1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss. Después, • Utiliza el método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.
Sustancia 1
Sustancia 2
Sustancia 3
Total en litros
2
2
1
4.5
4
6
3
12
0
1
3
8
6
9
7
24.5
2. Las ecuaciones quedarían de la siguiente manera: 3. 2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5 4. 4S1 + 6S2 +3S3 = 12 5. 0S1 + 1S2 + 3S3 = 8 6. 7.
Se representaría matricialmente de la siguiente manera:
8. A = (
) b=(
)
9. El resultado es la siguiente matriz aumentada 10. A|b =(
Método de Gauss: 2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5 4S1 + 6S2 +3S3 = 12
)
0S1 + 1S2 + 3S3 = 8 Primero generamos la matriz ampliada derivado del sistema de ecuaciones:
A= (
)
A= (
) F2 – (2) F1
(
) (2)F3 – F2
F2
F3
Por lo tanto la matriz escalonada es la siguiente:
(
)
Se despeja z 5z =13
z=
z= 2.6
Despejando z 2y +z= 3
2y+2.6= 3
Y=
=
Y=0.2
Despejando x 2x+2y+z= 4.5
X=
2x+2(0.2)+2.6=4.5
X=
X= 0.75
1. Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera
Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros
Segunda sustancia el vaso contenía: 0.2 litros
Tercera sustancia el vaso contenía: 2.6 litros A resolver por el método de Gauss Jordan: A= (
A= (
(
)
) F2 – (2) F1
) (2)F3 – F2
(
(
) (1/2) F1
) (1/2) F2
(
) F1 - F2
(
) (1/5) F3
F2
F3
(
(
)
- (1/2) F3 +F2
F2
)
Por lo tanto las cantidades en litros de las sustancias son las siguientes: Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros Segunda sustancia el vaso contenía: 0.2 litros Tercera sustancia el vaso contenía: 2.6 litros
• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación. Sistema de ecuaciones: 2X + 2Y + Z = 4.5 4X + 6Y + 3Z = 12 1Y + 3Z = 8
Procedemos a una solución alternativa solicitada: Despejamos Z de ecuación 1 Z = 4.5 – 2X – 2Y Sustituimos el valor obtenido en la ecuación 2 y 3 4X + 6Y+ 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 12………. (2) Y + 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 8………………. (3) 4X+ 6Y+ 13,5 -6X – 6Y =12…… (2) Y + 13,5 -6X -6Y =8………. (3)
-5Y- 6X + 13.5 =8 -2X + 13.5 = 12 -5Y- 6X = 8 – 13.5 -2X =12 – 13,5
-5Y- 6X = -5.5 -2X =12 – 13,5 -5Y = - 5.5+ 6(0.75) X= -5Y= -1
X= 0.75 -5Y= -5.5 + 4.50 Y=
Y = 0.2 Z = 4.5 – 2X – 2Y
Z= 4,5 - 2(0.75)- 2(0.2)
Z=4.5 - 1.50 - 0.4
Z= 2.6 2. Lee el planteamiento del siguiente problema:
Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calibra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.
En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15
salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².
Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.
Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos. • ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales? •
¿Cuántos
metros
cuadrados
mide
cada
uno
de
los
cubículos
que
impermeabilizaron? Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:
1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema. 2. Representa el sistema mediante su forma matricial. 3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de Gauss-Jordan. 4. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en el foro Planteamiento del problema. 5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.2
Modelo general de ecuaciones: (1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (2/3) 9 + (1/6) s6 + (1/2)1 = 1 (1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (1/6) s6 + 6.5 = 1 Sistema de ecuaciones ya con una constante de 6.5 equivalente a los 2 datos conocidos s5 y s7 y se relacionan los metros con costo en las ecuaciones solo van cambiando los coeficientes según los metros cuadrados que se impermeabilizara por cada sección. Biblioteca:
40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220 Auditorio : 50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) s7 = 1525 3: 15 salones de 20 mts cada uno =300 mts 300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) = 9150 20 cubículos 35----------------1067.5 X------------------5490 X=180 180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5) = 5490 La dirección de la escuela: 35(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.5 Quedaría un sistema con 5 ecuaciones y 5 incógnitas:
20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 1220
25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525
150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 9150
90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 5490
17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5
Continuamos simplificando más las ecuaciones:
20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 = 960
25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 = 1200
150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 = 7200
90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 = 4320
17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 = 840
Matricial: Matriz
a
Biblioteca 20
20
40/3 20
20/3
1050
Auditorio 25
25
50/3 25
50/6
1312.5
Salones
10
20/3 10
20/6
525
9/2
9/3
10
Cubículos Dirección
b
c
d
9/2 9/6
35/2 35/2 35/3 35/2
f
336.25 918.75
La matricial quedaría así. Método de gauss
20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 1220 25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525 150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 9150 90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 5490 17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5
17.5 25
17.5 11.66 17.5 5.8.3 227.5 1067.5 25
16.66
