CALCULO
C A P I T U L O N O. 1
1.4.- D E S I G U A L D A D E S
OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y sepa indicar indica r el resultado mediante las tres formas vistas.
1.4.1.- Definición de Desigualdad.Una desigualdad, llamada también inecuación por algunos autores, es una expresión matemática, específicamente del álgebra, que nos indica que un cierto conjunto de números son mayores, menores y/o iguales a una cantidad dada. Por ejemplo:
• (2x2 + 3x – 2) < (4x + 1) En este primer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a 2
( 2x + 3x – 2 ), deben ser estrictamente estrictamente menores que ( 4x + 1 ).
• (6x – 3) > (x2 + 2) En este segundo caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a 2
( 6x – 3 ), deben ser estrictamente estrictamente mayores que ( x + 2 ).
• ( x – 6) ≥ 9 En este tercer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a ( x – 6 ), deben ser mayores o iguales a 9.
• 3x2 + 5≤ ( 8x + 2 ) En este cuarto caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen al valor 2
absoluto de ( 3x + 5 ), deben ser menores o iguales a ( 8x + 2 ). Dado que las desigualdades siempre están dadas mediante una expresión matemática que contiene variables, la solución de ellas siempre es una región del plano. A diferencia de las ecuaciones, que son igualdades, en las que la solución siempre es un conjunto bien definido de valores cuya cardinalidad está dada por el orden de la ecuación. 1.4.2.- Propiedades de las Desigualdades. Para resolver las desigualdades se observan las mismas reglas del álgebra, por lo que podemos efectuar las siguientes operaciones:
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AVILA
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• Si le sumamos el mismo numero a ambos miembros de una desigualdad sin importar el signo, la dirección de la desigualdad NO se altera. Es decir,
si A > B
De la misma forma,
C>0
y
si A > B
A+C>B+C
entonces C< 0
y
A– C>B-C
entonces
• Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero positivo la dirección de la desigualdad NO se altera. Es decir,
si A > B
y
C>0
entonces
A* C>B*C
• Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero negativo la dirección de la desigualdad se invierte. Es decir,
si A > B
y C< 0
A*C
entonces
Nota.- Recuerde que dividir ambos miembros de una desigualdad por el mismo número es igual a multiplicarlos por el inverso de tal número, por lo que estas dos últimas propiedades son aplicables para el caso c aso en que dividimos ambos miembros de la desigualdad por el mismo número sea positivo po sitivo o negativo. 1.4.3.- Resolución Desigualdades Lineales. 1.4.3.1.- Resolución Analítica. Son las más simples simples ya que solamente contienen variables elevadas a la primer potencia, por lo lo que para resolverlas basta con aplicar las reglas indicadas en el apartado anterior. Sea el siguiente ejercicio: Resuelva la desigualdad indicada. 1.- ( 4x – 8) > (x – 9) Solución: Agrupamos del lado izquierdo de la desigualdad las incógnitas y del lado derecho las constantes empleando las reglas señaladas. 4x – x > -9 + 8 Hacemos las operaciones elementales contenidas en cada miembro y despejamos el coeficiente de la variable “ x “ que en este caso es “ 3 “ obteniendo así la solución pedida. 3x > 1 x > -1/3 La solución son todos los reales estrictamente mayores que –1/3. La solución dada como un intervalo adopta la siguiente forma: 38 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S
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x ∈ ( -1/3,
∞)
La solución dada en notación de conjuntos adopta la siguiente forma: S = { x / x ∈ ℜ y x > -1/3 } La representación gráfica de la solución la mostramos enseguida:
Los reales que se encuentran en esta región Satisfacen la desigualdad.
-1/3
0
1.4.3.2.- Resolución Gráfica. Dado que al resolver una desigualdad lineal estamos operando sobre dos expresiones de este tipo y como estas siempre representan rectas, entonces, resolver la desigualdad no es otro cosa que determinar el punto de intersección de las dos rectas y, a partir de él, identificar la región en la cual una de las rectas es mayor, menor y/o igual a la otra según sea la desigualdad. A partir de tal punto una de las rectas estará sobre o por debajo de la otra y este comportamiento es el que determina la solución. Por ejemplo, en la desigualdad anterior, la gráfica de las rectas se muestra en la Fig. siguiente. La recta en rojo y línea continua representa al miembro izquierdo de la desigualdad y su ecuación es y = 4x – 8 mientras que la recta en azul y línea discontinua representa al miembro de la derecha de la desigualdad y su ecuación es y = x – 9. El punto de intersección está indicado por la línea discontinua vertical en rojo y pasa precisamente por la abscisa –1/3. A partir de ella y hacia la derecha la recta en rojo es evidentemente mayor que la recta en azul por lo que la solución está dada por todos lo reales mayores que –1/3 como ya lo mostramos en la solución analítica.
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10
−1
3
f ( x) g( x )
− 20 −8
x
10
1.4.3.3.- Ejercicios. Siguiendo una estrategia semejante a la del ejercicio anterior, resuelva las siguientes desigualdades en forma analítica y gráfica e indique el resultado en la tres formas vistas.
1.- 2x + 6 < 4x + 2
2.- 6x -5 ≤ 2x + 6
3.- 5x - 5 < 4x + 6
4.- 3x + 6 < x – 1
5.- 7x + 8 ≤ x - 6
6.- 5x + 9
7.- - 5
8.-
9.-
≥
2x + 3
10.- 7x + 6
>
25
9x + 7 ≥ x - 4
11.- 4x - 3 > 4 x + 5
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AVILA
2x + 6
2x + 1 > 4
12.- 2x + 7
40
≥
≤
4x + 14
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1.4.4.- Desigualdades Cuadráticas.Este tipo de desigualdades, como su nombre lo indica, son aquellas en la que en alguno de sus miembros o en ambos aparece un término cuadrático, por ejemplo: 2
x – 3x + 2 > 0 2
3x – x + 8 2
4x + 7x - 1
≤ x-2 ≤ x2 - 6
Utilizando lo ya indicado en el caso de las desigualdades lineales y trasladándolo a este caso, es fácil “leer” que para el primer ejemplo, la solución será todos lo reales que pertenecen a la curva parabólica que representa el miembro cuadrático de la desigualdad pero que se encuentran “ por encima “ del eje de las abscisas, es decir, que son mayores que cero ( 0 ). A partir de este apunte diseñamos la estrategia para resolver nuestras desigualdades cuadráticas: En los siguientes dos casos (No hay otro diferente) la estrategia siempre será operar la desigualdad para darle la forma que tiene la primera y hacer lo indicado en el párrafo anterior, cuyo desarrollo veremos en el siguiente punto. 1.4.5.- Resolución de Desigualdades Cuadráticas. 1.4.5.1.- Resolución Analítica. Este punto lo desarrollaremos a partir de un ejemplo: Encuentre el conjunto solución de la siguiente desigualdad cuadrática: 2
x – 3x + 2 > 0 La solución de esta desigualdad se obtiene mediante los siguientes pasos: 1.- Factorizamos la cuadráticas empleado alguno de los métodos ya conocidos y la expresamos conservando la desigualdad. En este caso, mediante suma y producto de términos encontramos que la factorización esta dada por: (x–2)(x–1)>0 2.- Establecemos las condiciones bajo las cuales se cumple la desigualdad aplicando para este caso la regla de los signos. Este segundo paso es necesario hacerlo ya que, como nuestra cuadrática determina DOS factores y el producto de ellos debe ser, en este caso, positivo, entonces, la desigualdad se cumplirá cuando ambos factores sean positivos {ya que mas (+) por mas (+) nos de mas (+)}, o cuando ambos factores sean negativos {ya que menos (-) por menos (-) nos da mas (+)}. En forma matemática esto queda dado por: 41 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S
AVILA
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(x–2)(x–1)>0 Se cumplirá si: Primera Condición:
y
(x–1)>0
( x – 2 )< 0 y
(x–1)<0
(x–2)
>0
O cuando: Segunda Condición:
3.- Resolvemos las condiciones que hacen que se cumpla la desigualdad, recordando que la conjunción “ y “ nos indica intersección o simultaneidad en la satisfacción de las condiciones. Es decir, el conjunto solución de la primera condición debe satisfacer simultáneamente que tanto ( x – 2 ) sea positivo como que ( x – 1 ) sea también positivo. 3.1.- Resolvamos pues la primera condición utilizando las reglas archimencionadas: (x–2) x>2
>0
(x–1)>0
y y
x >1
Es conjunto solución determinado por esta primera condición es la intersección de las dos soluciones individuales. Es decir, el conjunto de Reales que satisfacen simultáneamente a ambas soluciones. Es claro que la solución es: x>2 Ya que todo real mayor que 2 también es mayor que 1 como mostramos en la grafica siguiente.
0
1
2
x>2
3.2.- Resolvamos la segunda condición utilizando las reglas multimencionadas. (x–2)<0 y
(x–1)< 0
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AVILA
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x<2
y
x<1
Es conjunto solución determinado por esta segunda condición es la intersección de las dos soluciones individuales. Es decir, el conjunto de Reales que satisfacen simultáneamente a ambas soluciones. Es claro que la solución es: x<1 Ya que todo real menor que 1 también es menor que 2 como mostramos en la grafica siguiente.
0
1
2
x<1 4.- Establecemos el conjunto solución como la Unión de las dos soluciones individuales. La solución final serán los reales que cumplan la solución dada por la primera condición “ o “ los reales que cumplan la solución dada por la segunda condición. En este caso, la partícula “ o “ significa unión de soluciones. Por lo tanto, la solución pedida, que SIEMPRE se lee de izquierda a derecha, está dada por: (x<1)U(x>2) La solución expresada como un intervalo queda dada por: ( ∞ < x <1 ) U ( 2 < x < ∞ ) La solución expresada mediante notación de conjuntos S = {x / x ∈ ℜ y x ∈ ( ∞, 1 ) U ( 2,
∞ )}
La solución expresada mediante una gráfica que dada por:
1
2
0
1.4.5.2.- Resolución Gráfica. 43 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S
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La resolución de este tipo de desigualdad sigue una estrategia semejante a la utilizada en el caso de las lineales. Basta con graficar la parábola que representa a la cuadrática y encontrar sobre la curva la región que satisface que sea mayor, menor y/o igual a cero. Es decir, aquella región determinada por la curva que q ue se encuentra por encima, por debajo y/o que contenga al eje de las abscisas, según mostramos en la gráfica siguiente.
7 1
2
1
2
6
4
f ( x)
2
1
0
3
4
−1 −1
x
4
En forma inmediata observamos en la gráfica que los valores de x que corresponden a puntos que están sobre la parábola y determinan ordenada “ y “ positiva, es decir, mayor que cero ( 0 ) como lo señala la desigualdad original, son todos los que se encuentran a la izquierda de 1 ( uno ) y los que están a la derecha de 2 ( dos) que es la misma solución que obtuvimos en forma analítica. 1.4.5.3.- Ejercicios.Siguiendo una estrategia semejante a la vista en este apartado, encuentre la solución en forma analítica y en forma gráfica de las siguientes desigualdades y dé la solución en las tres formas vistas.
2
1.- 3x – x + 8 2
4.- 3x + 5x - 1
≤ x-2 ≤ 5x2 - 6
2
≤ x2 - 6
3.- x – x + 8
2
> 9x - 2
6.- 3x + x - 1
2.- 4x + 7x - 1 5.- 2x – x + 8
2
2
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AVILA
≥ 2x2 - 2 ≤ x2 - 9
CALCULO 2
7.- x – x + 3 2
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< x-2
10.- 3x + 7x - 1
2
≤ 6x2 - 1
9.- 5x – x + 8
2
> 2x - 9
12.- x – x – 6 < 0
8.- 4x + 7x - 1
≤ x2 - 8
11.- 8x – x + 8
2
≥ 2x2 - 2
2
2
13.- x + x + 1 > 0 1.4.6.- Desigualdades Fraccionarias.Como su nombre lo indica, este tipo de desigualdades implican el cociente de dos expresiones algebraicas que pueden ser ambas lineales o una de ellas o las dos cuadráticas. Es claro que a medida que la linealidad de los componentes de la desigualdad se altera, el proceso de resolución se vuelve más complicado. Ejemplos de desigualdades de este tipo son las siguientes:
( x − 2) 2x − 5
9 2x + 4
( 3x − 5)
≥9
≤ x− 5
( 2x + 7)
6 2
x
−1
≤ 5x + 1
≥ 3x + 1
1.4.7.- Resolución de desigualdades Fraccionarias. 1.4.7.1.- Resolución Analítica. Este punto lo desarrollaremos a partir de un ejercicio: Encuentre el conjunto solución de la siguiente desigualdad fraccionaria:
( 4x − 3) 2x + 1
>5
Para encontrar el conjunto solución de este tipo de desigualdades seguimos los pasos que a continuación se enlistan. 1.- Para poder resolver esta desigualdad es necesario despejar el término que aparece en el denominador. Como ya sabemos, esto lo logramos multiplicando ambos miembros de la desigualdad por tal término, que en este caso es: 2x + 1
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Sin embargo, al hacer esta multiplicación es necesario recordad las propiedades de las desigualdades, ya que, esta expresión al contener la variable “ x ” que puede tomar todos los reales, puede ser positiva o negativa, por lo tanto, se nos presentaran los siguientes dos casos: 2.- Si tenemos que: 2x + 1 > 0 → positivo Estaremos multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo, por lo que la dirección de la misma no se altera, y nos queda dada por: 4x – 3 > 5 (2x + 1) Esta primer condición preserva la dirección de la desigualdad. Enseguida la resolvemos como ya hemos visto. 4x – 3 > 10x + 5 4x – 10x > 5 + 3 -(-6x > 8) 6x < -8 x < -8/6 Esta es la solución de la desigualdad determinada por la misma condición. Sin embargo, esta solución está sujeta a que: 2x + 1 > 0 Cuya solución es: x > -1/2 La solución determinada en este primer caso es la intersección de las dos, lo que nos conduce al conjunto VACIO, es decir, NO hay “ x “ en los reales reales que simultáneamente sea menor que –8/6 y mayor que –1/2 según mostramos en la gráfica siguiente.
x < -8/6
x > -1/2
-8/6
-1/2
0
Es el conjunto vacío ∅ 3.- Ahora si consideramos que: 46 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S
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2x + 1 < 0 → negativo Estaremos multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número negativo, por lo que ahora la dirección de la misma SI se altera, y nos queda dada por: 4x – 3 < 5 (2x + 1) Esta segunda condición invierte la dirección de la desigualdad. Enseguida la resolvemos como ya hemos visto. 4x – 3 < 5 (2x + 1) 4x – 3 < 10x + 5 4x – 10x < 5 + 3 -6x < 8 x > -8/6 Esta es la solución de la desigualdad determinada por la misma condición. Sin embargo, esta solución está sujeta a que: 2x + 1 < 0 Cuya solución es: x < -1/2 La solución determinada en este primer caso es la intersección de las dos soluciones individuales, es decir, los reales mayores que –8/6 y menores que -1/2, lo que nos conduce al conjunto dado en los siguientes términos. x ∈ ( -8/6, -1/2 ) La solución en notación de conjuntos queda dada de la siguiente forma: S = { x / x ∈ ℜ y x ∈ (-8/6, -1/2)} Y la gráfica de la solución es la siguiente:
-8/6
-1/2
0
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La solución como corroboramos en la gráfica son los reales comprendidos entre –8/6 y –1/2. 1.4.7.2.- Resolución Gráfica. La resolución de este tipo de desigualdad sigue una estrategia semejante a la utilizada en el caso de las lineales y aplicada también a las cuadráticas. Basta con obtener la graficar de la expresión fraccionaria y encontrar sobre la curva la región que satisface que sea mayor, menor y/o igual a cero. Es decir, aquella región determinada por la curva que se encuentra por encima, por debajo y/o que contenga al eje de las abscisas, según mostramos en la gráfica siguiente.
10
10
−8
−1
6
2 5
4x − 3
4
2
0
2
4
10 x + 5 2x + 1
5
10
− 15
15
−5
5
x
Interprete la gráfica anterior a la luz de los resultados obtenidos en el método analítica. 1.4.7.3.- Ejercicios. Siguiendo una estrategia semejante a la vista en este apartado, encuentre la solución en forma analítica y en forma gráfica de las siguientes desigualdades y dé la solución en las tres formas vistas.
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CALCULO ( 6x + 4)
( x − 8) 2
2x
≥9
+1
> 6x − 2
x− 9
9 2x
− 4x + 6
( 2x) 4x − 6
> x+ 9
( 5x − 3) 2
2
x
−8
≤5
( 4x2 − 16)
x
2
C A P I T U L O N O. 1
≥8
5x − 4
( 5x − 3) 2x − 1
( 3x − 5) 3x − 1
<3
≤ 5x − 3
<0
(4x2 + 2x − 6) >7
3x + 1
< 3x + 1
x
1.4.7.4.- Conteste las siguientes preguntas: ¿Existirán desigualdades lineales que no tengan solución?. Si su respuesta es afirmativa dé un ejemplo de este caso y si es negativa argumente su respuesta. ¿Existirán desigualdades lineales que tengan infinidad de soluciones?. Si su respuesta es afirmativa dé un ejemplo de este caso y si es negativa argumente su respuesta. ¿Existirán desigualdades cuadráticas que no tengan solución? Si su respuesta es afirmativa dé un ejemplo de este caso y si es negativa argumente su respuesta. ¿Existirán desigualdades cuadráticas que tengan infinidad de soluciones?. Si su respuesta es afirmativa dé un ejemplo de este caso y si es negativa argumente su respuesta. ¿Existirán desigualdades Fraccionarias que no tengan solución?. Si su respuesta es afirmativa dé un ejemplo de este caso y si es negativa argumente su respuesta. ¿Existirán desigualdades Fraccionarias que tengan infinidad de soluciones?. Si su respuesta es afirmativa dé un ejemplo de este caso y si es negativa argumente su respuesta.
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