Oscilaciones Forzadas y Amortiguadas (M2) 1
Introducción.
Empíricamente se puede observar cómo la amplitud de un movimiento oscilatorio disminuye disminuye progresivamente a causa de la acción de fuerzas de rozamiento. Este fenómeno se dene como amortiguamiento. La ecuación de este tipo de movimiento se puede deducir a partir de la ecuación general del movimiento de un oscilador armónico, cuya expresión, si el movimiento movimiento tiene lugar en el eje orizontal, es la siguiente! mẍ + kx=0
,
donde donde ẍ es la derivada segunda del vector de posición del oscilador con respecto al tiempo, tomando como referencia su punto de e"uilibro, y -kx es la fuerza recuperadora "ue induce el movimiento armónico. #e este modo, suponiendo "ue la fuerza amortiguadora amortiguadora tiene la forma! Fa =−b v ⃗ ⃗
se tiene "ue! mẍ + kx + b ˙ x =0
$i se divide por m y se introducen nuevas variables! ẍ+
k b x+ x =ẍ+ ω20 x +2 β ˙x =0 , ˙ m m
donde ω0 se denomina frecuencia de vibración libre, y β factor de amortiguamiento. Esta ecuación diferencial admite tres soluciones posibles seg%n los valores "ue presenten ω0 y β, las cuales describen tres tipos cualitativamente distintos de movimiento amortiguado. #icos movimientos est&n representados en la gura '.
()
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d
Figura 1: Tipos de movimiento amortiguado .
El movimiento amortiguado o subamortiguado tiene la forma! x ( t )=Ae
−βt
cos ( ω1 t −δ ) +',
donde A y δ son constantes "ue dependen de las condiciones iniciales del oscilador. $e da cuando ω0² β². En este caso, la amplitud del movimiento decrece en el tiempo exponencialmente seg%n la fórmula! −βt
A = A0 e
+
El movimiento amortiguado crítico tiene la forma! −βt
x ( t )=(A + Bt ) e
+).
donde de nuevo aparecen constantes "ue dependen de las condiciones iniciales del oscilador! A y B. $e da cuando ω0²/ β². La ecuación del movimiento sobreamortiguado es! x ( t )=( Ae
w2 t
+ Be−w t) e−βt +0, 2
donde ω2/ β²-ω0². 1iene lugar cuando ω0²2 β². 3omo se puede observar, ni en este caso ni en el anterior tienen lugar las oscilaciones, sino "ue la amplitud inicial del movimiento se acerca gradualmente a cero. $i al movimiento oscilatorio se le aplica una fuerza externa, constante en el tiempo, "ue tenga por expresión!
(0
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F =F0 cos ( ω t ) +*,
el movimiento "ue se obtiene se denomina movimiento oscilatorio forzado amortiguado. La ecuación general de esta clase de movimiento es! 2
ẍ + ω 0 x + 2 β ˙ x =fcos ( ω t ) ,
donde f es F0/m. La solución de esta ecuación consiste en la suma de un t4rmino "ue describe un estado transitorio del movimiento, "ue depende de las condiciones iniciales y desaparece a lo largo del tiempo, y de un t4rmino "ue describe su estado estacionario. Este %ltimo no depende de las condiciones iniciales, y permanece cuando desaparece el estado transitorio. La solución estacionaria es de la forma! x ( t )=Dcos ( ω t −δ ) +(,
donde amplitud del movimiento y δ su desfase. En particular, D satisface "ue! D ( ω )=
f
√ ( ω −ω 2 0
2 2
) + 4 ω2 β 2
+5
y δ! δ ( ω )=arctan
2ω β +6 2 2 ω0 −ω
$e denomina frecuencia de resonancia ω a a"uella en la "ue la amplitud es m&xima. Esto es! ω = √ ω 0−2 β 2
2
+7
$eg%n esta fórmula, conforme los valores de la constante de amortiguamiento disminuyen con respecto a los de la frecuencia ω0, disminuye tambi4n la amplitud m&xima del movimiento. 8ara valores pe"ue9os del amortiguamiento, se verica "ue !ω, "ue se dene como el intervalo de ω "ue separa a"uellos puntos en los "ue la magnitud de la amplitud es ':; de su m&ximo, es aproximadamente igual "ue β. 8or consiguiente, en dicos casos tal magnitud puede resultar %til para estimar el valor de la ancura de la curva de resonancia.
(*
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#e acuerdo con este marco teórico, en este experimento tratar& de analizarse el comportamiento de un movimiento oscilatorio amortiguado con y sin fuerza externa con ayuda de un p4ndulo de 8ol.
Figura 2: Curvas de resonancia para distintos valores de la constante de amortiguamiento . El mayor valor de dica constante es el de la curva verde, y el menor el de la curva roja.
2
Materiales y Métodos.
Los materiales empleados en este experimento an sido! un p4ndulo de torsión de 8ol de cobre, un motor el4ctrico, una fuente de alimentación, dos multímetros y un cronómetro. El p4ndulo de torsión de 8ol estaba constituido por un p4ndulo de torsión, un volante de cobre unido a un resorte, una escala graduada en forma de espira conc4ntrica al volante y un electroim&n. 8or medio del p4ndulo se pudo simular un movimiento oscilatorio. racias a esto, dado "ue el p4ndulo se colocó estando en contacto con el volante, se pudo originar un conjunto de fuerzas "ue diera origen al amortiguamiento de su movimiento oscilatorio. ? trav4s del motor el4ctrico, una vez conectado a la fuente de tensión y al resorte del p4ndulo de 8ol mediante una palanca, se pudo aplicar al p4ndulo una fuerza de frecuencia variable como la descrita en la fórmula +*. #e acuerdo con este aparato, el movimiento oscilatorio descrito en la introducción se caracteriza por la fórmula! " + c # + r ˙ # = $ ( t) ,
donde % es el momento de inercia del p4ndulo, r el coeciente de amortiguamiento, c ((
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la constante de torsión del muelle y $&t' el momento externo aplicado.
Figura 3: 1) Fuente de alimentaci ó n de a) el electroim & n y b) el motor; 2) sistema de torsi ó n con c) un volante de cobre, d) una espiral de acero, e) un freno magn4 tico y f) una escala graduada; 3) motor el 4 ctrico; 4) mult ím e tros .
El factor de amortiguamiento es! β=
r 2%
,
la frecuencia propia!
√
ω0 =
c % ,
y la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas!
√
2
2
ω1 = ω0 −β
+'@
Las primeras medidas "ue se tomaron, sin encender el motor ni la fuente de alimentación al freno magn4tico fueron! a del tiempo "ue tardó en completar el p4ndulo '@ oscilaciones, colocando el p4ndulo en torno a los ( centímetros marcados por la escala graduada, y b de los distintos tiempos cada '@ oscilaciones "ue el p4ndulo tardó en regresar a su posición de e"uilibrio, colocando el p4ndulo como punto de partida en su posición límite Las siguientes medidas "ue se tomaron fueron de los tiempos, en intervalos de oscilaciones regulares, "ue el p4ndulo tardó en regresar a su posición de e"uilibrio, aplicando una diferencia de tensión de ) ( y *( al freno magn4tico. (5
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Las %ltimas medidas "ue se tomaron sin encender el motor fueron de la tensión necesaria para en el "ue el amortiguamiento fuera crítico, y del tiempo "ue, aplicando dica tensión, el p4ndulo tardó en volver a su posición de e"uilibrio. 8uesto "ue el motor estaba previamente calibrado, tras conectarlo, se tomaron medidas de la amplitud del movimiento oscilatorio forzado del p4ndulo para distintas tensiones, jando la fuente de alimentación del electroim&n en ) ( y *(.
3
Resultados !"erimentales. Las primeras medidas "ue se obtuvieron fueron! Tabla 1: !edidas del tiempo en completar 1" oscilaciones del p 4 ndulo sin
aplicar tensi ón al electroim & n. #iem"o (s) 1#,$" 1#,#2 1#,$3 1#,$% rror !"erimental
B","1
La media de estos valores es! '5.(*5* s. El error de esta media, dado "ue su magnitud es mayor "ue la del error experimental, viene dada por el error cuadr&tico!
) ( t )=tn −1
√
4
( t −t ∑ = *
*
m
)2
1
n (n −1)
donde n es el n%mero de medidas, y el valor de la t de student "ue se a escogido es el correspondiente al de ) grados de libertad y un intervalo de conanza del 7*A, ).'6. #e esta manera, redondeando! +'5.(( B @.@6 segundos. #e acuerdo con este valor, dado "ue las medidas se an tomado cada '@ oscilaciones, la magnitud del período del p4ndulo es la siguiente! +1 =
tm 10
,
)( tm ) 10
=(1.,0.0/) 10−1
C su frecuencia angular!
(6
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ω1 =
2 2 −1 , 2 ) (+ )=( .3,0.02 ) s + +
Las siguientes medidas an sido! Tabla 2: !edidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado del p 4 ndulo cada die& oscilaciones, sin aplicar al electroim & n tensi ó n alguna . Am"litud (cm) 1*,%" 1#,1" 1+,3" 14,"" 12,%" 11,4" 1",4" *,2" %,4" #,4" $,4" +,$" +,"" rror !"erimental
B","+
#iem"o (s) ","" 1#,$+ 3+,+" +3,31 #",%3 %%,$* 1"$,1+ 124,"" 141,#+ 1+*,3# 1##,12 1*4,$2 212,1*
B ","1
En base a estos datos puede realizarse la siguiente gr&ca!
2./14/3 0.014130 -0.000 0.00011 0.3
5A
'r&fica 1: (epresentaci ó n del logaritmo neperiano de la amplitud del movi miento del p 4 ndulo en funci ó n del tiempo cada 1" oscilaciones, sin aplicar ninguna tensi ó n al electroim& n
(7
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$i se compara la recta del ajuste lineal de la gr&ca anterior con la fórmula +, se tiene "ue! 6n ( A )=6n ( A 0 )−βt =2.4/+ 0.00t
En otras palabras, el valor de la constante de amortiguamiento del movimiento oscilatorio del p4ndulo es, cuando no se aplica ninguna tensión al electroim&n, el mismo "ue el de la pendiente, cambiada de signo, de dico a juste. 8or lo tanto! −
−1
β1 =(.,0.1) 10 s ?plicando la fórmula!
δ1 =β1 + 1 se puede obtener el logaritmo neperiano del cociente entre dos amplitudes sucesivas, de nominado decremento logarítmico del movimiento. El error de dica medida vendría dado por!
) ( δ1 )=√ (+ 1 ) ( β1 )) +( β 1 ) (+ 1 )) 2
2
?sí! − −1
δ1 =( 11.1,0.2) 10
s
El cociente entre ω0 y ω1 se puede obtener a partir de la fórmula +'@. #e esta manera, operando se llega a "ue!
ω0 =√ ω1 + β 2
2
,
con lo "ue! ω0 ω1
2
=
ω1 +β 2
ω
2
2
= 1+
β
2
ω
El error de esta expresión est& dado por!
( )
ω ) 0 = ω1
2
β1 2
ω1 1 +
2 1 2
β ω
2
2
β1
) ( β1 ) +
2 ω1 1 +
2 1 2
β
)( ω1 )
ω
#e este modo, +ω0:ω11 / +''@⁹ B ''@⁻⁹. 5@
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La siguiente tabla de datos se a obtenido aplicando ) ( al electroim&n. Tabla 3: !edidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado del p 4 ndulo de cada oscilaci ó n, aplicando al electroim & n ) V. Am"litud (cm) 1*,%" 1+,"" 12,"" *,2" #,$" +,%" 4,$" 3,%" 2,%" 2,2" 1,%" 1,4" 1,2" rror !"erimental
B ","+
#iem"o (s) ","" 1,+$ 3,44 +,1* $,*4 %,$+ 1",44 12,13 14,"" 1+,#+ 1#,+" 1*,3# 21,1" B ","1
La representación del logaritmo neperiano de cada medida de la amplitud con respecto al tiempo es!
2.14 0.013/4 -0.1/0 0.001421 0.//
5A
'r&fica 2: (epresentaci ón del logaritmo neperiano de la amplitud del movi miento del p 4 ndulo en funci ó n del tiempo de cada oscilaci ó n, aplicando ) V al electroim& n
$iguiendo el mismo procedimiento "ue en el caso anterior, se a obtenido el siguiente resultado del factor de amortiguamiento! 5'
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− 2 −1
β2 =(1.4,0.1 ) 10 s
,
y del decremento logarítmico! − 2 −1
δ2 =( 2.,0.2) 10
s
#e la misma forma! + ω0:ω12 / +'@@@'55 B ) '@⁻⁶. La siguiente tabla y el siguiente gr&co son! Tabla 4: !edidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado del p 4 ndulo de cada oscilaci ó n, aplicando al electroim & n * V. Am"litud (cm) 1*,%" 1",2" +,%" 3,2" 1,%" 1,"" ",$" ",4" ",2" rror !"erimental
B ","+
#iem"o (s) ","" 1,$+ 3,44 +,2+ #,"$ %,$2 1",+$ 12,12 13,%3 B ","1
2./24/1 0.0440/3 -0.2// 0.0032 0./1
5A
'r&fica 3: (epresentaci ón del logaritmo neperiano de la amplitud del movi miento del p 4 ndulo en funci ó n del tiempo de cada oscilaci ó n, aplicando * V al electroim& n
5
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En este caso, el factor de amortiguamiento β es +).0 B @.*'@⁻D s⁻. 8or lo tanto, el decremento logarítmico δ tiene el valor! +*5 B ''@⁻D s ⁻. ?dem&s! +ω0:ω1 / +'@@'@0 B )'@⁻⁵. La representación de los tres factores de amortiguamento en función de la tensión, son!
-0.0102 0.04/2 0.01// 0.0144 0.4
5A
'r&fica 4: (epresentaci ón de las constantes de amortiguamiento del movi de la tensi ó n aplicada al electroi miento oscilatorio del p 4 ndulo en funci ón m& n
La tensión a partir de la cual el movimiento dejó de ser oscilatorio fue de +'(.7* B @.@' (. ?plicando dica tensión, se tomaron las siguientes medidas de cu&nto tardaba el p4ndulo en llegar a su posición de e"uilibrio partiendo de la posición correspondiente a '7.0cm. Tabla +: !edidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado del p 4 ndulo de cada oscilaci ó n, aplicando al electroim & n 1$*+ V. #iem"o (s) 1,12 1,31 1,44 1,3# 1,1* rror !"erimental
B","1
La medida de estas medidas es! '.6( s. El error "ue se tomó de esta medida fue el cuadr&tico, ya "ue su magnitud era 5)
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mayor "ue el del error experimental. La t de student elegida fue la correspondiente a 0 grados de libertad y a un intervalo de conanza del 7*A, .55(. ?sí, tm1 / +'.) B @.s. Elevando la tensión a '7.06F se obtuvieron los siguientes resultados! Tabla $: !edidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado del p 4 ndulo de cada oscilaci ó n, aplicando al electroim & n 1*4% V.
#iem"o (s) 2,$2 2,+$ 2,31 2,42 rror !"erimental
B ","1
La media y el error de estas medidas es! tm2 / +.* B @.s En este caso, el error escogido tambi4n fue el cuadr&tico. La t de student escogida fue la correspondiente a ) grados de libertad y un intervalo de conanza del 7*A, ).'6. La siguiente gr&ca muestra el calibrado del motor!
'r&fica +: Calibrado del motor
50
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#e acuerdo con este calibrado, se tomaron las siguientes medidas de la amplitud del movimiento oscilatorio forzado del p4ndulo, tras aplicar al motor distintas tensiones, y al electroim&n voltajes de ) y * (. 3ada una de las medidas se tomó despu4s de unos segundos, despu4s de desapareciera el movimiento transitorio del p4ndulo y sólo "uedara el estacionario. Tabla #: !edidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado for&ado del p 4 ndulo de cada oscilaci ó n, aplicando al electroim& n 3 y + V, y
distintas tensiones al motor . Am"litud (cm)
rror !"erimental
#ensión ($)
%ara la tensión de 3$
%ara la tensión de &$
2,"" 2,+" 3,"" 3,4* 4,"" 4,4* +,"" +,4* $,"" $,+" #,1" #,2" #,3" #,4" #,4* #,$" #,#" #,%" #,*" %,"" %,4* %,*% *,+"
",4" ",+" ",$" ",$" ",#" ",#" ",%" 1,"" 1,2" 1,#" 3,*" 4,%" +,*" $,$" $,#" +,#" 4,+" 3,$" 3,"" 2,#" 1,+" 1,"" ",#"
",4" ",4" ",+" ",+" ",$" ",#" ",%" ",*" 1,"" 1,4" 2,"" 2,2" 2,2" 2,3" 2,4" 2,2" 2,1" 2,"" 1,%" 1,$" 1,1" ",%" ",$"
B ","1
B ","+
En ambos casos de tensiones aplicadas al electroim&n +) y *(, la amplitud m&xima de las oscilaciones amortiguadas forzadas tuvo lugar al aplicar 5.07 voltios al motor el4ctrico. El cociente entre ambas amplitudes m&ximas es de .6B@.), donde el error se a calculado mediante la fórmula.
) ( A max1 / A max2 )=)( A) √ A 1 + 1 / A2 2
2
5*
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Lo anterior se puede apreciar en la gr&ca 6, "ue es la suma de las siguientes gr&cas!
'r&fica $: (epresentaci ó n de las medidas de la amplitud del movimiento os cilatorio for&ado del p 4 ndulo seg % n la tensi ón aplicada al motor, estando el electroim& n conectado a 3 V
'r&fica #: (epresentaci ó n de las medidas de la amplitud del movimiento os cilatorio for&ado del p 4 ndulo seg % n la tensi ón aplicada al motor, estando el
5(
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'r&fica %: uperposici ón de las gr & ficas $ y #
$eg%n la ecuación del ajuste lineal del calibrado, se tiene "ue la frecuencia de resonancia tiene el valor!
f =80.00232 + 0.041+max=0.39: 8or consiguiente! −1
ω 1 =2 f =.3/s
$e puede calcular un valor teórico de la frecuencia de resonancia aplicando la fórmula +7, y teniendo en cuenta el valor de ω1 y los resultados de la constante de amortiguación obtenidas en el caso del movimiento oscilatorio amortiguado no forzado para las tensiones aplicadas al electroim&n de ) y * (. ?sí, para el caso de los )(! −1
ω 2 =√ ω 1−2 β2 =.3343202s 2
2
El error de esta medida es! ) ( ω 2 )=
√(
ω1
2
) ( ω1 ) 2 2 ω − 2 β √ 1 2
) ( √ − +
2 β2
2
ω1
) (β 2) 2
2 β2
)
=0.0201-/404 s−1
Gedondeando! −1
ω 2 =(.33,0.02) s
55
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#e la misma manera!
ω =√ ω −2 β , 2 1
2
√(
2
) ( √ −
ω1
) (ω 1 ) + 2 2 √ ω1−2β
2 β
ω
2 1
2β
2
) ( β )
)
8or tanto! −1
ω =(.3,0.02) s
1eniendo en cuenta la fórmula +5 se puede obtener tambi4n un valor teórico del cociente entre las amplitudes m&ximas del movimiento oscilatorio amortiguado forzado del p4ndulo para las tensiones de ) y *(. #e esta manera!
√
(ω 20− ω2 )2 + 4 ω 2 β 2 ω β = = =2.4042//41D ( ω 2 ) (ω 20− ω2 2 )2 + 4 ω 22 β 22 ω 2 β2 D ( ω )
El error de esta medida se puede calcular mediante la expresión! )
D ( ω ) D ( ω 2 )
=
√(
) ( 2
)
2
2
β ω ω β ω β ) ( ω ) + ) (β ) + 2 ) ( ω 2 ) + ) ( β2 ) 2 ω 2 β2 ω 2 β2 ω 2 β2 ω 2 β2
8or tanto! D ( ω ) D ( ω 2 )
'
=2.4,0.2
iscusión de resultados.
Las tres primeras gr&cas se ajustan al modelo de movimiento oscilatorio amortiguado o subamortiguado, descrito en el marco teórico, con un coeciente de correlación de 8earson muy cercano '. En el caso de la primera gr&ca, esto "uiere decir "ue, a pesar de "ue no se aya aplicado ninguna tensión al freno magn4tico, las fuerzas de rozamiento "ue actuaron sobre el p4ndulo no son nulas. 8or esto, aun"ue de pe"ue9a magnitud, se obtuvo una constante de amortiguamiento mayor "ue cero. 1al y como se predijo, se puede observar "ue a medida "ue se incrementa la magnitud de las fuerzas de rozamiento por medio de la tensión aplicada al freno magn4tico, aumenta linealmente la constante de amortiguación de los distintos movimientos. Esto se puede vericar en la gr&ca *, aun"ue no con un buen grado de precisión seguramente debido al propio m4todo experimental +puede aber afectado a las medidas el sobrecalentamiento del freno magn4tico a medida "ue se iba aumentando la tensión, por 56
2
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ejemplo. Las sucesivas relaciones +ω0:ω1*; "ue indican las contribuciones del factor de amortiguamiento a la magnitud de ω0, tambi4n corroboran dico aumento. Este, sin embargo, es lento a causa de las pe"ue9as magnitudes de las constantes. Los datos de la tabla * se ajustan a los de un movimiento amortiguado crítico, mientras "ue los datos de la tabla ( se ajustan a los de un movimiento sobreamortiguado. ?sí, en particular, se puede observar "ue no existe oscilación en ambos tipos de mo vimiento, y "ue llega antes a su posición de e"uilibrio un movimiento oscilatorio amortiguado crítico. En este sentido, no a abido ninguna contradicción entre el modelo teórico de los distintos tipos de movimiento oscilatorio amortiguado y la realidad. En cuanto al movimiento oscilatorio amortiguado forzado, las gr&cas ( y 5 obtenidas se asemejan a las representadas en la gura , lo "ue indica "ue son acertadas las deducciones del marco teórico al menos en el plano cualitativo. En el plano cuantitativo, de acuerdo con las medidas experimentales y teóricas obtenidas de las frecuencias de resonancia y del cociente entre las amplitudes m&ximas de los movimientos al aplicar ) y * ( al electroim&n, tambi4n son acertadas las deducciones. #e esta forma, se solapan todos los resultados obtenidos de las frecuencias de resonancia, y son próximas las medidas obtenidas del cociente de las amplitudes m&ximas. Estas %ltimas no se solapan, probablemente, debido a alg%n error sistem&tico "ue no a sido tenido en cuenta.
&
onclusiones.
El modelo teórico de movimiento oscilatorio amortiguado forzado y no forzado se ajusta adecuadamente a los resultados experimentales obtenidos.
57