INTEGRACIÓN APLICADA A ANUALIDADES
Las tablas de integrales son útiles al manejar integrales asociadas con anualidades. Suponga que debe pagar $100 al final de cada año, durante los siguientes dos años. Una serie de pagos sobre un periodo, como en este caso, se denomina anualidad. Si usted debiera liquidar la deuda ahora, y no en anualidades, pagaría el valor presente de los $100 que vencen al final del primer año, más el valor presente de los $100 que vencen al final del segundo año. La suma de esos valores presentes es el valor presente de la anualidad. Ahora se considerará el valor presente de pagos hechos de manera continua en el intervalo de tiempo que va de t = 0 a t =T, con t en años, cuando el interés se compone de manera continua a una tasa anual de r. Suponga que se hace un pago en el tiempo t, de manera que según una base anual, este pago es f (t). Si se divide el intervalo [0, T] en subintervalos [t i-1, t i] de longitud t (donde t es pequeño), entonces la cantidad total de todos los pagos en tal intervalo es aproximadamente igual a f (ti) t. (Por ejemplo, si f (t) = 2000 y t fuese de un día, la cantidad total de los pagos sería 2000(1/ 365). El valor presente de esos pagos es de aproximadamente En el intervalo [0, T], el total de todos los valores presentes es:
Esta suma aproxima el valor actual A de la anualidad. Entre menor es t, mejor será la aproximación. Esto es, cuando t 0, el límite de la suma es el valor presente. Sin embargo, este límite es también una integral definida. Esto es:
Ecuación (1)
Se dice que la ecuación (1) da el valor presente de un flujo continuo de ingreso. La ecuación (1) puede usarse también para encontrar el valor presente de la utilidad futura de un negocio. En esta situación, f(t) es la tasa anual de utilidad en el tiempo t. También se puede considerar el valor futuro de una anualidad en vez de su valor presente. Si se hace un pago en el tiempo t, entonces el mismo tiene un cierto valor al final del periodo de la anualidad, es decir T - t años después. Este valor es:
Si S es el total de esos valores para todos los pagos, entonces S se llama monto acumulado de una anualidad continua y está dado por la fórmula:
Donde S es el monto acumulado de una anualidad continua al final de T años a la tasa anual r (compuesta de manera continua), cuando un pago en el tiempo t es a la tasa f (t) por año.
EJERCICIO DE APLICACIÓN DE ANUALIDAD
Anualidad continua: Encuentre el valor presente, al dólar más cercano, de una anualidad continua con una tasa de interés anual de r durante T años, si el pago en el tiempo t es a la tasa anual de f (t) dólares, dado que:
(a) r = 0.04 T= 9 f (t) =1000
(b) r= 0.06 T=10 f (t) =500t
Desarrollo
El valor presente está dado por:
a. Reemplazamos: b. Reemplazamos:
091000e-0.04tdt
Se aplica la fórmula de integración Se aplica la fórmula de integración
U = -0.04t du= -0.04dt dt=du / -0.04 U= t a= -0.06 du=dt
Leidy Alexandra Aranguren -63151142
Sonia Vanessa Bohórquez- 63151039
