UNIDAD II: DERIVACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO DEFINICIÓN DE DERIVADA. Sea f una función cuyo cuyo dominio contiene contiene un entorno Z 0 , la derivada f ′( z ) = Lim
de f(z) se define como:
f ( z + ∆ z ) − f ( z )
∆ z
z → z 0
FUNCIONES ANALÍTICAS. Si la derivada f ′( z ) existe en todo punto Z de una región analítica en
ℜ , entonces decimos que f(z) es
ℜ . Una función f(z) es analítica en un punto Z 0 , si existe una vecindad Z − Z 0 < ε
, tal
que en cada punto de ella f ′( z ) exista.
ECUACIÓN DE CAUCHY – RIEMANN. Una condición necesaria para que w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) sea analítica en una región decir, en
ℜ
ℜ es
u y v satisfacen las ec. de Cauchy – Riemann Riemann
∂u ∂v = ∂ x ∂ y
∂u ∂v =− ∂ y ∂ x
;
⇒
Si las derivadas anteriores son continuas en condiciones suficientes para que f(z) sea analítica en
u x
= v y
; u y
= −v x
Ec. 1
ℜ
, entonces entonces las ec. ec. de Cauchy Cauchy – Riemann Riemann son
ℜ.
Las funciones u(x,y) y v(x,y) son llamadas
algunas veces funciones conjugadas.
Teorema: Supongamos que f(z) = u(x,y) + iv(x,y) y que f(z) existe en un punto punto z 0 . Entonces las primeras derivadas parciales de u y v deben existir en ese punto y debe satisfacer en él las ec. de Cauchy – Riemann.
u x
= v y
; u y
= −v x
Condiciones suficientes: El que las ec. de Cauchy – Riemann se satisfagan en en un punto z 0 no basta para
asegurar asegurar la existenc existencia ia de la derivada de una función f(z) en ese punto. Pero con ciertos requisitos de continuidad se tiene el siguiente
teorema:
Sea la función f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
definida en algún entorno
ε de un punto
Supongamos que las derivadas parciales satisfacen la ec. de de Cauchy – Riemann.
u y
= −v x
Z0 = x0 + y0.
u x
= v y
;
, en ( x0 + y0 ) la derivada de f(z) existe.
FUNCIONES ARMÓNICAS. Si las segundas derivadas de u y v con respecto a x
ℜ , entonces deducimos de la ec. 1
que:
∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂ x 2 ∂ y 2
Funciones tales como u(x,y) y v(x,y)
y
y , existen y son continuas en una región
;
∂ 2v ∂ 2v + =0 ∂ x 2 ∂ y 2
Ec. de Laplace
las cuales satisfacen la ec. de Laplace en una región
ℜ,
son llamadas funciones armónicas de
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Sea Z0 un punto en el plano Z y sea w 0 su imagen P’ en el plano w bajo la transformación w = f(z) . Ya que suponemos f(z) unívoca , el punto Z 0 es aplicado sólo en un punto w 0.
PLANO Z
PLANO W Q’ vW0 + ∆w = f( z0 + ∆z)
y Q x0 +∆z
∆w = f(z0 + ∆z) – f(z0)
∆z P
P’
x0
w0 = f(z0) x
u
Figura Nº 1 Si incrementamos Z0 en
∆z
Figura Nº 2
obtenemos el punto Q de la fig Nº 1. Este punto tiene como imagen a Q’
en el plano W. En la fig Nº 2 vemos que P’Q’ representa el numero complejo
Se deduce que la derivada en Z 0 esta dada por: Lim ∆ z →0
f ( z 0
∆w = f(z0 + ∆z) – f(z0) .
+ ∆ z ) − f ( z 0 ) Q' P ' = Lim Q → P QP ∆ z
DIFERENCIALES.
Sea la función f definida en el campo complejo, se dice que f es diferenciable
en Z0 cuando existe su derivada en dicho punto.
REGLAS DE DIFERENCIACIÓN. Si f(z) , g(z) y h(z) son funciones analíticas de Z , las siguiente reglas de diferenciación son validas.
= f ′( z ) ± g ′( z )
1.-
Dx[ f ( z ) ± g ( z )]
2.-
Dx[ C . f ( z )]
3.-
Dx[ f ( z ). g ( z )]
4.-
Dx
5.-
Regla de la cadena para diferenciación de funciones compuestas.
= C . f ′( z )
, C = constantes
= f ( z ). g ′( z ) + g ( z ). f ′( z )
f ( z ) g ( z ). f ( z ) − f ( z ). g ′( z ) = g ( z ) ( g ( z ) ) 2
w = f(z)
y
,
g(z)
≠
0
W = g(w) de modo que W = F(z) , entonces
dW dz
=
dW dw . dw dz
OPERADORES DIFERENCIALES COMPLEJOS. Consideremos F(x,y) como una función real continuamente diferenciable de x
A( x, y) = P ( x, y ) + iQ( x, y ) (vectorial).
y , mientras
es una función compleja continuamente diferenciable de x
y
En términos de las coordenadas conjugadas:
Z + Z Z − Z F ( x, y ) = F , = G( Z , Z ) 2 2 i El operador 1.
y
∇
y
A( Z ) = B ( Z , Z )
nos lleva a definir las siguientes operaciones:
Gradiente: Definimos e gradiente de una función real F (escalar) por: gradF = ∇ F =
∂ F ∂ F +i ∂ x ∂ y
Similarmente, el gradiente de una función compleja A = P + iQ (vectorial) esta definida por:
gradA = ∇ A =
∂ P ∂Q ∂ P ∂Q − + i + ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x
en particular si B es una función analítica de Z , el
∇ =0
y.
2.
Divergencia : Definimos la divergencia de una función compleja (vectorial) por: divA = ∇. A =
∂ P ∂Q + ∂ x ∂ y
La divergencia de una función real o compleja (escalar o vectorial) es siempre una función real (escalar)
RotA = ∇ xA =
∂Q ∂ P − ∂ x ∂ y
3.
Rotacional:
4.
Laplaciano: Esta definida como el producto escalar de ∇ consigo mismo, es decir:
∂2 ∂2 ∂2 ∇.∇ = ∇ = 2 + 2 = 4 ∂ z .∂ z ∂ x ∂ y 2
∇ 2Q = 0
.
Si A es analítica,
∇ 2 . A = 0
así que
, es decir P y Q son armónicas
Algunas identidades donde intervienen gradiente, rotacional y divergencia. Las siguientes identidades son validad si A1 , A2 y A son funciones diferenciales:
•
∇( A1 + A2 ) = ∇ A1 + ∇ A2
•
div( A1 + A2 )
= divA1 + divA2
•
Rot ( A1 + A2 )
= RotA1 + RotA2
• •
∇( A1 . A2 ) = A1 .∇ A2 + ∇ A1 . A2 Rot (∇ A) = 0 , si A es real, es decir
•
div(∇ A) = 0 , si A es imaginaria, es decir Re(A) es armónica
Im(A) es armónica
∇ 2 P = 0
y
