ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO

i

30

2

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ciencias Económicas
Escuela de Auditoría
Jornada Fin de Semana
Seminario de Integración Profesional

Tema 8

Anualidades Constantes a Plazo Fijo

Grupo 5

Guatemala, enero de 2013

Tema 8

Anualidades Constantes a Plazo Fijo

Lic. German Rolando Ovando Amézquita
Docente Supervisor de Seminario de Integración Profesional

Grupo 5

No.
Nombre
Carné
1.
Gloria Leticia Cervantes Mejía
198717186
2.
Julia Magali Velásquez Figueroa
199714937
3.
Evaristo Monroy Picholá
199914945
4.
Helda Hibony Ortíz Barrera
199920434
5.
Karina Verónica Argueta Aguilar
200214419
6.
Glayds Lily Alveño Hernández
200316828
7.
Mayra Lisseth Valencia Guanta
200516364
8.
Esdras Leopoldo Estrada Pérez (Coordinador)
200811608
9.
Víctor Hugo Alonzo Esquit
200813660

ÍNDICE GENERAL
Página

INTRODUCCIÓN i

CAPITULO I
ANUALIDADES

1.1 DEFINICIÓN DE ANUALIDADES 1
1.2 OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES 3
1.2.1 Intervalo o Período de Pago 3
1.2.2 Plazo de la Anualidad 3
1.2.3 Renta 3
1.3 PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES 3
1.4 ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES 3
1.5 OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES 5
1.6 ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES 5

CAPITULO II
ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO

2.1 CONCEPTO 6
2.2 CLASIFICACION 6
2.2.1 En función de la época de pago de cada renta 6
2.2.1 .1 Vencidas u ordinarias 6
2.2.1.2 Anticipadas o inmediatas 6
2.2.1.3 Diferidas 7

CAPITULO III
PRONTUARIO DE FORMULAS DE ANUALIDADES

3.1 ANUALIDADES 9
3.1.1 Monto 9
3.1.2 Valor actual 9
3.1.3 Renta en función del monto 10
3.1.4 Renta en función del valor actual 10
3.1.5 Tiempo en función del monto 10
3.1.6 Tiempo en función del valor actual 10
3.2 ANUALIDADES PAGADERAS CADA "K" AÑOS 11
3.2.1 Monto 11
3.2.3 Renta en función del monto 11
3.2.4 Renta en función del valor actual 12
3.2.5 Tiempo en función del monto 12
3.2.6 Tiempo en función del valor actual 12
3.3 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA 12
3.3.1 Factor del monto (FM) 13
3.3.2 Factor del valor actual (FVA) 13
3.4 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTES 13
3.4.1 Monto 13
3.4.3 Primer pago en función del monto 14
3.4.4 Primer pago en función del valor actual 14
3.4.5 Diferencia en función del monto 14
3.4.6 Diferencia en función del valor actual 15
3.5 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTES 15
3.5.1 Monto 15
3.5.3 Primer pago partiendo del monto 16
3.5.4 Primer pago partiendo del valor actual 17

CAPITULO IV
CASOS PRÁCTICOS

4.1 EJEMPLO No. 1 - ANUALIDADES EN GENERAL 18
4.4 EJEMPLO No. 4 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA DECRECIENTE ANTICIPADA 23
4.5 EJEMPLO No. 5 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTE VENCIDA 25
4.6 EJEMPLO No. 6 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTE VENCIDA 26

CONCLUSIONES 28
RECOMENDACIONES 29
BIBLIOGRAFIA 30

INTRODUCCIÓN

La presente investigación es realizada con el ánimo de conocer las herramientas matemáticas para toma de decisiones en las actividades financieras de una empresa.

En el capítulo uno se aborda las generalidades de la matemática financiera y sus diferentes campos de acción, tomando como base las generalidades matemáticas.

En el capítulo dos, trata de las anualidades como tema central, abordándolo de forma específica

El capítulo tres se hace mención de la clasificación de las anualidades, esto para conocerlas, con sus diferencias, y como pueden desarrollarse.

El prontuario de formulas se puede ver en el capitulo cuatro, seguido del capítulo cinco donde se desarrollan diez casos prácticos de anualidades.

CAPITULO I

ANUALIDADES

1.1 DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Se conoce como anualidades a una serie de pagos iguales y periódicos. También se dice que una anualidad es un pago o ingreso derivado de fondos cuyo fin es proporcionar la base para el pago de una cantidad.

La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo:

Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y de Q. 500.00 cada uno.
- 1 año -- 1 año -- 1 año -- 1 año -
- 1 año -
- 1 año -
- 1 año -
- 1 año -

500500500500
500
500
500
500

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de cada 6 meses.
- 6 meses -- 6 meses -150150150150- 6 meses -- 6 meses -
- 6 meses -
- 6 meses -
150
150
150
150
- 6 meses -
- 6 meses -

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de cada 2 años.

2,5002,5002,5002,500- 2 años -- 2 años -- 2 años -- 2 años -
2,500
2,500
2,500
2,500
- 2 años -
- 2 años -
- 2 años -
- 2 años -

En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades, pagos de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los últimos dos casos.

En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad en una serie de pagos por ejemplo:

Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5 años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 5,800.00

2,8002,800800800- 1.5 años -- 1.5 años -- 1.5 años -- 1.5 años -
2,800
2,800
800
800
- 1.5 años -
- 1.5 años -
- 1.5 años -
- 1.5 años -

21
2
1

Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero una es pagadera cada 6 meses y la otra cada año.

- 6 meses -- 6 meses -- 1 año -- 1 año -- 6 meses -
- 6 meses -
- 6 meses -
- 1 año -
- 1 año -
- 6 meses -
800800800800800
800
800
800
800
800

21
2
1

1.2 OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES

1.2.1 Intervalo o Período de Pago

Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen anualidades con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con períodos de pago mayores a un año.

1.2.2 Plazo de la Anualidad

Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del último período de pago de la anualidad.

1.2.3 Renta

Es el pago periódico de la anualidad.

1.3 PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES

Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo: los pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las amortizaciones de créditos otorgados, las compras al crédito de vehículos mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros.

1.4 ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al inicio del plazo.

Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la serie de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se desea conocer lo que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo:

Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad.
Valor Actual
Valor Actual
Monto
Monto
SA
S
A

FinalInicio
Final
Inicio

Fecha de ValuaciónCuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los pagos efectuados.
Fecha de Valuación
S
S

Acumulación ParcialInicio
Acumulación Parcial
Inicio

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo que está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se determina el valor actual de los pagos que aún no se han hecho.
Valor Actual
Valor Actual
A
A

Saldo pendiente de amortizarFinal
Saldo pendiente de amortizar
Final

1.5 OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES

Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas.

1.6 ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES

ELEMENTO
SÍMBOLO

Monto
S
Valor Actual
A
Renta
R
Tiempo
n
No. de pagos en el año
P
Tasa efectiva de interés
i
Tasa nominal de interés
j
No. de capitalizaciones en el año
m
Período de diferimiento
y

CAPITULO II

ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO

2.1 CONCEPTO

Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.

2.2 CLASIFICACION

2.2.1 En función de la época de pago de cada renta

2.2.1 .1 Vencidas u ordinarias

Cuando la renta se efectúa al final de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales vencidos, los pagos cada final de año, los pagos al final de cada semestre, etc.
RRRR
R
R
R
R

2.2.1.2 Anticipadas o inmediatas

Cuando la renta se efectúa al inicio de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales anticipados, los pagos al inicio de cada año, al inicio de cada semestre, etc.
RRRR
R
R
R
R

2.2.1.3 Diferidas

Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se deja pasar un período sin que se efectúe amortización alguna. Estas anualidades diferidas pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas anticipadas.

Diferidas vencidas

En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento
RR
R
R

Diferidas anticipadas
RR
R
R

El período de diferimiento deberá aplicarse únicamente a las fórmulas del valor actual o sus derivadas y no así para las del monto.

2.2.2 Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las capitalizaciones de interés

Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva
Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal
Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.
Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.
Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva.
Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.

2.2.3 Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta

2.2.3.1 Constantes
Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el mismo.

2.2.3.2 Variables
Cuando el valor de la renta varía atendiendo leyes matemáticas, por lo que pueden ser en progresión aritmética y en progresión geométrica, en ambos casos pueden presentarse de forma creciente o decreciente.

CAPITULO III

PRONTUARIO DE FORMULAS DE ANUALIDADES

3.1 ANUALIDADES

Simbología
Monto
=
S
Valor Actual
=
A
Renta
=
R
Tiempo
=
N
No. de pagos en el año
=
P
Tasa efectiva de interés
=
I
=
j
=
m
=
y

3.1.1 Monto

FACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m ) mn (1 + j/m) - 1S = R m/p (1 + j/m) - 1
FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p
( 1 + j / m )
mn
(1 + j/m) - 1
S = R
m/p
(1 + j/m) - 1

3.1.2 Valor actual

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m) - mn 1 - (1 + j/m) A = R m/p (1 + j/m) - 1
FACTORES DE
ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
m/p
(1 + j/m) - 1

3.1.3 Renta en función del monto
FACTOR DE ANTICIPACIÓN - m/p ( 1 + j / m ) m/p S { (1 + j/m) - 1 }R = mn (1 + j/m) - 1

- m/p
( 1 + j / m )
m/p
S { (1 + j/m) - 1 }
R =
mn
(1 + j/m) - 1

3.1.4 Renta en función del valor actual

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO - m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m) m/p A { (1 + j/m) - 1 } R = -mn 1 - ( 1 + j/m)
FACTORES DE

- m/p my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
m/p
A { (1 + j/m) - 1 }
R =
-mn
1 - ( 1 + j/m)

3.1.5 Tiempo en función del monto
m/p S { (1 + j/m) - 1 } Log + 1 R * n = m Log (1 + j/m)* FACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m )
m/p
S { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1
R *
n =

m Log (1 + j/m)
* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p
( 1 + j / m )

3.1.6 Tiempo en función del valor actual

1 m/p A { (1 + j/m) - 1} Log 1 - R * *n = m Log ( 1 + j / m) * * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

1

m/p
A { (1 + j/m) - 1}
Log 1 -
R * *
n =

m Log ( 1 + j / m)

* * FACTORES DE

m/p - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

3.2 ANUALIDADES PAGADERAS CADA "K" AÑOS

Simbología
Monto
=
S
Valor Actual
=
A
Renta
=
W
Tiempo
=
n
No. de años para cada pago
=
k
=
j
=
m
=
y

3.2.1 Monto

mn (1 + j/m) - 1S = W mk (1 + j/m) - 1FACTOR DE ANTICIPACIÓN mk ( 1 + j / m )
mn
(1 + j/m) - 1
S = W
mk
(1 + j/m) - 1

mk
( 1 + j / m )

3.2.2 Valor actual
- mn 1 - (1 + j/m) A = W mk (1 + j/m) - 1FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
- mn
1 - (1 + j/m)
A = W
mk
(1 + j/m) - 1
FACTORES DE

mk - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

3.2.3 Renta en función del monto

FACTOR DE ANTICIPACIÓN - mk ( 1 + j / m ) mk (1 + j/m) - 1 W = S mn (1 + j/m) - 1

- mk
( 1 + j / m )
mk
(1 + j/m) - 1
W = S
mn
(1 + j/m) - 1

3.2.4 Renta en función del valor actual

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO - mk my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m) mk (1 + j/m) - 1 W = A -mn 1 - ( 1 + j/m)
FACTORES DE

- mk my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
mk
(1 + j/m) - 1
W = A
-mn
1 - ( 1 + j/m)

3.2.5 Tiempo en función del monto

* FACTOR DE ANTICIPACIÓN mk ( 1 + j / m ) mk S { (1 + j/m) - 1 } Log + 1 W * n = m Log (1 + j/m)
* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mk
( 1 + j / m )
mk
S { (1 + j/m) - 1 }
Log + 1
W *
n =

m Log (1 + j/m)

3.2.6 Tiempo en función del valor actual
1 mk A { (1 + j/m) - 1} Log 1 - W * *n = m Log ( 1 + j / m) * * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

1

mk
A { (1 + j/m) - 1}
Log 1 -
W * *
n =

m Log ( 1 + j / m)

* * FACTORES DE

mk - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

3.3 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Simbología
Monto
=
S
Valor Actual
=
A
Primer pago
=
B
Diferencia
=
d
Tiempo
=
n
No. de pagos en un año
=
p
=
j
=
m
=
y

3.3.1 Factor del monto (FM)
mn (1 + j/m) - 1S p n j(m) = m/p (1 + j/m) - 1
mn
(1 + j/m) - 1
S p n j(m) =
m/p
(1 + j/m) - 1

3.3.2 Factor del valor actual (FVA)
- mn 1 - (1 + j/m) A p n j(m) = m/p (1 + j/m) - 1
- mn
1 - (1 + j/m)
A p n j(m) =
m/p
(1 + j/m) - 1

3.4 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTES

En las siguientes fórmulas para que se conviertan en "Decrecientes" se le cambia de signo a la diferencia "d".

3.4.1 Monto
FACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m ) S p n j(m) - np S = B S p n j(m) + d m/p (1 + j/m) - 1

m/p
( 1 + j / m )

S p n j(m) - np
S = B S p n j(m) + d
m/p
(1 + j/m) - 1

3.4.2 Valor actual

- mn Ap n j(m) - np (1 + j/m) A = B Ap n j(m) +d m/p (1 + j/m) - 1FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
- mn
Ap n j(m) - np (1 + j/m)
A = B Ap n j(m) +d
m/p
(1 + j/m) - 1
FACTORES DE

m/p - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

En las siguientes fórmulas el factor del monto aparecerá con las iniciales "FM" y el factor del valor actual con las iniciales (FVA).

3.4.3 Primer pago en función del monto
FM - np m/p S - d (1 + j/m) - 1 B = FMFACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m )Se coloca como denominador de S.

FM - np

m/p
S - d (1 + j/m) - 1
B =
FM

m/p
( 1 + j / m )

Se coloca como denominador de S.

3.4.4 Primer pago en función del valor actual
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)Se colocan como denominador de A. - mn FVA - np (1 + j/m) m/p A - d (1 + j/m) - 1B = FVA
FACTORES DE

m/p - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Se colocan como denominador de A.
- mn
FVA - np (1 + j/m)

m/p
A - d (1 + j/m) - 1
B =
FVA

3.4.5 Diferencia en función del monto

S - B (FM) FM - npd = m/p (1 + j/m) - 1FACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m )Se coloca como denominador de S.

S - B (FM)

FM - np
d =
m/p
(1 + j/m) - 1


m/p
( 1 + j / m )

Se coloca como denominador de S.

3.4.6 Diferencia en función del valor actual
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)Se colocan como denominador de A. A - B (FVA) -mnd = FVA - np (1+j/m) m/p (1 + j/m) - 1
FACTORES DE

m/p - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Se colocan como denominador de A.

A - B (FVA)

-mn
d = FVA - np (1+j/m)

m/p
(1 + j/m) - 1

3.5 ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTES

Simbología
Monto
=
S
Valor Actual
=
A
Primer pago
=
B
Razón
=
r
Tiempo
=
n
No. de pagos en un año
=
p
=
j
=
m
=
y

3.5.1 Monto
np mn (r) - ( 1 + j/m)S = B m/p r - ( 1 + j/m)FACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m )
np mn (r) - ( 1 + j/m)
S = B
m/p
r - ( 1 + j/m)

m/p
( 1 + j / m )

Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se aplica la siguiente:

FACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m ) mn - 1S = B n p ( 1 + j/m)

m/p
( 1 + j / m )

mn - 1
S = B n p ( 1 + j/m)

3.5.2 Valor actual
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m) np -mn (r) (1 + j/m) - 1A = B m/p r - (1 + j/m)
FACTORES DE

m/p - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
np -mn
(r) (1 + j/m) - 1
A = B
m/p
r - (1 + j/m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m) - 1S = B n p ( 1 + j/m)
FACTORES DE

m/p - my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

- 1
S = B n p ( 1 + j/m)

3.5.3 Primer pago partiendo del monto
m/p r - ( 1 + j/m)B = S np mn (r) - ( 1 + j/m)FACTOR DE ANTICIPACIÓN - m/p ( 1 + j / m )
m/p r - ( 1 + j/m)
B = S
np mn
(r) - ( 1 + j/m)

- m/p
( 1 + j / m )


FACTOR DE ANTICIPACIÓN - m/p ( 1 + j / m ) SB = mn – 1 n p ( 1 + j/m)

- m/p
( 1 + j / m )

S
B =
mn – 1
n p ( 1 + j/m)

3.5.4 Primer pago partiendo del valor actual
FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO - m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m) m/p r - ( 1 + j/m)B = S np -mn (r) - ( 1 + j/m) - 1
FACTORES DE

- m/p my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)
m/p r - ( 1 + j/m)
B = S
np -mn
(r) - ( 1 + j/m) - 1


A ( 1 + j/m)B = n pFACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO - m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

A ( 1 + j/m)
B =
n p
FACTORES DE

- m/p my
( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

CAPITULO IV
CASOS PRÁCTICOS

4.1 EJEMPLO No. 1 - ANUALIDADES EN GENERAL

Hace 3 años el señor Culebro Delgado recibió un préstamo, con el compromiso de cancelarlo en 5 años, mediante pagos mensuales de Q.300.00 cada uno, dicho préstamo se concedió con una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente; el día de hoy le han notificado al Sr. Delgado que la nueva tasa de interés vigente, por el saldo del préstamo, será el 12 % anual, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál debe ser la nueva renta considerando que el plazo del préstamo no se modifica y cuál es el valor del préstamo original?

54321
5
4
3
2
1
HOY
HOY

DATOS
R = Q. 300.00 (vencidas)
n = 5
p = 12
j = 0.10
m = 2
- 10 1 - (1 + 0.05) A = 300 2/12 (1 + 0.05) - 1 - mn 1 - (1 + j/m) A = R m/p (1 + j/m) - 1
- 10
1 - (1 + 0.05)
A = 300
2/12
(1 + 0.05) - 1
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
m/p
(1 + j/m) - 1

A = Q. 14, 185.94 PRÉSTAMO ORIGINAL

DATOS
n = 2
p = 12
j = 0.10
m = 2
- 4 1 - (1 + 0.05) A = 300 2/12 (1 + 0.05) - 1 - mn 1 - (1 + j/m) A = R m/p (1 + j/m) - 1
- 4
1 - (1 + 0.05)
A = 300
2/12
(1 + 0.05) - 1
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
m/p
(1 + j/m) - 1

A = Q. 6, 514.42 VALOR INSOLUTO PARA CALCULAR LA NUEVA RENTA

DATOS
A = Q. 6,514.42
n = 2
p = 12
j = 0.12
m = 4

4/12 6514.42 { (1 + 0.03) - 1 } R = - 8 1 - ( 1 + 0.03) m/p A { (1 + j/m) - 1 } R = -mn 1 - ( 1 + j/m)
4/12
6514.42 { (1 + 0.03) - 1 }
R =
- 8
1 - ( 1 + 0.03)
m/p
A { (1 + j/m) - 1 }
R =
-mn
1 - ( 1 + j/m)

R = Q. 306.29 LAS NUEVAS RENTAS


Una lotificadora ofrece lotes con un enganche fraccionado de Q. 7,000.00, pagando Q. 2,000.00 el d a de hoy y la diferencia dentro de 2 años, luego se efectuarán 180 mensualidades de Q. 840.00 cada una pagaderas al final de cada mes, se considera en la operación el 16% anual de interés capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el precio de contado de cada lote?

HOY
HOY
180 / 12 = 15 años5,0002,000
180 / 12 = 15 años
5,000
2,000

17 años
17 años

DATOS
n = 15 años
j = 0.16
m = 2
p = 12
y = 2 años de diferimiento

FACTORDE DIFERIMIENTO - my ( 1 + j / m) - mn 1 - (1 + j/m) A = R m/p (1 + j/m) - 1
FACTOR
DE DIFERIMIENTO

- my
( 1 + j / m)
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
m/p
(1 + j/m) - 1

- 30 1 - (1 + 0.08) A = 840 2/12 (1 + 0.08) - 1FACTORDE DIFERIMIENTO - 4 ( 1 + 0.08)
- 30
1 - (1 + 0.08)
A = 840
2/12
(1 + 0.08) - 1
FACTOR
DE DIFERIMIENTO

- 4
( 1 + 0.08)

A = (840) (69.76456641) (0.735029852)

A = Q. 43, 074.40

DATOS DEL RESTO DEL ENGANCHE (Q. 5,000.00)
S = Q. 5,000.00
j = 0.16
m = 2
n = 2
- 4P = 5000 (1 + 0.08 ) - mnP = S (1 + j/m )
- 4
P = 5000 (1 + 0.08 )

- mn
P = S (1 + j/m )

P = Q. 3,675.15

ENGANCHE Q. 2,000.00 +
A 43,074.40
P 3,675.15
Q. 48,749.55 PRECIO DE CONTADO DE CADA LOTE


Un préstamo recibido hace 7 años fue cancelado mediante pagos de Q. 600.00 al final de cada mes, y se sabe que el mismo devengó intereses del 8% anual capitalizable semestralmente durante los primeros 3 años y por el resto del tiempo el banco cobró una tasa de interés del 10% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuál fue el valor original de dicho préstamo?

7 años
7 años
HOY
HOY

4321321
4
3
2
1
3
2
1

DATOS No. 1 DATOS No. 2
j = 0.08 j = 0.10
R = Q. 600.00 R = 600.00
m = 2 m = 2
p = 12 p = 12
n = 2 n = 4
y = 3

- mn 1 - (1 + j/m) A = R m/p (1 + j/m) - 1FACTOR DE DIFERIMIENTO - my ( 1 + j / m)
- mn
1 - (1 + j/m)
A = R
m/p
(1 + j/m) - 1
FACTOR DE
DIFERIMIENTO

- my
( 1 + j / m)

- 6 1 - (1.04) A1 = 600 2/12 (1.04) - 1
- 6
1 - (1.04)
A1 = 600
2/12
(1.04) - 1

A1 = Q. 19,183.82

FACTOR DE DIFERIMIENTO - 6 ( 1.08) - 8 1 - (1.05) A2 = 600 2/12 (1.05) - 1
FACTOR DE
DIFERIMIENTO

- 6
( 1.08)
- 8
1 - (1.05)
A2 = 600
2/12
(1.05) - 1

A2 = Q. 18,768.16

A1 Q. 19,183.82 +
A2 Q. 18,768.16
Q. 37,951.98 VALOR ORIGINAL DEL PRÉSTAMO

4.4 EJEMPLO No. 4 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA DECRECIENTE ANTICIPADA

Un estudiante inició el día de hoy una serie de depósitos semestrales para comprar un vehículo al final de cinco años, y para tal efecto depositó la cantidad de Q. 6,000.00 y los siguientes depósitos disminuyen en Q. 500.00 cada uno de su inmediato anterior; la institución bancaria le reconoce una tasa de interés del 10% anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuánto podrá acumular al final de dicho plazo?
HOY
HOY

50006000
5000
6000

DATOS
B = Q. 6,000.00
d = Q. 500
p = 2
j = 0.10
m = 2
n = 5
10 (1.05) - 1S p n j(m) = 2/2 (1.05) - 1 mn (1 + j/m) - 1S p n j(m) = m/p (1 + j/m) - 1
10
(1.05) - 1
S p n j(m) =
2/2
(1.05) - 1

mn
(1 + j/m) - 1
S p n j(m) =
m/p
(1 + j/m) - 1

S p n j(m) = 12.57789254

S p n j(m) - np S = B S p n j(m) - d m/p (1 + j/m) - 1FACTOR DE ANTICIPACIÓN m/p ( 1 + j / m )

S p n j(m) - np
S = B S p n j(m) - d
m/p
(1 + j/m) - 1

m/p
( 1 + j / m )

12.57789254 - 10 S = 6000(12.57789254) -500 (1.05) - 1FACTOR DE ANTICIPACIÓN ( 1.05 )

12.57789254 - 10
S = 6000(12.57789254) -500

(1.05) - 1

( 1.05 )

S = Q. 52,172.85 MONTO ACUMULADO AL FINAL DEL PLAZO

4.5 EJEMPLO No. 5 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTE VENCIDA

La empresa "Ganadores, S. A.", terminó el día de hoy de cancelar un préstamo obtenido hace 5 años, por Q. 50,000.00, el cual fue cancelado mediante pagos al final de cada seis meses, variables en progresión aritmética, se sabe que el primer pago fue por Q. 6,000.00 y que la financiera le aplicó una tasa de interés del 20 % anual, capitalizable semestralmente. Se desea saber ¿en qué cantidad variaron los pagos periódicos?
A = 50,000HOY6000
A = 50,000
HOY
6000

DATOS
n = 5
A = Q. 50,000.00
p = 2
B = Q. 6,000.00
j = 0.20
m = 2
- 10 1 - (1.10) A p n j(m) = (1.10) - 1 - mn 1 - (1 + j/m) A p n j(m) = m/p (1 + j/m) - 1
- 10
1 - (1.10)
A p n j(m) =

(1.10) - 1

- mn
1 - (1 + j/m)
A p n j(m) =
m/p
(1 + j/m) - 1

A p n j(m) = 6.144567106

A - B (FVA) -mnd = FVA - np (1+j/m) m/p (1 + j/m) - 1

A - B (FVA)

-mn
d = FVA - np (1+j/m)

m/p
(1 + j/m) - 1

50,000 - 6,000 (6.144567106) -10d = 6.144567106 - 10 (1.10) (1.10) - 1

50,000 - 6,000 (6.144567106)

-10
d = 6.144567106 - 10 (1.10)

(1.10) - 1

d = Q. 573.69 CANTIDAD EN LA QUE AUMENTARON LOS PAGOS PERIÒDICOS

4.6 EJEMPLO No. 6 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTE VENCIDA

Un activo fijo será cancelado en 4 años mediante pagos semestrales vencidos que aumentan cada uno de su inmediato anterior un 15%, el primero de estos será por Q. 15,000.00, se aplica una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es el valor original del activo fijo?
B = 15,000
B = 15,000

DATOS
n = 4
p = 2
r = 1.15
B = Q. 15,000.00
j = 0.18
m = 4
np -mn (r) (1 + j/m) - 1A = B m/p r - (1 + j/m)
np -mn
(r) (1 + j/m) - 1
A = B
m/p
r - (1 + j/m)

8 -16 (1.15) (1.045) - 1A = 15000 2 1.15 - (1.045)
8 -16
(1.15) (1.045) - 1
A = 15000
2
1.15 - (1.045)

A = Q. 132,624.31 VALOR ORIGINAL DEL ACTIVO

CONCLUSIONES

Las anualidades son fondos para crear, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas.

Las anualidades son utilizadas en el mercado financiero guatemalteco. Al realizar un análisis al mercado local, se puede visualizar una serie de productos que estas entidades ofertan a potenciales compradores. Existen muchas opciones para aplicar anualidades, dígase, por ejemplo recomendar a una empresa, la mejora de un activo, y esta será beneficiosa, financieramente hablando.

RECOMENDACIONES

La aplicación de herramientas financieras son la base para tomar decisiones acertadas, para esto se necesita de un plan de acción en las instituciones, ayudando a las empresas a tener un plan estructurado de sus activos, pasivos, ingresos y gastos financieros.

El mercado financiero guatemalteco es muy competitivo, en dicho mercado se pueden encontrar muchas ofertas de productos y servicios financieros. Al existir mucha oferta, el mercado carece de reglamentaciones, que hagan que estos productos y servicios sean confiables. Para fiarse de estos instrumentos financieros se necesita de herramientas matemáticas que dan el aval en la toma de decisiones.

BIBLIOGRAFIA

Obras Literarias

Hernández Prado, Carlos Humberto, "Apuntes de Cases de Matemáticas Financiera II" Documento de apoyo a la Docencia, Facultad de Ciencias Económicas, USAC 2011.

Prontuario de Formulas de Matemáticas Financieras I y II, 2011. Colección de Textos de Auditoria, Ciencias Económicas. USAC

Páginas Web

Monogracias.com, consultado el 22 de enero de 2013 a las 21:33 p.m. disponible en http://www.monografias.com/trabajos12/mafin/mafin.shtml

Laberintos.com. consultado el 22 de enero de 2013, 20:12 p.m. disponible en http://laberintos.itam.mx/PDF/num11/243

Project 2061.org consultado el 23 de enero de 2013, 20:35 p.m. disponible en www.project2061.org/esp/publications/bsl/online/ch2/ch2.htm

ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO

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