UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA INGENIERÍA CIVIL-IV CICLO
ANALISIS MATEMATICO III
UNIVERSISDAD NACIONAL DE CAJAMARCA SEDE – JAÉN JAÉN Facultad De Ingeniería E s cuela cuela A cadém cadémicaica-P P rofesi onal onal de ing . C ivil
CICLO:
IV
ASIGNATURA: Análisis Matemático III
TEMA: Aplicaciones físicas y el Teorema Pappus-guldin en Integrales Doble.
DOCENTE: Lic. Eladio, Sánchez Culqui
RESPONSABLE: Torres Silva Lesly Natali.
Jaén – Perú 2018
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OBJETIVOS GNERALES
Definir y demostrar las fórmulas que se encuentran en las aplicaciones a la física y el teorema de Pappus en integrales dobles.
OBJETIVOS ESPECIFICOS Definir
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APLICACIONES A LA FÍSICA EN INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. Para calcular estas aplicaciones consideremos una lámina D, dividida en sub rectángulos Dij, tal como se muestra en la siguiente figura:
1. MASA DE UNA LÁMINA Sea L una lámina plana cuya forma está dada por la región D del plano bidimensional, de densidad variable. Sea
,
la densidad variable de la
lámina en el punto (x, y).En caso que ρ(x, y) sea constante (todos los puntos de la región D tengan la misma densidad) entonces decimos que la lámina es homogénea.
: →
Es una función continua sobre D
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La masa de la lámina L de densidad ρ(x, y) está dada por: Sabemos que masa vine a ser partir de esta fórmula:
á ∗ ∗ Demostración: Empecemos solo con una parte de la región D es decir una de sus partición tanto para x como a y.
∆ ∆ ∗∆ (,)∗∆ ≈∑∑(,)∗∆
= = ||∆||→ lim ∑∑(,)∗∆ = =
Aplicando la suma de Riemamm
ρx,ydxdy 2. MOMENTO DE MASA El momento estático es también llamado el primer momento que se calcula por la masa de la lámina multiplicada por la distancia, ya que esta será desde la región D hasta el eje de giro.
∗ ∗
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Demostración:
∗( , )∗∆ ≈∑∑ ∗(,)∗∆ = =
||∆||→ lim ∑∑ ∗(,)∗∆ = =
Momento con respecto al eje y
x∗ρx,ydxdy D
asi con el mismo proceso se hallara los siguientes momentos: Momento con respecto al eje x
y∗ρx,ydxdy D
Momento con respecto al origen
2 2 ∗ρx,ydxdy D
OBSERVACIÓN: Consideremos en el plano XY la lámina D que tiene una densidad continua
: →
, entonces los primeros momentos
,
de D respecto a las
rectas x = a, y = b, están dadas respectivamente por:
, D
, D
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3. CENTRO DE MASA
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:,
Definimos el centro de gravedad o centro de masa de la lámina como el punto (x, y) determinado por las fórmulas:
y dxdy ∬∬x∗ρx, ρx,ydxdy
y dxdy ∬∬y∗ρx, ρx,ydxdy
4. MOMENTO DE INERCIA DE UNA LÁMINA El momento de inercia se trata del segundo momento de una lámina de región
D, ahora consideremos la lámina de masa
que se encuentra a una distancia
con respecto a su eje de giro o de una recta L.
∗
El momento de inercia de una lámina que tiene la forma de una región plana D y una función densidad cualquier recta L.
: →
continua. Puede encontrarse respecto a
En particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes X e Y están dados por:
,
,
D
D
El momento polar de inercia respecto del origen O está dado por:
, D
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OBSERVACION: Los momentos de inercia de la lámina D respecto a las rectas
: , ; : , ; : , Son respectivamente.
∬,
;
D
∬, D
, [ ] , D
DEFINICION: El teorema del centroide de Pappus o también teorema de Guldin, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de solidos de revolución con sus respectivos centroide.
CENTROIDE: El Centroide es el centro de masa de un objeto con densidad uniforme. En una figura geométrica el centroide es el centro de simetría. Para cualquier otro objeto de forma irregular de dos dimensiones, el centroide es el punto donde un soporte simple puede equilibrar este objeto.
ÁREA SUPERFICIAL:
Un área superficial de solidos de revolución es generada al girar una curva plana alrededor de un eje fijo, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje
2.(, ̅,). || Lic. Eladio, Sánchez Culqui 9
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VOLUMEN DE REVOLUCIÓN
Es generado al girar un área plana alrededor de un eje fijo que es igual al producto de área D, por la distancia d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje:
Donde
̅, ̅ , y
2.(,̅,).|| son los centros de D y L. Este resultado se conoce como
Teorema de Pappus.
Ejemplo 01: Para un cilindro de altura L cuya base sea un círculo de radio r el volumen es
2..ℎ
, que es el área de la base por la
altura. También se puede conocer su superficie, que es
2..ℎ2. 2.ℎ
D
, y se corresponde con el área
lateral más el área de las dos tapaderas del cilindro. Este ejemplo muestra que algunas veces se puede utilizar el teorema de
Pappus de forma casi instantánea ya que se conocen las magnitudes que se utilizan: la distancia del eje al centro de gravedad y el área y el perímetro de lo que se hace girar.
En general, para hacer el cálculo de un volumen de revolución alrededor de un eje de una figura plana D requiere hacer lo siguiente: 1. Calcular la ecuación del eje donde la figura D va girar en ella. Es una recta en el plano y por lo tanto debe tener una ecuación del tipo
0
. A veces te lo dan la ecuación de la recta, de caso contrario será
calcularlo.
2. Calcular el área D y el centro geométrico
̅,
de W donde, si no se
conocen por motivos geométricos, se deben hacer los cálculos:
∬∬ 1
∬∬ 1
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3. La distancia del eje al centro geométrico es:
| (, ̅,)(0, ̅,) |√ ̅ 0 ̅ 0
(Si en la ecuación de la recta se tiene que
entonces en la expresión de
la distancia no interviene el valor y no hace falta su cálculo. Lo mismo ocurre si
ya que entonces no hace falta calcular ).
4. Finalmente, el volumen del solido de revolución es:
.(, ,). || Ejemplo 01: Un cono cuya base es un círculo de radio 2 y que tiene una altura 5 es un sólido de revolución, resultado de hacer girar un triángulo de base 2 y altura 5 alrededor del eje Y, tal y como muestra la figura. El eje es la recta x =0 y así la distancia del centro geométrico al
eje es . El volumen del cono es:
Solución:
..Ω −+ 5 ∫ ∫ 1 ∬ ̅ ∬ 1 −+ 5 2 5 ∫ ∫ 1 ̅ 23 2. 23 . 5∗2 2 203 Lic. Eladio, Sánchez Culqui 11
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Ejemplo 02: Calcular el volumen del sólido que se obtiene al hace girar el cuadrado
Ω [1,2][0,1]
alrededor
de la recta que une los puntos (0.1) y (1,2). El eje es una recta
0
donde los
valores a, b y c se calculan al poner como condiciones que la recta pase por los puntos (0.1) y (1,2).
x,y 1,2 1,1 t x,y 1t,2t x1t y2t ̅, , 32 12 1 |̅ 1| (,̅,)(xy10,̅,) √ 2 √ 2 √ 2 .√ . .√ Recta de giro:
La distancia de esta recta al centro geométrico
Otra aplicación del teorema de Pappus es el cálculo del volumen del sólido de
Ω
revolución que resulta al hacer girar la figura que encierra la gráfica de una función
:[,] →
.
Si hacemos girar a Ω alrededor del eje X , el volumen del sólido de revo lución será:
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2.. |Ω| 2 2 Si hacemos girar a será:
Ω
alrededor del eje Y , el volumen del sólido de revolución
2.̅ . |Ω| 2 2 2
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EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES FÍSICA A LA INTEGRAL DOBLE EJEMPLO 01 Una lámina L tiene la forma de la región R del plano de
x x 4 y
xy
acotada por las gráficas
. La densidad en el punto P(x, y) es directamente proporcional
a la distancia del eje y. Calcular el centro de masa.
Solución: Por hipótesis ρ(x, y) = kx, para una constante k. Por la simetr ía de la figura, el centro de masa se encuentra sobre el eje x. De acuerdo a la definición:
− kx dxdy
4 − 2 y dy − 2 4 y
2 8 10 2 m 1285 k Además:
− kx dxdy 4 − 3 y dy − 3 4 y
2 64 3 21 2 Lic. Eladio, Sánchez Culqui 14
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5127 k 512 k 7 128 k 207 5 Como el centro de masa se encuentra sobre el eje x, no es necesario calcular
, ya que
0
Por lo tanto, el centro de masa se encuentra en el punto
,0
EJEMPLO 02 La densidad en cualquier punto de una lámina semicircular es proporcional a la distancia al centro del círculo. Encontrar el centro de la masa de la lámina.
Solución:
Situemos la lámina en la mitad superior del círculo un punto (x,y) al centro del círculo (el origen)
. La distancia de
, por lo tanto , la función
de densidad es:
ρx,y k 2 2
En donde K es cierta constante. Tanto la función densidad como la forma de la lámina sugieren que se haga la conversión a coordenadas polares. Entonces
y la región R está descrita por 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π. De modo que la
masa de la lámina es:
k π k drdθ
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π 3 0 dθ π 3 dθ
3 θ 0 3 k 4 0 4 4 0 4 4 2 2 3 Por lo tanto, el centro de masa se encuentra en el punto
0,
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EJEMPLO 03: Encontrar la masa y el centro de masa de la lámina en la forma de una región acotada por la curva y el eje X de a , si la densidad de área varía con la distancia al eje x
0
Solución:
Y
1
D
X
∬ , , 1 1 12 2 0 2 sin 4 4 4 , 3 0 1 1 1 1 3 sin sin 3 3 4 1 3 3 0 9 49 , 2 0 , donde
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1 1 1 1 1 2 x sin 2 ∗ 2 2 2 4 4 2 0 8 4 8 2 9 916 4 4 16 , 2 , 9
EJEMPLO: Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por
4y 3x x 4 ,
densidad de área es p slug/
Y
y el eje X, correspondiente al eje Y, si la
.
SOLUCION:
R
I ∬ xρx,y dA donde ρx,y ρ I ∬ x ρdxdy ∫ ∫ x ρdydx ∫ xρy / dx ∫ xρ dx 3 4 ρ x dx I / 48 /
X
4
EJEMPLO: Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por un círculo de radio “a” unidades con respecto a su centro. Si la densidad de área es
/
.
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