ONDAS ESTACIONARIAS PATRONES NATURALES DE UNA CUERDA Franky Anaya, David Montenegro, Carlos Barraza, Gissell Quintero Grupo de laboratorio, Física II, Universidad del Magdalena
Abstract This p hysically
experiment has like finality to observe t he be havior of a standing , in t he case of a string more specifically. By transmitting a certain frequency to t he object, t his will range giving way to t he formation of spindles and nodes, being t he second point t hat remains motionless. Standing waves aren´t propagating waves, so t hey are the modes of vibration of an air tube, rope, etc. Resumen Esta experiencia física tiene como fin observar el comportamiento de una onda estacionaria, en el caso de una cuerda más específicamente. Al transmitir cierta frecuencia al objeto, este oscilará dándole paso a la formación de husos y nodos, siendo los segundos puntos que permanecen inmóviles. Las ondas estacionarias no son ondas de propagación, sino los distintos modos de vibración de un tubo con aire, una cuerda, etc.
1. INTRODUCCIÓN Dentro del estudio de oscilaciones, está presente el caso de las ondas estacionarias. Para el desarrollo de la práctica, ya anteriormente se conocía un concepto general del tema, y sus aplicaciones en el diario vivir. La experiencia se basó en observar el número de husos que se formaban, a medida que aumentaba la frecuencia transmitida a la cuerda. El fin era establecer este valor según el patrón de nodos requeridos. 2. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL: Analizar el comportamiento de las ondas estacionarias. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Identificar ante que condicione es posible originar este tipo de ondas. Determinar las características de las ondas estacionarias. Relacionar los conceptos de frecuencia, longitud de onda y longitud del objeto.
3.
MARCO TEÓRICO La figura muestra una cuerda fija en su extremo izquierdo. El extremo derec ho se sube y baja en movimiento armónico simple para producir una onda que viaja a la izquierda, la onda reflejada viaja a la derec ha. El movimiento resultante cuando las dos ondas se combinan ya no parecen dos ondas que viajan en direcciones opuestas. La cuerda parece subdividirse en segmentos.
El patrón de la onda permanece en la misma posición de la cuerda, y su amplitud fluctúa. Hay ciertos puntos llamados nodos que nunca se mueven. A la mitad de camino entre los nodos hay puntos llamados antinodos donde la amplitud del movimiento es máxima. Dado que el patrón no parece estarse moviendo a lo largo de la cuerda, se denomina onda estacionaria. El principio de superposición explica como la onda incidente y la reflejada se combinan para formar una onda estacionaria. En la figura, las curvas rojas indican una onda que viaja a la izquierda. Las curvas azules muestran una onda que viaja a la derec ha con la misma rapidez de propagación, longitud de onda y amplitud. En ciertos instantes, como t = 4 T/16, los dos patrones de onda están exactamente en fase, y la forma de la cuerda es una curva senoidal con el doble de amplitud que las ondas individuales. En otros instantes, como t = 8 T/16, las dos ondas están están totalmente desfasadas y la onda total en ese instante es cero. Para el entendimiento de la experiencia, se presentan las siguientes definiciones: * Ondas Estacionarias: Son aquellas ondas que se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza e igual amplitud, longitud de onda y frecuencia que avanzan en sentido opuesto en un medio. * Frecuencia de una Onda Estacionaria: En las ondas estacionarias la frecuencia dependen de un par de factores que son fundamentales, la longitud y la tensión en la cuerda. Se forman nodos en x = 0 y x = L, sabiendo que lacuerda tiene una longitud L. La longitud de la onda esta dada por la ecuación: Donde L es la longitud de la cuerda y n es el modo en el que se encuentra la onda. * Empleamos la relación entre la longitud de onda y la frecuencia con la velocidad de propagación. Para esto empleamos . Con esto sabemos que la frecuencia esta relacionada con la velocidad de propagación y también con la longitud de la onda.
Con esto podemos sustituir la velocidad de onda que depende de su tensión y su coeficiente dando la siguiente ecuación
4.
Procedimiento Experimental
1. En primer lugar, se realizó el montaje del sistema. Se conectó el generador de funciones
digitales al generador de ondas mecánicas. 2. En el extremo derec ho de la cuerda, se colocaron pesas que permitieran la vibración en su modo fundamental. 3. Se ajustó la cantidad de masa necesaria, hasta que los nodos de cada extremos estuvieran definidos. 4. Se fue incrementando la frecuencia, para encontrar la formación de un solo huso hasta la formación de cinco husos.
5.En cada caso, se tomaron los valores respectivos sobre la frecuencia.
,
4.1
Datos obtenidos
Los datos tomados durante la experiencia fueron: Longitud de la cuerda = Masa de las pesas = FRECUENCI A (Herz) 19.3 38.2 57.3 79.4 97.9
NÚMERO DE HUSOS 1
2 3 4 5
Para calcular la densidad lineal de la cuerda (
), primero que todo, partimos de la ecuación:
, despejamos nos queda La tensión y la longitud de la cuerda durante el experimento fueron las mismas, así que los valores que varían en el cálculo son la frecuencia, la densidad lineal y el número de husos. 5. Analisis y discusión de resultados Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como en el caso presente de la cuerda, se producen reflexiones en ambos extremos, y por consiguiente, existen ondas que se mueven en los dos sentidos que se combinan de acuerdo con el principio de superposición. Dependiendo de la frecuencia, la superposición dará paso a un patrón de vibración estacionario denominado onda estacionaria. Estas frecuencias son llamadas frecuencias de resonancia del sistema de la cuerda. Cada una de estas frecuencias y la longitud de onda que la acompaña se llama modo de vibración. La frecuencia de resonancia más baja se denomina frecuencia fundamental f 1 y produce un primer patrón de ondas estacionarias. La segunda frecuencia más baja f2 produce un segundo armónico. El conjunto de todas las frecuencias resonantes de la cuerda se denomina espectro de frecuencias de resonancia. Mediante la siguiente grá.ca, se muestran los patrones estacionarios de la cuerda. Preguntas: 1. ¿Qué tiene que ver el fenómeno de resonancia con las frecuencias de vibración de la cuerda?
Explique. La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración
característico de dic ho cuerpo. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, presentándose una situación de resonancia. Ya una vez establecida la velocidad de propagación o la la tensión de la cuerda, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda. 2. ¿Cuál es el modelo matemático que mejor relaciona las frecuencias y el # de husos? Encuentre ésta relación e interprétela. ¿Qué concluye? La ecuación , es la que mejor relaciona la frecuencia con el número de husos. La gráfica es una línea recta, cuya pendiente es:
La pendiente es la frecuencia en estado fundamental, esto quiere decir que las frecuencias posteriores siempre van a ser mayores que la fundamental. Si nos basamos en la ecuación, deducimos que el número de husos que se formaran en la cuerda, aumentaran junto con el valor de la frecuencia.
3. ¿En la formula de las cuerdas,
que significado físico tiene n?
En el experimento realizado, los valores de la tensión y la densidad lineal fueron constantes, se trabajó sin variación alguna. A hora bien, nuestra observación se basó en la diferencia de frecuencia, con respecto a la formación de husos en la cuerda. Matemáticamente, esto se puede expresar: Cuando . Esto quiere decir, que en la longitud de la cuerda, se presenta media longitud de onda. Cuando . En este caso, tenemos presente una longitud de onda en la cuerda. Y de igual manera se deduce en los demás casos. n, nos permite identificar las longitudes de ondas presentes en la cuerda, teniendo en cuenta que a medida que la frecuencia aumenta, la vibración transmitida a la cuerda también lo hará, viéndose reflejado en la onda estacionaria resultante. 4. ¿Qué sucede con la rapidez de una onda en una cuerda tensa cuando se duplica la frecuencia? Supóngase que la tensión en la cuerda permanece igual. Por la ecuación:
Vemos, que la rapidez no depende de la frecuencia, sino de la tensión. Al ser constante la tensión, no habrá variación en la velocidad de propagación de la onda. También podemos hacer la analogía
con la onda senoidal, donde la velocidad solo depende del factor fuerza, dividido entre el factor masa, que en este caso corresponde a la densidad lineal. No influye la frecuencia de la onda respecto a la velocidad con que se propague, puesto que es la misma. 5. ¿Qué ocurre con la longitud de onda en una cuerda tensa cuando se duplica la frecuencia? Supóngase que la tensión en la cuerda permanece igual. La ecuación de frecuencia de una onda es:
Se observa que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda. De manera que si la frecuencia se duplica, la longitud de onda se reducirá a la mitad.
6.
Conclusiones
De la práctica realizada durante el laboratorio, sobre las ondas estacionarias en una cuerda tensa, se destacan las siguientes afirmaciones que refuerzan el concepto general que se tiene del tema y concluyen el informe: - Las ondas estacionarias son el resultado de una superposición de ondas transversales al reflejarse, ya que el extremo del medio donde se propagan, es fijo. - En el caso de una onda estacionaria, el patrón de onda no se mueve, sino las partículas de la cuerda. - En caso de que la tensión sea un valor constante, su longitud de onda dependerá inversamente de la frecuencia aplicada, es decir, el número de husos aumenta con la frecuencia. 7. Referencias Física para la ciencia y la tecnología. Volumen 1B, Oscilaciones y ondas. Editorial RE VERTÉ (2003) Física Universitaria. Sears y Zemansky. Undécima Edición, Vol 1. Editorial Pearson Otros: http://es.wikipedia.org /wiki/Resonancia_(mec%C3%A 1nica) http://www.sc.ehu.es/ sbweb/.sica/ondas/estacionarias /estacionarias. html