INFORME VACIADO DE TANQUES

"Año de la Diversifcación Productiva y del Fortalecimiento de la

Educación"

“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ”

ESCUELA ACADÉMCA P!FES#AL DE #$E#E!%A &U%MCA AM'E#(AL AM'E#(AL E #$E#E!A &UMCA DE $AS #A(U!AL ) E#E!$A

CA(ED!A* ECUAC#ES DFE!E#CALES CA(ED!+(C* Ms, n-, David USCAMA)( USCAMA)(A A .E!AS(E$U “APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES (SEMIESFERA)”

#(E$!A#(ES* • • • • • •

/UALLULL 0ME#E1 0ME#E1 C/U&UMA#( C/U&UMA#(A!)2 A!)2 0MM) !'LES DEL CA!P 0AC3EL#E SME# #U4E1 )SEL)# (( (.A! (.A! MED#A MLA$!S MLA$!S

,&,$,#,E ,&,$,#,E ,&,A

ECUACIONES DIFERENCIALES •

1AMUD C/A.E1 .ALE!)

HUANCAYO-2015

MODULO DE VACIADO DE TANQUE SEMIESFERICO

.ACAD DE (A#&UES

P5-ina 6

ECUACIONES DIFERENCIALES


P5-ina 7


RESUMEN El presente trabajo tiene como título: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a problemas de vaciado de tanques (esfera) Partió del siguiente problema: ¿Se pueden obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per Para ello ser necesario primero responder:  ¿'ules son los procedimientos correctos para determinar

las variables *

constantes adecuadas para obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la universidad nacional del centro del Per  ¿'ules son las condiciones para obtener modelos matemticos

de formas

variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per Para poder cumplir con la meta de responder * solucionar el problema se tiene como objetivo principal +eterminar los parmetros adecuados para obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per, 'on respecto al m-todo que se utili.ara para poder lograr solucionar el problema mencionado anteriormente se deber seguir un procedimiento e/perimental que esta adjuntado posteriormente que a*udara a obtener algunos datos que servían para poder llegar a la meta esperada,


P5-ina 8


I. INTRODUCCIÓN

0uc1os problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría, %no de ellos es la salida de líquido de un tanque a trav-s de un orificio situado al fondo del mismo, 2a forma geom-trica del recipiente determina el comportamiento físico del agua, 2as ecuaciones formuladas en este informe necesitan ser resueltas3 sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas involucradas, 2os procedimientos usados pueden producir una solución e/acta o3 en casos donde soluciones e/actas no se pueden obtener3 soluciones apro/imadas, "recuentemente para elaborar los clculos num-ricos se recurre al uso de la informtica, El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturale.a puramente matemtica que propician * propiciaron el avance de las susodic1as matemticas, El presente trabajo tiene como título 4obtención de los modelos matemticos de formas variadas sobre vaciado de tanque de una esfera en un módulo dise!ado por alumnos de la facultad de ingeniería química de la universidad nacional del centro del Per5 +e la presente investigación se tiene poco marco referencial3 la metodología usada tiene un tipo de investigación: e/perimental3 desarrollando un módulo el cual nos permita conocer casi e/actamente el tiempo que transcurre desde un punto de referencia en el cual se llena la esfera con agua * sale por un orificio abajo del mismo,


P5-ina 9


II. FORMULACION DEL PROBLEMA 2.1.

PREUNTA ENERAL

6¿Se pueden obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per

2.2.

PREUNTAS ESPEC!FICAS

6¿'ules son los procedimientos correctos para determinar

las variables *

constantes adecuadas para obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la universidad nacional del centro del Per 6¿'ules son las condiciones para obtener modelos matemticos

de formas

variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per

III. OB"ETIVOS III.1

OB"ETIVO ENERAL

6+eterminar los parmetros adecuados para obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques

de las ecuaciones

diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per,

III.2

OB"ETIVO ESECIFICO


P5-ina :

ECUACIONES DIFERENCIALES 6'onocer los procedimientos correctos para determinar las variables * constantes adecuadas para obtener modelos matemticos de formas variadas de

la

aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per 6+eterminar las condiciones para obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per,

IV. LUAR DE E"ECUCION DEL PROBLEMA En la facultad de #ngeniería $uímica de la 4%E8S#+A+ &A'#9&A2 +E2 'E&89 +E2 PE8%5,

V. "USTIFICACION +ebido los a que cotidianamente se puede observar tanques de vaciado se tiene la necesidad de obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per Para poder obtener modelos matemticos se piensa determinar los parmetros adecuados de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per ambi-n para obtener un buen modelo matemtico de vaciado de tanques se debe 'onocer los procedimientos correctos para determinar las variables * constantes adecuadas para obtener modelos matemticos de formas variadas de

la

aplicación al vaciado de tanques que en el caso del trabajo se usara como parmetro al tiempo que tendr que variar de acuerdo a la altura,


P5-ina ;


VI. MARCO TEORICO AP2#'A'#9&ES +E 2AS E'%A'#9&ES +#"E8E&'#A2ES 98+#&A8#AS +E P8#0E8 98+E& A P89;2E0AS +E 7A'#A+9 +E A&$%ES 0uc1os problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría, %no de ellos es la salida de líquido de un tanque a trav-s de un orificio situado al fondo del mismo, 2a forma geom-trica del recipiente determina el comportamiento físico del agua, 'onsidere un recipiente lleno de agua 1asta una altura 1, Suponga que el agua flu*e a trav-s de un orificio de sección transversal 4a53 el cual est ubicado en la base del tanque, Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t * el tiempo que este demora en vaciarse, Sea 1(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t * 7(t) el volumen de agua del tanque en ese instante, 2a velocidad v del agua que sale a trav-s del orificio es: v =√ 2 gh ( 1 )

+onde g es la gravedad, 2a ecuación (<) representa la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua 1asta el agujero, En condiciones reales3 1a* que tomar en cuenta la contracción que sufre un c1orro de agua en un orificio3 por lo que se tendr v =c √ 2 gh ( 2)

+onde c es el coeficiente de descarga comprendido entre = * < ( = > c > <), '9E"#'#E&ES +E 7A'#A+9 +E A&$%E el coeficiente de descarga es adimensional * practicamente de valor constante para cualquier dimetro de un mismo modelo, 2os fabricantes suelen facilitar el .ACAD DE (A#&UES

P5-ina <


coeficiente de descarga de la vlvula en posición totalmente abierta3 es decir m/ima descarga, 'ontra m*or es el valor del coeficiente3 a una misma diferencia de altura del embalse3 ms caudal * por lo tanto ms rpido podr desembalsarse el depósito a trav-s de la vlvula, 2as vlvulas de cono fijo3 son vlvulas de descarga3 * como tales vienen caracteri.adas por el coeficiente de descarga en ve. del coeficiente de caudal, Su valor est entre '?=3@ * '?=3B, eoricamente3 para cada diametro en particular podríamos encontrar la equivalencia entre los coeficiente de descarga * de caudal,

'9E"#'#E&E +E 7E29'#+A+: 4 'v 5 E/perimentalmente se 1a comprobado que la velocidad media de un c1orro de un orificio de pared delgada3 es un poco menor que la ideal3 debido a la viscosidad del fluido * otros factores tales como la tensión superficial, En la prctica se tiene: +onde: 'v: es el coeficiente de velocidad g: es la gravedad El valor num-rico de 'v para el agua * líquidos de viscosidad similar es ligeramente menor que la unidad3 * tiene su valor mínimo para cargas bajas * dimetros peque!osC para un dimetro de D de pulgada * una carga de un pie3 Smit1 * alFer encontraron que su valor es de =,GH, 'onforme aumentan el dimetro o la carga3 el coeficiente aumenta, Para un dimetro de I, pulg, * una carga de J= pie3 los mismos e/perimentadores obtuvieron un valor de =,GGK, Sus datos indican que3 para un dimetro dado el incremento de la carga es peque!o (8ussell3 <,GG3 p

P5-ina =


%n anlisis e/perimental de un c1orro que escapa de un orificio al aire libre muestra que la velocidad de las partículas pró/imas a su superficie e/terior es algo mas baja que la de las partículas que estn mas cerca del centro del c1orro, 2as partículas e/teriores antes de pasar por el orificio3 se mueven a lo largo o en la pro/imidad de la cara posterior de la placa del orificio * llegan a su arista con una velocidad menor que aquellas partículas que llegan en una dirección ms normal al plano del orificio, Su arrastre por viscosidad sobre las partículas mas centrales tiene el efecto de disminuir la velocidad promedio en la sección contraída, %n orificio ms grande con la misma carga3 produce un c1orro en el que todavía 1a* una variación de velocidad3 pero en donde la acción retardante de las partículas e/teriores no se e/tiende la misma distancia proporcional en el c1orro3 * la velocidad promedio en la sección contraída se aumenta, 'on dimetro constante3 un incremento en la carga causa un incremento general en la velocidad del c1orro3 * el arrastre por viscosidad de las partículas e/teriores tiene un menor efecto3 debido a la ma*or inercia de las partículas internas, '9E"#'#E&E +E '9&8A''#L&: 4 'c 4 Es la relación entre el rea contraída * la del orificio, Su valor num-rico para un fluido determinado varía con el dimetro del orificio * la carga, El coeficiente de contracción disminu*e con un dimetro ma*or * con un incremento en la carga, Para el agua3 Smit1 * alFer obtuvieron valores que variaban desde =,JBB3 para un orificio de D de plg con un pie de carga3 1asta =,J
P5-ina >?


espacio radial permita que el movimiento lateral contine ms all de la arista del orificio3 con un aumento en la cantidad de la contracción, '9E"#'#E&E +E +ES'A8MA: 4 'd 4 El volumen del fluido3 $3 que escurre del orificio por segundo3 puede calcularse como el producto de aN3 el rea real de la sección contraída por la velocidad real media que pasa por esa sección3 * por consiguiente se puede escribir la siguiente ecuación:

en donde3 representa la descarga ideal que 1abría ocurrido si no estuvieran presentes la fricción * la contracción, Para el caso de 'd3 -ste es el coeficiente por el cual el valor ideal de descarga es multiplicado para obtener el valor real3 * se conoce como coeficiente de dec!"#!, &um-ricamente es igual al producto de los otros dos coeficientes, El coeficiente de descarga3 variar con la carga * el dimetro del orificio, Sus valores para el agua 1an sido determinados por varios e/perimentadores, En
P5-ina >>


que los de Smit1 * alFer, &o encontraron constancia en el valor de ' ms all de una cierta carga crítica3 aunque para cargas superiores a H pies el coeficiente disminu*ó mu* lentamente, (8ussell3
Diet"o de' o"ificio en *'#%

en *'#

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+,/.

$,+

K J G
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=3J@ =3JHK =3JK@ =3JK= =3JI =3JIK =3JI<

=3JHJ =3JKI =3JIK =3J
=3JH= =3JIJ =3J
$,.+

=3J
-,+

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TABLA -% COEFICIENTES DE DESCAR&A (De 01dd 2 3in#) Diet"o en *'#

V!'o" de C

KRH < KRI I

=3J<<< =3J=G@ =3J=B =3J=BK

TABLA 4% COEFICIENTES DE DESCAR&A (De Med!1#5 2 0on5on) C!"#! en

Diet"o de' o"ificio en *'#

*ie

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-,++

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=3JI@ =3J
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=3J=K =3J=< =3J== =3GB =3GJ

=3J=< =3GG =3GG =3G@ =3GJ

P5-ina >6

-,.+

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B3= <=3=
=3J
=3J= =3J=H =3J=K =3J=K =3J=I =3J=I =3J=B =3J== =3J== =3GG =3GG =3GB =3GB =3GB

=3J== =3GG =3GG =3GB =3GB =3GB =3J=< =3G@ =3GJ =3GJ =3GJ =3G =3G =3G

=3GB =3G@ =3G@ =3GJ =3GJ =3GJ =3G@ =3G =3G =3G =3GH =3GH =3GH =3GH

=3GJ =3G =3G =3G =3G =3G =3G =3GH =3GH =3GH =3GK =3GK =3GK =3GK

=3G =3G =3G =3GH =3GH =3GH =3GH =3GH =3GK =3GK =3GK =3GK =3GK =3GI

2E +E 988#'E22# Segn la 2e* de orricelli3 la ra.ón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede e/presar como el rea 4a5 del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada3 esto es: dv =−av ( 3) dt

sustitu*endo la ecuación (I) en la ecuación (K) dv =−ac √ 2 gh ( 4 ) dt

Si A(1) denota el rea de la sección transversal 1ori.ontal del tanque a la altura 13 aplicando el m-todo del volumen por secciones transversales se obtiene: h

∫

v = A ( h ) dh 0


P5-ina >7


derivando respecto de t * aplicando el teorema fundamental del clculo dv dh = A ( h ) ( 5 ) dt dt

'omparando las ecuaciones (K) * () A ( h )

dh =−ac √ 2 gh dt

Sean 1 la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t3 4a5 el rea del orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque3 g la gravedad3 ' el coeficiente de descarga * A(1) el rea de la sección transversal del tanque, 2a ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es A ( h )

dh =−ac √ 2 gh dt

Esta es una ecuación diferencial de variables separables3 la cual al resolverse h0

sujeta a la condición de conocer la altura inicial

para el tiempo t ? =3

permite obtener la le* de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo, UNIDADES 7 NOTACIONES ELEMENTO A't1"!

NOTACION 5(t)

UNIDADES

Cm

m

3

m

Vo'1en

V(t)

&"!8ed!d

&

981 cm

Tie*o A"e! de O"ificio

T A

e#

A"e! de '! eccion

A(5)

t"!n8e"!' Coefieciente de

C

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/ seg

cm

2

cm

2

3

3

pies

9.81 cm

/ seg

2

e#

P5-ina >8

32 pies

cm

pies

2

cm

2

pies

2

2

/ seg

e#

2

Sin 1nid!de

dec!"#!


2

pies


VII. METODOLIA En la reali.ación de esta investigación fue utili.ado un enfoque cuantitativo que tambi-n es conocido como matemtico3 en el cual su principal característica es la utili.ación de nmeros * la interpretación de un modulo3 todo a*udado por la ecuaciones diferenciales, @,< P89'E+#0#E&9 0E9+929M#'9 En el transcurso * reali.ación de la presente investigación se utili.ó un enfoque metodológico basado en m-todos * t-cnicas cuantitativas en su totalidad, Se aplicaron como instrumento un modulo3 que tiene por supuesto un periodo de prueba3 donde se registraron tiempos e/perimentales para poder comparar con los datos teóricos que se obtendrn a partir del modelo matemtico,

VIII. TIPO DE INVESTIACION •

#nvestigación e/perimental

I#. PROCEDIMIENTO Se tiene en cuenta la @orma y f-ura del tanue2 en nuestro caso

semies@Brico*


P5-ina >9


A ( h )

dh =−av dondev =k √ 2 ghdondek sedeterminara experimentalmente dt

donde F es el coeficiente de descarga comprendido entre = * < ( = > F > <) * la gravedad es g ? G3B< mtRsegI a =area desalida delliquido h =altura relatia de la semiesfera

2as secciones transversales del tanque3 tal * como puede observarse en la "ig, <3 son circunferencias de radio r variable3 dependiendo de la altura a la cual se efecte el corte transversal, 'omo las secciones transversales son circunferencias de radio r3 el rea es A ( h )= π r

2

El radio r deber e/presarse en función de la altura 1, Si se observa el tanque de frente3 como una figura plana3 * se representa en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares3 el resultado se muestra a continuación, 9bserve que de la semicircunferencia se puede e/traer un tringulo rectngulo tal que los catetos miden r * ( B T 1 ) * la 1ipotenusa B (*a que va desde el centro de la semicircunferencia a un punto de la ella),


P5-ina >:


Aplicando el eorema de Pitgoras al tringulo de la "igura anterior, R

2

2

=( R −h ) + x

2

+esarrollando * reempla.ando: R

2

10

x r

2

2

= R −2 R h + h ❑+ x 2

2

2

2

=10 −20 h + h ❑+ x 2

2

2

=20 h− h

2

+onde /? r entonces :

2

=20 h −h

Sustitu*endo la ecuación (K) en la ecuación (I) A(1) ? U (I= 1 T 1I ) Sustitu*endo en el siguiente modelo matemtico: 1

dv d h = π ( 20 h −h2 ) =−ka √ 2 g h 2 dt dt 1

d h π ( 20 h −h ) =− ka √ 2 g h 2 dt 2

π ( 20 h −h

2

)

1

d h =−ka √ 2 g dt

h2 π ( 20 h −h 1

2

)

d h + ka √ 2 g dt =c

h2

#ntegrando ambas ecuaciones:


P5-ina >;


∫

π ( 20 h −h

)

∫ ka √ 2 g dt =c

d h+

1

h

(

2

2

)

3

40 h

5

2

−

3

2h

2

5

π + ka √ 2 g t = c

Evaluando en las condiciones iniciales: t?= * h = R

(

3

40 R 3

) 5

2

−

2 R 5

2

π + ka √ 2 g 0 =c

5

14 R 15

2

=c Entonces el modelo matemtico ser lo siguiente: 40 π h 3

3

5

2

2

−

2π h

14 π 10 15

t =

5

5

+ ka √ 2 g t =

5

3

2

2

−

40 π h 3

14 π 10

2

15

5

+

2πh

2

5

ka √ 2 g

.AL!ES '(E#DS EPE!ME#(ALME#(E : P!UE'AS*

TABLA 1

C!!DA # ?> G cm Gm

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A&A2#S#S +E E8898: Verror ?

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( VT −VE) VT

P8A'#'9 =,K@ =,H =,H= =,HB =,HB P5-ina 6>

∗100

VError G,@V <,=BV J,IV H@,BIV H@,BIV


=,GI

=,KG K,HIV

@,JV

#. CONCLUSIONES •

'onocimos los procedimientos correctos para determinar

las variables *

constantes adecuadas para obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad •

&acional del 'entro del Per, +eterminamos las condiciones para obtener modelos matemticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo dise!ado por los alumnos de la "acultad de #ngeniería $uímica de la %niversidad &acional del 'entro del Per,

#I. REFERENCIA BIBLIORAFICA ,

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1ttp:RRcampus,usal,esRWmodelosmatematicosR0odelos0atematicosRinde/XfilesRrab

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ajoVI=EcVI=+iferencialesVI=enVI=#ngenieria,pdf 1ttp:RRYYY,ing,uc,edu,veRWjpae.R0AK;=JRcontenidosRcontenidoXmaKb=JXtemaKX, pdf


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INFORME VACIADO DE TANQUES

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