I.
En la actualidad es de gran importancia la utilización de gráficas para dar información clara y precisa mediante una expresión matemática que relaciona variables, las cuales permiten analizar y predecir situaciones en los diferentes campos de estudio como los son la biología, la estadística, la medicina, la ingeniería, la economía, entre otros. En este trabajo plasmaremos varias gráficas aplicando distintos métodos para su elaboración e interpretación y citaremos algunos conceptos y aspectos para tener en cuenta cuando se elaboran gráficas. Además haremos un breve análisis acerca de la relación de las variables que nos conducirán asimismo a unas conclusiones. Para realizar bien estos gráficos tuvimos que aprender toda la teoría que lleva a una buena construcción de estos y saber usar las hojas milimetradas, semilogarítmicas y logarítmicas.
II.
Trabajar con datos experimentales organizados en tablas
Adquirir habilidad en la construcción e interpretación de gráficas de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.
Aprender a identificar la variable independiente y dependiente en una grafica
Aplicar las normas establecidas en la práctica para la elaboración de gráficas
Utilizar los diferentes métodos para la elaboración de gráficas.
Usar la teoría de errores en cada uno de los cálculos de las magnitudes físicas presentes.
Graficar y obtener ecuaciones a partir de datos experimentales y predecir el comportamiento de los fenómenos estudiados.
III.
Papel milimetrado (04 hojas)
Papel semilogarítmico (01 hojas)
Papel logarítmico (02 hojas)
Calculadora científica
IV.
GRÁFICAS En Física como en otras ciencias resulta de gran utilidad la elaboración de gráficas a partir de los datos obtenidos en las observaciones experimentales. Las gráficas tienen tres aplicaciones principales: Determinar a través de las mismas el valor de alguna magnitud, por lo general la pendiente. Visualizar la relación existente entre las variables que intervienen en el experimento. Dar una relación empírica entre dos magnitudes. Una convención establecida para construir las gráficas, es representar en el e je de las abscisas (eje horizontal), la variable independiente, la cual corresponde a la magnitud cuyo valor escoge el experimentador; y en el eje de las ordenadas (eje vertical), la variable dependiente, es decir, la magnitud cuyo valor se determina en función de la variable independiente.
Papel logarítmico Las funciones del tipo y = kxn reciben el nombre de funciones potenciales. Dependiendo del valor de n, su gráfica en papel milimetrado puede darnos dos clases de curvas: parabólicas si n > 0, e hiperbólicas si n < 0. Sin embargo, una de las características que definen a una función potencial, es que cuando se grafican en papel logaritmo-logaritmo (papel log-log) se obtiene una recta, evitando con ello todo el proceso realizado en el ejemplo anterior.
Para hallar n y k a partir del gráfico construido en papel log –log, se procede de la siguiente manera, n
Si a la función y = kx le aplicamos logaritmos nos queda
de donde
Por su parte k viene dada por el punto de corte con el eje y que se obtiene al extrapolar la recta, tal como se muestra en la siguiente figura.
Papel semi –l ogarítmico Si se ensaya la hipótesis de que la relación entre los datos obtenidos nx
experimentalmente de dos magnitudes es de la forma y = k 10 , esto será cierto, si al construir la gráfica y = f(x) en papel semi – logarítmico, ésta nos da una recta. Estas funciones también pueden escribirse como
Para ello partimos del hecho que 10 = , por lo tanto, y = k , de donde x
Para determinar n y k a partir de un gráfico construido en papel semi –logarítmico, procedemos de la siguiente manera nx
A la función y = k 10 le aplicamos logaritmos, obteniendo
de donde
k viene dada por el punto de corte con el eje y que se obtiene al extrapolar la recta, tal como se muestra en la figura.
AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS Un problema general que se presenta al trabajar con dos magnitudes X,Y obtenidas experimentalmente, consiste en determinar la relación funcional que existe entre ambas. Nos limitaremos aquí al estudio de uno de los casos más sencillos que pueden presentarse, el de encontrar la recta que mejor se ajuste a la serie de pares ordenados (x, y) obtenidos experimentalmente. Supongamos que tenemos n pares Pi (xi, yi) y que al representarlos gráficamente quedan como se muestra en la siguiente figura.
Podríamos, como también se hizo anteriormente, dibujar a ojo la curva que mejor parece representar la relación funcional que estamos buscando, advirtiendo que se trata de una recta
Observando la gráfica y por razones teóricas, podemos pensar que entre x e y existe una relación lineal de la forma:
Cuando los errores cometidos en el proceso de toma de datos son pequeños, este método de resolución gráfica es sencillo y sus resultados bastante aceptables, Cuando esto no sucede así, es conveniente utilizar un método que nos permita obtener con mayor objetividad los valores de los parámetros a y b. Dicho método recibe el nombre de ajuste por mínimos cuadrados. El método de mínimos cuadrados consiste en encontrar la recta que minimice la expresión
Para minimizar S igualamos a cero su derivada parcial respecto a los parámetros a y b, obteniendo las ecuaciones
cuyas soluciones son:
V. Se analizarán los datos obtenidos de los siguientes experimentos:
Calentamiento del agua.
Evacuación de agua de un depósito.
Actividad radiactiva del radón.
1. En la Tabla 1, se tienen las medidas del incremento de temperatura ΔT (diferencia de temperatura con las temperaturas iníciales) para dos volúmenes de agua y el tiempo de calentamiento. Requerimiento: Una hoja de papel milimetrado. Hacer una gráfica de ΔT versus t. Intérprete lo obtenido:
2. La Tabla 2 muestra datos de medidas del tiempo t de evacuación de agua de un depósito a través de una llave de cierto diámetro D de salida, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura h de agua del mismo depósito. Requerimiento: 2 hojas de papel milimetrado y 2 hojas de papel logarítmicos.
3. La Tabla 3, muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de 4,30x1018 núcleos. Requerimiento: Una hoja milimetrada y una hoja semilogarítmica.
VI.
1. Adjuntar la gráfica de la tabla 1 y hallar la ecuación experimental por el método de mínimos cuadrados. Para 100 ml Xi
Yi
XiYi
Xi²
1
6.5
6.5
1 m=136/20
2
13
26
4 b=-10/20
3
19.5
58.5
9
4
27
108
20y=136x16 10
10
66
199
30
Para 150 ml Xi
Yi 1 2 3 4 10
XiYi 4.5 9 14 18 45.5
Xi² 4.5 18 42 72 136.5
1 m=91/20 4 b=0 9 16 20y=91x 30
2. Si la fuente de calor es constante y la temperatura inicial del agua fue de 20°C. ¿Cuál es el tiempo que transcurrirá para que el volumen de agua de 100ml alcance la temperatura de ebullición? Como el ajuste por el método de mínimos cuadrados obtenemos la ecuación lineal:
Y= mx + b Esta ecuación ya calculada en la primera pregunta nos resulta igual a:
Y=6.8x -0.5…..(1) Donde Y nos representa la variación de temperatura y x nos representa el tiempo. Por lo tanto si necesitamos el tiempo en que llega a temperatura de ebullición( 100°C) si ta °t inicial es 20°C entonces: Δ°T =100°C – 20°C =80°C
Remplazando en la ecuación (1): 80=6.8x -0.5
X = 11.84(s) que es igual al tiempo.
3. Analice y discuta la gráfica obtenida de la Tabla 1. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente y el intercepto? Lo que la gráfica nos quiere decir es que mientras menos volumen de agua se quiera hacer hervir el tiempo será más corto, por ende para menor volumen la variación de temperatura será mayor y viceversa, la pendiente de las rectas se harán más pronunciadas cuando el volumen sea cada vez menor.
4. Considerando las distribuciones no lineales correspondientes grafique: a) t = t( h ) en papel logarítmico. (Las gráficas están al final del informe) b) A = A( t ) en papel semilogarítmico (Las gráficas están al final del informe) c) t = t(D ) en papel logarítmico. (Las gráficas están al final del informe) 2
d) Primero calcule z = 1/D y luego grafique t = t (z) en papel milimetrado. (Las
gráficas están al final del informe)
D(cm) 1.5 2.0 3.0 5.0
h(cm) 2 1/D 0.40 0.25 0.10 0.04
30
10
4 1 Tiempo de vaciado t(s) 43.0 26.7 13.5 23.7 15.0 7.2 10.5 6.8 3.7 3.9 2.2 1.5
73.0 41.2 18.4 6.8
5. Halle el tiempo en que los núcleos de radón sufren una desintegración del 50%. Resolución: Según la gráfica se puede observar que el radón sufre una desintegración del 50%
en un
tiempo de 3.9 días aproximadamente.
6. Encuentre los nuevos valores y ia obtenidos usando la fórmula experimental con los valores experimentales de salida y i aplicado al caso t = t (D). 7. Compare los valores y ia , obtenidos usando la fórmula experimental, con los valores de salida y i medidos o experimentales aplicado a los casos: t = t (D).
8. Calcule T(s) W
√ para las alturas y diámetros correspondientes a: 73.0 2.4
43.0 1.4
26.7 0.9
15.0 0.5
10.5 0.4
3.9 0.1
1.5 0.04
9. Calcule
√ para las alturas y diámetros correspondientes a: (solución
igual a la pregunta 8) T(s) W
73.0 2.4
43.0 1.4
t(s)
26.7 0.9
15.0 0.5
D(cm)
10.5 0.4
h(cm)
3.9 0.1
1.5 0.04
W
73
1.5
30
2.43432248
43
1.5
10
1.40545674
26.7
1.5
4
0.88888889
15
2
4
0.5
10.5
3
10
0.35136418
3.9
5
10
0.12649111
1.5
5
1
0.04
10. Grafique t = t(w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal determine el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente, t = t (h, D) Los datos calculados en la pregunta anterior lo tomaremos para esta pregunta:
2
xi
yi
xiyi
Xi
73 43 26.7 15 10.5 3.9 1.5
2.4 1.4 0.9 0.5 0.4 0.1 0.04
175.2 60.2 24.03 7.5 4.2 0.39 0.06
∑ .
∑
∑
5329 1849 712.89 225 110.25 15.21 2.25 ∑
∑∑ ∑ ∑ ∑
(∑ )∑ ∑ ∑ ∑ ∑
√
11. Halle los tiempos de vaciado del agua con la fórmula experimental que obtendrá en la pregunta 10. Usando los datos de interpolación y extrapolación ( pregunte estos términos a su profesor) : Casos 01 02 03 04
Altura h(cm) 15 25 40 64
Diámetro D(cm) 4.5 1.0 3.0 1.2
Tiempo t(s) 5.8 30.1 8.5 32.8
12. Dibuje sobre papel milimetrado una escala logarítmica horizontal de 2 ciclos
(décadas), cada ciclo tendrá una longitud de 10 cm, y una escala vertical de 4 ciclos; cada ciclo de longitud de 5 cm. Grafique los puntos A (7,0; 0,5), B (15, (Las gráficas están al final del informe) 9), C (60, 45).
13. La gráfica muestra el comportamiento de las variables P y R en papel logarítmico para algunos valores fijos de la variable Q. Según esto encuentre: a) El valor de P para R = 6,5 y Q = 45 aproximadamente. b) La ecuación que relaciona P y Q considerando R = 9. c) La ecuación que relaciona las tres variables.
Solución: a) Los extremos de la recta a Q =30 tiene por coordenadas. Punto rojo y punto violeta : (1,60) y (9,20) y la pendiente por par de puntos en papel log es:
Para las otras rectas proceda igual, cada una le dará – 0,5 o -1/2, que es la tendencia del exponente de R. Así la ecuación y resultado cuando se tiene R = 4.5 y Q = 30 es como sigue: el parámetro b de la ecuación se lee o se obtiene mirando la ordenada de la recta que interseca a log P y es 60: la fórmula es P = 60 R P = 60 (4.5)
- 1/2
= 28.28
- 1/2
reemplazando da:
b) Se debe hallar los valores de P cuando R es constante a 9, así las ecuaciones anteriores con sus b respectivas son : P = 90 R
- 1/2
P = 60 R
y las otras son
- 1/2
-------P = 30 R - 1/2
Se debe hallar las P para R (constante) = 9 en cada ecuación anterior: la tabla queda:
Q 45 30 15
P 30 20 10 m
Hallando la pendiente m para la fórmula o ecuación experimental P = b Q usando par de puntos:
O también con los otros pares de puntos:
=1 m
P = b´ Q
por lo que la ecuación pedida es:
como m =1 queda P = b´ Q, el parámetro b´:
Se halla reemplazando con los valores de la tabla Q / P en la ecuación y es igual a b´ = 3/2 = 1.5 , quedando así P = 1.5 Q
CONCLUCIONES.
El uso del papel milimetrado es más práctico pero no es tan conveniente, porque cada persona que realiza las gráficas lo puede hacer de distinta manera (tamaño).
El papel logarítmico y semilogaritmico es más conveniente y vemos que las gráficas, mientras en el papel milimetrado sale curva en el logarítmico salen una recta.
RECOMENDACIONES.
Hay que saber observar muy bien para ocupar el espacio necesario en la construcción de nuestras gráficas y no tener inconvenientes.
Cuando los datos contienen decimales, primero debemos observar para tomar nuestros puntos adecuadamente y que nuestra curva sea lo más exacta posible.
