CALCULO EXPERIMENTAL DE PI (π) Diana Bravo, Cristina Luna, Natalia Valencia Departamento de Física, Universidad del Valle 16 de Septiembre de 2015 Resumen. Se realizaron mediciones experimentales del número π. Se mide el diámetro y el perímetro de cinco círculos de diferentes tamaños. Se obtiene un promedio de dichas mediciones 3.15 ± 0.03, que se compara con el valor aceptado de π, concluyendo que tan exactos y precisos fueron nuestras mediciones. Palabras clave: Promedio, Valor π, Diámetro, Perímetro.
INTRODUCCIÓN Desde la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan solo desde el siglo XVII la correlación se convirtióó́ en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo). π = P/d
(1)
El número π es la constante que relaciona el perímetro P de una circunferencia con la longitud de su diámetro D. A lo largo de la historia se le ha designado a pi (π) diversas cantidades; En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3.1; y en China 3.1724. Sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzóó́ a consolidarse y fue Arquímedes quien reúne y amplía estos resultados probando que el área de un círculo es la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3.14084 y 3.14285. [1] Sin embargo basándonos en la figura de Gödel, nos dice que probablemente nunca consigamos encontrar el número exacto de pi (π) debido a sus infinitas cifras decimales. [2] El propósito del presente laboratorio es realizar mediciones de diámetros y perímetros de diferentes tamaños de círculos y obtener de forma experimental el valor de pi (π) y compararlo con el valor aceptado de la universidad del valle de 3.1416. [3] PROCEDIMIENTO Para realizar la medición experimental del valor de pi (π) se utilizaron dos instrumentos de medición: pie de rey de marca Scala® y un metro, además 5 círculos de diferente tamaño. (Figura 1) Se toma cada círculo y se realiza la medición de su diámetro con el pie de rey cuya escala más pequeña es en milímetros (0.05 mm) y a continuación se mide el perímetro del mismo con el metro cuya escala más pequeña es de milímetros (1 mm). Los datos obtenidos se registran en una tabla de valores para realizar el cálculo experimental de pi (π). (Tabla 1).
Fig. 1. Montaje experimental. Consta de: 1-Circuferencias de madera (diferente tamaño), 2-Metro, 3-Pie de Rey marca Scala®.
Tabla 1. Datos del diámetro y el perímetro de las circunferencias.
Círculo s 1 2 3 4 5
Perímetro (P) [±1mm] 39.9 59.3 81.7 99.3 119.8
Diámetro (d) [±0.05mm] 127 188 254 314 375
RESULTADOS Se obtiene el pi (π) experimental de cada uno de los círculos utilizando la ecuación (1), π = P/d con los valores obtenidos en cada medición completando de este modo la tabla número 2. Tabla 2. Valores promedio de las circunferencias
Perímetro/Diámetr o π=P/d 3.18 3.17 3.11 3.16 3.13
El cual se obtiene un promedio general:
π =3.15 ± 0.03 Podemos inferir que el valor promedio de se encuentra muy cercano al valor aceptado de pi (π) por la universidad del valle de 3.1416, con un error relativo de 0.26% y una incertidumbre relativa de 1.0%. Otro método para obtener el valor pi (π) experimental es graficar el perímetro como función del diámetro. La ecuación (1) muestra una relación entre el perímetro y el diámetro es directamente proporcional, esto significa que una gráfica del perímetro en función del diámetro deberá ser lineal, como se muestra en la Fig 2 al gráficas los datos de la tabla 1. 400
resultado fue muy exacto; además con este método la incertidumbre relativa fue baja, indicando que las mediciones se realizaron con muy buena precisión. El grado de ajuste lineal de l % nos enseña que las variables siguen muy bien el modelo escogido, lo cual se puede visualizar en la figura 2. Para disminuir aún más los errores sistemáticos y aleatorios, se pueden implementar mejorías en la calidad de los instrumentos de medida al igual que en los objetos medidos. CONCLUSIONES Mediante el procedimiento utilizado para estudiar el valor experimental de pi (π), fue posible obtener un valor pi experimental de 3.11 ± 0.04. El resultado obtenido es bueno, a pesar de los factores que pueden influir como son la veracidad de interpretar las medidas y la mala calidad tanto del instrumento de medición como de los objetos medidos.
300
P(mm) 200 100 0 20
REFERENCIAS 40
60
80 100 120 140
D(mm)
Fig. 2. Perímetro de los círculos como función del diámetro.
La pendiente obtenida de esta linealización es:
m=3.11 ± 0.04 Este resultado difiere del valor aceptado para pi (π) por la universidad el valle. Con un error relativo de 0.3 % y presenta una incertidumbre de 0.9%.
[1] UNIVERSIDAD NACIONAL DE MÉXICO. Historias matemáticas. [citado en 11 de septiembre de 2015]. [2] JOAQUÍN NAVARRO, Los Secretos del Número π, 1ª Ed. España RBA. 2011. [3] BELTRÁN C.L., TABARES J.A., Guía de Experimentación en Física para ciencias de la salud. Universidad del Valle, Facultad de Ciencias Naturales y Exactas, Departamento de Física. Cali. 2011.
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
ANEXO Para el cálculo del error relativo
Aunque la ecuación (1) solo tiene en cuenta medidas como el diámetro y el perímetro, ignora otros factores influyentes como la mala definición de la circunferencia que será medida (error aleatorio), el deterioro y mala calidad del instrumento de medición (error sistemático), la veracidad del experimentalista al observar los objetos de medición y dar una medida (error sistemático), el resultado fue satisfactorio.
para la incertidumbre ×100 , X Aceptado Δx ×100 , relativa para el cálculo del promedio x N 1 ͞x = y para el cálculo de la desviación xi ∑ N i=1
El segundo método es más confiable para obtener el valor experimental de pi (π) dado el bajo error relativo, es decir el
estándar
|X Aceptado −X Medido|
Δ�=��−1=
√
N
1 (xi−͞ x )2 . ∑ N −1 i=1
