Equipo #3 Esperanza Martínez Mariana Guadalupe Martínez Torres Gabriela Julián Aguilar Marcos Gerardo Fecha de elaboración de práctica: 15/Agosto/2013 Fecha de entrega de informe: 29/Agosto/2013
Práctica # 2 “Medidas indirectas y su incertidumbre” RESUMEN. Muchas veces necesitamos saber la densidad, el área y el volumen pero para esto necesitamos medidas exactas para así obtener nuestro resultado de mejor manera, en esta práctica utilizaremos los instrumentos que anteriormente vimos para así obtener nuestros datos. Se realizaron varias mediciones para tener un resultado lo más preciso que se pueda. pueda. Así el valor absoluto absoluto es quizás quizás el más exacto exacto ya que al tener tener varias mediciones se mejora cada vez más la técnica en el manejo de los instrumentos.
OBJETIVOS.
Obtener la densidad de la plastilina, plastili na, y el área y el volumen de unas figuras geométricas. Conocer de manera más clara como afectan las incertidumbres incertidumbr es a las mediciones indirectas i ndirectas realizar los cálculos de la incertidumbre incerti dumbre en las medidas indirectas a partir de la ley de la propagación de la incertidumbre
HIPÓTESIS. Si se realizan medidas directas y se utiliza una ecuación matemática, entonces se podrá obtener una medida indirecta, utilizando la ley de la propagación de la incertidumbre, y utilizando el promedio de los datos, obtendremos las incertidumbres del área, volumen y densidad.
INTRODUCCIÓN. Las medidas indirectas resultan del cálculo cuando una magnitud es una función de una o más medidas directas, es decir, que para este tipo de medidas, se obtiene el valor de la magnitud medida aplicando un modelo matemático que relaciona los valores de otras magnitudes medidas de manera directa con el valor de la magnitud de interés.
Para poder calcular la incertidumbre de las medidas indirectas, es necesario utilizar la ley de la propagación de incertidumbre, y utilizar los promedios de nuestras mediciones para tener la mejor medida. La ley de propagación de la incertidumbre nos dice que tanto las medias dependientes la situación siempre será desfavorable debido al rango de error en las mediciones, mientras que las independientes se utiliza una fórmula de propagación dependiendo de qué datos se generen. Las cifras significativas son otro punto importante dentro de las mediciones es común que sólo lleve dos cifras significativas. Una vez que se redondea la incertidumbre el resultado total se redondea para quede con el mismo número de cifras decimales. Para esto es necesario expresar correctamente que unidades son porque se podría afectar considerablemente el resultado de dichas formulas. Es necesario hacer varias mediciones para tener un promedio cabe recordar que el uso de varias medidas nos ayuda al valor de dispersión el cual nos dice que s con 3 medidas el porcentaje es menor de 6 no necesitamos más pero si este es mayor necesitamos al menos 8 mediciones totales para un valor de dispersión correcto.
DESARROLLO EXPERIMENTAL.
INSTRUMENTOS: o o o o
Probeta graduada Balanza OHAUS Regla (30 cm) Vernier analógico
MATERIALES: Papel absorbente Papel glossy Figuras geométricas plástico (2) Plastilina AGUA o o o o o
TABLA DE CARACTERÍSTICAS DE LOS INSTRUMENTOS INSTRUMENTOS
CAPACIDAD MINIMA
CAPACIDAD MÁXIMA
RESOLUCI N
INCERTIDUMBRE
MARCA
N MERO DE INVENTARIO
PROBETA GRADUADA
3mL
50mL
1mL
±0.05mL
KIMAX
BALANZA OHAUS
0.01g
310g
0.01g
±0.01g
OHAUS
1672880
REGLA DE 30 cm
0.1cm
30cm
0.1cm
±0.05cm
PILOT
L.F/FQ/UNAM
VERIER ANÁLÓGICO
0.005cm
15.485cm
0.001cm
±0.005cm
MITUTOYO
LF131F7.2CVM02.05
PROCEDIMIENTO. 1.- Seleccionar dos figuras geométricas y medir las longitudes correspondientes para determinar volumen y área. 2.- Tomar un trozo de plastilina, pesarlo y sumergirlo en agua para así determinar su densidad, en este caso se utilizara una probeta y una balanza para así obtener sus medidas directas. 3.- Construir una tabla de valores con al menos tres mediciones experimentales de cada variable o dimensión. 4.- Expresar cada incertidumbre (área, volumen y densidad) incluyendo claro está la incertidumbre del instrumento. 5- Obtener la expresión de la medida indirecta.
DATOS Y RESULTADOS TABLA 1.1 MEDID S DIRECTAS TOMADAS CON EL VE NIER PARA OB ENER EL REA DE UN TRIÁNGULO DATOS DE CALIBRADOR VERNIER
Mensurando
a"tura de un tri#ngu"o ase de" tri#ngu"o
incertidumre de" instrumento '%''1cm
Longitud 1 (L1) medida 1 (cm)
Longitud 1 (L1) medida (cm)
Longitud 1 (L1) medida ! (cm)
Longitud 1 (L1) ,romedio (cm)
$%&1'
$%&1
$%&1'
$%&1
*%*1'
*%*1'
*%*1
*%*1
Intera"o de a"id23 de "a medida
E-,resi.n de "a medida
cota in4erior
nidades
cota su,erior
,romedio
s/mo"o
incertidumre
(
$%&1
0
'%''1
)
cm
(
$%&11
5
$%&1!
)
(
*%*1
0
'%''1
)
cm
(
*%*11
5
*%*1!
)
TABLA 1.2 MEDI AS DIRECTAS TOMADAS CON LA R GLA PARA OB ENER EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO
DATOS RE+LA
incertidumre de" instrumento '%' cm
Intera"o de a"id23 de "a medida
E-,resi.n de "a medida Mensurando
a"tura de un tri#ngu"o ase de un tri#ngu"o
Longitud 1 (L1) medida 1 (cm)
Longitud 1 (L1) medida (cm)
Longitud 1 (L1) medida ! (cm)
Longitud 1 (L1) ,romedio (cm)
$%&
$%&
$%&
$%&
*%*
*%*
*%*
*%*
cota in4erior
nidades
cota su,erior
,romedio
s/mo"o
incertidumre
(
$%&
0
'%'
)
cm
(
$%&
5
$%6
)
(
*%*
0
'%'
)
cm
(
*%*
,
1'%'
)
A partir de estos resultados (tablas 1.1 y 1.2) se obtiene el área del triángulo (medida indirecta) -Ecuación a utilizar:
= .
datos tomados con vernier
datos tomados con regla
Promedio: 22.846 cm
Promedio: 22.8 cm
= . . =. = . . =. = . . =.
= . . =. = . . =. = . . =.
-Para obtener la incertidumbre de la medida:
= .
Siendo A (b, h) (b y h variables) se realiza:
=
y
=
∆= ∆ ∆! ∆=∆!="#.##$%& '()( *+ ,*)-*) / #.#0%& '()( +( )*1+( Donde:
VERNIER
REGLA
7.7$0%& 4. 5 $6%& 2 ∆= 367.7$0%& #.##$%&8 364.5$6%& #.##$%&8
7.7%& 4. 5 %& 2 ∆= 367.7%& #.#0%&8 364.5%& #.#0%&8
A= 0.001cm (22.846± 0.001)cm
A= 0.5 cm (22.8± 0.5)cm
∆
∆
Tabla 2.1 Medidas dir ctas tomadas con un vernier para obtener el volumen de un cono
DATOS DE CALIBRADOR VERNIER
incertidumre de" instrumento '%''1 cm
Intera"o de e"id23 de "a medida
E-,resi.n de "a medida Longitud 1 (L1) medida 1 (cm)
Longitud 1 (L1) medida (cm)
Longitud 1 (L1) medida ! (cm)
ongitud 1 (L1) ,romedio (cm)
a"tura de un cono
6%$'
6%$'
6%$6'
6%$$6
di#metro de" cono
!%*!'
!%*1'
!%*'
!%*'
Mensurando
cota in4erior
unidades
cota su,erior
,romedio
s/mo"o
incertidumre
(
6%$$6
0
'%''1
)
mm
(
6%$$&
5
6%$$7
)
(
!%*'
0
'%''1
)
mm
(
!%*1*
5
!%*1
)
Tabla 2.2 Medidas dir ctas tomadas con una regla para obt ner el volumen de un cono
DATOS RE+LA
incertidumre de" instrumento '%' cm
Intera"o de a"id23 de "a medida
E-,resi.n de "a medida Longitud 1 (L1) medida 1 (cm)
Longitud 1 (L1) medida (cm)
Longitud 1 (L1) medida ! (cm)
Longitud 1 L1) medida ,romedio (cm)
a"tura de un cono
6%$
6%$
6%$
6%$
di#metro de" cono
!%*
!%*
!%*
!%*
Mensurando
cota in4erior
unidad
cota su,erior
,romedio
s/mo"o
incertidumre
(
6%$
0
'%'
)
cm
(
6%$
5
6%
)
(
!%*
0
'%'
)
cm
(
!%*
5
$%'
)
A partir de estos resultados (tablas 2.1 y 2.2) se obtiene el volumen del cono (medida indirecta)
9= :;
-Ecuación a utilizar:
datos tomados con vernier
datos tomados con regla
9= :.<. =.%& 9= :.<. =.
9= :.<.
Promedio: 29.958
= 30.051
9= :.<. =.< :. 9= <. =.< :. 9= <. =.<
Promedio: 29.5
-Para obtener la incertidumbre de la medida:
9= :; >? = A@ !6B= @C !B
Siendo V (D, h) (D y h variables) se realiza: y
> = A@ B
∆D= ?> ∆B > ∆! ∆B=∆!="#.##$%& '()( *+ ,*)-*) / #.#0%& '()( +( )*1+( Donde:
VERNIER
REGLA
@G.7G#%& @G.7%& 7 G#%& @F. 4 %&G. 7 %& 2 ∆D= 2 E@F.40#%&G. # . # #$%&H 3 #. # #$%&8 ∆= E #. # 0%&H 3 #. # 0%&8 5 $6 5 $6 V= 0.015 %& V= 0.8 %& (29.958± 0.015) %& (29.5± 0.8) %& ∆
∆
Tabla 3.1 Medidas directas para calcular la densidad.
medidas ,ara ca"cu"ar "a densidad
incertidumre de "a a"an3a '%'1g Intera"o de a"id23 de "a medida
E-,resi.n de "a medida masa1 (m1) medida 1 (g)
masa1 (m1) medida (g)
masa de "a ,"asti"ina
!%&
Mensurando
Mensurando
o"umen de agua
masa1 (m1) medida ! (g)
masa1 (m1) ,romedio (g)
!%$!
!%$1
!%$*
masa1 (m1) medida 1 (g)
masa1 (m1) medida (g)
masa1 (m1) medida ! (g)
masa1 (m1) ,romedio (g)
,romedio
(
s/mo"o
!%$*
incertidumre
0
'%'1
cota in4erior
unidad
)
g
(
(
s/mo"o
incertidumre
0
'%
cota in4erior
unidad
)
mL
(
incertidumre de "a ,roeta '% mL
A partir de estos resultados (tablas 3.1) se obtiene la densidad (medida indirecta) -Ecuación a utilizar:
I= JK
densidades
L= .NM =. NM =MON L= .NM =. < NM =MON L= .NM =. < NM = MON
Promedio: 2 g/mL
-Para obtener la incertidumbre de la medida:
P= JK
Siendo (m, v) (m y v variables) se realiza:
5
!%
)
Intera"o de a"id23 de "a medida
E-,resi.n de "a medida
,romedio
!%$7
cota su,erior
1%
cota su,erior
5
%
)
QJ = >A
∆,= ∆&=
y
∆D= >Q ∆D JQ ∆&
Q> = KJR Donde:
±0.5mL incertidumbre de la probeta graduada ±0.5 g incertidumbre de la balanza granataria densidad
G.471 #.0 &S8 36&S$ #.#018 ∆D= 2 36&S V= 0.4 g/mL (2± 0.4) g/mL
∆
ANALISIS DE DATOS.Mediante nuestras medidas directas pudimos obtener las medidas indirectas a partir de ecuaciones matemáticas y la incertidumbre de estas medidas indirectas con la ayuda de las derivadas parciales. Pudimos calcular la incertidumbre del volumen del cono, el área de un triángulo, y la densidad de la plastilina. Si bien, los instrumentos que utilizamos ya nos indican una incertidumbre, ésta solo es de las medidas directas, así que el cálculo de la incertidumbre de una medida indirecta, requiere medidas directas promediadas para una mayor exactitud. Nuevamente podemos observar la exactitud de cada instrumento, sin embargo, uno podría pensar que al realizar 3 medidas del mismo mensurando deberían ser iguales; como podemos observar en las tablas de las medidas directas, las medidas varían un poco entre sí, pues se midió el mismo mensurando pero en diferentes sitios, de tal manera que se puede concluir que las figuras geométricas que el equipo midió, eran irregulares. Es importante poner mucha atención en las lecturas de las medidas, pues si no se leen correctamente los instrumentos, nuestra medida indirecta estará incorrecta.
CONCLUSIONES.-Esperanza Martínez Mariana Guadalupe Una vez realizados los ejercicios, aprendimos en la práctica #1 que existen instrumentos mejores que otros, ya que medir con una regla de 30cm no es lo mismo que medir con un vernier.
También aprendimos, cómo se obtienen las medidas indirectas a partir de las directas con cálculos matemáticos que realmente no necesitan mucho desarrollo. Con todo esto, nos percatamos que los conocimientos previos son muy necesarios para su mejor comprensión. Martínez Torres Gabriela Se cumplieron todos los objetivos planteados en esta práctica, es necesario, para realizar medidas precisas, especificar el mensurando de las medidas directas y en que partes de ese mensurando se tomó la medida, pues eso debe tomarse en cuenta para la obtención de la incertidumbre de las medidas indirectas, en nuestro caso, el cono estaba astillado de la base así que en las medidas de el diámetro tuvimos variabilidad de datos. En el caso de los cálculos es importante, si la ecuación matemática esta expresada con medidas indirectas, cambiarlas a términos de medidas directas, como es el caso del diámetro en el cono, en la ecuación matemática indica el radio, sería fácil dividir entre dos el diámetro, sin embargo, estaríamos reportando un dato que no tomamos. -Julián Aguilar Marcos Gerardo Con esta serie de experimentos, pudimos ver que las medidas que se hagan, cambian aunque sea un poco de acuerdo al instrumento que se esté usando, esto gracias a la distinta resolución que tienen los diversos instrumentos, tal es el caso de la regla de 30 cm y el Vernier pues, el segundo da medidas más precisas de lo que se necesita. De acuerdo con la incertidumbre que se tiene en medidas indirectas se pudo ver que está ligada con la incertidumbre de los instrumentos usados para las medidas directas, sin embargo, a pesar de que se podría pensar que las incertidumbres en medidas indirectas serían más altas que las de las medidas directas, lo cierto es que son muy similares unas de otras y no representan un aumento significativo de incertidumbre (al menos no muy grande).
BIBLIOGRAFÍA.Pallás R. “Instrumentos electrónicos básicos”, Marcombo, 2006, pp.(13,33)
