de la orientaci´ on: Denotemos por
−Γ la curva Γ recorrida en sentido inverso. Entonces f (z) dz = − f (z) dz . −Γ
(4.3)
Γ
C La demostraci´on es bien sencilla, con la parametrizaci´on ˜γ : [ b, a] para Γ dada por γ˜ (τ ) = γ ( t), para la cual t = τ , γ˜ (τ ) = γ ( t),
−
−Γ
−
−
−a
− − → − −
b
f (z) dz = f γ˜ (τ ) γ˜ (τ ) dt = − f γ (t) γ (t) dt = − f (z) dz .
−b
a
3
Γ
Γ2 Γ1 Γ3 Figura 4.2: Curva de clase C 1 a trozos
Partici´ on de la curva: Si la curva consta de dos arcos, Γ = Γ 1
f (z) dz =
Γ
f (z) dz +
Γ1
∪ Γ2, (4.4)
f (z) dz ,
Γ2
sin m´as que parametrizar Γ mediante una parametrizaci´ on γ : [a, b] C, de modo que γ [a, c] = Γ1 , γ [c, b] = Γ2 . Ya que, denotando por γ 1 la parametrizaci´on γ restringida a [a, c], y por γ 2 la parametrizaci´on restringida a [c, b],
Γ
→
b
c
b
f (z) dz = f (γ (t))γ (t) dt = f (γ (t))γ (t) dt + f (γ (t))γ (t) dt
1
a
a
=
f (z) dz +
Γ1
f (z) dz .
2
1
c
2
2
Γ2
Esta u ´ ltima propiedad permite extender la definici´on de curva parametrizada regular al caso en el que la parametrizaci´ on es de clase C 1 a trozos, es decir, la parametrizaci´on γ es de clase C 1 en intervalos [a, c1 ],.. . , [cn , b]. As´ı pues, la C, es de clase C 1 parametrizaci´on restringida a dichos intervalos, γ i : [a, ci ] y tiene sentido la definici´on
→
Γ
n
f (z) dz = f (z) dz , i=1
(4.5)
Γi
denotando por Γ i la curva regular parametrizada por γ i . Podemos incluso extender la definici´on de modo que las curvas Γ i sean dis juntas, es decir, que γ no sea continua en las valores de uni´on, c1 , . . . , cn . Si las curvas Γi son cerradas, la cadena se llama ciclo. Por ejemplo, esta propiedad puede servir para escindir una curva en dos. Ejemplo 4.1.2 Integrar la funci´ on f (z) = (z z0 )n para z0 largo de la circunferencia de radio R centrada en z0 .
−
∈ C, n ∈ Z, a lo
Como eit , con t [0, 2π], describe la circunferencia de radio unidad centrada en el origen, γ (t) = z0 + Reit es una parametrizaci´on de la circunferencia de radio R centrada en z0 . La velocidad de la parametrizaci´on es γ (t) = iReit . Como a lo largo de la curva la funci´on va tomando los valores f γ (t) = Rn eint ,
∈
Γ
f (z) dz = iR
n+1
2π
e
i(n+1)t
0
4
dt = R
n+1
e
i(n+1)t 2π
n+1
=0, 0
Γ 1
Γ 2
Figura 4.3: Ciclo formado por las curvas Γ 1 y Γ2
si n = 1. El caso en el que n =
−1 tiene que estudiarse aparte, 2π
f (z) dz = i
Γ
dt = i2π .
0
Volveremos sobre este resultado posteriormente. De momento, fij´emonos en que la integral no depende del radio de la circunferencia y que s´olo en el caso n = 1 es diferente de cero.
−
Ejemplo 4.1.3 Integral a lo largo de un segmento.
Integrar la funci´on f (z) = z a lo largo del segmento que une 1 i con 1+ i. La parametrizaci´on de un segmento es sencilla, t [0, 1], γ (t) = (1 t)z 0 +tz1 , de modo que γ ( 0) = z0 , γ ( 1) = z1 . En nuestro caso, γ (t) = 1 + i(2t 1), γ (t) = 2i,
−
∈
1
z dz = 2i
Γ
1 + i(2t
0
−
−
− 1) dt = 2i (1 − i)t + it210 = 2i .
aficas. Ejemplo 4.1.4 Parametrizaciones basadas en gr´
Una curva definida por una gr´afica y = g(x), x [a, b], se puede parametrizar como γ (t) = t + ig(t), t [a, b]. Por ejemplo, integremos la funci´on f (z) = z 2 a lo largo de la curva de ecuaci´on x = y 3 , y [0, 1]. En este caso la parametrizaci´on es γ (t) = t3 + it, t [0, 1], γ (t) = 3t2 + i,
∈
∈
∈
Γ
2
z dz =
1
3
∈
2
2
(t + it) (3t + i) = 3
0
t
9
5
−t 3
7
+ it
−
t3 i 3
1
= 0
2 ( 1 + i) . 3
−
Recordemos que la longitud de una curva Γ se puede calcular en cualquier C como parametrizaci´on γ : [a, b]
→ b
L(Γ) =
a
b
|γ (t)| dt =
x (t)2 + y (t)2 dt .
(4.6)
a
Como ejercicio, demostrar que la longitud es independiente de la parametrizaci´on usada. 5
Ejemplo 4.1.5 Calcular la longitud de una circunferencia de radio R.
Una parametrizaci´ on de la circunferencia centrada en z 0 es γ : [0, 2π] t
→ →
C
2π
L(Γ) =
2π
it
|iRe | dt = R
0
γ (t) = iReit ,
,
z0 + Reit
dt = 2πR .
0
Esta definici´on permite una acotaci´on muy sencilla de las integrales a lo largo de curvas: C una funci´ Prop osici´ on 4.1.1 Sea f : U on continua de variable compleja. Sea Γ una curva regular contenida en U . Entonces,
→
f (z) dz ≤ L(Γ) · sup |f (z)| .
(4.7)
z ∈Γ
Γ
Para demostrarlo, descomponemos la integral en m´odulo y argumento, que denominaremos φ,
f (z) dz = reiφ .
Γ
A nosotros nos interesa r. Usando una parametrizaci´on γ : [a, b] b
→ C,
e f γ (t) γ (t) dt r = f (z) dz = (r) = e f (z) dz = −iφ
Γ b
≤
Γ
a
b
a
−iφ
|f (γ (t))| · |γ (t)| dt ≤ sup |f (z)| z Γ ∈
a
|γ (t)| dt = L(Γ) · sup |f (z)| , z Γ ∈
teniendo en cuenta que (z) z , que la exponencial imaginaria tiene m´odulo unidad, y que f (z) sup f (z) . 2
|
4.2.
≤| | |≤ | |
Independencia del camino
Hemos comentado que, en general, la integral de una funci´on depende de la curva que se emplea, aunque en algunos casos concretos puede que no sea as´ı. Si la funci´ on que queremos integrar tiene primitiva, podemos utilizar la regla de Barrow del c´alculo integral: C una funci´ on holomorfa y f = F . Sea Γ Teorema 4.2.1 Sea F : U 1 una curva continua de clase C a trozos. Entonces,
→
f (z) dz = F (z1 )
Γ
− F (z0) ,
siendo z1 y z0 los puntos final e inicial de la curva Γ.
6
⊂ U (4.8)
Realmente debi´eramos exigir que f fuera continua, pero veremos m´as adelante que es redundante. La demostraci´on, como ya adelantamos, est´a basada en la regla de Barrow. C Supongamos que Γ es de clase C 1 . Usando una parametrizaci´on γ : [a, b] de la curva Γ,
→
b
f (z) dz
b
dF γ (t) dF γ (t) γ (t) dt = dt dz dt F γ (b) − F γ (a) = F (z ) − F (z ) ,
=
Γ
a
=
a
1
0
aplicando la regla de la cadena. En el caso en el que la curva es de clase C 1 a trozos, no tenemos m´as que descomponerla,
n
f (z) dz
=
Γ
f (z) dz = F (z ) − F (z ) + · · · + F (z ) − F (z 1
i=1
0
n
n−1 )
Γi
= F (zn )
− F (z0) ,
siendo F (zi−1 ), F (zi ) los extremos de cada curva Γ i en este caso. 2 Un resultado importante de este teorema, es que, si f tiene una primitiva F , la integral no depende del camino seguido, sino s´ olo de los extremos de la curva. Decimos que la integral de una funci´on continua de variable compleja f : C es independiente del camino en un abierto conexo U si para todo U par de curvas Γ 1 , Γ2 continuas regulares a trozos con los mismos extremos,
→
f (z) dz =
Γ1
f (z) dz .
(4.9)
Γ2
O, lo que es lo mismo, si Γ es un ciclo continuo regular a trozos,
f (z) dz = 0 .
(4.10)
Γ
La equivalencia entre ambas definiciones es trivial, ya que si unimos Γ 1 con
−Γ2 obtenemos una curva cerrada y las integrales tienen signo opuesto.
Este concepto tiene su an´alogo en la f´ısica y en la teor´ıa de campos. Las funciones cuya integral no depende del camino son los campos conservativos. La primitiva, en el lenguaje de los campos, es el potencial escalar. Ejemplo 4.2.1 Calcular la integral de f (z) = ez entre z = 1 y z = i a lo largo de un arco de circunferencia y de un segmento.
Integramos f a lo largo del cuadrante de circunferencia de radio unidad, Γ, parametrizado por γ (t) = eit , t [0, π/2],
∈
π/2
f (z) dz = i
Γ
it
it
ee eit dt = ee
0
π/2 0
= ei
−e.
˜ parametrizado por Integramos f a lo largo del segmento que une 1 con i, Γ, γ˜ (t) = (1 t) + it, t [0, 1],
−
∈
f (z) dz = (i − 1) ˜
Γ
1
e
(1−t)+it
0
7
dt = e
(1−t)+it
1
=e −e . 0
i
Obviamente da lo mismo, ya que f (z) tiene una primitiva conocida, F (z) = e . Por tanto, a lo largo de cualquier curva Γ que una 1 con i, z
− F (1) = ei − e .
f (z) dz = F (i)
Γ
Hemos visto que la integral de funciones con primitiva es independiente del camino, pero este resultado tiene su rec´ıproco: C una funci´ on continua de variable compleja en Teorema 4.2.2 Sea f : U un abierto conexo U . Las integrales de f son independientes del camino en U si y s´ olo si existe una primitiva holomorfa F , de modo que f = F .
→
La demostraci´on en un sentido ya se ha visto. Queda por demostrar que si las integrales son independientes del camino, f tiene primitiva. ¡
Γ ¤
Γ
~
£
¡
¤
¥
§
Figura 4.4: Construcci´on de la primitiva Veremos que una primitiva se puede construir f´acilmente. Elegimos un punto cualquiera z0 U . Lo unimos con cada punto z U por medio de una curva Γ z arbitraria. La funci´on F (z) = f (z) dz ,
∈
∈
Γz
est´a bien definida, ya que la integral es independiente del camino seguido. Esta funci´on est´ a definida salvo una constante, ya que, si tomamos otro origen z˜0 , la diferencia entre las funciones es una constante, F (z) =
f (z) dz +
Γz˜0
˜z Γ
f (z) dz ,
˜ z una curva que una z˜0 con z. El primer t´ermino es constante, ya que siendo Γ es la integral de f entre dos puntos fijos, z0, z˜0 . Comprobamos que F (z) = f (z). Para ello, tomamos el origen en z y estudiamos F (w) en puntos w U pr´oximos, que podamos unir por medio de segmentos con z, parametrizados por γ (t) = (1 t)z + tw, con derivada γ (t) = w z. Como la expresi´on de F (w) es
∈
−
−
1
F (w) = (w − z) f (1 − t)z + tw dt , 0
su derivada queda como dF (z) F (w) = l´ım w→z dz w
− F (z) = l´ım 1 f (1 − t)z + tw dt = f (z) 1 dt = f (z) , w z 0 −z 0 →
8
luego queda demostrado que F es una primitiva para f . 2 Aparte de para calcular primitivas, este teorema nos sirve para discernir cuando una funci´on no admite primitiva. Ejemplo 4.2.2 Mostrar que f (z) = 1/z no admite primitivas en el dominio complejo excepto el origen.
Basta encontrar una curva cerrada de modo que la integral de f no d´e cero. Por ejemplo, una circunferencia, Γ, centrada en el origen, parametrizada por γ (t) = Reit , t [0, 2π],
∈
dz Γ
z
2π
= iR
0
dt it e =i Reit
2π
dt = i2π = 0 .
0
Como esta integral no es nula, sea cual sea el radio de la circunferencia, f no puede tener primitiva en C 0 . Este resultado parece contradecir nuestra intuici´on de que la primitiva de f es un logaritmo. Ciertamente, F (z) = (ln z)α es un candidato a primitiva, pero presenta el problema de no ser holomorfa en C α . Como la circunferencia Γ corta a C α en un punto, no nos vale como primitiva.
\{ }
Γ2
Γ1
Figura 4.5: Curvas Γ1 y Γ2 A´ un as´ı, podemos recuperar el resultado anterior usando dos primitivas con cortes distintos (ln z)π , (ln z)2π . Podemos emplear la primera para integrar en Γ1 , la semicircunferencia de radio unidad con parte real positiva,
Γ1
dz = F (i) z
− F (−i) = (ln i)π − (ln −i)π = i π2 + i π2 = iπ ,
y la segunda para integrar en Γ 2 , , la semicircunferencia con parte real positiva,
Γ2
dz = F ( i) z
− − F (i) = (ln −i)2π − (ln i)2π = i 3π2 − i π2 = iπ ,
de modo que en ambos casos eludimos que la curva intersecte al corte de la funci´on logaritmo. Obviamente, el resultado final,
dz Γ
z
=
Γ1
dz + z
es el correcto. 9
Γ2
dz = i2π , z
4.3.
Teorema de Cauchy
Con los resultados anteriores, estamos en condiciones de relacionar holomorf´ıa con independencia del camino a trav´es del conocido teorema de Cauchy. on holomorfa de clase Teorema 4.3.1 Teorema de Cauchy: Sea f una funci´ 1 C en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cualquier ciclo Γ contenido en U que sea borde orientado de alg´ un subconjunto V U abierto .
⊂
La idea de usar recintos con borde orientado indica que vamos a recurrir al teorema de Green en el plano. Descomponiendo en parte real e imaginaria, f = u + iv,
f (z) dz
=
Γ
(u + iv)(dx + idy) = (u dx − v dy) + i (v dx + u dy) Γ
=
−
Γ
(vx + uy ) dxdy + i
V
Γ
(ux
V
− vy ) dxdy ,
aplicando el teorema de Green en el plano al recinto V de borde Γ,
(P dx + Q dy) =
Γ
∂Q V
−
∂x
∂P ∂y
dxdy ,
para funciones P , Q de clase C 1 . Si la funci´ on es holomorfa y de clase C 1 , las integrales se anulan, por las condiciones de Cauchy-Riemann, ux = vy , uy = vx . 2
−
Γ ¡
Γ ¢
Figura 4.6: El ciclo formado por las curvas orientadas Γ 1 y Γ2 es el borde de la corona V Como ya hemos anunciado en repetidas ocasiones, la condici´ on de ser de 1 clase C se puede relajar: on holomorTeorema 4.3.2 Teorema de Cauchy-Goursat: Sea f una funci´ fa en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cualquier ciclo Γ contenido en U que sea borde orientado de alg´ un subconjunto abierto V U .
⊂
Ejemplo 4.3.1 Integral de la funci´ on f (z) = 1/z .
10
Como la funci´on es holomorfa salvo en el origen, su integral ser´a nula a lo largo de cualquier curva cerrada que no rodee el origen. Al contrario, hemos visto que a lo largo de curvas que rodean el origen la integral no es nula. El teorema nos nos proporciona el valor de la integral, pero nos indica que es el mismo para curvas simples que rodeen el origen en el mismo sentido. Habr´a que avanzar un poco m´as para calcular el valor de la integral sin efectuarla directamente. Tambi´en ser´a preciso generalizar el resultado para aplicarlo a ciclos m´as complejos. El teorema de Cauchy es muy ´util para cuantificar el n´umero de vueltas que da una curva cerrada alrededor de un punto a C, dado que es una sorprendente relaci´on entre c´alculo y topolog´ıa. Sea Γ una curva cerrada compleja que no pasa por a. El ´ındice de Γ respecto de a es
∈
1 n(Γ, a) = i2π
Γ
dz z
−a ,
(4.11)
y coincide con el n´umero de vueltas que efect´ua Γ alrededor de a, contabilizando el signo de estas: negativo, si la orientaci´ on es negativa y positivo, si es positiva. Por ejemplo, si Γ no rodea a a, 1/(z a) = d(ln(z a))α /dz, usando una determinaci´on α de modo que C α no corte a Γ. De este modo, en este caso la integral es nula. Como corresponde al hecho de que Γ no rodea a a.
−
Γ
−
z1
Γ2
~ Γ Γ1
a
z2 ˜ Figura 4.7: El ´ındice respecto de a de Γ es uno y cero el de Γ Si a est´a dentro de Γ y esta es una curva simple orientada positiva, la rompemos en dos trozos, cort´ andola con la recta vertical que pasa por a. Para la integral en el fragmento de la derecha, Γ 1 , podemos emplear la determinaci´ on π y la para el de la izquierda, Γ 2 , la determinaci´on 2π,
dz z dz− a z dz− a
ln(z − a) = log |z − a| + i π − log |z − a| + i π , 2 2 ln(z − a) = log |z − a| + i 3π − log |z − a| − i π , z1 π z2
=
Γ1
z2 2π z1
=
Γ2
Γ
z
−a
1
2
2
2
1
2
= i2π ,
con lo cual n(Γ, a) = 1. Obviamente, si la curva se recorre en sentido horario, el ´ındice cambia de signo, n(Γ, a) = 1.
−
11
Finalmente, si Γ es un ciclo que se puede descomponer en varias curvas cerradas, Γ = n1 Γ1 + + nN ΓN ,
·· ·
n(Γ, a) =
Γ
N
dz z
−a
dz
= n i
Γi
i=1
z
−a
N
n n(Γ , a) . = i
i
i=1
Γ1 Γ3 Γ2
V Figura 4.8: El interior del ciclo formado por las curvas Γ 1 , Γ2 , Γ3 es el abierto V Esta definici´on permite visualizar cu´al es la regi´on de la cual es borde una curva cerrada simple Γ, que denominaremos interior de Γ. Un punto a estar´a en el interior de Γ si Γ da vueltas alrededor de ´el. intΓ = a
{ ∈ C\Γ :
n(Γ, a) = 0 .
(4.12)
}
Esta definici´on se aplica a ciclos m´as complicados tambi´en, cuya relaci´on con un borde orientado es m´as difusa, pero que se pueden entender como uni´on de curvas cerradas simples. Finalmente, una definici´on adicional, que permite caracterizar los ciclos a los que se refiere el teorema de Cauchy. En un abierto conexo U C decimos que ologo a cero m´ odulo U si para todo a U , n(Γ, a) = 0. Es un ciclo Γ es hom´ decir, si Γ no da vueltas alrededor de los puntos que no est´ an en U . O, lo que es lo mismo, si el interior de Γ est´a contenido en U .
∈
⊂
U Γ1 Γ3
Γ2
Figura 4.9: Γ1 es hom´ologa a Γ2 m´odulo U , pero no a Γ 3 . Γ3 es hom´ologa a cero, lo mismo que Γ1 Γ2 , pero no lo son Γ 1 ni Γ2
−
Del mismo modo, decimos que dos ciclos Γ 1 , Γ2 son hom´ologos m´odulo U , Γ1 Γ2 (m´ od U ), si Γ1 Γ2 es hom´ologo a cero m´odulo U . O lo que es
∼
−
12
lo mismo, si ambos dan el mismo n´umero de vueltas alrededor de los puntos a U , n(Γ1 , a) = n(Γ2 , a). Con estas definiciones, el teorema de Cauchy-Goursat se puede reescribir y generalizar de una manera elegante y concisa:
∈
on holomorTeorema 4.3.3 Teorema de Cauchy-Goursat: Sea f una funci´ fa en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cualquier ciclo Γ hom´ ologo a cero m´ odulo U .
Un caso particularmente interesante son los subconjuntos simplemente conexos, que son aquellos subconjuntos de C en los cuales todo ciclo es hom´ ologo a cero. Obviamente, se trata de subconjuntos que no tienen agujeros compactos. El siguiente corolario es trivial, entonces: on holomorfa en un abierto simplemente coCorolario 4.3.1 Sea f una funci´ nexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cualquier ciclo contenido en U .
En el caso de los subconjuntos simplemente conexos vemos que se da la independencia del camino para las integrales de funciones holomorfas. 2
Ejemplo 4.3.2 La integral de f (z) = sin ez a lo largo de cualquier ciclo es nula.
Puesto que f es entera, por ser composici´on de funciones enteras y, por tanto, su dominio de holomorf´ıa, U = C, es simplemente conexo. Pero hay muchos subconjuntos sencillos que no son simplemente conexos:
\{P } no es simplemente conexo.
Ejemplo 4.3.3 El subconjunto C
El dominio complejo salvo un punto P no es simplemente conexo, ya que las curvas simples que rodean a P no son hom´ologas a cero, ya que dan una vuelta alrededor de ´el y, por tanto, no tienen ´ındice nulo. Por eso este subconjunto es doblemente conexo, ya que hay dos tipos de ciclos, los que dan vueltas alrededor de P y los que no las dan. Γ2
Γ1
P
Figura 4.10: Γ1 es hom´ologa a hom´ologa a cero, pero no lo es Γ 2 Este ejemplo se aplica al dominio de holomorf´ıa de la funci´on f (z) = 1/z. Como hemos visto, las integrales de ciclos que no rodean al origen son nulas, al contrario que las que s´ı lo rodean. Del teorema de Cauchy-Goursat se siguen otras consecuencias interesantes: Si Γ1
∼ Γ2
(m´ od U ), entonces
Puesto que Γ 1
Γ1
f (z) dz =
f (z) dz.
Γ2
− Γ2 es hom´ologo a cero m´odulo U . 13
Si Γ1 , Γ2 son dos curvas regulares a trozos en U y Γ1 entonces
Γ1
f (z) dz = f (z) dz. √z − 1 √z + 1
− Γ2 ∼ 0
(m´od U ),
Γ2
Ejemplo 4.3.4 La funci´ on mento del eje real [ 1, 1].
π
−
π
es holomorfa salvo en el seg-
Por tanto, la integral a lo largo de cualquier curva cerrada simple que rodee el segmento toma el mismo valor, siempre que la orientaci´ on sea la misma en todos los casos. Pero seguimos sin saber evaluar la integral de una funci´on holomorfa a lo largo de un ciclo no hom´ ologo a cero, a pesar de que sabemos que para ciclos hom´ologos proporciona el mismo valor. Esta precisi´on final nos la facilita la f´ormula integral de Cauchy.
4.4.
F´ ormula integral de Cauchy
Comenzaremos refinando el teorema de Cauchy en el caso de que la funci´on presente singularidades d´ebiles o evitables: Corolario 4.4.1 Sea U C un abierto simplemente conexo y f una funci´ on holomorfa en U salvo en una colecci´ on finita de puntos a1 . . . , aN , pero de modo que l´ım (z ai )f (z) = 0. Entonces Γ f (z) dz = 0 a lo largo de cualquier
⊂
z →ai
−
{
ciclo Γ contenido en U a1 . . . , aN .
\{
}
} Sea Γ un ciclo contenido en U \{a1 . . . , aN }. Si denotamos por ni = n(Γ, ai ), entonces Γ ∼ ni Γi (m´ od U ), donde Γ i es una circunferencia centrada en ai de radio suficientemente peque˜no, Ri , para que est´e contenida en U \{a1 . . . , aN }. Por tanto,
Γ
N
f (z) dz = n f (z) dz . i
i=1
Γi
a2
Γ2
Γ
Γ1
a3 a1
Γ3
Figura 4.11: Γ es hom´ologa a hom´ologa a Γ 1 + Γ2 + Γ3 Acotando el valor de cada integral por medio de la cota de la proposici´on 4.1.1,
f (z) dz ≤ 2πR m´ax |f (z)| = 2π|z − a |f (z )| → 0 , i
Γi
i
z ∈Γi
14
i
i
cuando Ri tiende a cero, teniendo en cuenta que el supremo de una funci´on se alcanza en alg´un punto zi , en el caso de subconjuntos compactos, como es el caso de una circunferencia. Por tanto, el valor absoluto de la integral est´a acotado por cero, con lo cual s´olo puede ser nulo y las integrales son todas nulas. 2 Una consecuencia directa de este sencillo resultado es la f´ormula integral de Cauchy, que permite evaluar integrales. ormula integral de Cauchy: Sea f una funci´ on holomorfa Teorema 4.4.1 F´ en un abierto conexo U . Sea Γ un ciclo hom´ologo a cero m´ odulo U . Entonces, para a U Γ,
∈ \
f (z)
− a dz = i2πn(Γ, a)f (a) . Definimos una funci´on holomorfa en U \{a}, f (z) − f (a) g(z) = . z−a Γ
(4.13)
z
Si el ´ındice de Γ respecto de a es n = n(Γ, a), este ciclo ser´a hom´ologo a n circunferencias Γ(r) centradas en a de radio r < R suficientemente peque˜no para que la bola de radio R, B(a; R), est´e contenida en U . Entonces,
g(z) dz =
Γ
g(z) dz = n
g(z) dz .
Γ(r)
nΓ(r)
Podemos aplicar el corolario anterior a la bola B(a; R), donde la funci´on g es holomorfa, excepto en a. Como la bola es simplemente conexa y l´ım (z a)g(z) = z →a
l´ım f (z) − f (a) = 0, 0= g(z) dz = f (z)
−
z →a
Γ(r)
Γ(r)
Γ(r)
z
f (z) dz z a
−
− f (a)
− a dz = i2πn(Γ, a)f (a) .
Γ(r)
dz z
−a ,
2
Con este teorema hemos ganado una avance sustancial. Nos permite extender el teorema de Cauchy de funciones holomorfas a funciones holomorfas con un polo aislado. Ejemplo 4.4.1 Integral de g(z) = 1/z a lo largo de la circunferencia, Γ, de radio unidad centrada en z = 0, orientada positivamente.
La funci´on constante f (z) = 1 es entera y el ciclo Γ da una vuelta alrededor de z = 0. Por tanto,
Γ
g(z) =
f (z) Γ
z
= i2πf (0) = i2π .
Si la circunferencia hubiera estado centrada en z = 5, el ciclo Γ no dar´ıa ninguna vuelta alrededor de z = 0 y la integral hubiera resultado nula. Este resultado ya era conocido, pero ahora lo hemos recuperado sin necesidad de efectuar las integrales directamente, ni calcular primitivas. 15
Γ
¡
Figura 4.12: Ejemplo 4.4.2
Ejemplo 4.4.2 Integral de g(z) = 1/(z 2 1) a lo largo de la circunferencia, Γ, de radio unidad centrada en z = 1 , orientada positivamente.
−
La funci´ on f (z) = 1/(z +1) es holomorfa salvo en z = 1 y la circunferencia Γ no rodea este punto, luego es un ciclo hom´ ologo a cero en U = C 1 . Por tanto, por la f´ormula de Cauchy, como Γ da una vuelta alrededor de z = 1,
−
g(z) =
Γ
\{− }
f (z) Γ
z
− 1 = i2πf (1) = iπ .
Este ejemplo nos da idea de las generalizaciones que tenemos que acometer. Por una parte, si la circunferencia hubiera tenido un radio mayor, de modo que englobara tambi´en a z = 1, no podr´ıamos aplicar la f´ormula de Cauchy, ya que el ciclo no ser´ıa hom´ologo a cero.
−
∼
Γ Γ 2
Γ 1 ¢
¢
£
Figura 4.13: Ejemplo 4.4.2 Pero esa circunferencia es hom´ ologa a dos circunferencias con centros en z = 1, con lo cual podemos descomponer la integral,
±
˜ Γ
g(z) dz =
g(z) dz +
Γ1
˜ 1) = 0 , g(z) dz = i2π f (1) + f (
{
Γ2
− }
denotando por f ˜(z) = 1/(z 1). Por otra parte, si en vez de tratarse de polos simples hubieran sido m´ultiples, tampoco hubi´eramos podido emplear la f´ormula. De esta segunda generalizaci´on nos ocupamos a continuaci´on.
−
16
Como sorprendente resultado intermedio, demostraremos que una funci´on holomorfa es derivable tantas veces como se quiera en su dominio de holomorf´ıa. Este resultado es exclusivo de la variable compleja y no es compartido con las funciones de variable real. Por tanto, decir que una funci´on es de clase C r no tiene sentido en variable compleja, ya que todas las funciones holomorfas son de clase C ∞. ormula integral de Cauchy generalizada: Sea f una Teorema 4.4.2 F´ funci´on holomorfa en un abierto conexo U . Entonces f tiene derivadas de cualquier orden en U . Sea Γ un ciclo hom´ ologo a cero m´ odulo U . Entonces, para a U Γ,
∈ \
Γ
f (z) f n) (a) dz = i2πn(Γ, a) . (z a)n+1 n!
(4.14)
−
Sea z0 U . Como U es abierto, podemos encontrar una bola cerrada de radio suficientemente peque˜no, B(z0 ; R), contenida en U . Por la f´ormula de Cauchy, para z B(z0 ; R), 1 f (w) f (z) = dw , i2π Γ(R) w z
∈
∈
−
siendo Γ(R) la circunferencia de radio R centrada en z0 . Estudiemos la funci´on g(z, w) = f (w)/(w z). Para z B(z 0 ; R), w Γ(R) es continua, ya que el denominador no se anula y f es continua. Por tanto, la integral est´a, como sab´ıamos, bien definida. M´as a´ un, las derivadas de esta funci´on respecto a z son todas continuas,
−
∈
∈
∂ n g(z, w) f (w) = n! , n ∂z (w z)n+1
∂g(z, w) f (w) = , ∂z (w z)2
−
−
ya que no se anula nunca el denominador. Por tanto, podemos efectuar la derivaci´ on bajo la integral y concluir
f (z) = f n) (z) =
1 i2π 1 i2π
Γ(R)
Γ(R)
f (w) 1 dw = w−z i2π ∂ f (w) n!
∂ ∂z
Γ(R)
f (w) dw , (w z)2
n
∂z n
w
−z
dw =
i2π
Γ(R)
−
f (w) dw , (w z)n+1
−
es decir, existen las derivadas de f de todos los ´ordenes y son continuas. 2 Finalmente, si Γ es un ciclo hom´ ologo a cero m´odulo U para a U Γ , como Γ s´olo da vueltas alrededor de a, es hom´ologo a n(Γ, a) circunferencias Γ(R) de radio suficientemente peque˜no para que B(a; R) est´e contenida en U . Por tanto,
∈ \{ }
Γ
f (z) dz = n(Γ, a) (z a)n+1
−
Γ(R)
f (z) f n)(a) dz = i2πn(Γ, a) , (z a)n+1 n!
−
por el resultado deducido anteriormente.
2
Ejemplo 4.4.3 Integrar f (z) = 1/z n, n > 1, a lo largo de cualquier ciclo.
Si el ciclo no da vueltas alrededor de z = 0, sabemos que la integral es nula. Pero si da vueltas alrededor de z = 0, la integral ser´a proporcional a la derivada (n 1)-´esima de la funci´on constante g(z) = 1. Por tanto, la integral es nula tambi´en en este caso.
−
17
Ejemplo 4.4.4 Integrar f (z) = cos z/z 3 , n > 1, a lo largo de una circunferencia orientada positivamente con centro en el origen.
En este caso g(z) = cos z es entera, por lo que la circunferencia es hom´ologa a cero. Por tanto,
Γ
4.5.
f (z) dz =
g(z) Γ
dz = i2π
z3
g (0) = 2!
−iπ .
Consecuencias de la f´ ormula de Cauchy
La primera consecuencia, aparte de la sorprendente de que las funciones holomorfas tienen derivadas de todos los ´ordenes, es que el teorema de CauchyGoursat tiene su rec´ıproco. No s´olo la holomorf´ıa implica la independencia del camino, sino que la independencia del camino caracteriza la holomorf´ıa: on continua en un Teorema 4.5.1 Teorema de Morera: Sea f una funci´ abierto conexo U . Si la integral de f sobre todo ciclo hom´ologo a cero m´ odulo U es nula, entonces la funci´ on es holomorfa.
La demostraci´on es sencilla. Tomamos z U . Podemos encontrar una bola B(z; R) de radio suficientemente peque˜no para que est´e contenida en U . Entonces, todo ciclo Γ contenido en la bola ser´a hom´ologo a cero m´odulo U y, por la hip´otesis del teorema, la integral de f a lo largo de Γ ser´a nula. Por tanto, las integrales de f son independientes del camino en la bola B(z; R) y por el teorema 4.2.2, f tiene una primitiva holomorfa F en la bola B(z; R). Como F es holomorfa, sus derivadas tambi´en lo son. En particular, f = F es holomorfa en B(z; R). Como este razonamiento se puede realizar en cualquier punto z U , resulta que f es holomorfa en U . 2
∈
∈
Γ ¡
Β
Figura 4.14: Teorema de Morera
Corolario 4.5.1 Desigualdades de Cauchy: Sea f una funci´ on holomorfa en un abierto conexo U . Para toda bola B(a; R) contenida en U se verifica
|f n) (a)| ≤ Rn!n
sup z ∈Γ(a;R)
|f (z)| ,
siendo Γ(a; R) la circunferencia centrada en a de radio R.
18
(4.15)
Como la bola est´a contenida en U , la circunferencia Γ(a; R) es hom´ologa a cero m´odulo U y podemos aplicar la f´ormula de Cauchy generalizada,
Γ(a;R)
f (z) f n) (a) dz = i2π , (z a)n+1 n!
−
de donde podemos obtener una acotaci´on,
|f n)(a)|
=
n! 2π
Γ(a;R)
=
n! Rn
sup
z ∈Γ(a;R)
f (z) (z a)n+1
−
|f (z)| .
2
n! dz ≤ 2π
sup z ∈Γ(a;R)
f (z) (z − a)
n+1
2πR
Una consecuencia sorprendente de estas desigualdades es que no puede haber funciones enteras acotadas no triviales: on entera acotada Teorema 4.5.2 Teorema de Liouville: Sea f una funci´ M para superiormente. Es decir, existe una constante M > 0 tal que f (z) todo z C. Entonces f es una funci´ on constante.
|
∈
|≤
Por las desigualdades anteriores, para la derivada primera, para una circunferencia de radio R,
|f (a)| ≤ R1
sup z ∈Γ(a;R)
|f (z)| ≤ M . R
Como esta desigualdad es cierta para cualquier radio R, ya que la funci´on es holomorfa, tenemos que f (a) es menor que cualquier n´umero positivo, simplemente tomando radios grandes. Por tanto, f (a) = 0 para todo a C y la funci´on es constante. 2 Otro resultado pr´acticamente inmediato es el teorema fundamental del ´algebra, que afirma que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una ra´ız compleja:
|
|
∈
Teorema 4.5.3 Teorema de D’Alembert: Sea p(z) = a0 + + an z n un polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos. Entonces existe al menos un valor z0 C, tal que p(z0 ) = 0 .
···
∈
Supongamos que no existiese ning´un valor z0 tal que p(z0 ) = 0. Entonces la funci´on racional f (z) = 1/p(z) ser´ıa entera. Por una parte, como l´ım f (z) = 0, para todo valor ε > 0 existir´a un valor z →∞
R tal que, para z > R, f (z) < ε. Por otra parte, como f es continua, su m´odulo est´a acotado en un compacto. Por ejemplo, para z R, f (z) M , siendo M > 0. Combinando ambos resultados, concluimos que f es una funci´on acotada superiormente, bien por M , bien por ε. Por tanto, por el teorema de Liouville, si f es entera, tiene que ser constante. Es decir, si p(z) no tiene ra´ıces, es un polinomio de grado cero, en contra de la hip´otesis de partida. 2
||
|
| |≤ |
|
|≤
19
