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Equilibrio de de un cuerpo cuerpo rígido
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EXPERIENCIA Nº6
I.
OBJETIVOS 1. Estudiar Estudiar el comportam comportamiento iento de de las fuerzas fuerzas concurren concurrentes tes y fuerzas fuerzas paralelas. paralelas. 2. Establ Establecer ecer las condic condicion iones es necesari necesarias as para que un sistema sistema se encuent encuentre re en equilibrio.
II.
III.
EQUIPOS Y MATERIALES -
Sopor oporte tess uni univ versa ersale less (2 (2)
-
Poleas (2)
-
Juego de pesas
-
Regl Reglaa pat patró rón n (co (con n orif orific icio ios) s)
-
Cuerda
-
Clamp lampss o agar agarre rede dera rass (2 (2)
-
Portapesas (3)
-
Dinamómetro
-
Tablero
FUNDAMENTO TEÓRICO Conceptos generales: Cuerpo rígido : Es una combinación de un gran número de partículas que ocupan posiciones fijas unas respecto de otras. No puede deformarse aplicando fuerzas o torques.
Equilibrio: Para que un cuerpo esté en equilibrio y en reposo se requiere que, se cumplan las siguientes condiciones:
∑F = 0 ;
∑τ = 0 .
Las condiciones para que un cuerpo rígido en reposo son:
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a) EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN Es la masa vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido es igual a cero. Esto ocurre cuando el cuerpo no se traslada o se mueve con velocidad constante; es decir, cuando la aceleración lineal del centro de masa es cero al ser observado desde un sistema de referencia inercial.
∑Fi =0 i
b) EQUILIBRIO DE ROTACIÓN Es la suma de momentos de fuerza o torques respecto a algún punto es igual a cero. Esto ocurre cuando la aceleración angular alrededor de cualquier eje es igual a cero.
∑Mi =0 i Para que se cumpla esta condición se deben realizar los siguientes pasos. 1. Se identifica todas las fuerzas aplicadas al cuerpo. 2. Se escoge un punto respecto al cual se analizará el torque. 3. Se encuentran los torques para el punto escogido. 4. e realiza la suma de torques y se igualará a cero.
Ejemplos: La figura 1 se muestra una viga (cuerpo rígido), donde la fuerza total sobre ésta es cero. Pero el torque resultante respecto a su centro es diferente de cero, cuyo módulo es igual a 2Fd; donde d es la distancia desde el punto de aplicación de las fuerzas ( F y - F ) al centro de la viga. En este caso la -F viga tendrá una tendencia al giro de forma antihoraria.
F
D
Fig.1
En la figura 2 la fuerza total es 2 F y el torque respecto a su centro es cero. Por lo tanto existe un equilibrio de Fac. Ing. Electrónica rotación pero no de traslación. En este caso la viga asciende verticalmente sin rotar.
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F
F
D Fig.2
La figura 3 muestra la viga en reposo “absoluto”. Está en equilibrio tanto de traslación como de rotación.
2F IV.
Fig.3
PROCEDIMIENTO 1.
Arme el sistema de la Fig. 4. Suspenda en los extremos de la cuerda pesos diferentes F1 y F2 y en el centro un peso E3 . Deje que el sistema se estabilice. Recuerde que debe cumplirse la ley de la desigualdad de los lados del triángulo “un lado es menor que la masa de los otros dos y mayor que su diferencia”
α F1
β
γ
F2
E
Fig. 4 2.
Coloque el tablero (con un papel) en la parte posterior de la cuerda y marque las direcciones de las cuerdas en el papel.
3.
Retire el papel y anote en cada línea los valores de los pesos correspondientes.
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4.
Complete el paralelogramo de fuerzas con una escala conveniente para los valores de F1 y F2 .
5.
Repita los pasos 1,2,3 y 4. 5.1. Coloque, F1 , F2 y E3 iguales en módulo y mida los ángulos:
α, β y γ que se forman alrededor del punto. Los pesos que se colocaron son 150g, 150g, 150g en dónde los ángulos son : 106°, 124°, 130°. 5.2. Coloque / F1 /, / F2 / y / E3 / que estén en relación 3:4:5 y mida los ángulos que forman entre ellos. Los pesos que se colocaron son 150g, 200g, 250g en dónde los ángulos son : 95°, 132°, 133°. 5.3. Coloque / F1 / (120 g), / F2 / (50 g) y / E3 / (130 g) que estén en relación 12:5:13 . Los pesos de las fuerzas son: 120g, 50g, 130g en donde los ángulos son 85°, 158°, 119°. 6.
Suspenda la regla con los dinamómetros, utilice los agujeros en 10 cm y 70 cm para las fuerzas F1 , F2 como muestra la Figura 5. Anote las lecturas en cada dinamómetro
F1
F2
F3
F4 Figura 5
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7.
Coloque en el agujero del centro de gravedad de la regla un cuerpo de masa 250g que es la
F 3
. Anote las lecturas en cada dinamómetro.
3,0 N
3,3 N
250 g
8.
Desplace el cuerpo de
F 3
al agujero a 30cm del primer dinamómetro.
Anote las lecturas de cada uno de ellos. 3,3 N
2,8 N
250 g
9.
Adicione un cuerpo de masa de 400 g a 20 cm del otro dinamómetro. Anote sus lecturas de cada uno de ellos. 4,3 N
5,6 N
250 g
IV.
400 g
CUESTIONARIO 1. ¿Concuerda el valor hallado por el método gráfico con la fuerza del cuerpo E ?
¿Qué diferencias hay entre la fuerza resultante y la fuerza equilibrante?
F 1 E 1
FR F 1
2
F 2
2
=2,05 =2,34
N
N
=
2
F 1
; F =1,96 N ; θ = 107,5° 2
+ F 2 2 + 2 F 1 F 2Cosθ
= 4, 20 N = 3,84 N
2 F 1 F 2 = 8,04 Cosθ = Cos (107,5) = -0,3 FR
F 1
= 4,20 +3,84 +8,04(−0,3) > 2,37 N
=2,37
N
∆ F = ±0,03 N
y
E 1
=2,34
N
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F R
F 1
107,5
F 2
2. Encuentre teóricamente el valor de la fuerza equilibrante para cada caso, por la ley de senos o de Lamy, por la ley del coseno y por descomposición rectangular. Compare los valores / E / y los ángulos α, β y γ hallados con el obtenido en el paso 1 y los medidos experimentalmente. Confeccione un cuadro de sus resultados y de los errores experimentales porcentuales con respecto a la equilibrante colocada.
CASO I: Cálculo Teórico de
E
Ley de senos: (Lamy) E Sen(107,5°)
=
1,956 Sen(122,5°)
=
2,0538 Sen(130°)
E = 2,38N
Ley de Cosenos: E2 = (2,0538)2 + (1,956)2 – 2(2,0538)(1,956)Cos(72,5°)
E = 2,37N
2,0538N
1,956N
Descomposición rectangular: E = 2,0538(Sen32,5°) + 1,956(Sen40°)
E = 2,36N
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2,538Cos(32,5°)
1,956Cos(40°)
E
Valor Experimental E = 2,34N CASO II: Cálculo Teórico de 1,467
1,467
E
Ley de senos: (Lamy) E Sen (106°)
E
=
1,956 Sen (130°)
=
2,0538 Sen (124°)
E = 1,78N
1,467N
Ley de Cosenos: E2 = (1,467) 2 + (1,467)2 – 2(1,467)( 1,467)Cos(74°)
E = 1,76N E 1,467N 1,467N
1,467N
Descomposición rectangular: E = 1,467(Sen34°) + 1,467(Sen40°)
E = 1,76N 1,467Cos(34°)
1,467Cos(40°)
E
CASO III: Cálculo Teórico de
E
Ley de senos: (Lamy) E Sen(95°)
=
1,467 Sen(133°)
=
1,956 Sen(132°)
E = 2,30N
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Ley de Cosenos: E2 = (1,956)2 + (1,467)2 – 2(1,956)(1,467)Cos(85°)
E = 2,35N
1,467N
1,956N
Descomposición rectangular: E = 1,467(Sen42°) + 1,956(Sen43°)
E = 2,31N 1,467Cos(42°)
1,956Cos(43°)
E
Valor Experimental E = 2,44N CASO IV: Cálculo Teórico de
E
Ley de senos: (Lamy) E Sen (83°)
=
1,174 Sen (119°)
=
0,489 Sen(158°)
E = 1,32N
Ley de Cosenos: E2 = (0,489)2 + (1,174)2 – 2(0,489)(1,174)Cos(97°)
E = 1,32N
1,174N
0,489N
Descomposición rectangular: E = 1,174(Sen68°) + 0,489(Sen29°)
E = 1,31N 1,174Cos(68°)
0,489Cos(29°)
E
Valor Experimental E = 1,27N
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En conclusión: Teóricamente el valor de la fuerza equilibrante ( E )hallado mediante Ley de Senos, ley de cosenos, descomposición rectangular es casi idéntico al valor hallado experimentalmente, debido a que la medición de los ángulos α, β y γ no fueron exactamente los precisos y además la gravedad pudo ser distinta a la tomada como referencia.
Valor Teórico de E I
Valor exp. de E 2,34 N
Ley de Senos 2,38 N
Ley de Cosenos 2,37 N
Descomp. Error Rectangular Porcentual 2,36 N 0,73 N
II
1,46 N
1,78 N
1,76 N
1,76 N
1,38 N
III
2,44 N
2,30 N
2,35 N
2,31 N
1,97 N
IV
1,27 N
1,32 N
1,32 N
1,31 N
0,93 N
E% = Er(100) Er =
∆x
x
∆x = E1 + Ea Ea =
3σ n −1
Caso I : x =2,37
Er = 0,0073
E%= 0,73
Caso II : x =1,76
Er = 0,0138
E%= 1,38
Caso III : x =2,32
Er = 0,0197
E%= 1,97
Caso IV : x = 1,32
Er = 0,0093
E%= 0,93
3. Mida los ángulos en los pasos 5.1 ¿Concuerda con el valor teórico de 120°? Como hemos verificado pues el valor teórico no concuerda con el experimental.
4. Verifique que el ángulo α entre las cuerdas en los casos 5.2 y 5.3 sea 90°?
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Luego de medir experimentalmente se han obtenido los siguientes datos: 1°) Para las fuerzas: 2°) Para las fuerzas: =1,17 N α=83° F =1,46 N α=95° F F F =1,96 N β=132° =0,48 N β=158° E =2, 44 N 1, 27 N E = γ =133° γ =119° 1
1
2
2
F1
F2
α β
E Como observamos el ángulo “ α”, debería ser 90° teóricamente; pero en forma experimental no es así pues hemos obtenido otros ángulos que difieren un poco de 90°, y esto se da debido a los errores cometidos como son: al medir los pesos, los ángulos.
5. ¿Son iguales las lecturas en los dinamómetros en los pasos 6 y 7? ¿Porqué? Luego de medir experimentalmente, hemos observado que las medidas en los pasos 6 y 7 no son iguales debido a que en el paso 7 aumentamos una fuerza más (m=450 g), entonces para que se cumpla la 1era y 2da condición de equilibrio la medidas en los dinamómetros tienen que variar, es decir aumentar su valor. Esquema gráfico de los pasos (6 y 7) 2,1N
4,3N
Paso 6: w b=peso de la barra m b= 205 g Paso 7: w1=peso que hace variar las lecturas del Fac. dinamómetro. Ing. Electrónica
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w=2,0N 3,6N
2,9N
w1=4,4N w=2,0N ¿En que caso los dinamómetros marcarán igual, haga un gráfico que exprese visualmente lo que explique en su respuesta? Los dinamómetros marcarán igual cuando el peso de la barra se encuentre en el punto medio del segmento de la regla limitada por los dinamómetros. La gráfica: F1 d1
d2 w b
Para que F1 y F2
d1 = d2 ¿Porqué?
Por que así se cumple la 2da condición de equilibrio que es F1. d1 + F2. d2 =0
∑ M
F
0
=0
d1 = d2
6. Calcule teóricamente las reacciones en los puntos de suspensión para los pasos 8 y 9 y compare con las lecturas en los dinamómetros? a). Haciendo uso del diagrama del cuerpo libre para el paso 8 se tiene: F1
F4=mg=2N
B
F2 A
F3=4,40N Puesto que con la 1era condición que equilibrio (equilibrio de traslación)
∑ F = 0 no se puede determinar F 1, F 2, hacemos uso en la
2da condición de equilibrio (equilibrio de rotación)
∑ M
F
0
=0
Consideraciones previas: Aceleración de la gravedad en lima g=9,78 m/s 2
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Masa de la barra 0,205 kg., masa acondicionada a la barra: m 1= 0,45 kg. F3= m1g = (0,45)(9,78) = 4,40N mg = (0,205)(9,78) = 2N
∑ M (↑) = ∑M (↓) F1(0,6) = F3(0,4) + F4(0,2) Reemplazando valores F1(0,6) = 4,4(0,4) + 2(0,2)
F1 = 3,6N
Tomamos momentos en el punto B: se obtiene
F2 = 2,8 N
De este procedimiento se obtiene: F 1=3,6N ; F 2= 2,8N de donde F 1 + F2 = F3+F4 se cumple la 1era condición de equilibrio.
b). Haciendo uso del diagrama de cuerpo libre para el paso 9 se tiene: F1
F4
F2
B
A F3
F5 =mA
De la primera condición de equilibrio F3 + F4 + F5 = F1+ F2 ....... (1) F3 = 4,40N
F5 =0,3(9,78) = 2,93N
F4 =(0,205)(9,78) = 2N
9,33 = F 1+ F2 ..........
(2)
Tomando momento en el punto A.
∑ M (↑) = ∑M (↓)
F1(0,6) + F5(0,1) = F4(0,2) + F3(0,4)
F1(0,6) + (2,93)(0,1) = 2(0,2) + 4,4(0,4)
F2= 6,21N
=
3,12N
tomando momento en el punto “B” también se obtiene el
mismo resultado.
Cálculo Experimental P a s o
Cálculo Teórico
F1
F2
F1
F2
3,6N
2,9N
3,6N
2,8N
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P a s o 9
Cálculo Experimental
Cálculo Teórico
F1
F2
F1
F2
3,1N
6,4N
3,12N
6,21N
7. ¿Qué observa de las fuerzas que actúan sobre la regla acanalada? Como se observa la barra o regla se equilibra por lo que ésta permanece en reposo, pero en sí no coinciden en gran medida con lo teórico, ya que no consideramos las fuerzas externas que actúan sobre la barra. Por esto se inclina de acuerdo a las diferentes fuerzas que se aplican al sistema de experimento.
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V.
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CONCLUSIONES •
Del experimento efectuado llegamos a conclusiones como de las ecuaciones de cuerpo rígido ∑F
=0
;
∑τ = 0 , establecen que las
sumas vectoriales de las fuerzas y torques que actúan sobre un cuerpo deben ser nulas, por otro lado que para los cuerpos rígidos, en reposo (estático), la velocidad
V y la velocidad angular
deben ser
idénticamente nulas.
•
Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar el equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación. Por lo tanto se requieren las dos condiciones de equilibrio.
•
Otro aspecto que debemos recalcar es pues el uso importante del álgebra vectorial en la composición de fuerzas y en particular el equilibrio de ellas un problema de gran aplicación en la ingeniería.
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BIBLIOGRAFÍA -
Manual de Laboratorio Física I, UNMSM, Lima
-
MARCELO, ALONSO; EDWARD J. FINN Física Volumen 1 , México, Fondo educativo Interamericano S.A.
1976 -
SABRERA ALVARADO, Régulo; PEREZ TERREL, Walter 1992
Física 1, Lima, W.H.Editores S.R.Ltda.
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