LD H oj ojas as de Fí sic si ca
Mecánica Movimientos de rotación del cuerpo rígido Momento de inercia
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Momento de inercia y forma del cuerpo
Objetivos del experimento !
Determinación de los momentos de inercia de cuerpos de simetría de rotación en base a su período de oscilación sobre un eje de torsión.
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Comparación de los períodos de oscilación oscilación de dos cuerpos de distinta masa pero de igual momento momento de inercia.
!
Comparación de los períodos de oscilación oscilación para cuerpos huecos de igual masa e iguales medidas.
!
Comparación del período de oscilación oscilación de dos cuerpos de igual masa e igual forma pero de diferentes dimensiones. dimensiones.
Fundamentos El momento de inercia de un cuerpo es una medida de la resistencia que éste presenta ante un cambio de su movimiento de rotación, y depende de la distribución de su masa respecto del eje de rotación. Para calcular el momento de inercia J se divide el cuerpo en una cantidad suficiente de elementos de masa !mi a distancia r i del eje de rotación y se realiza la sumatoria sobre tod os los elementos de masa: J " $ !mi # r i 2
El cálculo de la integral se simplifica si se toman cuerpos con simetría de rotación rotando en torno de su eje de simetría. El caso más sencillo aquí es el de un cilindro hueco de paredes finas con un radio R . Dado que todas las porciones de masa están a distancia R del eje de rotación, vale para el cilindro hueco J " M # R 2 !
(I)
En el caso de un cilindro sólido de igual masa M e e igual radio R , la ecuación (II) se transforma en la fórmula
i
Para cuerpos con distribución de masa continua, la sumatoria se convierte en una integral. Si, además, la distribución de masa es homogénea, se obtiene finalmente 1 J " M # # % r 2 # dV V V
R
1 J " M # # % r 2 # 2& # r # H # dr con V " & # R 2 # H " V 0
(II)
y se obtiene 1 J " # M # R 2 " 2
M : masa total, V: volumen V: volumen total, r: distancia r: distancia de un elemento de volumen dV al eje de rotación
Fig. 1
(III)
Cálculo de los momentos de inercia de un cilindro hueco, de un cilindro macizo y de una esfera
l e S 4 1 1 1
1
(IV)
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L D H ojas de F í sica Montaje y desarrollo
Materiales
El montaje del experimento se muestra en la fig. 2.
1 eje de torsión 1 juego de cilindros para el eje de torsión 1 esfera para el eje de torsión
347 80 347 81 347 82
1 trípode pequeño en forma de V
300 02
1 cronómetro I, 30 s / 15 min
313 07
- Adosar la esfera y marcar la posición cero sobre la mesa. - Hacer girar 180° la esfera hacia la derecha respecto de la
posición cero, y soltar. - Comenzar a medir el tiempo cuando la esfera pase la posi-
ción cero, y detener la medición luego de cinco oscilaciones. - Calcular el período d e oscilación T . - Reemplazar la esfera por un disco y repetir la medición. - Reemplazar el disco por el soporte. - Repetir la medición primero con el cilindro macizo y luego
El momento de inercia de un cilindro sólido es, entonces, más pequeño que el del cilindro hueco, ya que las distancias de las porciones de masa al eje de rotación están entre 0 y R.
con el cilindro hueco. - Por último, realizar la medición con el soporte vacío.
Para la esfera sólida de radio R se obtendrá un valor de momento de inercia todavía más bajo (ver fig. 1). La ecuación (II) se convierte aquí en la fórmula R
1 4& 3 J " M # # % r 2 # 2& # r # 2 # R 2 ' r 2 # dr con V " # R # V 0 3
Ejemplo de medición Tabla 1: Comparación de los cuerpos observados y de los períodos de oscilación medidos
y se obtiene 2 J " # M # R 2 # 5
(V)
Además de la masa M y el radio R de los cuerpos observados, hay un tercer factor, adimensional, que entra en el cálculo del momento de inercia, el cual depende de la forma del cuerpo. El momento de inercia es determinado por el período de oscilación de un eje de torsión sobre el que están adosados los cuerpos de prueba y que está elásticamente unido al trípode mediante un muelle de voluta. El sistema es llevado a oscilar de manera armónica. En caso de ser conocida la constante de torsión D, se toma el período T de oscilaciones y se obtiene el momento de inercia del cuerpo de prueba 2
( T ) + , 2& -
J " D#*
M
2 # R
5 # T
T
g
cm
s
s
Esfera maciza
930
14,5
9,2
1,84
Cilindro macizo chato (disco)
340
22
9,6
1,92
Cilindro macizo alto
330
9
4,7
0,94
Cilindro hueco
360
9
6,2
1,24
Soporte vacío
–––
–––
2,9
0,580
Cuerpo
(VI)
Análisis Fig. 2
Montaje del experimento para determinar los momentos de inercia de algunos cuerpos con simetría de rotación
a) Comparación cualitativa: Cuerpos de distinta masa pero de igual momento de inercia: La esfera y el cilindro macizo chato (disco) tienen distinta forma y distinta masa. Oscilan con un período aproximadamente igual, o sea, tienen igual momento de inercia. Cuerpos huecos y macizos: Los cilindros huecos y los macizos tienen una masa aproximadamente igual e igual diámetro. Los períodos de oscilación se diferencian claramente, o sea, tienen diferente momento de inercia. Cuerpos de igual masa y forma pero de distintas dimensiones: El cilindro macizo chato (disco) y el cilindro macizo alto tienen una masa aproximadamente igual pero distinto diámetro. Oscilan con períodos claramente distintos, o sea, tienen diferente momento de inercia. 2
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b) Comparación cuantitativa: Con la ecuación (VI) puede calcularse el momento de inercia J en base a los períodos de oscilación T de la tabla 1. En el experimento P1.4.5.1 se determinó la constante de torsión D, necesaria para el cálculo: D " 0,023
Nm rad
Los resultados del cálculo constan en la tabla 2. Para el so2 porte vacío se obtiene J = 0,2 g m En la tabla 2 se i ndican, además, los factores adimensionales de las ecuaciones (III), (IV) y (V), y son comparados con los valores calculados en base a los valores medidos. En todos los casos (esfera maciza, cilindro macizo y hueco) coinciden la medición y la teoría dentro de los márgenes de precisión de la medición.
Tabla 2: Momentos de inercia J determinados en base a los períodos de oscilación medidos. J
J 2
J
g#m
M # R
Esfera maciza
2,0
0,41
Cilindro macizo chato (disco)
2,1
0,51
1 2
Cilindro macizo alto
0,32 *
0,48
1 2
Cilindro hueco
0,70 *
0,96
1
Medición
Teoría
Cuerpo
2
M # R 2 2 5
* luego de descontar el momento de inercia del soporte vacío
Resultado Para la determinación del período de oscilación de un cuerpo sobre un eje de torsión es importante el momento de inercia y no la masa. El momento de inercia depende no sólo de la masa y el radio, sino también de la forma del cuerpo con simetría de rotación. A igual masa y forma, el momento de inercia es proporcional al cuadrado del diámetro. Un cuerpo hueco tiene, a igual masa e iguales dimensiones, un mayor momento de inercia que un cuerpo macizo. LD Didactic GmbH .by LD Didactic GmbH
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