informe laboratorio de pi por andres94ortiz | buenastareas.com
MANEJO DE DATOS DE UNA MEDICION Andrés Felipe Felipe Ortiz, Isabel Isabel Cristina Paredes, Paredes, Paola Muelas Muelas Departamento de Física, Universidad del Valle 27 de febrero de 2015 Resumen. Se estudió experimentalmente 5 círculos en madeflex. Midiendo los círculos de diferentes medidas, se calculó el perímetro y el diámetro, con los cuales se obtuvo el valor del número π que es 3,16 +-0,18. + -0,18. Palabras clave: π (pi), perímetro, diámetro, círculo.
INTRODUCCIÓN Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante[1], la notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφÎρεια 'periferia' y περίμετρον perímetro' de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés William Jones (1675-1749); aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. [2]
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia (perímetro "P") y su diámetro "d", en geometría euclidiana. Es un número irracional por lo tanto es un número que posee infinitas cifras decimales no periódicas y es una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. Y se calcula con la formula. [3] π= P/d(1)
El propósito del presente laboratorio es hallar el número π (pi), obtenido de va lores de los diámetros y perímetros de los diferentes círculos, y compararlo con el valor aceptado mundialmente de 3.141592...[4]
PROCEDIMIENTO Para hallar los valores de perímetro y diámetro de los diferentes círculos en madeflex proporcionados en el laboratorio, se utilizaron dos instrumentos de medición: el metro y el calibrador (también llamado pie de rey), cuya escala más pequeña de cada instrumento es de (1.0 mm) y (0.05 mm) respectivamente (fig.1). Se procedió a tomar cada círculo, de mayor a menor tamaño, en donde el diámetro fue medido con el calibrador, ubicando sus extremos, justo sobre las marcadas en su periferia,
que nos indicaba exactamente el segmento de recta que pasa por el centro de dicho circulo. Debemos tener en cuenta, Que para la lectura de la medición, el calibrador consta de una regla y una reglilla, las cuales una es fija y la otra es móvil, por lo tanto, para medir la longitud de un objeto se hace coincidir el 0 de la regla con un extremo de la longitud a determinar y se desplaza la reglilla hasta que el 0 (de la reglilla) coincida con el otro extremo. Para determinar el perímetro, se utilizó el metro, en donde dicho instrumento se estiro sobre la mesa de manera fija; al círculo se le trazo una línea en su centro que nos sirvió como guía para larealización de la medida. El círculo se ubicó en el 0 del metro, en donde se había trazado un punto indicándonos que era su mitad, luego, se hizo rodar el circulo hasta que llegara al mismo punto donde había empezado, es decir al llegar a la punto guía que se marcó. De esta manera, realizamos la medida de los 5 círculos, determinando su diámetro y perímetro, dado en unidades de milímetro. Tabla 1. Medidas de Diámetro (d) y Perímetro (P) con su respectiva incertidumbre. # d (mm) P (mm) 5 119 ±0.05 375
± 1.0 4 90.75 ±0.05 314 ± 1.0 3 79.50 ±0.05 244 ± 1.0 2 59.35 ±0.05 181 ± 1.0 1 39.70 ±0.05 121 ± 1.0 Luego de que obtuviéramos los valores de diámetro y perímetro, necesitábamos hallar π (pi), utilizando la formula (1) y hallando los valores de incertidumbre de dicho valor, de la siguiente manera: (2) Se realizó este procedimiento con cada uno de los círculos.
Fig. 1. Instrumentos de medición y objetos de estudio.
RESULTADOS Luego de haber obtenido los datos registrados en la tabla 1, mediante la ecuación (2), hallamos
el número π (pi) y su incertidumbre, en la tabla 2. Tabla 2. Valores calculados: número π (pi), y su incertidumbre. # P/d 5 3.15 0.01 4 3.46 0.01 3 3.07 0.01 2 3.05 0.02 1 3.05 0.03
Luego de conocer los resultados de la tabla 2, hallamos tanto el promedio de los datos finales de π (pi), y el promedio de la incertidumbre,obteniendo: Promedio de Datos = 3.16 Incertidumbre = ± 0.18 π = 3.16 ± 0.18 Otro método para obtener los valores del número π, fue gra ficando los valores de diámetro y perímetro respectivamente, como lo vemos en la figura 2.
Fig. 2. Gráfica del número π
Esto significa que una gráfica de la altura en función del cuadrado del tiempo deberá ser lineal, como se muestra en la Fig. 3.
Fig. 3. Altura del balín como función de .
La pendiente y la correlación obtenidas de esta linealización son: (3) Al finalizar la recolección de datos, realizamos una comparación entre la exactitud y la precisión de dichos datos, utilizando las siguientes ecuaciones: Error relativo = (4) Incertidumbre relativa = (5) Por lo tanto, = lo cual nos indica la precisión de los datos. = 5.6 nos indica la exactitud de los datos.
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS Aunque la ecuación (2) solo tiene en cuenta la fuerza del peso del balín, ignorando otros factores influyentes como es la fuerza de fricción con el aire, la variación de la gravedad con la atura o el tiempo de reacción del experimentalista, el resultado fue satisfactorio. El segundo método es más confiable para obtener el valor de la gravedad dado el bajo error relativo. Con este método la incertidumbre relativa del 0.4% en el resultado obtenido muestra que las mediciones serealizaron con buena precisión. El grado de ajuste lineal del 99.98% nos enseña que las variables siguen muy bien el modelo escogido. Esto también se puede visualizar en la Fig. 3. Para disminuir aún más los errores sistemáticos se puede implementar un sistema de fotoceldas que activen el cronómetro automáticamente y un dispositivo que genere vacío hasta
reducir la resistencia del aire.
CONCLUSIONES Mediante el procedimiento utilizado para calcular π (pi) utilizando circulos de diferente perimetro y diametro, fue posible obtener el numero π (pi) 3,16 + -0,18 obtenido con el primer metodo y π (pi) con el segundo metodo. El resultado obtenido es bueno, a pesar de los factores que pueden influir como son el tiempo de reacción del experimentalista o el no tener en cuenta la resistencia del aire.
REFERENCIAS [1] UNIVERSIDAD DE MURCIA. Euclides. [citado en 20 de febrero de 2015].
[2] UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA.Simulacion del numero PI. [citado en 20 de febrero de 2015].
[3] WIKIPEDIA Numero PI. [citado en 20 de febrero de 2015]. [4] PEÑA D., ZUÑIGA O. Experimentación Física I. Departamento de Física. Universidad del Valle. 2003.
ANEXO Para calcular la pendiente con su incertidumbre y el coeficiente de correlación , se utilizó el método de mínimos cuadrados. El grado de ajuste se calculó mediante la relación . Para el cálculo del error relativo y para la incertidumbre relativa .
