Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
2013-II[Seleccione la fecha]
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Mecánica
LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II INFORME N° 6: RESONANCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS LINEALES
Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Contenido OBJETIVOS .................................................................................................... ..................................................................................................................................... ................................. 3 MARCO TEÓRICO.................................................................... ........................................................................................................................... ....................................................... 4 RESONANCIA ............................................................................................................................. 4 RESONANCIA EN SERIE. (Circuito serie RLC): ............................................................................ 6 RESONANCIA EN PARALELO. (Circuito ( Circuito serie RLC):.......................................................... ..................................................................... ........... 6 MATERIALES UTILIZADOS .............................................................................................................. .............................................................................................................. 7 PROCEDIMIENTO ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... 9 Circuito N°1 ......................................................................................................... ............................................................................................................................... ...................... 9 Circuito N°2 ......................................................................................................... ............................................................................................................................. .................... 10 Circuito N°3 ......................................................................................................... ............................................................................................................................. .................... 11 CUESTIONARIO ............................................................................................................................ ............................................................................................................................ 12 Observaciones y conclusiones.......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 27
LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
OBJETIVOS
Evaluar y analizar en forma experimental las características de resonancia en circuitos eléctricos lineales.
Medir la frecuencia de resonancia en un circuito serie RLC.
Estudiar las características de la respuesta de frecuencia de un circuito resonante serie.
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MARCO TEÓRICO RESONANCIA La resonancia es una condición definida específicamente para un circuito que contiene elementos R, L y C. Para exponerlo se hace una comparación gráfica de la magnitud y el ángulo de cierta función compleja respecto a la frecuencia f(Hz) o frecuencia angular w(rad/s). Dado el circuito serie RLC de la Fig.1, al que alimentamos con una tensión alterna senosoidal de la forma:
Cuyo valor eficaz es V, generando una corriente alterna sinusoidal de valor eficaz I, por lo que:
, donde Z es la impedancia del circuito para una frecuencia determinada.
Las caídas de tensión y la corriente serán:
Tenga presente que si cambia la frecuencia del generador (dejando corriente y las caídas de tensión en cambiarán.
constante), la
Tomando a como referencia por el ser el elemento común en el circuito serie, los diagramas de fases serán: LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II
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Fig. a
En la figura a se muestra un diagrama de fase que representa un circuito Inductivo, ya que , ó, lo que es lo mismo: en el triángulo de impedancia.
Fig. b
En la figura b se muestra un diagrama de fase que representa un circuito Capacitivo, ya que , ó, lo que es lo mismo: en el triángulo de impedancia.
Fig. c
En la figura c se muestra un triángulo de potencia para un circuito Inductivo ( ). El cateto opuesto representa la energía media por unidad de tiempo almacenada en el campo magnético del inductor. (O en el campo eléctrico del capacitor).
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RESONANCIA EN SERIE. (Circuito serie RLC):
En el circuito serie RLC es interesante tratar el caso cuando en el diagrama de fase (o cuando en el triángulo de impedancia), es decir cuándo el ángulo de fase ϕ es cero ( ϕ= 0 cos ϕ= 1).
⇒
Por definición, un circuito serie que contiene elementos resistivos y reactivos es resonante cuando el factor de potencia del circuito, cos ϕ, vale 1. En este caso se cumple que:
La frecuencia
√
es la frecuencia de resonancia del circuito serie RLC.
RESONANCIA EN PARALELO. (Circuito serie RLC): En un circuito RLC donde la bobina y condensador se conecten en paralelo la impedancia del conjunto (Z p) será la combinada en paralelo de Z L y ZC
√
Siendo Xp la reactancia del conjunto, su valor será:
En resonancia se cumple:
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MATERIALES UTILIZADOS
1 generador de ondas sinusoidales: 10Hz-1MHz
1 maqueta de condensadores
3 Multímetros
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1 inductancia 112.86 mH y 13.2
1 resistencias variables
Conductores
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PROCEDIMIENTO Circuito N°1 Armar el siguiente circuito: VR
VL L1
R1
50?
V
v
Autotransformador
87.25mH
C1
V
vc
Regular el auto-transformador a 160 V u otro voltaje que le indique el profesor. Determinar analíticamente la capacitancia del condensador (C0) para la cual ocurre resonancia.
Conectar los condensadores en serie y/o paralelo hasta que se obtenga una capacitancia C 0, luego medir la corriente I y los voltajes V C, VL y VR. Variar la capacitancia del banco de condensadores hasta obtener 5 valores menores de C0 y 5 valores mayores de C 0, para cada caso medir corriente I y los voltajes V C, VL y VR. Los datos obtenidos fueron: Tabla N° 1 N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C (F)
Vent
VR(V)
VL (V)
VC (V)
I (A)
4.96 10.12 20.20 30.32 40.50 62.50 70.80 81.20 90.60 101.00
160 160 160 160 160 160 160 160 160 160
20.68 44.10 86.10 113.20 125.50 130.80 129.30 128.60 128.20 126.90
14.75 30.10 58.23 76.60 85.50 88.00 88.10 87.80 87.40 86.20
170.60 178.50 175.10 152.80 126.60 82.70 74.20 65.02 56.98 51.09
0.3206 0.6837 1.3349 1.7550 1.9457 2.0279 2.0047 1.9938 1.9876 1.9674
111.00
160
126.10
85.80
46.30
1.9550
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Circuito N°2 Se arma el siguiente circuito VR
VL L1
R1
V1
V
50?
v
87.25mH
C1
V
0.1uF
vc
Generador de ondas
En el generador de ondas, seleccionar ondas sinusoidales y una tensión de salida de 5V. Variar la frecuencia de salida del generador de ondas desde 0.1kHz hasta 3.5kHz en intervalos de 0.2kHz y cercanos a la resonancia en intervalos de 0.1kHz.
f 0
C
212 .72 Hz
4.96 F
Los datos obtenidos fueron: Tabla N ° 2 N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f
Vent
40.00 76.77 101.65 139.01 173.69 212.72 243.93 275.86 305.40 325.26
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5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
VR
VL
VC
0.434 0.886 1.224 1.795 2.324 2.585 2.475 2.224 1.978
0.207 0.735 1.337 2.698 4.380 5.990 6.542 6.610 6.500
5.246 5.550 5.850 6.370 6.620 6.040 5.036 3.984 3.200
0.0064 0.0135 0.0196 0.0326 0.0504 0.0644 0.0568 0.0450 0.0368
1.832
6.410
2.790
0.0326
I calc
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Circuito N°3 Implementar el siguiente circuito
VR V1
V
V
L1
v
87.25mH
Generador
C1
V
vc
0.1uF
de ondas
Para realizar este circuito, el voltaje de entrada fue de 1.5 V y los valores de los otros parámetros, fueron los siguientes:
Variar la frecuencia de salida del generador de ondas desde 0.1kHz hasta 3.5kHz en intervalos de 0.2kHz y cercanos a la resonancia en intervalos de 0.1 kHz. Los datos obtenidos fueron: Tabla N° 3 N°
f (Hz)
1
100.05
1.504
0.721
1.174
2 3 4 5 6 7 8 9 10
200.50
1.501
0.263
1.427
301.00
1.512
0.095
1.485
402.45
1.505
0.288
1.464
500.20
1.506
0.456
1.428
701.10
1.510
0.723
1.326
900.50
1.508
0.908
1.208
1104.00
1.505
1.043
1.093
1298.50
1.507
1.142
0.996
1501.00
1.500
1.210
0.901
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Vent
VR (V)
VC=VL
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CUESTIONARIO a)
A partir de los resultados obtenidos en el caso I, graficar V L, VC e I en función de “C”.
Gráfico 1. V R vs C 160.00 140.00 120.00
y = -0.0209x2 + 3.1648x + 19.768
100.00 ) V ( R
V
80.00 60.00 40.00 20.00 0.00 0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
C (uF)
Gráfico 2. V L vs C 100.00 90.00 80.00
y = -0.014x2 + 2.1317x + 13.818
70.00 ) V ( L
V
60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
C (uF)
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Gráfico 3. V C vs C 200.00 180.00 160.00 140.00
y = 0.0002x3 - 0.0374x2 - 0.0496x + 179.37
120.00
) V ( C
100.00
V
80.00 60.00 40.00 20.00 0.00 0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
C (uF)
Gráfico 4. I vs C 2.5000 2.0000 1.5000 ) V ( I
y = -0.0003x2 + 0.0491x + 0.3065
1.0000 0.5000 0.0000 0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
C (uF)
b) Determinar teóricamente el valor de “C” necesario para que se produzca la resonancia y compararlo con los resultados experimentales. Mencionar comentarios.
Para un circuito RLC serie en resonancia se debe cumplir la siguiente relación:
X L
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X C
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L
1
Siendo:
2
C
f
Despejando C: C
1
2
f
2
L
Reemplazando valores:
C o
62.34 F
Podemos corroborar este valor obtenido, al observar la tabla N° 1, en la cual la intensidad de corriente es máxima para cuando la Capacitancia es 62.5 uF, lo cual se corrobora con la teoría. N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C (F)
Vent
VR(V)
VL (V)
VC (V)
I (A)
4.96 10.12 20.20 30.32 40.50 62.50 70.80 81.20 90.60 101.00
160 160 160 160 160 160 160 160 160 160
20.68 44.10 86.10 113.20 125.50 130.80 129.30 128.60 128.20 126.90
14.75 30.10 58.23 76.60 85.50 88.00 88.10 87.80 87.40 86.20
170.60 178.50 175.10 152.80 126.60 82.70 74.20 65.02 56.98 51.09
0.320 0.683 1.334 1.755 1.945 2.027 2.004 1.993 1.987 1.967
111.00
160
126.10
85.80
46.30
1.955
c) Calcular teóricamente el “Q” del circuito resonante a continuación, a partir del grafico de I vs C medir los valores de capacidad correspondientes a los puntos de media potencia. Con estos valores evaluar las correspondientes frecuencias de
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media potencia (o extremos de la banda f1 y f2) y finalmente calcular el “Q” experimental, usando la fórmula:
Q=
fresonancia f 1
f 2
Para el circuito 2
Cálculo del Q teórico del circuito 2:
La energía total almacenada es constante para un circuito en resonancia, cuando el voltaje de la capacitancia es cero, la corriente por la inductancia es máxima y toda la energía alm acenada está en la inductancia. Cuando el voltaje de la capacitancia es máximo, la corriente por la inductancia es cero y toda la energía almacenada está en la capacitancia. La función de excitación de la corriente es:
La máxima energía almacenada es:
La energía disipada por ciclo es la potencia promedio dividida entre la frecuencia f o , entonces:
…( *)
Reemplazando valores en (*):
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Calculo del Q experimental apartir de la gráfica I vs f del cir cuito 2: Gráfica 5. I vs f 0.0700 0.0600 0.0500
0.0455
0.0400
) A ( I
0.0300 0.0200 0.0100
157.3
0.0000 0.00
50.00
100.00
150.00
277.4 200.00
250.00
300.00
350.00
f (Hz)
En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se llama frecuencia baja de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia alta de corte o alta de potencia media es F2. El ancho de banda de este circuito está entre estas dos frecuencias y se obtiene con la siguiente fórmula: f2-f1 Por lo tanto: Para la corriente para las frecuencias de baja y alta potencia será: 70.7% Imax=0.707*0.0644=0.0455 Ahora evaluando, las frecuencias de baja y alta para la potencia media, reemplazando tendremos: Q
f 0 f 2
212 .72
f 1
277 .4
157 .3
1.7712
El error se debe a que la grafica es una representación de los valores obtenidos al haber realizado la medición, estos valores en muchos casos presentan cierto error en la medición, lo que trae como consecuencia que el valor real sea distinto al valor teórico.
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d) A partir de los resultados obtenidos en el caso II, graficar R, X L, XC, , I, VR, VL y VC en función de la frecuencia f ( es el ángulo de desfasaje entre I y V).
Gráfica 6. (R+r), X L y X C vs f 900.0000 800.0000 700.0000 600.0000 (R+r)
c X , L X , R
500.0000
y = 32088x-1
(XL)
400.0000
(Xc) y = 0.7091x
300.0000
Linear ((XL)) Power ((Xc))
200.0000 100.0000 0.0000 0.00
50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 f (Hz)
1
Igualando la ecuación de tendencia de la reactancia capacitiva 55455 X y la ecuación de tendencia de la reactancia inductiva 0.7091 X se puede obtener la frecuencia de resonancia:
32088
X
X
1
0.709
X
212.74 Hz
Nota:
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Gráfica 7. Ángulo vs f 80 60 40 V y I e r t n e e s a f s e D
20 0 -20
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
-40 -60 -80
-100
f (Hz)
En este grafico podemos comentar que la línea de tendencia del ángulo phi justo interseca al eje x en la frecuencia de resonancia ya que cuando el circuito esta en resonancia tiene un comportamiento resistivo; también observamos que el ángulo de desfasaje es directamente proporcional a la frecuencia ya que la reactancia inductiva aumenta y la capacitiva disminuye cuando la frecuencia aumenta.
Gráfica 8. I vs f 0.0700 0.0600 0.0500 0.0400 I
0.0300 0.0200 0.0100 0.0000 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
f (Hz)
En este grafico podemos comentar que la corriente es máxima cuando ocurre la resonancia ya que las reactancias inductivas y capacitivas se cancelan entonces la impedancia total es mínima.
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Gráfica 9. V R , V L vs f 7.000 6.000 5.000 c V , L V , R V
4.000 3.000 2.000 1.000 0.000 0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
F (Hz)
En este grafico podemos comentar que la resonancia se da en la intersección entre los voltajes capacitivos e inductivos, así como en VR máximo. La intersección de las gráficas VL y Vc, debería ser un poco más hacia la derecha ya VL medido es ligeramente mayor por el voltaje de la resistencia interna.
e)
A partir de los resultados obtenidos en el circuito N° 3, evaluar I R, I L e IC. Graficar estos valores en función de la frecuencia. En la misma hoja, graficar los valores de V C en función de la frecuencia. Cálculo de la corriente que pasa por la resistencia Tabla N° 4 R (ohm)
VR(V)
IR(mA)
50.3
0.721
14.334
50.3 50.3 50.3 50.3 50.3 50.3 50.3 50.3 50.3
0.263
5.237
0.096
1.905
0.289
5.738
0.456
9.074
0.723
14.374
0.908
18.052
1.043
20.736
1.142
22.704
1.210
24.056
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Cálculo de la corriente que pasa por el inductor
Tabla 5 f (Hz)
XL
r(ohm)
ZL
VL(V)
IL (mA)
100.05 200.50 301.00 402.45 500.20 701.10 900.50 1104.00 1298.50 1501.00
70.947 142.179 213.445 285.385 354.702 497.164 638.563 782.869 920.793 1064.390
13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2
72.165 142.790 213.853 285.691 354.948 497.339 638.699 782.980 920.887 1064.471
1.174 1.427 1.485 1.464 1.428 1.326 1.208 1.093 0.996 0.920
16.268 9.994 6.944 5.124 4.023 2.666 1.891 1.396 1.082 0.864
Cálculo de la corriente que pasa por el condensador
Tabla 6 f (Hz)
Xc (ohm)
VC(V)
Ic(mA)
100.05
554.270
1.174
2.118
200.50 301.00 402.45 500.20 701.10 900.50 1104.00 1298.50 1501.00
276.582 184.235 137.793 110.865 79.097 61.582 50.231 42.707 36.945
1.427 1.485 1.464 1.428 1.326 1.208 1.093 0.996 0.920
5.159 8.060 10.625 12.881 16.764 19.616 21.760 23.322 24.904
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Gráfica 9. I R , I L , I C y V C vs f 30
25
20 c V , C i , L I , R I
IR
15
IL Vc
10
Ic
5
0 0.00
200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00 1400.00 1600.00 f (Hz)
Observamos que la corriente en el condensador y la corriente en la bobina son iguales en el punto de resonancia porque las reactancia en ambos se igualan); aunque la grafica de IL debería ser ligeramente mayor ya que internamente la bobina poseía una resistencia interna que hacía que la corriente que la atravesaba fuera menor. También observamos que la corriente de la resistencia en la resonancia es mínima debido a que para la resonancia la impedancia de la rama RC en paralelo es máxima..
f) Calcular teóricamente, la frecuencia de resonancia y compararla con la obtenida experimentalmente. Comentar las causas que originaron la diferencia entre dichos valores.
Para el circuito II Circuito RLC en serie, sabemos que para que ocurra la resonancia debe cumplir, que la parte compleja debe ser igual a cero; dicho de otro modo la reactancia capacitiva e inductiva deben anularse. Tomando fasorialmente la Impedancias tenemos:
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21
Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
En Resonancia: →
→
…(I)
Además:
…. (II)
Remplazando de (I) y (II), tenemos: fresonanci a
1
2
LC
Reemplazando valores obtenemos:
Para el circuito III Circuito RLC en serie y en paralelo respectivamente, sabemos que para que ocurra la resonancia debe cumplir que la parte compleja debe ser cero y debe ser máximas respectivamente; dicho de otro modo la reactancia capacitiva y inductiva deben anularse (para el caso del circuito paralelo la suceptancia total es la que debe anularse). Tomando fasorialmente la Impedancia y la Admitancias respectivamente, y despreciando la resistencia interna de la bobina tenemos:
( )( ) LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II
22
Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
De lo anterior tenemos, tomando fasorialmente:
( )
Análogamente que en el caso RLC en serie:
→
→
…(III)
Además:
…. (IV)
Remplazando de (III) y (IV), tenemos:
Entonces para el caso II Y III se tiene:
Observación: En los circuito 1 y 2, se usaron distintos valores de capacitancia. En el caso de usar capacitancias iguales para la resonancia serie y paralelo los valores obtenidos serian exactamente iguales. g) Evaluar teóricamente el “Q” del circuito resonante, indicando el método seguido y compararlo con el valor obtenido a partir de los resultados experimentales. LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Sabemos que el “Q “(factor de calidad) es la medida de la capacidad de almacenamiento de energía de un circuito en relación con su capacidad de disipación de energía, matemáticamente tenemos:
Donde observamos que Q es un cociente adimensional.
Para el caso de resonancia en serie La energía total almacenada es constante para un circuito en resonancia, cuando el voltaje de la capacitancia es cero, la corriente por la inductancia es máxima y toda la energía almacenada está en la inductancia. Cuando el voltaje de la capacitancia es máximo, la corriente por la inductancia es cero y toda la energía almacenada está en la capacitancia.
La función de excitación de la corriente es:
La máxima energía almacenada es:
La energía disipada por ciclo es la potencia promedio dividida entre la frecuencia f o, entonces:
Reemplazando valores:
Además en la pregunta c, determinamos que el valor real del factor de calidad Q, fue: Qreal
f 0
f 2
212 .72
f 1
277 .4
157 .3
1.7712
Para el caso de resonancia en Paralelo
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Como la energía puede almacenarse solamente en el inductor o en el capacitor, y puede disiparse solo en el resistor, Q puede expresarse en términos de la energía instantánea asociada con cada uno de los elementos reactivos, y con la potencia promedio disipada por el resistor:
] [
Si la función de excitación de la corriente es:
El voltaje será:
La energía almacenada en el capacitor es:
La energía instantánea en el inductor es:
∫
La energía total instantánea almacenada es:
Este valor es constante y además es también el valor máximo, en el resistor; la potencia promedio absorbida es:
Para un periodo:
Reemplazando para el Factor de Calidad:
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Con algunas sustituciones se obtienen expresiones equivalentes
Analizamos para la resonancia en paralelo:
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Resonancia en Circuitos Eléctricos Lineales
Conclusiones
Para los casos I y II, el voltaje V L medido no representa al voltaje de la inductancia pura, sino de la inductancia más su resistencia interna. Por lo tanto al analizar V R en la resonancia, para el circuito serie, este no cumple con la relación V Rtot = V sino que es algo menor; para que dicha relación se cumpla debemos considerar además de V R la caída de potencial en la resistencia interna de la bobina (V r).
Para un circuito RLC en serie, cuando la frecuencia de la alimentación sea menor a f0, la impedancia total será capacitiva, mientras que si la frecuencia de alimentación es mayor a f0, la impedancia total es inductiva.
En todo circuito RLC en serie, cuando se presenta la resonancia, la reactancia equivalente se hace nula, por lo que la corriente en el circuito es máxima. Esto también lo podemos interpretar como que en la resonancia, el voltaje y la corriente están en fase (corriente circula sólo por R).
En todo circuito RLC en paralelo, cuando se presenta la resonancia, la reactancia equivalente es máxima, por lo que la corriente en el circuito es mínima. También el voltaje y la corriente están en fase.
Se puede observar que el factor de calidad es mejor a menor ancho de banda. (el circuito es más selectivo).
En los circuitos RLC paralelo, puede ocurrir que la corriente en los elementos reactivos sea mayor que la corriente de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente en frecuencias cercanas a la de resonancia.
Se observa que cuanto mayor es el factor de calidad del circuito, menor es el ancho de banda, con lo que aumenta la selectividad.
El factor de calidad define la mayor o menor aptitud que tiene un circuito para separar el resto de las frecuencias respecto de la de resonancia.
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