Anualidades Constantes a Plazo Fijo

SIP – 11196 Salón 107 Grupo #3

8TI ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA GU ATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE AUDITORÍA ONCEAVO SEMESTRE SEMINARIO DE INTEGRACION PROFESIONAL CATEDRATICO TITULAR: LIC. RICARDO DE LA ROSA ROS A

8 TI ANUALIDADES CONSTANTES A PLAZO FIJO

GRUPO No. 3

GUATEMALA, 26 DE ENERO 2015



INTEGRANTES

Carne

Estudiante

200912813 Vásquez García, José Victor Eduardo 200913203 Pirir Juárez, Wilson Aníbal 200914397 Díaz Acevedo, Luis Fernando 201010468 Fuentes Garrido, Orfa Marisol 201011089 Pérez Chacón, Carlos Alberto (Tesorero) 201011247 Batres Rosales Elvira Violeta (Coordinadora) 201011282 Batres Rosales Silvia Esperanza (Sub-Coordinadora) 201011597 Barillas, Emilia Lucia



INTEGRANTES

Carne

Estudiante

200912813 Vásquez García, José Victor Eduardo 200913203 Pirir Juárez, Wilson Aníbal 200914397 Díaz Acevedo, Luis Fernando 201010468 Fuentes Garrido, Orfa Marisol 201011089 Pérez Chacón, Carlos Alberto (Tesorero) 201011247 Batres Rosales Elvira Violeta (Coordinadora) 201011282 Batres Rosales Silvia Esperanza (Sub-Coordinadora) 201011597 Barillas, Emilia Lucia



INDICE CAPITULO I....................... I ................................................ .................................................. .................................................. ............................ ... 7 CARACTERÍSTICAS DE LA MATEMÁTICA ................................................. .................................................... ... 7 QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA MATEMÁTICA ............................................... ............................................... 8 LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS................................................. .................................................... ... 9 CAPITULO II...................... II ............................................... .................................................. .................................................. ........................... 11 MATEMÁTICA FINANCIERA ............................................... ........................................................................ ........................... 11 RESEÑA HISTÓRICA Y EVOLUCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS .................. 12 IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS............................. ............................. 14 CONCEPTOS BÁSICOS.................................................. ........................................................................... .............................. ..... 14 RELACIONES DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA CON OTRAS DISCIPLINAS .................................................. ........................................................................... ............................................... ...................... 16 INTERÉS................................................................. .......................................................................................... ....................................... .............. 19 TASAS DE INTERES ................................................... ............................................................................ .................................. ......... 19 EQUIVALENCIA............................................................... ........................................................................................ .............................. ..... 19 DIAGRAMA DE TIEMPO ................................................................. ............................................................................... .............. 20 INTERÉS SIMPLE .................................................. ........................................................................... ....................................... .............. 20 INTERÉS COMPUESTO.................................................. ........................................................................... .............................. ..... 20 RENTA ............................................... ......................................................................... ................................................... .................................. ......... 20 ELEMENTOS DE UNA RENTA ................................................................ ..................................................................... ..... 20 CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS .............................................................. .............................................................. 21 CAPITULO III......................... III .................................................. .................................................. ............................................... ...................... 23 ANUALIDAD................................................................. .......................................................................................... .................................. ......... 23 OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES................................................. ...................................................... ..... 25



INTERVALO O PERÍODO PE RÍODO DE PAGO ................................................... ............................................................ ......... 25 PLAZO DE LA ANUALIDAD................................................. .......................................................................... ........................... 25 RENTA ............................................... ......................................................................... ................................................... .................................. ......... 25 PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES ........................... ............................. 25 ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES..................................... ..................................... 26 OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES ......................................... ......................................... 27 ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES .............................. .............................. 27 ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO ................................................ .................................................. 27 EN FUNCIÓN DE LA ÉPOCA DE PAGO DE CADA RENTA ......................... ......................... 28 VENCIDAS U ORDINARIAS ............................... ........................................................ ........................................... .................. 28 ANTICIPADAS O INMEDIATAS............................................... ..................................................................... ...................... 28 DIFERIDAS ................................................. .......................................................................... .................................................. ........................... 28 DIFERIDAS VENCIDAS .............................. ....................................................... .................................................. ........................... 28 DIFERIDAS ANTICIPADAS ......................................................... ........................................................................... .................. 29 ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO .............................. ....................................................... ........................... 30 RENTAS PERPETUAS ........................................... .................................................................... ....................................... .............. 30 COSTO CAPITALIZADO.................................................. ........................................................................... .............................. ..... 30 COSTOS EQUIVALENTES.................................................. ........................................................................... ........................... 30 LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO ....... 30 ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES ........................... .................................... ......... 31 RENTAS VITALICIAS ...................................................................... .................................................................................... .............. 31 DOTE PURA .................................................................... ............................................................................................. .............................. ..... 31 SEGUROS DE VIDA ............................... ........................................................ .................................................. .............................. ..... 31 CAPITULO IV ................................................. .......................................................................... ............................................... ...................... 32



PRONTUARIO DE FORMULAS .................................................................... 32 CASOS PRACTICOS ..................................................................................... 33 CUESTIONARIO ............................................................................................ 35 CONCLUSIONES .......................................................................................... 38 RECOMENDACIONES .................................................................................. 39 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................... 40



INTRODUCCIÓN

La presente investigación es realizada con el ánimo de conocer las herramientas matemáticas para toma de decisiones en las actividades financieras de una empresa. En el capítulo uno se aborda las generalidades de la matemática y sus diferentes campos de acción, tomando como base las generalidades matemáticas. En el capítulo dos, se trata la matemática financiera, su historia y relación con otras ciencias, los conceptos básicos para poder entender los problemas matemáticos financieros. El capítulo tres se trata de las anualidades como tema central, abordándolo de forma específica, también se hace mención de la clasificación de las anualidades, esto para conocerlas, con sus diferencias, y como pueden desarrollarse. El prontuario de fórmulas se puede ver en el capítulo cuatro, seguido del capítulo cinco donde se desarrollan casos prácticos de anualidades.



CAPITULO I CARACTERÍSTICAS DE LA MATEMÁTICA La matemática posee varias características que la hacen diferir de otras disciplinas. •

La primera es que es muy difícil de describir o definir su materia de estudio. Es claro cuales la materia de estudio de la Astronomía y de la Biología, pero no de la Teoría algebraica. Esto se debe fundamentalmente a que los objetos de estudio son conceptos abstractos definidos que a menudo van encadenados a otros conceptos previamente definidos. Su descripción se reduce a definiciones formales que requieren de conexiones neuronales, las cuales requieren de cierto tiempo para realizarse. Esto, aunado a una madurez matemática o entrenamiento matemático le permite al ser humano asimilar una buena cantidad de ideas abstractas. Por ejemplo, trate usted de explicarle a su sobrinita preguntona qué es la adición, o de qué se trata la Geometría Analítica, o qué es un anillo. Requerirá, después de muchas explicaciones intuitivas, establecer definiciones formales y tiempo, mucho tiempo.

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La segunda característica es que posee una lógica perfecta. La Matemática de Euclides es tan válida hoy como en la época de Euclides. Esto contrasta con otras teorías, como la de la tierra plana, la del flogisto o la del éter.

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La tercera es lo conclusivo de la Matemática, esto es, las diferentes disciplinas toman conclusiones con base en las manipulaciones matemáticas.

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La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equipos costosos a diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lápiz y papel, o ni siquiera esto. Arquímedes dibujaba sobre la arena. Leray escribió su matemática siendo prisionero de guerra. A pesar de los regímenes políticos de toda índole, la Matemática continúa evolucionando. Es interesante Página | 7



observar que sus bibliotecas son menos grandes que las de otras disciplinas. QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA MATEMÁTICA Según Arrigo Coen, Mathema significa erudición, manthánein es el infinitivo de aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. Así que en sentido implícito, Matemática significa: «lo digno de ser aprendido». QUÉ ES LA MATEMÁTICA No existe una definición de lo que es la Matemática. Sin embargo, se dice que es una colección de ideas y técnicas para resolver problemas que provienen de cualquier disciplina, incluyendo a la Matemática misma. CÓMO SE DA LA INNOVACIÓN EN LA MATEMÁTICA A diferencia de otras disciplinas científicas, en la Matemática la creación de nuevos métodos o técnicas constituye la innovación, la cual es vital para el progreso de la Matemática. No se requiere del descubrimiento de antiguos documentos manuscritos, ni del trabajo experimental o de la introducción de nueva tecnología. La innovación se da, entre otras cosas, por la creación de nuevas técnicas. Por ejemplo, cuando Galois se dio cuenta al trabajar en el problema de la insolubilidad de la ecuación polinomial general de grado al menos 5 que la clave estaba en las simetrías de las cinco soluciones de la ecuación, proveyó los fundamentos de la teoría general de la simetría, la cual es una de las ramas más profundas y de amplio espectro de toda la Matemática, llamada Teoría de Grupos. También hay innovación interna al tratar de dar cohesión a una teoría matemática, al realizar preguntas adecuadas, las cuales requieren de mucha intuición y compenetración. También puede venir de problemas de otras disciplinas.

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Se puede decir que hay progreso matemático cuando existe una aplicación continua de métodos usuales intercalados espectacularmente con nuevos conceptos y problemas. LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS Las matemáticas dependen tanto de la lógica como de la creatividad, y están regidas por diversos propósitos prácticos y por su interés intrínseco. Para algunas personas, y no sólo para los matemáticos profesionales, la esencia de esta disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual. Para otros, incluidos muchos científicos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo. Ya que las matemáticas juegan ese papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas en la formación científica. Para lograr esto, debe percatarse de que las matemáticas forman parte del quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento matemático y familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina. MATEMÁTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGÍA Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los negocios, la industria, la música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingeniería y las ciencias naturales y sociales. Es muy amplia la relación entre las matemáticas y los otros campos de la ciencia básica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes: •

La relación entre la ciencia y las matemáticas tiene una larga historia, que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan a aquélla herramientas poderosas para el análisis de datos. Con frecuencia, los modelos abstractos que han sido estudiados por los matemáticos, por el puro interés que despiertan han resultado ser muy útiles para la ciencia tiempo después. La

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ciencia y las matemáticas están tratando de descubrir pautas y relaciones generales, y en este caso ambas son parte del mismo quehacer. •

•

•

Las matemáticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje simbólico matemático ha resultado ser en extremo valioso para expresar las ideas científicas sin ambigüedad. La declaración a = F/m no es sólo una manera abreviada de decir que la aceleración de un objeto depende de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado preciso de la relación cuantitativa entre esas variables. Más importante aún, las matemáticas proporcionan la gramática de la ciencia las reglas para el análisis riguroso de ideas científicas y datos. Las matemáticas y la ciencia tienen muchas características en común. Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interacción de imaginación y lógica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la importancia decisiva de la crítica de los compañeros; el valor atribuido a ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el ámbito internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras electrónicas, ser capaz de utilizar la tecnología para abrir nuevos campos de investigación. Las matemáticas y la tecnología también han desarrollado una relación productiva mutua. Las matemáticas de las relaciones y cadenas lógicas, por ejemplo, han contribuido considerablemente al diseño del hardware computacional y a las técnicas de programación. Las matemáticas también ayudan de manera importante a la ingeniería, como en la descripción de sistemas complejos cuyo comportamiento puede ser simulado por la computadora. En tales simulaciones, pueden variarse las características del diseño y las condiciones de operación como un medio para encontrar diseños óptimos.

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CAPITULO II MATEMÁTICA FINANCIERA La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica. En este texto debe comprenderse las Matemáticas financieras como: Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión. Es la parte de las matemáticas que se ocupa del estudio y valoración de los capitales financieros, así como de su variación a lo largo del tiempo por efecto de las operaciones financieras que con ellos puedan realizarse. El capital financiero, es el valor monetario que posee en un momento determinado una persona natural o jurídica, expresado precisamente, en términos de dinero. Macroeconómicamente hablando, es la fusión de los recursos monetarios del sector agrícola, industrial, comercial y de servicios. En este orden de ideas, todos los recursos monetarios terminan llegando a las instituciones financieras, las cuales los utilizan a su vez para fomentar e impulsar las diversas actividades económicas mediante las diversas formas de crédito; pero para también, invertir en otras empresas que al final de cuentas, marcan el dinamismo económico y financiero de un país. Las operaciones financieras, son toda acción encaminada a sustituir un capital o varios por otro y otros equivalentes en diferentes momentos del tiempo aplicando una determinada ley financiera (cálculo matemático) en un determinado punto de referencia (fecha de pago, tiempos, etc.). Página | 11



Por ejemplo: un depósito que da intereses, es un cambio del capital depositado al principio de la operación, por el capital incrementado al final de la operación gracias a los intereses. Un préstamo es un intercambio entre dos partes donde el prestamista le entrega al prestatario una cantidad determinada de dinero (en una o varias veces) con el objetivo de recibir de este otra cantidad por concepto de intereses y devolución del capital (amortización) también en una o varía entregas. En conclusión, las Matemáticas Financieras ayudarán a comprender el valor del dinero en el tiempo para con ello conocer aspectos como: •

El valor presente del dinero.

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El valor futuro del dinero.

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El costo de adquirir dinero.

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El beneficio de captar dinero a una tasa de interés.

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La pérdida del poder adquisitivo del dinero (Inflación).

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Tasa de interés real.

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Rentabilidad de un proyecto de inversión (Factibilidad).

RESEÑA HISTÓRICA Y EVOLUCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda. En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación sistemática y

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con intensidad creciente del pensamiento matemático. Una vez más, las matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra ciencia, y han proporcionado un método de análisis que conduce al establecimiento de propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel de complejidad, son fáciles de contrastar desde el punto de vista empírico y tienen aplicación práctica inmediata. La prueba más clara de lo anterior se encuentra en la teoría de los mercados financieros, los planteamientos de Markowitz, Sharpe, Fama, Black, Scholes y Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían hasta entonces. Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la teoría de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales, etc., pasen a ser de vital importancia en el estudio de problemas de valoración de activos financieros, selección de inversiones o equilibrio en los mercados de capitales. Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de arbitraje, verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el equilibrio de mercados. Fueron numerosos economistas y matemáticos los que consiguieron extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a través de la existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la teoría de la martingala. Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la teoría de la medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados fundamentales de la economía financiera. Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad. Hoy nos encontramos ante cuestiones que tienen un gran contenido matemático y del máximo interés para las instituciones financieras, quienes se encuentran ante una Página | 13



competitividad muy intensa, un mercado con márgenes cada vez menores y un mundo sin fronteras. Temas como la gestión y medición de riesgos, el riesgo de crédito, la valoración de nuevos activos o la valoración de nuevos derivados con subyacente no negociable (temperaturas, catástrofes naturales, sequías), no almacenable (electricidad) o al menos no financiero(mercancías) presenta cada vez más dificultades matemáticas. Finalmente, la teoría de mercados financieros está motivando el desarrollo de otras partes de la economía financiera (finanzas empresariales, gestión de tesorería, mercados emergentes etc.) en las que también hay un alto contenido en formulación y razonamiento matemático. Por consiguiente, desde el análisis funcional hasta el cálculo de probabilidades, todas las ramas que constituyen la matemática han jugado un papel esencial en el proceso de desarrollo de la economía financiera. (Jiménez Guerra, 2000, Conferencia aniversario matemático) IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS Las organizaciones y personas deben analizar factores económicos y no económicos, así como también factores tangibles e intangibles en cada una de las decisiones que se toman para invertir el dinero en las diferentes opciones que se presentan; es así como la importancia de las matemáticas financieras permite tomar las decisiones ya que cada una de ellas afecta lo que se realiza en un futuro. CONCEPTOS BÁSICOS FACTIBILIDAD ECONÓMICA La factibilidad económica de un proyecto de inversión tiene que ver con la bondad de invertir recursos económicos en una alternativa de inversión, sin importar la fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluación, se analiza la decisión de inversión independiente del dueño del proyecto, se enfatiza únicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos.

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FACTIBILIDAD FINANCIERA En la factibilidad financiera del proyecto de inversión se evalúa el retorno para los dueños. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él. FACTIBILIDAD ECONÓMICA VERSUS FACTIBILIDAD FINANCIERA En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la condición fundamental de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisión de inversión, como ya se mencionó, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la Administración financiera que es definir donde invertir. Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisión de financiación, otra de las decisiones fundamentales de la administración, tienen que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa diseñar indicadores financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueños de la empresa están alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan ánimo de lucro, es ganar más dinero ahora y en el futuro. VALOR ECONÓMICO AGREGADO Solamente, cuando la rentabilidad de la inversión supere el costo de capital promedio ponderado, se generara valor económico para los propietarios de la empresa. Únicamente en este evento los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.

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PROYECTO DE INVERSIÓN Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversión, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperación de las inversiones, recuperar o cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad deseada por los dueños del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones. RELACIONES DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA CON OTRAS DISCIPLINAS La matemática financiera, Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, al combinar elementos fundamentales (capital, tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento o interés, al brindarle herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta a la hora de una inversión. •

Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin de que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad. Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado público, que permitan tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión. o

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Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee

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diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras. •

Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las transacciones realizadas en los negocios. Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos esenciales en las finanzas. o

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Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la protección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta. Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas, préstamos a interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas financieras, es decir, todas las transacciones económicas que estudia esta disciplinas. o

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Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción, distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia la riqueza para satisfacer necesidades humanas. Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos. o

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Ciencia política: es una disciplina que estudia el estudio sistemático del gobierno en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos, sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre grupos e individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio de los gobiernos. Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos. Las o

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matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajuste económico y negociaciones que beneficien a toda la población. •

Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento de las matemáticas y la física, alcanzado con estudio, experiencia y práctica, se aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza. Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción. o

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Informática: es el campo de la ingeniería y de la física aplicada relativo al diseño y aplicación de dispositivos, por lo general circuitos electrónicos, cuyo funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión, recepción y almacenamiento de información. Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones. o

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Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una determinada cantidad monetaria. Relación: esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras. o

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Sociología: es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las instituciones y los problemas de índole social influyen en la sociedad. Relación: la sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una buena administración de los recursos tanto humano o

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como material. La matemática financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad.

INTERÉS Cuando se utiliza un bien que no es de propiedad, generalmente se debe pagar un dinero por el uso, es así como el interés se define como la renta o rédito que hay que pagar por el uso del dinero prestado, es el rendimiento que se al invertir de manera productiva. El interés se simboliza con l, se mide por el incremento entre la suma original invertida en préstamo y el monto final pagado. TASAS DE INTERES Mide el valor de los intereses en los porcentajes para un periodo de tiempo determinado; es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien unidades que se invierten o se toman como préstamo. La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflación, las políticas de gobierno. La unidad de tiempo más usada para expresar las tasas de interés es el año. EQUIVALENCIA Es de gran importancia ya que en los problemas financieros lo que se busca es la equivalencia financiera o equilibrio ingresos o egresos. La conjugación del valor de dinero en el tiempo y la tasa de interés permite desarrollar el concepto de equivalencia, el cual, significa que diferentes sumas de dinero en tiempos diferentes pueden tener igual valor económico.

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DIAGRAMA DE TIEMPO Es conocido como diagrama económico o diagrama de flujo de caja. Es una de las Herramientas más útiles para la definición, interpretación y análisis de los problemas financieros. Visualiza el comportamiento del dinero a medida que transcurren los periodos de tiempo. INTERÉS SIMPLE Es aquel que se paga al final de cada periodo, el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma. No se capitalizan los intereses. INTERÉS COMPUESTO Es un sistema que capitaliza los intereses hace que el valor que se paga por intereses se incremente mes a mes. Es aplicado en el sistema financiero se utiliza en todos los créditos que hacen los bancos, el capital cambia de cada periodo ya que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este volver a calcular los intereses. RENTA En el lenguaje corriente, renta es una sucesión de cobros y pagos periódicos, que tiene el carácter de rendimiento de un capital. En matemáticas financieras, el concepto de renta es muy amplio y corresponde a un conjunto de prestaciones se le llama PLAZO o término de la renta, y llamaremos Periodo al espacio de tiempo que hay entre dos prestaciones consecutivas. ELEMENTOS DE UNA RENTA En tratamiento de las rentas en matemáticas financieras será el de calcular el valor de la misma en un momento determinado del tiempo. Podremos calcular el valor actual de la renta, el valor final o realizar una valoración en un momento intermedio. Para calcular el valor final utilizaremos la ley de capitalización compuesta. Para el cálculo del valor actual utilizaremos la ley del descuento compuesto racional (o Página | 20



matemático). Y para calcular un valor intermedio habremos de utilizar ambas leyes. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS Ciertas o aleatorias: se conoce la cuantía de la prestación y el momento del vencimiento. Según la naturaleza de sus términos Aleatorias: la cuantía de la prestación o el momento del vencimiento dependen de un proceso aleatorio.

Discretas: los periodos están definidos temporalmente (año, mes, día, etc.) Según por el periodo de maduración Continuas: los periodos tienen una duración infinitesimal, y están definidos por una función. Constantes: todos sus términos son del mismo importe. Según cuantía de sus términos Variables: los términos van variando. Esta variación puede ser siguiendo una progresión

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geométrica, aritmética, variables según polinomio, etc. Plegables: los términos coinciden con el momento inicial de cada periodo. Según vencimiento de sus términos Pospagables: los términos coinciden con el momento final de cada uno de los periodos.

Temporal: Con duración finita, determinada. Según la duración de la renta Perpetua: Tiene duración ilimitada.

Diferida: la valoración se realiza antes del origen o inicio de la renta Inmediata: El momento de la valoración coincide con el origen o inicio de la renta. Hay que añadir que las rentas tendrán una característica de cada tipo de clasificación. Por tanto, se puede dar un gran número de combinaciones a estudia con las rentas. (Martínez Carrasco, 2010, p. 99 – 101)

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CAPITULO III

ANUALIDAD Una anualidad es un conjunto de pagos iguales hechos a intervalos iguales de tiempo. El termino anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto no es necesariamente así. En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de las anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortización más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado. (Meza Orozco, 2008, p. 207) Antes de entrar de lleno a estudiar las anualidades, es necesario definir algunos términos generales. La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo:

Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y de Q. 500.00 cada uno. - 1 año -

- 1 año -

500

- 1 año -

500

- 1 año -

500

500

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Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de cada 6 meses. - 6 meses -

- 6 meses 150

- 6 meses 150

- 6 meses 150

150

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de cada 2 años.

- 2 años -

- 2 años 2,500

- 2 años 2,500

- 2 años 2,500

2,500

En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades, pagos de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los últimos dos casos. En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad en una serie de pagos por ejemplo: Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5 años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 5,800.00

- 1.5 años -

- 1.5 años 800

1

- 1.5 años 800

- 1.5 años 2,800

2,800

2

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Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero una es pagadera cada 6 meses y la otra cada año.

- 6 meses -

- 6 meses -

800

- 6 meses -

800

800

1

- 1 año -

- 1 año 800

800

2

OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES INTERVALO O PERÍODO DE PAGO Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen anualidades con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con períodos de pago mayores a un año. PLAZO DE LA ANUALIDAD Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del último período de pago de la anualidad. RENTA Es el pago periódico de la anualidad. PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo: los pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las amortizaciones de créditos otorgados, las compras al crédito de vehículos mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros. Página | 25



ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al inicio del plazo. Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la serie de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se desea conocer lo que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo: Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad. Valor Actual

Monto

A

S

Inicio

Final

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los pagos efectuados. Fecha de Valuación S

Inicio

Acumulación Parcial

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo que está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se determina el valor actual de los pagos que aún no se han hecho.

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Valor Actual A

Saldo pendiente de

Final

OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas. ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES ELEMENTO

SÍMBOLO

Monto Valor Actual Renta Tiempo No. de pagos en el año Tasa efectiva de interés Tasa nominal de interés No. de capitalizaciones en el año Período de diferimiento

S A R n P i j m y

ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.

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EN FUNCIÓN DE LA ÉPOCA DE PAGO DE CADA RENTA VENCIDAS U ORDINARIAS Cuando la renta se efectúa al final de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales vencidos, los pagos cada final de año, los pagos al final de cada semestre, etc.

R

R

R

R

ANTICIPADAS O INMEDIATAS Cuando la renta se efectúa al inicio de cada período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales anticipados, los pagos al inicio de cada año, al inicio de cada semestre, etc. R

R

R

R

DIFERIDAS Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se deja pasar un período sin que se efectúe amortización alguna. Estas anualidades diferidas pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas anticipadas. DIFERIDAS VENCIDAS En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

R

R

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DIFERIDAS ANTICIPADAS En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

R

R

El período de diferimiento deberá aplicarse únicamente a las fórmulas del valor actual o sus derivadas y no así para las del monto. Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las capitalizaciones de interés •

Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva

•

Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal

•

Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.

•

Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.

•

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva.

•

Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.

Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta CONSTANTES Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el mismo. VARIABLES Cuando el valor de la renta varía atendiendo leyes matemáticas, por lo que pueden ser en progresión aritmética y en progresión geométrica, en ambos casos pueden presentarse de forma creciente o decreciente.

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ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO RENTAS PERPETUAS Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es infinito, por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los pagos de renta se toman de los intereses generados en un determinado tiempo. En este tipo de anualidades no se puede determinar el monto por desconocerse el tiempo de finalización de la serie de pagos. COSTO CAPITALIZADO Se le denomina así a la inversión necesaria para adquirir un activo y al mismo tiempo estar en condición de reemplazarlo cada determinado período de años en forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo más el valor actual de infinito número de renovaciones. Para interpretar los resultados de dos alternativas a elegir se deberá considerar la que presente el menor costo capitalizado. COSTOS EQUIVALENTES Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que debe ser reemplazado cada período de años de manera que dicho desembolso en períodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la misma utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes. LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO Constituye un indicador financiero que determina el límite de gastos que puede adicionarse para prolongar la vida útil de un activo en comparación con el costo de preposición de un activo similar cuya vida útil está relacionada con el número de años que se puede prolongar dicho activo. Es aquella erogación que justificadamente se puede hacer para prolongar la vida útil de un activo sin alterar su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cuándo conviene prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo.

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ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES Son aquellas cuyo inicio o finalización depende de un suceso cuya realización no puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de una persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida. RENTAS VITALICIAS Serie de pagos que me efectúan durante el tiempo que la persona beneficiaria se encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la obligación de pagar las rentas. DOTE PURA Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagará al cabo de “n” años a una persona de edad actual “x” a condición, de que esté entonces con vida. Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque está condicionado a que la persona de edad “x” cumpla “x +n” años para recibirlo, por tanto el precio justo está dado por la esperanza matemática o depósito que el individuo en cuestión debe efectuar hoy para recibirlo sólo si se encuentra con vida a la edad “x + n”. SEGUROS DE VIDA Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la suma asegurada.

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CAPITULO IV PRONTUARIO DE FORMULAS

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CASOS PRACTICOS Monto El Señor Raúl Flores desea depositar en una cuenta de ahorros durante 6 años la cantidad de Q. 1,500.00 quincenalmente, tiene una tasa de interés del 12% capitalizable trimestralmente. El Sr. Flores desea saber ¿Qué cantidad de dinero recibirá al final de los 6 años? Datos: Formula: mn S=? R= 1,500.00 J = 0.12 m=4 n=6 p = 24 Solución:

S=

R

{

S=

( 1 + j/m)

-1 m/p

( 1 + j/m)

-1

}

Q 313,688.95

Valor Actual con Diferimiento El banco ABC otorgo un crédito a la Sra. Rosita Pérez, el cual debe cancelarlo en 60 pagos vencidos por el mismo valor, en la operación se carga el 15% anual de interés capitalizable semestralmente, en esta operación como beneficio para el deudor se establece un periodo en el cual no harán pagos por lo tanto el primer pago lo realizara trece meses después de recibido el crédito. La Señor a Pérez estima que puede realizar pagos de Q. 800.00 al mes, bajo estas condiciones ¿Qué cantidad puede pedir en préstamo? DATOS: Formula A=? R= 800.00 J = 0.15 m=2 n=5 p = 12 y=1

A=

R {

(1+ 1- j/m) (1+ j/m)

A=

.-mn

.-my

m/p

(( 1 + j/m) -1

}

)

29,389.05

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R/ La Sra. Pérez puede pedir un préstamo de Q. 29,389.05 Renta en función del Valor Actual (A): Un comerciante solicito un préstamo para iniciar su negocio de venta de ropa por Q. 200,000.00 para pagarlo en 36 meses, sin embargo no realizara los pagos sino 6 meses después de concedido el préstamo. El banco le cobrara el 24% de interés capitalizable semestralmente. ¿Por qué valor debe ser cada uno de los pagos mensuales? Datos: A = 200,000.00 R= ? J = 0.24 m=2 n=3 p = 12 y = 0.5

.m/p

{

R=

A

R=

6,901.38

( 1 + j/m) .-mn 1 - ( 1 + j/m)

.1

}

(

-my (1+ j/m)

)

Tiempo en función del Valor Actual Se realizó un préstamo de Q. 154,500.00, el cual se cancelara mediante abonos trimestrales de Q. 25,000.00 cada uno, el banco cobra el 24% anual de interés capitalizable mensualmente. ¿Durante cuánto tiempo deben hacerse los pagos? Datos:

Formula: 1

A = 154,500.00 R = 25,000.00

LOG

n=

m/p A [ (1 + j/m) 1- 1 ]

P=4 J = 0.24

R

m Log (1 + j/m)

m = 12 n=? R/ Deben realizarse los pagos durante 2 años

n=

1.999911 = 2

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CUESTIONARIO ¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA? Se dice que es una colección de ideas y técnicas para resolver problemas que provienen de cualquier disciplina, incluyendo a la Matemática misma. ¿MATEMÁTICA FINANCIERA? Es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión ¿CÓMO SE LE LLAMA A LA MATEMATICA FINANCIERA? Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica.

¿QUÉ RELACION TIENE LA MATEMATICA FINANCIERA CON LA CONTABILIDAD? Suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado público, que permitan tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión. ¿QUÉ RELACION TIENE LA MATEMATICA FINANCIERA CON EL DERECHO MERCANTIL? En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos esenciales en las finanzas.

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¿QUÉ RELACION TIENE LA MATEMATICA FINANCIERA CON LA ECONOMIA? Esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos. ¿QUÉ RELACION TIENE LA MATEMATICA FINANCIERA CON LA INGENIERIA? Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción. ¿QUÉ RELACION TIENE LA MATEMATICA FINANCIERA CON LA INFORMATICA? Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones. ¿QUÉ ES EL INTERES? Es el dinero que se debe pagar por una deuda, por un dinero en uso ¿QUÉ ES EL INTERES SIMPLE? Es aquel que se paga al final de cada periodo, el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma. No se capitalizan los intereses. ¿QUÉ ES EL INTERES COMPUESTO? Es un sistema que capitaliza los intereses hace que el valor que se paga por intereses se incremente mes a mes. Es aplicado en el sistema financiero se utiliza en todos los créditos que hacen los bancos, el capital cambia de cada periodo ya Página | 36



que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este volver a calcular los intereses. ¿QUÉ ES RENTA? En matemáticas financieras, el concepto de renta es muy amplio y corresponde a un conjunto de prestaciones se le llama PLAZO o término de la renta, y llamaremos Periodo al espacio de tiempo que hay entre dos prestaciones consecutivas.

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CONCLUSIONES

1. Las anualidades son fondos para crear, mediante la acumulación de los pagos y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas niveladas.

2. Las anualidades son utilizadas en el mercado financiero guatemalteco. Al realizar un análisis al mercado local, se puede visualizar una serie de productos que estas entidades ofertan a potenciales compradores. Existen muchas opciones para aplicar anualidades, dígase, por ejemplo recomendar a una empresa, la mejora de un activo, y esta será beneficiosa, financieramente hablando.

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RECOMENDACIONES

1. La aplicación de herramientas financieras son la base para tomar decisiones acertadas, para esto se necesita de un plan de acción en las instituciones, ayudando a las empresas a tener un plan estructurado de sus activos, pasivos, ingresos y gastos financieros.

2. El mercado financiero guatemalteco es muy competitivo, en dicho mercado se pueden encontrar muchas ofertas de productos y servicios financieros. Al existir mucha oferta, el mercado carece de reglamentaciones, que hagan que estos productos y servicios sean confiables. Para fiarse de estos instrumentos financieros se necesita de herramientas matemáticas que dan el aval en la toma de decisiones.

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Anualidades Constantes a Plazo Fijo

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